BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
1
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN


Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)
1
sin
2
x

b)
 
0
3
sin 2 30
2
x   

Bài 4. Giải các phương trình sau:
a)
sin 2 1
6
x

 
 

 
 
b)
   
o o
sin 60 sin 30 2x x
   

c)
 
sin 3 2
x
  
d)
 
1
sin 2 10
3
x
 

Bài 5. Giải các phương trình sau:
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
2
a)
 
o o
cos 3 15 cos150
x  

b)
cos 3 cos
3 2
x x
 
   
  
   
   

c)
 
o
cos 30 1
x
 
d)
 
3
cos 2
2
x

  

e)
 
o
2
cos 60

3
x
 
f)
 
cos 3 6 3
x
 

Bài 6. Giải các phương trình sau:
a)
2
3
sin 0
4
x
 
b)
2
1
cos 0
2
x
 
c)
   
o o
cos 20 cos 2 10 0
x x
   

d)
cos sin 2
4
x x

 
 
 
 
e)
sin 5 sin 3 sin 4 sin 2 0
x x x x
 

Bài 7. Giải phương trình sau:
1 sin
0
sin 4
x
x


(1)
Bài 8. Giải các phương trình sau:
a)
 
cos cos 3 2 0
3
x x



 
   
 
 

b)
   
o o
sin 2 60 cos 40
x x  

c)
sin 4 sin10 sin 7 sin 0
x x x x
 

d)
2 2
sin 3 sin 0
x x
 

e)
cos5 cos3 cos4 cos2 0
x x x x
 

f)

cos 2 sin 3 sin 3 1x x x  

Bài 9. Giải phương trình sau:
tan 2sin 1 0
3
x
x
 
 
 
 

Bài 10. Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho:
a)
1
sin 2
6 2
x

 
 
 
 
trong khoảng
;
3 6
 
 

 

 

b)
3
cos
2 2
x

trong khoảng
 
2 ;4
 

Bài 11. Giải các phương trình sau:
a)
 
sin 8cos 1
x

b)
   
cos sin cos 3 sinx x
 


Bài 12. Giải các phương trình sau:
a)
tan 1x 
b)
 

o
1
tan 2 30
3
x   c)
tan 100
x


d)
3
tan 1
5
x



với
7
2 6
x
 
  
e)
 
3
tan 2 1
2
x  

Bài 13. Giải các phương trình sau:
a)
cot 1
x
 
b)
1
cot
3
x  c)
 
o
3
cot 45
3
x 
d)
 
cot 2 1
x

  

e)
   
o o
cot 30 tan 2 90
x x  

Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
3
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI, BẬC BA ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
2sin 3 0
x
 
(1) b)
cos2 5cos 4 0
x x
  
(2) c)
cos2 7sin 6 0
x x
  
(3)
d)
2
1
3tan 1 0
cos
x
x
  
e)
2
1

4cot 2 0
sin
x
x
  
f)
2
2sin 3sin 5 0
x x
  

g)
2 2
2sin cos 4sin 2 0
x x x
   
h)
2 2
9cos 5sin 5cos 4 0
x x x
   
i)
 
2
5sin sin 1 cos 3
x x x
  

k)
2 2

π π
cos 3 cos 3 3cos 3 2 0
2 2
x x x
   
     
   
   
l)
2
cos2 sin 2cos 1 0
x x x
   
(CĐSPHN 97)
Bài 3. Giải các phương trình sau
a)
2
2sin 3sin 1 0
x x
  
b)
cos2 5sin 3 0
x x
  
c)
cos3 2cos 2 2
x x
 

d)

4 4
sin cos 1 2sin
2 2
x x
x
  
e)
2cos 2 cos 1 cos 2 cos3x x x x  

f)
2
1 5sin 2cos 0
x x
  
với
cos 0
x

g)
5cos cos2 2sin 0
x x x
  

Bài 4. Giải các phương trình sau:
a)
   
4 sin 3 cos2 5 sin 1
x x x
  
b)

sin 3 cos 2 1 2sin cos2x x x x  

c)
cos3 cos2 cos 1x x x  
(D2006) d)
4 2
4sin 12cos 7
x x
 
e)
2
6sin cos4 14
x x
 

Bài 5. Giải các phương trình sau
a)
2 3
2 2
2
cos cos 1
cos tan
cos
x x
x x
x
 
  b)
2 2
1 1 8

cos 2 sin 2 3x x
 

Bài 6. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
2
sin 4sin 3 2 0
x x m
   
(1)
Bài 7. Cho phương trình
 
 
2 2
sin 1 2sin cos 0
x x m x
   
(1). Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
;0
2
x

 
 
 
 

Bài 8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
3
;
2 2

x
 
 

 
 
:
 
cos2 2 1 cos 1 0
x m x m
    

Bài 9. (ĐH Cảnh sát nhân dân 99) Tìm các nghiệm của phương trình:
2
1 5sin 2cos 0
x x
  
thỏa mãn điều
kiện
cos 0
x

.
Bài 10. (CĐ Công nghiệp IV – TP.HCM 00) Cho phương trình:
 
2
cos 2 1 cos 2 1 0
x m x m
    

1. Giải phương trình khi
1
2
m


2. Tìm m để phương trình có 4 nghiệm
 
0;2
π
x 


Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
4
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT (THUẦN NHẤT) ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1.
sin 3cos 1x x 

2.
4sin 3cos 5
x x
 

3.
3sin 2 2cos 2 3
x x
 

4.
3 cos3 sin 3 2
x x 
5.
3
3sin 3 3 cos9 1 4sin 3x x x
   (ĐH Mỏ địa chất HN 1995)
6.
cos7 .cos5 3sin 2 1 sin 7 .sin 5x x x x x
   (ĐH Mỹ Thuật CNHN 1996)
7.
π π π
3sin 4sin 5sin 5 0
3 6 6
x x x
     
     
     
     

8.
3 3
4sin cos3 4cos sin3 3 3 cos4 3
x x x x x
  
(HVCông nghệ BCVT 01)
9.
3
2sin 4 3cos2 16sin cos 5 0

x x x x
   

10.
3
4sin 1 3sin 3 cos3x x x
   (CĐ Hải quan TP.HCM 98)
11.
2 2
cos 3sin 2 1 sinx x x
   (ĐH Kỹ thuật công nghệ TP.HCM 00)
12.
 
4 4
4 sin cos 3sin 4 2
x x x
  

Bài 2. (ĐHKTQD 1997) Tìm các nghiệm
2 6
;
5 7
x
 
 

 
 
của phương trình
cos7 3sin 7 2

x x
  

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI SIN X VÀ COS X
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
2 2
sin 2sin cos 3cos 0
x x x x
  
(1) b)
2 2
sin 6sin cos 3cos 1
x x x x
   
(2)
V. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC BA ĐỐI VỚI SIN X VÀ COS X
Bài 1. Giải các phương trình sau
a)
3 2 2 3
2sin sin cos 4sin cos cos 0
x x x x x x
   
b)
3
6sin 2cos 5sin 2 cosx x x x
 

c)
3

2sin cosx x

d)
2 2
sin 2sin cos cos 0
x x x x
  
e)
2 2
6sin sin cos cos 2
x x x x
  

f)
2
sin 2 2sin 2cos 2x x x
 
g)
 
2 2
sin 3 1 sin cos 3 cos 0
x x x x
   

h)
   
3
4sin cos 4sin cos 2sin cos 1
2 2
x x x x x x

 
 
   
      
   
   

i)
3 3
2sin 4cos 3sinx x x
 
k)
3
sin 4sin cos 0
x x x
  
l)
3
2cos sin 3x x


m)
2 2 2 2
3
3sin cos 3sin cos sin cos sin cos
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x x x x x x x x
 
   
    

   
   
n)
sin 2 2cot 3
x x
 

Bài 2. Cho phương trình
 
sin 1 cos
cos
m
m x m x
x
  
(1)
a) Giải phương trình với
1
2
m


b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
5
VI. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SIN X, COS X, TAN X, COT X
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)

 
2 sin cos sin cos 1x x x x  
b)
  
1 sin 1 cos 2
x x
  

c)
  
2
1 sin cos sin cos
2
x x x x  
d)
 
2sin 2 2 sin cos 1 0
x x x
   

e)
sin cos 2sin 2cos 2
x x x x
  
f)
1 tan 2 2sinx x
 

g)
2 3

sin cos 1 sin cos
3
x x x x
  
i)
1 sin 2 sin cosx x x  

Bài 2. Giải phương trình
2 3 2 3
tan tan tan cot cot cot 6
x x x x x x
     

VII. PHƯƠNG TRÌNH NỬA ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SIN X VÀ COS X
Bài 1. Giải các phương trình sau :
a)
sin cos 7sin 2 1x x x  
b)
sin cos 4sin 2 1x x x  

c)
 
 
1 2 sin cos 2sin cos 1 2
x x x x     d)
sin 2 2 sin 1
4
x x

 

  
 
 

VIII. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH
Bài 1. Giải các phương trình sau
a)
sin sin 2 sin 3 1 cos cos 2x x x x x    

b)
sin sin 2 sin 3 cos cos 2 cos3x x x x x x    

c)
1 cos cos 2 cos3 0
x x x
   
(ĐH Nông lâm TPHCM)
d)
cos cos 2 cos3 cos 4 0
x x x x
   
(HVQHQT 99)
e)
sin sin 2 sin 3 sin 4 sin 5 sin 6 0
x x x x x x
     
(ĐHSP Vinh 97)
f)
sin 3 sin sin 2 0
x x x

  
(ĐH Đà Nẵng 97 khối B)
g)
cos10 cos8 cos6 1 0
x x x
   
(
h)
cos cos3 2cos5 0
x x x
  
(HVQHQT 00)
i)
9sin 6cos 3sin 2 cos 2 8
x x x x
   
(ĐH Ngoại thương HN 97)
j)
1 sin cos3 cos sin 2 cos 2x x x x x    
(ĐH Ngoại thương TPHCM 00)
k)
sin 4 tanx x
(ĐH Y HN 00)
l)
  
2
2sin 1 2sin 2 1 3 4cosx x x
   

m)

 
cos sin cos sin cos cos2x x x x x x
 
(ĐH Y khoa HN 96)
n)
  
2
2sin 1 3cos4 2sin 4 4cos 3
x x x x
    
(ĐH Hàng hải 00)
o)
3 3
cos sin sin cosx x x x
  
(ĐH Đà Nẵng 99)
IX. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
1. Phương pháp tổng hai số không âm
Dạng
0
0
0
0
0
A B
A
A
B
B
 





 
 







Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
6
Ví dụ: Giải các phương trình sau
a)
2 2 4
1
sin sin 3 sin sin 3 sin
4
x x x x x
  

b)
2 2
4cos 3tan 4 3 cos 2 3 tan 4 0
x x x x
    

c)
4cos 2cos 2 cos 4 7
x x x
   

2. Phương pháp chặn trên, chặn dưới hai vế
Dạng
A B
A M
A M
B M
B M





 
 






Ví dụ: Giải các phương trình sau
a)
 
sin cos 2 2 sin 3x x x

   b)
 
2
cos 4 cos 2 5 sin 3x x x
  
c)
7 9 10
sin cos 2 sinx x x
  

3. Phương pháp bắc cầu
Dạng
A B C
A M A M
B N B N
M N C
 


 



 
 



 


Ví dụ: Giải các phương trình sau
a)
4 17
sin cos 1x x 
b)
sin 2 cos8 1x x 
c)
5 5
sin cos cos2 sin 2 1 2
x x x x    

X. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN
Ví dụ: Giải các phương trình sau
a)
2
cos 2cos 2 2cos 1x x x   
b)
 
 
1 sin 1 sin 1 sin 1 1
x x x
     

XI. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Ví dụ: Giải các phương trình sau
a)
1
tan cot
cos

x x
x
 
b)
1
cot tan
sin
x x
x
 

c)
sin cos sin cos 2
x x x x
   
d)
cos sinx x


BÀI TẬP LÀM THÊM
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1. (KA_14)
sin 4cos 2 sin 2x x x  

2. (KB_14)
 
2 sin 2cos 2 sin 2x x x
  
3. (KA_13)
1 tan 2 2 sin

4
x x

 
  
 
 

4. (KB_13)
2
sin 5 2cos 1x x 

5. (KD_13)
sin 3 cos 2 sin 0
x x x
  

6. (KA_12)
3 sin 2 cos2 2cos 1x x x  

7. (KB_12)
 
2 cos 3sin cos cos 3 sin 1x x x x x   

8. (KD_12)
sin 3 cos3 sin cos 2 cos 2x x x x x
   

Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c

7
9. (CĐ_12)
2cos 2 sin sin 3x x x 

10. (KA_11)
2
1 sin 2 cos2
2 sin sin 2
1 cot
x x
x x
x
 



11. (KB_11)
sin 2 cos sin cos cos 2 sin cosx x x x x x x   

12. (KD_11)
sin 2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
  



13. (CĐ_11)

2
cos 4 12sin 1 0
x x
  

14. (KA_10)
 
1 sin cos2 sin
1
4
cos
1 tan
2
x x x
x
x

 
  
 
 


.
15. (KB_10)
 
sin 2 cos 2 cos 2cos2 sin 0
x x x x x
   
.

16. (KD_10)
sin 2 cos 2 3sin cos 1 0
x x x x
    
.
17. (CĐ_10)
 
5 3
4cos os 2 8sin 1 cos 5
2 2
x x
c x x
  
.
18. (KA_09)
 
  
1 2sinx cos
3
1 2sin 1 sinx
x
x


 
.
19. (KB_09)
 
3
sinx cos sin 2 3 os3 2 os4 sin

x x c x c x x
   
.
20. (KD_09)
3 os5 2sin 3 cos 2 sinx 0
c x x x
  
.
21. (CĐ_09)
 
2
1 2sinx cos 1 sinx cosx x
   
.
22. (KA_08)
1 1 7
4sin
3
sinx 4
sin
2
x
x


 
  
 
 
 


 
 

23. (KB_08)
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x
   .
24. (KD_08)
 
2sin 1 cos2 sin 2 1 2cosx x x x
   

25. (CĐ_08)
sin 3 3 cos3 2sin 2x x x
  .
26. (KA_07)
   
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x
    
.
27. (KB_07)
2
2sin 2 sin 7 1 sinx x x
  
.
28. (KD_07)
2
sin cos 3 cos 2

2 2
x x
x
 
  
 
 
.
29. (KA_06)
 
6 6
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
 


.
30. (KB_06)
cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
 
  
 
 
.

31. (KD_06)
cos3 cos 2 cos 1 0
x x x
   
.
32. (KA_05)
2 2
cos 3 cos 2 cos 0
x x x
 
.
33. (KB_05)
1 sin cos sin 2 cos 2 0
x x x x
    
.
34. (KD_05)
4 4
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
 
   
     
   
   
.
35. (KB_04)
 

2
5sin 2 3 1 sin tanx x x
  
.
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ d¹y nghÒ huyÖn ViÖt Yªn
Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
8
36. (KD_04)
  
2cos 1 2sin cos sin sinx x x x x
   
.
37. (KA_03)
2
cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
   

.
38. (KB_03)
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
  

.
39. (KD_03)
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x

 
  
 
 
.
40. (KB_02)
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x
  
.
Bài 2. (KA_02) Tìm nghiệm thuộc khoảng
 
0; 2

của phương trình:
cos3 sin3
5 sin cos 2 3
1 2sin 2
x x
x x
x


 
  
 

 
.
Bài 3. (KD_02) Tìm x thuộc đoạn
 
0;14
nghiệm đúng phương trình:
cos3 4cos 2 3cos 4 0
x x x
   
.
Bài 4. Giải các phương trình sau:
1.
cos cos 2 cos3 cos 4 0x x x x   

2.
2 2 2 2
sin sin 3 cos 2 cos 4x x x x  

3.
 
3
2
cos 2 2 sin cos 3sin 2 3 0
x x x x
    
(ĐHQG TP.HCM A 99)

4.
 
1
3sin 2cos 3 1 tan
cos
x x x
x
   
(CĐSPHN 99)
5.
   
4 sin 3 cos 2 5 sin 1
x x x
  
(ĐH Luật HN 99)
6.
   
2
sin tan 1 3sin cos sin 3
x x x x x
   
(ĐHNN I B 99)
7.
3
2sin cos 2 cos 0
x x x
  
(ĐHNN I A 99)
8.
4 4

sin cos cos 2x x x
 

9.
6 6
7
sin cos
16
x x 

10.
 
6 6
16 sin cos 1 3sin 6 0
x x x
   
(HVCTQGHCM 00)
11.
2 2 2
3
cos cos 2 cos 3
2
x x x
  

12.
2 2 2
cos cos 2 cos 3 1x x x  

13.

2 2 2
3
sin sin 2 sin 3
2
x x x
  

14.
2 2 2
sin 3 sin 2 sin 0
x x x
  
(ĐHYHN 98)
15.
3 3 3
cos sin3 sin cos3 sin 4x x x x x
 
(ĐH Ngoại thương 99)