skkn cách viết phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong không gian”

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRUNG TÂM GDTX THỐNG NHẤT
Mã số:
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TRONG KHÔNG GIAN”
Người thực hiện: Đoàn Văn Hiệp
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục 
- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 

- Lĩnh vực khác: 

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác
Năm học: 2013-2014
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
––––––––––––––––––
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Đoàn Văn Hiệp
2. Ngày tháng năm sinh: 19/08/1967
3. Nam, nữ: nam
4. Địa chỉ: 247/14 ấp Trần Cao Vân , xã Bàu Hàm 2
5. Điện thoại:0907824600 (CQ)/ (NR); ĐTDĐ:
6. Fax: E-mail:
7. Chức vụ: Tổ trưởng
8. Nhiệm vụ được giao Tổ trưởng chuyên môn, dạy lớp 11A; 12A, B
9. Đơn vị công tác: Trung tâm GDTX Thống Nhất
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học SP Toán

- Năm nhận bằng: 2005
- Chuyên ngành đào tạo: Toán
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: phương pháp giảng dạy
Số năm có kinh nghiệm: 25 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
+ Dạy học đặt và giải quyết vấn đề giải toán hình học
+ Ứng dụng hệ thức viet trong giải toán
+ Cách giải phương trình lượng giác
BM02-LLKHSKKN
CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Thực tế qua quá trình giảng dạy ở trung tâm GDTX tôi nhận thấy học sinh rất
yếu về môn toán vì hấu hết là bị mất căn bản và nhất là khi học phần hình học chương
viết phương trình lượng đường thẳng và mặt phẳng trong không gian thì khả năng viết
phương trình đường thẳng và mặt phẳng của học sinh là rất yếu, vì hầu hết các em không
nhớ hoặc nhớ lơ mơ véctơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến thậm chí có em không biết
vectơ là gì nên việc nhận dạng các loại dạng phương trình đường thẳng và mặt phẳng của
các em ngày càng gặp nhiều khó khăn.Từ đó các em không còn hứng thú và thậm chí còn
có cảm giác sợ hãi khi học phần phương trình đường thẳng và mặt phẳng . Để giúp các
em giải quyết những khó khăn đó, tạo niềm vui, hứng thú và thái độ tự tin trong học tập
đồng thời phát huy khả năng ghi nhớ kiến thức để áp dụng vào thực hành, và tính toán
nhanh trong các bài tập về phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Tôi
đã quyết định tìm hiểu “Cách viết phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong
không gian”.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1/ CƠ SƠ LÝ LUẬN
Giúp học sinh tự tìm tòi, xây dựng cho mình cách viết phương trình đường thẳng và
mặt phẳng trong không gian qua việc hình thành cho các em nhận biết được các dạng

phương trình đường thẳng và mặt phẳng, cách vận dụng công thức thế nào.
Giúp học sinh có thái độ thích thú và có niềm say mê học toán đặc biệt là phần viết
phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, cũng như học sinh tự trao đổi
với nhau về cách vận dụng công thức để giải nhanh các bài tập áp dụng, bài tập trắc
nghiệm về viết phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
Giúp học sinh học tốt phần phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong không
gian, từ đó từng bước nâng cao chất lượng môn học đồng thời tạo cơ sở kiến thức cho các
bộ môn khoa học khác như Vật lí… Gây sự hứng thú trong học tập của học sinh đối với
bộ môn toán nói chung và phần phương trình đường thẳng và mặt phẳng nói riêng.
Đây là giải pháp cải tiến gọn hơn, trọng tâm để học sinh dễ nhận biết cách làm bài
toán viết phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong không gian một cách dễ dàng
hơn
1/Thuận lợi:
- Được sự quan tâm giúp đỡ của tổ chuyên môn và các đồng nghiệp.
- Phụ huynh rất quan tâm đến tình hình học tập của học sinh
2/Khó khăn:
- Vì là học sinh TTGDTX nên có đến khoảng 70% học sinh ngán ngẩm, không có
hứng thú với phần hình học nói chung và phần phương trình đường thẳng và mặt phẳng
trong không gian, khả năng áp dụng vào việc giải các bài tập về viết phương trình đường
thẳng và mặt phẳng còn hạn chế vì không nắm vững công thức hay áp dụng sai công
thức.
- Một số học sinh tiếp thu chậm, kiến thức không đồng đều với nhau, không nắm
vững phần lý thuyết nên gặp khó khăn trong khi tiếp thu bài giảng và làm bài tập.
- Trình độ học sinh không đồng đều nên việc lựa chọn phương pháp truyền đạt, lựa
chọn kiến thức cung cấp cho học sinh cũng gặp nhiều khó khăn.
- Một số em chưa có ý thức học tập và một số em còn lười.
- Ngoài ra phân phối chương trình còn quá ít giờ luyện tập, không cân đối với lượng
kiến thức mà các em đã được học.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
VẤN ĐỀ I: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

I/Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến.
* Mặt phẳng (P) qua điểm
( )
0 0 0
M x ;y ;z
và song song hoặc chứa giá của hai vectơ a
và b .
Phương pháp:
Mặt phẳng (P) qua điểm
( )
0 0 0
M x ;y ;z
.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là a =( …); b =(….)
Mặt phẳng (P) có VTPT n = [ a . b ].
Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
Ví dụ : Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
x = 1 – 2t x = – t
’
d: y = -2 + 8t (t ∈R) và d
’
: y = 1 + t
’
(t
’
∈R)

z = -1 + 3t z = -1 + 2t
’
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(3; 0; 1) và song song với d và d
’
Bài giải
Mặt phẳng (P) đi qua M(3; 0; 1) và nhận vectơ V=(-2; 8; 3) và V
’
= (-1; 3; 2) làm
căp vectơ chỉ phương suy ra mp(P) có vectơ pháp tuyến : (7; 1; 2). Phương trình của
mp(P) là :
7(x – 3) + 1(y – 0) + 2(z – 1) = 0 hay 7x + y + + 2z – 23 = 0
II/ Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và song song với mp(Q).
Phương pháp:
Do mp(P) song song mp(Q) nên pt có dạng:
Ax+By+Cz+m=0, với
m D≠
.
Vì M thuộc mp(P) nên thế tọa độ của M và
pt (P) ta tìm được m.
Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp tuyến.
Ví dụ: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(1;2;3) và song song với
mp(Q): 2x+2y+z=0.
Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3).
Mặt phẳng (P) có VTPT là n = n = (2; 2; 1).
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )

x 1 2 y 2 1 z 3 0
x 2 2y 4 z 3 0
x 2y z 3 0
⇔ 2 − + − − − =
⇔ 2 − + − − + =
⇔ 2 + − − =
Ví dụ: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phương trình mp(P) qua điểm
M(1;2;3) và song song với mp(ABC)
Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
Mặt phẳng (P) có VTPT là n =[ ]
Với = (-1; 1; 0) và = (-1; 0; 1) ⇒ n =[ ]= (1; 1; 1)
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
x 1 1 y 2 1 z 3 0
x 1 y 2 z 3 0
x y z 6 0
⇔1 − + − + − =
⇔ − + − + − =
⇔ + + − =
Ví dụ: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxy).
Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
Mặt phẳng (P) có VTPT là n= [ i . j ]= ( 0 ; 0 ; 1)
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
x 1 0 y 2 1 z 3 0
z-3=0
⇔ 0 − + − + − =
⇔
III/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) đi qua M.
• Mặt phẳng (P) có VTPT: n = a = (a ;a ; a ) .
Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
Ví dụ: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đt d:
x 1 2t
y 3t
z 2
= +


= −


=

Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).
Mặt phẳng (P) có VTPT là n = a = (2; -3; 0 ) .
( ) ( ) ( )

0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
2 x 2 3 y 2 0 z 1 0
2x 4 3y 6 0
2x 3y 2 0
⇔ − − − + + =
⇔ − − + =
⇔ − + =
Ví dụ: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đường thẳng
d:
x 1 y 2 z
1 2 2
− +
= =
−
Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).
Mặt phẳng (P) có VTPT là n = a = (1; 2; -2 ) .
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
x 2 2 y 2 2 z 1 0
x 2 2y 4 2z 2 0
x 2y 2z 8 0
⇔1 − + − − + =
⇔ − + − − − =

⇔ + − − =
IV/ Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C.
Phương pháp:
Mặt phẳng (P) đi qua A.
Mặt phẳng (P) có VTPT: n =[ ] .
Pt(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
Ví dụ: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC.
Bài giải
- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n = = (-2; 0; 2)
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
x 0 0 y 2 2 z 0 0
x + 2z = 0
x+z=0
⇔ −2 − + − + − =
⇔ −2
⇔ −
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với BC tại B.
Bài giải
- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n = = (0; -2; 2) .

-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
x 0 2 y 2 2 z 0 0
y+4+2z=0
y+2z+4=0
⇔ 0 − − − + − =
⇔ −2
⇔ −2
Hay y - z - 2 = 0
Ví dụ: Viết phương trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1).
Bài giải
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n = [ , ]
- Với = (-1; 1; 0) ; = (-1; 0; 1)
⇒ n = [ , ] = (1; 1; 1)
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
x 1 1 y 0 1 z 0 0
x 1 y z 0
x y z 1 0
⇔1 − + − + − =
⇔ − + + =

⇔ + + − =

V/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q).
Phương pháp:
Mặt phẳng (P) qua điểm A.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: = …. n = ….
Nên mp(P) có VTPT: n = , n ].
Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =

Ví dụ: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp
(Q): 2x-y+3z-1=0
Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1).
Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:
= (-1 ; -2 ; 5) ; n = 2; -1; 3)
Mặt phẳng (P) có VTPT là n = , n ] = (-1; 13; 5).

( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
x 3 13 y 1 5 z 1 0
x-13y-5z+5=0
⇔ −1 − + − + + =
⇔
Ví dụ: Viết pt mp(P) qua gốc tọa độ, điểm A(1;1;1) và vuông góc với mp(Oyz)

Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0).
Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:
= (1; 1; 1) và i = (1; 0; 0)
Mặt phẳng (P) có VTPT là n = , i ] =(0;1;-1)
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =

( ) ( ) ( )
x 0 1 y 0 1 z 0 0
y-z=0
⇔ 0 − + − − − =
⇔
VI/ Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’.
Phương pháp:
Mặt phẳng (P) qua điểm
M d
∈
.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: a =… a = ….
Mp(P) có VTPT: n = [ a , a ]

.
Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
Ví dụ :Trong không gian Oxyz , cho điểm
( 3; 2; 3)A - -

và hai đường thẳng
1
1 2 3
:
1 1 1
x y z
d
- + -
= =
-
và
2
3 1 5
:
1 2 3
x y z
d
- - -
= =
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
1
d
và
2
d
.
Bài giải
Mặt phẳng (P) chứa
1
d

và
2
d
.
 Điểm trên (P):
1
(1; 2;3)M -
 vtpt của (P): n = [ u , u ]= (5; -4; 1)
 Vậy, PTTQ của mp(P) là:
5( 1) 4( 2) 1( 3) 0x y z- - + + - =
hay 5x -4y + z – 16 = 0
VII/ Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB.
Phương pháp:
• Gọi I là trung điểm AB
⇒
( )
I =
• Mặt phẳng (P) qua điểm I.
• Mặt phẳng (P) có VTPT n = .
Ptmp (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
Ví dụ: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3). Viết phương trình mặt phẳng trung trực
của đoạn thẳng AB.
Bài giải
- Gọi (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB.
- Gọi I là trung điểm của AB
( )

I 2;2;2⇒
- Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n = = (2 ; 2 ; 2).
-
( ) ( ) ( )
0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0− + − + − =
2(x – 2) + 2(y – 2) + 2(z – 2) = 0 hay 2x + 2y + 2z -12 = 0
VẤN ĐỀ II: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG.
I/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A,B.
Phương pháp:
Đường thẳng d đi qua điểm A.
Đường thẳng d có VTCP: a = .
Pt tham số:
0
0
0
= +


= +


= +

x x at
y y bt
z z ct
. (t ∈R)
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(1;2;3), B(2;1;4).

Bài giải
Đường thẳng AB qua điểm A(1;2;3).
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là: a = = (1; -1; 1).
Pt tham số của AB là:
0
0
0
x x at
x 1 t
y y bt y 2 t
z 3 t
z z ct
= +
= +


 
= + ⇔ = −
 
 
= +
= +


(t ∈R)
II/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng
d’.
Phương pháp:
Đường thẳng d đi qua điểm M.
Đường thẳng d có VTCP: a = a .

Pt tham số:
0
0
0
= +


= +


= +

x x at
y y bt
z z ct
. (t ∈R)
Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ chỉ phương.
Ví dụ : Viết phương trình Tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(2; 0; -3) và
song song với đường thẳng d
‘
có phương trình
x = 1 + 2t
d
’
: y = -3 + 3t (t ∈R)
z = 4t
Bài giải
Đường thẳng d song song với đường thẳng x = 1 + 2t
d
’

: y = -3 + 3t (t ∈R)
z = 4t
nên d có vectơ chỉ phương là (2 ; 3 ; 4)
Vậy phương trình tham số của d là x = 2 + 2t
d: y = 3t (t ∈R)
z = -3 + 4t
III/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P).
Phương pháp:
Đường thẳng d đi qua điểm M.
Đường thẳng d có VTCP: a = n
Pt tham số:
0
0
0
= +


= +


= +

x x at
y y bt
z z ct
. (t ∈R)
Chú ý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhận VTPT của mặt phẳng làm
VTCP
Ví dụ: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với mp(P): x-2y-z-
1=0.

Bài giải
Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a = n = (1; -2; -1)
Pt tham số của d là:
0
0
0
x x at
x 1 t
y y bt y 2 2t
z 3 t
z z ct
= +
= +


 
= + ⇔ = −
 
 
= −
= +


(t ∈R).
Ví dụ: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa
độ và vuông góc mp(ABC).
Bài giải
Đường thẳng d qua điểm O(0;0;0).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a = n = ]=(1;1;1).

Pt tham số của d là:
0
0
0
x x at
x t
y y bt y t
z t
z z ct
= +
=


 
= + ⇔ =
 
 
=
= +


(t ∈R).
VẤN ĐỀ III: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Tìm giao điểm của đường thẳng d:
0
0
0
= +



= +


= +

x x at
y y bt
z z ct
và mp(P): Ax+By+Cz+D=0.
Phương pháp:
Gọi H là giao điểm của d và (P).
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt:
0
0
0
Ax+By+Cz+D=0
= +


= +


= +



x x at
y y bt
z z ct
(t ∈R)

Xét pt:
( ) ( ) ( )
0 0 0
A +B +C +D=0+ + +x at y bt z ct
(*).Giải pt (*) tìm t
⇒
x, y, z
⇒
H.
Ví dụ: Cho đường thẳng d và mp (P) có phương trình: d:
1
2 2
3 2
x t
y t
z t
= +


= +


= +

; (P): 2x + z - 5 =
0 Xác định tọa độ giao điểm A của d và (P).
Bài giải
A = d
∩
(P). Ta có A

∈
d
⇒
A(1 + t; 2 + 2t; 3 + 2t)
Vì A
∈
(P)
⇔
2(1 + t) + (3 + 2t) - 5 = 0
⇔
t = 0
Vậy: A(1; 2; 3)
VẤN ĐỀ IV: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN MP(P).
Phương pháp:
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M
và vuông góc với mp(P).
Tìm giao điểm H của d và (P).
Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên (P).
Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên (P) chính là giao điểm của đường thẳng d đi
qua M và vuông góc với (P).
Ví dụ:Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(6; -1; -5) trên mp(P): 2x + y -2z - 3=
0.
Bài giải
Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phương trình:





−−=

+−=
+=
tz
ty
tx
25
1
26

Gọi H = d
∩
(P). Ta có H
∈
d
⇒
H(6 + 2t; -1 +t; -5-2t)
Vì H
∈
(P)
⇔
2(6+2t) + (-1+t) - 2(-5-2t) - 3 = 0
⇔
t = -2
Vậy H(2; -3; -1)
VẤN ĐỀ V: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA MP(P).
Phương pháp:
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P).
Tìm giao điểm H của d và (P).
Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm của đoạn thẳng MM”.
/

/
/
/
/
/
2
2
2
2
2
2
+

=


= −

+


⇔ = ⇒ = −
 
 
= −
+


=



M
M
H
H M
M
M
M
H H M
M
H M
M
M
M
H
x x
x
x x x
y y
y y y y
z z z
z z
z
⇒
M’=
Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua (P) khi đó H là trung điểm của đoạn
thẳng MM’
Ví dụ: Tìm tọa độ điểm M
'
đối xứng với điểm M(6; -1; -5) qua mp(P): 2x + y - 2z - 3 =

0.
Bài giải
Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phương trình:





−−=
+−=
+=
tz
ty
tx
25
1
26
Gọi M
'
(6+2t; -1+t; -5-2t)
∈
d và M
'
≠
M
⇒

t
≠
0

M
'
đối xứng với M qua (P)
⇔
d(M;(P))=d(M
'
;(P))

⇔

3
189
3
18 +
=
t


⇔
t = - 4
∨
t = 0 (loại)
Vậy M
'
(-2; -5; 3)
VẤN ĐỀ VI: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN đường thẳng
d.
Phương pháp:
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M
và vuông góc với đường thẳng d.

Tìm giao điểm H của d và (P).
Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên d.
Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d chính là giao điểm của đường
thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).
Ví dụ: Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M(-1; -2; 4) trên đường thẳng d:





+=
−=
+−=
tz
ty
tx
1
22
32
Bài giải
Đường thẳng d có VTCP u = (3; -2; 1).
Gọi H
∈
d suy ra: H(-2+3t; 2-2t; 1+t) nên:
=(-1+3t; 4-2t; -3+t)
H là hình chiếu của M trên d
⇔
u. = 0

⇔

3(-1+3t) - 2(4-2t) + (-3+t) = 0
⇔
t = 1
Vậy H(1; 0; 2)
VẤN ĐỀ VII: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA đường thẳng d.
Phương pháp:
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và
vuông góc với đường thẳng d.
Tìm giao điểm H của d và (P).
Do M và M’ đối xứng qua d nên H là trung điểm
của đoạn thẳng MM’.
/
/
/
/
/
/
2
2
2
2
2
2
+

=


= −


+


⇔ = ⇒ = −
 
 
= −
+


=


M
M
H
H M
M
M
M
H H M
M
H M
M
M
M
H
x x
x
x x x

y y
y y y y
z z z
z z
z
⇒
M’=
Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua d khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng
MM’.
Hoặc ta lấy H
∈
d, H là hình chiếu của A lên đường thẳng d khi và chỉ khi = 0 (
u
là
VTCP của d), ta có H là trung điểm của AA
/
từ đó suy ra tọa độ của A
/

Ví dụ: Tìm tọa độ điểm A
/
đối xứng với A(1 ; -2 ; -5) qua đường thẳng d
có phương trình :





=
−−=

+=
tz
ty
tx
2
1
21
Bài giải
Đường thẳng d có VTCP u= (2; -1; 2).
Gọi H
∈
d suy ra: H(1+2t ; -1-t ; 2t)
= (2t ; 1-t ; 2t-5)
H là hình chiếu của A trên d
⇔
u. = 0

⇔
2(2t) - (1- t) + 2(2t + 5) = 0
⇔
t = -1
suy ra: H(-1;0;-2)
Ta có H là trung điểm của AA
/
nên:






=
=
−=
1
2
3
/
/
/
A
A
A
z
y
x
Vậy: A
/
(-3 ; 2 ; 1).
CÁC BÀI TẬP THAM KHẢO THÊM
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với đường
thẳng BC, biết B(-;2;1;3), C(-1;-2;-3).
Bài 2: Cho hai điểm A(2;1;0), B(3;-1;0). Viết phương trình mặt (P) vuông góc với AB tại
A.
Bài 3 Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A
và vuông góc với BC.
Bài 5:Cho hai điểm A(2;1;0), B(-2;-3;4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng AB.
Bài 6: Cho hai điểm A(-2;3;0), B(-2;-3;-4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng AB.
Bài 7: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-4;-1;4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của

đoạn thẳng AB.
Bài 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng
d:
x 2 t
y 1 2t
z 1 2t
= −


= +


= −

.
Bài 9: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm đoạn thẳng AB và vuông góc với
đường thẳng
d:
x t
y 1
z 1 2t
=


=


= −

, biết A(1;2;3), B(3;2;1).

Bài 10: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với đường thẳng d:
x 1 y z 1
2 1 2
− +
= =
− −
.
Bài 11: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;-2;3) và song song với
mp(Q): 2x-2y-z-1=0.
Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng
(Q): 2x-y-10=0.
Bài 13: Cho hai điểm M(-1;-2;-3), N(-3;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua
trung điểm của đoạn thẳng MN và song song với mặt phẳng (Q): 3x-y+z-10=0.
Bài 14: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua trọng tâm tam giác ABC và song song với mặt phẳng (Q): y-2z-1=0.
Bài 15: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;-1;-1), B(1;0;1) và vuông
góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-z-1=0.
Bài 16: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;1;1), B(2;1;1) và vuông
góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-1=0.
Bài 17: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0;1;0), B(1;0;1) và vuông
góc với mặt
Bài 18: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm A(1;2;-
1),
B(2;-3;1).
Bài 19: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm M(4;-
2;0),
N(0;-2;1).
Bài 20: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15). Viết phương trình
đường thẳng d đi qua điểm A và trọng tâm G của tam giác ABC.

Bài 21: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15). Viết phương trình
đường thẳng d đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 22: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-1;2;-1) và gốc tọa độ.
Bài 23: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A(1;2;3), B(-1;-2;-3).
Bài 24: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm B(-1;2;3), C(-3,-9,15).
Bài 25: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm B(-1;-2;-3), C(3,-9,27).
Bài 26: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-1;0;-2) và gốc tọa độ.
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Qua việc thực hiện đề tài này, bước đầu tôi nhận thấy đã đạt được một số kết quả
sau:
- Học sinh tiếp thu bài tốt, nắm chắc kiến thức.
- Học sinh cảm thấy thích thú và tự mình tìm tòi ra các phương pháp, các dạng để giải
các bài toán viết phương trình đường thẳng và mặt phẳng, qua việc nhớ các dạng toán và
vận dụng vào viết phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
- Khoảng cách về trình độ học tập của học sinh dần được thu hẹp.
-Các em tạo được thói quen tự học, tự mình phân tích bài toán để tìm ra cách giải của
các bài toán.
Chất lượng học tập của các em được nâng cao và có nhiều tiến bộ. Đặc biệt là các em
học sinh yếu hiểu và nắm bắt bài một cách nhanh chóng, có hứng thú trong học tập
Để đánh giá khả năng tiếp thu và nắm bắt kiến thức của học sinh trong quá trình áp
dụng đề tài này tôi đã cho học sinh làm các bài kiểm tra khác nhau vào các thời điểm
khác nhau và kết quả thu được có trong bảng sau:
Lớp Số hs Dưới TB TB trở lên Khá Giỏi
12A 28 10 35,7% 18 64,3%
12B 30 14 46,7 16 53,3%
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi rút ra được một số kinh nghiệm giúp học sinh làm
chủ kiến thức và thành thạo trong vận dụng giải bài tập như sau:
1/ Người giáo viên phải nắm được khả năng của học sinh trong lớp mình phụ trách,
biết được những gì mà mình đã dạy học sinh tiếp thu được đến đâu, để từ đó có phương

án điều chỉnh cho kịp thời tạo hiệu quả cao hơn
2/ Trước khi lên lớp, người giáo viên cần chuẩn bị thật chu đáo nội dung kiến thức
cần truyền thụ cho học sinh
3/ Bản thân người thầy phải không ngừng học hỏi, luôn tìm tòi sáng tạo để tìm ra
phương pháp tốt nhất nhằm giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách hiệu quả nhất
4/ Tạo không khí sôi nổi trong lớp học, cùng nhau thi đua học tập tốt cho học sinh
5/ Hệ thống bài tập phải được chuẩn bị cho mọi đối tượng học sinh trong lớp học,
nhằm giúp cho mọi đối tượng đều tích cực tham gia học tập
6/ Chuẩn bị sẵn sàng các đồ dùng dạy học để phục vụ cho việc giảng dạy
7/ Gây hứng thú học tập cho học sinh bằng các bài tập cũng cố và khắc sâu kiến thức,
sau đó phát triển thành các bài tập nâng cao hơn để tạo thành hệ thống bài tập liên hoàn
từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp để tránh nhàm chán cho học sinh.
VI/ KẾT LUẬN:
Do thời gian có hạn và mục đích chính của chuyên đề là áp dụng cho học sinh đại trà,
đồng thời học sinh của trung tâm GDTX là học sinh có học lực trung bình yếu, nên lượng
bài tập còn đơn giản và chưa thật sự đa dạng, đầy đủ, do đó không tránh khỏi thiếu sót,
rất mong các đồng nghiệp tham gia góp ý xây dựng để chuyên đề của tôi có khả năng áp
dụng rộng rãi và có tính thiết thực hơn!
Xin chân thành cảm ơn.
NGƯỜI THỰC HIỆN
Đoàn Văn Hiệp
SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRUNG TÂN GDTX THỐNG NHẤT Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Thống Nhất, ngày tháng năm
PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2013-2014
–––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm: “CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN”
Họ và tên tác giả: Đoàn Văn Hiệp Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn

Đơn vị: Trung tâm GDTX Thống Nhất
Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)
- Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: 
- Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác: 
Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành 
1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô dưới đây)
- Đề ra giải pháp thay thế hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 
- Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 
- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình,
nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 
2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 5 ô dưới đây)
- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu
quả cao 
- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả 
- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình,
nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 
3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc
sống: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành

- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 
Xếp loại chung: Xuất sắc  Khá  Đạt  Không xếp loại 
Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết và chịu trách nhiệm không sao chép tài liệu của
người khác hoặc sao chép lại nguyên văn nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của mình.
Tổ trưởng và Thủ trưởng đơn vị xác nhận đã kiểm tra và ghi nhận sáng kiến kinh nghiệm này

đã được tổ chức thực hiện tại đơn vị, được Hội đồng chuyên môn trường xem xét, đánh giá; tác
giả không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nguyên văn nội dung sáng kiến kinh
nghiệm cũ của chính tác giả.
Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của tác giả và người
có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm.
NGƯỜI THỰC HIỆN XÁC NHẬN CỦA TỔ THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
CHUYÊN MÔN