HƯỚNG DẪN GIẢI 42 BÀI TẬP TÍCH PHÂN NĂM 2015
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (255.14 KB, 20 trang )
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
42 BÀI TẬP TÍCH PHÂN NĂM 2015
1)
I =
4
2
4
1
1 2cos
dx
x
2) I =
2
2
0
sin
1 sin2x
x x
dx
3) I =
2
3
1
sin . 1 cos
dx
x x
4) I =
3
2 2
4
1
sin 2 .cos
dx
x x
5) I =
2
4
sin cos
3
0
2 cos 2 .sin 4
x x
x xdx
6) I =
2
4
2
3
sin . 1 cos
cos
x x
dx
x
7) I =
2
0
1 sin
.
1 cos
x
x
e dx
x
8) I =
2
3
2
3
sin sin
1 sin sin
x x x x
dx
x x
9) I =
2
2
6
1
sin . sin
2
x x dx
10) I =
6
0
1
cos .cos
4
dx
x x
11) I =
2
2 2
0
3sin 4cos
3sin 4cos
x x
dx
x x
12) I =
2
3
4
7sin 5cos
sin cos
x x
dx
x x
13) I =
6
0
tan
4
cos2
x
dx
x
14) I =
2
0
1
cos
2 3sin 1
x x dx
x
15) I =
2
3
0
sin
sin 3cos
x
dx
x x
16) I =
2
6
1
sin cos
6
dx
x x
17) I =
3
2 2
1
ln
4 ln 4 ln
e
x
dx
x x x
18) I =
2
2
0
2
1 2 4
x
dx
x x x
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
1
2
0
(x 5 6)
19) I=
2 2013.
x
x
x e
dx
x e
20) I =
3
1
4
2
0
1
x
x
x e dx
x
21) I =
3
2
sin
0
sinx-sin
.sìn2x+
cos2 7
x
x
e dx
x
22) I =
4
2
0
tan tan
x
x x e dx
23) I =
1
1
2 ln 1
ln
e
x
x
dx
x x
24) I =
8
3
ln
1
x
dx
x
25) I =
1
2
1
0
2
2 9 . 3 2
x
x x
dx
26) I =
1
2
0
1 6 3
x x dx
27) I =
1
2
1
1
1 1
dx
x x
28) I =
1
3 2
2 2
0
10 3 1 10
1 1
x x x
dx
x x
29) I =
2
2
1
2
cot
sin
3
4
cos 2cot 3cot 1
.
sin
x
x
x x x
e dx
x
30) I =
4
2
0
tan
x xdx
31) I =
1
2 2
3
4
2tan
cos
x
e x
x x dx
x x
32) I =
2
0
2 cos4
x
xdx
33)
3
2
2
1
ln
1
x x
I dx
x
34) I =
23
1
ln 1 ln
e
x
dx
x
35) I =
1
2
2
0
1
.
1
x
x
e dx
x
36)
4
2
2
0
.log 9
I x x dx
37) I =
1
3
3
4
1
3
2014
x x x
dx
x
38) I =
1
1
1
2
1
1
x
x
x e dx
x
39) I =
ln6
0
3 3 2 7
x
x x
e
dx
e e
40) I =
1
4 2
1
3
ln 3 2ln
x x x dx
41) I =
1
2
2
0
.
2
x
x e
dx
x
42)
2 2
2
2
1
2 1 2ln ln
ln
e
x x x x
dx
x x x
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
H D GIẢI:
1)
I =
4
2
4
1
1 2cos
dx
x
=
4 4
2 2 2
2
4 4
1 1 1 1
. .
1
cos tan 3 cos
2
cos
dx dx
x x x
x
Đặt t = tanx => dt =
2
1
cos
dx
x
. Đổi cận => I =
1
2
1
1
1
dt
t
. Đặt t =
3
tanu
=> dt =
3
(1+tan
2
u)du. Đổi cận => I =
3
9
2) I =
2
2
0
sin
1 sin2x
x x
dx
=
2
2 2
1 2
0 0
2 2 2
1
2
2
0 0 0
2
1
2
0
sin
1 sìn2x 1 sìn2x
1
1 sìn2x 2
sin cos
sin
4
cos
1 1
1
4
cot
cot
2 4 2
sin
sin
4
4
x x
dx dx I I
x x x
I dx dx dx
x x
x
u x
du dx
x
I x x
dv dx
v x
x
x
4
0
4
4
dx
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
0 0 0 0
2
2
2
0
0
0
sin 1 1 cos2 1 1 1 cos sin
1 sìnx 2 4 2
sin cos sin cos
sin
4
sin cos
1 1 1 1 1
cot ln sin cos
4 4 2 sin cos 2 2 2
x x x x
I dx dx dx dx
x x x x
x
d x x
x dx x x
x x
Vậy I =
1 2
2
4
I I
3) I =
2
3
1
sin . 1 cos
dx
x x
. Đặt t =
1 cos
x
=> 2tdt = - sinxdx. Đổi cận
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
2 2
1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
2 2 2 2 2
1
1
3
3
2
2
2
2 2
2
2 . 2 2
1 2 1 6 1
ln 1 ln 2 3
3
2 2 2 2
t t
tdt dt dt dt
I dt
t t
t t t t t t t
t
t
t
4) I =
3
2 2
4
1
sin 2 .cos
dx
x x
2 2
3 3 3
2 4 2 2 2
4 4 4
3
3
3
2
3
4
4
4
sin cos 1 1
.
4sin .cos 4 cos cos sin 2
1 1 1 tan 3 2 3 1
1 tan tan cot 2 tan
4 2 4 3 6 3
x x dx dx
dx
x x x x x
x
x d x x x
5) I =
2
4
sin cos
3
0
2 cos 2 .sin 4
x x
x xdx
=
4 4
1 sin2x 4
1 2
0 0
2 .2sìn2xcos2xdx 2sìn2xcos 2
xdx I I
Tính:
I
1
=
4
1 sin2x
0
2 .2sìn2xcos2xdx
. Đặt t = 1 + sìn2x => dt = 2cos2xdx . Đổi cận
2 2 2
1
1 1 1
2 1 .2 2
t t t
I t dt t dt dt
. Đặt:
2
2
ln 2
t
t
du dt
u t
dv dt
v
2 2 2
2
1
1
1 1 1
2
2
1
1 6 1
.2 2 2 1 2
ln 2 ln 2 ln 2 ln2
6 1 1 4 2
1 . .2
ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
t t t t
t
t
I dt dt dt
Tính:
4
4
2
0
2sìn2x.cos 2
I xdx
4
4 5
4
0
0
1 1
cos 2 cos2 cos 2
5 5
xd x x
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
Vậy
1 2
2 1 1
2
ln 2 ln 2 5
I I I
6) I =
2
4
2
3
sin . 1 cos
cos
x x
dx
x
=
0
2 2
4 4
2 2 2
0
3 3
sin sin
sin sin
cos cos cos
x x
x x
dx dx dx
x x x
0
4
0
4
2 2
0
3
0
3
1 1
1 1 tan tan
cos cos 1
7
3 1
12
dx dx x x x x
x
7) I =
2
0
1 sin
.
1 cos
x
x
e dx
x
=
2 2 2 2
2
0 0 0 0
sin . 1 sin
1 cos 1 cos 2 1 cos
cos
2
x x x
x
e dx x e dx e x
I dx e dx
x
x x x
2 2
2 2
0 0
2sin .cos
1
2 2
2
cos 2cos
2 2
x
x
x x
e
I dx e dx
x x
=
2 2
1 2
2
0 0
1
tan
2 2
cos
2
x
x
e x
I dx e dx I I
x
Tính: I
1
=
2
2
0
1
2
cos
2
x
e dx
x
Đặt
2
1
2tan
cos
2
2
x
x
u e
du e dx
x
dv dx
v
x
2
2
1 2 2
0
1
2. tan 2
2 2
x
x
I e I e I
2
1 2
I I I e
8) I =
2
3
2
3
sin sin
1 sin sin
x x x x
dx
x x
=
2 2
3 3
2
3 3
sin 1 sin
x dx
dx
x x
= I
1
+I
2
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
Tính: I
1
=
2
3
2
3
sin
x
dx
x
Đặt
2
cot
sin
u x
du dx
dx
v x
dv
x
I
1
= - xcot
2
3
3
x
2
2
3
3
3
3
cot ln sin
3 3
xdx x
Tính: I
2
=
2
3
3
1 sin
dx
x
=
2
3
2
3
sin cos
2 2
dx
x x
2
2
3
3
2
3
3
1
cot
2 2 4
sin
2 4
dx x
x
7 5 5
cot cot 2cot 4 2 3
12 12 12
Vậy I =
4 2 3
3
9) I =
2
2
6
1
sin . sin
2
x x dx
=
2
2
6
3
sin . cos
2
x xdx
. Đặt t = cosx => dt = - sinxdx
Đổi cận => I = -
3
0
2
2 2
0
3
2
3 3
2 2
t dt t dt
Đặt t =
3 3
sin cos
2 2
u dt udu
I =
3
2
4 4
4
2
0 0
0
3 3 1 3
cos 1 cos2 sìn2u 2
4 4 2 16
udu u du u
10) I =
6
0
1
cos .cos
4
dx
x x
Ta có: cosx. cos (x +
4
) = cosx (
1
2
cosx -
1
2
sinx) =
1
2
cos
2
x (1- tanx)
=> I =
6
2
0
2
cos 1 tan
dx
x x
6
6
0
0
tan
2 2 ln tan 1
tan 1
d x
x
x
3 3
2 ln
3
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
11) I =
2
2 2
0
3sin 4cos
3sin 4cos
x x
dx
x x
=
2 2
2 2 2 2
0 0
sin cos
3 4
3 1 cos 4cos 3 4 1 sin
x x
dx dx
x x sin x x
=
2 2
2 2
0 0
sin cos
3 4
3 cos 4 sin
x x
dx dx
x x
= I
1
+I
2
Tính: I
1
=
2
2
0
sin
3
3 cos
x
dx
x
Đặt t = cosx => dt = - sinxdx, đổi cận
I
1
= 3
1
2
0
3
dt
t
Đặt t =
3
tanu => I
1
= =
3
6
Tính:
I
2
=
2
2
0
cos
4
4 sin
x
dx
x
= - 4
2
2
0
0
sin
sin 2
ln
sin 2 sin 2 sin 2
d x
x
x x x
= ln3
Vậy I =
3
6
+ ln3
12) I =
2
3
4
7sin 5cos
sin cos
x x
dx
x x
=
2
3
4
1 7sin 5cos
2 2
sin
4
x x
dx
x
Đặt t = x +
4
=> dt = dx
Đổi cận => I =
3
4
3
2
2 2 2 2
7 sin . .cos 5 cos . sin .
2 2 2 2
1
sin
2 2
t t t t
dt
t
=
3 3
3
4 4
4
3 3
2
2 2
sin
1 2 sin 6 2 cos 1
cot 3
sin 2 sin
2 2
d t
t t
dt t
t t
3
4
2
2
1 3
2
2 2sin t
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
13) I =
6
0
tan
4
cos2
x
dx
x
Ta có:
2
2
2
tan 1 sin
tan ;cos2 cos . 1
4 1 tan cos
x x
x x x
x x
2
2
1
. 1 tan
1 tan
x
x
=> I = -
2
6
2
0
tan 1
tan 1
x
dx
x
Đặt t = tanx => dt = ( tan
2
x + 1) dt, đổi cận
I = -
1
1
3
3
2
0
0
1 1 1 3
1 2
3 1
1
dt
t
t
14) I =
2
0
1
cos
2 3sin 1
x x dx
x
2 2
1 2
0 0
cos
.cos
2 3sin 1
x
I dx x xdx I I
x
* Tính I
1
=
2
1
0
cos
2 3sin 1
x
I dx
x
; Đặt
3sin 1
t x
=> t
2
= 3sinx + 1
=> 2tdt = 3cosx dx
2
2 2
2
1
1 1
1
2 2 2 2 2
1 2ln 2 2 2ln 2 1 2ln3
3 2 3 2 3 3
t
I dt dt t t
t t
1
2 4 3
ln
3 3 4
I
* Tính
2
2
0
.cos
I x xdx
Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
2
2 2
2
0 0
0
.sin sin cos 1
2 2
I x x xdx x
2
2 2
2
0 0
0
.sin sin cos 1
2 2
I x x xdx x
Vậy:
1 2
4 3 1
ln
3 4 2 3
I I I
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
15) I =
2
3
0
sin
sin 3cos
x
dx
x x
:sin 3 cos 2sin( )
3
Do x x x
nên I =
2
3
0
1 sin
8
sin
3
x
dx
x
Đặt t = x +
3
dt =dx, sinx = sin ( t -
3
) =
1 3
sin cos
2 2
t t
. Đổi cận
I =
5
6
3
3
1 3
sin cos
1
2 2
8 sin
t t
dt
t
=
5
5
6
6
3
3
1 3
cot cot cot
16 16
t td t
=
5
2
6
3
1 3 1 3 3
cot
32 12 6
4 3 4 3
t
16) I =
2
6
1
sin cos
6
dx
x x
=
2
6
cos
6 6
2
3
sin .cos
6
x
dx
x x
2
6
cos cos sin sin
2
6 6
3
sin .cos
6
x x x x
dx
x x
=
2
6
sin
2 cos
6
sin
3
cos
6
x
x
dx
x
x
=
2
6
2 2
ln sin ln cos .ln 2
6
3 3
x x
=
ln 4
3
* Cách khác: Do sinx.cos (x +
3 1
) sin cos sin
6 2 2
x x x
2
1
sin 3 cot 1
2
x x
Nên I =
2 2
2
6 6
3 cot 1
1 1 2
2 .
sin
3 cot 1 3
3 cot 1
d x
dx
x
x
x
2
6
2
ln 3 cot 1
3
x
2 ln4
.ln 2
3 3
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
17) I =
3
2 2
1
ln
4 ln 4 ln
e
x
dx
x x x
Đặt t = lnx =>dt =
1
dx
x
, đổi cận
I =
1 1
3
2 2
2 2
0 0
1
4 4
2
4 4
t
dt t t t dt
t t
=
1 1 1 1
1 1
2 2 2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
4 4 4 4 4 4
2 2 4 4
t t dt t t dt t d t t d t
1 1
3 3
2 2
2 2
0 0
1 1 1
4 4 5 5 3 3 16
6 6 6
t t
*Cách khác:
Đặt t =
2 2
4 ln 4 ln
x x
2 2 4
8 2 16 8 2 16 ln
t x t x
4 2 4 4 2 4
64 16 4 16 ln 4ln 16
t t x x t t
3 3
ln
2
4
x t
dx t dt
x
,đổi
cận => I =
5 3
5 3
3
2
4
4
1 1
2 2 5 5 3 3 16
4 12 6
t
t dt t
18) I =
2
2
0
2
1 2 4
x
dx
x x x
=
2
2
0
1 1
1 1 3
x
dx
x x
2 2
1 2
2
2 2
0 0
1
1 3
1 . 1 3
dx x
dx I I
x
x x
Tính I
1
=
2
2
0
1 3
dx
x
Đặt x+1 =
3
tant => dx =
3
(1+ tan
2
t)dt, đổi cận
2
3
1
2
6
3 1 tan
3
18
3 1 tan
t
I dt
t
Tính: I
2
=
2
2 2
0
1
1 1 3
x
dx
x x
Đặt u = (x+1)
2
+ 3 =>du = 2(x +1)dx, đổi cận
12
12 12
2
4 4
4
1 1 1 1 1 3 ln3
ln .
2 3 6 3 6 6
du u
I du
u u u u u
Vậy I =
3 3ln3
18
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
1
2
0
(x 5 6)
19) I=
2 2013.
x
x
x e
dx
x e
=
1
0
(x+2) . 3
2 2013
x x
x
e x e
dx
x e
. Đặt t = (x+2)e
x
+2013
=> (x+2)e
x
= t – 2013, dt = [e
x
+(x + 2)e
x
]dx = [(x + 3)e
x
]dx, đổi cận
I =
3 2013
3 2013
3 2013
2015
2015
2015
2013
2013ln
e
e
e
t
dt t t
t
3 2013
3 2 2013ln
2015
e
e
20) I =
3
1
4
2
0
1
x
x
x e dx
x
=
3
1 1
4
2
1 2
0 0
.
1
x
x
x e dx dx I I
x
Tính
I
1
=
3
1
2
0
.
x
x e dx
Đặt t = x
3
=> dt = 3x
2
dx => I
1
=
1
0
1 1
3 3
t
e
e dt
Tinh I
2
=
1
4
0
1
x
dx
x
Đặt t =
4 3
4
4
x t x dx t dt
1
1 1 1
3
3 2
2
2 2 2
0 0 0
0
1
4 . 4 1 4 4
1 1 3 1
t t dt
I t dt t dt t
t t t
8
4
3
J
Với
1
2
0
1
dt
J
t
Đặt t = tanu => dt = (1 + tan
2
u)du =>
2
4
4
2
0
0
1 tan
1 tan 4
u
J du u
u
2
8
3
I
Vậy I =
9 3
3
e
21) I =
3
2
sin
0
sinx-sin
.sìn2x+
cos2 7
x
x
e dx
x
I =
2
2 2
sin
1 2
2
0 0
sin .cos
.sìn2x
2cos 8
x
x x
e dx dx I I
x
Tính:
I
1
=
2
sin
0
.sìn2x
x
e dx
=
2
sin
0
2 sin . sin
x
x e d x
Đặt
sin
sin
sin
cos
sin
x
x
u x
du dx
dv e d x
v e
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
2 2
sin sin sin
2
1
0
0 0
2sin . 2 .cos 2 2 . sin
x x x
I x e e xdx e e d x
sin
2
0
2 2 2
x
e e
Tính: I
2
=
2
2
2
0
sin .cos
2cos 8
x x
dx
x
Đặt t = cosx => dt = -sinxdx, đổi cận
I
2
=
1
1 1
2
2 2
0 0
0
1 1 4 1 1 2 1 ln3
1 ln
2 4 2 4 2 2 2 2 2
t t
dt dt
t t t
Vậy I =
5 ln3
2
22) I =
4
2
0
tan tan
x
x x e dx
=
4 4 4
1 2 3
2
0 0 0
1
. tan .
cos
x x x
e dx e dx x e dx I I I
x
Tính: I
1
=
4
2
0
1
.
cos
x
e dx
x
Đặt
2
1
tan
cos
x
x
u e
du e dx
v x
dv dx
x
I
1
=
4
4 4
4
3 1 3
0
0
tan . tan .
x x
x e x e dx e I I I e
Tính: I
2
=
4
4
4
0
0
1
x x
e dx e e
Vậy I = 1
23) I =
1
1
2 ln 1
ln
e
x
x
dx
x x
=
1
2 ln 1
ln
e
x x
dx
x x x
Đặt t = lnx => x = e
t
, dt =
1
dx
x
,đổi
cận => I
1 1 1
0 0 0
2 1 1 1
1 1 1
1
t t t
t t t
e t e e
dt dt dt J
e e t e t
Tính:
J =
1
0
1
t
t
e
dt
e t
Đặt u =
1
t t
e t du e dt
, đổi cận
1
1
ln 1
e
du
J e
u
Vậy I = 1 + ln(e + 1)
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
24) I =
8
3
ln
1
x
dx
x
Đặt
ln
2 1
1
dx
u x
du
x
dx
dv
v x
x
8
8
3
3
1
2 1.ln 2 6ln8 4ln3 2
x
I x x dx J
x
Tính:
J =
8
3
1
x
dx
x
Đặt t =
2
1 1
x t x
,
2
tdt dx
, x = t
2
– 1, đổi cận
3
2
2
.2
1
t
J tdt
t
3
3
2
2
1 1 1
2 2 ln
1 1 1
t
dt t
t t t
2 ln3 ln 2
Vậy I = 20ln2 - 6ln3 – 4
25) I =
1
2
1
0
2
2 9 . 3 2
x
x x
dx
1 1
2 2 2
0 0
2 2 .2
2
2 9 3.2 2
2 9 3
2
x x x
x x
x
x
I dx dx
1
0
2
2 9 3.2 2
x
x x
dx
Đặt
2
2
25 2
3.2 2 3.2 2 2 9 2
3 3ln 2
x x x x
t t
t t dx dt
2
2 2
2
1 1
1
5 5 5
2 2 1 1
. . . ln
ln 2 ln 2 0 5 . 5 5ln 2 5
25
t t t
t
I dt dt
t t t
t t
1 3 2 1 9
ln ln .ln
5ln 2 7 3 5ln 2 14
26) I =
1
2
0
1 6 3
x x dx
1
2
2
0
2 3 1
I x
dx Đặt
3 1 2sin 3 2cos
x t dx tdt
Khi x = 0
3
sin
2 3
t t
Khi x = 1 => sin t = 0 => t = 0
0 0 0
2
3 3 3
2 4 1
4 4sin 2 cos . cos . 1 cos2
2
3 3
I t t tdt t dt
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
0
3
2 1 2 1 3
sin 2
2 3 2 2
3 3
t t
Vậy
2 1
2
3 3
I
27) I =
1
2
1
1
1 1
dx
x x
=
1
2
1
1 1
2
x x
dx
x
1 1
2
1 1
1 1
2 2
x x
dx dx
x x
1 2
I I
Tính:
1
1
1
1
1
1 1 1
1 ln 1
2 2
I dx x x
x
1
2
2
2 2
1
1
; 1 2 2 ; 1 2 0
2
x
I dx t x tdt xdx x t I
x
Vậy I = 1
28) I =
1
3 2
2 2
0
10 3 1 10
1 1
x x x
dx
x x
1 1
1 2
2
2
0 0
1
10 3 10 3
1
1
x
dx dx I I
x
x
1
2
1 1
2
0
; 1 2 1
1
x
I dx t x I
x
1
2 2
2
0
1
; tan
1 4
I dx x t I
x
Vậy
3
10 2 1
4
I
29) I =
2
2
1
2
cot
sin
3
4
cos 2cot 3cot 1
.
sin
x
x
x x x
e dx
x
2
2
2
cot cot 1
2
4
cot 2cot 3cot 1
.
sin
x x
x x x
e dx
x
2
1
cot
sin
u x du dx
x
2
1
2 1 2
0
2 3 1 ; 1
u u
I u u u e du t u u
3
1
2 1 1
t
dt u du I t e dt
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
3
3
2
1
1
1
1 1
t t
t t
u t du dt
dv e dt v e
I e t e dt e e
30) I =
4
2
0
tan
x xdx
=
2
4 4 4
2 2
0 0 0
1 1
1 .
cos cos 32
x dx x dx xdx J
x x
4
2
0
2
1
. ;
1
tan
cos
cos
u x
du dx
J x dx
v x
x
dv dx
x
4 4
4
4
0
0
0 0
cos
1
tan tan ln cos ln2
4 cos 4 4 2
d x
J x x xdx x
x
Vậy I =
2
1
ln 2
4 2 32
31) I =
1
2 2
3
4
2tan
cos
x
e x
x x dx
x x
1
2
2 2
3 3 3
4 4 4
2 tan
cos
x
e x
I dx dx x xdx J M N
x x
4
1
4 1
3
3
2 2
3 1
4
1 1
;
x
t
e
J dx t dt J e dt e e
x x x dx
2
2
2
3
2
4
3 3
2
4 4
2
; tan 2 tan
1
tan
cos
cos
u x
du xdx
x
M dx M x x x xdx
v x
x
dv dx
x
2 2
9 9
16 16
M N M N
Vậy I =
4 1
2
3
9
16
e e
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
32) I =
2
0
2 cos4
x
xdx
Đặt
2 .ln 2.
2
1
cos4
sin 4
4
x
x
du dx
u
dv xdx
v x
2 2
2
0
0 0
1 1 ln 2
.2 .sin 4 .ln 2 2 sin 4 . 2 sin 4
4 4 4
x x x
I x xdx xdx
Đặt
2 , 2 ln 2
sin 4
1
cos4
4
x x
u du dx
dv xdx
v x
2
2
0
0
ln 2 1 ln 2 1
.2 .cos 4 . .ln 2. 2 .cos4
4 4 4 4
x x
I x xdx
2
2 2
2
2 1 .ln 2
ln 2 ln 2 ln 2
2 1 . 1
16 16 16 16
I I I
2
2
2 1 .ln 2
16 ln 2
I
33)
3
2
2
1
ln
1
x x
I dx
x
2
2
2
1
ln
1
1
2 1
u x
du dx
x
x
dv dx
v
x
x
2 2
3 3
3
12 2 2
1 1
1
1 1 ln3 1
.ln
2 20 2
2 1 1 1
x x
dx
I x dx
x x x x x
3
3
2
1
1
ln3 1 1
ln
20 2 2 1
x
x dx
x
2
3
3
2
2
1
1
1
ln3 ln3 1 9ln3 1
ln 1
20 2 4 1 20 4
d x
x
x
9ln3 ln5 9ln3 5ln5
20 4 20
34) I =
23
1
ln 1 ln
e
x
dx
x
Đặt t = lnx => dt =
1
dx
x
, đổi cận
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
1
2
0
1
ln 1
3
I t dt
2
2
2
ln 1
1
t
u t
du dt
t
dv dt
v t
1
2
1
2
2
0
0
1 2 1 2
.ln 1 ln 2
3 3 1 3 3
t
I t t dt J
t
Tính J =
1 1
2
2 2
0 0
1 1
1
1 1
t dt
dt
t t
Đặt t = tanu => dt = ( 1 + tan
2
u)du, đổi cận
2
4
2
0
tan 1
1 1
tan 1 4
u
J du
u
Vậy
2 ln 2 2
6
I
35) I =
1
2
2
0
1
.
1
x
x
e dx
x
1 1 1
2
2 2 2 2
0 0 0
1 2 2 . .
: 1 2
1 1 1 1
x x
x x
x x x e x e
Do I e dx e dx dx
x x x x
1 2
e J
Tính
1
2
0
.
1
x
x e
J dx
x
2
.
1
1
1
1
x
x
u x e
du e x dx
dx
dv
v
x
x
1
1
0
0
.
1
1 2
x
x
x e e
J e dx e
x
Vậy I = 1
36)
4
2
2
0
.log 9
I x x dx
2
2
2
2 2
4
4
2
2
2
0
0
2
9 ln 2
log 9
9 9
2 2 2
9 1 25ln5 9ln3 8
.log 9
2 ln 2 ln 2
x
du dx
x
u x
dv xdx
x x
v
x
I x xdx
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
* Cách khác: t = x
2
+ 9
=> I =
25 25
25
9
9 9
1 25ln5 9ln3 8
ln .ln
2ln 2 2ln 2 2ln 2 ln 2
t t
tdt t dt
37) I =
1
3
3
4
1
3
2014
x x x
dx
x
=
1 1
3
3
1 2
4 3
1 1
3 3
2014
x x dx
dx I I
x x
3
1 1
3
3
2
1
4 3
1 1
3 3
1
1
x x
x
I dx dx
x x
Đặt
3 2
3
2 2 3
1 1 3
1 1
2
dx
t t t dt
x x x
,đổi
cận =>
1
6
I
1
1
2
3 2
1
1
3
3
1
2014 2014. 8056
2
dx
I
x x
Vậy I =
6 8056 8062
I
38) I =
1
1
1
2
1
1
x
x
x e dx
x
=
1 1
1 1
1 1
2 2
1
x x
x x
e dx x e dx J K
x
1
1
1
2
x
x
J e dx
1
1
2
1
1
x
x
x
x
du e dx
u e
x
dv dx
v x
1
5
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
.
2
x
x
x
x
e
J x e x e dx e K
x
Vậy
5
2
2
2
2
2 2
e e
e
I J K e
39) I =
ln6
0
3 3 2 7
x
x x
e
dx
e e
Đặt t =
2
3 3
x x
e t e
,
2
x
tdt e dx
,đổi cận
3 3 3
2
2
2 2 2
2 1 1
2
2 2
2 3 1 2 1 . 1
3 2 3 7
t t
t t
I dt dt dt
t t t t
t t
3 3
2 2
80
2ln 1 ln 2 1 ln
63
t t
40) I =
1
4 2
1
3
ln 3 2ln
x x x dx
Do: ln( x
4
+ x
2
) -2lnx = ln [ x
2
.( 3x
2
+1 )] – lnx
2
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
= ln( 3x
2
+ 1 ), nên I =
1
2
1
3
ln 3 1
x dx
Đặt:
2
2
6
ln 3 1
3 1
xdx
u x
du
x
dv dx
v x
1
2
1
2
1
2
1
3
3
6 4ln2 ln3
.ln 3 1
3 1 3
x
I x x dx J
x
1 1 1
2
1
1
2
2 2
3
1 1 1
3 3 3
6 2 1 4
2 2 2 2
3 1 3 1 3
3 1
x
J dx dx x dx K
x x
x
Với K =
1
2
1
3
1
3 1
dx
x
Đặt
2
3 tan 3 1 tan
x t dx t dt
2
3
2
6
1 1 tan 4
1 tan 3
3 6 3 3 3
t
K dt J
t
Vậy
12ln2 3ln3 12 3
9
I
41) I =
1
2
2
0
.
2
x
x e
dx
x
Đặt
2
2
. 2
.
1
2
2
x
x
x x
u x e
du dx
e
dx
dv
v
x
x
1
1
2
0
0
. 1
.
2
x
x
x e
I x e dx J
x e
Với
1
0
.
x
J x e dx
Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
1
1 1
0 0
0
1 2
. 1
x x x
J x e e dx e
e e
Vậy I =
3
e
e
42)
2 2
2
2
1
2 1 2ln ln
ln
e
x x x x
dx
x x x
2 2 2 2
2 2
2
2 2
1 1 1
(ln 2 ln ) 1
ln ln
e e e
x x x x x x x x
dx dx dx A B
x
x x x x x x
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
2
1
1
1 1 1
e
e
e
A dx
x x e
2 2
1 1
1
1
1
ln 1
1
ln 1
ln ln 1
e
e e
d x
e
x
B dx
x x e
x x x
Vậy I =
2
2 1
1
e
I
e e
