TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 11

(Đề 1) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
__________________________
Câu I: Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 4
2 2
x y xy
x y xy

+ + =


− + =



Câu II: Tìm tất cả các nghiệm x
∈
(2009; 2011) của phương trình :

cos sinx x−
os2 1 sin 2 0c x x− + =
Câu III:
Cho dãy số (
n
u

) xác định bởi:
1
1
1
( 1)( 2)( 3) 1, *.
n n n n n
u
u u u u u n N
+
=



= + + + + ∀ ∈


Đặt
1
1
.
2
n
n
i
i
S
u
=
=
+

∑
Tính
lim
n
S
.
Câu IV:
1. Cho elip(E):
2 2
1
25 9
x y
+ =
và điểm M(2;1). Viết phương trình đường thẳng (
∆
) đi qua M
và cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung điểm AB.
2. Cho tứ diện ABCD, O là điểm bất kì nằm trong miền tam giác BCD. Từ O kẻ các
đường thẳng song song với AB, AC, AD cắt các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC) lần
lượt tai M, N, P .
Chứng minh rằng:
OM ON OP
AB AC AD
+ +
không đổi.
Câu V: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

3 3 3 2 2 2 2 2 2
3 ( ) ( ) ( ).a b c abc a b c b c a c a b+ + + ≥ + + + + +

Hết



(Đề 2) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian ra đề)
Câu 1: (2 điểm)
Giải phương trình :
3 1 cot
3tan 2 2 2 2 0
2 1 cot
x
x cos x
cos x x
−
− − + =
+
Câu 2: (2,5 điểm)
1. Cho khai triển:

2 3 2010 2011 2 3 4042110
0 1 2 3 4042110
(1 ) x x x x a a x a x a x a x+ + + + + = + + + + +
a. Tính tổng
0 2 4 4042110
a a a a+ + + +
.
b. Chứng minh rằng:

0 1 2 3 2010 2011
2011 2011 2011 2010 2011 2009 2011 2008 2011 1 2011 0
2011C a C a C a C a C a C a− + − + + − = −
2. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên
một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác xuất để chọn được một số thuộc vào tập Avà
số đó chia hết cho 3.
Câu 3: (2,5 điểm)
1. Cho dãy số (
n
u
) được xác định như sau:

2
1 1 1
2011, ( ), *, 2.
n n n
u u n u u n N n
− −
= = − ∀ ∈ ≥
Chứng minh rằng dãy số (
n
u
) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
2. Tính giới hạn:

3
2
1
2 1 3 2 2
.

1
lim
x
x x x
A
x
→
− + − −
=
−
Câu 4: (3 điểm)
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a.
1. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD)và đường thẳng A’C đi qua
trọng tâm tam giác A’BD.
2. Hãy xác định các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh A’D, CD’ sao cho MN vuông
góc với mặt phẳng (CB’D’). Tính độ dài đoạn MN theo a.
Hết

(Đề 3) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (3 điểm)
1. Chứng minh rằng :
2
1 sin 2
cot .
1 sin 2 4
a
a
a

π
+
 
= −
 ÷
−
 
2. Cho: sinx + siny = 2sin(x + y), với x + y
≠
k
π
,k
∈¢
.
Chứng minh rằng:
1
tan tan
2 2 3
x y
+ =
.
Câu 2: (3 điểm)
1. Cho tam giác ABC với các kí hiệu thông thường, biết:

3 3
sin . sin . .
2 2 2 2
A B B A
cos cos=
Chứng minh rằng tam giác ABC cân.

2. Giải phương trình sau:

2(sin 3 cos ) 3 2 sin 2 .x x cos x x+ = −
Câu 3: (3 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD. Tứ giác đáy có AB và CD cắt nhau tại E. AD và BC cắt nhau
tại F. AC và BD cắt nhau tại G. (P) là mặt phẳng cắt SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’.
1. Tìm giao điểm D’ của SD và (P).
2. Với điều kiện nào của (P) thì A’B’C’D’ là hình bình hành.
Câu 4: (1 điểm)
Chứng minh rằng:
∀
x, y, z
+
∈¢
thì:
2 2 2
2( ).x y z xy xz+ + ≥ +
Hết



(Đề 4) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2 điểm)
Cho dãy số (
n
u
),n=0,1,2… được xác định như sau:

0 1 2
2
2
3 2 1
0, 1, 0
( 1)( 1) 1
( 1)
n n n n
u u u
n n n n
u u n n u u
n n
+ + +
= = =



+ + + +
= + + + −


,
0n
∀ ≥
.
Chứng minh rằng (u
n
)là số chính phương với mọi n
*
∈

¥
.
Câu 2: (3 điểm)
Cho tứ diện ABCD, mặt phẳng (
α
) song song với hai đường thẳng AD và BC. Gọi M,
N, P, Q tương ứng là giao điểm của (
α
) với các đường thẳng AB, AC, CD, DB. Xác
định tất cả các vị trí của (
α
) để:
a. Tứ giác MNPQ là hình thoi.
b. Diện tích thiết diện giữa (
α
) và tứ diện ABCD là lớn nhất.
Câu 3: (3 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
2 2
2
2
1
2
x y
xy
x y x y

+ + =




+ = −


2. Cho x, y, z
R
+
∈
. Chứng minh rằng :

2 2 2
1 1 1
.
x y y z z x
xy z yz x zx y x y z
+ + +
+ + ≤ + +
+ + +

3. Tìm a để bất phương trình đúng với mọi x:

2
3sin 2sin . os2 3x x cosx c x a+ + + ≤
.
Câu 4: (2 điểm)
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c, độ dài ba đường phân giác trong tương
ứng với các góc A, B, C lần lượt là l
a
, l
b

, l
c
.
1. Chứng minh rằng:
3 3.
a b b c c a
l l l l l l
c a b
+ + +
+ + ≤
2. Nhận dạng tam giác, biết:
tan ( tan a+btanb).
2
C
a b a+ =

Hết

(Đề 5) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: Cho a, b, c >0 và a + b + c = 6
Chứng minh rằng:
3 3 3
2
1 1 1
a b c
b c a
+ + ≥
+ + +

Câu 2: Giải phương trình:

2
2 3 1 3 2 2 5 3 16.( )x x x x x x+ + + = + + + − ∈¡
Câu 3: Giải hệ phương trình:
3 2
3 2
1 2( )
1 2( )
x x x y
y y y x

+ = − +


+ = − +


Câu 4:
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Hai điểm M, N lần lượt di chuyển trên cạnh
AD và DC sao cho AM = x, CN = y với
0 , 1x y< <
và góc MBN bằng 45
o
.
a. Chứng minh rằng :
1x y xy+ = −
.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích
∆

BMN.
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ sau có nghiệm thực:

2
2
2
4 2
4
5
( 2)
8 16 32 16 0
x
x
x
x x mx m

+ ≥

+


+ + + + =

Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức :

5 4 1
5 4 2 1 6
a a
P
a a

− − +
=
− + + +
trong đó a là tham số thực và
5
1 .
4
a− ≤ ≤



Hết


(Đề 6) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1:(2 điểm) Cho dãy (
n
x
) lập theo quy tắc:

0
2
1
0
5 24 1.
n n n
x
x x x

+
=



= + +


a. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số đề là số nguyên.
b. Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
Câu 2: (2 điểm)
1. Định a để hệ:
2
2 2
cos
sin 1
ax a y x
x y

+ = +


+ =


có nghiệm duy nhất.
2. Chứng minh rằng nếu
2
2x x>
thì:

2
2
2cos sin 2
16
sin . os2
x x
x c x
+
>

Câu 3: (2 điểm)
1. Giải phương trình:
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2.x x x x x− + − = − + − +
2. Giải hệ phương trình:
2 3 3 2
2
6 6 5 ( 4)( 2 6)
2 2
1
x x x x x x
x
x x

− + = + + −


+ ≥ +



.
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=c, AC=b.Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông
góc với mặt phẳng (ABC) ; S là một điểm di động trên (P) sao cho S.ABC là hình chóp
có hai mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo lần lượt là
α
và
2
π
α
−
. Gọi
H, I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên BC, AB, AC.
a. Chứng minh rằng
2
.SH HI HJ=
.
b. Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy tìm giá trị của
α
.

Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác:
Chứng minh rằng:
3
3 3 33 3 3 3 3 3
2 4.
a b c
b c c a a b
+ + <
+ + +

Hết

(Đề 7) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (3 điểm)
1. Giải phương trình:
2
( 2) 3x x − =
.
2. Giải bất phương trình:
3
1 2 4 3 2.x x x+ + + < −
3. Tìm điều kiện của tham số a, b để phương trình sau có các nghiệm lập thành cấp số
cộng:
3 2
3 ax 0.x x b− + + =
Câu 2: (2 điểm)
Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm và hãy giải hệ phương trình tương ứng
với những giá trị tìm được của m:

4 2
3
sinx. os2 2 2
.
cos . os2 1
c y m m
x c y m


= − +


= +


Câu 3: (1 điểm)
Cho a, b, c là ba số dương và thoả mãn
1a b c+ + =
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3 3 3
3 1 3 1 3 1.P a b c= + + + + +
Câu 4: (2 điểm)
Cho
ABC
∆
đều. Trên các cạnh AB và BC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho
1
3
AM AB=
và
1
3
BN BC=
. Gọi I là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng BI vuông góc CM.
Câu 5: (2 điểm)
Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng:

3 3 3
3 3 3 3 3 3
1.
( ) ( ) ( )
a b c
a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + + + + +


Hết


(Đề 8) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (3 điểm) Cho hai phương trình sau:

7 3
2sin (1 sin ).sin .sinx a x a x
π
= + +
(1)

2 6 2 3
( 1)(1 ) 2sin 2sin 2( 1)a cos x x x a− + + = + −
(2)
a. Giải các phương trình trên với a = 2.
b. Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình (1) và (2) tương đương.
Câu 2: (2 điểm)

Giải hệ phương trình:
3 3
sin sin sin
2
.
3
cos cos cos
2
x y z
x y z

+ + =




+ + =


Câu 3: (2 điểm)
1. Tính giới hạn sau:
1 1 1 1 1
.
1 3 3 5 5 7 2 1 2 1
lim
n
n n n
→+∞
 
+ + + +

 ÷
+ + + − + +
 
2. Giải phương trình:
2 2
15 3 2 8.x x x+ = − + +
Câu 4: (2 điểm)
Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’. Một mặt phẳng (P) thay đổi song song với
hai đáy của lăng trụ, cắt các đoạn thẳng AB’, BC’, CD’, DA’ tương ứng lần lượt tại các
điểm M, N, P, Q. Hãy xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho tứ giác MNPQ có diện
tích lớn nhất.
Câu 5: (1 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương
a b c
≥ ≥
sao cho
1 1 1
1 1 1 2.
a b c
   
+ + + =
 ÷ ÷ ÷
   


Hết

(Đề 9) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (3 điểm)
1. Tìm tất cả các giá trị
[ ]
0;2x
π
∈
sao cho:
2cos 1 sin 2 1 sin 2 2.x x x≤ + − − ≤
2. Giải và biện luận phương trình theo tham số a, b:

2 2 2 2 2 2 2 2
2( ) 2( )x x x a a x x x a a x b x b− − − + + − − = + + −
.
Câu 2: (2 điểm)
1. Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn
1abc
=
. Chứng minh rằng:

1 1 1
1 1 1 1.a b c
b c a
   
− + − + − + ≤
 ÷ ÷ ÷
   

2. Giải hệ phương trình:
2 2

2 2
1 1 18
1 1 2
x x y x y x y y
x x y x y x y y

+ + + + + + + + + =


+ + + − + + + + − =


.
Câu 3: (2 điểm)
Cho dãy số
( )
n
u
xác định bởi:
2
1
n
u n a n= + +
với
1,2,3 n =
; a là tham số có giá trị thực.
a. Với
( 1)a = −
hãy tìm giới hạn của dãy số khi
n → +∞

.
b. Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn khi
n → +∞
.
Câu 4: (3 điểm)
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ các đường
thẳng
,
A
d OA⊥
, ,
B C D
d OB d OC d OD⊥ ⊥ ⊥
. Các cặp đường thẳng
A
d
và
B
d
,
B
d
và
C
d
,
C
d
và
D

d
,
D
d
và
A
d
tương ứng cắt nhau tại K, L, M, N.
a. Chứng minh rằng các đường thẳng KM và NL cắt nhau tại O.

b. Gọi p, q, r lần lượt là độ dài các đoạn thẳng OK, OL, OM. Tính độ dài đoạn ON.

Hết
(Đề 10) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2 điểm)
Tìm các giá trị của a để phương trình sau chỉ có một nghiệm:

5 3 5(2 1)(1 )
1 .
( )( 3 1)
a a a
x a x a x a
− + −
+ =
− − − +
Câu 2: (3 điểm)
1. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất để phương trình sau có nghiệm:

2
3
( ) 2 ( ) . 2 0.
2 2 3
x x
cos a x cos a x cos cos
a a
π π π
π π
 
− − − + + + =
 ÷
 
2. Cho tam giác ABC có
tan tan 2 tanA C B
+ =
. Chứng minh rằng:
3 2
cos cos .
4
A C+ ≤
Câu 3: (3 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi E là giao điểm của AC và
BD. Chứng minh rằng nếu ba trung điểm của AD, BC, OE thẳng hàng thì AB=CD hoặc
·
0
90 .AEB =
Câu 4: (1 điểm)
Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn
3x y z+ + =

.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
1 1 1
x y z
P
xy yz zx
= + +
+ + +
Câu 5: (1 điểm)

Tìm ba số thực dương a, b, c thoả mãn hệ :
1 4 9
3
.
12
a b c
a b c

+ + =



+ + ≤


Hết

(Đề 11) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2 điểm)
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thoả mãn hệ thức:
.
BC AB BC
AB BC AC
+
=
−
Tính tổng số đo góc:
3 .A B+
Câu 2: (2 điểm)
Cho một cấp số nhân biết rằng tổng các số hạng của chúng bằng 11, tổng bình phương
các số hạng của chúng bằng 341, tổng lập phương các số hạng của chúng bằng 3641.
a. Chứng minh rằng công bội của cấp số nhân đã cho khác 1.
b. Xác định các số hạng của cấp số nhân.
Câu 3: (2 điểm)
Cho dãy số (
n
a
) thoả mãn các điều kiện:
1
(0;1)
, .
1
(1 )
4
n
n n
a

n
a a
+
+
∈


∀ ∈

− =


¢
a. Chứng minh rằng:
1 1
.
2 2
n
a
n
> −
b. Chứng minh rằng dãy số (
n
a
) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 4: (3 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông và SAB là tam giác đều, mặt phẳng đi
qua ba điểm A, B, C vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác SAB. Gọi M là một điểm
di động trên đoạn AB và P là hình chiếu vuông góc của S lên CM.

a. Tìm quỹ tích của điểm P khi M di động.
b. Xác định vị trí của điểm M để độ dài đoạn thẳng nối M với trung điểm của đoạn SC
đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn
1abc =
. Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 1
.
1 1 1 2 2 2a b b c c a a b c
+ + ≤ + +
+ + + + + + + + +

Hết

(Đề 12) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2 điểm)
Xét các tam giác ABC thoả mãn ràng buộc:
{ }
, ,
2
Max A B C
π
≥
.
Tìm giá trị lớn của biểu thức:
2 3

sin sin sin .P A B C= + +
Câu 2: (3 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
3 2
3 2
3 2
( ) 2
( ) 30
( ) 16
x y z
y z x
z x y

+ − =

+ − =


+ − =

.
2. Cho tam giác ABC có phương trình hai đường cao lần lượt là
: 4 1 0AH x y− − =
và
:BK
3 0x y− + =
, trọng tâm tam giác G(1; 2). Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Câu 3: (2 điểm)
Giả sử
1 2 3

1
1 2 2 2 2
; 1,2,3,
2 1 2 3
n
n
n
n
a n
n
+
 
+
= + + + + =
 ÷
 
. Chứng minh rằng:
a.
1
, 3.
n n
a a n
+
≤ ∀ ≥
b. Dãy
{ }
1
n
n
a

∞
=
có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 4: (3 điểm)
Gọi O là một điểm trên cạnh AB của tứ diện ABCD (O không trùng với A và B). Mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện AOCD cắt các cạnh BC và BD của tứ diện ABCD lần lượt tại M
và N (M
≠
C, N
≠
D). Mặt cầu ngọai tiếp tứ diện BOCD cắt các cạnh AC và AD của tứ
diện ABCD lần lượt tại P và Q (P
≠
C, Q
≠
D). Chứng minh rằng tam giác OMN đồng
dạng với tam giác OQP.
Hết


(Đề 13) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2 điểm)
1. Giải phương trình:
( 3) (4 )(12 ).x x x+ − +
2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

2

2
2
3 1 1
1
1
x m y
x y m
y y

− + =


+ + =

+ +

.
Câu 2: (2 điểm)
1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2
(2 1)(sin cos ) (sin cos ) 2 2 2 0m x x x x m m+ − − + + + + =
.
2. Tính giới hạn:
2
1
lim .
( 1)
n
x nx n

A
x
− + −
=
−
Câu 3: (2 điểm)

Cho dãy số (
n
a
) xác định bởi:
1
2
1
1
1 1
.
n
n
n
a
a
a
a
+
=



+ −

=


Tìm công thức tổng quát của
n
a
.
Câu 4: (2 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A không vuông; đường cao AH và trung tuyến AM. Trên
các tia AB và AC theo thứ tự lấy các điểm E và F sao cho ME=MF=MA. Gọi K là điểm
đối xứng của H qua M. Chứng minh rằng E, F, M, K cùng thuộc một dường tròn.
Câu 5: (2 điểm)
1. Cho x, y, z là ba số thực dương thoả mãn: xyz =1.
Chứng minh rằng:
3.
1 1 1
x y y z z x
x y z
+ + +
+ + ≥
+ + +
2. Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn
2.ab bc ca+ + ≤
Tìm giá trị lớn nhất của:
2 2 2
2 2 2
a b c
P
a b c
= + +

+ + +
.

Hết


( MỘT SỐ ĐỀ DÀNH CHO LỚP 12)
(Đề 14) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2 điểm)
1. Chứng minh rằng với mọi
x
∈
¡
ta luôn có
sin cos 1x x+ ≥
.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm

( )
sin cos 1 sin 2 sin cos 2m x x x x x+ + = + + +
.
Câu 2: (2 điểm)
Biết rằng tam giác ABC có độ dài các cạnh và đường trung tuyến theo kí hiệu thông
thường thoả mãn:
;
a b
a b m a m b≠ + = +
.

a. Tìm số thực k sao cho:
( )
a b
m a m b k a b+ = + = +
.
b. Tìm tất cả các giá trị có thể có của tỉ số a : b.

Câu 3: (2 điểm)
Một hàm số f :
* *N N→
(N* là tập hợp các số nguyên dương) thoả mãn đồng thời hai
điều kiện sau:
(1)
( ) ( ) ( )f ab f a f b=
nếu ước chung lớn nhất của a và b bằng 1;
(2)
( ) ( ) ( )f p q f p f q+ = +
nếu p, q là các số nguyên tố.
Chứng minh rằng:
(2) 2, (3) 3, (4) 4f f f= = =
và
(1999) 1999.f =
Câu 4: (2 điểm)
Cho P là một điểm cố định nằm bên trong một hình cầu cho trước. Ba đoạn thẳng PA,
PB, PC đôi một vuông góc với nhau, có ba đầu mút A, B, C nằm trên mặt cầu. Gọi G là
trọng tâm tam giác ABC.
a. Tính PG theo PA, PB, PC.
b. Tìm quỹ tích điểm G khi A, B, C thay đổi.
Câu 5: (2 điểm)
Xét tất cả các số nguyên dương dạng

2
3 1n n+ +
,
*n N∈
. Kí hiệu S(n) là tổng các chữ
số của số
2
3 1n n+ +
.
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của S(n).
b. Chứng minh rằng tồn tại n để
( ) 1999S n =
.
Hết

(Đề 15) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (2 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
3
2
x y x y
x y x y

− = −


+ = + +



.
2. Giải phương trình:
( )
3 2
cos
2log log cos
sin
x
x
x
 
=
 ÷
 
.
Câu 2: (3 điểm)
1. Tìm tất cả các cặp số thực (a;b) để với mọi
x ∈¡
ta có:

2 2
(cos 1) 1 ( ) 0.a x b cos ax b− + + − + =
2. Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện
2 2 2
3a b c+ + =
.
Chứng minh rằng:
2

2 2 2 2 2 2
4 4 4
1 1 1 3( )a b c
a b b c c a
   
+ + + ≥ + +
 ÷ ÷ ÷
+ + +
   
.

Câu 3: (3 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy của hình chóp có độ dài bằng 2,
chiều cao bằng h. Gọi
1
( ; )C O r
là hình cầu tâm O bán kính r nội tiếp hình chóp; gọi
2
C
(K;R) là hình cầu tâm K bán kính R tiếp xúc với 8 cạnh của hình chóp. Biết rằng khoảng
cách từ O đến mặt phẳng (ABCD) bằng khoảng cách từ K đến mặt phẳng (ABCD).
a. Chứng minh rằng:
2
1 1
.
h
r
h
+ −
=

b. Tính giá trị của h, từ đó suy ra thể tích hình chóp.
Câu 4: (2 điểm)
Cho f là một hàm liên tục trên [0; 1] thoả mãn
(0) (1)f f=
. Chứng minh rằng với bất kì
số nguyên dương n nào cũng tồn tại một số
[ ]
0;1c ∈
sao cho
1
( )f c f c
n
 
= +
 ÷
 
.

Hết