đề thi và đáp án tổng hợp môn toán năm 2014 khối d

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011
Môn : TOÁN ; Khối: D

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k +1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
sin2x 2 cos x sin x 1
0
tan x 3
+ − −
=
+

2. Giải phương trình
2
2 1
2
log (8 x ) log ( 1 x 1 x ) 2 0 (x )

− + + + − − = ∈
»

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
4
0
4x 1
I dx
2x 1 2
−
=
+ +
∫

Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp
S.ABC
có
đ
áy
ABC
là tam giác vuông t
ạ
i
B, BA = 3a, BC = 4a;

m
ặ
t ph
ẳ

ng (
SBC
) vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (
ABC
). Bi
ế
t
SB =
2 3
a

và

SBC
= 30
0
. Tính th
ể
tích
kh
ố
i chóp
S.ABC
và kho

ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m
B

đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (
SAC
) theo
a
.
Câu V (1,0 điểm)
Tìm m
để
h
ệ
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m

3 2
2
2 ( 2)
( , )
1 2
x y x xy m
x y
x x y m

− + + =

∈

+ − = −


»

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) : Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy, cho tam giác ABC có
đỉ

nh B(-4; 1), tr
ọ
ng tâm G(1; 1) và
đườ
ng
th
ẳ
ng ch
ứ
a phân giác trong c
ủ
a góc A có ph
ươ
ng trình x
−
y
−
1 = 0. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh A và C.
2. Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ

a
độ
Oxyz, cho
đ
i
ể
m A(1; 2; 3) và
đườ
ng th
ẳ
ng
1 3
:
2 1 2
x y z
d
+ −
= =
−
.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
∆

đ
i qua
đ
i
ể
m A, vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d và c
ắ
t tr
ụ
c Ox.
Câu VII.a (1,0 điểm)
Tìm s
ố
ph
ứ
c z, bi
ế
t :
(2 3 ) 1 9
z i z i
− + = −

B. Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ỏ
a
độ
Oxy, cho
đ
i
ể
m A(1; 0) và
đườ
ng tròn (C) : x
2
+ y
2

−
2x + 4y
−
5 = 0.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ

ng th
ẳ
ng
∆
c
ắ
t (C) t
ạ
i
đ
i
ể
m M và N sao cho tam giác AMN vuông cân t
ạ
i A.
2. Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
:

1 3
2 4 1
x y z
− −
= =
và m
ặ
t ph
ẳ
ng
(P) : 2x
−
y + 2z = 0. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u có tâm thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
, bán kính b
ằ

ng 1 và
ti
ế
p xúc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P).
Câu VII.b (1,0 điểm)
Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t và giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố

2
2 3 3

1
x x
y
x
+ +
=
+
trên
đ
o
ạ
n
[0;2].
Hết




BÀI GIẢI GỢI Ý

Câu I :
1. Kh
ả
o sát và v
ẽ

đồ
th
ị
(C)

D = R \ {-1}
y
/
=
2
1
( 1)
x +
> 0 v
ớ
i m
ọ
i x ∈ D
1
lim
x
y
−
→−
= +∞
và
1
lim
x
y
+
→−
= −∞

⇒
x = -1 là TC
Đ


lim 2
x
y
→±∞
=

⇒
y = 2 là TCN
BBT :
x - ∞ - 1 +∞
y
/
+ +
y +∞ 2
2 -∞
Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên t
ừ
ng kho
ả

ng xác
đị
nh, không có c
ự
c tr
ị
.


Đồ
th
ị
hàm s
ố
:












2. Pt hoành
độ
giao

đ
i
ể
m :

2 1
2 1
1
x
kx k
x
+
= + +
+

⇔ kx
2
+ (3k - 1)x + 2k = 0 (x = -1 không là nghi
ệ
m)
Ycbt : ⇔ k ≠ 0 và ∆ = k
2
- 6k + 1 > 0 ⇔ k <
3 2 2 3 2 2
k− ∨ > +
và k ≠ 0 (*)
Kho
ả
ng cách t
ừ

A và B
đế
n Ox b
ằ
ng nhau
⇔

y
A

=

y
B

⇔
2 1 2 1
A B
kx k kx k
+ + = + +
⇔
( )
1 3
( ) 4 2 0
( ) 4 2 0
A B
A B
kx kx loai
k
k k

k x x k
k
=

−
⇔ + + =

+ + + =


⇔ k = – 3 (th
ỏ
a
đ
k (*) ). V
ậ
y YCBT ⇔ k = – 3
Câu II :

1)
sin 2 2 cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
+ − −
=
+

đ

k : tg
3
x
≠ −
; cosx ≠ 0
Pt ⇔ sin2x + 2cosx − sinx − 1 = 0 ⇔ 2sinxcosx + 2cosx − (sinx + 1) = 0
⇔ 2cosx (sinx + 1) − (sinx + 1)= 0 ⇔ (2cosx − 1)(sinx + 1) = 0

1
cos sin 1 2 2
2 3 2
x hay x x k hay x k
π π
π π
⇔ = = − ⇔ = ± + = − +

x
y
O
2
-1
so
đ
k ta có nghi
ệ
m c
ủ
a pt :
2 ( )
3

x k k
π
π
= + ∈
Z

2)
2
2 2
log (8 ) log ( 1 1 ) 2
x x x
− − + + − =
(x ∈ [-1;1])

2
2 2
log (8 ) 2 log ( 1 1 )
x x x
⇔ − = + + + −
⇔ 8 − x
2
=
4( 1 1 )
x x
+ + −
(*)

Đặ
t t =
1 1

x x
+ + −

(*) thành (t −2)
2
(t
2
+ 4t + 8) = 0
⇔ t = 2 ⇔ 1 1
x x
+ + −
= 2 ⇔ x = 0 (nh
ậ
n)
Câu III :
I =
4
0
4 1
2 1 2
x
dx
x
−
+ +
∫


Đặ
t t =

2 1 2
x
+ +
=> (t - 2)dt = dx
=> I =
5 5
2
2
3 3
(2 8 5)( 2) 10 34 3
(2 12 21 ) 10 ln
3 5
t t t
dt t t dt
t t
− + −
= − + − = +
∫ ∫

Câu IV
:
G
ọ
i H là hình chi
ế
u c
ủ
a S xu
ố
ng BC.

Vì (SBC) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)
Ta có SH =
3
a

Th
ể
tích kh
ố
i (SABC) =
1
.
3
ABC
S SH
=

3
1 1
( 3a.4a).a 3 2a 3
3 2
=

Ta có : Tam giác SAC vuông t
ạ
i S
vì SA =
21
a
; SC = 2a; AC = 5a.

Di
ệ
n tích
∆
(SAC) =
2
21
a

d(B,(SAC)) =
3
SABC
SAC
V
S
∆
=
3
2
3.2 3
21
a
a
=
6
7
a

Câu V :

H
ệ

2
2
( )(2 )
( ) (2 ) 1 2
x x x y m
x x x y m

− − =


− + − = −



Đặ
t
2
1
( )
4
2 ( )
u x x dk u
v x y v

= − ≥ −




= − ∈

»

Hệ thành :
2
(1 2 )
1 2
(2 1)
v m u
u v m
uv m
u u m u
= − −
+ = −


⇔
 
=
− + = +


2
1 2
(1)
2 1
v m u
u u

m
u
= − −


⇔

− +
=

+


Đặt f(u) =
2
1
,
2 1 4
u u
u
u
− +
≥ −
+
; f
/
(u) =
2
2
2 2 1

(2 1)
u u
u
− − +
+
;f
/
(u)=0
1 3
2
u
− −
⇔ =
(lo
ạ
i) hay
1 3
2
u
− +
=

u
1
4
−

1 3
2
− +

+ ∞
f
/
(u) + 0 −
f(u)
2 3
2
−


5
8
−
– ∞
V
ậ
y h
ệ
có nghi
ệ
m
(1)
⇔
có nghi
ệ
m thu
ộ
c
1 2 3
;

4 2
m
−
 
− +∞ ⇔ ≤


 

B
A
S
C
H

I
J
Cách Khác : ycbt
2
( ) (2 1) 0
f x x m x m
⇔ = + − + =
có nghi
ệ
m thu
ộ
c
1
;
4

 
− +∞


 

/ 2
4 8 1 0
1 1
( ) 0 ( ) 0 (*)
4 4
1
2 4
m m
f hay f
S


∆ = − + ≥


⇔ − ≤ − ≥



≥ −


( có th
ể

b
ỏ

đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) )
2 3 2 3
5
2 2
8
3
4
m hay m
m hay
m

− +
≤ ≥


⇔ ≤ −


≤


2 3

2
m
−
⇔ ≤

Câu VIa :
1. G
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AC, ta có
3 7
;1
2 2
BM BG M
 
= ⇔
 
 
 

G
ọ
i N là
đ
i

ể
m
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a B qua phân giác trong ∆ c
ủ
a góc A và H là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a ∆ v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng BN.


Đườ
ng th
ẳ
ng BN có ph
ươ
ng trình : x + y + 3 = 0

=> T
ọ
a
độ
H là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình :
3 0
( 1; 2)
1 0
x y
H
x y
+ + =

⇒
− −

− − =


H là trung
đ
i

ể
m c
ủ
a BN
2 2
(2; 5)
2 5
N H B
N H B
x x x
N
y y y
= − =

⇔ ⇒ −

= − = −



Đườ
ng th
ẳ
ng AC qua 2
đ
i
ể
m M, N nên có pt : 4x – y – 13 = 0
A là giao
đ

i
ể
m c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng ∆ và
đườ
ng th
ẳ
ng AC nên t
ọ
a
độ
A là nghi
ệ
m
c
ủ
a h
ệ
:
4 13 0
(4;3)
1 0
x y
A
x y

− − =

⇒

− − =


M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AC ⇔
2 3
2 1
C M A
C M A
x x x
y y y
= − =


= − = −


⇒

(3; 1)
C

−

2. G
ọ
i M là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng ∆ v
ớ
i Ox
⇒
M (m; 0; 0)
⇒

AM

= (m – 1; -2; -3)
AM ⊥ d ⇔
AM

.
d
a


= 0 ⇔ m = -1
⇒
AM

= (-2; -2; -3)
V
ậ
y pt ∆ là
1 2 3
2 2 3
x y z
− − −
= =

Câu VII.a :
G
ọ
i z = a + bi (a, b ∈ R). Khi
đ
ó z − (2 + 3i)
z
= 1 – 9i ⇔ a + bi – (2 + 3i)(a –bi) = 1 – 9i
⇔ –(a + 3b) + (3b –3a)i = 1 –9i ⇔
3 1 2
3 3 9 1
a b a
b a b
− − = =
 

⇔
 
− = − = −
 

V
ậ
y z = 2 –i

Câu VI.b :
1.
Đườ
ng tròn (C) có tâm I (1; -2), R =
10


(0; 2)
AI
−

. Vì I và A cách
đề
u M, N nên MN ⊥ AI, v
ậ
y pt MN có d
ạ
ng : y = b
MN = 2
/
2

A MN
d b
=


/
2
I MN
d b
= +


2
2 2 2
/
2 3 0 1 3
2
I MN
MN
d R b b b v b
 
+ = ⇔ + − = ⇒ = = −
 
 

V
ậ
y Pt : ∆
1
: y = 1 ; ∆

2
: y = − 3
2. Ph
ươ
ng trình tham s
ố

đườ
ng th
ẳ
ng ∆
1 2
3 4
x t
y t
z t
= +


= +


=


I ∈ (∆) ⇔ I (1 + 2t; 3 + 4t; t)
d (I, P) =
2(1 2 ) (3 4 ) 2
3
t t t

+ − + +
= 1 ⇔ t = 2 hay t = -1

⇒
I
1
(5; 11; 2)
⇒
Pt m
ặ
t c
ầ
u (S) : (x – 5)
2
+ (y – 11)
2
+ (z – 2)
2
= 1

⇒
I
2
(-1; -1; -1)
⇒
Pt m
ặ
t c
ầ
u (S) : (x + 1)

2
+ (y + 1)
2
+ (z + 1)
2
= 1
Câu VII.b :

Ta có : y
/
=
[ ]
2
2
2 4
0, 0;2
( 1)
x x
x
x
+
≥ ∀ ∈
+
. V
ậ
y y t
ă
ng trên
[
]

0;2

mà y(0) = 3 và y(2) =
17
3

V
ậ
y GTLN là
17
3
và GTNN là 3
(TT Luy
ệ
n thi
Đạ
i h
ọ
c V
ĩ
nh Vi
ễ
n – TP.HCM)