HSG TP Đà Lạt 13-14

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT NĂM HỌC 2013-2014
Ngày thi: 05/12/2013
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN LỚP 9
(Đề thi gồm có 1 trang) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (1,5 điểm)
Chứng minh:
1
√
3
+
1
3
√
2
+
1
√
3

5
12
−
1
√
6
=
√
3
2
Câu 2: (1,5 điểm)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x
3
− x
2
− 4
Câu 3: (1,5 điểm)
Chứng minh: Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm một đơn vị là số chính phương.
Câu 4: (2 điểm)
Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại M, sao cho M là trung điểm của
BD. Chứng minh: S
ABC
= S
ADC
Câu 5: (1,5 điểm)
Giải phương trình:
√
2x + 1 +
√
x − 3 = 4
Câu 6: (1,5 điểm)
Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên:
x
2
− 59
x + 8
Câu 7: (2 điểm)
Cho ABC có

A = 60
◦

. Chứng minh: BC
2
= AB
2
+ AC
2
− AB ·AC
Câu 8: (1,5 điểm)
Chứng minh: Với mọi số n nguyên dương thì: A = 5
n
(5
n
+ 1) − 6
n
(3
n
+ 2
n
) chia hết cho 91.
Câu 9: (2 điểm)
Cho:
1
a
+
1
b
+
1
c
= 2 và a + b + c = abc. Chứng minh:

1
a
2
+
1
b
2
+
1
c
2
= 2
Câu 10: (1,5 điểm)
Chứng minh: a
2
+ b
2
+ c
2
≥ a(b + c)
Câu 11: (1,5 điểm)
Tìm x, y biết: (x + y)
2
= (x + 1)(y −1)
Câu 12: (2 điểm)
Chứng minh rằng: Nếu ABC có

C = 2

A và AC=2BC thì ABC là tam giác vuông.

1