tong hop pt,bpt vo ty

ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Page 1 0949088998



Tôi ñưa ra ở ñây một số kĩ năng biến ñổi có thể nghĩ ñến trong quá trình giải phương trình, bất
phương trình vô tỷ. Một số bài tập có thể giải bằng nhiều cách khác nhau mà, tôi cố gắng sắp xếp cách
tốt nhất ñể bạn ñọc ñược biết. Một ñiều quan trọng là bạn ñọc cần tự mình luyện giải một lượng bài
tập nhất ñịnh ñể nắm ñược các kĩ năng ñó.
 Kĩ năng thứ nhất: Lũy thừa
2
0
g
f g
f g

≥


= ⇔


=


,
3
3
f g f g
= ⇔ =
;
( ) ( )

2
2
0
0
0
0 1 2
0
f
g
g
f g f f g
g
f g
f g


≥






>



<






< ⇔ ≥ > ⇔




≥





<





>





<1>.
Giải phương trình:
( )
2 2 3

1 1 2 1
x x x x x
− − + + − = +
ð/s: x = 1
<2>.
Giải phương trình:
1 1 1
1
x
x
x x x
−
− − − =
. ðáp số: x = 1 và
1 5
2
+
=x

<3>.
Giải phương trình:
2 2
3 19 42 7 6 6
x x x x
− + + − + − =
. ð/s: x = 6; 2; 3/2; 7/2
<4>.
Giải phương trình:
1 1
2

1 3
x
x
x x
+
= −
+ − −
ð/s :
2 7 2 7
;
2 2
x x
− +
= =
.
<5>.
Giải phương trình:
2 2
2 2
12 12
12
x x
x x
− + − =
. ðáp số x =
±
2
<6>.
Giải phương trình:
3 3

x x x
− = +
. ðáp số:
3
10 1
3
−

<7>.
Giải phương trình:
3
2
1
1 1 3
3
x
x x x x
x
+
+ + = − + + +
+
. ðáp số:
1 3, 1 3
x x= − = +

<8>.
Giải phương trình:
2 2
5 6 3 21 19 42
x x x x x x

− + + − + + = + −
. ðáp số: x = 3; x = 6; x = 11
<9>.
Giải phương trình:
( )( ) ( )( )
2 2 5 2 10
x x x x x
− − = + − −
. ðáp số:
2
5515
;1
+
==
xx

<10>.
Gpt:
4 5 3 1 2 7 3
x x x x
+ + + = + + +
;
3 3 1 2 2 2
x x x x
+ + + = + +
. ð/s: x = 1
<11>.
Gpt:
2
2 3 1 11 33 3 5

x x x x x
+ + + = − + + −
. ð/s: x = 3; x = 8.
<12>.
Giải các phương trình, bpt:
3 3 3
1 1 5
x x x
+ + − =
;
1 6 3 1
2
1 3
x x
x x
− + −
=
− + −
;
4 1 2
x x
− − = −
;
4 3 10 3 2
x x
− − = −
;
2 1 3
x x
− > −

;
2
2 8 8
x x x
− − > −
;
1 4 2 3
x x x
+ + − > +
;
16 17 8 23
x x
+ = −
;
2
4 2 2
x x x
− + = −
;
5 1 3 2 1 0
x x x
− − − − − =
;
3 2 1 3 2
x x x
+ − − = −
;
3 4 2 1 3
x x x
+ − + = +

;
2
6 5 8 2
x x x
− + − > −
;
2 1 8
x x
− < −
;
2
2 1 1
x x x
− + + > −
;
( )( )
1 4 2
x x x
+ − > −
;
5 4 3
x x x
+ − + > +
;
5 1 1 2 4
x x x
− − − > −
;
2 3 5 2
x x x

+ − − < −
;
5 1 4 1 3
x x x
− − − <
;
1 3 4
x x
+ > − +
;
2
51 2
1
1
x x
x
− −
<
−
;
2 4 3
2
x x
x
− + −
>
;
3 3 3
2 1 1 3 1
x x x

− + − = +
ð/s: x = 7/6
<13>.
Giải bất phương trình:
− −
+ − >
− −
2
2( 16) 7
3
3 3
x x
x
x x
. ð/s:
> −
10 34
x

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
PT, BPT Vô tỷ Page 2 22/10/2013


<14>.
Giải bất phương trình:
3 2 1
x x
− < −
. ðáp số:

3
x
≥
;
2
1 3
x x x
− + ≤ +
. ðáp số:
8
7
x
≥−

3 2 4 3
x x
− > −
. ðáp số:
2
1
3
x
≤ <
;
2
3 4 1
x x x
+ − ≥ +
. ðáp số:
4 1 41

; ;
3 4
x
 
 
+





∈ −∞ − ∪ +∞













2
3 10 2
x x x
− − ≥ −
. ðáp số:

2
x
≤−
và
14
x
≥
;
5 1 1 2 4
x x x
− − − > −
. ðáp số:
2 10
x
≤ <

3 4 1 3
x x x
+ − + < +
;
3 7 2 8
x x x
+ − − > −
. ðáp số: [ - 4; 5) và (6; 7]
<15>.
Giải bất phương trình :
12 3 2 1
x x x
+ ≥ − + +
;

2 7 5 2 3 2
x x x
+ − − ≥ −

<16>.
Giải bất phương trình
2
3 4 2
2
x x
x
− + + +
<
. ðáp số:
[ )
9 4
; 1;0
7 3
x
 


∈ ∪ −






<17>.

Giải bất phương trình:
2
1 1
2 1
2 3 5
x
x x
>
−
+ −
ð/s:
( )
5 3
; 1; 2;
2 2
S
   
 
 
= −∞ − ∪ ∪ +∞
 
 
 
 
   

<18>.
Giải bất phương trình:
2 2
2 3 2

x x x x x
− + + ≥
ðáp số:
( ] { }
25
; 3 0 ;
8
 


−∞ − ∪ ∪ +∞






<19>.
Giải bất phương trình:
3 1
2 1 1 3 3
x
x x x
−
≥
− − + − −
. ð/s: S = [4; 5]
<20>.
Giải bất phương trình:
2

2
( 6) 2 0
x x x x
− − − − ≥
. ðáp số:
(
]
{
}
[
)
; 2 1 3;
−∞ − ∪ − ∪ +∞
.
<21>.
Giải bất phương trình:
(
)
2 2
3 2 3 2 0
x x x x
− − − ≥
. ðáp số:
{ }
[
)
1
; 2 3;
2
 

−∞ − +∞


 
∪ ∪

<22>.
Giải bất phương trình:
2 2
2 11 15 2 3 6
x x x x x
+ + + + − ≥ +
ðáp số:
7 3
; ;
2 2
S
   


 
= −∞ − ∪ +∞




 
 
 

<23>.
Giải bất phương trình:
4 1 2
x x
− − > −
ðáp số:
13 5
;1
2
S
 
−
=



 

<24>.
Giải bất phương trình:
2
51 2
1
1
x x
x
− −
<
−
ðáp số:

(
)
1; 1 2 3 1 2 13; 5
S
 
= − + ∪ − − −
 

<25>.
Giải bất phương trình:
4 1 2
x x
− − > −
ðáp số:
13 5
;1
2
S
 
−
=



 

<26>.
Giải bất phương trình:
2
4 2 3

3
2
x x x
x
− + − −
>
−
. ð/s:
[
)
{
}
1;
\
2
+∞

<27>.
Giải bất phương trình:
2
1 2 1 2 2 .
x x x
− + + ≥ −
ðáp số:
1 1
;
2 2
 
 
−

 
 

<28>.
Gpt:
2
3 33 3 2 7
x x x
+ + = +
. ð/s: x = 1; x = 4; x = 64
<29>.
2
4 2
1
3 2
x x
x x x
−
≤
+ −
. ð/s: x < 0
<30>.
2 2 2
3 2 4 3 2 5 4
x x x x x x
− + + − + ≥ − +
. ðáp số: x = 1 và x
4
≥
nhóm tích

<31>.
( )
2 2
3 10 12
x x x x
+ − = − −
(bình phương);
2 2
( 1) 4 1
x x x
− − = −
. ð/s: - 5/2 nhóm tích
<32>.
2 2
2 8 6 1 2 2
x x x x
+ + + − = +
. ð/s: 1; - 1; -25/7 nhóm tích
<33>.
Giải bất phương trình:
2 2
4 12 6 2
x x x x x
− − + − − ≥ +
. ð/s:
(
]
[
)
; 2 7;

−∞ − ∪ +∞

<34>.
Giải phương trình:
2 2
2 2 1 3 4 1
x x x x x
+ + − = + +
ð/s:
1 5
2
x
+
=
<35>.
Gpt:
2
7 6 3 4 3 12 0
x x x x x
+ + + + + + =
. ð/s: x = - 3; x = - 2.
ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Page 3 0949088998


<36>.
Giải phương trình:
2
2 12 2 2 1 2
x x x x
+ + − − = +

. ð/s: x = 1;
 Kĩ năng thứ hai: Nhóm nhân tử
<37>.
Giải phương trình:
( )
2
2 1 1 0
x x x x x x
− − − − + − =
ðáp số: x = 2
<38>.
Giải phương trình:
2
2 7 2 1 8 7 1
x x x x x
+ − = − + − + − +
. ð/s: x = 4; x = 5
<39>.
2 2 4 3 2
3 5 1 8 3 15
x x x x x x x
− + + − = + + − − +

<40>.
Giải phương trình:
2
12
122
+=
++

+++
x
xx
xxx
ðS:x =1;x =2
<41>.
Giải phương trình:
2 2
2 8 6 1 2 2
x x x x
+ + + − = +

<42>.
4 2 4 2 2
5 4 2 4 16 1
x x x x x x
− + + = − + −
.
 Kĩ năng thứ ba: Tự phá căn
Một số biểu thức dưới dấu căn ngụy trang khiến ta chưa thể phát hiện ra nó chính là một bình phương
của biểu thức khác.
<43>.
Giải phương trình
3 4 1 8 6 1 2
x x x x
+ − − + + − − =
;
1 1
2
2 4

x x x
+ + + + =
;
x x x .
2 2 2 1 1 4
+ + + − + =
;
( ) ( )
3 3
2 2
1 1 1 1 2 1
x x x x
 
+ − − − + = + −
 
 

<44>.
Giải bất phương trình :
3
2 1 2 1
2
x x x x
+ − + − − >
. ðáp số:
1
x
≥

 Kỹ năng thứ tư: Giải phương trình tương ứng rồi xét dấu.

ðể giải bất phương trình:
(
)
0
f x
≥
ta tiến hành như sau:
+ Viết ñiều kiện tồn tại hàm f
+ Giải phương trình:
(
)
0
f x
=

+ Lập bảng xét dấu hàm f và kết luận.

<45>.
Giải bất phương trình:
3 3
1 1 3
2
3 6x x
+ ≤
− +
ð/s:
(
)
[
]

(
)
; 6 5;2 3;
= −∞ − ∪ − ∪ +∞
S

<46>.
Giải bất phương trình:
3 3 3 4
3 3 3
x x
x
x x
+ + −
≥
+ − −

<47>.
Giải bất phương trình:
1 6 3 1
2
1 3
x x
x x
− + −
≥
− + −
. ð/s:
1 2
5


≤ ≤


>

x
x

 Kĩ năng thứ năm: ðặt 1 ẩn phụ hoàn toàn
Với một lớp các phương trình, ñặt
(
)
t x
ϕ
=
ñưa phương trình ẩn x về phương trình ẩn t. Trường hợp
(
)
x ax b
ϕ
= +
việc này là thực sự rõ ràng.
<48>.
2
3 2 6 2 4 4 10 3
x x x x
+ − − + − = −
(B2011)
<49>.

Giải phương trình:
(
)
2
2
2 1 3 1 2
x x x
− = − + −

<50>.
Giải các phương trình:
2 2
3 2 1
x x x x
− + − + − =
;
( )( )
2
5 2 3 3
x x x x
+ − = +
;
( )( )
2
4 1 3 5 2 6
x x x x
+ + − + + =
;
( )( )
2

1 2 1 2 2
x x x x
+ − = + −
;
2 2
4 10 9 5 2 5 3
x x x x
+ + = + +
;
3
2 2
18 18 5 3 9 9 2
x x x x
− + = − +
;
2 2
3 21 18 2 7 7 2
x x x x
+ + + + + =
;
2 2
4 5 1 4 5 7 3
x x x x
+ + + + + =
;
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2
x x x x x
− + − = − + − +
;

2 2
4 2 3 4
x x x x
+ − = + −
;
( )( )
1 3 1 3 2
x x x x
+ + − − + − =
;
2
2 3 1 3 2 5 3 16
x x x x x
+ + + = + + + −
;
2 2 2
4 1 2 2 9
x x x x x x
+ + + + + = + +
;
4 2
1 1
x x
+ − >
;
PT, BPT Vô tỷ Page 4 22/10/2013


2 2
3 15 2 5 1 2

x x x x
+ + + + =
. ð/s: 0; - 5.;
2 2
5 10 1 7 2
x x x x
+ + > − −
;
2 2
2 4 3 3 2 1
x x x x
+ + − − >
;
( ) ( )
2
2
4 4 2 2
x x x x x
− − + + − >
;
(
)
(
)
3 6 3 6 3
x x x x
+ + − − + − >
;
3443
23

+=++ xxxx

<51>.
Giải bất phương trình:
3 1
3 2 7
2
2
x x
x
x
+ < + −
;
2 1
4 2 2
2
x x
x
x
+ < + +

<52>.
Giải bất phương trình:
1
2 3
1
x x
x x
+
− >

+
. ðáp số:
4
1
3
x
− < <−

<53>.
Giải bất phương trình:
1 1
5 2 4
2
2
x x
x
x
 


+ < + +





 
. ðáp số:
3 3
0; 2 2;

2 2
   
 
 
− ∪ + +∞
 
 
 
 
   

<54>.
Giải phương trình
2
1
2 3 1
x x x x
x
+ − = +
ð/s:
1 5
2
±

<55>.
(
)
(
)
2

5 3 1 2 15 8
x x x x
+ − − + + − =
;
(
)
(
)
2
2 1 2 2 3
x x x x
+ − − + − − =

<56>.
Giải bất phương trình:
2
2 2 5 2 2 9 10 23 3
x x x x x
+ + + + + + ≥ −
. ð/s: [2; + ∞)
<57>.
Giải bất phương trình:
2
1 4 3 9
x x x x
+ + − ≥ − +
. ð/s: [0; 3]
<58>.
Giải bất phương trình:
3 10 4 ( 3)(10 ) 29

x x x x
+ + − + + − ≤
. ð/s: [-3;1] và [6;10]
<59>.
Giải phương trình:
2 4 2
3
2 1
x x x x
+ − = +
. ð/s:
1 5
2
x
=
±

<60>.
Giải phương trình:
2 4 3
1
x x x x x
+ + + = −
. Chia cho x rồi ñặt
<61>.
Giải phương trình:
(
)
(
)

xxxxxx
23413
22
=++++−+
ð/S:
2
131
;
2
51
+
=
+
= xx

<62>.
Giải bất phương trình:
2
2
3
2 2
3 4x x
x
x
+ + ≤ + . ð/s: x = 1
<63>.
Giải phương trình:
3
24 12 6
x x

+ + − =

<64>.
Giải bất phương trình:
3
2 3 1 3 1 5 8
x x
+ + − <
. ð/s:
1
3
5
x
− < ≤

<65>.
Gbpt:
2
5 8 4 1 2 4 4 3 4 0
x x x x x
− − + + − − − − >
. ð/s:
40
4 ; 8
9
x x
≤ < >

 Kĩ năng thứ sáu: ðặt 1 ẩn phụ t ñưa về phương trình ẩn t và x “giải ñược”
<66>.

Giải phương trình:
( )
2 2
2 1 2 1 2 1
x x x x x
− + − = − −

ðặt
2
2 1
t x x
= + −
viết phương trình thành:
(
)
(
)
(
)
2
2 1 4 0 2 2 0
t x t x t t x
+ − − = ⇔ − + =

<67>.
Giải phương trình:
( )
2 2
4 1 1 2 2 1
x x x x

− + = + +

ðặt
2
1
t x
= +
viết phương trình thành:
(
)
(
)
(
)
2
2 4 1 2 1 0 2 1 2 1 0
t x t x t t x
− − + − = ⇔ − − + =

<68>.
Giải phương trình:
2
1
2 3 1 4 3
x x x
x
+ + =− + +
ðáp số:
3 17 3 37
;

4 14
x x
− +
= =

<69>.
Giải phương trình:
3)15(326
323
+−=+−+
xxxxx
ðáp số: x =1;
234;
2
213
+=
±
=
xx

<70>.
Giải các phương trình:
( )
3 3
4 1 1 2 2 1
x x x x
− + = + +
;
( )
2 2

3 11 3 11
x x x x
+ + = + +
;
( )
2 2
1 2 2 2
x x x x x
+ − = + − +
;
(
)
2 2 2
3 2 1 2 2
x x x x
+ − + = + +
;
2
2
3 3 2
2
3 1
x x
x x
x
+ +
+ + =
+
;
( )

2 2
1 2 3 1
x x x x
+ − + = +
;
( )
2 2
2 1 2 1 2 1
x x x x x
− + − = − −
;
(
)
2
3 7 8 4 2 8 0
x x x x
+ + − + + =
;
ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Page 5 0949088998


3)13(323
22
++=++ xxxx
. ð/s: x = 1;
)61(31310
22
xxxx ++=++
. ð/s: x = 1; x =
7 3

4
−

 Kĩ năng thứ bảy: ðặt 1 ẩn phụ t ñưa về hệ phương trình t và x
<71>.
Giải phương trình:
3 2
3
12 17 3 16 19
x x x x
− + = − + −

<72>.
Giải phương trình
2
2 2 2 1
x x x
− = −
;
2
9 6 14 3 16
x x x
+ − = +
;
2
2 6 1 4 5
x x x
− − = +
;
3

3
2 2 1 1
x x
= − −
;
3 2
3
3 4 3 2
x x x x
+ = + + −

1 ẨN PHỤ
<73>.
Giải phương trình:
08)24(873
2
=++−++ xxxx
ðS; x =1
<74>.
Giải bất phương trình:
2 2
( 2) ( 1 1) (2 1)
x x x
− ≥ − − −
. ð/s: [1; 5] Liên hợp
<75>.
Giải bất phương trình:
( )
2
2

4
1 1
x
x
x
> −
+ +
. ð/s: −1 ≤ x < 8
<76>.
Giải bất phương trình
(
)
2
2
2
21
3 9 2
x
x
x
< +
− +
. ðáp số:
{ }
9 7
; 0
2 2
\
 



−






<77>.
Giải bất phương trình sau::
2 2
4( 1) (2 10)(1 3 2 )
x x x
+ < + − +

<78>.
Giải bất phương trình:
2
2 2 5 2 2 9 10 23 3
x x x x x
+ + + + + + ≥ −
. ð/s: [2; + ∞)
<79>.
Giải phương trình
2
4 7 1 2 2
x x x
+ + = +
. ðS:
7 1

1, ,
4 4
x x x
= − = − =
.
<80>.
Giải phương trình:
+
− + + − = −
−
1
( 3)( 1) 4( 3) 3
3
x
x x x
x
. ðS:
= − = −
1 13; 1 5
x x

<81>.
Giải phương trình
2
2 6 1 4 5
x x x
− − = +
.
<82>.
Giải phương trình

(
)
2
3
5 2 5 2 2
x x x x
+ = + − −
. ð/s: x = - 2; x = - 3. ðặt 1 ẩn phụ.
<83>.
Giải phương trình
3 2 4 2
3
15 14 1
x x x x x
+ = + + +
. ð/s:
1
32 1023;
32 1023
+
+

<84>.
3
3 2 4 2
15 1 14
x x x x x
− + = + −
. ð/s: 1; - 1;
1 5

;32 5 41
2
+
+
. Chia cho x rồi ñặt
<85>.
Giải phương trình
2
( 5 2)(1 7 10) 3
x x x x
+ − + + + + =
. ð/s: - 1; - 4.
<86>.
Giải bất phương trình:
2
7 7 7 6 2 49 7 42 181 14
x x x x x
+ + − + + − ≤ −
. ð/s:
6
6
7
x
≤ ≤

<87>.
2
4 4 2
x x x x
− + = − +

. ð/s: 0; 2;
(
)
(
)
2
27 5 4 2 1
x x x
+ + − = +
. ð/s: -5; 4.
<88>.
Giải bất phương trình:
2 2
3 6 4 3 8
x x x x
− + ≥ − − +
. ð/s: x
≥ ≤ −
5; 2
x

<89>.
Giải phương trình
5 1 6
x x
+ + − =
;
2 2
2 5 3 4 5 3
x x x x x

+ + = − −
.
<90>.
Giải bất phương trình:
2
4 4
16 6
2
x x
x x
+ + −
≤ + − −
. ð/s: T=
[
)
5;
+∞

<91>.
Giải bất phương trình :
2
4
4
27
−+>
−
+
x
x
x

x
xx

 Kĩ năng thứ tám: ðặt 2 ẩn phụ u và v hoàn toàn, ñưa về phương trình ẩn u và v “giải
ñược”
“Giải ñược” ñược hiểu với 2 khả năng sau:
Thứ nhất: ñó là một phương trình thuần nhất bậc (thường là bậc 2 hoặc bậc 3).
Thứ hai: ñó là một phương trình bậc 2 với ẩn này, ẩn kia coi là tham số mà
2
ξ
∆ =

PT, BPT Vô tỷ Page 6 22/10/2013


Thứ ba: ñó là một phương trình sinh ra do một hàm
ψ
ñơn ñiệu trên miền
D
⊂
ℝ
nào ñó. Tức là
phương trình ñó có dạng:
(
)
(
)
(
)
(

)
u x v x
ψ ψ
=

<92>.
Giải bất phương trình:
( )
2
1
1 1
2 1
2 4 8
x
x
x x
+
+
− + ≥ − +
. ð/s:
7 40
= ±
x

<93>.
Giải bất phương trình:
2
2 6 8 1 3
x x x x
+ + + + ≤ +

. ðáp số: x = - 2
<94>.
Giải bất phương trình:
(
)
2
1
1 2 1
x x
x x
−
≥
− − +
. (A2010) ðáp số:
3 5
2
x
−
=

<95>.
Giải phương trình:
2 2 2
( 6 11) 1 2( 4 7) 2
x x x x x x x
− + − + = − + −
Kết luận:
5 6
x
= ±

<96>.
Giải phương trình:
3 3
3 3
7 5
6
7 5
x x
x
x x
− − −
= −
− + −
ðáp số: x = 5; x = 6; x = 7
<97>.
Giải phương trình:
( )
(
)
3
1 2 1 3 6 6
x x x x
− − + + = +
. ðáp số: x = 2.
<98>.
Giải phương trình:
(
)
2 3

2 5 2 4 2 21 20
x x x x− + = − −
. ðáp số:
9 193 17 3 73
,
4 4
x x
± ±
= =

<99>.
Giải phương trình:
3 2
3 5 3 3 1 3 1
( )
x x x x x
+ + + = + +
ðáp số:x =1, x=0
<100>.
Giải phương trình:
3 223
497654
−+=+−−
xxxxx
ðáp số:
2
51
;5
±−
=x

<101>.
Giải phương trình:
xxxx 315333
3
23
−=+−+
ðáp số :
2;1
−
=
x

<102>.
Giải phương trình:
2
9 12 2 3 8
x x x
+ − = +
ðáp số:
6
215
;
3
1 −−
== xx

<103>.
2 2
4 5 1 2 1 9 3

x x x x x
+ + − − + = −
;
2 2
9 24 6 59 149 5
x x x x x
− + − − + = −

<104>.
Giải phương trình
2
1 4 1 3
x x x x
+ + − + ≥
(B2012);
2
1 4 1 2
x x x x
− + − + ≤

<105>.
Giải phương trình
2
4 1 1 3 2 1 1
x x x x
+ − = + − + −

<106>.
Giải các phương trình bằng cách ñặt 2 ẩn phụ ñưa về phương trình thuần nhất bậc 2:
( )

(
)
2 2
2 3 3 4 4 5
x x x x x
− + = + − −
;
2 3
2 7 3 2 3 0
x x x x
− + − + + =
;
2 3
2 5 1 7 1
x x x
+ − = −
;
2 4 2
3
3 1 1
3
x x x x
− + = − + +
;
2 3 2
6
3 2 2 3 4 2
30
x x x x x
− − = + + +

;
( )
2
3
4 6 3 13
x x x
+ − + =

2 2
6 3 1 3 6 19 0
x x x x x
+ − + − − − + =
;
2 4
4 2 2 4 1
x x x
− + = +
;
2 3
2 5 22 5 11 20
x x x x
− + = − +

 Kĩ năng thứ chín: ðặt 2 ẩn phụ u và v hoàn toàn, ñưa về hệ phương trình
<107>.
Giải phương trình:
3
24 12 6
x x
+ + − =

. ðáp số:
24, 88, 3
x x x
= − = − =
.
<108>.
Giải phương trình:
6 2 6 2 8
3
5 5
x x
x x
− +
+ =
− +
. ðáp số: x = 4; x = - 4.
<109>.
Giải phương trình:
(
)
2
3 14 5 2 7 1 2
x x x x x
+ + − = + + − −
. ðáp số: x = 3.
<110>.
Giải phương trình:
( ) ( )
2
4 1 3 2 7 4 2 1 2 4 8 3 4

x x x x x x
− − + − − = − + − +

<111>.
Giải bất phương trình:
(
)
7 3 7 4 7 7 32
x x x
− + − − =
. ð/s:
11 2 2
2
±

<112>.
Giải phương trình:
(
)
(
)
5 1 2 1 7 3 1
x x x x
+ + − + =

<113>.
Giải phương trình
(
)
(

)
2
2 1 2 2 3
x x x x
+ − − + − − =

<114>.
Giải phương trình
(
)
(
)
2
2 2 3 2 1 2 5 3 1 0
x x x x x
+ + − + + + + − =
. ð/s: - 1; -1/2; 3.
ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Page 7 0949088998


<115>.
Giải phương trình
2
2 5 4 1 2 4 4 17 4
x x x x x
+ + + = + + + +
. ð/s: 0; 12
<116>.
Giải phương trình:
2

2 5 2 2 9 10 3 8
x x x x x
− − − + − + = −
.
<117>.
Giải phương trình:
3 3
9 3
x x
+ − =

<118>.
Giải phương trình
4 4
57 40 5
x x
− + + =
(
)
(
)
n n
a f x b f x c
→ + + − =
:
2 ẨN PHỤ
<119>.
Giải phương trình:
243
30

6
223
232
+++=−− xxxxx
ðS:
3
2
;2 −=x

<120>.
Giải phương trình:
4 4
17 3
x x
+ − =
. Hai ẩn phụ ñưa về hệ. ðS:
1, 16
x x
= =
.
<121>.
Giải phương trình:
( )
(
)
2
7 2 5 4 2
x x x
+ ≥ + +
<122>.

Giải bất phương trình:
2
1 1
1
2 2
1
1 1
x x x
x
+ + −
> −
− −
. ðặt ñược 2 ẩn phụ sau khi quy ñồng.
<123>.
2
1 3 1 3 1
x x x x
+ + + = − + −
. ð/s: 0; - 24/25. ðặt 2 ẩn phụ tạo tích.
<124>.
2
4 4 5 4 1 4 17 4 11 0
x x x x x
− + − + + + + + =
;
(
)
(
)
3 1 3 1 2 0

x x x x x
+ + + − − + >

<125>.
Giải phương trình
(
)
6 1 9 9 2 1
x x x x
− + + = − − +
. ð/s: 0; 3; 8.
<126>.
(
)
2
9 2 9 3 1 8 9 0
x x x x x
+ − − + + + − + + =
;
− − − + − + = −
2
2 5 2 2 9 10 3 8
x x x x x

<127>.
Giải phương trình
(
)
2
3 1 2 1 2 2 3 1

x x x x x
+ − + − = − +
. ð/s:
(
)
1;5;4 3 7
+

<128>.
Giải phương trình
( ) ( )
3
2
2 1 1 2 3 1 2 1 1
x x x x x
+ − + − + = − +
. ð/s: 3/2; 5
<129>.
3 2 5 4
2 3 1 1
x x x x x
− − + = + +
. ð/s: x = 0, - 1, 2. phân tích trong căn thành tích
<130>.
Giải bất phương trình:
(
)
(
)
(

)
2
3 2 1 4 4 1 6 1 2
x x x
+ + + − − < + −
. ð/s:
6
2;
5
 
−


 

<131>.
Giải bpt:
( ) ( )
− − + − − > + − −
2
13 4 2 3 4 3 5 2 2 8 16 4 15
x x x x x x
. ð/s:
{ }
 
 
 
3 5
;
2 2

\
2

 Kĩ năng thứ mười: ðặt 2 ẩn phụ u và v, ñưa về hệ tạm còn x
<132>.
Giải phương trình:
2 2
2 9 2 1 4
x x x x x
+ + + − + = +
. ðáp số: x = 0 v x =
8
7

<133>.
Giải phương trình:
2 2
2 1 1 3
x x x x x
+ + + − + =
. ð/s : x = 1
<134>.
Giải phương trình:
2
2 2
7 7
x x x
x x
− + − =
ð/s: x = 2.

 Kĩ năng thứ mười một: ðặt ẩn phụ ñưa về phương trình lượng giác
Một số dấu hiệu ñặc trưng:
Trong phương trình xuất hiện
2
1
x
−
thì ñặt
sin ;
2 2
x t t
π π
 
 
= ∈ −
 
 

Trong phương trình xuất hiện
2
1
x
+
thì ñặt
tan ;
2 2
x t t
π π
 



= ∈ −




 

<135>.
Giải phương trình
2 3
1 4 3
x x x
− = −
. ðáp số:
1 2 2
,
4
2
x x
+
= − = ±
.
<136>.
Giải phương trình
( ) ( )
3
3 2 2
1 2 1
x x x x

+ − = −
. ðáp số:
2 1 2 2 2
,
2 2
x x
− − −
= =

PT, BPT Vô tỷ Page 8 22/10/2013


<137>.
Giải phương trình:
(
)
2
2
2
2
2
1
1
1
2 2 (1 )
x
x
x
x x x
+

+
+ + =
−
ðáp số:
1
3
x =

<138>.
Giải phương trình:
2
2
2
(1 )
3 1 0
1
x x
x
x
+
− − =
−
ðáp số
1
2
x =

<139>.
Giải phương trình:
+ − = + −

2 2
1 1 (1 2 1 )
x x x
. ðS: x =1/2; x =1
 Kĩ năng thứ mười hai: Kĩ năng biến ñổi liên hợp
Liên hợp là một quy tắc mà bạn có thể khử căn “gián tiếp” ñể nhanh chóng lấy ñược biểu thức ñể
tạo nhân tử mà ta mong muốn.
f g
f g
f g
−
− =
+
,
3
3
2 2
3
3
f g
f g
f g f g
−
− =
+ +

<140>.
Giải phương trình:
3
2

4 1 2 3
x x x
+ = − + −
. ð/s: x = 2 là nghiệm;
3
1 24 4
x x x
+ − + = −

<141>.
Giải phương trình:
( )( ) ( )( )
2 2 1 3 6 4 6 2 1 3 2
x x x x x x
+ − − + = − + − + +
. ð/s: x = 7
<142>.
Giải phương trình bằng cách nhân liên hợp:
2
2 1 5 4 2 0
x x x x
+ − − + − − =
;
<143>.
Giải phương trình:
(
)
9 4 1 3 2 3
x x x
+ − − = +

ð/s: x = 6 là nghiệm.
<144>.
2
2 4 2 5 1
x x x x
− + − > − −

<145>.
Giải phương trình:
3
2 3
1 3 2 2 3
x x x
− + − + =
. ðáp số: x = 1
<146>.
Giải phương trình:
1 1 1 1
3
2 3 4 3 5 6
x x x x
 
+ = +
 
− − −
 
. ðáp số x = 3
<147>.
Giải phương trình:
(

)
2 2
3 4 1 4 2
x x x x x
− − = − − −
. ð/s: x = 2; x = 5
<148>.
Giải phương trình:
2
3 1 6 3 14 8 0
x x x x
+ − − + − − =
(B 2010). ðáp số: x = 5
<149>.
Giải phương trình:
2
3 2
x x x x
+ − = − −
. ðáp số:
3 5
2
x
+
=

<150>.
Giải phương trình:
3(2 2) 2 6
x x x

+ − = + +
. ðáp số: x =3; x =
11 15
2
−

<151>.
Giải phương trình:
(
)
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4
x x x x x x x
− + − − = − − − − +
. ðáp số : x = 2
<152>.
Giải bất phương trình:
2 2
2 3 3 6 11 1
x x x x x x
− + − − ≥ − + − −
ð/s: [2; 3]
<153>.
Giải bất phương trình:
2
1 1 4 3
x x x
+ + < +
ð/s:
1

;
2
 


+∞





;
3 2 4 11
x x x
+ − > + +

<154>.
Giải bất phương trình:
2 11
3 8 1
5
x
x x
−
− − + >
. ð/s: (3; 8)
<155>.
Giải bất phương trình:
5
3 8 1

2 11
x x
x
− − + >
−
. ð/s:
( )
11
3; 8;
2
 
∪ +∞
 
 

<156>.
Giải bất phương trình:
2 2
2 3 8 2
x x x x
+ − + − ≤
. ð/s: x = 1
<157>.
Giải bất phương trình:
2
3
2 5 7 1
x x x x
− + − + > −
. ð/s: x < 1

<158>.
Giải bất phương trình:
3 2 9
3 1 3
x x
x
x x
− −
>
+ + +
(ðỗ Ngọc Nam). ð/s:
[
)
(
]
1;0 8;9
S
= − ∪

<159>.
Giải bất phương trình:
1
2 1 4 1
x
x
x x
> −
+ − +
(ðỗ Ngọc Nam) ðáp số:
[

)
1;2
S
=

<160>.
Giải:
2 2
2 6 8 2 4 6 3 4 3 3 1 0
x x x x x x
+ − + + − − + − + − >
ð/s:
(
)
6;S
= +∞

ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Page 9 0949088998


<161>.
Giải bất phương trình:
x 14 24 3x
x 5 3 19 2x x 5
− −
<
− + − + −
(ðỗ Ngọc Nam) ðáp số: S = [5; 9)
<162>.
Giải phương trình:

2 1 2 2
x x x
− − + > −
. ðáp số:
1;7 33 2;7 33
S
   
= − ∪ +
   
   

<163>.
Giải bất phương trình:
2 1 5 3
x x x
− − + > −
ðáp số:
(
)
8 48;3
−

LIÊN HỢP
<164>.
Giải phương trình:
4 1 5
2x x x
x x x
+ − = + −
ðS: x=2

<165>.
Giải phương trình:
(
)
(
)
xxx 21111 =+−−+
ðS:x = 0;-24/25 ñặt 2 ẩn phụ
<166>.
(
)
(
)
4 2 2 6 1 3
x x x
+ + + − >
. ð/s: -3<=x<5;
(
)
(
)
2 6 2 1 3 4
x x x
+ + + − − =
ð/s: x = 7.
<167>.
Gpt:
2 2
3 4 4 6 11 10 2 2 5 5
x x x x x x

+ − + + − = + + + +
. ð/s: x = 2.
<168>.
Giải bất phương trình:
( )
2
2
4
1 1
x
x
x
> −
+ +
. ð/s: −1 ≤ x < 8;
4
2 1 2 17
x x
x
+ + ≥ +
ð/s: (0; 4]
<169>.
(
)
3 2 2 2 6
x x x
+ − = + +
;
3 2 4 11
x x x

+ − > + +
;
5
3
2314
+
=−−+
x
xx
ðS:
2
=
x

<170>.
Giải phương trình:
2
2 3 1
x x x x
+ + − = − +
. ð/s: x = 2; x = - 1. Ẩn phụ
<171>.
Giải phương trình:
4 4 3
20 9 7
x x x
+ − + = −
. ð/s: x = 2.
<172>.
Giải phương trình:

2
3
5 4
2 5 24 23
3
x
x x x
+
− + + − =
. ðáp số: x = 1; x = 2.
<173>.
2
5 6 8 9 2 5 11 7
x x x x x
+ + + = + + + +
. ð/s: -1; 2
<174>.
2
4 2 22 3 8
x x x
+ + − = +
;
2
2 1 5 1 1
x x x
− + − = +
;
2
7 1 2 2
x x x x

+ − − = − +
. ð/s: x = 2
<175>.
Gpt:
7224232
22
++−=+ xxx
ðS:
1
=
x
;
2 2
15 3 2 8
x x x
+ > − + +
. ðáp số: x<1;
 Kĩ năng thứ mười ba: Kĩ năng sử dụng hàm số
<176>.
Giải bất phương trình:
( )
2 2
2 1 2 1 2 3 0
x x x x x x
+ + + + + + + >
. ð/s:
1
;
2
S

 


= − +∞




 

<177>.
Giải bất phương trình:
3 2
1 5 8
x x x x
− + − < + − +
ðáp số:
1 3
x
≤ <

<178>.
(*)Giải phương trình:
2 2
2 3 2 3 3 4 3
x x x x
− − + − + =
. ð/s: x = 3
 Kĩ năng thứ mười bốn: Kĩ năng ñánh giá biểu thức
Với phương trình

f g
=
muốn khẳng ñịnh x
0
là một nghiệm duy nhất ta chứng minh
(
)
(
)
0 0
f f x g x g
≤ = ≤
. Chú ý bất ñẳng thức Cô si và Bunhia, tam giác, vecto
<179>.
Giải phương trình:
211
222
+−=++−+−+ xxxxxx
. ð/s: x = 1.
Chú ý: ta chứng minh
(
)
(
)
2 2
2
2
2
1 1
4 2

xx x xx x x≤ ≤− − + −+ ++ +

<180>.
Giải phương trình:
2
2
1 1
2 2 4
x x
x x
 
− + − = − +
 
 
. ð/s: x = 1.
Chú ý: ta chứng minh:
2
2
2
2
2
2
2
1 1
2 4 12 2
1 1
2 2 4
x xx
x
x xx

x
 
   


 
 

≤ − − = − + ≤

 
 


 
 
 

 

− + − − +




 


   


 





 
 

<181>.
Giải phương trình:
( )
2
2 1
2 1 3 2
2
x
x x
−
+ + − =
. ð/s: x =
1
2
−
,
3
2

<182>.
Giải phương trình

2 2
4 2 3 1 8 2 14
x x x x
− + + = − +
. ðáp số: x = 1
<183>.
Giải phương trình:
2
4 1 4 1 1
x x
− + − =
. ðáp số
1
2
x
=

PT, BPT Vô tỷ Page 10 22/10/2013


<184>.
Giải phương trình:
5 3
15 11 28 1 3
x x x
+ + = −
ðáp số: x = - 1
<185>.
Giải phương trình:
2 2

12 5 3 5
x x x
+ + = + +
. ðáp số: x = 2
<186>.
Giải phương trình:
2
1 1 2
4
x
x x+ + − = −
. ðáp số x = 0
<187>.
Giải phương trình:
2 2
. ðáp số: x = 1
<188>.
Giải phương trình:
(
)
12 12 5 4
x x x x x
+ + = − + −
. ðáp số: x = 4
<189>.
Giải phương trình:
11642
2
+−=−+− xxxx
ðS:

3
=
x

<190>.
Giải phương trình:
2
1 3 2 1
x x x x
+ + − = +
. ð/s: x = 1;
1 2
x = +
. Bunhia.
<191>.
(
)
(
)
2
2 2 1 1 4 2 2 6 2
x x x x x
+ + + − − = +
(bunhia)
 Kĩ năng thứ mười năm: Ra ñòn phối hợp
Có những phương trình, bất phương trình bất trị với 14 kĩ năng trên; ñiều ñó ñòi hỏi chúng ta ra ñòn
theo cách riêng của mình!
<192>.
Giải bất phương trình:
2

2 6 6 3 3 2 6 0
x x x x
− − − + − ≤
(ðỗ Ngọc Nam)
ðáp số:
24 12 3 6
x
− ≤ ≤
.
<193>.
Giải phương trình
2 2
5 14 9 20 5 1
x x x x x
+ + − − − = +
. ð/s:
5 61
, 8
2
x x
+
= =
.
<194>.
Giải phương trình:
2 2
3 4 3 3 16 0
x x x x
+ − + − + =
ð/s:

21 341
2
x
±
= bp, ẩn phụ
<195>.
Giải phương trình
2
2 2
1
x
x
x
+ =
−
2 2
ax
x b
x a
→ + =
−
bình phương, ẩn phụ
<196>.
Giải phương trình:
( )
3 2 2
8 13 6 6 3 5 5 0
x x x x x x
− + + + − − + =
nhân tử, ẩn phụ

<197>.
Giải bất phương trình:
2 2
2 3 5 4 6
x x x x x
− − + ≤ − −
. ð/s:
3 13
x ≥ +

<198>.
Giải bất phương trình
2
2
1 3
1
1
1
x
x
x
+ >
−
−
;
2
2
1 3
1
1 1

x
x
x
>
−
− −
ẩn phụ
<199>.
Giải phương trình:
(
)
2 2
4 7 7 2 1
x x x x
− = − − +
. ð/s: x = 4;
2 11
±
2 ẩn phụ
<200>.
Giải bất phương trình:
(
)
(
)
2
2 2 1 1 5
x x x x
− + + < −
;

( )
3
3 2
3 2 2 6
x x x x
− + + =

<201>.
(
)
3
5 1 1 3 4
x x x
+ + + = +
. ð/s: x = - 1;
(
)
2
3
7 8 1 2 1 1
x x
− + ≥ − −
. ð/s: [1;5].
<202>.
Giải phương trình:
4
46
2242
2
+

−
=−−+
x
x
xx
ðS:
2;
3
2
=x

o Nếu muốn thông minh , bạn hãy học cách hỏi hợp lý, cách chăm chú lắng nghe, cách trả lời thông
minh và ngừng nói khi không còn gì nói nữa. G. Lafata
o Sở dĩ người ta ít nhớ những điều đã đọc được chính là vì tại người ta tự suy nghĩ quá ít. G. Lin-
then-béc
o Hỏi một câu, chỉ dốt trong chốc lát. Không dám hỏi sẽ dốt nát suốt đời. Im lặng là cấp độ cao cả
nhất của sự khôn ngoan. Ai không biết im lặng là không biết nói. Pithagos