phương pháp số trong cơ học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG















PHƯƠNG PHÁP SỐ
TRONG CƠ HỌC





LÊ CÔNG LẬP

1

Chương 1: Cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn
1. Giới thiệu chung
1.1.Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn

 Trong phân tích kết cấu, thường gặp bài toán yêu cầu xác định trường giá trị của một hay
nhiều đại lượng nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng ) trong một miền xác định.
 Khi xây dựng mô hình toán học cho kết cấu thực, thường nhận được một hay hệ phương
trình vi phân.
o Ví dụ:
 Nếu như miền tính, điều kiện biên hay tải đặt lên kết cấu phức tạp  không thể giải bài
toán theo phương pháp giải tích mà phải sử dụng các phương pháp số như phương pháp
sai phân hữu hạn, phần tử hữu hạn, phần tử biên…
 Trong các phương pháp số kể trên, phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH) là một
phương pháp mạnh trong phân tích kết cấu.
 Khi áp dụng PPPTHH trong phân tích kết cấu tùy thuộc chuyển vị hay ứng suất được lựa
chọn là ẩn số chính, ta có PPPTHH dựa trên chuyển vị hay dựa trên ứng suất.

2
 Trên thực tế, PPPTHH dựa trên ứng suất ít được sử dụng, nên chỉ nghiên cứu phương
pháp phần tử hữu hạn dựa trên chuyển vị.
 Theo PPPTHH dựa trên chuyển vị:
 Kết cấu liên tục được rời rạc hóa hay được coi như gồm các bộ phận kết cấu có
dạng hình học đơn giản ghép lại, gọi là phần tử (hình 1.1).
 Các phần tử được nối với nhau tại một số điểm nhất định nằm trên biên phần tử
gọi là điểm nút hay nút.
 Vì trường chuyển vị thực bên trong kết cấu là chưa biết, giả thiết nó được xấp xỉ
bằng các hàm đơn giản trong phạm vi từng phần tử.
 Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn theo các giá trị chuyển vị tại các nút của phần
tử - gọi là bậc tự do của phần tử
 Sau khi “lắp ghép” các phần tử lại, được hệ phương trình đại số tuyến tính trong
đó ẩn số là chuyển vị tại các nút của kết cấu.
 Bằng cách giải hệ phương trình này, các giá trị chuyển vị tại nút được xác định và
từ đó có thể tìm được biến dạng, ứng suất…. tại bất cứ điểm nào trong kết cấu.

3

Hình 1.1: Rời rạc hóa miền phẳng

 Trong khuôn khổ của học phần Phương pháp phần tử hữu hạn, nghiên cứu các nét cơ bản
của phương pháp phần tử hữu hạn và áp dụng nó trong phân tích (tính toán) kết cấu.
 Các giả thiết nghiên cứu tương tự như Sức bền vật liệu - vật liệu đồng nhất, đẳng hướng,
đàn hồi tuyến tính; biến dạng và chuyển vị của kết cấu đủ nhỏ.

1.2.Sơ lược về sự ra đời của phương pháp
 Năm 1943, nhà toán học Courant sử dụng lời giải dạng đa thức piecewise cho bài toán
xoắn thanh mà về sau được thừa nhận là đã đưa ra những ý tưởng cơ bản của PPPTHH.

4
 Năm 1956, Turner và ctv sử dụng phương pháp độ cứng để giải quyết bài toán phẳng sử
dụng các phần tử tam giác ba nút.
 Năm 1960, Clough lần đầu tiên đưa ra khái niệm phần tử hữu hạn. Sau đó, phương pháp
phần tử hữu hạn đã được thừa nhận về mặt toán học và được áp dụng rộng rãi cho các bài
toán trường như truyền nhiệt, nước ngầm, trường điện từ và các lĩnh vực khác.
 Các phần mềm PTHH cỡ lớn có mục đích chung đã xuất hiện trong những năm 1970.
 Vào cuối những năm 1980, đã có những chương trình cho máy tính cá nhân.
 Cho đến giữa những năm 1990, trên toàn thế giới có khoảng 40.000 bài báo và đầu sách
về PPPTHH và các ứng dụng của nó.
1.3.Các loại phần tử
Theo hình học của phần tử, có các kiểu phần tử thông dụng (hình 1.2).

a) Các phần tử đường


5

b) Các phần tử phẳng







c) Các phần tử khối
Hình 1.2: Các kiểu phần tử cơ bản

1.4.Các chương trình tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn
- Cho nghiên cứu và giáo dục: trong các trường đại học để nghiên cứu và học tập:
+ RDM (Résistance des Materiaux) – Viện Đại học Công nghệ Le Mans – Pháp.
+ CALFEM (Computer Aided Learning of the Finite Element Method) - Đại học Lund -
Thụy Điển.

6
+ FEAP – Đại học California – Mỹ.
- Cho thương mại: tại các công ty, xí nghiệp:
+ SAP (Structural Analysis Programs) - Computers  Structures.Inc (CSI) - Mỹ.
+ STAAD (Structural Analysis And Design) - Mỹ
+ ANSYS - Ansys.Inc - Mỹ.
+ SAMCEF – SAMTECH - Bỉ.
+ CASA (Computer Aided Stuctural Analysis) - Công ty tin học Hài hoà - Việt Nam

2. Bài toán phân tích tĩnh kết cấu
2.1. Khái niệm về bài toán phân tích tĩnh kết cấu
Tìm nội lực, ứng suất, biến dạng, chuyển vị của kết cấu dưới tác dụng của tải tĩnh đã biết.
2.2. Các phương pháp cơ bản trong phân tích tĩnh kết cấu
Có rất nhiều phương pháp đã được xây dựng, tạm thời phân loại như sau:
2.2.1. Theo kết quả nhận được
 Phương pháp giải tích: lời giải là một hàm phụ thuộc vào biến số tọa độ không gian.

7
 Phương pháp trực tiếp (còn gọi là phương pháp véctơ): giải trực tiếp phương trình vi
phân chủ đạo của bài toán.
 Phương pháp năng lượng: dựa vào một nguyên lý năng lượng nào đó như nguyên lý
bảo toàn cơ năng, nguyên lý di chuyển khả dĩ, nguyên lý thế năng toàn phần cực
tiểu….
 Phương pháp số: lời giải là một tập hợp giá trị số của đại lượng cần tính tại một số hữu
hạn điểm trên miền tính. Cụ thể, có các phương pháp sau:
 Phương pháp sai phân hữu hạn.
 Phương pháp phần tử hữu hạn.
 Phương pháp phần tử biên….
2.2.2. Theo ẩn số chính
 Phương pháp lực: lực được coi là ẩn số chính (được tìm trước), là phương pháp được sử
dụng phổ biến trong Sức bền vật liệu
 Phương pháp chuyển vị: lấy chuyển vị làm ẩn số chính, là khởi nguồn của phương pháp
phần tử hữu hạn dựa trên chuyển vị.
 Phương pháp hỗn hợp: coi lực và chuyển vị là độc lập nhau và tìm đồng thời.
2.3. Nhắc lại Lý thuyết về thanh chịu lực dọc trục

8
 Xét 1 thanh thẳng có tiết diện không đổi chịu lực dọc trục như trên hình 1.3.
 Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị:

dx
du
x


(1.1)
u = chuyển vị dọc trục của mặt cắt ngang có tọa độ x,

x
= biến dạng dài tỉ đối tại đó.

Hình 1.3

 Nếu vật liệu chỉ làm việc trong miền đàn hồi, theo định luật Hooke:

xx
E


(1.2)

9
E = mô-đun đàn hồi của vật liệu,

x
= ứng suất pháp trên mặt cắt ngang,

x
= biến dạng dài tỉ đối.

 Thay (1.1) vào (1.2)  mối quan hệ giữa ứng suất và chuyển vị:

dx
du
E
x


(1.3)
 Nếu 
x
= const trên mặt cắt ngang  quan hệ giữa lực dọc và chuyển vị:

dx
du
EAN 
(1.4)
 Phương trình vi phân chủ đạo của bài toán:

 
0
2
2
 xq
dx
ud
EA
(1.5)
A = diện tích tiết diện,
q(x) = cường độ của lực phân bố (hình 1.3)

 Mật độ năng lượng biến dạng:

10

2
2
2
1
2
1
2
1
x
x
xx
E
E
u




(1.6)
 Năng lượng biến dạng tích lũy trong thanh có chiều dài L:










L
dx
dx
du
EAU
0
2
2
1
(1.7)
Ví dụ 1.1
Biết L, A và E. Xác định u và N theo phương pháp trực tiếp.

Hình 1.4
Lời giải
Phương trình vi phân chủ đạo:
q
x
L

11

0
2
2
 q
dx

ud
EA
(a)
Và các điều kiện biên:
0)0( xu
(b)
0)( 
Lx
dx
du
EALxN
(c)
Tích phân 2 vế của phương trình (a) 2 lần:
Cqx
dx
du
EA 
(d)
DCx
qx
EAu 
2
2
(e)
Từ các ĐKB (b), (c) và các phương trình (d), (e), tìm được các hằng số tích phân:

qLC 
(f)

0D

(g)
Thay (f) và (g) vào (e), được chuyển vị:

12
 







2
2
1
xLx
EA
q
xu
(h)
Lực dọc:

   
xLq
dx
du
EAxN 
(i)
3. Các phương pháp năng lượng
3.1. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

 Di chuyển khả dĩ của hệ = di chuyển tưởng tượng, vô cùng bé từ vị trí cân bằng của hệ
(khi tất cả các tải đã đặt lên hệ) và phù hợp với liên kết của hệ.
 Ngoại lực và nội lực không thay đổi khi hệ thực hiện di chuyển khả dĩ.
 Công khả dĩ = công được thực hiện bởi tất cả các lực đặt lên hệ, bao gồm cả ngoại lực và
nội lực, trên di chuyển khả dĩ.
 Năng lượng biến dạng khả dĩ = lượng thay đổi năng lượng biến dạng trong hệ do thực
hiện di chuyển khả dĩ.
 Năng lượng biến dạng khả dĩ bằng về cường độ nhưng ngược dấu công khả dĩ của nội
lực.

13
 Nguyên lý di chuyển khả dĩ: “Hệ ở trạng thái cân bằng nếu và chỉ nếu công khả dĩ của
hệ lực đặt lên hệ trên di chuyển khả dĩ bất kỳ triệt tiêu”
 Nói cách khác, hệ ở trạng thái cân bằng khi:
W = U (1.8)
W = công khả dĩ của ngoại lực,
U = năng lượng biến dạng khả dĩ.
Ví dụ 1.2
Xác định chuyển vị của điểm đặt lực. Biết E,A và 2A.


Hình 1.5
Lời giải
Gọi u là di chuyển khả dĩ tại điểm đặt lực, có chiều đi từ trái sang phải.
Công khả dĩ của ngoại lực:
2L

L

P

14

uP.W


(a)
Gọi u là chuyển vị của điểm đặt lực, có chiều đi từ trái sang phải
Biến dạng của đoạn thanh bên trái và phải lần lượt là

u
1

;
u
2

(b)
NLBD tích luỹ trong hệ bằng tổng năng lượng trong các đoạn:

22
2
2
121
4
52
2
1
22

1
u
L
EA
L
EA
L
EA
UUU 

(c)
Năng lượng biến dạng khả dĩ:

uu
L
EA
uu
L
EA
U


2
5
2.
4
5

(d)
Theo NLDCKD:

U

W

hay
uu
L
EA
uP

.
2
5
. 
(e)
Do NLDCKD đúng cho mọi u  0, từ (e) suy ra:

15

EA
PL
u
5
2

(f)
3.2. Nguyên lý thế năng toàn phần cực tiểu
 Được suy ra từ NLDCKD và được sử dụng rộng rãi trong PPPTHH.
 Nội dung:“Hệ đàn hồi ở trạng thái cân bằng nếu và chỉ nếu thế năng toàn phần đạt giá

trị cực tiểu”.
 Thế năng toàn phần:
WU 
(1.9)
U = năng lượng biến dạng của hệ,
W = công của ngoại lực đặt lên hệ.
 Theo nguyên lý thế năng toàn phần cực tiểu:
Hệ đàn hồi cân bằng 
min


0 WU

(1.10)
Ví dụ 1.3
Tìm chuyển vị của điểm đặt lực, biết E, P.

16

Hình 1.6
Lời giải
Gọi u là chuyển vị của điểm đặt lực, có chiều đi từ trái sang phải (trùng với chiều của P).
Công của ngoại lực:

P.uW 
(a)
NLBD tích luỹ trong hệ:

2
2

3
u
L
EA
U 
(b)
Thế năng toàn phần của hệ:

Puu
L
EA
WU 
2
2
3
(c)
Theo NLTNTPCT, hệ cân bằng khi:
L
L
2A
A
P

17

0


u
(d)

Thay (c) vào (d) và thực hiện đạo hàm, được:
03  Pu
L
EA
(e)
Giải phương trình (e), được chuyển vị của điểm đặt lực:

EA
PL
u
3

(f)
3.3. Phương pháp Rayleigh – Ritz
 Được đề xuất bởi Lord Rayleigh trong những năm 1880 và được tổng quát hóa bởi
Walter Ritz khoảng 35 năm sau.
 Một cách áp dụng NLTNTPCT và cho phép tìm lời giải gần đúng.
 Giả thiết một trường chuyển vị thoả mãn ĐKB động học của bài toán. Thường thì
trường chuyển vị được chọn dưới dạng:
   



N
i
ii
xfxu
1

(1.11)

18

i
= các hệ số chưa biết, được gọi là các tọa độ tổng quát,
f
i
(x) = các hàm liên tục phụ thuộc tọa độ x, thỏa mãn các điều kiện biên động học
(về chuyển vị) và độc lập tuyến tính.
 Áp dụng NLTNTPCT để xác định các tọa độ tổng quát. Tức cho:
0


i

(1.12)
để nhận được 1 hệ phương trình đại số tuyến tính.
 Giải hệ phương trình trên, ta nhận được các hệ số 
i
cần tìm.









19

Ví dụ 1.4
Xác định u và N trong thanh theo phương pháp Rayleigh - Ritz. Biết thanh có L, A và E.

Hình 1.7
Lời giải
Giả sử hàm chuyển vị trong thanh có dạng:

 
xxu
1


(a)
Dễ nhận thấy, u(x) thỏa mãn ĐKB về chuyển vị (u(0) = 0)
NLBD trong thanh:

2
1
2
0
2
1
2
1

EALdx
dx
du
EAU
L










(b)
Công của ngoại lực:
q
x
L

20

 
1
2
0
2
1
W

qLdxxqu
L


(c)

Thế năng toàn phần của hệ:

1
22
1
2
1
2
1

qLEALWU 
(d)
Theo NLTNTPCT:
0
2
1
2
1
1



qLEAL


(e)
suy ra:
EA
qL
2

1


(f)
Thay (f) vào (a), được chuyển vị của thanh:

 
x
EA
qL
2
xu 
(g)
Suy ra lực dọc trong thanh:
 
2
qL
dx
du
EAxN 
(h)

21

 So sánh lời giải gần đúng với lời giải chính xác (ví dụ 1.1):
 Lời giải xấp xỉ chuyển vị khá gần với lời giải chính xác và nó cho kết quả chính
xác tại đầu tự do của thanh.
 Lực dọc khác khá xa kết quả chính xác. Điều kiện biên về lực cũng không được
thỏa mãn tại 2 đầu thanh.
 Có thể cải thiện lời giải xấp xỉ bằng cách chọn hàm chuyển vị gần với chuyển vị thật trong

thanh. Chẳng hạn, nếu lấy
 
2
21
xxxu


, sẽ nhận được lời giải chính xác.


______ theo phương pháp trực tiếp (chính xác)
x
qL
2
/2EA
u
qL
x
N
qL/2

22
_ _ _ _ theo phương pháp Rayleigh - Ritz
Hình 1.8: So sánh lời giải gần đúng với lời giải chính xác
Ví dụ 1.5
Tìm u của thanh chịu lực như hình 1.9 theo phương pháp Rayleigh-Ritz.


Hình 1.9
Lời giải

Gọi chuyển vị dọc trục của A, B và C lần lượt là u
A
, u
B
và u
C
.
Do thanh chỉ chịu lực tập trung, chuyển vị dọc trục trong thanh là tuyến tính. Chọn hàm chuyển
vị dọc trục trong đoạn AB và BC:

 
xxu
211


với 0  x  L (a)
 
xxu
432


với L  x  2L (b)
Biểu diễn các chuyển vị trên theo các chuyển vị tại 2 đầu mỗi đoạn thanh theo cách như sau.
L
L
2A
A
P
x
A

B
C

23
Với thanh AB:

 
11
0

 xuu
A


 
LLxuu
B 211




A
u
1

(c)

L
uu
AB



2

(d)
thay (c) và (d) vào (a), được:

 
BA
u
L
x
u
L
x
xu 






 1
1
với 0  x  L (e)
Tương tự, với thanh BC:

 
CB
u

L
x
u
L
x
xu













 12
2
với L  x  2L (f)
Như vậy, để xác định trường chuyển vị trong thanh, cần xác định giá trị của u
A
, u
B
và u
c
. Các
chuyển vị này đóng vai trò như các tọa độ tổng quát trong phương pháp Rayleigh - Ritz.

Tuy nhiên, do đã biết u
A
( = 0), chỉ cần xác định u
B
và u
C
theo phương pháp Rayleigh – Ritz.

24
NLBD tích luỹ trong thanh:

 
2
2
2
0
2
2
0
1
21
2
2
1
2
2
1
BCB
LL
uu

L
EA
u
L
EA
dx
dx
du
EAdx
dx
du
EAUUU
















(g)
Công của ngoại lực:

C
uPW .
(h)
Thế năng toàn phần:

 
CBCB
uPuu
L
EA
u
L
EA
WU .
2
2
2

(i)
Áp dụng NLTNTPCT:















0
0
C
B
u
u
(j)
thực hiện các đạo hàm, ta có: