Bài tập Chương I

Gia sư TRÍ NGỌC ĐT: 0908 753 692
BÀI TẬP CHƯƠNG I
Bµi tËp 1.Thùc hiÖn phÐp tÝnh.
a)
2
2
3
2
2
)23(
2
2
2








( )
2
32−
b)
2
)( a
3
)( a
( )
2

2 a
( )
2
3 a−
Víi
0≥a
c)
( )
2
2−
( )
4
2−
( )
2
32
2
2
2








−
( )
2

31−
d)
2
)( b
3
)( b
( )
2
b−
( )
2
3 b
Víi
0≥b
e)
09,0
0144,0
0001,0
04,0
2
1
f)
4
1
61+
9
7
22 −
25
11

1
2
1
5
3
−
.
Bµi tËp 2.Thùc hiÖn phÐp tÝnh.
a)
36.25
c)
490.9,28
e)
24
)8.(3 −
b)
360.1,12
d)
250.001,0
f)
2
5a
víi
0
<
a
Bµi tËp 3.Thùc hiÖn phÐp tÝnh.
a)
27.3
b)

63.7
c)
( ) ( )
32.32 −+
d)
8.2
e)
)1362(32 +−
f)
( ) ( )
625.625 −+
g)
110.110 −+
h)
( ) ( )
23.23 −+
i)
( ) ( )
53.53 −+
Bµi tËp 4.Thùc hiÖn phÐp tÝnh.
a)
( )
2
12 +
b)
( )
2
12 −
c)
( ) ( )

12.12 −+
d)
( )
2
13 +
e)
( )
2
13 −
f)
( ) ( )
13.13 −+
Bµi tËp 5.Thùc hiÖn phÐp tÝnh.
a)
( )
2
3223 +
b)
( )
2
3223 −
c)
( ) ( )
3223.3223 −+
d)
( )
2
225 +
e)
( )

2
225 −
f)
( ) ( )
225.225 −+
Bµi tËp 6.Thùc hiÖn phÐp tÝnh.
a)
196
169
25,2
0625,0
41,4
3
27
18
2
b)
( )
15:5335 +
( )
2:26323182 +−
Bµi tËp 7.Thùc hiÖn phÐp tÝnh.
a)
( )
33:622327 +−
b)
( ) ( )
22
3113 −++
c)

( ) ( )
22
1212 −++
d)
( ) ( )
22
3113 −++
e)
( ) ( )
22
2112 −−+
f)
347347 −++
1
Gia sư TRÍ NGỌC ĐT: 0908 753 692
g)
526526 −++
h)
7474 +−−
i)
( )( )
5321053 +−−
j)
549549 +−−
k)
324324 +−+
l)
( )( )
154610154 −−+
Bµi tËp 8.Thùc hiÖn phÐp tÝnh.

a)
83
752−
50
5
2
ba
a
2
1
víi a# 0, b>0
b)
( )
2
523 −
( )
2
3218 −
( )
4
315
2
−
c)
( )
2
21
8
−
( )

3
1 x−
( )
3
3
31−x
víi x > 3
d)
( )
5
550 a+
( ) ( )
53
14 xx −−
víi 1 < x < 4
Bµi tËp 9.Thùc hiÖn phÐp tÝnh.
82
−
82
32.32
−+
28273 +−−
180.27.15
( )( )
321321
−+++
50188 −+
( )
5.54520
+−

( )( )( )
154610154
−−+
5,24,0
+
( )( )
5252
−+
7 : 28
( )
2 : 8 - 18
( )
3 : 48 - 243 75
+
( )
35:2715 1220
−
2712 +
520 −
502852 −+
1082712 +−
125805 +−
1058045 −+
5
20
35
702 57 - 75 +
12
1
3

1
4
3
++
3004875 −+
50188 −+
72985032 −+−
`
32080345220 −+−
( )( )
1212
−+
35.35
−+
200
2
1
6188 −−+
4
3
3
4
12
3
4
−+
3
1
1102775348
3

1
−−+
6.
2
3
3
2








+
6.
2
3
3
2








+

15
1
2
60
1
20
3
−+
2.50
54.32
98.18.8
40.5,2
154 . 154
−+
526.526
−+
235.235 +−++
5:12545252






−+
( ) ( )
22
5252
−−+
5

5
12
1
−
52:5
5
4
4
5
20
2
1
5
1
5








+−+
3
3 3
+
203
15
;

12
22
−
−
2
Gia s TR NGC T: 0908 753 692
;
52
615


;
32
3223


26
4
25
3
+
+

13
1
13
1
+

5.
35
1
35
1






+
+

1281812226 ++
( ) ( )
22
5252
+
( )
2
52
+
-
( )
2
52
+
( ) ( )
22

2323
+
324324
+
3232 +
52353 ++
653653 ++ ,,
2006 2 2005
2006 2 2005
+

2005100320051003 +
15281528 +
608608 +
154154 +
24922117 ++
761663216 +
738638 +
5122935

24923013
+++
Bài tập 10.Khử mẫu số trong các căn thức sau:
a)
2
3
2
32
13
4

+


( )
22
1
nm
nm
+
+
( )
m
m


3
1
3
với m<3
b)
120
11
11
168
13
13
48
7
7
89

2
2
xxx
+++
Bài tập 11.Trục căn thức ở mẫu:
a)
5
3
2
32
b
a
1
1
2

+
x
x
b)
23
1
+
32
2

12
12

+

13
23
+
c)
321
1
++
32.232
1
+
Bài tập 12.Rút gọn biểu thức:
a)
32
32

+
625
625

+
13
13
+

b)
32
32

+
+

32
32
+

3232
3232
3232
3232
++
+

+
++
Bài tập 13.Rút gọn biểu thức:
a)
50218483 +
485752125 +
b)
33
9
3
21
ab
b
ba
a
a
b
b
a

+
(a,b>0)
( )
84773228 ++
Bài tập 14.Thực hiện phép tính:
a)
13
13
13
13
+

+

+
b)
13
13
13
13
+



+
c)
549417 +
3
Gia s TR NGC T: 0908 753 692
d)

72:
21
21
21
21







+

+

e)
13
1
32
1
+

+
f)
322
32
322
32

+
++
+
Bài tập 15.Đơn giản biểu thức:
a)
487 +
b)
487
c)
3232 +
d)
( )
mnnm 2+
e)
yxyx + 44
f)
245245 ++
Bài tập 16.Rút gọn biểu thức:
a)
10099
1

43
1
32
1
21
1
+

++
+
+
+
+
+
b)
1009999100
1

4334
1
3223
1
22
1
+
++
+
+
+
+
+
c)
10099
1

43
1
32

1
21
1

+

+



Bài tập 17.Thực hiện phép tính:
a)
72328 +
12527220126 +
963252254421671123 +
b)
8012552
32450823 +
98324551475803182 +
c)
7534823227 +
503218423 +
1471227532 +
d)
12580345220 +
12527220126 +
15063542244 +
Bài tập 18: Rút gọn biểu thức:
A1=

+


a
a
aa
1
1
+








a
a
1
1
KQ: 1+
a
A2=

+
+
+
1
1
a
aa
+






+


1
1
a
aa
KQ: 1- a
A3=

+
+









+
+
yx
yx
xy
yx
yyxx
KQ:
yx
A4=
[ ]
ba

b
baab
ba
bbaa

+







+
+ 2
:
KQ: 1.
A5=






+


+

+

+
ab
ba
aab
b
ab
a
ba
abb
a :
KQ:
ab
A6=






+
+


+

+
+
aba
b
aba
b
ab
ba
aba
ba
2
1
KQ:
a
1
A7=
yyxx
yx
yx
yyxx
yx
yx
+

2
)(
.
KQ:
yxyx
xy
+
A8=
12.
1212
1212









++
++
x

xxxx
xxxx
KQ: x>2, A=
22 x
1<x<2, A=
2
4
Gia s TR NGC T: 0908 753 692
Bài tập 19. Cho biểu thức:
B1=








+


+
+

+

+
xy
yx
xxy
y
yxy
x
yx
xyy
x :
a)Rút gọn biểu thức B1.
b)Tính giá trị của biểu thức B1 biết x=3,
y= 4 + 2
3
KQ:
a)
xy
;
b) 1.
Bài tập 20. Cho biểu thức:
B2=
x
x
x
x
xx
x

+


+

+

3
12
2
3
65
92
a)Rút gọn B2.
b)Tìm x để B2<1.
KQ:
a)
3
1

+
x
x
;
b) 0 < x < 9.
Bài tập 21. Cho biểu thức:
B3=

+

+

+






+
+
+



1
1
1
11
1
11
a
a
a

a
aaa
aa
aa
aa
a)Rút gọn B3.
b)Tìm a để B2=7.
KQ:
a)
a
aa 222 ++
;
b) GPTBH ta đợc a=4;
4
1
.
Bài tập 22. Cho biểu thức:
B4=







+

++

++ ba
ba
baabaa
1:
11
a)Rút gọn B4.
b)Tính giá trị của B4 khi a= 5 + 4
2
,
b = 2 + 6
2
.
Bài tập 23 . Cho biểu thức:
B5=
x
x
x
x
xx
x
+
+

+
+

3
32
1
23
32
1115
a)Rút gọn B5.
b)Tìm giá trị của x khi B5 =
2
1
.
KQ:
a)
3
52
+

x
x
;
b) x =
121
1
.
Bài tập 24 . Cho biểu thức:
B6=

+
+
+

+
+

+






+

65
2
3
2
2
3
:
1
1

xx
x
x
x
x
x
x
x
a)Rút gọn B6.
b)Tìm x để B6 < 0.
KQ:
a)
x
x
+

1
2
;
b) .
5
Gia s TR NGC T: 0908 753 692
Bài tập 25 . Cho biểu thức:
B7=
2
12
.
12
2
1

2
2
+






+
+


xx
xx
x
x
x
a)Rút gọn B7.
b)Chứng minh với 0 < x < 1 thì B7 > 0.
c)Tính số trị của B7 khi x= 0,16.
KQ:
a) -3x - 3;
b)
c)
Bài tập 26 . Cho biểu thức:
B8=
yx
xyyx
xy

yx
yx
yx
+
+










+
+

233
)(
:
a)Xác định x,y để B8 tồn tại;
b)Rút gọn B8;
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của B8;
d)So sánh B8 và
8B
;
e)Tính số trị của B8 khi x = 1,8; y = 0,2.
KQ:
b)

yxyx
xy
+
;
c) B8 = 0;
d) B8 <
8B
;
e)
Bài tập 27 . Cho biểu thức:
B9=
4444 ++ xxxx
a)Rút gọn B9;
b)Tìm x để N=4.
Bài tập 28 . Cho biểu thức:
B10=
=1-

+
+
+

+
12
)1)((
.
1
2
1
12
x
xxx
xx
xxxx
x
xx
a)Tìm x để B10 có nghĩa;
b) Rút gọn B10.
KQ:
a) ;
b)
xx +1
1
.
Bài tập 29 . Cho biểu thức:
B11=

+

+








112
1
2
a
aa
a
aa
a
a
a)Rút gọn B11;
b) Tìm giá trị của a để B10 = -4.
KQ:
a) -2

a
;
b) a = 4.
Bài tập 30 . Cho biểu thức:
B
12
=













+
+



+
a
aa
a
a

a
a 1
4
1
1
1
1
a)Rút gọn B
12
;
b) Tìm giá trị của B
12
biết a =
62
9
+
;
c)Tìm giá trị của a để
.
1212
BB >
KQ:
a) 4a ;
b)
62
12
+
;
c) 0 < a <
4

1
.
6
Gia s TR NGC T: 0908 753 692
Bài tập 31 . Cho biểu thức:
B
13
=






+
+









+



+

1
1
1
1
2
:
1
1
1
1
2
xx
x
x
x
x
x
x
a)Rút gọn B
13
;
b) Tìm giá trị của B
13
biết x =
83 +
;
c)Tìm giá trị của x khi B
13
=
5

.
KQ:
a)
2
1
4
x
x

;
b) -2;
c) GPTBH ta đợc x
1
=
5
1
, x
2
= -
5
.
Bài tập 32 . Cho biểu thức:
B14=
2
2
:
11

+

+
+



a
a
aa
aa
aa
aa
a)Rút gọn B14;
b)Với giá trị nguyên nào của a thì B14

Z.
KQ:
a)
2
42
+

a
a
;
b) ;

Bài tập 33. Cho biểu thức:
B15=






+








+
+
1
2
1
1
:
1
1
xxxx
x
x
x

x
a)Rút gọn B15;
b) Tìm giá trị của x sao cho B15 >3;
c)Tìm giá trị của x khi B15 = 7.
KQ:
a)
1
1

++
x
xx
;
b) (
xx >+ 03)1
2
;
c) Không tồn tại x TMBT.
Bài tập 34 . Cho biểu thức:
B16=
11
1
1
1
3


+
+
+

x
xx
xxxx
a)Rút gọn B16;
b) Tìm giá trị của x sao cho B16 =4;
c)Tìm x

Z
+
để B16

Z
+
KQ:
a) -2
1x
;
b); Không tồn tại x TMBT;
c)
Bài tập 35 . Cho biểu thức:
B17=







+

+

+

+

2
22
4
4
2
2
2
2
3
2
a
a
a
a
a
a
a
aa
a)Rút gọn B17;
b) Tìm giá trị của a sao cho B17 =1;
c)Khi nào B17 có giá trị dơng, âm.
KQ:
a)
3

4
2
+a
a
;
b)Giải PTBH đợc a=
4
3
, a=-1;
Bài tập 36 . Cho biểu thức: B18=






++

+







+
+ abba
aa
ba

a
ab
a
ba
a
2
:
a)Rút gọn B18;
b) Biết rằng khi
4
1
=
b
a
thì B18 =1, hãy tìm các giá trị a, b.
KQ:
a)
)( baa
ba


;
b)a=4, b=36.
7
Gia s TR NGC T: 0908 753 692
Bài tập 37 . Cho biểu thức:
B19 =
a
a
a

aa
a
aa
+
















+
+
+
1
1
:
1
1.1
1
a)Rút gọn B19;

b) Tính giá trị của biểu thức B19
biết a = 27 + 10
2
.
KQ:
a)
2
)1( +a
;
b) 38 + 12
2
.
Bài tập 38 . Cho biểu thức:
B20 =
3223
3223
babbaa
babbaa
+
+
a)Rút gọn B20;
b) Tìm tỉ số giữa a và b để sao cho B20 =
2
1
.
KQ:
a)
ba
ba
+

;
b)
3=
b
a
.
Bài tập 39 . Cho biểu thức:
B21 =
x
x
x
x
x
x
2
:
1
1
1:
1
1
3
+

+
a)Rút gọn B21;
b)Tính giá trị của B21 khi x =
206 +
;
c) Tìm x

Z để B21

Z
KQ:
a)
2
2
+

x
x
;
b)
35

15
+

;
c)
Bài tập 40 . Cho biểu thức:
B22 =
x
xx
x
x

+
+

+
+
2
1
6
5
3
2
2
a)Rút gọn B22;
b)Tính giá trị của B22 khi x =
32
2
+
c) Tìm x

Z để B22

Z.
KQ:
a)
2
4


x
x
;
b)
3
132
;
c)
Bài tập 41 . Cho biểu thức:
B23 =

+
+








+


+

x
x
x
x
x
x
x
xx
1
1

1
1
:
1
)1(
23
2
22
a)Rút gọn B23;
b)Tính giá trị của B23 khi x =
223 +
;
c) Tìm giá trị của x để 3.B23=1.
KQ:
a)
2
1 x
x
+
;
b)
224
12
+
+
;
c)GPTBH
2
53
;

2
53
21

=
+
= xx
.
Bài tập 42 . Cho biểu thức:
B24 =
32
2
2
2
2
3
:
2
2
4
4
2
2
xx
xx
x
x
x
x
x

x








+





+
a)Rút gọn B24;
b)Tính giá trị của B24 khi x =
25 =x
.
KQ:
a)
3
4
2
x
x
8
Gia s TR NGC T: 0908 753 692
Bài tập 43 . Cho biểu thức:

B25 =







+


+






+



+
1
2
11
1
:
1
1

1
1
2
x
x
x
xx
x
x
x
a)Rút gọn B25;
b)Tính giá trị của B25 khi x =
324 +
;
c)Tìm x để B25 = -3.
a)
2
1
4
x
x

;
b)
323
)13(4

+
c) GPTBH
3

132
;
3
132
21

=
+
= xx
Bài tập 44 . Cho biểu thức:
B26 =






+









+
+

13
23
1:
19
8
13
1
13
1
x
x
x
x
xx
x
a)Rút gọn B26;
b)Tính giá trị của B26 khi x =6+2
5
;
c)Tìm x để B25 =
5
6
.
a)
13
+
x
xx

;
b)
253
537
+
+
c) GPTBH
25
9
;4
21
== xx
Bài tập 45 . Cho biểu thức:
B27 = 1:







+

++
+
+

+
1
1

1
1
1
2
x
x
xx
x
xx
x
a)Rút gọn B27;
b)Chứng minh B27 >3 với mọi x>0; x khác 1.
a)
x
xx 1++
;
b)
Bài tập 46 . Cho biểu thức:
B28 =
1
1
1
1
1
1
:
1
1
1
1

+
+






+








+
+
xxxxx
a)Rút gọn B28;
b)Tính giá trị của B28 khi x =1+
2
;
c)Tìm x để B28 =
2
3
.
KQ:
a)

)1(
12
+
+
xx
x
; b)
)22)(21(
322
++
+
;
c)GPTBH ta đợc: x=1 và x=
3
2

Bài tập 47 . Cho biểu thức:
B29 =
x
x
x
xx
x
x
x
x 2003
.
1
14
1

1
1
1
2
2
+








+
+



+
a)Rút gọn B29;
b) Tìm x

Z để B29

Z.
KQ:
a)
x
x 2003+

;
b) x=2003 và x = -2003
Bài tập 48 . Cho biểu thức:
2
1
)1(
2
:
12
2
1
2
a
aa
a
a
a
A









++
+

=
a)Rút gọn ; b)Tìm Max A
aaAKQ
=
1
:
Bài tập 49 . Cho biểu thức:
1
1
:
2

++
=
a
aa
AKQ
9
Gia s TR NGC T: 0908 753 692








+

+
+=
1
2
1
1
:
1
1
2
aaaa
a
a
a
a
A

a) Rút gọn
b) Tìm a sao cho A
2

> 1
c) Tính A
2
với
3819 =a
Bài tập 50 . Cho biểu thức:






>
>
++
+













=

yx
0y
0x
Với
xyyx
yyxx
yx
yyxx
yx
yx
A
2
:
3
a)Rút gọn
b)Chứng minh: 0 <A
3
< 1(hoặc so sánh
33
AA với
)
yxyx
xy
AKQ
+
=
3
:
Bài tập 51 . Cho biểu thức:
xx

x
x
x
x
x
x
x
A












+



+
=
2
3
:
4

4
2
2
2
2
4

a) Rút gọn
b) Tìm x để A
4
> 0
c) Tìm x để A
4
= 1
3
4
:
4

=
x
x
AKQ
Bài tập 52 . Cho biểu thức:
21
3
5


=

x
x
A

a) Rút gọn
b) Tìm Min A
5
21:
5
+=
xAKQ
Bài tập 53 . Cho biểu thức:








+

+
+



=
13
23
1:
19
8
13
1
13
1
6
x
x
x
x
xx
x
A

a) Rút gọn
b) Tìm x để
5
6

6
=
A
13
:
6

+
=
x
xx
AKQ
Bài tập 54 . Cho biểu thức:








+
+



+
+

=
3
2
2
3
6
9
:1
9
3
7
x
x
x
x
xx
x
x
xx
A

a) Rút gọn
b) Tìm x để A
7
<1
c) Tìm x Z để A
7
Z
2
3
:
7

=
x
AKQ
Bài tập 55 . Cho biểu thức:
3
5
:
8
+
=
x
AKQ
10
Gia s TR NGC T: 0908 753 692

+
+
+

+












=
3
5
5
3
152

25
:1
25
5
8
x
x
x
x
xx
x
x
xx
A

a) Rút gọn
b) Tìm x Z để A
8
Z
Bài tập 56 . Cho biểu thức:








+

+
+








+

+=
xy
yx
xxy
y
yxy
x
yx
xyy
xA :
9
a) Rút gọn
b) Tính giá trị của A
9
với
324,3
+==

yx
xyAKQ
=
9
:
Bài tập 57 . Cho biểu thức:










+



+

+

+
=
4
2
2
2
2
2
:
2
1
4
7
10
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
A

a) Rút gọn
b) So sánh
10

10
1
A
A Với
a
a
AKQ
6
9
:
10
+
=
Bài tập 58 Rỳt gn cỏc biu thc sau:
a/
721834520 ++
.
b/ (
847)73228
++
.
c/
( )
12056
2
+
.

Gii:
a/

721834520 ++
=
2.62.335.35.2
2222
++

=
26295352
++

=
( )
52152)69(532
=++
.
b/
( )
84773228 ++
=
.21.27.77.327.7.2
22
++
=
21272127.2
++
=
( )
212122714
=++
.

c/
( )
12056
2
+
=
30.253026
2
++
=
1130230256
=++
.
11
1 1 3 4 1
d/ 2 200 :
2 2 2 5 8

+
ữ
ữ

2
2
1 1 3 4 1 1 2 3 4 1
/ 2 200 : 2 10 .2 :
2 2 2 5 8 2 2 2 5 8
1 3
2 2 8 2 .8 2 2 12 2 64 2 54 2
4 2

d

+ = +
ữ ữ
ữ ữ


= + = + =
ữ

Gia sư TRÍ NGỌC ĐT: 0908 753 692

Bµi tËp 59: Rút gọn các biểu thức sau:
a/
1 1
5 3 5 3
A = −
+ −
b/
4 2 3
6 2
B
−
=
−
c/
1 2 2
2 3 6 3 3
C = + −
+ +

Giải:
a/
1 1
5 3 5 3
A = −
+ −

( ) ( )
( ) ( )
5 3 5 3
5 3 5 3
− − +
=
+ −


5 3 5 3 2 3
3
5 3 2
− − − −
= = = −
−
b/
4 2 3
6 2
B
−
=
−

( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
3 2 3 1 3 1
2 3 1 2 3 1
3 1
3 1 1 2
2
2
2 3 1 2 3 1
− + −
= =
− −
−
−
= = = =
− −
c/
1 2 2
2 3 6 3 3
C = + −
+ +
( )
1 1 2
2 3 3
3 3 1
= + −

+
+

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3 1 2 3 3 1 2 2 3
3 3 1 2 3
+ + + + − +
=
+ +

( ) ( )
( )
( ) ( )
2 3 2
2 3 4
3 3 1 2 3 3 3 1 2 3
+
+
= =
+ + + +
12
Gia sư TRÍ NGỌC ĐT: 0908 753 692

( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2. 3 3 1 2 3 3 1 3 3 1

3 3 3
1
3 3 1 3 3 3
3 3 1 3 1
− − −
−
= = = = = −
−
+ −
Bµi tËp 60 Chứng minh các đẳng thức sau:
a/
( ) ( )
2
2 2 3 2 1 2 2 2 6 9− + + − =
b/
2 3 2 3 6+ + − =
c/
( ) ( )
2 2
4 4
8
2 5 2 5
− =
− +
Giải:
a/
( ) ( )
2
2 2 3 2 1 2 2 2 6 9− + + − =
BĐVT ta có :

( ) ( )
2
2 2 3 2 1 2 2 2 6 2 6 4 2 1 4 2 8 2 6 9 VP− + + − = − + + + − = =
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
b/
2 3 2 3 6+ + − =
BĐVT ta có :

(
)
2 2 3 2 3
2 3 2 3
2
+ + −
+ + − =
( ) ( )
2 2
3 1 3 1
4 2 3 4 2 3
2 2
+ + −
+ + −
= =
3 1 3 1
3 1 3 1 2 3
6
2 2 2
VP
+ + −

+ + −
= = = = =
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
c/
( ) ( )
2 2
4 4
8
2 5 2 5
− =
− +
BĐVT ta có :
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
4 4 2 2
2 5 2 5
2 5 2 5
− = −
− +
− +
( ) ( )
( ) ( )
2 5 2 2 5 2
2 2 2 2
5 2 5 2
2 5 2 5
5 2 5 2

+ − −
= − = − =
− +
− +
+ −
2 5 4 2 5 4
8
5 4
VP
+ − +
= = =
−
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
Bµi tËp 61 So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
a/
2 3+
và
10
13
Gia sư TRÍ NGỌC ĐT: 0908 753 692
b/
2003 2005+
và
2 2004
c/
5 3
và
3 5
Giải:
a/

2 3+
và
10
Ta có:
( )
2
2 3 2 3 2 6 5 2 6 5 24+ = + + = + = +
Và
( )
2
10 10 5 5 5 25= = + = +
Vì 24 < 25 =>
24
<
25
=>
5 24 5 25+ < +

Hay
( ) ( )
2 2
2 3 10 2 3 10+ < ⇒ + <
b/
2003 2005+
và
2 2004
Ta có:
( )
2
2003 2005 2003 2005 2 2003.2005+ = + +

( ) ( )
2
4008 2 2004 1 2004 1 4008 2 2004 1= + − + = + −
Và
( )
2
2
2 2004 4.2004 2.2004 2 2004= = +
Vì
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2
2004 1 2004 2004 1 2004
4008 2 2004 1 4008 2 2004
2003 2005 2 2004 2003 2005 2 2004
− < => − <
=> + − < +
=> + < => + <
c/
5 3
và
3 5
Ta có:
2
5 3 5 .3 75= =
Và
2
3 5 3 .5 45= =

Vì 75 > 45 =>
75 45 75 45> => >
5 3 3 5=> >
Bµi tËp 62 Cho biểu thức
1 1 1
:
1 2 1
a
M
a a a a a
+
 
= +
 ÷
− − − +
 
với a >0 và a
1≠
a/ Rút gọn biểu thức M.
b/ So sánh giá trị của M với 1.
Giải: Đkxđ: a >0 và a
1≠
a/
1 1 1
:
1 2 1
a
M
a a a a a
+

 
= +
 ÷
− − − +
 
(
( )
)
( )
2
1
1
:
1
1
1
1
−
+
−
+
−
=
a
a
aaa
( )
( ) ( )( )
( )( )
a

a
aaa
aa
a
a
aa
a 1
11
11
1
1
.
1
1
22
−
=
+−
−+
=
+
−
−
+
=
b/ Ta có
aa
a
M
1

1
1
−=
−
=
, vì a > 0 =>
0>a
=>
0
1
>
a
nên
1
1
1
<−
a
Vậy M < 1.
Bµi tËp 63 Cho biểu thức
14
Gia sư TRÍ NGỌC ĐT: 0908 753 692









−
+
−
−








−−
−
−
−−
=
xx
x
xx
x
xx
P
2
2
2
2
21
3
1

1
a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b/ Rút gọn biểu thức P.
c/ Tính giá trị của P với
223
−=
x
.
Giải:
a/ Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi :







≠−−
≠−
≥−
>
021
02
01
0
x
x
x
x






≠
≠
≥
⇔







≠
≠
≥
>
⇔
3
2
1
3
2
1
0
x
x
x

x
x
x
x
b/ Đkxđ :
3;2;1
≠≠≥
xxx









−
+
−
−








−−

−
−
−−
=
xx
x
xx
x
xx
P
2
2
2
2
21
3
1
1

( )
( )( )
( )
( )
( )( ) ( )







−
+
−
−






+−−−
+−−
−
−+−−
−+
=
xx
x
xxx
xx
xxxx
xx
2
2
2
2
2121
213
11
1

( )
( )
( )
( )
( )
xx
xx
x
xx
xx
xx
−
−−






−−
+−−
−
−−
−+
=
2
22
.
21

213
1
1

( )
( ) ( )
( )
xx
x
x
xx
xx
xx
−
−−








−
+−−
−
+−
−+
=
2

2
.
3
213
1
1

( )
( )
( )
x
x
x
x
x
xxx
−
=
−−
=
−
−−−−+=
21.21
.211
c/ Thay
( )
2
12223
−=−=
x

vào biểu thức
x
x
P
−
=
2
, ta có:

( )
( )
12
122
12
122
12
122
2
2
−
+−
=
−
−−
=
−
−−
=
P
12

12
1
+=
−
=
Bµi tËp 64 Cho biểu thức

9
113
3
1
3
2
2
−
−
−
−
+
−
+
=
x
x
x
x
x
x
A
với

3
±≠
x

a/ Rút gọn biểu thức A.
15
Gia sư TRÍ NGỌC ĐT: 0908 753 692
b/ Tìm x để A < 2.
c/ Tìm x nguyên để A nguyên.
Giải:
a/ Đkxđ:
3
±≠
x


( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )
( )( )
3
3
33
33
33
93
33
1133362

33
1133132
33
113
3
1
3
2
9
113
3
1
3
2
2
22
2
−
=
−+
+
=
−+
+
=
−+
+−++++−
=
−+
−−+++−

=
−+
−
−
−
+
+
+
=
−
−
−
−
+
−
+
=
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xxxxxx
xx
xxxxx
xx
x
x

x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
b/ Ta có
3
3
−
=
x
x
A
, A < 2 tức là
( )
(*)0
3
6
0
3
623
0
3
323
02

3
3
2
3
3
<
−
+
⇔<
−
+−
⇔
<
−
−−
⇔<−
−
⇔<
−
x
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
Dễ thấy x + 6 > x – 3 vì vậy Bất phương trình (*) có nghiệm khi




<−
>+
03
06
x
x

36
<<−⇔
x
Vậy với
36
<<−
x
thì A < 2.
c/ Ta có
)9(3
3
9
3
9
3
3
3
Ux
xxx
x

A
∈−⇔Ζ∈
−
⇔Ζ∈
−
+=
−
=
Mà
{ }
9;3;1)9(
±±±=
U
nên ta có:
• x – 3 = - 1 <= > x = 2 ( tm đkxđ )
• x – 3 = 1 < => x = 4 ( tm đkxđ )
• x – 3 = - 3 <= > x = 0 ( tm đkxđ )
• x – 3 = 3 < = > x = 6 ( tm đkxđ )
• x – 3 = - 9 <=> x = - 6 ( tm đkxđ )
• x – 3 = 9 <= > x = 12 ( tm đkxđ )
Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 thì A nhận giá trị nguyên.
Bµi tËp 65 Cho biểu thức










−
+
+








++
−
−
+
= x
x
x
xx
x
x
x
B
1
1
.
1
1
12

3
3
với
0
≥
x
và
1
≠
x
a/ Rút gọn B;
b/ Tìm x để B = 3.
Giải: Đkxđ :
0
≥
x
và
1
≠
x
16
Gia sư TRÍ NGỌC ĐT: 0908 753 692
a/









−
+
+








++
−
−
+
=
x
x
x
xx
x
x
x
B
1
1
.
1
1

12
3
3

( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
11.
1.1
1
21.
1.1
12
1
11
.
1.1
112
2
−=−
++−
++
=
+−
++−
+−+

=






−
+
+−+
++−
−−+
=
xx
xxx
xx
xx
xxx
xxx
x
x
xxx
xxx
xxx
b/ Ta có
1
−=
xB
và B = 3, tức là
16431

=⇔=⇔=−
xxx
( t/m đkxđ)
Vậy với x = 16 thì B = 3.
Bµi tËp 66 Cho biểu thức


33
33
:
112
.
11
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
A
+
+++








++
+









+=
với x > 0 , y > 0
a/ Rút gọn A;
b/ Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Giải: Đkxđ : x > 0 , y > 0
a/
33
33
:
112
.
11
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
A
+
+++









++
+








+=

( )( ) ( )
( )
yxxy
yxxyyxyxyx
xy
yx
yxxy
yx
+
+++−+









+
+
+
+
=
:
2
.

( )
( )
( )
yxxy
yxyx
xy
yx
xy
+
++









+
+=
:
2

( )

2
xy
yx
yx
xy
xy
yx
+
=
+
+
=
b/ Ta có
020
2
≥−+⇔≥







−
xyyxyx

.2 xyyx
≥+⇔
Do đó
1
16
162
2
==≥
+
=
xy
xy
xy
yx
A
( vì xy = 16 )
17
Gia s TR NGC T: 0908 753 692
Võy min A = 1 khi
4.
16
x y
x y
xy

=

= =

=


Bai 67 :
1) Đơn giản biểu thức : P =
14 6 5 14 6 5+ +
.
2) Cho biểu thức : Q =
x 2 x 2 x 1
.
x 1
x 2 x 1 x

+ +

ữ
ữ

+ +


a) Đơn giản biểu thức Q.
b) Tìm x để
Q
> - Q.
c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
Hớng dẫn :

1. P = 6
2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x

1. Biểu thức rút gọn : Q =
1
2
x
.
b)
Q
> - Q

x > 1.
c) x =
{ }
3;2
thì Q

Z
Bài 68 : Cho biểu thức P =
1 x
x 1 x x
+
+
a) Rút gọn biểu thức sau P.
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =
1
2
.
Hớng dẫn :

a) ĐKXĐ : x > 0 ; x

1. Biểu thức rút gọn : P =
x
x

+
1
1
.
b) Với x =
1
2
thì P = - 3 2
2
.
Bai 69 : Cho biểu thức : A =
1
1
1
1
+



+
x
x
x
xx

a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
4
1
c) Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để
A
= A.
Hớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x

0, x

1. Biểu thức rút gọn : A =
1x
x
.
b) Với x =
4
1
thì A = - 1.
c) Với 0

x < 1 thì A < 0.
d) Với x > 1 thì
A
= A.

18
Gia s TR NGC T: 0908 753 692

Bai 70 : Cho biểu thức : A =
1 1 3
1
a 3 a 3 a

+
ữ ữ
+


a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Xác định a để biểu thức A >
2
1
.
Hớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a > 0 và a

9. Biểu thức rút gọn : A =
3
2
+a
.
b) Với 0 < a < 1 thì biểu thức A >
2
1
.
Bai 71 : Cho biểu thức: A =
2
2

x 1 x 1 x 4x 1 x 2003
.
x 1 x 1 x 1 x

+ +
+
ữ
+

.
1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.
2) Rút gọn A.
3) Với x

Z ? để A

Z ?
Hớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x 0 ; x

1.
b) Biểu thức rút gọn : A =
x
x 2003+
với x 0 ; x

1.
c) x = - 2003 ; 2003 thì A

Z .

Bai 72 : Cho biểu thức: A =
( )
2 x 2 x 1
x x 1 x x 1
:
x 1
x x x x
+

+

ữ
ữ

+

.
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
Hớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =
1
1

+
x
x
.
b) Với 0 < x < 1 thì A < 0.

c) x =
{ }
9;4
thì A

Z.
Bai 73 : Cho biểu thức: A =
x 2 x 1 x 1
:
2
x x 1 x x 1 1 x

+
+ +
ữ
ữ
+ +

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.
Hớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =
1
2
++ xx
b) Ta xét hai trờng hợp :
+) A > 0


1

2
++ xx
> 0 luôn đúng với x > 0 ; x 1 (1)
+) A < 2


1
2
++ xx
< 2

2(
1++ xx
) > 2


xx +
> 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).
19
Gia s TR NGC T: 0908 753 692
Bai 74 : Cho biểu thức: P =
a 3 a 1 4 a 4
4 a
a 2 a 2
+
+

+
(a

0; a

4)
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 9.
Hớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a

0, a

4. Biểu thức rút gọn : P =
2
4
a
b) Ta thấy a = 9

ĐKXĐ . Suy ra P = 4
Bai 75 : Cho biểu thức: N =
a a a a
1 1
a 1 a 1

+
+
ữ ữ
ữ ữ
+

1) Rút gọn biểu thức N.
2) Tìm giá trị của a để N = -2004.
Hớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a

0, a

1. Biểu thức rút gọn : N = 1 a .
b) Ta thấy a = - 2004

ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.
Bai 76 : Cho biểu thức
3x
3x
1x
x2
3x2x
19x26xx
P
+

+


+
+
=
a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi
347x =

c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Hớng dẫn :
a ) ĐKXĐ : x

0, x

1. Biểu thức rút gọn :
3x
16x
P
+
+
=

b) Ta thấy
347x =


ĐKXĐ . Suy ra
22
33103
P
+
=

c) P
min
=4 khi x=4.
Bai 77 : Cho biểu thức

+

+
+
+
= 1
3
22
:
9

33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
P
a. Rút gọn P. b. Tìm x để
2
1
P <
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Hớng dẫn :
a. ) ĐKXĐ : x

0, x

9. Biểu thức rút gọn :
3x
3
P
+

=

b. Với
9x0
<
thì
2
1
P <

c. P
min
= -1 khi x = 0
Bài 78: Cho A=
1 1 1
4 .
1 1
a a
a a
a a a

+

+ +
ữ
ữ
ữ
+


với x>0 ,x

1
a. Rút gọn A
20
Gia sư TRÍ NGỌC ĐT: 0908 753 692
b. TÝnh A víi a =
( ) ( )
(
)
4 15 . 10 6 . 4 15+ − −
( KQ : A= 4a )
Bµi 79: Cho A=
3 9 3 2
1 :
9
6 2 3
x x x x x
x
x x x x
   
− − − −
− + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − − +
   
víi x
≥
0 , x
≠

9, x
≠
4 .
a. Rót gän A.
b. x= ? Th× A < 1.
c. T×m
x Z∈
®Ó
A Z∈
(KQ : A=
3
2x −
)
Bµi 80: Cho A =
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
x x x x
− − +
+ −
+ − − +
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. T×m GTLN cña A.
c. T×m x ®Ó A =
1

2
d. CMR : A
2
3
≤
. (KQ: A =
2 5
3
x
x
−
+
)
Bµi 81: Cho A =
2 1 1
1 1 1
x x
x x x x x
+ +
+ +
− + + −
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a . Rót gän A.
b. T×m GTLN cña A . ( KQ : A =
1
x

x x+ +
)
Bµi 82: Cho A =
1 3 2
1 1 1x x x x x
− +
+ + − +
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a . Rót gän A.
b. CMR :
0 1A
≤ ≤
( KQ : A =
1
x
x x− +
)
Bµi 83: Cho A =
5 25 3 5
1 :
25
2 15 5 3
x x x x x
x
x x x x
   

− − + −
− − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − + −
   
a. Rót gän A.
b. T×m
x Z∈
®Ó
A Z∈
( KQ : A =
5
3x +
)
Bµi 84: Cho A =
2 9 3 2 1
5 6 2 3
a a a
a a a a
− + +
− −
− + − −
víi a
≥
0 , a
≠
9 , a
≠

4.
a. Rót gän A.
b. T×m a ®Ó A < 1
21
Gia sư TRÍ NGỌC ĐT: 0908 753 692
c. T×m
a Z
∈
®Ó
A Z∈
( KQ : A =
1
3
a
a
+
−
)
Bµi 85: Cho A=
7 1 2 2 2
:
4 4
2 2 2
x x x x x
x x
x x x
   
− + + −
+ − −
 ÷  ÷

 ÷  ÷
− −
− − +
   
víi x > 0 , x
≠
4.
a. Rót gän A.
b. So s¸nh A víi
1
A
( KQ : A =
9
6
x
x
+
)
Bµi 86: Cho A =
( )
2
3 3
:
x y xy
x y
x y
y x
x y x y
 
− +

−
−
 ÷
+
 ÷
−
− +
 
víi x
≥
0 , y
≥
0,
x y
≠
a. Rót gän A.
b. CMR : A
≥
0 ( KQ : A =
xy
x xy y− +
)
Bµi 87 : Cho A =
1 1 1 1 1
.
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x
 

− + + −
 
− + − +
 ÷
 ÷
 ÷
− + − +
 
 
Víi x > 0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. T×m x ®Ó A = 6 ( KQ : A =
( )
2 1x x
x
+ +
)
Bµi 88 : Cho A =
( )
4 3 2
:
2 2
2
x x x
x x x
x x
 
 

− +
 ÷
+ −
 ÷
 ÷
 ÷
− −
−
 
 
víi x > 0 , x
≠
4.
a. Rót gän A
b. TÝnh A víi x =
6 2 5−
(KQ: A =
1 x−
)
Bµi 89: Cho A=
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 2x x x x x
   
+ − +
 ÷  ÷
− + − +
   
víi x > 0 , x
≠

1.
a. Rót gän A
b. TÝnh A víi x =
6 2 5−
(KQ: A =
3
2 x
)
Bµi 90 : Cho A=
3
2 1 1 4
: 1
1 1
1
x x
x x x
x
 
+ +
 
− −
 ÷
 ÷
 ÷
− + +
 
−
 
víi x
≥

0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. T×m
x Z∈
®Ó
A Z∈
(KQ: A =
3
x
x −
)
Bµi 91: Cho A=
1 2 2 1 2
:
1
1 1 1
x
x
x x x x x x
 
−
 
− −
 ÷
 ÷
 ÷
−
+ − + − −

 
 
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. T×m
x Z
∈
®Ó
A Z∈

22
Gia sư TRÍ NGỌC ĐT: 0908 753 692
c. T×m x ®Ó A ®¹t GTNN . (KQ: A =
1
1
x
x
−
+
)
Bµi 92 : Cho A =
2 3 3 2 2
: 1
9
3 3 3
x x x x

x
x x x
   
+ −
+ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − −
   
víi x
≥
0 , x
≠
9
. a. Rót gän A.
b. T×m x ®Ó A < -
1
2
( KQ : A =
3
3a
−
+
)
Bµi 93 : Cho A =
1 1 8 3 1
:
1 1
1 1 1

x x x x x
x x
x x x
   
+ − − −
− − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− + −
   
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A
b. TÝnh A víi x =
6 2 5−
(KQ: A =
4
4
x
x +
)
c . CMR : A
1≤
Bµi 94 : Cho A =
1 1 1
:

1 2 1
x
x x x x x
+
 
+
 ÷
− − − +
 
víi x > 0 , x
≠
1.
a. Rót gän A (KQ: A =
1x
x
−
)
b.So s¸nh A víi 1
Bµi 95: Cho A =
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
x
x x x
   
− −
− + −
 ÷  ÷

 ÷  ÷
−
− + +
   
Víi
1
0,
9
x x≥ ≠
a. Rót gän A.
b. T×m x ®Ó A =
6
5
c. T×m x ®Ó A < 1.
( KQ : A =
3 1
x x
x
+
−
)
Bµi96: Cho A =
2
2 2 2 1
.
1 2
2 1
x x x x
x
x x

 
− + − +
−
 ÷
 ÷
−
+ +
 
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0
c. TÝnh A khi x =3+2
2
d. T×m GTLN cña A (KQ: A =
(1 )x x−
)
Bµi 97 : Cho A =
2 1 1
:
2
1 1 1
x x x
x x x x x
 
+ −
+ +

 ÷
 ÷
− + + −
 
víi x
≥
0 , x
≠
1.

a. Rót gän A.
23
Gia sư TRÍ NGỌC ĐT: 0908 753 692
b. CMR nÕu x
≥
0 , x
≠
1 th× A > 0 , (KQ: A =
2
1x x+ +
)
Bµi 98 : Cho A =
4 1 2
1 :
1 1
1
x x
x x
x
−

 
− +
 ÷
− −
+
 
víi x > 0 , x
≠
1, x
≠
4.
a. Rót gän
b. T×m x ®Ó A =
1
2
Bµi 99 : Cho A =
1 2 3 3 2
:
1 1
1 1
x x x x
x x
x x
 
+ − − +
 
− +
 ÷
 ÷
 ÷

− −
− +
 
 
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. TÝnh A khi x= 0,36
c. T×m
x Z∈
®Ó
A Z∈

Bµi 100 : Cho A=
3 2 2
1 :
1 2 3 5 6
x x x x
x x x x x
   
+ + +
− + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ − − − +
   
víi x

≥
0 , x
≠
9 , x
≠
4.
a. Rót gän A.
b. T×m
x Z
∈
®Ó
A Z∈

c. T×m x ®Ó A < 0 (KQ: A =
2
1
x
x
−
+
)
24