ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP THÀNH PHỐ

PHềNG GIO DC V O TO
THNH PH UễNG B
THI CHN HC SINH GII LP 8 CP THNH PH
NM HC 2012-2013
MễN: TON
Ngy thi: 24/4/2013
Thi gian lm bi: 150 phỳt
(Khụng k thi gian giao )
Bài 1: (3,0 điểm)
Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện abc =2013. Tính giá trị biểu thức:
P =
2 2 2
2013
2013 2013 2013 1
a bc ab c abc
ab a bc b ac c
+ +
+ + + + + +
Bài 2: (3,0 điểm):
Cho hai đa thức:
P(x) =
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 5 7x x x x a
+ + + + +
và Q(x) =
2
8 9x x
+ +
Tìm giá trị của a để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x).
Bài 3: (6,0 điểm):
Giải các phơng trình:

a. 2x
2
+ 2xy + y
2
+ 9 = 6x -
3y
+
b.
2 2 2 2 2 2
(2 2013) 4( 5 2012) 4(2 2013)( 5 2012)x x x x x x x x
+ + = +
Bài 4: (6,0 điểm):
Cho hình vuông ABCD, cạnh a, điểm N thuộc cạnh AB. Tia CN cắt tia DA tại
E. Tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn
thẳng EF.
a. Chứng minh CE = CF
b. Chứng minh ba điểm M, B, D thẳng hàng
c. Đặt BN = b. Tính diện tích tứ giác ACFE theo a và b.
Bài 5: (2,0 điểm):
Cho x, y thoả mãn x
2
+ y
2
= 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x
6
+ y
6
Hết
H v tờn thớ sinh: S bỏo danh:

Ch kớ giỏm th 1

Ch kớ giỏm th 2

CHNH THC
hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi toán 8
Bài Lời giải sơ lợc điểm
Bài 1
(3 điểm)
P =
2 2 2
2013
2013 2013 2013 1
a bc ab c abc
ab a bc b ac c
+ +
+ + + + + +
=
2013
.
2013 2013 2013 1
a b c
abc
ab a bc b ac c

+ +
ữ
+ + + + + +

0,5 điểm

Thay abc = 2013 vào P ta có:
P = abc.






++
+
++
+
++ 1cac
c
abcbbc
b
abcabcaab
abca
1,0 điểm
= abc.






++
+
++
+

++ 1)1.()1.( cac
c
accb
b
cacab
abca
0,5 điểm
= abc.






++
+
++
+
++ 11
1
1 cac
c
caccac
ac
0,5 điểm
= abc.
1
1
++
++

cac
cac
= abc = 2013 0,5 điểm
Bài 2
(3 điểm)
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
( ) 1 3 5 7
8 7 8 15
P x x x x x a
x x x x a
= + + + + +
= + + + + +
0,5 điểm
Đặt
2
8 9x x t+ + =

Khi đó P(x) = (t 2)(t + 6) + a =
2
4 12t t a+ +
= P(t)
1,0 điểm
Chia
2
4 12t t a+ +
cho t ta đợc
2

4 12t t a+ +
=
( )
4 12t t a+ +
0,5 điểm
P(x) chia hết cho Q(x)


2
4 12t t a+ +
chia hết cho t


a 12 = 0

a = 12
0,75 điểm
Vậy với a = 12 thì đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x).
0,25 điểm
Bài 3
(6 điểm)
a. 2x
2
+2xy+y
2
+9 = 6x-
3y
+

2x
2
+2xy+y
2
+9- 6x+
3y +
=0
0,5 điểm

(x
2
+2xy+y
2
) + (x
2
- 6x+9) +
3y
+
= 0 0,5 điểm

(x+y)
2
+ (x-3)
2
+
3y
+
= 0 (1)
0,5 điểm
Vì (x+y)

2
0, (x-3)
2
0,
3y
+
0 với mọi x, y nên
0,5 điểm
(x+y)
2
+ (x-3)
2
+
3y
+
0 với mọi x, y
0,75 điểm
Vậy (1)






=+
=
=+
03
03
0

y
x
yx






=
=
3
3
y
x
0,25 điểm
Kết luận nghiệm
b. Đặt
2
2
2 2013
5 2012
a x x
b x x

= +


=

0,25 điểm
Phơng trình đã cho trở thành:

2 2 2
4 4 ( 2 ) 0 2 0 2a b ab a b a b a b+ = = = =
1,25 điểm
Khi đó ta có:
2 2 2 2
2 2013 2( 5 2012) 2 2013 2 10 4024x x x x x x x x+ = + =
2011
11 2011
11
x x

= =
1,25 điểm
Kết luận nghiệm
0,25 điểm
Bài 4
(6 điểm)
N
A
D
C
B
E
F
M
a. Chứng minh

CDE CBF =


CE = CF
2 điểm
b. Vì M là trung điểm của EF nên
ME = MF = MC = MA=
1
2
EF


MA = MC.
1,0 điểm

M thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng AC
Mà ABCD là hình vuông nên BD là đờng trung trực của đoạn thẳng
AC


M thuộc đờng thẳng BD hay 3 điểm M, B, D thẳng hàng
1,0 điểm
c. Ta có BN = b

AN = a - b
S
ACFE
= S
ACE
+ S

ECF
=
2
1 1
.
2 2
CD AE CE+
0,5 điểm
Tính AE: Ta có
( )AE AN AE a b a a b
AE
ED DC AE AD a b

= = =
+
0,5 điểm
Ta có CE
2
= CD
2
+ DE
2
= a
2
+ (a+AE)
2
= a
2
+
4

2
a
b
0,5 điểm
Tính đợc S
ACFE
=
2
2
( )
2
a a b
b
+
0,5 điểm
Bài 5
(2 điểm)
Ta có A = x
6
+ y
6
=
( ) ( )
3 3
2 2
x y
+
= (x
2
+y

2
)(x
4
+y
4
- x
2
y
2
)
= x
4
+y
4
- x
2
y
2
(Vì x
2
+ y
2
= 1)
= (x
2
+y
2
)
2
- 3 x

2
y
2
= 1 - 3x
2
y
2
0,75 điểm
Vì x
2
y
2
0 với mọi x, y nên 3x
2
y
2
0

1-3x
2
y
2
1 với mọi x, y
Hay A 1
0,25 điểm

max A = 1

x
2

y
2
= 0


2
2
0
0
x
y

=

=

(1)
Mà x
2
+ y
2
= 1 nên (1)


0; 1
0; 1
x y
y x
= =

= =

0,25 điểm
0,5 điểm
Vậy max Q = 1

x = 0 ; y =
1
hoặc x =
1
; y = 0
0,25 điểm
Cỏc chỳ ý khi chm.
1. Hng dn chm ny ch trỡnh by s lc mt cỏch gii. Bi lm ca hc sinh
phi lp lun cht ch, tớnh toỏn chớnh xỏc mi c cho im ti a.
2. Vi cỏc cỏch gii ỳng nhng khỏc hng dn chm, t chm trao i v thng
nht im chi tit nhng khụng c vt quỏ s im dnh cho cõu hoc phn ú. Mi
vn phỏt sinh trong quỏ trỡnh chm phi c trao i trong t chm v ch cho im
theo s thng nht ca c t.
3. im ton bi l tng s im ca cỏc phn ó chm, khụng lm trũn im.