phương trình, bất phương trình vô tỉ

Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Phương Trình bất phương trình vô tỉ

Ths.Hoàng Huy Sơn
1


PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
A. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Các dạng cơ bản:
+
2
0
B
A B
A B





 






+
0,( 0)
A B
A B

A B


 

 






I. Phương pháp nâng lũy thừa
Ví dụ 1: Giải phương trình:
3 7 2 8.
x x x
    
Điều kiện:
4 7.
x
 

(1) 2 8 7 3 2 8 2 (2 8)(7 ) 7 3
(2 8)(7 ) 2 5 6.
x x x x x x x x
x x x x
              
       

Ví dụ 2: Giải phương trình:

2 2
4 5 1 2.
x x x
     
Điều kiện:
1 1.
x
  

Nếu bình phương hai vế của phương trình ta sẽ đưa đến một phương trình bậc cao, do đó chuyển
hạng tử thứ hai sang vế phải ta được:
2 2
4 5 2 1 .
x x x
     
Với điều kiện
1 1
x
  
thì
vế phải của phương trình trên không âm nên bình phương hai vế của phương trình ta được phương
trình tương đương:
2 2 2 2
2
4 5 4 4 1 1 1 ( 0).
2
x x x x x x x x               
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2
3 1 3 8 3(1)

x x x
   

 
 
 


2
2
2
4 3 2
2
2
2
3 8 3 0
3 8 3 0
(1)
9 48 82 57 0
9 1 3 8 3
3 8 3 0
0
3.
3 9 21 19 0
x x
x x
x x x x
x x x
x x
x

x
x x x x



  

  


 
 
 
 
   
   
 







  




 





   






Chú ý: Có thể giải cách khác (Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số đơn điệu) như sau: Điều
kiện:
1.
x
 
Phương trình (1) tương đương với
2
3 1 3 8 3 0.
x x x
    
Xét hàm số
2
( ) 3 1 3 8 3, 1.
f x x x x x
      



3

3 3
( ) 6 8; ( ) 6 0, 1.
2 1
4 1
f x x f x x
x
x
 
         



Suy ra hàm số lồi trên
[ 1; ).
 
Vậy, phương trình (1) nếu có nghiệm sẽ có không quá hai nghiệm.
Ta có
(0) (3) 0,
f f
 
do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là
0; 3.
x x
 

Ví dụ 4: Giải phương trình:
2
2 7 2 1 8 7 1.
x x x x x
        

Điều kiện:
1 7.
x
 

Ta có




2
2 7 2 1 8 7 1
( 1) 2 1 2 7 1 7 0
x x x x x
x x x x x
        
         




( 1) 2 1 2 7 1 7 0
1 1 2 7 1 2 0
x x x x x
x x x x
         
        

Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Phương Trình bất phương trình vô tỉ

Ths.Hoàng Huy Sơn
2





1 2 1 7 0
x x x
      
1 2 5
4.
1 7
x x
x
x x


  


 




  




So với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là
4, 5.
x x
 

Chú ý: Để đưa phương trình đã cho về phương trình tích, ta phải phân tích vế trái của phương trình
( ) 0
f x

thành nhân tử. Một số trường hợp cần đến phép biến đổi nhân lượng liên hợp. Phép biến đổi
nhân lượng liên hợp có hai dạng sau:
Dạng 1.
( ) ( ) ( ) (1),
u x v x f x 
trong đó
( ) ( )
u x v x

và
( )
f x
có chung nghiệm
0
.
x
Biến đổi (1)
về dạng
( ) ( )
( )

( ) ( )
u x v x
f x
u x v x



sau đó đưa về phương trình tích, trong đó có nhân tử
0
( ).
x x


Dạng 2.




1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2),
n n m n
u x v x u x v x f x   
trong đó




1 1 2 2
( ) ( ) , ( ) ( )
u x v x u x v x

 
và
( )
f x
có chung nghiệm
0
.
x
Nhân lượng liên hợp từng cụm và sau
đó đưa về phương trình tích, trong đó có nhân tử
0
( ).
x x

Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 5: Giải phương trình:
4 2 3 1 (1).
x x x    

3
.
2
x  
1 1
(1) 1 0 (1 ) 1 0 1.
4 2 3 4 2 3
x
x x x
x x x x
 






         





 
     

Ví dụ 6: Giải phương trình:
3
2
5 1 9 2 3 5 0(1).
x x x x
      
Điều kiện
1
.
5
x 







3
2
2
3 3
(1) 5 1 2 9 2 2 3 5 0
5( 1) 1
( 1)(2 5) 0
5 1 2
9 2 9 4
x x x x
x x
x x
x
x x
         
 
     
 
   


2
3 3
5 1
( 1) 2 5 0 1.
5 1 2
9 2 9 4
x x x
x

x x
 
 
 
       
 
 
 
   
 
 
(Do biểu thức trong
dấu ngoặc vuông lớn hơn 0 với mọi
1
).
5
x 
Cách khác: Hàm số
f x x x x x
3
2
( ) 5 1 9 2 3 5
      
có đạo hàm


f x x x
x
x
2

3
5 1 1
( ) 4 3 0,
5
2 5 1
3 9

      


nên tăng trên
D
1
; .
5
 



 





Thử được
x
1

là nghiệm nên là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Ví dụ 7: (Khối
2010)
B

Giải phương trình:
2
3 1 6 3 14 8 0.
x x x x
      

Biến đổi phương trình đã cho về dạng:




2
3 1 4 1 6 3 14 5 0.
x x x x
        

Sau đó nhân lượng liên hợp của các biểu thức trong dấu ngoặc ta được
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Phương Trình bất phương trình vô tỉ

Ths.Hoàng Huy Sơn
3

3( 5) 5
( 5)(3 1) 0
3 1 4 1 6
3 1

( 5) 3 1 0 5.
3 1 4 1 6
x x
x x
x x
x x x
x x
 
    
   
 




       





 
   

Chú ý: Để phân tích được thành nhân tử thuận lợi hơn, ta đưa vào hai ẩn phụ
, .
u v

Ví dụ 8: Giải phương trình:
2 2

2 1 2 ( 1) 2 3 0
x x x x x x
       
(1)
Đặt:
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2 1
2, 0 2
1
2 3
2 3, 0
2
v u x
u x u u x
v u
v x x
x
v x x v



  





    



  
 
  
 
  
  

   
  


 




(1) trở thành
0 ( )
1
( ) ( ) 1 0
1
( ) 1 0 ( )
2 2
2 2
v u a
v u

v u v u
v u
v u b

 

 
 




 
 

     





 




   

 
 



 



 



Vì
0, 0
u v
 
nên
( )
b
vô nghiệm.
Do đó
( )
a

2 2
1
0 2 3 2 .
2
v u v u x x x x
           

Ví dụ 9: Giải phương trình:

2 2
6 10 5 (4 1) 6 6 5 0(1)
x x x x x
      



2 2
(1) 6 6 5 (4 1) (4 1) 6 6 5 1 0.
x x x x x x
          

Đặt
2
6 6 5 0,
u x x
   
4 1.
v x
 
Ta có phương trình
2
1 0
u v vu
   

( 1)( 1) (1 ) 0 ( 1)( 1 ) 0 1 0.
u u v u u u v u v
              
Vậy ta có

2
2
0
3 59
6 6 5 4 .
10 6 5 0
10
x
x x x x
x x



 


     


  




Ví dụ 10: Giải phương trình:
2 2
8 8 3 8 2 3 1.
x x x x x
    
(1)

2 2
2 2
(1) 4(2 3 1) 4 1 8 2 3 1
4 1 2 ( 2 3 1; 4 )
x x x x x x
u v uv u x x v x
       
       

2
(4 1) (2 1) 0 (2 1)(2 1) 0
u v u u u v
         

2 2
3 3
2 1 0 2 2 3 1 1 8 12 3 0 .
4
u x x x x x

            
2 1 0
u v
   
2
2
1
1 7
2 2 3 1 4 1 .
4

4
8 4 3 0
x
x x x x
x x




 


       



  




II. Phương pháp đặt ẩn phụ.
1) Dạng 1. Sử dụng một ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu về phương trình với một ẩn phụ.
Ví dụ 1: Giải phương trình:




2
5 2 3 3

x x x x
   
(1)
Phương trình (1) được biến đổi về dạng:
2 2
3 3 3 10 0.
x x x x
    
Đặt
2
3 0.
t x x
  

Phương trình trở thành
2
3 10 0.
t t
  
Chọn
2.
t

Từ đó tìm được
1, 4.
x x
  

Ví dụ 2: Giải phương trình:
2 3 2 1 0.

x x x x
     

Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Phương Trình bất phương trình vô tỉ

Ths.Hoàng Huy Sơn
4

Đặt
2 2
2 0 2 2.
u x u x x u
        

Ta có phương trình
2 2 3 2
( 2) 3 3 0 3 0 1 2 1 1.
u u u u u u u u x x
                 

Ví dụ 3: Giải phương trình:




3 6 3 6 3
x x x x
      
(1)
Đặt:

2
3 6 0 9 2 (3 )(6 )
t x x t x x
         
2
9
(3 )(6 )
2
t
x x

   

(1) trở thành phương trình:
2
2 3 0.
t t
  
Phương trình đã cho có nghiệm là
3,
x
 

6.
x


Chú ý: Cũng có thể đưa về 2 biến phụ như ở dạng 3 sau đây:
Đặt
3 0, 6 0.

u x v x
     
Ta có hệ phương trình theo
u
và
:
v

2 2
3
9
u v uv
u v


  




 



. Giải hệ
tìm
,
u v
từ đó tìm
.

x

Ví dụ 4: Giải phương trình:
2
3 2 6 2 4 4 10 3 .
x x x x
      

Điều kiện
2 2.
x
  

Đặt
2 2 2 .
t x x
   
(1) trở thành
2
3 0 3.
t t t t
    


0
t
 
2 2 2 2 8 4
x x x x
      

6
5
x
 

3 2 2 2 3 2 2 3 2
8 4 12 2 9 2 12 2 5 15(*)
t x x x x
x x x x x
          
          

Do
2 2
x
  
nên vế trái của (*) âm. Suy ra phương trình (*) vô nghiệm.
Ví dụ 5: Giải phương trình:




2 2
5
2
5 5
2 1 3 1 1 0
x x x
     
(1)

Vì
1
x
 
không là nghiệm, nên chia hai vế của (1) cho


2
5
1
x 
ta được phương trình
2
5 5
1 1
2 3 0.
1 1
x x
x x
 
 



  






 
 
Đặt
5
1
.
1
x
t
x



Ta được:
2
3 2 0 1 2.
t t t t
        

Giải phương trình ta được nghiệm đã cho là
33
.
31
x  
Ví dụ 6: Giải phương trình:
2 2 2
2 3 2 3 9.
x x x x x
     
(1)









2 2 2 2
2
2 2
(1) 2 3 3 3 12
3 3 12 0
x x x x x x
x x x x
 
        
 
 
       
2 2
12 0 ( 3) 4 3.
t t t x x t t
           
Từ đó
1.
x


2) Dạng 2. Sử dụng một ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu về phương trình với một ẩn phụ

nhưng các hệ số vẫn còn chứa ẩn
.
x
Khi đó ta đưa về phương trình bậc hai theo ẩn mới hoặc ẩn
x

nhưng có biệt số

là một chính phương.
Ví dụ 7: Giải phương trình:




2 2
4 1 1 2 2 1 1
x x x x    

Đặt




2 2 2 2
1 1 1 1 4 1 2 2 1
t x t x x t t x
           

Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Phương Trình bất phương trình vô tỉ

Ths.Hoàng Huy Sơn
5

   
2
1
2 4 1 2 1 0
2
t x t x t
       
(loại)
2
2 1 1 2 1
t x x x
      

Giải phương trình ta được
4
.
3
x 
Chú ý: Có thể bình phương hai vế của phương trình để khử căn, nhưng phải có điều kiện:
1
.
4
x 
Ví dụ 8: Giải phương trình:
2 2
1 2 2 .
x x x x

  
Đặt
2
2 0.
t x x
  
Phương trình trở thành


2
2 2 2
2 1 0, 1 2 1 1 .
x tx t x x x          

Từ đó ta có




2
1 2 1 .
x t x x x x       Giải phương trình ta được
1 5.
x
 

3) Dạng 3. Sử dụng
2
(hoặc
)

k
ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu về hệ phương trình với
2
(hoặc
)
k
ẩn phụ. Chẳng hạn đối với phương trình:
( ) ( ) .
m n
a f x b f x c
   
Ta có thể đặt
( ); ( ).
m n
u a f x v b f x
    Suy ra
.
m n
u v a b
  
Ta thu được hệ
m n
u v a b
u v c


  





 




Ví dụ 9: Giải phương trình:


2
1 1 1
x x x x x x
      

Đặt
1; 1 0.
u x v x
    
Suy ra
2 2
1.
u v
 
Ta thu được hệ
2 2
2 2
1 (1)
1 (2)
u v
u v uv uv



 




   



.
Thay phương trình (1) vào (2) ta được




2 2 2 2 2 2
0 1 1 0.
u v uv uv u v v v uv uv v v u
             

+ Trường hợp
0
v

ta được
1.
x


+ Trường hợp
1
v

ta được
2.
x


+ Trường hợp
1
u

ta được
1.
x


Chú ý: Có thể giải cách khác bằng cách biến đổi đưa về phương trình tích.
Ví dụ 10: Giải phương trình:
2
(13 4 ) 2 3 (4 3) 5 2 2 8 16 4 15
x x x x x x
        
(1)
Đặt
2 2 2 2
2 3 0, 5 2 0 2 3, 5 2 2.
u x v x u x v x u v

             

   
2 2
2 2
2 2
3 3
2
(1)
7 2 7 2 2 8
2 1
2.
1
7( ) 2( ) 8 2
u v
u u v v uv
u v u
x
v
u v u v uv


 





    








  



   
 
 

    
 




III. Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số đơn điệu.
Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình là cách giải khá quen thuộc. Ta có ba
hướng áp dụng như sau.
1. Biến đổi phương trình về dạng:
( )
f x k

(1), với
k
là hằng số.

Nếu hàm số
f
đồng biến (nghịch biến) trên khoảng
( ; )
a b
thì phương trình (1) có nhiều nhất
một nghiệm trên khoảng
( ; ).
a b
Do đó nếu tìm được
0
x
thuộc khoảng
( ; )
a b
sao cho
0
( )
f x k

thì
0
x

là nghiệm duy nhất của phương trình.
2. Biến đổi phương trình về dạng:
( ) ( ) (2)
f x g x


Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Phương Trình bất phương trình vô tỉ

Ths.Hoàng Huy Sơn
6

Nếu hàm số
f
đồng biến (nghịch biến) trên khoảng
( ; ),
a b
nhưng hàm số
g
nghịch biến (đồng
biến) cũng trên khoảng đó thì phương trình (2) có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng
( ; ).
a b
Do đó,
nếu tìm được
0
x
thuộc khoảng
( ; )
a b
sao cho
0 0
( ) ( )
f x g x

thì
0

x
là nghiệm duy nhất của phương
trình.
3. Biến đổi phương trình về dạng:
( ) ( ) (3)
f u f v


Nếu hàm số
f
đơn điệu trên khoảng
( ; )
a b
thì khi đó phương trình (3) tương đương với
; , ( ; ).
u v u v a b
 

Ví dụ 1: Giải phương trình:


2
4 1 4 1 1 1
x x   
Xét hàm số
2
1
4 1 4 1, .
2
y x x x     Ta có

2
2 4 1
0, .
2
4 1
4 1
x
y x
x
x

    



Do đó, phương trình (1) có nhiều nhất một nghiệm. Ta thử được
1
2
x

thỏa mãn phương trình.
Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất
1
.
2
x 
Ví dụ 2: Giải phương trình:


3

2
2 2 4 log 1
x x x
    
(1)
Phương trình (1) tương đương với


3
2
2 2 4 log 1 .
x x x     Điều kiện:
1.
x


Xét hàm số
2
3
1 3 2
( ) 2 2 4, ( ) 0, 1.
2
x x
f x x x f x x
x
 

       

Suy ra hàm số nghịch

biến trên


1, .

Hàm số


2
( ) log 1
g x x
 
đồng biến trên


1, .

Ta thử được
2
x

thỏa
phương trình. Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất
2.
x


Ví dụ 3: Giải phương trình:
3 2
3 3 13

x x x x
     

Tập xác định:
[3; ).
D
 

Hàm số vế trái
3
y x
 
đồng biến trên
.
D
Hàm số
y

3 2
3 13
x x x
   
có
2 2
3 6 1 3( 1) 4 0, 3
y x x x x

          
nên là nghịch biến trên
.

D
Thử được
4
x

thỏa
phương trình đã cho nên là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
2
2 3 1
3
log ( 3 2 2) 5 2
x x
x x
 
    
(1)
Đặt
2 2 2
3 2 0 3 2.
u x x u x x
       
Ta có phương trình:
2
3
1
log ( 2) .5 2 (2)
5
u
u   

Xét hàm số
2 2
3
1 1 1
( ) log ( 2) .5 , 0; .2 .5 .ln 5 0, 0.
5 ( 2)ln 3 5
u u
y f u u u y u u
u

         


Suy ra hàm số tăng trên
[0; ).

Thử được
1
u

thỏa (2). Vậy, ta có
2
3 5
3 2 1 .
2
x x x

    
Ví dụ 5: Giải phương trình:
2

3 1 1(1)
x x x x
    

Điều kiện:
0.
x

Phương trình (1) viết lại dưới dạng
2
3 1 1 0.
x x x x
     

Xét hàm số
2
( ) 3 1 1, 0.
f x x x x x x
      

Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Phương Trình bất phương trình vô tỉ

Ths.Hoàng Huy Sơn
7



3 3
1 3 1 9
( ) 2 1; ( ) 2 0, 0.

2 2 3 1
4
4 3 1
f x x f x x
x x
x
x
 
          



Lập luận giống ví dụ 3 mục I, ta cũng được phương trình đã cho có hai nghiệm
0; 1.
x x
 

IV. Phương pháp đánh giá.
Ví dụ: Giải phương trình:
2 2
2( 1) 3 1 2 2 5 2 8 5
x x x x x x
       
(1). Điều kiện:
1
3
x
 
.







2 2 2
2 2
(1) ( 1) 2( 1) 3 1 3 1 2 2 2 5 2 2 1 0
x x x x x x x x
   
   
              
 
 
   
2
2
3 1 1
( 1) 3 1 2 2 1 0 1
2 1 2
x x
x x x x x
x x


  

 
 


           

  
 
 

  



.
V. Phương pháp lượng giác hóa. Trong một số trường hợp, nếu chúng ta đặt ẩn phụ bởi các hàm số
lượng giác, thì việc giải quyết bài toán trở nên dễ dàng hơn. Kiến thức cần nhớ như sau.
+ Nếu trong phương trình, điều kiện của ẩn
x
là
, 0
k x k k
   
hay phương trình có chứa
2 2
k x


thì đặt
sin , [ ; ];
2 2
x k t t
 
  

hoặc đặt
cos , [0; ].
x k t t

 

+ Nếu trong phương trình, điều kiện của ẩn
x
là
, 0
x k k
 
hay phương trình có chứa
2 2
x k

thì
đặt
3
; [0; ) [ ; );
cos 2 2
k
x t
t
 
   hoặc đặt
, [ ;0) (0; ].
sin 2 2
k
x t

t
 
   
+ Nếu trong phương trình, ẩn
x
nhận mọi giá trị thuộc

hay phương trình có chứa
2 2
x k

thì đặt
tan , ; .
2 2
x k t t
 
 



  





 

Ngoài ra, tùy từng trường hợp, cũng có thể đặt
2 2

cos ; sin ,
x t x t
 
Sau đây ta xét ví dụ minh họa
Ví dụ: Giải phương trình:
2 2
1 2 1 2 1 0.
x x x x
     


1

Điều kiện:
1 1.
x
  
Đặt
cos
x t

,
[0; ].
t





1


2 2
1 cos 2 cos 1 cos 2 cos 1 0
t t t t
     
2 sin 2 cos sin cos 2 0
2
t
t t t
   


2 sin sin 2 cos2 0
2
t
t t
   
(vì
[0; ] sin 0, sin 0
2
t
t t
   
)
2 sin 2 cos 2 0
2 4
t
t

 




   





 


sin cos(2 )
2 4
t
t

  
sin sin( 2 )
2 2 4
t
t
 
   
3
sin sin 2
2 4
t
t


 



  





 

Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Phương Trình bất phương trình vô tỉ

Ths.Hoàng Huy Sơn
8


3
2 2
2 4
2 2
2 4
t
t k
t
t k







  




  


5 3
2
2 4
3
2
2 4
t
k
k


 



 





  


 
3 4
10 5
, .
4
6 3
k
t
k
k
t
 
 


 

 


  



Do
[0; ]

t


nên ta nhận
3
.
10
t


Từ đó
3
cos
10
x


là nghiệm của phương trình đã cho.
BÀI TẬP. Giải các phương trình
1)
2
1 4 1.
x x x
   
ĐS:
3.
x


2)

4 1 1 2 .
x x x
    
ĐS:
0.
x


3)
2 2
3 15 2 5 1 2.
x x x x
    
ĐS:
0 5.
x x
   

4)
2 5 ( 2)(5 ) 4.
x x x x
      
ĐS:
3 3 5
.
2
x


5)

2
4 4 2 12 2 16.
x x x x
      
ĐS:
5.
x


6)
3
2 2 2
3 3
2 (1 ) 3 1 (1 ) 0.
x x x
     
Chia 2 vế cho


2
3
1
x 
. ĐS:
9
.
7
x  
7)
3

2 6 1 2 0.
x x
   
ĐS:
7; 2.
x x
  

8)
2 24
15 15 2.
x x x x
   
ĐS:
1.
x


9)
2 2 2
(2 6 10) 3 11 33 8 0.
x x x x x x
      
ĐS:
3 73
; 1; 4.
2
x x x
 
   

10)
2
2 4 3 2 2 3 2 0.
x x x x x
     
Phân tích thành nhân tử. ĐS:
9
, 2.
2
x x
 

11) (Khối
2009)
A


3
2 3 2 3 6 5 8 0.
x x
    
Đặt
6 5 0.
t x
  
ĐS:
2.
x
 

12)


4
4 4
1 32 1 .
x x x x
    Chia 2 vế cho
4
0.
x x

ĐS:
1
.
15
x 
13)
3
9 2 1.
x x
   
ĐS:
1; 10; 17.
x x x
  

14)
3

2 2
2 1 4 4.
x x
   
ĐS:
0.
x


15)
2
2
2( 2 4)
2 2 3 2 4.
2
x x
x x x
x
 
    

Chia 2 vế cho
2.
x


ĐS:
3 13, 3 13.
x x
   

16)
2
2
2(1 ) 1 1 1
1 0.
2 1 1
1
x x x
x x
x
 
   



   




 



 
ĐS:
0.
x


17)
 
3
2
3 2 1 .
3 2
x
x x
x
   

ĐS:
1.
x


18)
2
2 3 2
2
16 11
5 1.
5
x x
x x x x
x
 
     


ĐS:
3.
x
 

19)
3 2 2
2 2 .
x x x x x x x
    
ĐS:
0.
x


Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Phương Trình bất phương trình vô tỉ

Ths.Hoàng Huy Sơn
9

20)
2 2
7 5 3 2 .
x x x x x
      ĐS:
1.
x
 

21)

2
2
1 3 2 .
1 3
x x
x x
   
  
ĐS:
1; 3.
x x
  

22)


2 2
4 4 2 4.
x x x x x
    
ĐS:
4; 2.
x x
  

23)
2
1 1 4 3 .
x x x
   

Nhân lượng liên hợp


3 1 .
x x 
ĐS:
1
.
2
x 

24)
2
2 3 2 3 9.
x x x x x
     
Đặt
3.
t x x
  
ĐS:
1.
x


25)
( 5) 5 3( 5 ).
x x x x x x
     
Đặt

, 5 .
u x v x
  
ĐS:
1, 4.
x x
 

26)
2
2 3 2 3 2.
x x x x
   
Đặt
; 3 2.
u x v x
  
ĐS:
1, 2.
x x
 

27)
3
2
3 4 4 2 2 22 0.
x x x x
      
Nhân lượng liên hợp theo cụm. ĐS:
3.

x


28)
2
3 2 1 2 4 3.
x x x x x x
      
Phân tích thành nhân tử. ĐS:
0, 1.
x x
 

29)
2 2
13 12 3 7 16.
x x x x x
    
Đặt
2
7 16, 3 .
u x x v x
   
Đưa về phương trình
tích. ĐS:
19 745
3; 4; .
16
x x x


    
30)




2
9 4 2 1 4 1 3 2 8 4 8 3 2.
x x x x x x
         

Đặt
2 1, 3 2 .
u x v x
   
ĐS:
1.
x


31)
3 3 5 4 3 5 3 7 0.
x x x x
     
Đặt
3 5, 3 .
u x v x
  
Đưa về hệ phương trình.
ĐS:

1
.
3
x  

32) (Khối
2005)
D


2 2 2 1 1 4.
x x x
     

33) (Khối
2
2006) 2 1 3 1 0.
D x x x
     

B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Các dạng cơ bản:
+
2
0
0
B
A B A
A B







  







+
2
0
0
0
B
B
A B
A
A B










  
 
 


 




+
2
0
0
B
A B A
A B






  








+
2
0
0
0
B
B
A B
A
A B









  
 
 


 





I. Phương pháp nâng lũy thừa
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
2 7 3 2 .
x x x
     
Điều kiện:
3
.
2
x

 (*). Ta có
2
2 7 3 2 2 3 2 7
2 2 (2 )( 3 2 ) 3 2 7 2 6 4
x x x x x x
x x x x x x x x
            
              

Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Phương Trình bất phương trình vô tỉ

Ths.Hoàng Huy Sơn
10

2 2 2
4 4
2 6 0 2 6 ( 4)

x x
x x x x x
 
 
   
 
 
 
 
 
      
 
 
 
4
4
3
2
2
11
2
x
x
x
x
x
x


 




 








 

 
  

 
 



 


 







4 4 2 11 2 11.
x x x x x
              

Kết hợp với điều kiện (*) thì nghiệm của bất phương trình đã cho là
2.
x
 

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
2
2 2 2 (1).
x x x x x
     
Điều kiện:
2.
x


2
(1) ( 1) 2 ( 2) 0 ( 1) 2 ( 1)( 2) 0
x x x x x x x x
             

( 1)( 2 2) 0(2).
x x x
     

+ Xét
2.
x

Khi đó
(2)
đúng. Do đó
2
x

là nghiệm của bất phương trình.
+ Xét
2.
x

Khi đó
2 2 0.
x x
   
Do đó
(2) 1 0 1.
x x
     

Vậy, nghiệm của bất phương trình đã cho là
1 2.
x x
   

Ví dụ 3: Giải bất phương trình:

2
2
3
4 1 2 .
4 4 1
x x
x
  

Nhân lượng liên hợp của vế trái ta
được:


2 2
2 2
1 3
4 4 1 3 4 1 2
4 1 2 4 4 1
x x x
x x x
     
  
(vì
2
4 1 2 0).
x x
  
Biến đổi
tiếp tục ta được
2

4 1 6 .
x x
  
Nếu
0
x

thì bất phương trình luôn đúng. Nếu
0,
x

bình
phương hai vế của bất phương trình ta được
2 2
2 2
4 1 36 .
8 8
x x x      Vậy, nghiệm của
bất phương trình đã cho là
2
.
8
x  
Ví dụ 4: Giải bất phương trình:




2
3 1 1 2 3 4 (1).

x x x x       Điều kiện
1
x

.
Nhân hai vế của (1) với biểu thức liên hợp
3 1 0,
x x
   
ta được




2 2
(1) 4 1 2 3 4 3 1 1 2 3 3 1
x x x x x x x x
               
2 2 2 2
2
2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 4 0
2
x
x x x x x x x x
x

 

              






Kết hợp với điều kiện
1
x

ta được
2
x

.
Ví dụ 5: Giải bất phương trình:
2 2
4 3 1 2 4 3 10
x x x x x
    
(1).
2 2
(1) (4 3 10) 6 9 2 4 3 10 0.
x x x x x x
        

Đặt
2
4 3 10 0; .
u x x v x
    
Ta có bất phương trình

2
2 6 9 0 ( 3)( 3) 2 ( 3) 0 ( 3)( 2 3) 0 2 3
u uv v u u v u u u v u v
                 
(do
0)
u

2
1
4 3 10 2 3 .
9
x x x x      
II. Phương pháp đặt ẩn phụ
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Phương Trình bất phương trình vô tỉ

Ths.Hoàng Huy Sơn
11

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:




2 2 2
1 1 1 1 6 0.
x x x
      
Đặt
2

1 0
t x
  
, ta
có bất phương trình
2 3 2 2
( 1) 6 0 6 0 ( 2)( 3) 0 2
t t t t t t t t t t
               
.
Như vậy ta được
2 2
5
1 2 1 4 .
5
x
x x
x

 

     





Vậy, nghiệm của bất phương trình đã cho là
5 5.
x x

   

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:






1 3 2 1 3 4 2 1
x x x x x
       

Điều kiện:
1.
x

(1)




2
1 3 1 3 6 0 2 .
x x x x          Đặt
1 3 0
t x x
    
(2) trở thành



2
6 0 2 3 3 .
t t t t
       
Do
0
t

nên từ (3) ta
nhận
2
t

1 3 2
x x
    














2 2 2 1 3 4 1 1 3 2 1 3 1
x x x x x x x x x
                

Bất phương trình trên đúng với mọi
1.
x

Vậy,
1
x

là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Ví dụ 3: (Khối
2010)
A

Giải bất phương trình:


2
1 (1).
1 2 1
x x
x x


  
Biến đổi (1) về dạng



2 2
3
1 2 1 ,( 1 , ).
4
x x x x x x x
        
Đặt
t x

ta có
 
2
2 2
1 5
1 0 1 0
2
t t t t t
 
        


3 5
.
2
x


Ví dụ 4: Giải bất phương trình:
2

2 1 2 1 3(1).
x x x x x
     

2
2
(1) 2 1 ( 1) ( 1) 2 0
( 1) ( 1) 2 0(2)
x x x x x x
x x x x
         
       

Đặt
1 1.
t x x
   
Khi đó
(2) 2 1.
t t
    
Ta chọn
1
t

1 1 1.
x x x
     

Ví dụ 5: Giải bất phương trình:

2 2
2 2 3 2 3 2 0 (1).
x x x x x     



2
2 2 2 2
(1) 2 3 2 ( 3 2) 0 3 2 0
x x x x x x x x x
            
2
3 2 0
x x x
    

2
2 2
0
2
3 2 .
3 2
3
x
x x x x
x x x






        


  




Ví dụ 6: Giải bất phương trình:


2
2( 2) 2 2 1 .
x x x x    
Điều kiện:
0.
x


Đặt
2, .
u x v x
  

 


2 2
2

2 2
2 2
0
0
1 2 2
2 0
2 2
u v
u v
u v u v
u v uv
u v u v



 

 


 
     
 
 
  
  
 






Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Phương Trình bất phương trình vô tỉ

Ths.Hoàng Huy Sơn
12



2
0
0 0 2 0 0
0
0
u v
u v u v u u
u v u v u v u v
u v


   
 
   
     

   

    
    
    

    
 
    
   





2
2
2
2 0
2
2
4.
1 4
5 4 0
2
2
x
x
x
x
x
x x
x x
x x
x x








 








  
     
   
   
  
  
 
 
   









Vậy, nghiệm của bất phương trình đã cho là
4.
x


Ví dụ 7: Giải bất phương trình:
2
1 4 1 3 (1)
x x x x
    
Điều kiện:
0 2 3
x
  
hoặc
2 3.
x
 

Nhận xét
0
x

là nghiệm của bất phương trình. Với
0 2 3
x
  
hoặc

2 3.
x
 

1 1
(1) 4 3
x x
x
x
     

Đặt
1
t x
x
 



 
2
1
2 2 .
x t t
x
   

Ta có:
2
6 3

t t
  



2
6 3
t t
  

3
t
 
hoặc
2 2
3
6 9 6
t
t t t







   




1
x
x
 

5
2


1
0
4
x
 
hoặc
4.
x

Kết hợp cả hai trường hợp thì nghiệm của bất
phương trình là
1
0
4
x
 
hoặc
4.
x



Ví dụ 8: Giải bất phương trình:


3 2
3 1 2 0 1 .
x x x x    
Đặt
1
t x x
 

Xét hàm số


1,
y f x x x
  

3 2 2 2 3
0 ;
3 9
2 1
x
y x y
x


      



Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta suy ra
2 3
, 1.
9
t x
    
(1) Trở thành
2
2
3 2 0
1
t
t t
t

 

   

 



Kết hợp với điều kiện của
t
ta được

2 3
.
9
t   Vậy, nghiệm của bất phương trình đã cho là
1.
x
 

BÀI TẬP. Giải các bất phương trình
1) (Khối
2004)
A


2
2( 16)
7
3 .
3 3
x
x
x x

  
 
ĐS:
10 232.
x
  

Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Phương Trình bất phương trình vô tỉ

Ths.Hoàng Huy Sơn
13

2)
2 2
4 ( 4) 2 4.
x x x x x
    
ĐS:
4 2.
x x
   

3)
2
4 4 4 2 8 0.
x x x x x
     
ĐS:
4
0 .
3
x 
4)
3
1 1.
x x
  

Đặt
3
1.
t x
 
ĐS:
9
0 1.
x
x




 



5)
2
1 1 4
3.
x
x
 

ĐS:
 
1 1
; \ 0 .

2 2
 
 

 
 
Nhân lượng liên hợp.
6)
2
2
3 5.
4
x
x
x
 

ĐK:
2.
x

Bình phương hai vế, đặt
2
2
.
4
x
t
x



ĐS:
2 5
2 5
x
x

 






7)
2 2
1 2 2 .
x x x x
  
Đặt
2
2 .
t x x
 
Phân tích thành nhân tử. ĐS:
0.
x


8)

2 1 5 4 .
x x x
  
Đặt
2 1.
t x
 
ĐS:
1
1.
2
x
 

9)
3 3
(4 1) 1 2 2 1.
x x x x
    
Đặt
3
1.
t x
 
Phân tích thành nhân tử.
ĐS:
3
3
; 2.
4

x x
  

10)
2
(2 1) 2 2 4.
x x x x
    
Đặt
2.
t x x
  
ĐS:
2.
x


11)
2
2 10 16 1 3.
x x x x
     
Tương tự ví dụ 6. ĐS:
5.
x


12)
2 2
5 4 7 1 7 1 0.

x x x x x
     
Tương tự ví dụ 5. ĐS:
7 61
.
6
x



13)
2 2
5 3(1 ) 4 3 0.
x x x x x
      
Đặt
2
4 3, .
t x x v x
   

ĐS:
4 14
3 1 .
4
x x

     
14) (Khối
2002)

D


2 2
( 3 ) 2 3 2 0.
x x x x
   

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ.
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của
m
để phương trình:
2
11 28
4
2
x m
x
x
    có nghiệm
0.
x


Xét hàm số
2
11 28
4 ,
2
y x

x
x
    ta có
2 2 2
2
2 2
3
2
11 14 2 7 11 7 28
1
2
7
2 7
1
x x x
y
x
x x
x
x
   

   



2 2 2
0 2 7 11 7 28 0
y x x x


      
3.
x
 
Lập bảng biến thiên của hàm số ta được
15
.
2
m 
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của
m
để phương trình:
2
3 3 9 0
x x x m
      
(1) có
nghiệm.
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Phương Trình bất phương trình vô tỉ

Ths.Hoàng Huy Sơn
14

Điều kiện:
3 3.
x
  

Đặt
2

2 2 2
6
3 3 6 2 9 9 .
2
t
t x x t x x

           Phương trình (1) trở thành
2
2
6
0 2 6 2 (2)
2
t
t m t t m

       
Ta có




2 2
1. 3 1. 3 1 1 3 3 2 3.
t x x x x          (Theo bất đẳng thức
Bunhiacôpski).
Dấu bằng xảy ra khi
0.
x


Mặt khác
2 2
6 2 9 6 6,( 0).
t x t t
      
Dấu bằng xảy ra khi
3 3.
x x
   
Vậy,
6 2 3.
t
 
Phương trình (1) có nghiệm
3; 3
x
 
 
 
 
khi và chỉ khi (2) có
nghiệm
6;2 3 .
t
 

 
 
Lập bảng biến thiên của hàm số
2

2 6, 6;2 3
y t t t
 
   
 
 
ta được giá trị
cần tìm của
m
là
3 2 3 6.
m
    

Ví dụ 3: Tìm
m
để phương trình:
12 ( 5 4 )
x x x m x x
     
có nghiệm.
Biến đổi phương trình về
( 12)( 5 4 )
x x x x x m
     

Xét hàm số
( )
y f x
 

( 12)( 5 4 )
x x x x x
    
=
( ). ( )
h x g x
có tập xác định là
D
=
[0;4].
Nhận xét rằng
( ) 12
h x x x x
  
đồng biến và không âm trên
.
D

Hàm số
( ) 5 4
g x x x
   
có
5 4
( ) 0,
2 5 . 4
x x
g x x D
x x
  


    
 
hàm số
( ) 5 4
g x x x
   
đồng biến trên
D
và cũng thấy rằng
( )
g x
không âm trên
.
D

Như vậy, hàm số
( )
f x
đồng biến trên
.
D
Ta tìm được
2 3( 5 2) 12.
m
  

Ví dụ 4: Tìm
m
để phương trình:

44
13 1 0
x x m x
    
có đúng một nghiệm. Ta có
4 44 4
3 2
1
13 1 0 13 1
4 6 9 1
x
x x m x x x m x
x x x m





          


    




Xét hàm số
3 2 2
1 3
( ) 4 6 9 1, 1; ( ) 12 12 9 0 .

2 2
f x x x x x f x x x x x

               
Bảng biến thiên
x

1
'
f


f x

3
2

12
1
2

0



Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị
m
cần tìm là:
3
12.

2
m m   

Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Phương Trình bất phương trình vô tỉ

Ths.Hoàng Huy Sơn
15

Ví dụ 5: Tìm
m
để phương trình:
3 2 4 6 4 5
x x x x m
       
(1) có đúng hai
nghiệm. Phương trình (1) chính là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
3 2 4 6 4 5
y x x x x
       
và đường thẳng
.
y m


Đặt
4 0.
t x
  
(1) trở thành
2 2

2 1 6 9 1 3 .
t t t t m t t m
           (2). Ta có nhận xét rằng, ứng với mỗi
0
t


thì phương trình
4
t x
 
cho ta một nghiệm
.
x
Do đó (1) có đúng hai nghiệm
x
khi và chỉ khi (2) có
đúng hai nghiệm
0.
t

Xét hàm số
( ) 1 3 , 0
f t t t t
    

2 4; 0 1
( ) 2; 1 3
2 4; 3
t t

f t t
t t


   



  



 




Vẽ đồ thị hàm số
( ),
f t
ta được phương trình đã cho có đúng hai nghiệm khi và chỉ khi
2 4.
m
 

4
2
3
1
t

O

Ví dụ 6: Tìm
m
để hệ phương trình
2
2 1
0
x y m
x y


  




 



có nghiệm
Điều kiện:
0, 0.
x y
 

2
2
2

2 1
2 1 (1)
0
x y m
x x m
y x
x y




  
   

 

 
 

 
 




. Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương
trình (1) có nghiệm
0.
x


Xét hàm số
2
( ) 2 1 ; 0.
f x x x x
   

2
2
( ) 1 0, 0 ( )
2 1
x
f x x f x
x

     

đồng biến. Bảng biến thiên của hàm số
( )
f x
như sau
x
'( )
f x
( )
f x
0

1



Vậy, hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
1.
m


Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Phương Trình bất phương trình vô tỉ

Ths.Hoàng Huy Sơn
16

Ví dụ 7: (Khối
2011)
D

Tìm
m
để hệ phương trình
3 2
2
2 ( 2)
1 2
x y x xy m
x x y m


   





   



có nghiệm
Hệ








2
2
2
2 1 2
x x x y m
x x x y m


  






    



Đặt
2
1
, 2 .
4
u x x v x y
     
Hệ trở thành
2
1 2
1 2
(2 1) 0(1)
v m u
uv m
u v m
u m u m




  






 
 
  
   
 



Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm
1
.
4
u
 

Biến đổi (1) ta được
2
( ) .
2 1
u u
m f u
u
 
 

Lập bảng biến thiên của hàm
f
ta tìm được
2 3
.

2
m



Ví dụ 8: Tìm
m
để phương trình
3
3
1 1
x x m
   
có nghiệm.
3
3
1 ; 1 .
u x v x
   
Suy ra
3 3
2.
u v
 
Phương trình đã cho đưa về hệ
3 3
2 2
2
( ) ( ) 3 2 3 2
u v

u v u v uv m m uv
u v m
u v m u v m
 

   
 

 
     
 

     
   
 
  
  
 
   
  


 
 

Nếu
0
m

thì hệ vô nghiệm, nếu

0
m

ta có
2
1 2
( )
3
u v m
uv m
m


 





 




. Do đó hệ có nghiệm khi và chỉ
khi
2 2
1 2
4. ( ) 0 0 2.
3

m m m
m
     

BÀI TẬP.
1. Cho phương trình
2
1 4 5 4 2 0.
x x x x x m
        

Tìm các giá trị của
m
để phương trình có nghiệm không âm.
HD: Đặt
1 4.
t x x
   
ĐS:
5
.
2
m
 

2. (Khối
2007)
A

Tìm các giá trị của

m
để phương trình sau có nghiệm
4
2
3 1 1 2 1.
x m x x
    

HD: Chia 2 vế cho
1.
x

ĐS:
1
1
3
m
  
.
3. Tìm các giá trị của
m
để phương trình


4 4
2 2
2 2 4 2 2 4
m x x x x
      

có nghiệm thực. HD: Chia 2 vế cho
2,
x

đặt
4
2
.
2
x
t
x



ĐS:
1.
m


4. Tìm các giá trị của
m
để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt
5 2 6 4 6 2 .
x x x x m
       

5. (Khối
2008)
A


Tìm các giá trị của
m
để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt
4 4
2 2 2 6 2 6 .
x x x x m
     

6. (Khối
2004)
B

Tìm các giá trị của
m
để phương trình sau có nghiệm
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Phương Trình bất phương trình vô tỉ

Ths.Hoàng Huy Sơn
17



2 2 4 2 2
1 1 2 2 1 1 1 .
m x x x x x
         
7. (Khối
2006)
B


Tìm các giá trị của
m
để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt
2
2 2 1.
x mx x
   

8. (Khối
2007)
B

Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của
m
phương trình sau có hai nghiệm
thực phân biệt
2
2 8 ( 2).
x x m x   
9. Tìm các giá trị của
m
để phương trình sau có nghiệm thực
6
3 2
1 0.
x m x x x
    