THi thư Đại học 2013-2014 - Lục Ngạn 4

S GD&T Bc Giang
Trng THPT Lc Ngn s 1

 chính thc
 THI TH I HC LN 1
N
M HC 2013 - 2014
Môn: Toán - khi A, A1, B, D.
Thi gian làm bài 180 phút, không k thi gian phát 


I. PHN CHUNG CHO TT C THÍ SINH ( 7 im)
Câu 1 (2 im). Cho hàm s
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + +
có  th (1).
a) Kho sát s bin thiên và v  th ca hàm s (1) khi m = 0.
b) Tìm m  hàm s (1) ng bin trên khong
( )
+∞;2

Câu 2 (1 im). Gii phng trình sau:
2 3
2
2
cos cos 1
cos2 tan
cos
x x
x x
x

+ −
− =

Câu 3 (1 im). Gii phng trình sau:
2 2
7 - x + x x + 5 = 3 - 2x - x (x R)∈

Câu 4 (1
im). Tìm m  h phng trình sau có 3 cp nghim thc phân bit:

2
3( 1)
1
x y m
xy x

+ + =


= −



Câu 5 (1
im
).
Cho hình chóp t giác S.ABCD có áy là hình ch nht, SA vuông góc vi áy, G
là trng tâm tam giác SAC, mt phng (ABG) ct SC ti M, ct SD ti N. Tính th tích ca khi
a din MNABCD bit SA=AB=a và góc hp bi ng thng AN và mp(ABCD) bng
0

30
.
Câu 6 (1 im) Cho x,y,z tho mãn là các s thc:
2 2
x - xy + y = 1
.Tìm giá tr ln nht và giá tr
nh nht ca biu thc:

4 4
2 2
x + y + 1
P =
x + y + 1

II. PHN RIÊNG (3 im): Thí sinh ch c làm mt trong hai phn ( Phn A hoc phn B).
A. Theo chng trình chun
Câu 7a (1 im). Trong mt phng Oxy, cho tam giác ABC vi
AB = 5
, C(-1;-1), ng thng
AB có phng trình: x + 2y – 3 = 0 và trng tâm tam giác ABC thu c ng thng d:
x + y – 2 = 0 . Tìm to  !nh A và B.
Câu 8a (1 im). Trong mt phng vi h to  Oxy, cho ng tròn (C):
2 2
x + y - 4x - 4y + 4=0

và
ng thng d có phng trình:
x + y - 2=0
. Chng minh rng d luôn ct (C) tai hai im phân
bit A và B. Tìm to  im M trên ng tròn (C) sao cho din tích tam giác MAB ln nht.

Câu 9a (1
im). Cho khai trin:
( )
12
2 2 24
0 1 2 24
1 + x + x = a + a x + a x + +a x
. Tính
4
a
.
B. Theo ch
ng nâng cao
Câu 7b (1
im). Trong mt phng Oxy, cho tam giác ABC bit B(2;-1), ng cao và phân giác
trong qua
!nh A và C l"n lt có phng trình: 3x – 4y + 27 = 0 và x + 2y – 5 = 0. Vit phng
trình các cnh ca tam giác ABC.
Câu 8b (1 im). Trong mt phng Oxy, vit phng trình chính tc ca Elíp (E), bit rng tâm sai
ca (E) bng
5
3
và hình ch nht c s có din tích bng 24.
Câu 9b (1 im). M t h p ng 15 viên bi, trong ó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi . Ly ng#u
nhiên 3 viên bi (không k th t ra khi h p). Tính xác xut  trong 3 viên bi ly ra có ít nht 1
viên bi
.
Ht
Chú ý: Giáo viên coi thi không gii thích gì thêm.
H và tên thí sinh: S bao danh:

Thi th󰗮 Đ󰖢i h󰗎c 2013 - 2014 toan-pt.violet.vn

HNG DN CHM VÀ CHO IM
Môn: Toán (Thi Th H ln 1 - Nm hc 2013 - 2014)
Câu N
i dung c bn
im

Câu 1
2 
Cho hàm s
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + +
có  th (C
m
).
a) Kho sát s bin thiên và v  th ca hàm s khi m = 0.
b) Tìm m
 hàm s ng bin trên khong
( )
+∞;2


a
(1)
V
i m = 0 ta có: y = 2x
3
– 3x
2

+ 1
*TX: R
* Gii hn:
lim ; lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= +∞ = −∞

*S
 bin thiên:
Ta có y’ = 6x
2
– 6x =6x(x-1) = 0 <=> x = 0; x= 1
x -
∞
0 1 +
∞

y’ + 0 - 0 +

y
1 +
∞


-
∞
0

0.5

* kt lun ng bin, nghch bin và cc tr.
* Ch
! ra to  im un U(1/2;1/2), Hs có th b qua bc này

0.25

* V  th:

O
1
1







0,25

b
(1 )
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + +
)1(6)12(66'
2
+++−= mmxmxy

y’ có
01)(4)12(
22
>=+−+=∆ mmm


0.5






+=
=
⇔=
1
0'
mx
mx
y


0.25


Thi th󰗮 Đ󰖢i h󰗎c 2013 - 2014 toan-pt.violet.vn
Hàm s ng bin trên
( )
+∞;2

⇔
0'>y

2>∀x ⇔ 21 ≤+m ⇔ 1≤m


1≤m



0.25

Câu 2
1 
Gii phng trình sau:
2 3
2
2
cos cos 1
cos2 tan
cos
x x
x x
x
+ −
− =





K cosx
$
0, pt



c



a v



2 2 2
cos2 tan 1 cos (1 tan ) 2cos cos -1 0x x x x x x− = + − + ⇔ − =


0.5

Gi

i ti

p

c cosx = 1 và cosx = 0,5 r

i

i chi

u

k



a ra

S:
2 2

2 , 2 ; hay
3 3
x k x k x k
π π
π π
= = ± + =
.

0.5
Câu 3
1
Gii phng trình sau:
2 2
7 - x + x x + 5 = 3 - 2x - x (x R)∈




2
2 2
3 2 0
7 5 3 2
x x
PT
x x x x x

− − ≥

⇔


− + + = − −



0.25



2
3 2 0
5 2( 2)
x x
x x x

− − ≥

⇔

+ = − +



0.25



3 1
0
2
5 2.

x
x
x
x
x


− ≤ ≤

⇔ ≠


+

+ = −


( )
( )
2
2 0
1 16 0
x
x x
− ≤ <


⇔

+ − =




0.25


1x⇔ = −

Vy phng trình ã cho có m t nghim x = - 1.
0.25
Câu 4
1 
Tìm m  h phng trình sau có 3 cp nghim thc phân bit:

2
3( 1) ,(1)
1 ,(2)
x y m
xy x

+ + =


= −





(2) <=>

2
1 0
(1 )
x
xy x
− ≥


= −

<=>
1
1
2
x
y x
x
≤



= − +


( do x = 0 không là nghim)

0,25


Th vào (1) ta có:

2
1
3( 1) 2x x m
x
+ + − + =
, (3)
Xét hàm s
 f(x) =
2
1
3( 1) 2x x
x
+ + − +
trên
(
]
;1−∞
, lp bng bin thiên.
Lp lun c m%i giá tr x trên
(
]
;1−∞
thì có duy nht 1 giá tr y, nên (3) có 3
nghim phân bit


0,5

KL:
20
12
3
15
4
4
m
m

< ≤


−

< < −



0,25

Thi th󰗮 Đ󰖢i h󰗎c 2013 - 2014 toan-pt.violet.vn
Câu 5
1

Cho hình chóp S.ABCD có
áy là hình vuông cnh bng a. mt bên SAB là
tam giác vuông cân
nh S và nm trong mt phng vuông góc vi mt
phng áy. Tính theo a th tích khi chóp S.ABCD và tính khong cách

gia hai ng thng AB và SD.



+ Trong mp(SAC) k& AG ct SC ti M, trong mp(SBD) k& BG ct SD ti
N.
+ Vì G là trng tâm tam giác
ABC nên d
' có
2
3
SG
SO
=
suy ra G c(ng là trng
tâm tam giác SBD.
T
) ó suy ra M, N l"n lt là
trung im ca
SC, SD.
+ D
' có:
. . .
1 1
2 2
S ABD S BCD S ABCD
V V V V= = =
.
Theo công thc t* s th tích ta có:

.
.
.
1 1 1
. . 1.1.
2 2 4
S ABN
S ABN
S ABD
V
SA SB SN
V V
V SA SB SD
= = =

=
.
.
.
1 1 1 1
. . 1. .
2 2 4 8
S BMN
S BMN
S BCD
V
SB SM SN
V V
V SB SC SD

= = =

=
T
) ó suy ra:
. . .
3
.
8
S ABMN S ABN S BMN
V V V V= + =

+ Ta có:
1
. ( )
3
V SA dt ABCD
= ; mà theo gi thit
( )
SA ABCD
⊥
nên góc hp
b
i AN vi mp(ABCD) chính là góc

NAD
, li có N là trung im ca SC
nên tam giác NAD cân t
i N, suy ra



0
30 .
NAD NDA
= =
Suy ra:
0
3
tan30
SA
AD a= =
.
Suy ra:
3
1 1 3
. ( ) . . 3
3 3 3
V SA dt ABCD a a a a
= = = .
Suy ra: th tích c"n tìm là:
3
. .
3 5
8 8
5 3
.
24
= − = − = =
MNABCD S ABCD S ABMN
a

V V V V V V

















0,5

0,5

Câu 6
1

Cho x,y,z tho
 mãn là các s thc:
2 2
x - xy + y = 1
.Tìm giá tr ln nht và giá
tr nh nht ca biu thc:


4 4
2 2
x + y + 1
P =
x + y + 1







0,25
M


N
O

C
A
D
B
S
G

Thi th󰗮 Đ󰖢i h󰗎c 2013 - 2014 toan-pt.violet.vn
1
1
I
H
C

xyxyyx
xyxyxyyxyx
33)(1
21
2
22
−≥−+=
=−≥+−=


1
3

1
≤≤− xy








 
xyyxyxyx
+=+⇔=+−
11
2222


12
2244
++−=+
xyyxyx

 !"#$%#$$&

1
3
1
;
2
22

)(
2
≤≤−
+
++−
==
t
t
tt
tfP




0,25

'




−−=
−=
⇔=
+
+−⇔=
)(26
26
0
)2(

6
10)('
2
lt
t
t
tf



0,25

( ")*+
[ ]
1;
3
1
−  ,&
)
3
1
(
−
f
%
)26( −f
%
)1(f
 -
626)26( −=−= fMaxP

%
15
11
)
3
1
(min =−= fP






0,25

Câu
7a
(1
)
Trong mt phng Oxy, cho tam giác ABC vi
AB = 5
, C(-1;-1), ng
thng AB có phng trình: x + 2y – 3 = 0 và trng tâm tam giác ABC thuc
ng thng d: x + y – 2 = 0 . Tìm to  nh A và B.



* Gi s+ A(3-2a ; a); B(3 - 2b; b)
* Tính trng tâm tam giác G. Vì G thu c d nên ta có:
* Mt khác

AB = 5
.
* T) ó gii h ta c:
3 1
6; ; 4;
2 2
A B
   
− −
   
   
hoc
3 1
6; ; 4;
2 2
B A
   
− −
   
   

0,25

0,25


0,5

Câu
8a

(1
)
Trong m
t phng vi h to  Oxy, cho ng tròn (C):
2 2
x + y - 4x - 4y + 4=0
và ng thng d có phng trình:
x + y - 2=0
. Chng
minh rng d luôn ct (C) tai hai im phân bit A và B. Tìm to  im M
trên ng tròn (C) sao cho din tích tam giác MAB ln nht.



* Ch! ra (C) có tâm I(2;2), R = 2.
* Ta  giao im d và (C) là nghim h:
2 2
4 4 4 0
2 0
x y x y
x y

+ − − + =

+ − =


Gi
i h tìm c A(0;2); B(2;0)

0,25


Hay d luôn ct (C) ti hai im phân bit A và B
0,25

Thi th󰗮 Đ󰖢i h󰗎c 2013 - 2014 toan-pt.violet.vn
B
C
H
A
D

* Ta có
1
.
2
ABC
S AB CH
∆
=
( H là hình chiu C trên AB),
ax max
ABC
S m CH
∆
<=>

D' thy

( )
2
c
C C
x
= ∆ ∩


>

(
∆
) có pt: y =x
Gi
i h tìm c
( )
2 2;2 2C + +

0,25




0,25

Câu
9a
(1)
Cho khai trin:
( )

12
2 2 24
0 1 2 24
1 + x + x = a + a x + a x + +a x
. Tính
4
a
.



* Xét s hng t,ng quát ca khai trin:
2
12
( )
n n
C x x+
.
* khai trin
( )
2
n
x x+
có s hng t,ng quát:
2
.
k n k k
n
C x x
−

=> s
 hng t,ng quát ca khai trin ã cho có dng:
12
n
C
.
2
.
k n k k
n
C x x
−
(0 12)k n≤ ≤ ≤
.
* S hng cha x
4
khi n + k = 4, vi k trên ta tìm c
}
{
( , ) (0;4);(1;3);(2;2)k n ∈
.
Thay vào ta
c: a
4
= 1221

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu
7b
(1)
Trong mt phng Oxy, cho tam giác ABC bit B(2;-1), ng cao và phân
giác trong qua
nh A và C ln lt có phng trình: 3x – 4y + 27 = 0 và
x + 2y – 5 = 0. Vit phng trình các cnh ca tam giác ABC.



* Phng trình cnh BC: 4x+3y-5=0
* Ta  C là nghim h:
4 3 5 0
2 5 0
x y
x y
+ − =


+ − =

=>C(-1;3)

* Gi B' là im i xng ca B qua CD => B'
AC∈

* Tìm c B' => phng trình AC: y = 3.
* Tìm
c A(-5;3)
* Vit c pt AB: 4x+7y-1=0.
KL:





0,5



0,25

0,25

Câu
8b
(1
)
Trong m
t phng Oxy, vit phng trình chính tc ca Elíp (E), bit rng
tâm sai ca (E) bng
5
3

và hình ch nht c s có din tích bng 24


Gi s+ ptct (E):
2 2
2 2
1,( 0)
x y
a b
a b
+ = > >

T) gi thit ta có
2 2
5
3
c a b
e
a a
−
= = =
<=>2a=3b, (1)


0,5


Mt khác hình ch nht c s có chiu dài bng 2a, chiu r ng 2b nên ta có:
2a.2b= 24 <=> a.b = 6, (2)

0,25


Gii h (1) và (2) tìm c a = 3, b= 2.
KL:
2 2
1
9 4
x y
+ =


0,25

Câu
9b
(1
)
M
t hp ng 15 viên bi, trong ó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi . Ly
ng u nhiên 3 viên bi (không k th t ra khi hp). Tính xác xut  trong 3
viên bi l
y ra có ít nht 1 viên bi .


Thi th󰗮 Đ󰖢i h󰗎c 2013 - 2014 toan-pt.violet.vn

* S
 ph"n t+ không gian m#u:
( )

3
15
455n CΩ = =

* Xét A là bin c "c 3 viên c chn màu xanh": => n(A) =
3
7
C
=35
0,25


* Xác su
t ca bin c A:
35 1
( )
455 13
P A = =

0,25


* Xét B là bin c "có ít nht 1 bi  c chn"
P(B) = 1- P(A) =
12
13

KL:
0,5

Chú ý:
- Trên ây ch là áp án vn tt và hng d n cho im. Hc sinh phi lp lun cht ch
mi cho im ti a.
- Hc sinh gii cách khác úng v n cho im ti a theo thang im.

Thi th󰗮 Đ󰖢i h󰗎c 2013 - 2014 toan-pt.violet.vn