Đề thi HSG tỉnh vĩnh long năm học 2013-2014

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH THPT
VĨNH LONG NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: TOÁN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Buổi thi thứ nhất: Sáng 06/10/2013
Bài 1. (6,0 điểm)
a) Cho hàm số
2 2
2 1 3x mx m
y
x m
+ + −
=
−
. Định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
nằm về hai phía đối với trục tung.
b) Xác định m để hàm số:
( 3) (2 1)cosy m x m x= − − +
luôn nghịch biến trên
¡
.
Bài 2. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho hình vuông ABCD có đỉnh A(0;5) và
một đường chéo nằm trên đường thẳng có phương trình
2x 0y− =
. Tìm tọa độ các đỉnh
B,C và D.
Bài 3. (3,0 điểm) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:
2
2 2 2m x x x− + = +

có
2 nghiệm phân biệt.
Bài 4. (3,0 điểm) Trong một quyển sách có 800 trang thì có bao nhiêu trang mà số trang có
ít nhất một chữ số 5.
Bài 5. (2,5 điểm) ): Giải phương trình:
sin 2 os2 5sin cos 3
0
2cos 3
x c x x x
x
+ + − −
=
−
Bài 6. (2,5 điểm) Cho a, b, c là 3 số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1 1 2
( )
2 3 2 3 2 3 3
F a b c
a b c b c a c a b
= + + + + +
+ + + + + +
.
HẾT
- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay và tài liệu
- Giám thị không giải thích gì thêm
- Họ tên thí sinh: ……………………………… Số báo danh: ………………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH THPT
VĨNH LONG NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Buổi thi thứ hai: Chiều 06/10/2013
Bài 1. (4,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình:
3 3
2 8x y xy− = +
.
Bài 2. (4,0 điểm) Cho dãy số (u
n
):








∈−=
−=
+
*,1
3
2
3
8
1
1
Nnuu
u
nn

và dãy số
= +( ), 2 6
n n n
v v u
a) Chứng minh
( )
n
v
là cấp số nhân
b) Tính lim
n
S
, trong đó
= + + +
1 2
.
n n
S u u u
Bài 3. (3,0 điểm) Cho
1 2
, , ,
n
a a a
là n số nguyên thõa :

1 2

n
a a a p+ + + =

5 5 5
1 2

n
a a a q+ + + =
Chứng minh rằng nếu p chia hết cho 30 thì q chia hết cho 30 và ngược lại .
Bài 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC đều. M là một điểm nằm trong tam giác đó sao cho
tổng MA
2
= MB
2
+ MC
2
. Tính góc
·
BMC
.
Bài 5. (3,5 điểm) Giải hệ phương trình:
2 2
( )( 5) 8
( 1) 3
x y xy y
x y x y
+ + + = −


+ + + =

Bài 6. (2,5 điểm) Tìm đa thức P(x) với hệ số thực, thỏa mãn đẳng thức:
3 2 3 2

( 3 3 2) ( 1) ( 3 3 2) ( ),x x x P x x x x P x x+ + + − = − + − ∀ ∈¡
HẾT
- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay và tài liệu
- Giám thị không giải thích gì thêm
- Họ tên thí sinh: ……………………………… Số báo danh: ………………