các bài toán hình chọn lọc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (800.87 KB, 41 trang )
Bài 1:
!"#$%!$&
'()(%'()*&+,$(-
$!.!'
/
0--
1234*5$-!.!+6('((4()7+8
9-
23:*$5$')-!.!.:9&;
-<$')*&!%5$=:-
>23?*$5$&@5$-!.!'(
)(?!A!-
Bài 1:
a
<$∆'B>@C∆'D
b
⇒6('((4()7!9
E!-
c)
∆'"@'=':*$⇒'
/
0:--'
/
0->$⇒-0
:-⇒
MH MC
MD MO
=
F-
$G$∆:∆B>@DD
⇒∠:0∠⇒.:9&-
∠:'0∠:'⇒:'*&!%5$∠:
d)
⇒?:⊥@:')⊥@:
⇒:?7')⇒?('()!A!-
Bài 2.H
!H'()(!A!!I!.JK(*#$)(-?L'&
'M'NM(N*&-234*5$)(O*5$
MN-
$!.!M(N+8FPQ! !!$R
1S!AN4T@MU-!.!MMUVV')-
!.!%@&$O4+8!APQ! !
!$R-
Bài 2.
$
<$M(N*+8(A, )
1
W -<$MMUVV')!I>K!X=BQ5$!$!AG
G
AK.AI = AB.AC= const
<$K*PQ!
O
M
D
C
A
B
I
H
K
Bài 3. H(6
Cho tam giác ABC. Phân giác AD (D BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A và D đồng thời tiếp xúc với
BC tại D. Đờng tròn này cắt AB và AC lần lợt tại E và F. Chứng minh
a) EF // BC
b) Các tam giác AED và ADC; AFD và ABD là các tam giác đồng dạng.
c) AE.AC = AF.AB = AD
2
Bài 3.
c)
Y'MZ'
+ ADF ~ tgABD
Bài 4: H
Cho đờng tròn (o) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi vị trí trên cung lớn BC sao cho
AC>AB và AC > BC . Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và
C cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lợt là giao điểm của các cặp đờng thẳng AB với CD; AD và CE.
a. Chứng minh rằng DE// BC
b. Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp
c. Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F
Chứng minh hệ thức:
CE
F
=
CQ
F
+
CE
F
Bi 4
c) DE// PQ
Ta có:
PQ
DE
=
CQ
CE
FC
DE
=
QC
QE
F==
+
=+
CQ
CQ
CQ
QECE
FC
DE
PQ
DE
=>
DEFCPQ
FFF
=+
(3)
=>:
CECFCQ
FFF
=+
Bi 5 :3 im
!%1 E![(!$!9()*5$
!\-?L E!)']8$P5$$')*K<(P<CT
@]T')@?])T'@:-
$!.! )0 )'(=0^.':?9&-
1!.!W:?VV-
!.!W?-<0[
/
-
)6
Bài 6: Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . H là trực tâm của tam giác.
D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.
a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành.
b, Gọi P và Q lần lợt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đờng thẳng AB và AC .
Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng.
c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất.
Bài 6
APB =
ACB Mặt khác:
Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên
PAB =
PHB
Mà
PAB =
DAB do đó:
PHB =
DAB
Chứng minh tơng tự ta có:
CHQ =
DAC
Vậy
PHQ =
PHB +
BHC +
CHQ =
BAC +
BHC = 180
0
Ba điểm P; H; Q thẳng hàng
c). Ta thấy
APQ là tam giác cân đỉnh A
Có AP = AQ = AD và
PAQ =
2BAC
không đổi nên cạnh đáy PQ
đạt giá trị lớn nhất AP và AQ là lớn nhất hay AD là lớn nhất
D là đầu đờng kính kẻ từ A của đờng tròn tâm O
Bi 7: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB. Gọi H là chân
đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC.
a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH
b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d.
Bi 7.
b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH
2
= BH.CH = (2R - CH).CH
Theo (1) và do AH = 2EH ta có
-/
2PB
AH.CB
2PB
AH.CB
AH
2
= R
AH
2
.4PB
2
= (4R.PB - AH.CB).AH.CB
4AH.PB
2
= 4R.PB.CB - AH.CB
2
AH (4PB
2
+CB
2
) = 4R.PB.CB
2
222
222
222
2222
d
Rd.2.R
4R)R4(d
Rd.8R
(2R)4PB
4R.2R.PB
CB4.PB
4R.CB.PB
AH
=
+
=
+
=
+
=
B i 8 : Từ một đỉnh A của hình vuông ABCD kẻ hai tia tạo với nhau một góc 45
0
. Một tia cắt cạnh
BC tại E cắt đờng chéo BD tại P. Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đờng chéo BD tại Q.
a/ Chứng minh rằng 5 điểm E, P, Q, F và C cùng nằm trên một đờng tròn.
b/ Chứng minh rằng: S
AEF
=2S
AQP
c/ Kẻ trung trực của cạnh CD cắt AE tại M tính số đo góc MAB biết
CPD=CM
Bi 8
a/
Q, P, C cùng nằm trên đờng tròn đờng kinh EF.
b/ Từ câu a suy ra AQE vuông cân.
AE
AQ
=
/
tơng tự APF cũng vuông cân
AF
AB
=
/
AQP ~ AEF (c.g.c)
AEF
AQP
S
S
= (
/
)
2
hay S
AEF
= 2S
AQP
c/
MAB=60
0
-45
0
=15
0
Bi 9
H
O
P
Q
D
C
B
A
O
B
C
H
E
A
P
1
1
Q
P
M
F
E
D
C
B
A
!$O_%@=`!!\!a@!18(9&
][-&@O_5$*b*;T$_$O@M-
$ !.!WOM
/
0M_-M
$ !.!.M_O .9&-
1 c$_ L!A"=COT@?
? !"7C_-!.!+WO
/
YO?
/
0[
/
-
)d
(
_NB>@
4_e
/
- F
MP MI
MP MF MI
MF MP
=> = => =
-
O4B>@
O4Ne
/
4N
-4N/
NI
NI MI
MI NI
=> = => =
F/W_
/
YO4
/
04-NY4N04
/
0[
/
H-
ã
ã
NMI KPN=
( cựng ph
ã
HNP
)
0^
ã
ã
KPN NPI=
0^O?0O4
$O_%@0^O0_6
H6G$&-
Bi 10
!$')9&%=9>@!)0$('01(')0-M*
+8) !"!.$'G$!M)1+M-'MT@!
)@-
$-!f!W'
/
0')-'D)-
1-E!9>'!I$(1(
)Fg
. . (1)
BA AE
AB AC AE AD
AD AC
ị = ị =
hACD
hBDE
. .
AD DB
AD DE DB DChay
DC DE
ị = ị =
''Me'0)-
:$'
/
0'-'Me)-0')-'D)->F
1!IE!!K&!%$=
DC
hay
b
DC DB DB DC DB a
AC AB c b c b c
+
= = = =
+ +
`
( )
2
2
. . .
DC DB a a a bc
DB DC
b c b c b c
b c
= ị =
+ +
+
!I%$$='
/
0')-'D)-0
( ) ( )
2 2
2 2
1
a bc a
bc bc
b c b c
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
- = -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
+ +
ố ứ
( )
2
2
1
a
AD bc
b c
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ị = -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
+
ố ứ
Bài 11
Cho
ABC vuông đỉnh A, đờng cao AH, I là trung điểm của Ah, K là trung điểm
của HC. Đờng tròn đờng kính AH ký hiệu (AH) cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại diểm M và
N.
a) Chứng minh
ACB và
AMN đồng dạng
b) Chứng minh KN là tiếp tuýn với đờng tròn (AH)
c) Tìm trực tâm của
ABK
Bài 11
H
E
D
F
I
P
O
N
K
M
a)
c) (1 ®iÓm)
+ Gäi E lµ giao ®iÓm cña Ak víi ®êng trßn (AH), chøng minh gãc HAK= gãc HBI
Ta cã AH
2
HB.HC
⇒
AH.2IH = HB.2HK
⇒
HA HK
HB HI
=
⇒
∆
HAK
:)4∆:
⇒
·
·
HAK HBI=
+ Cã
· ·
HAK EHK=
(ch¾n cung HE)
⇒
·
·
VVHBI EHK BI HE= ⇒
Cã
·
g
dgAEH =
(AH lµ ®êng kÝnh)
BI AK
⇒ ⊥
∆
ABK cã
BI AK⇒ ⊥
vµ
BK AI⇒ ⊥
⇒
I lµ trùc t©m
∆
ABK
Bài 12!%1 E![9!A>PQ!(>
][ !"$!$-23:*!%"= L!A>(*9
!$R8> !"7C:- L!$&')C
'()*&-%')T:@4-
$ !.!i('()(:(7+89-
1 !.!4:-404'-4)
!.j! !!$R8>!jE!4'-4) !"R
Bài12
e Vk@=
∆
?4B>@C
∆
:-84-:0
?-
=4-:0[
/
!"R
Bài 13
Bài 13W3,5 điểm
l234*$5$
⇒
⊥
@4E!!K/&T!$
$$F"=4*$
/
4-⇒ =
W'-)04-
·
·
4' )'⇒ =
·
·
·
·
)' ') 4' ')= ⇒ =
·
·
') 4)=
7!T)
⇒
·
·
4' 4)=
⇒
·
·
'4N )4N=
7&!m!$=8
4N⇒
*&!%5$='4)
:*75$')8:!$N!E!*J!$&5$=')
·
·
'4) ')=
7!T')
=
·
·
·
·
N4) N) N4' N'= = =
⇒
.4)N9&
·
g
N4 dg= ⇒
V
N49& E!N
⇒
.4)N9& E!N
aJ.4'N9& E!N
E
N
M
I
K
H
C
B
A
1
2
1
2
1
d
I
H
O
B
A
M
<$.')N9& E!N
·
·
·
'N: 'N ')⇒ = =
7!T)
$"'N:$=W
·
·
':
': 'N-G 'N: 'N
G ')
= ⇒ =
$=')PQ!8
·
')
PQ!:PQ!
':⇒
G
·
')
!"R
'N⇒
!"R'PQ!`NPQ! !!$R
Bài 14
Bài 14
Bài 15: Tính độ dài đường chéo ngũ giác đều cạnh a
Bài 15
Bài 16
Bài 16
B à i t ậ p 17: Cho đờng tròn (O) và một điểm C ở ngoài đờng tròn. Từ C kẻ hai
tiếp tuyến CE, CF và cát tuyến CMN tới đờng tròn. Đờng thẳng nối C với O cắt
đờng tròn tại hai điểm A và B. Gọi I là giao điểm của AB với EF. Chứng minh
rằng:
a) Bốn điểm O, I, M, N cùng thuộc một đờng tròn.
b)
ã
ã
AIM BIN=
B i 17
a)
2
.
CE CN
CM CN CE
CM CE
= =
(1)
Vì CE, CF là tiếp tuyến của đờng tròn (O) nên
AB EF
CE
2
= CI.CO (2)
M'
I
O
M
N
E
F
B
A
C
Suy ra hai tam giác CMI và CON đồng dạng
ã
ã
CIM CNO =
. Vì vậy
ã
ã
0
180MIO MNO+ =
b) Kéo dài NI cắt đờng tròn (O) tại M.
B µ i 18: Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn (O) vµ E lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cung AB
nhá. Hai d©y CE, ED c¾t AB theo thø tù t¹i P, Q. C¸c d©y AD vµ EC kÐo dµi
c¾t nhau t¹i I. C¸c d©y BC vµ ED kÐo dµi c¾t nhau t¹i K. Chøng minh r»ng:
a) Tø gi¸c CDIK néi tiÕp.
b) Tø gi¸c CDQP néi tiÕp.
c) IK//AB.
d) §êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AQD tiÕp xóc víi EA t¹i A.
B i 18à
d) Ta cã
·
·
IDK EAB=
(hai gãc néi tiÕp ch¾n hai
cung b»ng nhau)
KỴ tia tiÕp tun Ay cđa ®êng trßn (AQD), ta
cã
·
·
BAy IDK=
(gãc t¹o bëi tia tiÕp tun vµ d©y
cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung AQ)
Tõ ®ã
·
·
BAy EAB=
. Bëi vËy Ay trïng víi AE,
hay AE lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp
tam gi¸c AQD.
O
Q
P
E
I
K
B
C
D
A
Bài 19
Cho
∆
ABC cân tại A, có BC = 2a, M là trung điểm BC, lấy D, E thuộc AB, AC sao cho
·
µ
M0)
a) Chứng minh tích BD. CE không đổi
b)Chứng minh DM là tia phân giác của
·
)M
c) Tính chu vi của
∆
AED nếu
∆
ABC là tam giác đều
c)
∆
ABC là tam giác đều nên suy ra
∆
CME củng là tam giác
đều CH =
/ /
a
=
⇒
AH = 1,5a
⇒
P
AED
= 2 AH = 2. 1,5 a = 3a
Bài 20
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh
BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC tại E và F
a) chứng minh DE + DF không đổi khi D di động trên BC
b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE tại K.
Chứng minh rằng K là trung điểm của FE
)20
a) DE // AM
⇒
M ) )
0 M0 -'
' ) )
⇒
(1)
y
K
H
I
M
E
D
C
B
A
K
F
E
D
M
C
B
A
DF // AM
⇒
N
0 N0 -'0 -'
' )
⇒
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
DE + DF =
)
-'Y -'
) )
=
) )
Y -'0 -'0/'
) ) )
÷
không đổi
b) AK // BC suy ra
∆
FKA
∆
AMC (g.g)
⇒
N? ?'
0
'
(3)
M? ?' M? ?' M? ?' M? ?' M? ?'
0 0 0
M ) MYM? )Y?' ? )Y ' ) '
⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ =
(2)
(Vì CM = BM)
Từ (1) và (2) suy ra
N? M?
' '
=
⇒
FK = EK hay K là trung điểm của FE
Bài 21:
Cho hình thoi ABCD cạnh a có
µ
g
'0ng
, một đường thẳng bất kỳ qua C cắt tia đối của các tia
BA, DA tại M, N
a) Chứng minh rằng tích BM. DN có giá trò không đổi
b) Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính số đo của góc BKD
Bài 21
b)
Suy ra
µ
µ
F F
0)
.
∆
MBD và
∆
BKD có
·
·
)0)?
và
µ
µ
F F
0)
nên
·
·
g
)?0)0F/g
Bài22:
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia
Dx cắt SC, AB, BC lần lượt tại I, M, N. Vẽ CE vuông
góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng với D qua
I. Chứng minh rằng
a) IM. IN = ID
2
b)
?
0
?O O
c) AB. AE + AD. AF = AC
2
) 22
a) Từ AD // CM
⇒
4 4
0
4 '4
(1)
1
1
K
M
N
D
C
B
A
I
K
F
G
E
M
D
C
B
A
N
Từ CD // AN
⇒
4 4
'4 4O
=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
4
4
=
4
4O
hay ID
2
= IM. IN
b) Ta có
0 0 0
O ) OY )Y O )
⇒ ⇒
(3)
Từ ID = IK và ID
2
= IM. IN suy ra IK
2
= IM. IN
⇒
4? 4O 4?e4 4Oe4? ? ?O ? 4
0 0 0 0
4 4? 4 4? 4 4? ?O 4?
⇒ ⇒ ⇒
⇒
? 4
0
?O 4 ' )
= =
(4)
Từ (3) và (4) suy ra
?
0
?O O
) 23 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường thẳng
qua I song song với AC cắt AB ở K; đường thẳng qua I song song với AB cắt AC, AM theo thứ
tự ở D, E. Chứng minh DE = BK
Bài 23
Qua M kẻ MN // IE (N
∈
AC).Ta có:
M 'M M O
0
O 'O 'M 'O
⇒ =
(1)
MN // IE, mà MB = MC
⇒
AN = CN (2)
)? )? ')
?4 'M '
= =
(b)
M )?
'M 'M
= ⇒
DE = BK
Bài 24:
Đường thẳng qua trung điểm của cạnh đối AB, CD của tứ giác
ABCD cắt các đường thẳng AD, BC theo thứ tự ở I, K. Chứng
minh: IA . KC = ID. KB
Bài 24
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD
Ta có AM = BM; DN = CN
Vẽ AE, BF lần lượt song song với CD
4' ?)
0
4 ?
⇒
IA . KC = ID. KB
Bài 25
N
D
I
M
E
K
C
B
A
F
E
I
K
M
N
D
C
B
A
Cho
·
o
, các điểm A, B theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox, Oy sao cho
F F F
Y
' )
=
(k là hằng số). Chứng minh rằng AB luôn đi qua một điểm cố đònh
Bài 25
Vẽ tia phân giác Oz của
·
o
cắt AB ở C. vẽ CD // OA
⇒
F F F
F
' ) ' )
+ = ⇒ + =
(1)
Theo giả thiết thì
F F F
Y
' )
=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra CD = k , không đổi
Bài 26
Cho điểm M di động trên đáy nhỏ AB của hình thang ABCD, Gọi O là giao điểm của hai cạnh
bên DA, CB. Gọi G là giao điểm của OA và CM, H là giao
điểm của OB và DM. Chứng minh rằng: Khi M di động trên
AB thì tổng
2 :
Y
2 :
không đổi
)/n
Qua O kẻ đường thẳng song với AB cắt CM, DM theo thứ tự
ở I và K. Theo đònh lí Talét ta có:
2 : 4?
Y
2 :
⇒ =
(1)
Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt IK, CD theo thứ tự ở P và Q, ta có:
4? _ N
c c
= =
không đổi vì FO là khoảng cách từ O đến AB, MQ là đường cao của hình
thang nên không đổi (2)
Từ (1) và (2) suy ra
2 : N
Y
2 : c
=
không đổi
Bài 27:
Cho tam giác ABC (AB < AC), phân giác AD. Trên AB
lấy điểm M, trên AC lấy điểm N sao cho BM = CN, gọi
giao điểm của CM và BN là O, Từ O vẽ đường thẳng
song song với AD cắt AC, AB tại E và F.
Chứng minh rằng: AB = CF; BE = CA
G
P
O
K
I
N
D
Q
C
B
M
A
F
E
Q
P
F
K
I
H
G
M
O
D
C
B
A
z
O
y
x
D
C
B
A
)/p
AE =AF (a)
N 4 N '
0
' 4
⇒ =
(1)
' )'
)
=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
N )'
4 )
=
(3)
Kẻ đường cao AG của
∆
AFE . BP // AG (P
∈
AD); CQ // AG (Q
∈
OI)
thì
·
·
)_0c4
= 90
0
Gọi trung điểm của BC là K,
⇒
CQ = BP, CI = BD (4)
N )'
) )
=
⇒
CF = BA (b)
Bài 28
Cho
∆
ABC có ba góc nhọn, trực tâm H, một đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự tạ P, Q sao
cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: HM
⊥
PQ
Bài 28
Gọi giao điểm của AH và BC là I
Từ C kẻ CN // PQ (N
∈
AB),
ta chứng minh MH
⊥
CN
⇒
HM
⊥
PQ
Bài 29
Cho hình chữ nhật ABCD có M, N thứ tự là trung điểm của
AD, BC. Gọi E là một điểm bất kỳ thuộc tia đối của tia DC,
K là giao điểm của EM và AC.
Chứng minh rằng: NM là tia phân giác của
·
?OM
)/d
Gọi H là giao điểm của KN và DC, giao điểm của AC và MN là I thì IM = IN
∆
ENH cân tại N
⇒
NC là tia phân giác của
·
MO:
mà NC
⊥
MN (Do NM
⊥
BC – MN // AB)
)HgW
Trên cạnh BC = 6 cm của hình vuông ABCD lấy điểm E
sao cho BE = 2 cm. Trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao
cho CF = 3 cm. Gọi M là giao điểm của AE và BF. Tính
·
'
I
K
N
M
Q
P
H
C
B
A
//
//
I
H
E
N
M
K
D
C
B
A
H
M
G
F
E
D
C
B
A
)Hg
Gọi giao điểm của CM và AB là H, của AM và DF là G
∆
BAE =
∆
BCH (c.g.c)
⇒
·
·
)'M0):
mà
·
·
)'MY)M'
= 90
0
⇒
·
'
= 90
0
)HF
Cho tứ giác ABCD. Qua điểm E thuộc AB, H thuộc AC vẽ các đường thẳng song song với BD,
cắt các cạnh còn lại của tứ giác tại F, G
a) Có thể kết luận gì về các đường thẳng EH, AC, FG
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, cho biết OB = OD. Chứng minh rằng ba đường thẳng
EG, FH, AC đồng quy
)HF
a) Nếu EH // AC thì EH // AC // FG
Nếu EH và AC không song song thì EH, AC, FG đồng quy
b) Gọi giao điểm của EH, HG với AC
EG, FH, AC đồng quy tại O
Bài 32.
Cho tam giác ΔABC ngoại tiếp
đường tròn (O). Gọi D, E, F theo
thứ tự là tiếp điểm trên các cạnh
BC, AB, AC. Gọi H là chân đường
vng góc kẻ từ D đến EF. Chứng
minh rằng: .
Tam giác AEF cân tại A nên
Ta có ΔBEI ΔCFK (g-g)
Bài 32
Kẻ BI, CK vng góc với EF.
·
·
BEI = CFK
BI BE BD HI
= = =
CK CF CD HK
·
·
BHE = CHF
Từ đó suy ra
nên ΔBHI ΔCHK
Do đó
Bài 33
Cho đường tròn tâm O điểm k nằm ngoài đường tròn .Kẻ các tiêp tuyến
KA , kB với đường tròn (A, B 0 là các tiếp điểm . Kẻ đường kính AOC ,Tiếp tuyến
của đường tròn O tại C cắt AB tại E , Chứng Minh rằng :
a) Các tam giác KBC và OBE đồng dạng
b) CK vuông góc với OE
Hướng dẫn :
∆
KBC
∆
OBE (cgc)
Bài 34 : Cho hai đường tròn ở ngoài nhau (O) và (O’) kẻ tiếp tuyến chung ngoài
AB chung trong EF .A,E (O) , B,F (O’) .Gọi M là giao điểm của AB và EF
Chứng minh a)
∆
AOM
∆
BOM’
b)AE
⊥
BF
c) Gọi N là giao điểm của AE và BF .Chứng minh O,N,O’ thẳng hàng
HD : Câu c:
Gọi I là giao điểm của OM và AE
∆
OIN
∆
OMO’ (cgc)
Thông qua câu a
4 ?
q
=
4 4O
q
⇒ =
·
·
qION M⇒ =
Bài 35 : Cho hình vuông ABCD , E,F là hai điểm di động theo thứ tự nằm giữa
B,C và C,D sao cho
·
g
'MNN 6=
hai đoạn thẳng AE và AF lần lượt cắt BD tại M và
N vẽ AH
⊥
EF Chứng minh rằng :
a) Ba đường thẳng AH , FM , EN đồng quy
b) EF luôn tiếp xúc với đường tòn cố định
c) Diện tích tam giác AMN bằng diện tích tứ giác MNFE
HD : câu c
∆
AMF
∆
ANE
∆
AMN
∆
ANE
⇒
S
AMN
/S
AEF
= 1/2
⇒
S
AMN
= S
MNFE
Bài 36 : Cho đường tròn (O) đường kính AB M là điểm di động trên nữa đường
tròn sao cho
¼
¼
' )≤
vẽ vào trong đường tròn hình vuông AMCD
a) Chứng minh MD luôn đi qua một điểm cố định E
b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMB Chứng minh rắng A,B,C,I cũng
thuộc một đường tròn
c) Chứng minh rằng đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định
E
C
O
B
A
K
∈
∈
N
K
I
E
O'
F
B
O
M
A
H
N
M
F
E
D
C
B
A
)HpW!!j!"PQ!_c[<-rs9!$R8@!_c
≠
_(
≠
c-S!A[T!sc<5$!j!"_c[<@M-S
@&$[cT!Ac<@NN
≠
c-S!A[NT@!<_
5$!j!"_c[<@O-
F- !.\+W
·
·
·
M[N c[M Y<[N
=
-
/- !.!+ !!$R8@!_c5$!j!"_c[<!j
@&$MN*"#$9PQ!-
H- !.!+WO0cYO<-
@&$MN#$_-
:$$"[c[1+!$(
G$Wc0
aJW:$$"[O<[O
1+!$(G$WO<0O-
=WO0cYO<
Bài 38
W!$')')t'-*u9&$')&ofC
@!')('()*b*;@(O(_-234*!E!,$!\O(:*
5$O(?*Po.5$4#$
$- !.!W?'-4:0:?-4'
1- !.!_4*&!%5$='_:
$$=
'
:
4'
4:
=
'
:
?'
?:
=
>=W
?:-4'?'-4:
?'
?:
4'
4:
=⇒=
1$=_
/
0O
/
0:-'
∆
'_
∆
_:
⇒
:
_
_:
_'
=
∆
'
∆
:
⇒
:
_
:
'
:
==
⇒
4:
4'
_:
_'
:
'
==
⇒
_4*&!%:_'
)HdW!.')9&%-@!P') s>
T!$@M@!P')T!$@N-_!%=NT')@_T
@c
$- !.!$_cM%
1- !.!MN
/
0N'-NYM'-M)
∆
M)
∆
MN'
∆
N)'N
∆
N)N)
D
H
N
F
E
M
S
R
Q
P
'
)
O
4
:
_
?
P
M
O
E
F
D
C
B
A
Q
)gW!$')=1$=!39&%
')t'-&@)T!$@O-v>%'VV)-S
!AOT@!.!$*_-
$- !1
Fn
FFF
//
=+
NCOB
-:iE!9>)
1- !.!W
)_ _
' ')
=
- )(O('_B#
1W
_) O)
) O
=
]
_ O
O
=
)0']0')
23?*$5$'_)$W?)0?
W
)c _) c _
]
'c ' 'c ')
= =
)FW!$')vC')0'01])0$-S&!%=
T@!')@!wwY'0$-8@!)*KMG$!
0M-!.!+
$ :$$)M)'B>@
1 2='0ng
g
$
Y/$
H
1eH$
/
1
/
e6$1
H
Y/1
0g
0M])M0'
$
Y/$
H
1eH$
/
1
/
e6$1
H
Y/1
0$Y/1$
H
eH$
/
1Y1
H
0g
$
H
Y1
H
0H$
/
1
E!'()!I$(1
?L&!%)NWN0M0)M0']N0'
E!
N)
N
0
)
⇒
/ /
$ 1 $1
1 $ $1 1
−
= =
+ −
)/W!!j!"')-:$!sT!$@M-9
!A#$'T@)@T!A@O-23?*
$5$!A M)O-!.!?"
=C)O
kK4G$!4)0
24)M02M0^)40M
2M4"%
)4 O
)' ) ' O'
= = =
0^4VV?O
2)M?9&
O
Q
P
N
C
B
M
A
F
E
D
C
B
A
M
I
K
N
E
D
C
B
A
)-!.!+9$(3%2(J%:(%@
&$*-!j:(2(!A!
-$'):*J%(2*
3%(*%@&
$-
e
GM
AG
0
F
/
(
·
HAG
0
·
OMG
e
OM
AH
0
F
/
e ⇒
AHG MOGV : V
--
⇒:(2(!A!-
Bài 45 Câu 5/W$')*K_G$!
_'0_)-_>J_"=C)-_?"=C'-23*
5$')-!.!W?0-
Bài 1:
!"#$%!$&
'()(%'()*&+,$(-
$!.!'
/
0--
1234*5$-!.!+6('((4()7+8
9-
23:*$5$')-!.!.:9&;
-<$')*&!%5$=:-
E
P
K
M
D
C
B
A
F
>23?*$5$&@5$-!.!'(
)(?!A!-
Bài 1:
ars!$$''=W
D∠!
D∠'0∠'0
»
'
1
s
2
-
<$∆'B>@C∆'D
⇒
MA MC
MD MA
=
⇒'
/
0--
bx'()*&5$8
∠'0∠)0dg
g
-
x4*>%8∠40dg
g
-
=W∠'0∠)0∠40dg
g
⇒6('((4()7!9
E!-
c)$='0)E!!K!$&T!$'0)0[
-=*
J5$')⇒⊥')-
∆'"@'=':*$⇒'
/
0:--'
/
0->$
⇒-0:-⇒
MH MC
MD MO
=
F-
rs∆:∆=W
∠!( !;&CF$G$∆:∆B>@DD
⇒∠:0∠⇒.:9&-
$=WY∆%@⇒∠0∠
Y∠0∠:>:9&
=∠0∠:∠0∠:⇒∠:0∠:
⇒dg
g
D∠:0dg
g
D∠:⇒∠:'0∠:'⇒:'*&!%5$∠:!$')
*&!%5$∠:-
d).?9&j∠?0∠?0dg
g
⇒∠?0∠0∠∠0∠:
⇒∠?0∠:⇒?:9&
⇒∠?:0∠?0dg
g
-
⇒?:⊥@:')⊥@:
⇒:?7')⇒?('()!A!-
Bài 2.H
!H'()(!A!!I!.JK(*#$)(-?L'&
'M'NM(N*&-234*5$)(O*5$
MN-
$!.!M(N+8FPQ! !!$R
1S!AN4T@MU-!.!MMUVV')-
!.!%@&$O4+8!APQ! !
!$R-
O
M
D
C
A
B
I
H
K
Bi 2.
$ vj'N*&5$8$=W -
rs 'N) ($=W
N')0 N'
<$ AFB
<$W
<$M(N*+8(A, )
1 vj'N*&5$8$=W
F
y !W
/
vW
'(M(4(N7+8 E!'H
F(/(HG$;W -<$MMUVV')!I>K!X=BQ5$
!$!AGG
rs $=W
OAI =
ANK= AIO=90
0
<$ '4 ?'O
F
y ! /
F/G$AK.AI = AB.AC= const
<$K*PQ!
z>!`!K@&$O4{!E!*@&.
4?O(G$%5$@&$O4+8J5$?4
*!APQ!-=$=&-
Bài 3. H(6
Cho tam giác ABC. Phân giác AD (D BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A và D đồng thời tiếp xúc với
BC tại D. Đờng tròn này cắt AB và AC lần lợt tại E và F. Chứng minh
a) EF // BC
b) Các tam giác AED và ADC; AFD và ABD là các tam giác đồng dạng.
c) AE.AC = AF.AB = AC
2
Bài 3.
a)
ã ã
ằ
1
( )
2
EAD EFD sdED= =
(0,25)
ã
ã
ằ
1
( )
2
FAD FDC sdFD= =
(0,25)
mà
ã
ã ã
ã
EDA FAD EFD FDC= =
(0,25)
EF // BC (2 góc so le trong bằng nhau)
F
E
A
B
C
D
b) AD là phân giác góc BAC nên
ằ ằ
DE DF=
sđ
ã
1
2
ACD =
sđ(
ẳ
ằ
AED DF
) =
1
2
sđ
ằ
AE
= sđ
ã
ADE
do đó
ã
ã
ACD ADE=
và
ã
ã
EAD DAC=
AED ~ ADC (g.g)
Tơng tự: sđ
ã
ằ
ẳ
ằ
1 1
( )
2 2
ADF sd AF sd AFD DF= =
=
ẳ
ằ
ã
1
( )
2
sd AFD DE sdABD =
ã
ã
ADF ABD=
do đó AFD ~ ABD(g.g)
c) Theo trên:
Y'MZ'
AE AD
AD AC
=
hay AD
2
= AE.AC (1)
+ ADF ~ tgABD
AD AF
AB AD
=
AD
2
= AB.AF (2)
Từ (1) và (2) ta có AD
2
= AE.AC = AB.AF
Bài 4: H
Cho đờng tròn (o) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi vị trí trên cung lớn BC sao cho
AC>AB và AC > BC . Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và
C cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lợt là giao điểm của các cặp đờng thẳng AB với CD; AD và CE.
a. Chứng minh rằng DE// BC
b. Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp
c. Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F
Chứng minh hệ thức:
CE
F
=
CQ
F
+
CE
F
Bi 4
a) Sđ
CDE =
/
F
Sđ DC =
/
F
Sđ BD =
BCD
=> DE// BC (2 góc vị trí so le)
b)
APC =
/
F
sđ (AC - DC) =
AQC
=> APQC nội tiếp (vì
APC =
AQC
cùng nhìn đoan AC)
c) Tứ giác APQC nội tiếp
CPQ =
CAQ (cùng chắn cung CQ)
CAQ =
CDE (cùng chắn cung DC)
Suy ra
CPQ =
CDE => DE// PQ
Ta có:
PQ
DE
=
CQ
CE
(vì DE//PQ) (1)
FC
DE
=
QC
QE
(vì DE// BC) (2)
Cộng (1) và (2) :
F==
+
=+
CQ
CQ
CQ
QECE
FC
DE
PQ
DE
=>
DEFCPQ
FFF
=+
(3)
ED = EC (t/c tiếp tuyến) từ (1) suy ra PQ = CQ
Thay vào (3) :
CECFCQ
FFF
=+
Bi 5 :3 im
!%1 E![(!$!9()*5$
!\-?L E!)']8$P5$$')*K<(P<CT
@]T')@?])T'@:-
$!.! )0 )'(=0^.':?9&-
1!.!W:?VV-
!.!W?-<0[
/
-
)6
a) Ta có
ằ
ằ
BC BD=
(GT)
ã
ã
BMD BAC=
(2 góc nội
tiếp chắn 2 cung băng nhau)
* Do
ã
ã
BMD BAC=
A, M nhìn HK dời 1 góc bằng
nhau
MHKA nội tiếp.
b) Do BC = BD (do
ằ
ằ
BC BD=
), OC = OD (bán kính)
OB là đờng trung trực của CD
CD
AB (1)
Xet MHKA: là tứ giác nội tiếp,
ã
g
dgAMH =
(góc nt
chắn nửa đờng tròn)
ã
g g g
F|g dg dgHKA = =
(đl)
HK
AB (2)
Từ 1,2
HK // CD
H
K
M
A
B
O
C
D
S
Bài 6: Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . H là trực tâm của tam giác.
D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.
a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành.
b, Gọi P và Q lần lợt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đờng thẳng AB và AC .
Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng.
c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất.
Bài 6
a. Giả sử đã tìm đợc điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD là hình bình hành . Khi đó:
BD//HC; CD//HB vì H là trực tâm tam giác ABC nên
CH
AB
và BH
AC
=> BD
AB
và CD
AC
.
Do đó:
ABD = 90
0
và
ACD = 90
0
.
Vậy AD là đờng kính của đờng tròn tâm O
Ngợc lại nếu D là đầu đờng kính AD
của đờng tròn tâm O thì
tứ giác BHCD là hình bình hành.
b) Vì P đối xứng với D qua AB nên
APB =
ADB
nhng
ADB =
ACB nhng
ADB =
ACB
Do đó:
APB =
ACB Mặt khác:
AHB +
ACB = 180
0
=>
APB +
AHB = 180
0
Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên
PAB =
PHB
Mà
PAB =
DAB do đó:
PHB =
DAB
Chứng minh tơng tự ta có:
CHQ =
DAC
Vậy
PHQ =
PHB +
BHC +
CHQ =
BAC +
BHC = 180
0
Ba điểm P; H; Q thẳng hàng
c). Ta thấy
APQ là tam giác cân đỉnh A
Có AP = AQ = AD và
PAQ =
2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ
H
O
P
Q
D
C
B
A
đạt giá trị lớn nhất AP và AQ là lớn nhất hay AD là lớn nhất
D là đầu đờng kính kẻ từ A của đờng tròn tâm O
Bi 7: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB. Gọi H là chân
đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC.
a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH
b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d.
Bi 7
a) Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC)
b) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có
CB
CH
PB
EH
=
; (1)
Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB)
=> POB = ACB (hai góc đồng vị)
=> AHC
POB
Do đó:
OB
CH
PB
AH
=
(2)
Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trug điểm của AH.
b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH
2
= BH.CH = (2R - CH).CH
Theo (1) và do AH = 2EH ta có
-/
2PB
AH.CB
2PB
AH.CB
AH
2
= R
AH
2
.4PB
2
= (4R.PB - AH.CB).AH.CB
4AH.PB
2
= 4R.PB.CB - AH.CB
2
AH (4PB
2
+CB
2
) = 4R.PB.CB
2
222
222
222
2222
d
Rd.2.R
4R)R4(d
Rd.8R
(2R)4PB
4R.2R.PB
CB4.PB
4R.CB.PB
AH
=
+
=
+
=
+
=
B i 8 : Từ một đỉnh A của hình vuông ABCD kẻ hai tia tạo với nhau một góc 45
0
. Một tia cắt cạnh
BC tại E cắt đờng chéo BD tại P. Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đờng chéo BD tại Q.
a/ Chứng minh rằng 5 điểm E, P, Q, F và C cùng nằm trên một đờng tròn.
b/ Chứng minh rằng: S
AEF
=2S
AQP
c/ Kẻ trung trực của cạnh CD cắt AE tại M tính số đo góc MAB biết CPD=CM
Bi 8
a/
A
1
và
B
1
cùng nhìn đoạn QE dới một góc 45
0
tứ giác ABEQ nội tiếp đợc.
FQE =
ABE =1v.
chứng minh tơng tự ta có
FBE = 1v
Q, P, C cùng nằm trên đờng tròn đờng kinh EF.
b/ Từ câu a suy ra AQE vuông cân.
AE
AQ
=
/
(1)
tơng tự APF cũng vuông cân
O
B
C
H
E
A
P
1
1
Q
P
M
F
E
D
C
B
A
⇒
AF
AB
=
/
(2)
tõ (1) vµ (2) ⇒ AQP ~ AEF (c.g.c)
AEF
AQP
S
S
= (
/
)
2
hay S
AEF
= 2S
AQP
c/ §Ó thÊy CPMD néi tiÕp, MC=MD vµ
∠
APD=
∠
CPD
⇒
∠
MCD=
∠
MPD=
∠
APD=
∠
CPD=
∠
CMD
⇒MD=CD ⇒ ∆MCD ®Òu ⇒
∠
MPD=60
0
mµ
∠
MPD lµ gãc ngoµi cña ∆ABM ta cã
∠
APB=45
0
vËy
∠
MAB=60
0
-45
0
=15
0
Bài 9
!$O_%@=`!!\!a@!18(9&
][-&@O_5$*b*;T$_$O@M-
!.!WOM
/
0M_-M
> !.!.M_O .9&-
I c$_ L!A"=COT@?
? !"7C_-!.!+WO
/
YO?
/
0[
/
-
)d
%4v-
$(
∆
OMB>@
∆
_MOe
/
-
NE ME
NE ME PE
EP NE
=> = => =
1(
·
·
MNP MPN=
>$O_%@
·
·
·
7 PNE NPD c NMP
= =
0^
·
·
DNE DPE
=
-
:$O]_7!9}$&1M7!jM
>CF=1+!$8.O_M9&-
(
∆
_NB>@
∆
4_e
/
- F
MP MI
MP MF MI
MF MP
=> = => =
-
∆
O4B>@
∆
O4Ne
/
4N
-4N/
NI
NI MI
MI NI
=> = => =
F/W_
/
YO4
/
04-NY4N04
/
0[
/
H-
·
·
NMI KPN=
( cùng phụ
·
HNP
)
0^
·
·
KPN NPI=
0^O?0O4
$O_%@0^O0_6
H6G$&-
Bài 10
!$')9&%=9>@!)0$('01(')0-M*
+8) !"!.$'G$!M)1+M-'MT@!
)@-
$-!f!W'
/
0')-'D)-
1-E!9>'!I$(1(
)Fg
$=
·
·
BAD CAE=
M)0M
v
·
·
AEC DBA=
:$=9&7!T'8
hBAD
hEAC
H
E
D
F
I
P
O
N
K
M
. . (1)
BA AE
AB AC AE AD
AD AC
ị = ị =
$=
ã
ã
ã
ã
(Đối đỉnh) và CADADC BDC DBE= =
/=9&7!TM8
hACD
hBDE
. .
AD DB
AD DE DB DChay
DC DE
ị = ị =
''Me'0)-
:$'
/
0'-'Me)-0')-'D)->F
1!IE!!K&!%$=
DC
hay
b
DC DB DB DC DB a
AC AB c b c b c
+
= = = =
+ +
`
( )
2
2
. . .
DC DB a a a bc
DB DC
b c b c b c
b c
= ị =
+ +
+
!I%$$='
/
0')-'D)-0
( ) ( )
2 2
2 2
1
a bc a
bc bc
b c b c
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
- = -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
+ +
ố ứ
( )
2
2
1
a
AD bc
b c
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ị = -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
+
ố ứ
Bài 11
Cho
ABC vuông đỉnh A, đờng cao AH, I là trung điểm của Ah, K là trung điểm
của HC. Đờng tròn đờng kính AH ký hiệu (AH) cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại diểm M và
N.
d) Chứng minh
ACB và
AMN đồng dạng
e) Chứng minh KN là tiếp tuýn với đờng tròn (AH)
f) Tìm trực tâm của
ABK
Bài 11
a)
E
N
M
I
K
H
C
B
A
AMN và
ACB vuông đỉnh A
Có
ã
ã
'O ':O=
(cùng chắn cung AN)
ã
ã
':O ':=
(cùng phụ với
ã
:'O
) (AH là đờng kính)
ã
ã
'O ': =
'O ')
:
b) (1 điểm)
HNC vuông đỉnh N vì
ã
g
'O: dg=
có KH = KC
NK = HK
lại có IH = IN (bán kính đờng tròn (AH)) và IK chung nên
KNI =
KHI (c.c.c)
ã
ã
g
dgKNI KHI = =
ã
g
dgKNI =
Có KN
In, IN là bá kính của (AH)
KN là tiếp tuyến với đờng tròn (AH)
c) (1 điểm)
+ Gọi E là giao điểm của Ak với đờng tròn (AH), chứng minh góc HAK= góc HBI
