Đề thi toán cấp cụm lớp 10 Cao Bằng

Sở GIáO DụC & ĐàO TạO
CAO BằNG
đề chính thức
Kỳ THI OLYMPIC CHọN HọC SINH GIỏI
KhốI GIAO Ước thi đua số 3
Năm học: 2011- 2012
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150phút, không kể thời gian phát
đề
Câu 1. (4 điểm) Giải các phơng trình sau:
a.
x 1 x 3 =
b.
2 2
x 5x 4 x 6x 5
+ = + +
Câu 2. (4 điểm) Giải hệ phơng trình:
2 2
x y x y 8
x y xy 5

+ + + =

+ + =

Câu 3. (3 điểm) Giải bất phơng trình sau:
7x 1 3x 18 2x 7+ +
Câu 4. (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng:
a.
MA MC MB MD+ = +
uuuur uuur uuur uuuur

b.
MA.MC MB.MD=
uuuur uuur uuur uuuur
Câu 5. (3 điểm) Tính góc A của tam giác ABC biết các cạnh a,b,c thoả mãn hệ thức:
( ) ( )
2 2 2 2
b b a c c a (b c)
=
Câu 6. (3 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
+ +
+ + + + + +
Hết
Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: .
Số báo danh:
ĐáP áN Đề OLYMPIC CHọN HọC SINH GiỏI KhốI GIAO Ước thi đua
số 3 năm học 2011-2012 lớp 10. Môn thi: Toán.
Câu 1: ( 4 điểm)
a)
x 1 x 3 =
ĐKXĐ:
x 3

( ) ( )
2 2
x 5(nhan)
x 1 x 6x 9 x 7x 10 0 x 5 x 2 0

x 2(loai)
=

= + + = =

=

Vậy nghiệm của phơng trình là:
{ }
S 3=
(làm đúng đợc 2điểm)
b)
2 2
x 5x 4 x 6x 5 + = + +
(1)
* Với
2 2 2
x 1
1
x 5x 4 0 (1) x 5x 4 x 6x 5 x
x 4
11


+ + = + + =



(đợc 1đ)
* Với

2 2 2 2
x 5x 4 0 1 x 4, (1) x 5x 4 x 6x 5 2x x 9 0 (vo nghiem) + < < < + = + + =
Vậy phơng trình có nghiệm:
1
S
11

=


(làm đúng đợc 2 điểm)
Câu 2: (4 điểm) Giải hệ phơng trình:
2 2 2
x y x y 8 (x y) 2xy x y 8
x y xy 5 x y xy 5

+ + + = + + + =


+ + = + + =

Đặt
xy P; x y S= + =
. HPT thành
2
2
S 2P S 8 (1)
Tu (2) S 5 P the vao PT (1), (1) (5 P) 2P 5 P 8
S P 5 (2)

+ =
= + =

+ =

2 2
P 11
25 10P P 2P 5 P 8 P 13P 22 0
P 2
=

+ + = + =

=


Với P =11 -> S = -6, với P = 2 -> S = 3
Vậy ta có hệ phơng trình:
x y 6 x y 3
(3)hoac (4).
xy 11 xy 2
+ = + =


= =

Ta có: Hệ (3) vô nghiệm; Hệ (4) có nghiệm: (x;y); (2;1); (1;2)
Kết luận: Hệ phơng trình đã cho có 2 cặp nghiệm: (x;y) ; (2;1) ; (1;2) (đợc 2điểm)
Câu 3: (3điểm) Giải bất phơng trình:

7x 1 3x 18 2x 7+ +
ĐK:
x 6
2
7x 1 3x 18 2 (7x 1)(3x 18) 2x 7 (7x 1)(3x 18) 16x 96x 144 + + + + + +
18
x (loai)
5
x 9(nhan)







Vậy phơng trình có nghiệm:
x 9
(đúng trọn vẹn 3điểm)
Câu 4: (3 điểm)
a) CM:
MA MC MB MD+ = +
uuuur uuur uuur uuuur
Giả sử:
MA MC MB MD MD DA MB BC MB MD 0+ = + + + + =
uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur r
DA BC 0 DA AD 0 (dung) (vi BC AD) + = + = =
uuur uuur r uuur uuur r uuur uuur
Vậy
MA MC MB MD+ = +

uuuur uuur uuur uuuur
(làm đúng đợc 1,5điểm)
b) CM:
MA.MC MB.MD=
uuuur uuur uuur uuuur
Ta có:
( ) ( )
MA.MC MB BC . MD DC MB.MD MB.DC BC.MD BC.DC= + + = + + +
uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
( ) ( )
MA.MC MB.MD DC. MB MD DC MB.MD DC. MB MC = + = +
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
MA.MC MB.MD DC.CB MB.MD = + =
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur
( vì
DC.CB 0=
uuur uuur r
)
Vậy
MA.MC MB.MD=
uuuur uuur uuur uuuur
(làm đúng đợc 1,5điểm)
Câu 5: (3 điểm) Tính góc A của tam giác ABC. Biết các cạnh a,b,c thoả mãn hệ thức:
( ) ( )
2 2 2 2
b b a c c a (b c) =
Ta có:
( ) ( )
2 2 2 2
b b a c c a (b c)

=
3 2 3 2 2 2 3 3 2 2 2
b a b c a c a c a b c b a (c b) (c b)(c cb b ) = = = + +
2 2 2
a c cb b = + +
Mà theo hệ quả của định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

2 2 2 2 2 2 2
b c a b c c cb b cb 1
cosA
2bc 2bc 2bc 2
+ +
= = = =
Vậy
à
A 120=
(đpcm) (làm đúng quy trình đợc trọn vẹn 3 điểm)
Câu 6: (3 điểm) Cho a,b,c > 0. CMR:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
+ +
+ + + + + +
Ta có:
3 3 2 2
a b abc (a b)(a ab b ) abc (a b)ab abc ab(a b c)+ + = + + + + + = + +

3 3
1 1
a b abc ab(a b c)

+ + + +
Tơng tự ta có:
3 3 3 3
1 1 1 1
;
b c abc bc(a b c) c a abc ac(a b c)

+ + + + + + + +
.
Cộng vế với vế ta đợc:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc ab(a b c) bc(a b c) ac(a b c)
+ + + +
+ + + + + + + + + + + +
3 3 3 3 3 3
1 1 1 a b c
a b abc b c abc c a abc abc(a b c)
+ +
+ +
+ + + + + + + +
Vậy :
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
+ +
+ + + + + +
(đúng đợc trọn vẹn 3điểm)