de thi dai hoc mon toan 2013 khoi a1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐA Ï I HỌ C NĂM 201 3
−−−−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối A và khối A1
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CA Û THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = −x
3
+ 3x
2
+ 3mx − 1 (1), với m là tham số t hư ï c.
a) Khảo sát sự biến thi e â n và vẽ đo à thò của hà m số (1) khi m = 0.
b) Tìm m để hàm số (1) nghòch biến trên khoảng (0; + ∞).
Câu 2 (1,0 điểm). Giả i phương t rình 1 + tan x = 2
√
2 sin

x +
π
4

.
Câu 3 (1,0 điểm). Giả i hệ phương trình

√
x + 1 +
4
√
x − 1 −

y
4

+ 2 = y
x
2
+ 2x(y − 1) + y
2
− 6y + 1 = 0
(x, y ∈ R).
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phâ n I =
2

1
x
2
− 1
x
2
ln x dx.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đá y là tam giá c vuô ng tại A,

ABC = 30
◦
, SBC là
tam gi á c đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Câu 6 ( 1 ,0 điểm). Cho các số t hư ï c dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c)(b + c) = 4c
2
. Tìm giá trò
nhỏ nhất của biểu thư ù c P =
32a
3

(b + 3c)
3
+
32b
3
(a + 3c)
3
−
√
a
2
+ b
2
c
.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( ph ầ n A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đ i e å m C thu o ä c
đường t hẳ ng d: 2x + y + 5 = 0 và A(−4; 8). Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu
vuông góc của B trên đường thẳng MD. Tìm tọa độ các điểm B và C, biế t rằng N(5; −4).
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :
x − 6
−3
=
y + 1
−2
=
z + 2
1
và điểm A(1; 7; 3). Viết phươ ng trình mặt phẳng (P ) đi qua A và vuông góc với ∆. Tìm tọa độ điểm

M thuộc ∆ sao cho A M = 2
√
30.
Câu 9 .a (1,0 điểm). Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ so á phân biệt được chọn từ
các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác đònh số phầ n tử cu û a S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất
để so á đ ư ơ ï c chọn là số chẵn.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x − y = 0. Đường
tròn (C) có bán kính R =
√
10 cắt ∆ tại hai điểm A và B sao cho AB = 4
√
2. Tiếp tuyến củ a (C)
tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy. Viết phương trình đường tròn (C).
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x + 3y + z − 11 = 0
và m ặ t cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
− 2x + 4y −2z − 8 = 0. Chứng minh (P ) ti e á p xúc với (S). Tìm tọa độ
tiếp đ i e å m của (P ) và (S).
Câu 9.b (1,0 điểm). Cho số phức z = 1 +
√
3 i. Viết dạng lượng giác của z. Tìm phần thực và phần ảo
của số phức w = (1 + i)z
5
.
−−−−−−Hết−−−−−−

Thí sinh kho â n g được sử dụ n g tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . .
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013
Môn: TOÁN; Khối A và khối A1
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)


Câu
Đáp án Điểm
a. (1,0 điểm)
Khi m = 0 ta có
32
31yx x .
=
−+ −
•
Tập xác định: .D = \
•
Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: hoặc
2
'3 6;'0yxxy x=− + = ⇔ =0 2.x
=

0,25

Khoảng đồng biến: (0; 2); các khoảng nghịch biến: (;0)
−
∞ và (2; ).
+
∞
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y
CT
= −1; đạt cực đại tại x = 2, y
CĐ
= 3.
- Giới hạn: lim ; lim .
xx
yy
→−∞ →+∞
=+∞ =−∞
0,25
- Bảng biến thiên:


Trang 1/4






0,25
• Đồ thị:

0,25
b. (1,0 điểm)
Ta có
2
'3 63yxx=− + + .m
Hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
(0; )
+
∞ khi và chỉ khi '0, 0yx
≤
∀>
0,25
2
2, 0.mx xx⇔≤ − ∀>

Xét
2
() 2

f
xx x=− với Ta có 0.x > '( ) 2 2; '( ) 0 1.fx x fx x
=
−=⇔=
0,25
Bảng biến thiên:







0,25
1
(2,0 điểm)
Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị m thỏa mãn yêu cầu của bài toán là m 1.
x
'y
y
−
∞

+
∞
0
2
0 0
− −
+

+
∞

− ∞
−
1
3
2
O
y

x

3
−
1
x
()
f
x
0
+
∞
1
0
−
0
+
−
1

+
∞
'( )
f
x
≤−
0,25
Trang 2/4
Câu
Đáp án Điểm
Điều kiện: Phương trình đã cho tương đương với cos 0.x ≠
sin
12(sinco
cos
x
s)
x
x
x
+= +

0,25
(sin cos )(2 cos 1) 0.xx x⇔+ −=
0,25
π
sin cos 0 π ()
4
xx x kk•+=⇔=−+ ∈]
.

0,25
2
(1,0 điểm)
π
2cos 1 0 2π ()
3
xxkk•−=⇔=±+ ∈]
.

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm:
π
π
4
x
k
=
−+
hoặc
π
2π ()
3
xkk=± + ∈]
.

0,25
44
22
11 2
2( 1) 6 1 0 (2)
xxy y

xxy yy
⎧
++ −− + =
⎪
⎨
⎪
+−+−+=
⎩
(1)
,

Điều kiện: Từ (2) ta được suy ra
1.x ≥
2
4( 1)yxy=+− 0.y ≥
0,25
3
(1,0 điểm)
Đặt
4
1,ux=−
suy ra u Phương trình (1) trở thành: 0.≥
44
2 2 (3).uuyy++= ++

Xét
4
() 2 ,
f
tt=++t với Ta có 0.t ≥

3
4
2
'( ) 1 0, 0.
2
t
ft t
t
=
+> ∀≥
+

Do đó phương trình (3) tương đương với
,yu
=
nghĩa là
4
1.xy
=
+
0,25
Thay vào phương trình (2) ta được
74
( 2 4) 0 (4).yy y y++−=
Hàm có
74
() 2 4gy y y y=+ +−
63
'( ) 7 8 1 0gy y y
=

++> với mọi 0.y ≥
0,25
Mà nên (4) có hai nghiệm không âm là (1) 0,g = 0y
=
và 1.y
=

Với ta được nghiệm
(; với 0y = ) (1;0);xy= 1y
=
ta được nghiệm (; ) (2;1).xy
=

Vậy nghiệm
(; )
x
y của hệ đã cho là và (1; 0) (2; 1).
0,25
Đặt
2
2
1d
ln , d d d , .
xx
uxv xu vx
1
x
x
x
−

== ⇒==+

0,25
Ta có
2
2
1
1
11
ln d
Ix x x
1
x
x
xx
⎛⎞ ⎛⎞
=+ − +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
∫

0,25

22
11
11
lnxxx
x
x
⎛⎞ ⎛⎞

=+ −−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

0,25
4
(1,0 điểm)

53
ln 2 .
22
=−

0,25
Gọi H là trung điểm của BC, suy ra SH ⊥ BC. Mà (SBC)
vuông góc với (ABC) theo giao tuyến BC, nên SH ⊥ (ABC).
0,25
Ta có BC = a, suy ra
3
;
2
a
SH =

o
sin 30 ;
2
a
AC BC==

o
3
cos30 .
2
a
AB BC==

Do đó
3
.
1

61
S ABC
a
.
6
HABAC==VS

0,25
Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên
HA = HB. Mà SH ⊥ (ABC), suy ra SA = SB = a. Gọi I là
trung điểm của AB, suy ra SI ⊥ AB.
0,25
5
(1,0 điểm)

Do đó
2
2

13
.
44
AB a
SI SB=−=

Suy ra

36
39
(,( )) .
.1
SABC SABC
SAB
VV
a
dC SAB
SSIAB
Δ
===
3

0,25
S
A

B

C
I

H

Trang 3/4
Câu
Đáp án Điểm
Đặt
,
a
xy
cc
==.
b
Ta được Điều kiện của bài toán trở thành 0, 0.xy>> 3.xy x y++=
Khi đó
3
3
22
33
32
32
.
(3)(3)
y
x
Px
yx
=+−+
++
y

v>>

Với mọi
u ta có 0, 0
3
33 3 3 3
()
3
()3()() ()
44
uv
.v uv uvuv uv uv
+
+=+ − +≥+ − + =
u

Do đó
3
3
32
3
33
32 ( ) 2 3 3
32
88
33 339
(3)(3)
yyxyxyx
xx
yx xyxy

yx
⎛⎞
+−++
⎛⎞
+≥+=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
++ +++
⎝⎠
++
⎝⎠
.
y

0,25
Thay 3
x
yx=−−y vào biểu thức trên ta được
3
3
3
3
33
32 ( 1)( 6)
32
8(
2( 6)
(3)(3)
yxyxy

x
xy
xy
yx
+− ++
⎛⎞
+≥ =+−
⎜⎟
++
⎝⎠
++
1).
Do đó
322 3 2 3 2
( 1) ( 1) ( ) 2 ( 1) ( ) 2( ) 6 .Pxyxyxyxyxyxyxyxy≥+− − + =+− − + − =+− − + + +−
0,25
Đặt
tx
Suy ra t và
.y=+
> 0
32
(1) 26.Pt t t≥− − + −

Ta có
22
()
3()
44
x

yt
xyxy xy t
+
=++ ≤ + + =+
.
nên (2)(6)0tt
−
+≥ Do đó 2.t ≥
Xét
32
() ( 1) 2 6,ft t t t=− − + −
với t Ta có 2.≥
2
2
1
'( ) 3( 1) .
26
t
ft t
tt
+
=−−
+
−

Với mọi
t ta có và 2≥
2
3( 1) 3t −≥
2

2
177
11
22
(1) 7
26
t
t
tt
+
=+ ≤+=
+−
+−
32
,
nên
32
'( ) 3 0.
2
ft≥− >
Suy ra
() (2) 1 2.ft f≥=−
Do đó
12P ≥− .

0,25
6
(1,0 điểm)
Khi a thì bc==
12P =− .

Do đó giá trị nhỏ nhất của P là
12

.−
0,25
Do Cd
∈
nên (; 2 5).Ct t
−
− Gọi I là tâm của hình chữ
nhật ABCD, suy ra I là trung điểm của AC.
Do đó
(
)
423
;.
22
tt
I
−
−+

0,25
Tam giác BDN vuông tại N nên IN = IB. Suy ra IN = IA.
Do đó ta có phương trình
(
)
(
)
22

22
42
23 4
54 48
222
tt
tt
−−
−+ −
⎛⎞ ⎛
−+−− =−−+−
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
7.a
(1,0 điểm)

3
2
+
⎞
⎟
⎠

1.t
⇔
= Suy ra C(1; 7).
−

0,25
Do M đối xứng với B qua C nên CM = CB. Mà CB = AD

và CM||AD nên tứ giác ACMD là hình bình hành. Suy ra
AC||DM. Theo giả thiết, BN
⊥ DM, suy ra BN ⊥ AC và
CB = CN. Vậy B là điểm đối xứng của N qua AC.
0,25
Đường thẳng AC có phương trình: 34 0.
.
xy++=
Đường thẳng BN qua N và vuông góc với AC nên có
phương trình
3170xy
−
−= Do đó (3 17; ).
B
aa+
Trung điểm của BN thuộc AC nên
3175 4
340
7.
22
aa
a
++ −
⎛⎞
+
+=⇔=−
⎜⎟
⎝⎠
(4;7).B −− Vậy
0,25

Δ có véctơ chỉ phương là
(3;2;1).u =− −
JG
0,25
(P) qua A và nhận
u
J
G
làm véctơ pháp tuyến, nên (P) có phương trình
3( 1) 2( 7) ( 3) 0 3 2 14 0.xyz xyz− −− −+−=⇔ + −−=
0,25
M thuộc Δ nên (6 3 ; 1 2 ; 2 ).
M
tt−−−−+t
0,25
8.a
(1,0 điểm)
2222
2 30 (6 3 1) ( 1 2 7) ( 2 3) 120 7 4 3 0AM t t t t t=⇔−−+−−−+−+−=⇔−−=

1t⇔= hoặc
3
.
7
t
Suy ra M
=−
(3;3;1)
−
− hoặc

(
)
51117
;;
777
M −−
.

0,25
A
D
B
C
M
N
I
Trang 4/4
Câu
Đáp án Điểm
Số phần tử của S là
3
7
A
0,25
= 210.
0,25
Số cách chọn một số chẵn từ S là 3.6.5 90
=
(cách).
0,25

9.a
(1,0 điểm)
Xác suất cần tính bằng
90 3
.
210 7
=

0,25
Gọi M là giao điểm của tiếp tuyến tại A và B của (C), H là giao
điểm của AB và IM. Khi đó
(0; ),
M
t với H là trung điểm
của AB. Suy ra
0;t ≥
22.
2
AB
AH ==

0,25
22
111
,
AH AM AI
=+
2
suy ra
210.AM =

Do đó
22
42.MH AM AH=−=

Mà
||
(,) ,
2
t
MH d M=Δ=
nên 8.t
=
Do đó (0; 8).M
0,25
Đường thẳng IM qua M và vuông góc với Δ nên có phương
trình
80.xy
+
−= Do đó tọa độ điểm H thỏa mãn hệ
.
0
(4;4)
80
xy
H
xy
−
=
⎧

⇒
⎨
+−=
⎩

0,25
7.b
(1,0 điểm)

Δ
A
I
B
H
M
Ta có
22
1
2,
4
IH IA AH HM=−==
nên
1
.
4
IH HM=
JJJG JJJJG

Do đó
(5;3).I

Vậy đường tròn (C) có phương trình
22
(5)(3)10xy−+−=.
0,25
(S) có tâm và bán kính (1; 2;1)I −
14.R =

0,25
222
| 2.1 3( 2) 1.1 11| 14
(,( )) .
14
231
dI P R
+−+ −
=
++
==
Do đó (P) tiếp xúc với (S).
0,25
8.b
(1,0 điểm)
Gọi M là tiếp điểm của (P) và (S). Suy ra M thuộc đường thẳng qua I và vuông góc với (P).
0,25
(1 2 ; 2 3 ;1 ).
M
tt+−+ +t
Do đó
Do M thuộc (P) nên Vậy 2(1 2 ) 3( 2 3 ) (1 ) 11 0 1.ttt+ +−+ ++− =⇔=t (3;1;2).M
0,25

13
132
22
zi i
⎛⎞
=+ = +
⎜⎟
⎝⎠

0,25
9.b
(1,0 điểm)
ππ
2cos sin .
33
i
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠

0,25
55
5π 5π
2 cos sin 16(1 3 ).
33
zi
⎛⎞
=+=−
⎜⎟

⎝⎠
i
Suy ra
0,25
16( 3 1) 16(1 3) .wi=++−
Do đó
0,25
Vậy w có phần thực là
16(
và phần ảo là
3 1)+ 16

(1 3).−

Hết