LÝ THUYẾT ĐSGT 11

Mục lục
1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC 1
1.1 CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Hàm số y = sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Hàm số y = cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Hàm số y = tan x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Hàm số y = cot x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Phương trình sin x = a (1) . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Phương trình cos x = a (2) . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Phương trình tan x = a (3) (có nghiệm với
mọi a ∈ R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Phương trình cot x = a (4) (có nghiệm với
mọi a ∈ R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP . . 10
1.3.1 Phương trình bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x . . . . . . . 11
1.3.4 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x . 11
1.3.5 Phương trình đối xứng theo sin x và cos x . . . . . . . . . 12
1.3.6 Phương pháp tổng quát để giải phương trình lượng giác 13
2 TỔ HỢP - XÁC XUẤT 14
2.1 QUY TẮC ĐẾM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Quy tắc cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.4 Hai tính chất cơ bản của số C

k
n
. . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Công thức nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Tam giác Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.1 Công thức tính xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.2 Quy tắc cộng xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5.3 Quy tắc nhân xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 17
3.1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC . . . . . . . . . . . . 17
3.2 DÃY SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.2 Cách cho một dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.3 Dãy số tăng, dãy số giảm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.4 Dãy số bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 CẤP SỐ CỘNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.2 Số hạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.3 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.4 Tổng n số hạng đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 CẤP SỐ NHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.2 Số hạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.3 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.4 Tổng n số hạng đầu tiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 GIỚI HẠN 21
4.1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.1 Giới hạn hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.2 Giới hạn vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.3 Các giới hạn đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.4 Định lí về giới hạn hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.5 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực . . . . . . . . . . . . 22
4.1.6 Cấp số nhân lùi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.2 Các giới hạn đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
i
4.2.3 Định lí về giới hạn hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.4 Quy tắc tìm giới hạn vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3.1 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3.2 Các định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 ĐẠO HÀM 25
5.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM . . . . . . . . . 25
5.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.2 Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa . . . . . . . . . . 26
5.1.3 Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm . . . . . . . 26
5.1.4 Ý nghĩa hình học của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2.1 Đạo hàm một số hàm thường gặp . . . . . . . . . . . . . 26
5.2.2 Các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2.3 Đạo hàm hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.3 ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . 27
5.4 VI PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.4.2 Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng . . . . . . . . 28
5.5 ĐẠO HÀM CẤP CAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.5.1 Đạo hàm cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.5.2 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
ii
LÍ THUYẾT ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11
TRẦN UY ĐÔNG
∗
TTGDTX Bảo Yên Lào Cai

06/2008
1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
CKIẾN THỨC CẦN NHỚ
A. Đường tròn lượng giác
A
B
B

A

O
1
1
-1
-1
R = 1
u
u

x
x


y
y

t
t

(+)
(−)
Hình 1:
Trong đó:
A: điểm gốc
x

Ox: trục côsin (trục hoành)
∗
actemits
1
Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 2
y

Oy: trục sin (trục tung)
t

At: trục tang
u

Bu: trục côtang
B. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau Cung hơn kém nhau π

cos(−α) = cos α cos(π − α) = −cos α cos(
π
2
− α) = sin α cos(π + α) = −cos α
sin(−α) = −sin α sin(π − α) = sin α sin(
π
2
− α) = cos α sin(π + α) = −sin α
tan(−α) = −tan α tan(π − α) = −tan α tan(
π
2
− α) = cot α tan(π + α) = tan α
cot(−α) = −cot α cot(π − α) = −cot α cot(
π
2
− α) = tan α cot(π + α) = cot α
C. Công thức lượng giác
C.1 Các hệ thức cơ bản
• cos
2
α + sin
2
α = 1
• 1 + tan
2
α =
1
cos
2
α

• 1 + cot
2
α =
1
sin
2
α
• tan α cot α = 1
C.2 Công thức cộng
• cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
• cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
• sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
• sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
• tan(α − β) =
tan α −tan β
1 + tan α tan β
• tan(α + β) =
tan α + tan β
1 − tan α tan β
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 2
Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 3
• cot(α + β) =
cot α cot β − 1
cot β + cot α
• cot(α − β) =
cot α cot β + 1
cot β − cot α
C.3 Công thức nhân đôi
• cos 2α = cos
2

α − sin
2
α = 2 cos
2
α − 1 = 1 −2 sin
2
α = cos
4
α − sin
4
α
• sin 2α = 2 sin α cos α
• tan 2α =
2 tan α
1 − tan
2
α
• cot 2α =
cot
2
α − 1
2 cot α
=
cot α −tan α
2
⇔ cot α − tan α = 2 cot 2α
C.4 Công thức nhân ba
• cos 3α = 4 cos
3
α − 3 cos α

• sin 3α = 3 sin α − 4 sin
3
α
• tan 3α =
3 tan α − tan
3
α
1 − 3 tan
2
α
• cot 3α =
cot
3
α − 3 cot α
3 cot
2
α − 1
C.5 Công thức hạ bậc
• cos
2
α =
1 + cos 2α
2
• sin
2
α =
1 − cos 2α
2
• tan
2

α =
sin
2
α
cos
2
α
=
1 − cos 2α
1 + cos 2α
• cos
3
α =
3 cos α + cos 3α
4
• sin
3
α =
3 sin α − sin 3α
4
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 3
Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 4
C.6 Công thức tính sin α, cos α, tan α theo t = tan
α
2
• sin α =
2t
1 + t
2
• cos α =

1 − t
2
1 + t
2
• tan α =
2t
1 − t
2
C.7 Công thức biến đổi tích thành tổng
• cos α cos β =
1
2

cos(α − β) + cos(α + β)

• sin α sin β =
1
2

cos(α − β) − cos(α + β)

• sin α cos β =
1
2

sin(α − β) + sin(α + β)

C.8 Công thức biến đổi tổng thành tích
• cos α + cos β = 2 cos
α + β

2
cos
α − β
2
• cos α −cos β = −2 sin
α + β
2
sin
α − β
2
• sin α + sin β = 2 sin
α + β
2
cos
α − β
2
• sin α −sin β = 2 cos
α + β
2
sin
α − β
2
• tan α + tan β =
sin(α + β)
cos α cos β
• tan α −tan β =
sin(α − β)
cos α cos β
C.9 Công thức thường dùng khác
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 4

Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 5
• cos α + sin α =
√
2 cos(α −
π
4
) =
√
2 sin(α +
π
4
)
• cos α −sin α =
√
2 cos(α +
π
4
) = −
√
2 sin(α −
π
4
)
• sin α cos α =
sin 2α
2
• cos
4
α + sin
4

α =
3 + cos 4α
4
• cos
6
α + sin
6
α =
5 + 3 cos 4α
8
1.1 CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1.1.1 Hàm số y = sin x
- Tập xác định: R
- Tập giá trị: [−1; 1]
- Là hàm số lẻ
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π
- Đồng biến trên mỗi khoảng

−
π
2
+ k2π;
π
2
+ k2π

và nghịch biến trên mỗi
khoảng

π

2
+ k2π;
3π
2
+ k2π

, k ∈ Z
- Đồ thị là một đường hình sin
y
x
O
1
-1
π/2
π
3π/2
2π
−π/2
−π
−3π/2
−2π
Hình 2: Đồ thị hàm số y = sin x
1.1.2 Hàm số y = cos x
- Tập xác định: R
- Tập giá trị: [−1; 1]
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 5
Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 6
- Là hàm số chẵn
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π
- Đồng biến trên mỗi khoảng


−π +k2π; k2π

và nghịch biến trên mỗi khoảng

k2π; π + k2π

, k ∈ Z
- Đồ thị là một đường hình sin
+ Do sin(x +
π
2
) = cos x, ∀x ∈ R nên tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin x sang
trái, song song với trục hoành, một đoạn là
π
2
ta được đồ thị hàm số y = cos x
1.1.3 Hàm số y = tan x
- Tập xác định: D
1
= R \

π
2
+ kπ | k ∈ Z

- Tập giá trị: R
- Là hàm số lẻ
- Là hàm tuần hoàn với chu kì π
- Đồng biến trên mỗi khoảng


−
π
2
+ kπ;
π
2
+ kπ

, k ∈ Z
- Đồ thị (tự xem)
1.1.4 Hàm số y = cot x
- Tập xác định: D
2
= R \ {kπ | k ∈ Z}
- Tập giá trị: R
- Là hàm số lẻ
- Là hàm tuần hoàn với chu kì π
- Nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ), k ∈ Z
- Đồ thị (tự xem)
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 6
Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 7
Cách xác định giá trị các hàm số lượng giác
- Trên đường tròn lượng giác, cho cung lượng giác
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x

Ox và y

Oy.
Gọi T và U lần lượt là giao điểm của tia OM với t


At và u

Bu.
O
A
A

M
B
B

H
K
U
T
α
x
x

y
y

t
t

u

u
s

(+)
(−)
Truc cotang
Truc tang
Truc sin
Truc cosin
Hình 3:
sin α = OK
cos α = OH
tan α = AT
cot α = BU
Bổ sung về khái niệm hàm số tuần hoàn
Một cách tổng quát:
“Hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D được gọi là hàm số tuần hoàn
nếu có số T = 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có
x + T ∈ D , x −T ∈ D và f(x + T ) = f(x)
Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được
gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T”
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 7
Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 8
1.2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1.2.1 Phương trình sin x = a (1)
• |a| > 1: phương trình (1) vô nghiệm
• |a| ≤ 1: đặt a = sin α. Khi đó
(1) ⇔

x = α + k2π, k ∈ Z
x = π − α + k2π, k ∈ Z
1.2.2 Phương trình cos x = a (2)
• |a| > 1: phương trình (2) vô nghiệm

• |a| ≤ 1: đặt a = cos α. Khi đó
(2) ⇔ x = ±α + k2π, k ∈ Z
1.2.3 Phương trình tan x = a (3) (có nghiệm với mọi a ∈ R)
Điều kiện: x =
π
2
+ kπ, k ∈ Z
Đặt m = tan α. Khi đó
(3) ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
1.2.4 Phương trình cot x = a (4) (có nghiệm với mọi a ∈ R)
Điều kiện: x = kπ, k ∈ Z
Đặt m = cot α. Khi đó
(4) ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
Các trường hợp đặc biệt
• sin x = 1 ⇔ x =
π
2
+ k2π
• sin x = −1 ⇔ x = −
π
2
+ k2π
• sin x = 0 ⇔ x = kπ
• cos x = 1 ⇔ x = k2π
• cos x = −1 ⇔ x = π + k2π
• cos x = 0 ⇔ x =
π
2
+ kπ
• tan x = 0 ⇔ x = kπ

• tan x = 1 ⇔ x =
π
4
+ kπ
• tan x = −1 ⇔ x = −
π
4
+ kπ
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 8
Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 9
• cot x = 0 ⇔ x =
π
2
+ kπ
• cot x = 1 ⇔ x =
π
4
+ kπ
• cot x = −1 ⇔ x = −
π
4
+ kπ
Bổ sung
1. Với f là một hàm số sin thì
f(u(x)) = f(v(x)) ⇔

u(x) = v(x) + k2π
u(x) = π − v(x) + k2π
(k ∈ Z)
(tương tự đối với các hàm cos, tan, cot)

Ta cũng có thể giải bằng cách sử dụng công thức biến đổi tổng thành
tích.
2. Vấn đề họ nghiệm của phương trình lượng giác
“Mỗi họ nghiệm của một phương trình lượng giác là tập hợp các nghiệm
có chung một điểm cuối trên đường tròn lượng giác”
Như vậy theo cách hiểu này thì x = kπ, x = 3kπ, x = (5k + 1)π,
không phải là những họ nghiệm.
Ví dụ
- Nghiệm x = kπ có thể tách ra thành 2 họ x = 2mπ và x = 2(m + 1)π
- Hai họ x = ±
π
2
+ k2π có thể gộp thành x =
π
2
+ kπ
Ví dụ: Giải các phương trình
a) sin x = −
1
2
b) cos(x −
π
4
) =
√
2
2
c) sin(2x +
π
4

) = sin 4x
d) cot 3x = cot(x −
π
4
)
Ví dụ: Giải các phương trình
a) 1 + cos
4
x − sin
4
x = 2 cos 2x
b) sin
3
x cos x − cos
3
x sin x =
1
4
c) cot x + sin x(1 + tan x. tan
x
2
) = 4
d) sin
6
x + cos
6
x = cos 4x
e) 4(sin
4
x + cos

4
x) + sin 4x − 2 = 0
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 9
Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 10
1.3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG
GẶP
1.3.1 Phương trình bậc nhất
Dạng:
(1.1) at + b = 0 (a = 0)
trong đó t là một hàm số lượng giác.
Cách giải: biến đổi trực tiếp về phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ: Giải các phương trình
a) 2 sin(2x −
π
6
) +
√
3 = 0
b) 2 cos(x +
π
3
) −
√
3 = 0
1.3.2 Phương trình bậc hai
Dạng:
(1.2) at
2
+ bt + c = 0 (a = 0)
trong đó t là một hàm số lượng giác.

Cách giải:
B1: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có)
B2: Giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ, và kiểm tra điều kiện để chọn
nghiệm
B3: Giải phương trình lượng giác cơ bản theo mỗi nghiệm nhận được.
Ví dụ: Giải các phương trình
a) 2 cos
2
x + 5 sin x − 4 = 0
b) cos 2x − 4 cos x +
5
2
= 0
c) 2 cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x
d) sin
4
x + cos
4
x = sin 2x −
1
2
e) 2(sin
4
x + cos
4
x) − cos(
π
2
− 2x) = 0
f) sin

4
x
2
+ cos
4
x
2
= 1 − 2 sin x
g)
2(cos
6
x + sin
6
x) − sin x cos x
√
2 − 2 sin x
= 0
h) 5

sin x +
cos 3x + sin 3x
1 + 2 sin 2x

= cos 2x + 3
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 10
Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 11
1.3.3 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
Xét phương trình
(1.3) a sin x + b cos x = c (a; b = 0)
Cách giải:

• C1:
(1.3) ⇔
√
a
2
+ b
2

a
√
a
2
+ b
2
sin x +
b
√
a
2
+ b
2
cos x

= c
Đặt: cos α =
a
√
a
2
+ b

2
; sin α =
b
√
a
2
+ b
2
(1.3) ⇔ sin x cos α + cos x sin α =
c
√
a
2
+ b
2
⇔ sin(x + α) =
c
√
a
2
+ b
2
Khi đó giải phương trình lượng giác cơ bản này ta có nghiệm của (1.3).
• C2:
Ta có thể đặt
sin α =
a
√
a
2

+ b
2
; cos α =
b
√
a
2
+ b
2
(1.3) ⇔ cos(x −α) =
c
√
a
2
+ b
2
rồi làm tương tự cách 1.
• C3:
- Xét x = π + k2π xem có là nghiệm không.
- Đặt t = tan
x
2
(1.3) ⇔ a.
2t
1 + t
2
+ b.
1 − t
2
1 + t

2
= c ⇔ (b + c)t
2
− 2at + c −b = 0
Giải phương trình này tìm ra t, rồi suy ra x.
Ví dụ: Giải các phương trình
a) cos x +
√
3 sin x = −1
b) 4(sin
4
x + cos
4
x) +
√
3 sin 4x = 2
c) tan x −
√
3 =
1
cos x
d)
cos x −sin 2x
2 cos
2
x − sin x − 1
=
√
3
1.3.4 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x

Dạng:
(1.4) a sin
2
x + b sin x cos x + c cos
2
x = d
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 11
Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 12
trong đó a, b, c và d là những số đã cho, với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0.
Cách giải:
• C1:
Chia cả hai vế của (1.4) cho sin
2
x (nếu sin x = 0)
(1.4) ⇔ c cot
2
x + b cot x + a =
d
sin
2
x
= d(1 + cot
2
x)
⇔ (c − d) cot
2
x + b cot x + a − d = 0
Khi đó giải phương trình bậc hai với ẩn là cot x, từ đó suy ra x.
• C2:
(1.4) ⇔ a

1 − cos 2x
2
+ b
sin 2x
2
+ c
1 + cos 2x
2
= d
⇔ (c − a) cos 2x + b sin 2x = 2d − a − c
Khi đó giải dạng phương trình quen thuộc này ta có nghiệm của (1.4)
Dạng tương tự:
(1.5) a sin
3
x + b sin
2
x cos x + c sin x cos
2
x + d cos
3
x = 0
Cách giải:
+ Xét cos x = 0 có là nghiệm không.
+ Xét cos x = 0. Chia cả hai vế của (1.5) cho cos
3
x. Khi đó
(1.5) ⇔ a tan
3
x + b tan
2

x + c tan x + d = 0
giải phương trình bậc 3 này, rồi suy ra x.
Ví dụ: Giải phương trình
a) 4 sin
2
x + 3
√
3 sin 2x − 2 cos
2
x = 4
b) sin
3
x + 2 sin
2
x cos x − 3 cos
3
x = 0
1.3.5 Phương trình đối xứng theo sin x và cos x
(1.6) a(sin x + cos x) + b sin x cos x + c = 0
Cách giải:
- Đặt t = sin x + cos x =
√
2 cos(x −
π
4
) với điều kiện |t| ≤
√
2.
- Khi đó t
2

= 1 + 2 sin x cos x ⇒ sin x cos x =
t
2
− 1
2
. Thế vào (1.6) ta có
bt
2
+ 2at + 2c −b = 0
- Giải tìm được t. Thay trở lại t =
√
2 cos(x −
π
4
), suy ra x.
Dạng tương tự:
(1.7) a(sin x − cos x) + b sin x cos x + c = 0
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 12
Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 13
Cách giải:
- Đặt t = sin x − cos x =
√
2 sin(x −
π
4
) với điều kiện |t| ≤
√
2.
- Khi đó t
2

= 1 −2 sin x cos x ⇒ sin x cos x =
1 − t
2
2
. Thế vào (1.7), tìm t, rồi
suy ra x.
Ví dụ: Giải phương trình
a) 2 sin 2x − 3
√
3(sin x + cos x) + 8 = 0
b) cos x −sin x + 3 sin 2x − 1 = 0
c) 2 sin 2x − 3
√
6|sin x + cos x|+ 8 = 0
1.3.6 Phương pháp tổng quát để giải phương trình lượng giác
• Phương pháp 1
Biến đổi phương trình về một trong các dạng phương trình lượng giác
cơ bản đã biết.
• Phương pháp 2
Biến đổi về phương trình tích.
• Phương pháp 3
Xem phương trình có thuộc một trong các dạng sau:
• Dạng: A
2
+ B
2
= 0 ⇔ A = B = 0
( hoặc: |A| + |B| = 0 ⇔ A = B = 0)
• Dạng đối lập:






A ≥ M
B ≤ M
A = B
⇔

A = M
B = M
• Dạng bất đẳng thức:





A ≤ A
1
B ≤ B
1
A + B = A
1
+ B
1
⇔

A = A
1
B = B

1
Ví dụ: Giải phương trình
a) 1 + 2 sin x cos 2x = sin x + 1 cos 2x
b) 4 cos
2
x + 3 tan
2
x − 4
√
3 cos x + 2
√
3 tan x + 4 = 0
c) sin
4
x − cos
4
x = |sin x| + |cos x|
d) (cos 2x − cos 4x)
2
= 6 + 2 sin 3x
e) cos 2x + cos
3x
4
− 2 = 0
f) cos 2x + cos 4x + cos 6x = cos x cos 2x cos 3x + 2
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 13
Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 14
2 TỔ HỢP - XÁC XUẤT
2.1 QUY TẮC ĐẾM
2.1.1 Quy tắc cộng

“Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong k phương án A
1
, A
2
,
, A
k
. Có n
1
cách thực hiện phương án A
1
, n
2
cách thực hiện phương án A
2
,
, n
k
cách thực hiện phương án A
k
. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi
n
1
+ n
2
+ . . . + n
k
cách.”
Bản chất chính là qui tắc đếm số phần tử của k tập hữu hạn không giao nhau:
Nếu A

1
, A
2
, , A
k
là k tập hữu hạn và A
i
∩ A
j
= ∅ (i, j = 1, , k) thì
(2.1) n(A
1
∪ A
2
∪ . . . ∪ A
k
) = n(A
1
) + n(A
2
) + . . . + n(A
k
)
2.1.2 Quy tắc nhân
“Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A
1
, A
2
, , A
k

. Công đoạn
A
1
có thể thực hiện theo n
1
cách, công đoạn A
2
có thể thực hiện theo n
2
cách,
, công đoạn A
k
có thể thực hiện theo n
k
cách. Khi đó công việc có thể thực
hiện theo n
1
n
2
n
k
cách.”
2.2 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1)
2.2.1 Hoán vị
Kết quả của sự xắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự nào đó được gọi là
một hoán vị của A.
Số các hoán vị của A được kí hiệu là P
n
, ta có

(2.2) P
n
= n.(n − 1) 2.1 = n!
2.2.2 Chỉnh hợp
Kết quả của việc lấy k phần tử của A (1 ≤ k ≤ n) và xếp theo một thứ tự nào
đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là A
k
n
, ta có
(2.3) A
k
n
=
n!
(n − k)!
(quy ước 0! = 1)
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 14
Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 15
2.2.3 Tổ hợp
Một tập con gồm k phần tử của A (1 ≤ k ≤ k) được gọi là một tổ hợp chập k
của n phần tử. Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập ∅.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là C
k
n
, ta có
(2.4) C
k
n
=

A
k
n
k!
=
n!
k!(n − k)!
(Giải thích: mỗi hoán vị một tổ hợp chập k của A cho ta một chỉnh hợp chập
k của A)
2.2.4 Hai tính chất cơ bản của số C
k
n
Tính chất 1
Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0 ≤ k ≤ n. Khi đó
(2.5) C
k
n
= C
n−k
n
Tính chất 2 (Hằng đẳng thức Pascal)
Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi đó
(2.6) C
k
n+1
= C
k
n
+ C
k−1

n
2.3 Nhị thức Newton
2.3.1 Công thức nhị thức Newton
Nhị thức Newton:
(2.7)
(a + b)
n
= C
0
n
a
n
+ C
1
n
a
n−1
b + . . . + C
k
n
a
n−k
b
k
+ . . . + C
n
n
b
n
=

n

k=0
C
k
n
a
n−k
b
k
(quy ước a
0
= b
0
= 1)
2.3.2 Tam giác Pascal
Dùng để tính các hệ số C
0
n
, C
1
n
, , C
n−1
n
, C
n
n
trong công thức nhị thức Newton.
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 15

Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 16
1
1
1
1
3
2 1
1 3 1
1
4
6
4
1
1 5 10
10
5 1
1
6
15
20
15
6
1
Hình 4: Tam giác Pascal
2.4 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
- Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không
gian mẫu, kí hiệu bởi chữ Ω. (ta chỉ xét với Ω là tập hữu hạn)
- Mỗi tập con A của Ω được gọi là biến cố. Tập ∅ được gọi là biến cố không
thể (không bao giờ xảy ra), tập Ω gọi là biến cố chắc chắn (luôn luôn xảy ra)
- Nếu phép thử tiến hành mà kết quả của nó là một phần tử của A thì ta nói

A xảy ra, hay phép thử thuận lợi cho A.
- Biến cố A = Ω \ A được gọi là biến cố đối của A (“không xảy ra A”).
A và B đối nhau ⇔ A = B
A xảy ra ⇔ A không xảy ra
- Biến cố A ∪ B xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra
- Biến cố A ∩ B xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra
- Nếu A ∩ B = ∅ thì A và B gọi là hai biến cố xung khắc (biến cố này xảy ra
thì biến cố kia không xảy ra)
Chú ý
Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc. Điều ngược lại chưa chắc đúng
vì giả sử AB = ∅, nhưng chưa chắc A ∪ B = Ω nên A = B
2.5 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
2.5.1 Công thức tính xác suất
Xác suất của biến cố A là
(2.8) P (A) =
n(A)
n(Ω)
trong đó: n(A) là sô phần tử của A, n(Ω) là số các kết quả có thể xảy ra của
phép thử.
Xác suất có các tính chất:
• 0 ≤ P (A) ≤ 1, ∀A
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 16
Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 17
• P (Ω) = 1, P (∅) = 0
2.5.2 Quy tắc cộng xác suất
Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là
(2.9) P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
Mở rộng cho k biến cố đôi một xung khắc. Khi đó
(2.10) P (A
1

∩ A
2
∩ . . . ∩ A
k
) = P (A
1
) + P (A
2
) + . . . + P(A
k
)
Đặc biệt
Xác suất của biến cố đối A là
(2.11) P (A) = 1 − P (A)
2.5.3 Quy tắc nhân xác suất
i) Biến cố độc lập
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không
xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố
kia.
Ví Dụ: A = “Cô ấy sinh con trai”
B = “ Chị này sinh con gái”
Nhận xét:
Nếu A, B độc lập với nhau thì A và B; A và B; A và B cũng độc lập với nhau.
ii) Quy tắc nhân xác suất
Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì
(2.12) P (AB) = P (A)P (B)
Nhận xét: từ quy tắc trên nếu P (AB) = P (A)P (B) thì hai biến cố A, B
không độc lập với nhau
3 DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ
NHÂN

3.1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
1. Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi
n ∈ N
∗
bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện 2 bước sau:
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 17
Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 18
(a) Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh A(n) là một mệnh đề đúng khi
n = 1
(b) Bước 2 (bước quy nạp hay bước “di truyền”). Với k ∈ N
∗
tùy ý, xuất
phát từ giả thiết A(n) là một mệnh đề đúng khi n = k, chứng minh
A(n) cũng là một mệnh đề đúng khi n = k + 1
2. Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi số tự
nhiên n ≥ p (p ∈ N) thì:
(a) Ở bước 1: ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p
(b) Ở bước 2: ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì
n = k (k ≥ p) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1
3.2 DÃY SỐ
3.2.1 Định nghĩa
1. Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên N
∗
được gọi là dãy số vô
hạn (gọi tắt là dãy số)
u : N
∗
−→ R
n −→ u(n)
Đặt u(n) = u

n
và gọi nó là số hạng tổng quát của dãy số (u
n
)
2. Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, , m}, với m ∈ N
∗
, được
gọi là dãy số hữu hạn
3.2.2 Cách cho một dãy số
1. Dãy số cho bằng công thức số hạng tổng quát
Khi đó u
n
= f(n), trong đó f là một hàm số xác định trên N
∗
2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
Chỉ cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy
số nhưng chưa thể tìm ngay được u
n
với n tùy ý.
3. Dãy số cho bằng công thức truy hồi (hay quy nạp)
• Cho số hạng thứ nhất u
1
(hoặc một vài số hạng đầu)
• Với n ≥ 2, cho một công thức tính u
n
nếu biết u
n−1
(hoặc một vài
số hạng đứng ngay trước nó). Các công thức có thể là:


u
1
= a
u
n
= f(u
n−1
) với n ≥ 2
hoặc

u
1
= a, u
2
= b
u
n
= f(u
n−1
, u
n−2
) với n ≥ 3
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 18
Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 19
3.2.3 Dãy số tăng, dãy số giảm
1. Định nghĩa
• Dãy số (u
n
) được gọi là tăng nếu u
n+1

> u
n
với mọi n ∈ N
∗
• Dãy số (u
n
) được gọi là giảm nếu u
n+1
< u
n
với mọi n ∈ N
∗
2. Phương pháp khảo sát tính đơn điệu
(a) Phương pháp 1: Xét hiệu H = u
n+1
− u
n
- Nếu H > 0 với mọi n ∈ N
∗
thì dãy số tăng.
- Nếu H < 0 với mọi n ∈ N
∗
thì dãy số giảm.
(b) Phương pháp 2:
Nếu u
n
> 0 với mọi n ∈ N
∗
thì lập tỉ số
u

n+1
u
n
, rồi so sánh với 1.
- Nếu
u
n+1
u
n
> 1 với mọi n ∈ N
∗
thì dãy số tăng.
- Nếu
u
n+1
u
n
< 1 với mọi n ∈ N
∗
thì dãy số giảm.
3.2.4 Dãy số bị chặn
• Dãy số (u
n
) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho
u
n
≤ M, ∀n ∈ N
∗
• Dãy số (u
n

) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho
u
n
≥ m, ∀n ∈ N
∗
• Dãy số được gọi là bị chặn, nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới
⇔ ∃m, M sao cho m ≤ u
n
≤ M, ∀n ∈ N
∗
3.3 CẤP SỐ CỘNG
3.3.1 Định nghĩa
(u
n
) là cấp số cộng ⇔ u
n+1
= u
n
+ d, với n ∈ N
∗
, d là hằng số.
fHệ quả: Công sai d = u
n+1
− u
n
3.3.2 Số hạng tổng quát
(3.1) u
n
= u
1

+ (n − 1)d (n ≥ 2)
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 19
Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 20
(3.2) d =
u
n
− u
1
n − 1
3.3.3 Tính chất
(3.3) u
k
=
u
k−1
+ u
k+1
2
với k ≥ 2
hay
(3.4) u
k−1
+ u
k+1
= 2u
k
3.3.4 Tổng n số hạng đầu
(3.5) S
n
=

n(u
1
+ u
n
)
2
, n ∈ N
∗
hoặc
(3.6) S
n
=
n[2u
1
+ (n − 1)d]
2
3.4 CẤP SỐ NHÂN
3.4.1 Định nghĩa
(u
n
) là cấp số nhân ⇔ u
n+1
= u
n
q, với n ∈ N
∗
fHệ quả: Công bội q =
u
n+1
u

n
3.4.2 Số hạng tổng quát
(3.7) u
n
= u
1
q
n−1
3.4.3 Tính chất
(3.8) u
2
k
= u
k−1
u
k+1
hay
(3.9) |u
k
| =
√
u
k−1
u
k+1
(k ≥ 2)
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 20
Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 21
3.4.4 Tổng n số hạng đầu tiên
(3.10) S

n
=
u
1
(q
n
− 1)
q − 1
(q = 1)
4 GIỚI HẠN
4.1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
4.1.1 Giới hạn hữu hạn
• lim
n→+∞
u
n
= 0 khi và chỉ khi |u
n
| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý,
kể từ một số hạng nào đó trở đi.
• lim
n→+∞
v
n
= a ⇔ lim
n→+∞
(v
n
− a) = 0
4.1.2 Giới hạn vô cực

• lim
n→+∞
u
n
= +∞ khi và chỉ khi u
n
có thể lớn hơn một số dương lớn tùy
ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
• lim
n→+∞
u
n
= −∞ ⇔ lim
n→+∞
(−u
n
) = +∞.
Chú ý: thay cho lim
n→+∞
u
n
= a, lim
n→+∞
u
n
= ±∞, ta viết tắt lim u
n
= a,
lim u
n

= ±∞
4.1.3 Các giới hạn đặc biệt
• lim
1
n
= 0; lim
1
n
k
= 0; lim n
k
= +∞, với k nguyên dương.
• lim q
n
= 0 nếu |q| < 1; lim q
n
= +∞ nếu q > 1
• lim c = c (c là hằng số).
4.1.4 Định lí về giới hạn hữu hạn
1. Nếu lim u
n
= a và lim v
n
= b, thì:
(4.1a) lim(u
n
+ v
n
) = a + b
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 21

Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 22
(4.1b) lim(u
n
− v
n
) = a − b
(4.1c) lim u
n
v
n
= ab
(4.1d) lim cu
n
= ca (c = const)
(4.1e) lim
u
n
v
n
=
a
b
(nếu b = 0)
2. Giả sử lim u
n
= a. Khi đó
(a) lim |u
n
| = |a| và lim
3

√
u
n
=
3
√
a
(b) Nếu u
n
≥ 0 với mọi n thì a ≥ 0 và lim
√
u
n
=
√
a
4.1.5 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
i) Quy tắc 1
Nếu lim u
n
= ±∞ và lim v
n
= ±∞ thì lim(u
n
v
n
) được cho bởi bảng:
lim u
n
lim v

n
lim(u
n
v
n
)
+∞ +∞ +∞
+∞ −∞ −∞
−∞ +∞ −∞
−∞ −∞ +∞
ii) Quy tắc 2
Nếu lim u
n
= ±∞ và lim v
n
= a = 0 thì lim(u
n
v
n
) được cho bởi bảng:
lim u
n
Dấu của a lim(u
n
v
n
)
+∞ + +∞
+∞ − −∞
−∞ + −∞

−∞ − +∞
iii) Quy tắc 3
Nếu lim u
n
= a = 0, lim v
n
= 0 và v
n
> 0 hoặc v
n
< 0 kể từ một số hạng nào
đó trở đi thì lim
u
n
v
n
được cho bởi bảng:
Dấu của a Dấu của v
n
lim
u
n
v
n
+ + +∞
+ − −∞
− + −∞
− − +∞
Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 22