Các bài toán đếm ôn thi đại học

Khóa học VIP13 mơn Tốn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH!




DẠNG 1. BÀI TỐN ĐẾM NGƯỜI, VẬT
Bài 1: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh
trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:
1. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau.
2. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.
Lời giải:
1. Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp:
A B A B A B B A B A B A

B A B A B A A B A B A B
Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các em vào 6 chỗ.
Tượng tự, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ.
Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách
2. Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để ngồi.
Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất trường A: có 6 cách chọn học
sinh trường B.
Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học
sinh thứ hai trường A: có 5 cách chọn, v.v…
Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 2
6
.6!.6! = 33177600 cách.
Bài 2: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra khơng có đủ cả 3 màu?
Lời giải:
Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là:

4
15
C
= 1365.
Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là:
* 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có
2 1 1
4 5 6
C C C
= 180
* 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng: có
1 2 1
4 5 6
C C C
= 240
* 1 đỏ + 1 trắng + 2 vàng: có
1 1 2
4 5 6
C C C
= 300
Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720
Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 – 720 = 645.
Bài 3: Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau.
1. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn ln ở cạnh nhau?
2. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?
Lời giải:
1.
* Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! = 24 cách.
* Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách.
Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề bài.

2.
* Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải. Số cách xếp cho 2 số chẵn là 2! cách. Số cách
xếp cho 3 số lẻ là: 3! cách.
Vậy có 2.6 = 12 cách.
* Tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải, nhóm lẻ ở bên trái.
Vậy: có 12 + 12 = 24 cách.
Bài 4:
Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng.
1. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?
2. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?
VIP13. CÁC DẠNG TỐN ĐẾM TRỌNG TÂM – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học VIP13 mơn Tốn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH!
Lời giải:
Số có 6 chữ số khác nhau có dạng:
abcdef
với a ≠ 0
1. Vì số tạo thành là số lẻ nên f ∈ {1, 3, 5}.
Do đó: f có 3 cách chọn
a có 4 cách chọn (trừ 0 và f)
b có 4 cách chọn (trừ a và f)
c có 3 cách chọn (trừ a, b, f)
d có 2 cách chọn (trừ a, b, c, f)
e có 1 cách chọn (trừ a, b, c, d, f)
Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số
2. Vì số tạo thành là số chẵn nên f ∈ {0, 2, 4}.
* Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) là một hoán vò của (1,2,3,4,5). Do đó có 5! số
* Khi f ∈ {2, 4} thì:
f có 2 cách chọn

a có 4 cách chọn
b có 4 cách chọn
c có 3 cách chọn
d có 2 cách chọn
e có 1 cách chọn
Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số.
Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn.
Bài 5: Một thầy giáo có 12 cuốn sách đơi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn
sách Hoạ. Ơng muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.
1. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại Văn và Nhạc. Hỏi có bao
nhiêu cách tặng?
2. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải:
1. Số cách tặng là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn có kể thứ tự.
Vậy số cách tặng là
6
9
A
= 60480
2. Nhận xét: không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách.
Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là:
6
12
A
= 665280
Số cách chọn sao cho không còn sách Văn là:
5
6
A .7

= 5040
Số cách chọn sao cho không còn sách Nhạc là:
4 2
6 8
A .A
= 20160
Số cách chọn sao cho không còn sách Hoạ là:
3 3
6 9
A .A
= 60480
Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600
Bài 6: Có 5 nhà tốn học nam, 3 nhà tốn học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập một đồn cơng tác 3 người cần có cả
nam và nữ, cần có cả nhà tốn học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách?
Lời giải:
Số cách chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là:
1 1 1
5 3 4
C .C .C
= 5.3.4 = 60
Số cách chọn 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lí nam là:
1 2
3 4
C .C
= 18
Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là:
2 1
3 4
C .C
= 12

Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn
Bài 7: Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao
cho:
1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó.
2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.
Lời giải:
1. Chọn 2 nam và 3 nữ: có
2 3
10 10
C .C
= 5400 cách.
2. Có ít nhất 2 nam và 1 nữ, có các kiểu chọn sau:
* 2 nam và 3 nữ: có 5400 cách
Khóa học VIP13 mơn Tốn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH!
* 3 nam và 2 nữ: có
3 2
10 10
C .C
= 5400 cách
* 4 nam và 1 nữ: có
4 1
10 10
C .C
= 2100 cách
Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách.
Bài 8: Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đơi một khác nhau.
1. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ.
2. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.
Lời giải:

1. Có:
2
5
C
cách chọn ra 2 viện bi đỏ.

4
13
C
cách chọn ra 4 viên bi còn lại.
Vậy có:
2
5
C
.
4
13
C
= 7150 cách chọn
2. Có các trường hợp xảy ra:
* 3 xanh, 3 đỏ, 0 vàng → có
3 3
9 5
C .C
cách
* 2 xanh, 2 đỏ, 2 vàng → có
2 2 2
9 5 4
C .C .C
cách

* 1 xanh, 1 đỏ, 4 vàng → có
1 1 4
9 5 4
C .C .C
cách
Vậy có tất cả:
3 3
9 5
C .C
+
2 2 2
9 5 4
C .C .C
+
1 1 4
9 5 4
C .C .C
= 3045 cách.
Bài 9: Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các
thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu khơng nằm liền nhau.
Lời giải:
Có 2 khả năng:
1. Các thẻ trắng ở vò trí lẻ, các thẻ đen ở vò trí chẵn → có 5!5! cách
2. Các thẻ trắng ở vò trí chẵn, các thẻ đen ở vò trí lẻ → có 5!5! cách
Vậy tất cả có: 5!5! + 5!5! cách.
Bài 10: Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở
địa điểm B, còn 4 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân cơng?
Lời giải:
Có tất cả:
= =

3 2 4 2 2 4
9 6 9 5 9 7
C .C C .C C .C
= 1260 cách
Bài 11: Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội
sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp.
Lời giải:
Có 2 khả năng:
* 1 cán bộ lớp và 2 học sinh thường: có
1 2
2 18
C .C

* 2 cán bộ lớp và 1 học sinh thường: có
2 1
2 18
C .C

Vậy số chọn là:
1 2
2 18
C .C
+
2 1
2 18
C .C
= 324 cách.
Bài 12: Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ơ trống. Hỏi:
1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?

Lời giải:
1. Trước hết xếp 3 viên bi đỏ vào 7 ô trống. Do các viên bi đỏ khác nhau nên số cách xếp là
3
7
A
.
Sau đó xếp 3 viên bi xanh vào 4 ô còn lại. Do các viên bi xanh giống nhau nên số cách xếp là
3
4
C
.
Vậy số cách xếp khác nhau là:
3
7
A
.
3
4
C
= 840 cách.
2. Trước hết ta cần chú ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau và xanh đứng cạnh nhau chỉ có 6 cách
xếp.
Sau đó, do các viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vò các viên bi đỏ với nhau. Số các hoán vò là 3!
Vậy số cách xếp khác nhau để các viên bi đỏ đứng cạnh nhau và các viên bi xanh đứng cạnh
nhau là: 6.3! = 36 cách.
Bài 13
: Cho A là một hợp có 20 phần tử.
1. Có bao nhiêu tập hợp con của A?
2. Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn?
Lời giải:

Khóa học VIP13 mơn Tốn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH!
1. Số tập con của A là:
+ + + +
0 1 2 20
20 20 20 20
C C C C
= 2
20

2. Số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là:
T =
+ + +
2 4 20
20 20 20
C C C

Ta có: 0 = (1 – 1)
20
=
− + − +
0 1 2 20
20 20 20 20
C C C C

⇒
+ + + +
0 2 4 20
20 20 20 20
C C C C

=
+ + +
1 3 19
20 20 20
C C C

⇒
+ + + +
0 1 2 20
20 20 20 20
C C C C
= 2
(
)
+ + + +
0 2 4 20
20 20 20 20
C C C C

⇒ T =
+ + +
2 4 20
20 20 20
C C C
=
−
20
0
20
2

C
2
= 2
19
– 1.
Bài 14: Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học sinh để đi làm cơng tác “Mùa hè xanh”.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đó phải có ít nhất:
1. Hai học sinh nữ và hai học sinh nam.
2. Một học sinh nữ và một học sinh nam.
Lời giải:
1. Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 2 học sinh nữ và 2 học sinh nam thì có 2 trường hợp:
* 2 nam và 3 nữ: có
2 3
10 10
C .C
cách.
* 3 nam và 2 nữ: có
3 2
10 10
C .C
cách.
Vậy tất cả có: 2.
2 3
10 10
C .C
= 10800 cách.
2. Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 1 học sinh nữ và 1 học sinh nam thì có 4 trường hợp:
* 1 nam và 4 nữ: có
1 4
10 10

C .C
cách.
* 2 nam và 3 nữ: có
2 3
10 10
C .C
cách.
* 3 nam và 2 nữ: có
3 2
10 10
C .C
cách.
* 4 nam và 1 nữ: có
4 1
10 10
C .C
cách.
Vậy tất cả có: 2.
1 4
10 10
C .C
+ 2.
2 3
10 10
C .C
= 15000 cách.
Bài 15: Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp
B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc khơng q 2 trong 3 lớp
trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
Lời giải:

Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là:
4
12
C
= 495
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:
• Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp 1 học sinh.
⇒ Số cách chọn là:
2 1 1
5 4 3
C C C
= 120
• Lớp B có 2 học sinh, các lớp A, C mỗi lớp 1 học sinh:
⇒ Số cách chọn là:
1 2 1
5 4 3
C C C
= 90
• Lớp C có 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp 1 học sinh:
⇒ Số cách chọn là:
1 1 2
5 4 3
C C C
= 60
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là:
120 + 90 + 60 = 270
Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 cách.
Bài 16: Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học sinh khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho
có ít nhất 5 học sinh khối A và đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn.
Lời giải:

• Số cách chọn 2 học sinh khối C là:
2
5
C
= 10
• Chọn 13 học sinh trong số 25 học sinh khối A và B. Số cách chọn bất kì là:
13
25
C
= 5200300
Số cách chọn được 4 học sinh khối A và 9 học sinh khối B là:
4 9
15 10
C C

Số cách chọn được 3 học sinh khối A và 10 học sinh khối B là:
3 10
15 10
C C

⇒ Số cách chọn sao cho có nhiều nhất 4 học sinh khối A là:

4 9
15 10
C C
+
3 10
15 10
C C
= 13650 + 455 = 14105

Khóa học VIP13 mơn Tốn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH!
⇒ Số cách chọn sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A là:

(
)
− +
13 4 9 3 10
25 15 10 15 10
C C .C C .C
= 5186195
• Vậy số cách chọn sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A là:

(
)
 
− +
 
2 13 4 9 3 10
5 25 15 10 15 10
C C C .C C .C
= 51861950
Bài 17: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân cơng đội
thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
Lời giải:
Có
1 4
3 12
C C
cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất. Với mỗi cách phân công

các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất, thì có
1 4
2 8
C C
cách phân công các thanh niên tình
nguyện về tỉnh thứ hai. Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất và
tỉnh thứ hai, thì có
1 4
1 4
C C
cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ ba.
Vậy tất cả có:
1 4
3 12
C C
.
1 4
2 8
C C
.
1 4
1 4
C C
= 207900 cách phân công.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết
rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 bài
tập. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi?
ĐS:

•
Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập:
2 1
4 6
. 36
C C =


•
Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập:
1 2
4 6
. 60
C C
=

Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi.
Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một
ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu:
a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý. b) Có 1 nam và 3 nữ. c) Có 2 nam và 2 nữ.
d) Có ít nhất 1 nam. e) Có ít nhất 1 nam và 1 nữ.
ĐS: a)
4
40
C
b)
1 3
25 15
.
C C

c)
2 2
25 15
.
C C
d)
1 3 2 2 3 1 4
25 15 25 15 25 15 25
. . .
C C C C C C C
+ + +

e)
4 4 4
40 25 15
C C C
− −

Bài 3: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì
thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm
như vậy?
ĐS: 1200.
Bài 4: Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó, có bao nhiêu cách lấy
được:
a) 4 viên bi cùng màu? b) 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh?
ĐS: a) 20. b) 150.
Bài 5: Từ 20 người, chọn ra một đồn đại biểu gồm 1 trưởng đồn, 1 phó đồn, 1 thư ký và 3 ủy viên.
Hỏi có mấy cách chọn?
ĐS: 4651200.
Bài 6: Từ 5 bơng hồng vàng, 3 bơng hồng trắng và 4 bơng hồng đỏ (các bơng hoa xem như đơi một khác

nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bơng, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó:
a) Có đúng 1 bơng hồng đỏ?
b) Có ít nhất 3 bơng hồng vàng và ít nhất 3 bơng hồng đỏ?
ĐS: a) 112 b) 150.