skkn một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng

Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
Mục Lục
Trang
A. Phần mở đầu 2
I. Lý do chọn đề tài 2
II. Mục đích nghiên cứu 2
III. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
IV. Đối tượng nghiên cứu 2
V. Phương pháp nghiên cứu 2
B. Phần nội dung 3
I. Cơ sở lý thuyết 3
1. Khái niệm số phức 3
2. Biểu diễn hình học số phức 3
3. Phép cộng và phép trừ số phức 3
4. Phép nhân số phức 4
5. Số phức liên hợp 4
6. Phép chia cho số phức khác không 4
7. Căn bậc hai của số phức 5
8. Phương trình bậc hai 5
9. Dạng lượng giác của số phức 5
10. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác 5
11. Công thức Moa-vro (Moivre) và ứng dụng 5
II. Một số dạng toán thường gặp về số phức 6
Vấn đề 1. Giải phương trình trong tập hợp số phức 6
Vấn đề 2. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức 8
Vấn đề 3. Tính mô đun về số phức 11
Vấn đề 4. Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức cho trước 15
Vấn đề 5. Dạng lượng giác của số phức 18
III. Ứng dụng của số phức trong giải toán 20
Vấn đề 1. Chứng minh đẳng thức và bất đảng thức 20
Vấn đề 2. Tính tổng 24

Vấn đề 3. Số phức trong việc giải hệ phương trình 26
IV. Một số đề trong kỳ thi tốt nghiệp THPT 29
V. Một số đề trong kỳ thi đại học – cao đẳng 29
C. Kết luận 31
I. Kết quả nghiên cứu 31
II. Bài học tổng kết 32
III. Điều kiện để áp dụng đề tài 32
IV. Hạn chế của đề tài 32
V. Hướng tiếp tục nghiên cứu và mở rộng đề tài 32
VI. Lời kết 32
MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
A- PHẦN MỞ ĐẦU
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 1
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Số phức rất quan trọng trong toán học cũng như các nghành khoa học khác. Nhưng số phức mới
đưa vào chương trình THPT và chỉ vào chương cuối cùng của chương trình lớp 12. Thời lượng để giảng
dạy phần số phức tương đối ít nên việc làm quen sử dụng và ứng dụng số phức vào giải toán đối với học
sinh là một điều khó khăn.
Tuy nhiên, mấy năm gần đây trong các đề thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh đại học và cao đẳng
đều đề cập đến các bài toán số phức. Để giúp các em hiểu sâu hơn về các dạng toán thường gặp về số
phức và ứng dụng của số phức, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số dạng toán thường gặp về số phức
và ứng dụng”.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu đề tài “Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng” nhằm giúp học sinh
rèn kỹ năng giải toán về số phức, phát triển tư duy logic cho học sinh đồng thời nâng cao chất lượng học
tập của học sinh, tạo hứng thú học tập môn toán, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn toán
theo hướng phát huy tính chủ động, tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh, góp phần nâng cao chất
lượng đội ngũ học sinh khá giỏi về môn toán, kích thích sự đam mê, yêu thích môn toán và phát triển
năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh. Đối tượng áp dụng: học sinh lớp 12.

III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Xác định cơ sở khoa học của số phức với dạng đại số và lượng giác phân ra một số dạng toán
thường gặp về số phức.
Tiếp cận một số ứng dụng của số phức trong giải toán đại số, lượng giác và hình học.
IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Một số dạng toán thường gặp về số phức, ứng dụng của số phức trong giải các bài toán đại số,
lượng giác và hình học trong chương trình toán trung học phổ thông.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài liệu có liên quan về số phức.
Thực hiện các tiết dạy tại một số lớp.
B – PHẦN NỘI DUNG
I- CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Khái niệm số phức
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 2
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
Một số phức là một biểu thức dạng a+bi, trong đó a và b là những số thực và số i thỏa mãn i
2
= -1.
Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi, i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi
là phần ảo của số phức z = a + bi
Tập hợp các số phức được ký hiệu là C.
Chú ý: Số phức z = a + 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là a + 0i = a thuộc R
⊂
C
Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo):
Z = 0 + bi = bi (b
R∈
); i = 0 + 1i = 1i
Số 0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo.
Định nghĩa 1:

Hai số phức z = a + bi (a, b
R∈
), z’= a’+ b’i (a’,b’
R∈
) gọi là bằng nhau nếu a = a’, b = b’ Khi
đó ta viết z = z’.
2. Biểu diễn hình học số phức
Ta đã biết biểu diễn hình học các số thực bởi các điểm trên một trục số. Đối với các số phức, ta
hãy xét mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi số phức z = a + bi (a, b
R∈
) được biểu diễn bởi điểm M(a; b).
Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm M(a; b) biểu diễn số phức là z = a + bi. Ta còn viết M(a + bi) hay M(z). Vì
lẽ đó, mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như thế được gọi là mặt phẳng phức.
3. Phép cộng và phép trừ số phức
a) Tổng của hai số phức
Định nghĩa 2:
Tổng của hai số phức z = a + bi, z’= a’+ b’i (a, b, a’, b’
R∈
) là số phức z + z’ = a+ a’+ (b + b’)i
b) Tính chất của phép cộng số phức
Từ định nghĩa 3, dễ thấy phép cộng các số phức có các tính chất sau đây, tương tự phép cộng các
số thực.
• Tính chất kết hợp: (z + z’) + z”= z + (z’+ z”) với mọi z, z’, z”
C
∈
• Tính chất giao hoán: z + z’= z’+ z với mọi z, z’
C∈
• Cộng với 0: z + 0 = 0 + z = z với mọi z
C
∈

• Với mỗi số phức z = a + bi (a,b
R∈
)
nếu ký hiệu số phức –a –bi là –z thì ta có: z +(-z) = (-z) +z = 0
Số -z được gọi là số đối của số phức z.
c) Phép trừ hai số phức
Định nghĩa 3: Hiệu của hai số phức z và z’ là tổng của z với –z’, tức là z - z’= z +(-z’). Nếu z = a + bi,
z’= a’+ b’i (a, b, a’, b’
R∈
) thì z - z’ = a - a’ + (b - b’)i
4. Phép nhân số phức
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 3
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
a) Tích của hai số phức
Định nghĩa 4: Tích của hai số phức z = a + bi và z’= a’+ b’i (a, b, a’, b’
R∈
)là số phức
zz’= aa’ – bb’+(ab’+ a’b)i
b) Tính chất của phép nhân số phức
• Tính chất giao hoán: zz’ = z’z với mọi z, z’
C
∈
• Tính chất kết hợp: (zz’)z”= z(z’z”) với mọi z, z’, z”
C∈
• Nhân với 1: 1.z = z.1 = z với mọi z
C
∈
• Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
z(z’+z”) = zz’+ zz” với mọi z, z’, z”
C

∈
5. Số phức liên hợp và môđun của số phức
a) Số phức liên hợp
Định nghĩa 5: Số phức liên hợp của z = a + bi (a, b
R∈
) là a - bi và được ký hiệu bởi
z
Như vậy:
z a bi a bi= + = −
Rõ ràng:
z
= z nên người ta còn nói
z
và z là hai số phức liên hợp với nhau (gọi tắt là hai số phức
liên hợp). Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng với nhau qua trục
Ox.
b) Mô đun của số phức
Định nghĩa 6: Mô đun của số phức z = a + bi (a, b
R∈
) là số thực không âm
2 2
a b+
và được ký hiệu
là
z
Như vậy: Nếu z = a + bi (a, b
R∈
) thì
2 2
z zz a b= = +

6. Phép chia cho số phức khác 0
Định nghĩa 7: Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số
1
2
1
z z
z
−
=
. Thương
'z
z
của phép chia số phức
z’ cho số phức z khác 0 là tích của z’ với số phức nghịch đảo của z, tức là
1
'
'
z
z z
z
−
=
Như vậy:
Nếu
0z
≠
thì
2
' 'z z z
z

z
=
7. Căn bậc hai của số phức
Định nghĩa 8: Cho số phức w, mỗi số phức z thỏa mãn
2
wz =
được gọi là một căn bậc hai của w
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 4
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
8. Phương trình bậc hai.
Nhờ tính được căn bậc hai của số phức, dễ thấy mọi phương trình bậc hai
( )
2
0 1Az Bz C+ + =
Trong đó A, B, C là những số phức, (
0A
≠
) đều có hai nghiệm phức (có thể trùng nhau). Việc giải
phương trình đó được tiến hành tương tự như trong trường hợp A, B, C là những số thực. Cụ thể là:
Xét biệt thức:
2
4b ac∆ = −
- Nếu
0
∆ ≠
thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
1 2
;
2 2
B B

z z
A A
δ δ
− + − −
= =
,trong đó
δ
là
một căn bậc hai của
∆
- Nếu
0
∆ =
thì phương trình (1) có nghiệm kép:
1 2
2
B
z z
A
= = −
9. Dạng lượng giác của số phức
Định nghĩa 9: Cho số phức
0z
≠
. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số
đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là acgument của z
Định nghĩa 10: Dạng
( os isin )z r c
φ φ
= +

trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác của số phức
0z ≠
.
Còn dạng z = a + bi (
,a b R∈
) được gọi là dạng đại số của số phức z.
10. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác
Định lý: Nếu
( os isin )z r c
φ φ
= +
,
' '( os ' isin '),( 0, ' 0)z r c r r
φ φ
= + ≥ ≥
thì
zz’= rr’
( )
os ' isin( ')]c
φ φ φ φ
 
+ + +
 
,
( ) ( )
' '
os ' isin '
z r
c
z r

φ φ φ φ
 
= − + −
 
(Khi r>0)
11. Công thức Moa-vro (Moivre) và ứng dụng
a) Công thức Moavro
Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp toán học dễ dàng suy ra với mọi
số nguyên dương n.
( )
[ ( os isin )] osn isin
n n
r c r c n
φ φ φ φ
+ = +
và khi r =1 ta có:
( os isin ) osn isin
n
c c n
φ φ φ φ
+ = +
b) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác.
Từ công thức Moavro dễ thấy số phức
( os isin )z r c
φ φ
= +
trong đó r > 0 có hai căn bậc hai là:
os +isin
2 2
r c

φ φ
 
 ÷
 
và -
os +isin os isin
2 2 2 2
r c r c
φ φ φ φ
 
     
= +Π + + Π
 ÷  ÷  ÷ ÷
     
 
II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC
Vấn đề 1. Giải phương trình trong tập hợp số phức
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 5
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
Giải:
a)
( ) ( )
4 2 1
4 2
(1 ) 4 2 1 3
1 2
i i
i
i z i z z z i
i

− −
−
+ = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = −
+
Vậy phương trình có nghiệm:
1 3z i
= −
b)
( ) ( )
1 1
2 2 1
1 2 2
z i i
i z i i z i z i z z i
z i
+
= + ⇔ + = + ⇔ + = ⇔ = ⇔ = +
+
Vậy phương trình có nghiệm:
1 1
2 2
z i= +
c) Đặt z = x+ yi (x, y
R∈
), khi đó:
( ) ( )
2 ( 1)(1 ) 2 2 ( )(1 ) 2
2
3 2 2
5

3 2 2 2
2 4
5
z z z z i x yi x yi x yi x yi i
x
x x
x yi x xi
y x
y
− = + + + − ⇔ + − − = + + − + −

= −

= −


⇔ + = − + ⇔ ⇔
 
=


= −


Vậy
2 4
5 5
z i= − −
Giải:
a)

2
2 5 0z z+ + =
Ta có:
( )
2
' 1 5 4 2i∆ = − = − =
Vậy phương trình có nghiệm :
1 2 ; 1 2z i z i= − + = − −
b)
( ) ( )
2
2 2
2
0
2 1 0
2 1 0
z i
z i z iz
z iz

+ =
+ − − = ⇔

− − =


Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 6
Ví dụ 1: Giải phương trình :
a)
(1 ) 4 2i z i+ = −

b)
2
z i
i
z
+
= +

c)
2 ( 1)(1 ) 2z z z z i− = + + + −

Ví dụ 2: Giải phương trình :
a)
2
2 5 0z z+ + =
b)
( ) ( )
2 2
2 1 0z i z iz+ − − =
c)
( ) ( )
2
1 3 2 1 0z i z i+ − − + =
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
TH1:
2
2
1 2 2
( 2 ) (1 ) (1 )

2 2 2
z i i i z i
 
= − = − = − ⇔ = ± −
 ÷
 ÷
 
TH2:
( )
2
2 2 2
2 1 0 2 0 0z iz z iz i z i z i− − = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm: z = i;
2 2 2 2
;
2 2 2 2
z i z i= − = − +
c)
( ) ( )
2
1 3 2 1 0z i z i+ − − + =
ta có:
( ) ( )
2 2
1 3 8(1 ) 2 1i i i i∆ = − + + = = +
Vậy phương trình có nghiệm:
1 ; 2z i z i= − + =
Giải:
a)
( )

( )
3 2
8 0 2 2 4 0z z z z+ = ⇔ + + + =
( ) ( )
( )
2
2 2
2
2
2
2
2 0
1 3
2 4 0
1 3 1 3
1 3
z
z
z
z
z i
z z
z z i
z i
= −

= −

= −


+ =



⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = − +



+ + = 
+ = − + =





= − −

b)
( )
( )
3 2 2
9 14 5 0 2 1 4 5 0z z z z z z− + − = ⇔ − − + =
( )
2
2
2
1
1
2 1 0
2

2
4 5 0
2
2
z
z
z
z z
z i
z i


=
− =

=


⇔ ⇔ ⇔



− + =

= ±

− =


Vậy phương trình có nghiệm:

1
; 2 ; 2
2
z z i z i= = + = −
c)
4 3 2
6 6 16 0z z z z− + − − =
( ) ( )
( )
2
2 1 8 0z z z⇔ − + + =
Vậy phương trình có nghiệm
1; 2; 2 2z z z i= − = = ±
Ví dụ 4:
Giải phương trình
( ) ( )
3 2
3 2 16 2 0z i z i z i− − − − + − =
biết rằng phương trình có 1 nghiệm thực.
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 7
Ví dụ 3: Giải phương trình :
a)
3
8 0z + =
b)
3 2
9 14 5 0z z z− + − =
c)
4 3 2
6 6 16 0z z z z− + − − =

Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
Giải:
Gọi nghiệm thực là z
0
ta có:
( ) ( )
3 2
0 0 0
3 2
0 0 0
0
2
0
3 2 16 2 0
3 2 16 0
2
2 0
o
z i z i z i
z z z
z
z z
− − − − + − =

− − + =

⇔ ⇔ = −

+ − =



Khi đó ta có phương trình
( ) ( )
( )
2
2 5 8 0z z i z i+ − − + − =
Tìm được các nghiệm của phương trình là z = -2; z = 2 + i; z = 3- 2i
Ví dụ 5:
Giải phương trình
( ) ( )
3 2
2 3 3 1 2 9 0z i z i z i− − + − + =
biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo.
Giải:
Giả sử phương trình có nghiệm thuần ảo là bi, b
R∈
Thay vào phương trình ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
2
2 3 2
3 2
2 3 3 1 2 9 0
2 6 0
2 6 3 3 9 0 3
3 3 9 0
3
bi i bi i bi i
b b

b b b b b i b
b b b
z i
− − + − + =

+ =

⇔ + + − − + + = ⇔ ⇔ = −

− − + + =


⇒ = −
2
Phương trình có thể phân tích thành
( )
( )
2
3 2 3 0z i z z+ − + =
Các nghiệm của phương trình là z = -3i;
1 2z i= ±
Chú ý:
Các phương trình trên tập số phức có nghiệm bằng bậc của phương trình đó nên khi giải phương
trình có bậc cao hơn hai thì phải tách thành tích các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng hai để giải.
Vấn đề 2. Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức
Ví dụ 6: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho :
a)
1 2
2
z i

u
z i
+ +
=
−
là một số thuần ảo.
b)
1 2z i
v
z i
− +
=
−
là số thực.
Giải:
a) Đặt z = x+ yi (x, y
R∈
), khi đó:
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 8
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
4 (4 2)

1 2 2
1 2
2
2 2
x y x x y i
x y i x y i
x y i
u
x y i
x y x y
+ + − + − +
   
+ + + − −
+ + +
   
= = =
+ −
+ − + −
u là số thuần ảo khi và chỉ khi
( )
( ) ( )
2
2 2
2
2
2
1 17
4 0
2 4
2 0

; 0;2
x y x
x y
x y
x y

 

+ + − =
+ + =


 ÷
⇔
 
 
+ − ≠



≠

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm
1
;0
2
I
 
−
 ÷

 
, bán kính
17
2
trừ điểm (0;2).
b) Đặt z = x+ yi (x, y
R∈
), khi đó:
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 (3 1)
1 2 1
1 2
1
1 1
x y x y x y i
x y i x y i
x y i
v
x y i
x y x y
+ − + − + + −
   

− + + − −
− + +
   
= = =
+ −
+ − + −
v là số thực khi và chỉ khi
( )
( ) ( )
2
2
3 1 0
3 1 0
; 0;1
1 0
x y
x y
x y
x y
+ − =

+ − =

 
⇔
 
≠
+ − ≠





.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng có phương trình: 3x + y – 1 = 0, trừ điểm (0;1).
Ví dụ 7: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn:
a)
2 5
2
1
z i
z i
+ −
=
− +
b)
2 3
1
4
z i
z i
+ −
=
− +
Giải:
a) Đặt z = x+ yi (x, y
R∈
), khi đó:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2

2 2
2 2
2 5
1 2 5 2 1 1 2 5 4 1 4 1
1
4 6 7 0 2 3 20
z i
x y i x y i x y x y
z i
x y x y x y
+ −
= ⇔ + + − = − + + ⇔ + + − = − + +
− +
⇔ + − + − = ⇔ − + + =
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2; - 3) bán kính
2 5
.
b) Đặt z = x+ yi (x, y
R∈
), khi đó:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 3
1 2 ( 3) 4 ( 1)
4
2 3 4 1 3 2 1 0
z i
x y i x y i
z i
x y x y x y

+ −
= ⇔ + + − = − − +
− +
⇔ + + − = − + + ⇔ − − =
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng có phương trình: 3x - 2 y – 1 = 0.
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 9
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
Ví dụ 8: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a)
3 2z i z i− = − +
b)
4z i z i− + + =
Giải:
a) Đặt z = x+ yi (x,y
R∈
)
Ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
3 2 1 3 2 3 6 0z i z i x y x y x y− = − + ⇔ + − = − + − ⇔ − − =
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng có phương trình: 3x – y – 6 = 0
b) Đặt z = x + yi (x,y
R∈
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )

( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2
2 2 2
2
2
4 1 1 4 1 4 1
1 4
1 16 8 1 1
1 16
1 16
4 4 8 4 8 16
2 1 4
4
z i z i x y x y x y x y
x y
x y x y x y
x y
x y
x y y y y
x y y
y

− + + = ⇔ + − + + + = ⇔ + − = − + +

+ + ≤

⇔


+ − = − + + + + +


+ + ≤

+ + ≤ 
 
⇔ ⇔ + + + = + +
 
+ + = +
 
≥ −



( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2
1 16 1
1 2

3 4
4 3
x y
x y
y

+ + ≤


⇔ + =



≥ −

Ta thấy các điểm nằm trong hình tròn (1) và elip (2) và tung độ các điểm nằm trên elip luôn thỏa mãn
điều kiện
4y ≥ −
. Vậy tập hợp các điểm M là elip có phương trình
2 2
1
3 4
x y
+ =
Ví dụ 9:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
( )
w 1 2 2i z= + +
biết rằng số phức z thỏa mãn
1 2z − ≤

Giải:
Gọi z = a + bi (a, b
R∈
), w = x + yi (x, y
R∈
)
Ta có :
( )
2
2
1 2 1 4z a b− ≤ ⇔ − + ≤
Mặt khác:
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 10
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng

( ) ( )
( )
( )
w 1 2 2 1 3 2
3 1 2
2 2
2 2 1
2
i z x yi i a bi
x a b
x a b
y a b
y a b
= + + ⇔ + = + + +



− = − +
= − +
 
⇔ ⇔
 
− = − +
= +




Từ đó
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2
2
3 2 ( 1) 2 2( 1) 3 1 12x y a b a b a b
 
− + − = − − + − + ≤ − + ≤
 
do (1)
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn có tâm I
( )
3; 2
bán kính
2 3
.

Ví dụ 10:
Trong mặt phẳng Oxy tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
1 2 3z i− − =
Giải:
Đặt z = x+ yi (x, y
R∈
)
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 9z i x y x y− − = ⇔ − + − = ⇔ − + − =

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(1; 2), bán kính R = 3.
Ví dụ 11:
Trong mặt phẳng Oxy tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
( )
2 3z i i z− = −
Giải:
Đặt z = x + yi (x,y
R∈
)
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 3 2 3 3 2 3 3z i i z x y i x y x y i x y x y x y− = − ⇔ + − = + − − ⇔ + − = + + −
2
2 2 2
4 4 2 40
0

9 9 9 81
x y y x y
 
⇔ + + − = ⇔ + + =
 ÷
 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm
2
0;
9
I
 
−
 ÷
 
bán kính
2 10
9
Chú ý:
Đối với bài toán tìm tập hợp điểm thì ta tìm mỗi liên hệ giữa phần thực, phần ảo của số phức đã
cho với các số thực để kết luận.
Vấn đề 3. Tính mô đun của số phức
Ví dụ 12:
Giả sử z
1
; z
2
là hai số phức thỏa mãn
6 2 3z i iz− = +
và

1 2
1
3
z z− =
Tính mô đun
1 2
z z+
Giải:
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 11
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
Đặt z = x + yi (x, y
R∈
)
Ta có:
( ) ( )
6 2 3 6 6 1 2 3 3z i iz x y i y xi− = + ⇔ + − = − +
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
1 1
6 6 1 2 3 3
9 3
x y y x x y z⇔ + − = − + ⇔ + = ⇔ =
Suy ra
1 2
1
3
z z= =
Ta lại có:
( )

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1
1 2
9 9
z z z z z z z z z z z z z z z z= − = − − = + − + = − +
Suy ra
1 2 2 1
1
9
z z z z+ =
Khi đó:
( )
( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
1
3
z z z z z z z z z z z z+ = + + = − + + =
Vậy:
1 2
1
3
z z+ =
Ví dụ 13: Gọi z
1
và z
2
là hai nghiệm phức của phương trình
2

4 20 0z z− + =

Tính giá trị biểu thức
2 2
1 2
A z z= +
Giải:
Ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
4 20 0 2 4 2 2
2 2
2 2
z z z z i
z i
z i
− + = ⇔ − = − ⇔ − =
= +

⇔

= −

2 2
1 1
2 2
2 2 2 2 8
2 2 8
z i z

z i z
= + ⇒ = + =
= − ⇒ =
Vậy
2 2
1 2
16A z z= + =
Ví dụ 14: Cho số phức z thỏa mãn
2
2 5 0z z+ + =
. Tính
10
3z
z i
−
−
Giải:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 5 0 1 4 1 2
1 2
1 2
z z z z i
z i
z i
+ + = ⇔ + = − ⇔ + =
= − +

⇔


= − −

Với
1 2z i= − +
ta có
10 10
3 3 6 2 5
1 2
z i i
z i i i
− = − − − = − =
− − + −
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 12
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
Với
1 2z i= − −
ta có
10 10
3 3 6 2 3 13
1 2
z i i
z i i i
− = − + − = − + =
− − − −
Ví dụ 15: Cho số phức z thỏa mãn
( )
2014
1
1 3

i
z
i
−
=
−
. Tìm Mô đun của số phức
z iz+
Giải:
Ta có
( )
( )
( )
( )
( )
1007
2
2014 1007
2005
1
1 2
2 3
1 3 1 3 1 3
i
i i
z i
i i i
−
− −
= = = = −

− − −
Suy ra:
( )
2005
2 3z i= +
Khi đó:
( )
2005 2005 2005
2 ( 3 ) 2 ( 3 ) 2 ( 3 1) 1z iz i i i i+ = − + + = − +
Vậy
2005
2 ( 6 2)z iz+ = −
Ví dụ 16: Tính mô đun của số phức z biết rằng:
. 3( ) 2 6z z z z i+ − = −
Giải:
Gọi z = x+ yi (x, y
R∈
)
Ta có
2 2
2 2
1
2
. 3( ) 2 6 6 2 6
1
6 6
1
y
x y
z z z z i x y yi i

x
y
x
= −


+ =

+ − = − ⇔ + + = − ⇔ ⇔
=

 
= −



= −


Vậy
2z =
Ví dụ 17: Cho hai số phức z
1
; z
2
thỏa mãn điều kiện:
1 1
2 2
2 2 1
2 3 1

z i iz
z i iz

− = +


− = +


.
Tính
1 2
P z z= +
biết
1 2
1z z− =
Giải:
Đặt z = x + yi (x,y
R∈
)
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
1 2
2 2 1 2 2 1 2 2
2
z i iz x y y x x y
z z
− = + ⇔ + − = − + ⇔ + =
⇒ = =

Đặt
( )
2 2 2 2
1 2
; , , , 2; 2z a bi z c di a b c d R a b c d= + = + ∈ ⇔ + = + =
Từ
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1 2
2 2
2 2 2 2 2
1 2
1 1 2 3
2 7
z z a c b d ac bd
P z z P a c b d a b c d ac bd
− = ⇔ − + − = ⇔ + =
= + ⇒ = + + + = + + + + + =
Vậy
7P =
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 13
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
Ví dụ 18: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
( )
1
2 1
1
i z
i

+
+ =
−
.
Tìm số phức có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.
Giải:
Đặt z = x+ yi (x,y
R∈
) thì
( )
( )
1
2 1 2 1
1
i z
y xi
i
+
+ = ⇔ − + =
−
( ) ( )
2
2 2 2
2 2
2 1 1 4 3
4 3
x y x y y
z x y y
⇔ + − = ⇔ + = −
⇔ = + = −

Từ (1) ta có:
( )
2
2 1 1 3 1 4 3 9y y y− ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ − ≤
Vậy số phức có mô đun lớn nhất là z = 3i và số phức có mô đun nhỏ nhất là z = i
Ví dụ 19:
Biết rằng số phức z thỏa mãn
( )
( )
2 1 3u z i z i= + − + +
là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của
z
Giải:
Đặt z = x + yi (x,y
R∈
) ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
2 1 1 3 3 4 5 2 5u x y i x y i x y x y x y i
   
= + + − + − − = + + − + + − +
   
Vì u là số thực nên:
2 5 0x y− + =
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d:
2 5 0x y− + =
.
M(x; y) là điểm biểu diễn của z thì mô đun của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất

OM d⇔ ⊥
. Ta tìm được
10 25
;
9 9
M
 
−
 ÷
 
Vậy:
10 25
9 9
z i= − +
Ví dụ 20: Biết rằng số phức z thỏa mãn
2
2
1
z i
z i
+ −
=
+ −
. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của
z
Giải:
Gọi z = x+ yi (x,y
R∈
) ta có
( ) ( )

2
2 2 1 2 1 1
1
z i
x y i x y i
z i
+ −
= ⇔ + + − = + − +
+ −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2
2 1 2 1 1 3 10x y x y x y
 
+ + − = + + + ⇔ + + =
 
Tập hợp các điểm M(x; y) biểu diễn của z là đường tròn tâm I(0;-3) bán kính
10R =
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 14
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
Từ đó ta có
( )
10 sin ; 3 10 osM c
α α
− +
. Mô đun của số phức z chính là độ dài của vecto
OM
uuuur
.

( ) ( )
2 2
2
2
10 sin 3 10 os 19 6 10 osz OM c c
α α α
= = + − + = −
Vậy
min 19 6 10 ; ax 19 6 10z m z= − = +
Vấn đề 4. Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức cho trước
Ví dụ 21: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện:
2
2z z=
Giải:
Đặt z = x + yi (x,y
R∈
)
Theo bài ra ta có:
2 2 2 2
2 2
2 2
2 ( ) 2( ) 2 2 2
2
2
0
2 2
1
z z x yi x yi x y xyi x yi
x y x
x y x

y
xy y
x
= ⇔ + = − ⇔ − + = −

− =

− =

⇔ ⇔
=

 
= −



= −


Khi y = 0 ta có:
2
0
2 0
2
x
x x
x
=


− = ⇔

=

Khi x = - 1 ta có:
Vậy:
0; 2; -1 3 ; - 1- 3z z z i z i= = = + =
Ví dụ 22: Tìm tất cả các số phức z biết
2
2
z z z= +
Giải:
Gọi z = x+ yi (x,y
R∈
) ta có:
( )
2
2
2 2 2
2 2 2 2
2
z z z x yi x y x yi
x y xyi x y x yi
+ + ⇔ + = + + −
⇔ − + = + + −
( )
2
2 2 2 2
0
2

1 1
;
2 2
2 1 0
2
1 1
;
2 2
x y
x y
x y x y x
x y
y x
xy y
x y


= =


= −

− = + +


⇔ ⇔ ⇔ = − =
 

+ =
= −





−

= − =

Vậy z = 0;
1 1 1 1
;
2 2 2 2
z i z i= − + = − −
Ví dụ 23: Tìm số phức z biết
( )
2 3 1 9z i z i− + = −
Giải:
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 15
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
Gọi z = x+ yi (x,y
R∈
) ta có:
( ) ( ) ( )
2 3 1 9 2 3 1 9z i z i x yi i x yi i− + = − ⇔ + − + − = −

( )
3 1 2
3 3 3 1 9
3 3 9 1
x y x

x y x y i i
x y y
− − = =
 
⇔ − − − − = − ⇔ ⇔
 
− = = −
 
Vậy z = 2 - i
Ví dụ 24: Tìm số phức z thỏa mãn
2 2z =
và z
2
là số thuần ảo.
Giải:
Gọi z = x+ yi (x, y
R∈
) Ta có
2 2
z x y= +
và
2 2 2
2z x y xyi= − +
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
2 2 2
2 2 2
8 4 2
2
0 4
x y x x

y
x y y
 
+ = = = ±

 
⇔ ⇔
  
= ±
− = =
 

 
Vậy các số phức cần tìm là
2 2 ; 2 2 ; 2 2 ; 2 2z i z i z i z i= + = − = − + = − −
Ví dụ 25: Tìm số phức z biết
(1 3 )i z−
là số thực và
2 5 1z i− + =
Giải:
Gọi z = x+ yi (x, y
R∈
) ta có
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 1 3 3 3i z i x yi x y y x i− = − + = + + −
(1 3 )i z−
là số thực nên y – 3x = 0 (1)
Mặt khác:
( ) ( )
2 2

2 5 1 2 ( 5) 1 2 5 1z i x y i x y− + = ⇔ − − − = ⇔ − + − =
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
3 3 3
2 5 1 2 3 5 1 2 3 5 1
y x y x y x
x y x x x x
= = =
  
  
⇔ ⇔
  
− + − = − + − = − + − =
  
  
2
3
4 12
;
4
3
5 5
5
14 42
5 17 14 0
;
14
5 5

5
y x
x y
y x
x
x x
x y
x
=



= =


=


=

⇔ ⇔

 

− + =



= =




=




Vậy
4 12
5 5
z i= +
hoặc
14 42
5 5
z i= +
Ví dụ 26: Tìm phần thực và phần ảo của số phức
3
1 3
1
i
z
i
 
+
=
 ÷
 ÷
+
 
Giải:

1 3
1 3 2 2 os isin
2 2 3 3
i i c
π π
 
 
+ = + = +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 16
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
1 2 os isin
4 4
i c
π π
 
+ = +
 ÷
 
Suy ra
( )
8 os isin
2 2 os isin 2 2
3 3
4 4

2 2 os isin
4 4
c
z c i
c
π π
π π
π π
+
 
= = + = +
 ÷
 
 
+
 ÷
 
Vậy số phức có phần thực là 2 và phần ảo là 2.
Ví dụ 27: Tìm số phức z thỏa mãn
2z i− =
và
( )
( )
1z z i− +
là số thực
Giải:
Giả sử z = x+ yi (x,y
R∈
)
Khi đó:

( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 1 2 1
1 1 1 1 1 1
z i x y
z z i x yi x y i x x y y x y i
− = ⇔ + − =
− + = − + − − = − + − + + −
( )
( )
1z z i− +
là số thực khi và chỉ khi x + y – 1 = 0 (2)
Từ (1) và (2) ta có x = 1; y = 0 hoặc x = -1; y = 2
Vậy z =1; z = -1 + 2i
Ví dụ 28: Tìm phần thực, phần ảo của số phức sau:
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2014
1 1 1 1 1i i i i+ + + + + + + + +
Giải:
( ) ( ) ( )
( )
2015
2 2014
1 1

1 1 1 1
i
P i i i
i
+ −
= + + + + + + + =
Mà:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1007
2015 2 1007
1007 1007
1 1 1 2 1 2 1 2 1i i i i i i i i
 
+ = + + = + = − + = −
 
( )
( )
1007
1007 1007
2 1 1
2 1 2
i
P i
i
− −
⇒ = = − + −
Vậy phần thực là
1007
2−
và phần ảo là

1007
1 2−
Vấn đề 5. Dạng lượng giác của số phức
Ví dụ 29: Viết dưới dạng lượng giác của số phức z sao cho
1
3
z =
và một acgument của
1
z
i+
là
3
4
π
−
Giải:
Ta có:
1
3
z =
thì
( )
1
os isin
3
z c
ϕ ϕ
= +
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 17

Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
( ) ( ) ( )
( )
1 1
os isin cos isin
3 3
z c
ϕ ϕ ϕ ϕ
⇒ = − = − + −
vì
2 2
1 2 2 os isin
2 2 4 4
i i c
π π
 
 
+ = + = +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
nên
1
os isin
1 4 4
3 2
z
c

i
π π
ϕ ϕ
 
   
= − − + − −
 ÷  ÷ ÷
+
   
 
do đó
3
2 2 ,
4 4 2
k k k Z
π π π
ϕ π ϕ π
− − = − + ⇔ = + ∈
vậy
1
os isin
3 2 2
z c
π π
 
= +
 ÷
 
Ví dụ 30 : Tìm số phức z sao cho
3

1
z i
z i
+
=
+
và z+1 có một acgument là
6
π
−
Giải:
Gọi z = x+ yi (x, y
R∈
) ta có

( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
3
1 3 3 1
3 1 2
z i
z i z i x y i x y i
z i
x y x y y
+
= ⇔ + = + ⇔ + + = + +
+
⇔ + + = + + ⇔ = −

z+1 có một acgument là
6
π
−
tức là:
( )
( )
1 os isin 3 0
6 6 2
r
z r c i r
π π
 
   
+ = − + − = − >
 ÷  ÷
 
   
 
ta có:
3
1
4
2
1 1 2 2 3 1 2
2 3 1
2
2
r
x

r
z x i z i
r x

+ =

=

 
+ = + − ⇔ ⇔ ⇒ = − −
 
= −



− = −


Ví dụ 31:
Cho số phức
1 os isin
7 7
z c
π π
= − −
. Tìm mô đun , acgument và viết z dưới dạng lượng giác.
Giải:
Ta có:
2
2

8 4
1 os sin 2 1 os 2 1 os 2cos
7 7 7 7 7
z c c c
π π π π π
     
= − + = − = + =
 ÷  ÷  ÷
     
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 18
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
Gọi
ϕ
là một acgument của z thì
2
8
sin sin
4
7 7
tan cot tan
4
7 14
1 os 2sin
7 7
c
π π
π π
ϕ
π π
−

 
= = = = −
 ÷
 
−
Suy ra
,
14
k k Z
π
ϕ π
= − + ∈
Vì phần thực
1 os 0
7
c
π
− >
, phần ảo
sin 0
7
π
− <
nên ta chọn một acgument là
14
π
−
Vậy
4
2cos os isin

7 14 14
z c
π π π
 
   
= − + −
 ÷  ÷ ÷
   
 
Ví dụ 32: Tìm một acgument của số phức
( )
1 2z i− +
biết một acgument của z bằng
4
π
Giải:
z có một acgument bằng
4
π
nên
1 2
2 2
z z i
 
= +
 ÷
 ÷
 
Do đó
( )

( )
1 2
1 2 2
2 2
z i z i
 
− + = − +
 ÷
 ÷
 
Khi
2z >
một acgument của
( )
1 2z i− +
là
4
π
Khi
0 2z< <
một acgument của
( )
1 3z i− +
là
5
4
π
Khi
2z =
thì

( )
1 2z i− +
=0 nên acgument không xác định.
Ví dụ 33: Viết số phức z dưới dạng lượng giác biết
1 3z z i− = −
và i
z
có một acgument là
6
π
Giải:
Đặt
( ) ( )
os isin 0,z r c r R
ϕ ϕ ϕ
= + > ∈
Khi đó
( )
( )
os isin
sin cos cos isin
2 2
z r c
iz r i r
ϕ ϕ
π π
ϕ ϕ ϕ ϕ
= −
 
   

⇒ = + = − + −
 ÷  ÷
 
   
 
Theo giả thiết thì
2 6 3
π π π
ϕ ϕ
− = ⇔ =
Khi đó:
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 19
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
2 2 2
2 2
2
3
1 3 1 3 1
2 2 2 2
3
1 3 1 4 1 1
2 4 4 2 2
r r r r
z z i i
r r r r r
r r
 
− = − ⇔ − + = + −
 ÷
 

     
⇔ − + = + − ⇔ = − ⇔ =
 ÷  ÷  ÷
     
Vậy
os isin
3 3
z c
π π
= +
III- ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN
Vấn đề 1 . CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
Thí dụ 34: Chứng minh rằng
1 5
os
5 4
c
π
+
=
Giải:
Đặt
os , sin ; os isin
5 5 5 5
x c y z x iy c
π π π π
= = = + = +
Ta có:
5
1z = −

hay
( )
( )
4 3 2
1 1 0z z z z z+ − + − + =
Vì
1z ≠ −
nên
4 3 2
1z z z z− + − +
= 0 do
0z ≠
nên chia hai vế cho
2
z
ta được
2
2
2
1 1 1 1
1 0 1 0z z z z
z z z z
       
+ − − + = ⇔ + − + − =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
Ta để ý rằng
1 1
2
x z

z
 
= +
 ÷
 
từ đẳng thức trên ta có:
2
1 5
4 2 1 0
4
x x x
±
− − = ⇔ =
Do x > 0 nên
1 5
os
5 4
x c
π
+
= =
Ví dụ 35: Chứng minh công thức:
( )
( )
5 3
5 3
sin 5 16sin 20sin 5sin 1
os5 16cos 20cos 5cos 2c
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ

= − +
= − +
Giải:
Áp dụng công thức Moivre ta có:
( )
5
os isin os5 isin 5c c
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = +
Khai triển nhị thức:
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 20
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
( )
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
5
5 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5
2
5 3 2 2 2 2 2 3 5
os isin
os 5 cos sin 10 os sin 10 cos sin 5 cos sin sin
cos 10cos 1 cos 5cos 1 cos sin 1 sin 10 1 sin sin sin
c
c i i c i i i
i
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
+ =

+ + + + + +
= − − + − + − − − +
Đồng nhất phần thực, phần ảo và rút gọn ta được (1)
Công thức (2) chứng minh tương tự.
Ví dụ 36:
Cho a, b, c là các số thực sao cho:
cos cos cos sin sin sin 0a b c a b c
+ + = + + =
Chứng minh rằng:
cos2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 0a b c a b c+ + = + + =
Giải:
Đặt
cos isin
cos sin
cos sin
x a a
y b i b
z c i c
= +
= +
= +
Ta có x+ y + z=0
( ) ( ) ( )
1 1 1
cos sin cos sin cos sin 0a i a b i b c i c
x y z
+ + = − + − + − =
Do đó: xy + yz +zx=0
Suy ra:
( ) ( )

( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 0
os2 isin 2 os2 isin 2 os2 isin 2 0
x y z x y z xy yz zx
hay c a a c c c c b b
+ + = + + + + + =
+ + + + + =
Từ đó ta có:
os2 os2 os2 sin 2 sin 2 sin 2 0c a c b c c a b b+ + = + + =
Ví dụ 37: Chứng minh rằng:
a)
( )
( )
0 2 4 6 8
2 cos 1
4
n
n n n n n
C C C C C n
π
− + − + + =
b)
( )
( )
1 3 5 7 9
2 sin 2
4
n

n n n n n
C C C C C n
π
− + − + + =
Giải:
Đặt vế trái của (1) là S
1
, của (2) là S
2
Xét khai triển:
( )
0 1 2 2 3 3
1 .
n
n n
n n n n n
i C iC i C i C i C+ = − + − + +
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 21
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
Do
( )
1 4
4 1
1 4 2
4 3
k
k
k
k
i khi k m

i i khi k m m Z
i khi k m
i i khi k m
+
= =
= = + ∈
= − = +
= − = +
Khi đó
( )
( ) ( )
( )
0 2 4 6 1 3 5 7
1 3
n
n n n n n n n n
i C C C C i C C C C+ = − + − + + − + − +
và
( )
( ) ( )
( )
1 2 cos sin 2 cos sin 4
4 4 4 4
n
n n
n
i i n i n
π π π π
   
+ = + = +

 ÷  ÷
   
Từ (3) và (4) ta có:
( )
( )
1
2
2 cos
4
2 sin
4
n
n
S n
S n
π
π
=
=
Ví dụ 38: Chứng minh rằng:
( )
( )
( )
( )
1
1 3 5 7
3
0 2 4 6
3 5 7 2 os 1
4

2 4 6 2 sin 1
4
n
n n n n
n
n n n n
C C C C n c n
C C C C n n
π
π
−
−
− + − + = −
− + − + = −
Giải:
( )
0 1 2 2 3 3
1
n
b n
n n n n n
x C C x C x C x C x+ = + + + + +
Đạo hàm hai vế theo x:
( )
1
1 2 2 3 1
1 2 3
n
n b
n n n n

n x C xC x C nx C
−
−
+ = + + + +
Cho x = i:
( )
( ) ( )
1
1 2 2 3 1
1 3 5 7 0 2 4
1 2 3
3 5 7 2 2 4
n
n b
n n n n
n n n n n n n
n i C iC i C ni C
C C C C i C C C
−
−
+ = + + + +
= − + − + + − + +
Ví dụ 39: Chứng minh rằng: nếu
1z ≤
thì
2 1
1
2
z
iz

−
≤
+
Giải:
Giả sử
( )
,z a bi a b R= + ∈
thì
2 2
z a b= +
2 2 2 2
1 1 1z a b a b≤ ⇔ + ≤ ⇔ + ≤
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 22
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
Ta có:
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
4 2 1
2 2 1
2 1
2
2
2
a b

a b i
z
iz
b ai
b a
+ −
+ −
−
= =
+
− +
− +
đpcm
( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2
2 2 2 2
2
2
4 2 1
1 4 2 1 2 1
2
a b
a b b a a b
b a
+ −
⇔ ≤ ⇔ + − ≤ − + ⇔ + ≤

− +
vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 40: Cho số phức z khác 0 thỏa mãn điều kiện
3
3
1
2z
z
+ ≤
. Chứng minh rằng :
1
2z
z
+ ≤
Giải:
Ta có với hai số phức
1 2
,z z
bất kỳ ta có :
1 2 1 2
z z z z+ ≤ +
Ta có :
3 3
3 3
3 3
1 1 1 1 1 1 1
3 3 2 3z z z z z z z
z z z z z
z z
   

+ = + + + ⇒ + ≤ + + + ≤ + +
 ÷  ÷
   
Đặt
1
z a
z
+ =
ta có
( ) ( )
2
3
3 2 0 2 1 0a a a a− − ≤ ⇔ − + ≤
Vậy ta có điều phải chứng mình.
Vấn đề 2. Tính tổng
Ví dụ 41: Tính tổng
1
2
sin sin 2 sin
cos os2 cos
S a a na
S a c a na
= + + +
= + + +
Giải:
Đặt
cos isinz a a
= +
Ta có:
2

2 1
1
iS .
1
n
n
z
S z z z z
z
−
+ = + + + =
−
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 23
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
( ) ( )
2
2
2sin 2 sin os
1 cos isin 1
2 2 2
1 cos isin 1
2sin 2 sin os
2 2 2
sin os isin
sin
1 1
2 2 2
2
os isin
2 2

sin
sin os isin
2
2 2 2
n
na na na
i c
z na na
a a a
z a a
i c
na na na
na
c
n a n a
c
a
a a a
c
− +
− + −
= =
− + −
− +
 
+
 ÷
 
− −
 

= = +
 
 
 
+
 ÷
 
Do đó:
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 1
sin
1 1
1
2
iS . cos isin os isin
1 2 2
sin
2
sin
1 1
2
os isin
2 2
sin
2
n
na
n a n a

z
S z a a c
a
z
na
n a n a
c
a
 
− −
−
+ = = + +
 
−
 
 
+ +
= +
 
 
Mặt khác:
[ ] [ ]
2 1
iS cos os2 cos i sin sin 2 sinS a c a na a a na+ = + + + + + + +
Vậy:
( )
( )
1
2
1

sin sin
2 2
sin
2
1
sin os
2 2
sin
2
n a
na
S
a
n a
na
c
S
a
+
=
+
=
Ví dụ 42: Tính tổng (Với n= 4k+1)
a)
0 2 4 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n n
n n n n n
S C C C C C

−
+ + + + +
= − + − + −
b)
1 3 5 2 1 2 1
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n n
n n n n n
S C C C C C
− +
+ + + + +
= − + − + −
Giải:
( )
( ) ( )
2 1
0 1 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
0 2 2 1 3 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1

n
n n
n n n n
n n
n n n n n n
i C iC i C i C
C C C i C C C

+
+ +
+ + + +
+
+ + + + + +
+ = + + + +
= − + − + − + −
Mặt khác:
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 24
Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
π π
π π
π π π π
π π
+
+
 
+ +
 
+ = + ⇒ + = +
 
 ÷
 
 
   
+ + + +

= + = +
   
   
 
= + = − +
 
 
2 1
2 1
2 1 2 1
1 2 os isin 1 2 os isin
4 4 4 4
2 1 2 1 8 3 8 3
2 2 os isin 2 2 os isin
4 4 4 4
3 3
2 2 os isin 2 2
4 4
n
n
n n
n n n
n n
i c i c
n n k k
c c
c i
Từ đó:

1

2
2
2
n
n
S
S
= −
=
Ví dụ 43: Chứng minh rằng:
3 6
1
1 2 2cos
3 3
n
n n
n
C C
π
 
+ + + = +
 ÷
 
Giải:
Ta có
0 1 2
2
n n
n n n n
C C C C= + + + +

Xét:
3
2 2
os isin 1
3 3
z c z
π π
= + ⇒ =
Ta có:
( )
( )
0 1 2 2
0 1 2 2 3 4
2 0 2 1 2 3 2 4
1

1
n
n n
n n n n
n n n n n
n
n n n n n
z C zC z C z C
C zC z C C zC
z C z C zC C z C
+ = + + + +
= + + + + +
+ = + + + + +
2

2
1 0
1 os isin
3 3
1 os isin
3 3
z z
z c
z c
π π
π π
+ + =
+ = −
+ = +
Khi đó:
( )
( ) ( )
( )
2 0 3 6
0 3 6
3 6
2 1 1 3
2 2cos 3
3
1
1 2 2cos
3 3
n
n
n

n n n
n
n n n
n
n n
z z C C C
n
C C C
n
C C
π
π
+ + + + = + + +
⇔ + = + + +
 
⇔ + + + = +
 ÷
 
Vấn đề 3. Số phức trong việc giải hệ phương trình, phương trình
Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 25