HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

CỤ TÂN TỐT TÍNH CÙNG CỘNG SỰ KÍNH BIẾU MẤY THIM  
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
Hệ phương trình là dạng toán thường xuất hiện trong các kì thi đại học và là bài
toán kiếm điểm 9 của học sinh.Nó là 1 dạng toán khá hay+khó+đa dạng nên cũng có
khá nhiều phương pháp+thủ thuật cho dạng toán này.ở chuyên đề nhỏ này mình xin
đưa ra 1 dạng hệ phương trình thường gặp –hệ đẳng cấp.Hệ đẳng cấp chúng ta đã
quen thuộc nhưng việc khai nhìn nhận+khai thác nó thì vẫn rất cuốn hút và có khi còn
là mới mẻ .Do đây chỉ là một chuyên đề ôn thi đại học(cơ bản) nên trong quá trình
giải các hệ mình sẽ luôn hướng tới những cái đơn giản nhất bởi “cái đơn giản nhất
luôn là cái mạnh nhất”.Do thời gian và vốn kến thức có hạn nên bài viết chắc chắn
còn nhiều thiếu sót.Mong bạn đọc hãy nhìn nhận nó dưới thái độ suy xét,hoài nghi để
bài viết đc hoàn chỉnh hơn.Hi vọng nó sẽ giúp cho các bạn ít nhiều trong kì thi đại học
sắp tới


Valentine 2014-FA
Trần Nhật Thành 12A1 k51 THPT Phan Đăng Lưu

I.dạng hệ cơ bản

Ví dụ 1: giải hệ phương trình


2 2
2 2
2 3 3 2 1 0
4 4 2 4
x y xy x y
x y x x y x y

     



      


(đề thi tuyển sinh đại học khối B-2013)

HD: xét pt(1) <=>
2 2
2 3 ( 1) ( 1) 0
x x y y
    
<=>
  
1 2 1 0
x y x y
    

<=>
1
1
2
x y
y
x
 









*) khi x=y-1 thay vào pt2 ta được:

2
3 7 7 3 2 5 1y y y y     
đk
2
3
x


<=>
2
(3 7 2) ( 3 2 2) ( 5 1 3) 0
y y y y
        

<=>
 
3 5
2 3 1 0
3 2 2 5 1 3
y y
y y
 
    
 

 
   
 

<=>
2
3 5
3 1 0
3 2 2 5 1 3
y
y
y y




   

   

(*)

- xét pt (*): - y<1 VP>0
-y<1 VP<0
-y=1 là nghiệm của phương trình
==>pt(*) có nghiệm duy nhất y=1

vậy trong TH này hệ có nghiệm (x;y)=(1;2);(0;1)

*)khi

1
2
y
x


(trường hợp này đơn giản bạn đọc tự giải quyết)



ví dụ2: giải hệ pt sau

2 2
3 3
3
2 2
x xy y
x y y x

  

  


HD:
Hệ pt<=>
 
 
 
 

2 2 3 3
2 2
2 3( 2 )
3
x xy y y x x y
x xy y



    


  




 
 
 
 
 
 
3 3 2 2
5 3 3 0
6 1 6 1 0
x y x y y x
x y x y x y
     
      

-với x=y thay vào
 

ta được x=y=1
-với
 
6 1x y
  
thay vào
 

ta được
-với
 
6 1x y
 
thay vào
 

ta được
vậy nghiệm của phương trình là:x= ;y=

Ví dụ 3 giải hệ pt

3 3 2
4 4
8 4 1
2 8 2 0
x y xy

x y x y

  

   


(đề thi hsg tỉnh Nghệ An)

HD: hệ <=>
 
 
3 3 2
3 3 2
3 3 2 4 4
4 4
8 4 1
8 4 1
2 8 4 2 8
2 8 2
x y xy
x y xy
x y x y xy x y
x y x y

  

  



 
    
  



(*)
giải phương trình (*) (là một pt đẳng cấp có nghiệm đẹp x=0;y=0,5 nên ta giải dễ
dàng)

Ví dụ 4: giải hệ pt

 
3 3
2 2
4 16
1 5 1
x y y x
y x

  


  



HD: (*)
hệ<=>
3 3

2 2
16 4
5 4
x y x y
y x

  

 


 
   
2 2 3 3
2 2
16 4 5 4
5 4
x y y x x y
y x

   



 



giải phương trình (*) >là 1 phương trình đẳng cấp bậc 3 có nghiệm đẹp(x=-1;y=3)
===> nghiệm của phương trình

Nhận xét:

*)Ở ví dụ 1 là dạng bài mà phương trình đẳng cấp xuất hiện ngay trong 1 phương
trình.những bài toán như thế này thường dễ nhận biết và không gây cho chúng ta
nhiều khó khăn
*)qua 3 ví dụ cuối ta thấy được giữa chúng có đặc điểm chung đó là:
- mỗi phương trình của hệ chỉ chứa 2 loại bậc
Vd: ở ví dụ 2.phương trình thứ nhất: có bậc 3 và bậc 1,phương
trình thứ 2 có: bậc hai và bậc không
-hiệu số bậc trong mỗi phương trình của hệ là bằng nhau
Và ta tạo được 1 phương trình đẳng cấp từ hệ như thế
Tuy nhiên không phải hệ cũng dễ phát hiện hướng giải như vậy.1 bài toán qua tay
người đọc sẽ được thêm bớt chế biến làm cho ta cảm thấy rằng nó khó hơn.Cái quan
trọng đưa được nó về dạng quen thuộc-những bài toán mà ta đã biết trước.các bài toán
sau đây sẽ làm rõ điều đó.
Một số bài tập rèn luyện thêm:
Giải hệ phương trình
1.
3 3
2 2
2 4
13 41 21 9
x y x y
x xy y

  

   


(thi thử quốc học Huế lần 1-2014)
1.
6
2 3 3
2 3 3 6 3 4
x
x y y
y
x x y x y

   



    

(HSG tỉnh Quảng Bình)

2.
2
2
2
1
2
x
x
y
y
y

x

 




 


(hgs lớp 9 tỉnh thanh hoá 2011-2012)

3.
2 2
2 2
3x y
x y xy x y

 

   


HD:pt(2)<=>
2 2
x y xy x y   
<=>
2 2 2 2
( ) ( )x y xy x y
   

Sau đó kết
hợp pt(1) ta đc 1 phương trình đẳng cấp(chú ý phương có nghiệm x=2;y=1 để giải pt
đẳng cấp đó)
4.
3 2
2 2
3 49
8 8 17
x xy
x xy y y x

  

   

(học sinh giỏi quốc gia 2004)

5.
2 2
2
1
5
57
4 3 (3 1)
25
x y
x x y x

 





    


(học sinh giỏi tỉnh Nghệ An 2010)
HD: thay
 
2 2
57 57
25 5
x y
 
vào pt2 >bình phương trình 2 và kết hợp
với phương trình 1 tạo thành phương trình đẳng cấp

II. sử dụng phương trình đẳng cấp để giải 1dạng hệ quen thuộc

Trong quá trình giải các bài toán hệ phương trình có rất nhiều phương trình ta đưa
được về dạng hệ như sau:
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2
a x b y c xy d x e y k
a x b y c xy d x e y k

    


    

với ẩn là x,y
Sau đây ta sẽ giải quyết hệ như vậy dựa vào phép đặt ẩn phụ đưa vầ phương trình
đẳng cấp
HD:để giải quyết được hệ theo pp này bắt buộc ta phải doán được nghiệm của
hệ.thông thường trong các đề thi người ta thường cho ta nghiệm rất đẹp và ta dễ dàng
đoán ra được nghiệm của nó.
giả sử phương trình có nghiệm
1 1
( ; )x y
tức là lúc đó
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2
2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2
a x b y c x y d x e y k
a x b y c x y d x e y k

    

    


Đặt x=
1
x
-X ; y=
1
y

-Y thay vào hệ ta
có:
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2
2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2
2 2 0
2 2 0
a x X a X b y Y b Y c XY c x Y c y X d X e Y
a x X a X b y Y b Y c XY c x Y c y X d X e Y

         

         


và đây chính là hệ mà ta mà ta đã làm với nó ở mục I
Sau đây ta sẽ sử dụng cách giải này với 1 số ví dụ sau:

Ví dụ 5: giải hệ phương trình

2 2
2
3
5 4 9
x y xy
y xy x y

  


   


HD: nhẩm nghiệm thấy hệ có nghiệm đẹp x=y=1
đặt x=1-a;y=1-b thay vào hệ ta được:

 
2 2
2
3 0
5 4 0
a b ab a b
b ab b a

    

   

<=>
 
2 2
2
3
5 4
a b ab a b
b ab b a

   

  



<=>
 
 
 
 
2 2 2
2
5 4 3
5 4 0
b a a b ab a b b ab
b ab b a

     


   



<=>
3 2 2 3
2
4 12 9 2 0
5 4
a a b ab b
b ab b a o

   


   


<=>
  
2
2
2 2 0
5 4 0
a b a b
b ab a b

  


   


=
đén đây coi như= là xong(lười tính toán nên dành cho bạn đọc^^)

Ví dụ 6: giải hệ phương trình


2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 1
x y x x

x y x y xy

  

  



HD: đặt xy=t ta được hệ <=>
2 2
2
2 2 2
2 2 1
t x x
tx t t

  

  


hệ có nghiệm đẹp t=-1;x=-2 nên đặt: t=-1-a;x=-2-b thay vào hệ ta được
Hệ <=>
2 2
2
2 4 2 0
2 2 0
a a b b
b ab a


   

  

đến đây ta tiếp tục làm như cũ thì vẫn được kết quả
nhưng ta ngay lập tức nhìn ra được (pt1)+(pt2) vế theo vế ta được
   
2
4 0
a b a b
   
<=>a+b=0 v a+b=-4 thế vào 1 trong 2 phương trình và tìm được
a,b==>x,y

Nhận xét: ở mục này tôi đã giới thiệu thêm 1 cách giải nữa cho hệ phương trình dạng
đã nêu ra đầu mục.1 cách giải cũng khá đơn giản.tuy cách giải vẫn chưa mang tính tối
ưu (vì thực tế có nhiều phương trình đẳng cấp bậc 3 không có nghiệm đặc biệt,hoặc ta
không thể đoán được nghiệm >dẫn tới cách làm phá sản
ví dụ:
2
2 2
2 2 3 0
2 2 2 0
x xy x y
y x xy x

    

    


(TS thpt chuyên Phan Bội Châu 2012-2013)
thế nhưng trên hết đây là cách làm có tính phương hướng rõ ràng và hoàn toàn tự
nhiên.
Một số bài tập rèn luyện:
1.
2 2
2
2 2 3 0
3 1 0
x xy y x
xy y y

   

   


2.
 
2
4 2
2 2
4 3 0
2 22 0
x x y
x y x y

   



   



3.
2
2 2
2 6 13 12
7
x x y
x xy y


     

  





III.Các hướng suy nghĩ để đưa về hệ phương trình đẳng cấp
Ví dụ 7. giải hệ phương trình

2 4 3
2 2
4 4 1
4 2 4 2
x y xy
x y xy


  

  

(HSG tỉnh Lâm Đồng)
HD: nhận thấy ở hệ trên phương trình 2 có các đại lượng bậc 2 và bậc 0,còn ở phương
trình 1 có các đại lượng bậc 2,bậc4,bậc0.Chính vì vậy việc mà ta nghĩ tới là làm thế
nào để làm mất bậc 0 ở phương trình thứ2 và thay vào đó là các đại lượng bậc 2.

ta có hệ <=>
2 4 3 2 2
2 2
4 4 2 2
4 2 4 2
x y xy x y xy
x y xy

    

  


Đến đây thì mọi thứ rõ rồi ta lại quay về dạng quen thuộc đã làm ở mục 1
hệ <=>
  
4 3 2 2 2 2
2 2
4 2 2 2 2
2 2 1

y xy y xy x x y xy
x y xy

     


  


<=>
2 2 4
2 2
4 4 0
2 2 1
x y x
x y xy

 

  



Từ đó suy ra các cặp nghiệm của hệ (x;y)=(0;1);(1;1);(-1;1);(1;-1)

Ví dụ 8.

   



2
2
2
3 0
1 3 1 2 2 0
x xy x
x y xy x y y

   


      




+
HD: Hệ <=>
2
2 2
3 0
2 3 4 2 2 2 0
x xy x
x x y xy x y y

   


      




Để ý phương trình 2 có thể viết lại thành:
 
2 2
2 2 3 2 2 2 2 0
x x y xy y x
       

điều này làm ta nghĩ đến sẽ thiết lập 1 phương trình đẳng cấp với hai biến
y
và
2
2
x

.Vì vậy ta sẽ biểu diễn đại lượng
2 3 2 2x y xy  
theo hai đại lượng y và
2
2
x



Ta có :
2 3 2 2x y xy  
=3y-2(
2
2

x

)
Vậy pt2<=>
 
2 2
2 3 2 2 0
x y y x
     

<=>
2
2
2
2 3 ( )
x y
x y loai

 


  


Thay
2
2
y x
 
vào phương trình 1 ta được:

3 2
3 3 0
x x x
   
<=>x=1 =>y=-5
Vậy nghiệm của hệ x=1;y=-5 @@@


Ví dụ 9. giải hệ phương trình

 
 
 
 
2 2 (*)
2 2 (**)
6 6 8
3 8 6
x x y x y
x x y x y

   


   


(Toán học và tuổi trẻ 425-2012)
HD: chia vế theo vế của pt(*) cho pt(**) ta được

6 3 4
3 4 3
x x y
y x y
 

 
<=>
     
(***)
6 4 3 3 4 3x x y x y y    

Ở phương trình (***) ta thấy có sự xuất hiện của bậc 2 và bậc 1.như thế ta sẽ tìm ra
1 phương trình nữa chỉ có 2 loại bậc mà hiệu 2 bậc nó để đưa về hệ cơ bản như mục
I.thế nhưng việc làm này là gần như không thể^^ phá sản cmnr! ta chỉ thu được 1
phương trình chứa bậc 3 và bậc 1 như sau:
(lấy(**).2)-(*)=
 
 
2 2
2 10 20x y x y x y
   

Đến đây thì ra cmnr!Xuất hiện nhân tử.Đúng là trong cái khó lại ló cái khôn!
Từ đó ta thu được lời giải cho bài toán

Ví dụ 10:giải hệ phương trình

1
3 1 2

1
7 1 4 2
x
x y
y
x y

 
 

 

  

 

 
 


 

(HSG tỉnh Thái Bình)
HD:
Hệ <=>
 
 
1 2
1 *
3

1 4 2
1 **
7
x y
x
x y
x

 





 




Ta thấy cả hai phương trình (*) và(**) đều có chứa các đại lượng (bậc 0),
(bậc-1),(bậc-0,5) .Và các đại lượng của (bậc0) và (bậc-1) là giống nhau.Vì vậy ta
hoàn toàn có thể tạo ra hai phương trình trong đó 1 phương trình chỉ chứa (bậc0)(bâc-
1/2) và phương trình còn lại chứa (bậc-0.5)(bậc-1)==>đưa về dạng quen thuộc ở mục
I.
-Lấy (*)+(**)==>
2 4 2
2
3 7x y
 
(***)

-Lấy(*)-(**) ==>
2 2 4 2
3 7
x y
x y
 

(****)
Lấy (***)nhân (****) vế theo vế ta được:
4 4 32 1
3 7 6
x y
x y x x
   


Đến đây thay
1
6
x y

vào 1 trong những phương trình đã cho ta tìm được nghiệm của
hệ!



Ví dụ11.Giải hệ phương trình
4
4
2

1
( ) 2
4
2
1
( ) 1
4
x y
x
x y
x y
y
x y


 






 



(học sinh giỏi tỉnh Cần Thơ)
HD:
Nhìn qua hệ ta có cảm giác hãi vì chứa quá nhiều căn thức,nhưng nếu để ý một
chút ta thấy hệ này giống với hệ ở ví dụ 10.mỗi phương trình của hệ chỉ chứa các

lượng bậc
1
4
,bậc
1
2
,và bậc0.Vì vậy ta có lời giải sau:
Điều kiện:
, 0
0
x y
x y



 


Ta thấy
0 ( 0)x y
 
không là nghiệm của hệ nên hệ đã cho tương đương với
4
4
4
4
4
4
2
1 2

2
2 1
2
4
1 2 1
2
1 1
2
4
x y
x y
x y
x y
y
x
x
x y
x y
y
y
x




 

 







 

 
 
 
 




Suy ra
4 4
4 4
2
2 1 2 1 4 1
x y
x y
y y x y
x x
  

  
    
  

  

2 2 4 0
x x x y y x y y
    
. Đặt
x
t
y

ta có:
3 2
2 2 4 0 2 4t t t t x y
       

Thay vào phương trình của hệ đầu ta tìm được ngh+iệm của hệ ^^@!

Ví dụ 12 giải hệ phương trình

 
4 4
3
2 2
2
3
x x y y
x y

  



 


(chọn học sinh giỏi chuyên Hà Nội)

HD
Đây là 1 hệ khó và đã xuất hiện nhiều trong các tài l+iệu tham khảo với chung 1 cách
làm đó là:đặt a=x+y ,b=x-y,c=3 Nhưng theo suy nghĩ chủ quan của bản thân thì
cách giải này không được tự nhiên cho lắm.Sau đây mình xin đưa ra 1 lời giải (có lẽ
chưa thực sự hay) hoàn toàn tư nhiên hơn nhiều!

Hệ <=>
4 4
2 2
3
2
3
x y x y
x y

  


 


<=>
2 2
3
2 2

3
3( ) 2
3
x y x y
x y

  


 


<=>
 
 
2
2
2 2
3
2 2
3
9 2
3
x y x y
x y

  




 



<=>
 
 
 
 
2
2
2 2 2 2
2 2
3
2 3 *
3
x y x y x y
x y

   



 




Do y=0 không phải là nghiệm của hệ nên chia 2 vế của phương trình (*) cho
4

y
ta
được:
4 3 2
4 9 4 4 0
t t t t
    
(với
x
t
y

)
<=>
 
 
3 2
2 6 3 2 0
t t t t
    
<=>
3 2
2
6 3 2 0
t
t t t
 


   



- Với t=-2 thay vao hệ ta được
3 3
2 1
;
3 3
x y

 


-Với
3 2
6 3 2 0
t t t
   

Đặt t=a+2 thay vào phương trình ta được
3
9 8 0
a a
  

Đặt a=
1
3 b
b
 


 
 
thay vào ta được
3
3
3 3
3 3 8 0
t
t
  
=>
42 4
3 3
t



=>
3
3
3 1
3 1
t




=>
3 3
3 1 3 1

;
2 2
x y
 
 


Vậy nghiệm của hệ là:
3 3
2 1
;
3 3
x y

 
và
3 3
3 1 3 1
;
2 2
x y
 
 



Đến đây xin kết thúc bài viết bằng 1 số bài tập sau:
1.
4 2
2 2 2

9 12 4
4 3
y xy x
x y x

  

 

(thi thử đại học sư phạm Hà nội lần IV)
2.
 
 
3 3
2 2
7
3 2
x y x y
x y x y

  


   



3.
2
2 7

2 6 0
x
x y
y
x xy y

  



  

(thi TS vào 10 chuyên vĩnh phúc)
4.

3 4 2
2 2 3 2
2
x y y a
x y xy y b

 


  


(HSG quốc gia 1996)

5.

12
1 2
3
12
1 2
3
x
y x
y
y x

 
 

 

 

 

 
 


 

(học sinh giỏi quốc gia năm 2007)
Xin cảm ơn các bạn đã theo dõi!