De thi thu DH lan 1 mon Toan (2013-2014)

S GD&T BC NINH
TRNG THPT QU Vế 2
o0o
KHO ST CHT LNG NM HC 2013-2014
MễN: TON 12 khi A, A1, B.
Thi gian lm bi: 180 phỳt.
Khúa ngy: 26 thỏng 10 nm 2013.
o0o
Cõu 1. (2,0 im). Cho hm s
x 2
y
x 1
+
=
-
(1).
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (H) ca hm s (1).
b) Gi A(1; 4) v I l giao im ca hai ng tim cn ca th (H). Tỡm ta im
( )
B Hẻ

cú honh ln hn 1 v im C nm trờn ng tim cn ngang ca (H) cú honh dng
sao cho t giỏc IABC ni tip c trong mt ng trũn cú bỏn kớnh bng
10
2
.
Cõu 2. (1,0 im). Gii phng trỡnh
2 2
5x 9x
cos3x sin 7x 2sin 2cos
4 2 2

ổ ử
p
ữ
ỗ
+ = + -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Cõu 3. (1,0 im). Gii h phng trỡnh
( )
3
2 2
4x 3x y 1 2y 1 0
2x x y 2y 0
ỡ
ù
- + - + =
ù
ù
ớ
ù
+ + - - =
ù
ù
ợ

Cõu 4. (1,0 im). Tớnh gii hn
5

x 0
2x 1 1
L lim
x
đ
+ -
=

Cõu 5. (1,0 im). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a. Cnh SA vuụng gúc
vi mt phng (ABCD) v cnh SC to vi ỏy mt gúc
30
. Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD
v khong cỏch gia hai ng thng SB, AC theo a.
Cõu 6. (1,0 im). Cho a, b, c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
2 2 2
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 81
a b c a b c b c a a b c c a b a b c a b c
ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
+ + + + + + + +
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
+ + + + + + + + + + +
Cõu 7. (1,0 im). Trong mt phng ta Oxy, cho hỡnh thang ABCD vuụng ti A, D cú
( )

B 8;4
,
CD 2AB=
v phng trỡnh
AD: x y 2 0- + =
. Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca D trờn AC
v
82 6
M ;
13 13
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
l trung im ca HC. Tỡm ta cỏc im A, C, D.
Cõu 8. (1,0 im). Cho hm s
3
y x 3x 2= - +
cú th l (C). Gi M l im nm trờn (C), vit
phng trỡnh tip tuyn vi (C) ti M bit tip tuyn ú ct (C) ti im th hai l N v
MN 2 6=
.
Cõu 9. (1,0 im). Mt cng ụn tp cú 100 cõu hi khỏc nhau. Mt hc sinh hc thuc c ỳng
80 cõu. Cn chn ra mt gm 5 cõu hi t 100 cõu trờn. Tớnh xỏc sut trong thi c
chn cú ỳng 4 cõu hc sinh ú ó hc.
HT

Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
H tờn thớ sinh S bỏo danh
S GD&T BC NINH
Trng THPT Qu Vừ s 2
o0o
HNG DN CHM
KIM TRA CHT LNG KHI 12 NM HC 2013-2014
MễN: TON
Khúa ngy: 26 thỏng 10 nm 2013.
o0o
CU NI DUNG IM
1 a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (H) ca hm s
x 2
y
x 1
+
=
-
1,0
1) TX:
{ }
D \ 1= Ă

2) S bin thiờn
+)
( )
2
3
y' 0, x D
x 1

-
= < " ẻ
-
,suy ra hm s nghch bin trờn tng khong ca tp xỏc
nh
Hm s khụng cú cc tr
0,25
+ Gii hn, tim cn: Hc sinh tớnh c cỏc gii hn v suy ra cỏc ng tim cn l:
(H) cú tim cn ngang l ng thng
1
d : y 1=

(H) cú tim cn ng l ng thng
2
d : x 1=

0,25
+ Bng bin thiờn
0,25
+ V th
0,25
b) Gi A(1; 4) v I l giao im ca hai ng tim cn ca th (H). Tỡm ta im
( )
B Hẻ
cú honh ln hn 1 v im C nm trờn ng tim cn ngang ca (H) cú
honh dng sao cho t giỏc IABC ni tip c trong mt ng trũn cú bỏn kớnh
bng
10
2
.

1,0
+) Vỡ
( )
B Hẻ
nờn
b 2
B b; ,b 1
b 1
ổ ử
+
ữ
ỗ
>
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
-
;
( )
1
C d C c;1 ,c 0>ẻ ị
,
( )
I 1;1
0,25
T giỏc IABC cú IA vuụng gúc vi IC nờn t gi thit suy ra
AB BC
AC 10

ỡ
^
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
(1) 0,25
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
6 3b 3
b 1 c b 06 3b 3
b 1 c b 0
b 1 b 1
b 1 b 1
1
c 0(loai)
c 1 9 10
c 2
ỡ
ổ ử
-
ù
ữ
ù

ỗ
ỡ
ổ ử
- - - =-
ù
ữ
ù ỗ
ữ
ù
ỗ
ữ
ỗ
- - - =
ù
ố ứ
ữ
- -
ù ỗ
ù
ữ
ỗ
ù ù
ố ứ
- -

ớ ớ
ộ
ù ù
=
ù ù

ờ
ù ù
- + =
ù ù
ợ
ờ
=
ù
ở
ù
ợ
0,25
Vi
c 2=
ta c
( ) ( )
( )
2
3
b 2
9
2 b b 1 0
b 1 9
b 1
ộ ự
ộ
=
ờ ỳ
ờ
- - - =

ờ ỳ
ờ
= +
-
ờ ỳ
ở
ở ỷ
Vy
( ) ( )
C 2;1 ,B 2;4
hoc
3
3
3
9 3
B 1 9;
9
ổ ử
+
ữ
ỗ
ữ
+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ

0,25
2 Gii phng trỡnh
2 2
5x 9x
cos3x sin 7x 2sin 2cos
4 2 2
ổ ử
p
ữ
ỗ
+ = + -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
(1) 1,0
( )
( ) ( )
1 cos3x sin 7x cos 5x cos9x
2
cos3x cos9x sin 7x sin5x 0
ổ ử
p
ữ
ỗ
+ =- + -
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ố ứ
+ + - =

0,25
( )
2cos6x.cos3x 2cos6x.sinx 0 2cos6x cos3x sin x 0+ = + =

0,25
+)
k
cos6x 0 6x k x ,k
2 12 6
p p p
= = + = + p ẻ Â
0,25
+)
x k
4
cos3x sin x 0 cos3x cos x ,k
k
2
x
8 2
ộ
p
ờ
= + p
ổ ử

p
ờ
ữ
ỗ
+ = = + ẻ
ữ
ờ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
p p
ờ
=- +
ờ
ờ
ở
Â

Vy phng trỡnh cú nghim l
0,25
3 Gii h phng trỡnh
( )
3
2 2
4x 3x y 1 2y 1 0 (1)
2x x y 2y 0 (2)
ỡ
ù
- + - + =

ù
ù
ớ
ù
+ + - - =
ù
ù
ợ
1,0
K:
2y 1 0
1
y 0
y 0
2
ỡ
+
ù
ù
- Ê Ê
ớ
ù
-
ù
ợ
.
t
[ ]
2
t 0;1

t 2y 1
t 1
y
2
ỡ
ẻù
ù
ù
ù
= + ị
ớ
-
ù
=
ù
ù
ù
ợ
, phng trỡnh (1) cú dng
( )
( )
3 3 2 2
8x 6x t 3t 0 2x t 4x 2xt t 3 0- + - = + - + - =

0,25
Với
2
x 0
2x t 0 2x 2y 1
4x 1

y
2
ì
£
ï
ï
ï
+ = =- +Þ Û
í
-
ï
=
ï
ï
î
, thay vào (2) ta được
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2x x 2x 1 4x 0 2x x x 2 8x 0 x 2x 1 2 8x 0+ + - = + - - = + - - =Û Û
0,25
+) Với
1
x 0 y
2
= =-Þ

+)
2
2

1
x 0
2
1
x 0
1
1
2x 1 2 8x 0 x
2
x
2
2
12x 4x 1 0
1
x
6
ì
ï
ï
- ££
ï
ï
ï
ì
ï
ï
ï
- ££
ï
é

ï
ï
+ - - = =-ÛÛ
ê
=-
í í
ï ï
ê
ï ï
+ - =
ê
ï ï
î
ï
ê
ï
=
ï
ê
ï
ê
ë
ï
î
Khi đó
y 0=

0,25
Trường hợp 2:
2 2

4x 2xt t 3 0- + - =
(3)
Từ (2) suy ra
1
x ;0
2
é ù
ê ú
-Î
ê ú
ë û
, kết hợp với điều kiện
[ ]
t 0;1Î
ta được
2
2
4x 1
t 1
2xt 1
ì
ï
£
ï
ï
ï
£
í
ï
ï

- £
ï
ï
î

Do đó (3) xảy ra
2
2
4x 1
1
x
t 1
2
t 1
2xt 1
ì
ï
=
ì
ï
ï
ïï
=-
ïï
=Û Û
í í
ï ï
ï ï
=
- =

ï ï
î
ï
î
, từ đó
1
x
2
y 0
ì
ï
ï
=-
ï
Þ
í
ï
ï
=
ï
î

Vậy hệ có nghiệm là
1 x 0
x
;
2
1
y
y 0

2
ì ì
=
ï ï
ï ï
=-
ï ï
Þ
í í
ï ï
=-
ï ï
=
ï ï
î î
0,25
4
Tính giới hạn
5
x 0
2x 1 1
L lim
x
®
+ -
=
1,0
Đặt
5
5

t 1
t 2x 1 x
2
-
= + =Þ
. Khi
x 0®
thì
t 1®

0,25
( ) ( )
( )
( )
5
4 3 2
t 1 t 1
2 t 1 2 t 1
L lim lim
t 1
t 1 t t t t 1
® ®
- -
= =
-
- + + + +

0,25
( )
4 3 2

t 1
2
lim
t t t t 1
®
=
+ + + +
0,25
2
5
=
0,25
5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA vuông góc với
mặt phẳng đáy (ABCD) và cạnh SC tạo với đáy một góc
30°
. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC theo a.
+) Vì SC vuông góc với đáy nên
( ) ( )
·
SC,(ABCD) SC,AC SCA 30= = = °Ð Ð
+) ABCD là hình vuông cạnh a nên
2
ABCD
AC a 2
S a
ì
ï
=
ï

í
ï
=
ï
î

+)
a 6
SA AC.tan 30
3
= =

0,25
Vì SA vuông góc với đáy nên thể tích khối chóp là
3
ABCD
1 a 6
V SA.S
3 9
= =
(đvtt)
0,25
Dựng hình bình hành ABEC. Trong mặt phẳng (ABCD) dựng AH vuông góc với BE, H
nằm trên BE. Trong mặt phẳng (SAH), dựng AK vuông góc với SH.
Dễ dàng chứng minh được
( )
AK ABE^
,
Suy ra
( ) ( )

( )
( )
( )
d AC;SB d AC; SBE d A; SBE AK= = =

0,25
Xét tam giác SAH vuông tại A có AK là đường cao nên
2 2 2
1 1 1
AK AH SA
= +

Có
1 a 2 a 6 a 14
AH BD ;SA AK
2 2 3 7
= = = =Þ

0,25
6
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 81
a b c a b c b c a a b c c a b a b c a b c
     
+ + + + + + + + ≥
 ÷  ÷  ÷
+ + + + + + + + + + +
     

1,0
Trước hết ta dễ dàng chứng minh hai bất đẳng thức cơ sở sau với mọi
x, y,z 0>

1)
( )
2
2 2 2
1
x y z x y z
3
+ + + +³

2)
1 1 1 9
x y z x y z
+ + ³
+ +

0,25
Áp dụng bất đẳng thức 1) vào bài toán ta được
0,25
2 2 2
2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A
a b c a b c b c a a b c c a b a b c
1 1 1 1 2 2 2 9
3 a b c a b b c c a a b c
ổ ử ổ ử ổ ử

ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= + + + + + + + +
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
+ + + + + + + + +
ổ ử
ữ
ỗ
+ + + + + +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+ + + + +
p dng bt ng thc 2) ta c
1 1 1 9
a b c a b c
2 2 2 9
a b b c c a a b c
+ +
+ +
+ +
+ + + + +

0,25

Do ú ta cú
( )
2
2
2 2 2
1 27 81
A
3 a b c
a b c

+ +
+ +

ng thc xy ra khi
a b c= =

0,25
7
Trong mt phng ta Oxy, cho hỡnh thang ABCD vuụng ti A, D cú
( )
B 8;4
,
CD 2AB=
v phng trỡnh
AD: x y 2 0- + =
. Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca D
trờn AC v
82 6
M ;
13 13

ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
l trung im ca HC. Tỡm ta cỏc im A, C, D.
1,0
+) Phng trỡnh trỡnh AB:
x y 12 0+ - =
, vỡ A l giao im ca AB v AD nờn ta
A tha món h phng trỡnh
( )
x y 12 x 5
A 5;7
x y 2 y 7
ỡ ỡ
+ = =
ù ù
ù ù
ị
ớ ớ
ù ù
- = - =
ù ù
ợ ợ

0,25

Cú
( )
17 85
AM ;
13 13
AM : 5x y 32 0
A 5;7
ỡ
ổ ử
ù
ữ
ù
ỗ
= -
ữ
ù ỗ
ữù
ỗ
ố ứ
+ - =ị
ớ
ù
ù
ù
ù
ợ
uuur
Gi N l trung im ca CD suy ra
MN / /DH MN AC MN : x 5y 4 0^ - - =ị ị
D thy ABND l hỡnh ch nht. Do ú

( )
BN / /AD: x y 2 0
BN : x y 4 0
B 8;4
ỡ
+ - =
ù
ù
- - =ị
ớ
ù
ù
ợ

0,25
Cú
( )
N MN BN N 4;0= ầị
Li cú
( )
CD / /AB : x y 12 0
CD : x y 4 0
N 4;0 CD
ỡ
+ - =
ù
ù
+ - =ị
ớ
ù

ẻ
ù
ợ

0,25
T ú ta c 0,25
( )
( )
C CD AC C 7; 3
D CD AD D 1;3
= -ÇÞ
= ÇÞ

Vậy A(5;7), C(7; -3), D(1; 3)
8
Cho hàm số
3
y x 3x 2= - +
có đồ thị là (C). Gọi M là điểm nằm trên (C), viết phương
trình tiếp tuyến với (C) tại M biết tiếp tuyến đó cắt (C) tại điểm thứ hai là N và
MN 2 6=
.
1,0
Gọi
( )
3
M a;a 3a 2- +
, suy ra phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là
( )
( )

( )
2 3
d : y 3a 3 x a a 3a 2= - - + - +

0,25
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là
( )
( ) ( ) ( )
2
2 3 3
x a
3a 3 x a a 3a 2 x 3x 2 x a x 2a 0
x 2a
é
=
ê
- - + - + = - + - + =Û Û
ê
=-
ë
0,25
Vì N khác M nên tọa độ N là
( )
3
N 2a; 8a 6a 2- - + +

( )
2
2 3 6 4 2 2
4

MN 2 6 9a 9a 9a 24 81a 162a 90a 24 0 a
3
= + - = - + - = =Û Û Û
0,25
Vậy các phương trình tiếp tuyến cần tìm là
y x 4 3 2= - +
và
y =

y x 4 3 2= + +

0,25
9 Một đề cương ôn tập có 100 câu hỏi khác nhau. Một học sinh học thuộc được đúng 80
câu. Cần chọn ra một đề gồm 5 câu hỏi từ 100 câu trên. Tính xác suất để trong đề thi
được chọn có đúng 4 câu học sinh đó đã học.
1,0
Số đề thi có thể được tạo ra là:
5
100
C

0,25
Để tạo được đề thi có đúng 4 câu trong số 80 câu đã học thì câu còn lại phải thuộc 20
câu chưa học.
0,25
Do đó số đề thi có đúng 4 câu đã học là :
4 1
80 20
C .C
0,25

Vậy xác suất cần tìm là
4 1
80 20
5
100
C .C
P 0,42
C
= »
0,25