Bài tập lớn số 2 phần tử hữu hạn

Bài tập lớn phần tử hữu hạn
Câu hỏi:
1. Trong nhóm PP Số còn những PP nào nữa?
2. Hãy nêu sự khác nhau chính giũa PP SFHH và PP PTHH?
3. Hãy cho biết tên v các chức năng cơ bản cũng nh nhợc điểm của những phần mềm
thơng mại ứng dụng PP PTHH?
4. Hãy cho biết các loại phần tử thanh và ma trận độ cứng phần tử của từng loại?
5. Trình bày tọa độ tự nhiên trong phần tử một chiều, 2 chiều và 3 chiều?
6. Trình bày tích phân số?
7. Trình bày khái niệm, cách xác định ma trận độ cứng, véc tơ tai trọng
trong phần tử đẳng tham số của phần tử lục diện 8 điểm nút?
8. Các phơng trình cơ bản của PP PTHH trong bài toán động?
9. Khái niệm, ý nghĩa và các loại phần tử bậc cao?
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 1
Bài tập lớn phần tử hữu hạn
Câu 1: Trong nhóm PP Số còn những PP nào nữa?
Phơng pháp phần tử hữu hạn là phơng pháp số để giải các bài toán đợc mô tả
bởi các phơng trình vi phân riêng phần với các điều kiện biên cụ thể
phơng pháp sai phân hữu hạn là một phơng pháp khác để giải phơng trình vi
phân từng phần
phơng pháp lặp đơn
phơng pháp lặp jacobi
phơng pháp khử Gauss- Seidel
Câu 2: Hãy nêu sự khác nhau chính giữa phơng pháp sai phân hữu hạn và phơng
pháp phần tử hữu hạn ?
Phơng pháp SPHH là một phơng pháp khác để giải phơng trình vi phân từng
phần. Sự khác nhau giữa PP SPHH và PP PTHH là:
PP SPHH xấp xỉ bài toán phơng trình vi phân, còn PP PTHH thì xấp xỉ lời giải
của bài toán này.
Điểm đặc trng nhất của PP PTHH là nó có khả năng áp dụng cho những bài
toán hình học và những bài toán biên phức tạp với mối quan hệ rời rạc. Trong

khi đó PP SPHH về căn bản chỉ áp dụng đợc trong dạng hình chữ nhật với mối
quan hệ đơn giản, việc vận dụng kiến thức hình học trong PP PTHH là đơn giản
về lý thuyết.
Điểm đặc trng của PP SPHH là có thể dễ dàng thực hiện đợc
Trong một vài trờng hợp, PP SPHH có thể xem nh là một tập con cảu PP PTHH
xấp xỉ. Việc lựa chọn hàm cơ sở là hàm không đổi từng phần hoặc là hàm delta
Dirac. Trong cả hai phơng pháp xấp xỉ, việc xấp xỉ đợc tiến hành trên toàn
miền, nhng miền đó không cần liên tục. Nh một sự lựa chọn , nó có thể xác định
một hàm trên một miền rời rạc, với kết quả là toán tử vi phân liên tục không
sinh ra chiều dài hơn. Tuy nhiên việc xấp xỉ này không phải là PP PTHH.
Có những lập luận để lu ý đến cơ sở toán học của việc xấp xỉ Phần tử hữu hạn
trở nên đứng đắn hơn, ví dụ, bởi vì trong PP SPHH đặc điểm của việc xấp xỉ
những điểm lới còn hạn chế.
Kết quả của việc xấp xỉ bằng PP PTHH thờng chính xác hơn PP SPHH, nhng
điều này còn phụ thuộc vào nhiều vấn đề khác và một số trờng hợp đã cho kết
quả trái ngợc.
Nói chung PP PTHH là một phơng pháp thích hợp để phân tích các bài toán về
kết cấu ( giải các bài toán về biến dạng và ứng suất của vật thể dạng khối hoặc động
lực học kết cấu ), trong khi đó phơng pháp tính trong động lực học chất lỏng có
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 2
Bài tập lớn phần tử hữu hạn
khuynh hớng sử dụng PP SPHH hoặc những phơng pháp khác nh phơng pháp khối l-
ợng hữu hạn. Những bài toán của động lực học chất lỏng thờng yêu cầu phải rời rạc
hoá bài toán thành một số lợng lớn những ô vuông hoặc những điểm lới. Vì vậy mà
nó đòi hỏi cách giải phải đơn giản hơn để xấp xỉ các ô vuông. Điều này đặc biệt
đúng cho cho các bài toán về dòng chảy ngoài hoặc việc mô phỏng thời tiết ở một
vùng rộng lớn.
Câu 3 : Hãy cho biết tên v các chức năng cơ bản cũng nh nhợc điểm của những
phần mềm thơng mại ứng dụng PP PTHH?
Phần mềm SAP.

Phần mềm SAP (Structural Analysis Program) đợc bắt đầu từ các kết quả nghiên
cứu phơng pháp số và phơng pháp Phần tử hữu hạn trong tính toán cơ học.
Phần mềm cho phép phân tích các bài toán thờng gặp của kết cấu công trình,
tích hợp các chức năng phân tích kết cấu bằng phơng pháp phần tử hữu hạn và choc
năng thiết kế kết cấu thành một.
Phần mềm hỗ trợ nhiều tiêu chuẩn thiết kế với khả năng giải các bài toán lơn
không hạn chế số ẩn số và thuật toán giải ổn định và hiệu suất cao.
Phần mềm đợc áp dụng cho nhiều loại kết cấu khác nhau nh:
Thanh dầm,dàn.
Tấm vỏ, màng.
Phần tử 2 chiều ứng suet phẳng biến dạng phẳng, đối xứng trục.
Phần tử khối.
Phần tử phi tuyến.
Với các dạng liên kết bao gồm:
Liên kết cứng.
Liên kết đàn hồi.
Liên kết cục bộ khử bớt các thành phần phản lực.
Có thể dùng nhiều hệ toạ độ để mô hình hoá tong phần của kết cấu.
Vật liệu có thể là tuyến tính đẳng hớng hoặc trục hớng và phi tuyến.
SAP có khả năng giao tiếp với một số phần mềm khác đặc nh Auto CAD 14.
Phần mềm Geo Slope.
GeoSlope là bộ phần mềm nổi tiếng về địa kỹ thuật.
SLOPE/W - tính ổn định mái dốc,
SEEP/W tính thấm theo phơng pháp phần tử hữu hạn (FEM),
SIGMA/W tính ứng suất biến dạng theo FEM,
TEMP/W tính truyền nhiệt theo FEM,
CTRAN/W tính truyền chất,
QUAKE/W tính toán động đất.
Phân tích ổn định mái đất trong khối đất bão hoà và không bão hoà.
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 3

Bài tập lớn phần tử hữu hạn
Mái dốc không đồng nhất trên nền đá, mặt trợt xác định theo từng khối, mái đất
phải chịu tải trọng ngoài, có gia cố.
ổn định mái dốc trong điều kiện có áp lực nớc lỗ rỗng phức tạp.
ổn định mái dốc theo ứng suất phân tố.
ổn định mái dốc có xét tới tác động động đất và phân tích ổn định mái dốc theo
lý thuyết độ tin cậy.
Câu 4: Hãy cho biết các loại phần tử thanh và ma trận độ cứng của từng loại
Trong kết cấu thanh, các thành phần chuyển vị của phần tử là hàm của một biến,
tức là chỉ thay đổi dọc trục thanh, do đó bài toán hệ thanh là bàI toán 1 chiều.
ở kết cấu giàn các phần tử chịu biến dạng kéo hoặc nén, còn ở kết cấu khung phẳng
các phần tử còn chịu thêm biến dạng uốn. Nếu là khung không gian còn có thêm biến
dạng xoắn.
Ta có các loại phần tử thanh sau:
- Phần tử thanh chịu kéo nén dọc trục
- Phần tử thanh chịu kéo nén dọc trục
- Phần tử giàn phẳng
- Phần tử giàn phẳng
- Phần tử dầm chịu uốn phẳng
- Phần tử dầm chịu uốn phẳng
- Phần tử thanh chịu xoắn thuần túy
- Phần tử thanh chịu xoắn thuần túy
- Phần tử khung phẳng
- Phần tử khung phẳng
- Phần tử khung không gian
- Phần tử khung không gian
- Phần tử giàn không gian
- Phần tử giàn không gian

1.

1.
Phần tử thanh chịu kéo nén dọc trục: Có một phần tử thanh hình lăng trụ có tiết
Phần tử thanh chịu kéo nén dọc trục: Có một phần tử thanh hình lăng trụ có tiết
diện A không đổi, chiều dàI a, chịu kéo hoặc nén dọc trục d
diện A không đổi, chiều dàI a, chịu kéo hoặc nén dọc trục d
ới tác dụng của tải
ới tác dụng của tải
trọng phân bố dọc trục q(x)
trọng phân bố dọc trục q(x)
Ma trận độ cứng của phần tử :
2. Phần tử giàn phẳng:
Ma trận độ cứng phần tử giàn phẳng :
3. Phần tử dầm chịu uốn phẳng
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 4
z
i j
u
i
u
j
u(x)
x
a
U
i
U
j
q(x)
[ ] [ ] [ ][ ]

=

==

a
EA
a
EA
a
EA
a
EA
Adx
a
1
a
1
E
a
1
a
1
dVBDBk
a
0Ve
T
[ ]

=
0000
0
a
EA
0
a
EA
0000
0
a
EA
0
a
EA
k
Bài tập lớn phần tử hữu hạn

4. phần tử thanh chịu xoắn thuần túy
Ma trận độ cứng :
5.
5.
Phần tử khung phẳng
Phần tử khung phẳng
6. Phần tử giàn không gian
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 5
K
EA
a
0
0
EA

a
0
0
0
12
EJz
a
3
0
0
12

EJz
a
3

0
0
0
12
EJy
a3
0
0
12
EJy
a3
EA

a
0
0
EA
a
0
0
0
12

EJz
a
3
6

EJy
a

2
0
12
EJz
a
3
0
0
0
12
EJy
a
3
0
0
12
EJy
a
3

:=
a
[ ]

=
a
GJ
a
GJ
a
GJ
a
GJ
k
xx
xx
Bài tập lớn phần tử hữu hạn
7. Phần tử khung không gian
Câu 5: Trình bày tọa độ tự nhiên trong phần tử 1 chiều, 2 chiều và 3 chiều
Hệ tọa độ tự nhiên là một hệ tọa độ địa phơng cảu từng phần tử, nó cho phép
xác định vị trí của một đIúm bất kỳ trong phần tử bằng một tập hợp các số không thứ
nguyên có giá trị nằm trong khoảng từ 0 đến 1 hoặc từ 1 đến 1. Đặc đIúm chủ yếu

cảu hệ tọa độ này là nó thay đổi tuyến tính từ 0 đến 1 hoặc từ 1 đến 1. Nh vậy vị trí
của một điểm bất kỳ trong phần tử, với hệ tọa độ này đợc biểu diễn qua tọa độ các
đỉnh.
Tọa độ tự nhiên của phần tử 1 chiều tuyến tính
Vị trí của điểm P bất kỳ trong tọa độ tổng quát Ox đợc xác định bằng tọa độ x,
x biến đổi từ
1
x
đến
2
x
.
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 6
EA
a
0
0
0
0
0
EA
a

0
0
0
0
0
0
12

EJz
a
3
0
0
0
6
EJz
a
2
0
12

EJz
a
3
0
0
0
6
EJz
a
2
0
0
12
EJy
a
3
0

6

EJy
a
2
0
0
0
12

EJy
a
3
0
6

EJy
a
2
0
0
0
0
GJx
a
0
0
0
0
0

GJx
a
0
0
0
0
6

EJy
a
2
0
4
EJy
a
0
0
0
6
EJy
a
2
0
2
EJy
a
0
0
0
0

0
0
4
EJz
a
0
6

EJz
a
2
0
0
0
2
EJz
a
EA

a
0
0
0
0
0
EA
a
0
0
0

0
0
0
12

EJz
a
3
0
0
0
6
EJz
a
2
0
12

EJz
a
3
0
0
0
6

EJz
a
2
0

0
12

EJy
a
3
0
6
EJy
a
2
0
0
0
12
EJy
a
3
0
6
EJy
a
2
0
0
0
0
GJx

a

0
0
0
0
0
GJx
a
0
0
0
0
6

EJy
a
2
0
2
EJy
a
0
0
0
6
EJy
a
2
0
4
EJy

a
0
0
0
0
0
0
2
EJz
a
0
6

EJz
a
2
0
0
0
4
EJz
a

K
=
K
Bài tập lớn phần tử hữu hạn
Tọa độ tự nhiên của điểm P gồm 2 tọa độ
12
2
1
)(
xx
xx
xL


=

12
1
2
)(
xx
xx
xL


=

Tại nút 1 (
1
xx =
) : L1 = 1 ; L2 = 0
Tại nút 2 (
2
xx =
) : L1 = 0 ; L2 = 1
L1(x) + L2(x) = 1
Vị trí của điểm P đợc xác định qua hệ tọa độ tự nhiên :
x= L1(x)x1 + L2(x)x2
Biểu thức này cũng đúng với hàm chuyển vị :
U(x) = L1(x)u1 + L2(x)u2
Ta thấy các tọa độ tự nhiên L1, L2 cũng là các làm dạng N1, N2 của phần tử 1
chiều tuyến tính:
N1 = L1 ; N2 = L2 ; [N] = [ L1, L2 ]
Vi phân của chuyển vị :
x
L
L
u
x
L
L
u
dx
du

+




=
2
2
1
1
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 7
Bài tập lớn phần tử hữu hạn
Trong đó :
12
1
1
xxx
L

=



12
2
1
xxx
L

=


Khi tính ma trận độ cứng còn cần sử dụng đến tích phân của tích L1(x), L2(x).
Tích phân này có thể tính theo biểu thức :
)(
)1(
!!
)()(
122
2
1
1
xxdxxLxL
x
x

++
=




Tọa độ tự nhiên của phần tử tam giác ( phần tử 2 chiều tuyến tính )
Vị trí điểm P trong phần tử tam giác trong tọa độ XOY đợc xác định bằng vị trí vec
tơ
OP

2133
eejyixyjxir

+++=+=
Nếu ta đa vào tọa độ tự nhiên :
31
1
l
L

=

32
2
l
L

=
thì ta có :
2232113133
eLleLljyixr +++=
Bởi vì :
jyyixxel )()(
3131131
+=
jyyixxel )()(
3232232
+=
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 8
Bài tập lớn phần tử hữu hạn
nên
jyLLyLyLixLLxLxLr ])1([])1([

32122113212211
+++++=
x = L1x1 + L2x2 + L3x3
y = L1y1 + L2y2 + L3y3
Trong đó : L3 = 1 L1 L2





















=

3
2
1
321
321
1111 L
L
L
yyy
xxx
y
x

=










y
x
cba
cba
cba
L
L
L 1

2
1
333
222
111
3
2
1
Trong đó










=
111
2
1
321
321
yyy
xxx
jkkji
yxyxa =

kji
yyb =

jki
xxc =
là diện tích phần tử tam giác, còn các chỉ số i, j, k lấy hoán vị vòng các chỉ số
1,2,3.
Phơng trình có thể viết lại thành:


=
1
1
),( yxL



=
2
2
),( yxL



=
3
3
),( yxL
trong đó:
33

221
1
1
1
2
1
yx
yx
yx
=

33
11
1
1
1
1
2
1
yx
yx
yx
=

yx
yx
yx
1
1
1

2
1
22
11
1
=
Là diện tích các tam giác giới hạn bởi điểm P(x,y) với các đỉnh tam giác. Các
tam giác này ứng với các nút đối diện.
Li (i=1,2,3) gọi là tọa độ diện tích. Tọa độ diện tích có thể coi nh hàm dạng của
phần tử tam giác có mô hình chuyển vị là tuyến tính, tức là Ni = Li.
Gọi f là hàm của tọa độ diện tích f(Li) thì đạo hàm theo x và y có dạng:
[ ]


=


=
= i
xy
i
xy
xy
i
bif
x
L
fLf
2
1

)(
1
3
1

[ ]


=


=
= i
xyi
i
xy
xy
i
fc
y
L
fLf
2
1
)(
1
3
1
Diện tích của phân tố tam giác của phần tử trong hệ tọa độ Li có dạng :
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 9

Bài tập lớn phần tử hữu hạn
212132212313
2sinsin dLhdLdLhdLldLdLlldddF ====

Ta có tích phân (Li) trên diện tích tam giác:
2
1
0
21
0
121
),(2)( LdLLLdFL
L
i







=



Trong trờng hợp hàm dới dấu tích phân là tọa độ Li và bậc nhất và bậc 2 thì tích
phân có dạng:
3

=

dFL
i

12

=

dFLL
ji

6
2

=

dFL
i
Trờng hợp Li bậc cao ta có dạng tổng quát:

+++
=

2
)!2(
!!!
321

dFLLL
Tọa độ tự nhiên cảu phần tử 3 chiều
Đối với phần tử 3 chiều ta sử dụng tọa độ thể tích dới dạng tứ diện. Quan hệ giữa
tọa độ tổng quát x, y, z và tọa độ thể tích Li (i=1,2,3,4) nh sau:
44332211
xLxLxLxLx +++=
44332211
yLyLyLyLy +++=
44332211
zLzLzLzLx +++=
Từ phơng trình này ta có quan hệ ngợc:
)(
6
1
zdycxba
V
L
iiiii
+++=
(i=1, 2, 3, 4)
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 10
Bài tập lớn phần tử hữu hạn
Trong đó

=
444
333
222
111
1
1
1
1
6
1
zyx
zyx
zyx
zyx
V

=
444
333
222
1
zyx
zyx
zyx
a











=
44
33
22
1
1
1
1

zy
zy
zy
b










=
44
33
22
1
1
1
1
zx
zx
zx
c

=
1
1
1
44
33
22
1
yx
yx
yx
d
Các hệ số còn lại xác định bằng cách hoán vị vòng các chỉ số 1, 2, 3, 4
Chú ý: dấu của các hệ số ai, bi, ci, di xác định theo quy tắc sau đây: hệ tọa độ chọn
theo quy tắc tam diện thuận, còn các nút đánh số thứ tự theo chiều ngợc chiều kim
đồng hồ.
Các biểu thức vi phân và tích phân trong hệ tọa độ thể tích:

=


=
= i

Li
i
i
Lix
bif
x
L
ff
'
4
1
''
6
1

=


=
= i
Lii
i
i
Liy
fc
y
L
ff
'
4

1
''
6
1

=


=
= i
Lii
i
i
Liz
fc
z
L
ff
'
4
1
''
6
1
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 11
Bài tập lớn phần tử hữu hạn
VdVLLLL
V
6
)3(

4321
++++
=




Đối với phần tử không gian có dạng lục diện trong hệ tọa độ tổng quát thì phải
đa về dạng hình hộp trong hệ tọa độ tự nhiên. Quan hệ giữa tọa độ tổng quát và tọa độ
các nút có dạng:


=
=
1i
ii
xLx



=
=
1i
ii
yLy



=
=

1i
ii
zLz
Trong đó:
)1)(1)(1(
8
1
111

+++=
i
L
Câu 6: Trình bày về tích phân số
Khi tính ma trận độ cứng và véc tơ tải trọng nút của phần tử đẳng tham số 3
chiều ta cần tính tích phân sau đây:


1
1
1
1
1
1
),,(

dddf
Hàm f dới dấu tích phân rất phức tạp cho nên để đợc kết quả ngời ta dùng phép
tích phân số. Nội dung cảu phép tích phân này là chọn một số điểm trong phần tử, gọi
là điểm tích phân rồi tìm giá trị số của hàm f tại điểm đó, sau đó căn cứ vào giá trị đó
để tìm giá trị số cảu biểu thức tích phân.

Có một số phơng pháp tích phân nh phơng pháp Newton-Cotes, phơng pháp
Gauss. Trong phơng pháp PTHH thờng hay dùng tích phân Gauss, vì phơng pháp này
có thể sử dụng tơng đối ít số điểm tích phân mà vẫn cho độ chính xác cao.
Đối với hàm một biến công thức tích phân Gauss có dạng
I=
)()(
1
1
1
i
n
i
fHdf




=
Theo công thức này giá trị tích phân của hàm
)(

f
trong khoảng -1 đến 1đợc
tính bằng tổng các tích số của hệ số tích phân với các giá trị hàm tại các điểm rời rạc
i=1, 2, n, với n là số điểm tích phân, hệ số tích phân Hi là trọng số. Trọng số này đợc
xác định từ điều kiện hàm tích phân xấp xỉ với đa thức biểu diễn qua các điểm đó. Vị
trí các điểm tích phân đợc xác định sao cho với một số lợng điểm nhất định thì tích
phân đạt đợc độ chính xác cao nhất, và chọn đối xứng với nhau qua tâm cảu khoảng
cách tích phân. Các điểm đối xứng nhau thì có trọng số bằng nhau.
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 12

Bài tập lớn phần tử hữu hạn
)(

f f

( ) )(

f
Tơng ứng với số lợng điểm tích phân khác nhau, ngời ta đã tính và lập thành
bảng giá trị tọa độ các điểm tích phân và giá trị các trọng số.
Ta thử tính một vài trờng hợp:
Với 1 điểm tich phân ta có 2 ẩn là Hi và
i

cần tìm, nếu lấy 4 điểm tích phân sẽ
có 2n ẩn. Do đó phải chọn hàm
)(

f
gần đúng là một đa thức bậc 2n-1.
Thí dụ lấy 2 điểm tích phân (n=2) ta có:
3
3
2
210
)(

+++=f
Nếu tích phân trực tiếp ta đợc:
2

1
1
0
3
2
2)(

+==


dfI
Nếu tích phân gần đúng ta có:
[ ]
)(2)()()(
2
20
1
*
iii
n
i
HffHfHI

+=+==

Sai số giữa tích phân trực tiếp và tích phân số là:

+==
2
20
*
3
1
2)1(2
i
HHII

Sử dụng điều kiện cực tiểu của sai số này ta có:
0
0
=



hay 1-H = 0, do đó H=1
và
0
2
=



hay
0
3

1
2
=
i

, do đó
57735,0=
i

Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 13
Bài tập lớn phần tử hữu hạn
Nh vậy ta đợc : I* = 1.[f(-0,57735)+f(0,57735)]
Tơng tự có thể xác định đợc các trọng số và các toạ độ điểm tích phân tơng ứng
với n=1, 3, 5
Trờng hợp chỉ lấy 1 điểm tích phân thì hàm
)(

f
chọn là đa thức bậc nhất

10
)( +=f
do đó


==
1
1
0
2)(

dfI
)()(
10
1
*
i
n
i
HfHI

+==

Sai số giữa tích phân chính xác và tích phân gần đúng là:
( )
i
HII

100
*
2 +==
Sử dụng điều kiện cực tiểu của sai số này ta có:
0
0
=



do đó H=2
và

0
1
=



do đó
0=
i

Nh vậy giá trị tích phân số là: I=2f(0)
Đối với hàm 2 biến ta tìm giá trị số của tích phân :


1
1
1
1
),(

ddf
Trớc hết tính tích phân theo

(
coi là hằng số)
)(),(),(
1
1
1

==



fHdf
n
i
Tiếp theo ta có
)()(),(
1
1
1
1
1
1
1
j
n
j
Hdddf





==
Nh vậy đối với hàm 2 biến công thức tích phân Gauss có dạng nh sau:
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 14
Bài tập lớn phần tử hữu hạn
),(),(

1 1
1
1
1
1
jii
n
j
n
i
j
fHHddfI



= =

==
Số điểm tích phân theo một phơng là n, theo 2 phơng là n
2
.
Đối với hàm 3 biến công thức tích phân Gauss có dạng:
),,(),,(
1 1 1
1
1
1
1
1
1

mjimJ
n
m
n
j
n
i
i
fHHHdddf



= = =

=
Câu hỏi 7: Trình bày khái niệm, cách xác định ma trận độ cứng, véc tơ tải trọng
trong phần tử đẳng tham số của phần tử lục diện 8 điểm nút?
1. Khái niệm:
Phần tử lục diện 8 nút là phần tử gồm 8 nút, các thông số cơ bản tại mỗi nút là
u, v, w nên phần tử có 24 bậc tự do. Phần tử lục diện có dạng bất kỳ trong hệ toạ độ
tổng quát nếu coi là phần tử đẳng tham số thì việc tính toán sẽ đơn giản hơn.
2. Xác định ma trận độ cứng và véc tơ tải trong phần tử đẳng tham số của phần
tử lục diện 8 nút:
Phần tử chuẩn là một hình lập phơng trong hệ toạ độ tự nhiên. Khi đó hàm dạng
của phần tử và hàm nội suy toạ độ là nh nhau. Hàm chuyển vị là đa thức có dạng:
u =
1
+
2
x +

3
y +
4
z +
5
xy +
6
yz +
7
zx +
8
xyz. (1.1)
Ta đã có hàm dạng:
N
i
(,,) = 1/8*(1+
i
)(1+
i
)(1+
i
) (i=1,2,,8) (1.2)
Quan hệ giữa toạ độ tự nhiên và toạ độ tổng quát vuông góc, nh đã biết là:
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 15
Bài tập lớn phần tử hữu hạn
x=
8
1
i i
i

N x
=

; y =
8
1
i i
i
N y
=

; z =
8
1
i i
i
N z
=

Hay viết dới dạng ma trận:
1
1
1
8
8
8
.
.
.
x

y
z
x
y
z
x
y
z








=









Trong đó hàm nội suy toạ độ
[ ]
1 2 8
1 2 8

3 24
1 2 8
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
x
N N N
N N N N
N N N

ữ
=
ữ
ữ

L L L
K L L L
L L L
(1.3)
x
i
, y
i
, z
i
là toạ độ của nút i.
N
i
(,,) là hàm của toạ độ tự nhiên, còn x
i

, y
i
, z
i
là toạ độ của nút trong hệ toạ
độ tổng quát. Mặt khác, có thể biểu diễn hàm chuyện vị qua chuyển vị nút:
u=
8
1
i i
i
N u
=

; v =
8
1
i i
i
N v
=

; w =
8
1
i i
i
N w
=

nghĩa là hàm nội suy chuyển vị cũng là hàm nội suy toạ độ.
Biến dạng của phần tử:
{ }
[ ]
{ }
B

=
Trong đó ma trận tính biến dạng:
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 2 8
6 24x
B B B B

=

L
(1.4)
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 16
Bµi tËp lín phÇn tö h÷u h¹n
[ ]
6 3
0 0
0 0
0 0
0
0
0
i
i

i
i
i i
x
i i
i i
N
x
N
y
N
z
B
N N
y x
N N
z y
N N
z x
∂
 
 ÷
∂
 ÷
∂
 ÷
 ÷
∂
 ÷
∂

 ÷
 ÷
∂
=
 ÷
∂ ∂
 ÷
 ÷
∂ ∂
 ÷
∂ ∂
 ÷
 ÷
∂ ∂
 ÷
∂ ∂
 ÷
 ÷
∂ ∂
 
(1.5)
Nh ta ®· biÕt
[ ]
1
i
i
i i
i
i
N

N
x
N N
J
y
N
N
z
ξ
η
ζ
−
∂ 
 
∂
 
 
∂
∂
 
 
 
∂ ∂
 
=
   
∂ ∂
   
   
∂

∂
   
∂
∂
 
 
(1.6)
Tõ (1.2) tÝnh ®îc:
1
(1 )(1 )
8
1
(1 )(1 )
8
1
(1 )(1 )
8
i
i i i
i
i i i
i
i ii i
N
N
N
ξ ηη ζζ
ξ
η ξξ ζζ
η

ζ ζζ ηη
ζ
∂
= + +
∂
∂
= + +
∂
∂
= + +
∂
(i=1,2,…,8)
TÝnh Jacobien cña phÐp biÕn ®æi to¹ ®é. Ta cã:
[ ]
8
1 2
8
1 2
3 3
8
1 2
x
N
N N
N
N N
J
N
N N
ξ ξ ξ

η η η
ζ ζ ζ
 ∂ 
∂ ∂
 
∂ ∂ ∂
 
 
∂
∂ ∂
=
 
∂ ∂ ∂
 
 
∂
∂ ∂
 
∂ ∂ ∂
 
L
L
L
(1.8)
TrÇn ViÖt Yªn - Líp ®êng « t« vµ x©y dùng ®êng thµnh phè k15 17
Bài tập lớn phần tử hữu hạn
Thay (1.7) vào (1.8) ta tính đợc ma trận
[ ]
J
, sau đó tính đợc ma trận nghịch đảo

[ ]
1
J

:
[ ]
* * *
11 12 13
1
* * *
21 22 23
* * *
31 32 33
J J J
J J J J
J J J


ữ
=
ữ
ữ

(1.9)
Thay vào (1.6) ta đợc:
* * *
11 12 13
* * *
21 22 23
* * *

31 32 33
i i i i
i i i i
i i i i
N N N N
J J J
x
N N N N
J J J
y
N N N N
J J J
z




= + +


= + +


= + +

(1.10)
Thay (1.10) vào (1.5) và (1.4) tìm đợc ma trận
[ ]
B
. Từ đó thiết lập đợc ma trận

độ cứng của phần tử và véc tơ tải phần tử theo các công thức đã biết:
[ ] [ ] [ ] [ ]
{ }
[ ]
{ }
24 24
T
x
V
T
V
K B D B J d d d
P N q J d d d


=
=


(1.11).
Câu 8: Các phơng trình cơ bản của Phần tử hữu hạn trong bài toán động.
1) Phơng trình động lực học.
Một kết cấu đang chuyển động ta tách ra một phân tố thì thể tích trong một đơn
vị thể tích của phân tố là:
{ } { } { } { }
f
t
f
t
pp

t





=

2
2
(8.1)
Trong đó :
{ }
t
p
là trọng lợng và các thể tích tích lũy khác,

{ }
f
t
2
2




là lực quán tính

{ }
f

t




là lực cản


là mật độ của vật liệu, tức là khối lợng của một đơn vị thể tích
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 18
Bài tập lớn phần tử hữu hạn
là hệ số cản, tức là lực cản trong một đơn vị thể tích khi tốc độ băng
một đơn vị.
Mặt khác ta có:

{ }
[ ]
{ }

Nf =
(8.2)
Trong đó :
[ ]
N
là ma trận các hàm dạng.
Thay (8.2) vào (8.1) ta đợc

{ } { }
[ ]
{ }

[ ]
{ }

t
N
t
Npp
t





=
2
2
(8.3)
Ta có
{ }
[ ]
{ }
dVpNP
T
V
e

=
=
[ ]
{ }

[ ] [ ]
{ }
[ ] [ ]
{ }

t
dVNN
t
dVNNdVpN
V
T
V
T
t
V
T







2
(8.4)
Ta đặt:
{ }
[ ]
{ }
dVpNP

t
T
V
e
t

=
- vectơ tải trọng tĩnh ở nút của phần tử (8.5)
[ ] [ ] [ ]
dVNNm
T
V


=
- ma trận khối lọng của phần tử (8.6)
[ ] [ ] [ ]
dVNNc
T
V


=
- ma trận cản phần tử (8.7)
{ }

t


=

.
- vận tốc nút của phần tử (8.8)
{ }

2
2

t


=






- gia tốc nút của phần (8.9)
Biểu thức (8.4) có thể viết thành:

{ } { }
[ ] [ ]

=

ê

cmpp
t
e
(8.10)
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 19
Bài tập lớn phần tử hữu hạn
Xét tới điều kiện cân bằng ở tất cả các nút trong kết cấu, ta có đợc phơng trình
cân bằng động lực học của toàn bộ kết cấu nh sau:

[ ]
{ }
[ ] [ ]
{ }
t
PMCK =

+






+

(8.11)
Trong đó:
[ ]
K
- ma trận độ cứng của toàn bộ kết cấu

{ }

- Véctơ chuyển vị nút của toàn bộ kết cấu

{ }
t
P
- Véctơ tải trọng tĩnh ở nút của toàn bộ kết cấu

[ ]
C
- ma trận cản của toàn bộ kết cấu

[ ]
M
- ma trận khối lợng của toàn bộ kết cấu
Trong trờng hợp kết cấu chịu tác động cỡng bức dới tác dụng của lực kích thích
thay đổi theo thời gian P(t) thì ta có:

[ ]
{ }
[ ] [ ]
{ }
)(

tPMCK
=






+

+

2) Ma trận khối lợng của phần tử
Ma trận khối lợng của phần tủ đợc xác định theo công thức sau:

[ ] [ ] [ ]
dVNNm
T
V


=

Khi tính các thành phần m
ij
trong ma trận này ta dùng các hàm dạng thì ta đợc
ma trận khối lợng tơng thích.Đó là một ma trận đối xứng bậc n, với n là số bậc tự do
của phần tử. Ta có

[ ]

=
kkkjk
kj
mmm
mmm
m



1
1111
(8.12)
Trong đó: k là số nút của phần tử. Kích thớc của ma trận com m
ij
bằng số bậc tự
do của nút. Thành phần m
ij
chính là lực tổng quát tại nút i theo phơng k do gia tốc tổng
quát bằng đơn vị tại nút j theo phơng l gây ra.
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 20
Bài tập lớn phần tử hữu hạn
m
ij
kl
i
k
j

i

l
j
1
Các dạng ma trận khối lợng của phần tử thanh và tấm trong các trờng hợp dao
động khác nhau, Tính theo công thức sau:

[ ] [ ] [ ]
dVNNm
T
V


=
(8.13)
a) Phần tử thanh dao động dọc trục:

a

[ ]










=

3
1
6
1
6
1
3
1
mm
dọc
(8.14)
Trong đó : m= aA, là khối l ợng, a làchiều dài phần tử, A diện tích mặt cắt
ngang của phần tử.
b) Phần tử thanh dao động uốn

a


[ ]

=
3222
22
2232
22
105
1
210
11
140
11
420
13
210
11
35
13

420
13
70
9
140
11
420
13
105
1
210
11
420
13
70
9
210
11
15
13
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
mm
uốn
(8.15)
c) Phần tử thanh dao động xoắn
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 21
Bài tập lớn phần tử hữu hạn

[ ]










=
3
1
6
1
6
1
3
1
o
xoan
mm
; (8.16)
m
o
= aJ
o

(8.17)
Trong đó : J
o
là mô men quán tính cực của mặt cắt.
Từ các công thức (8.14),(8.15) và (8.16) ta suy ra ma trận khối lợng tơng thích của
phần tử khung không gian nh sau:
[ ]

=
2
2
2
2
222
222
32
33
105
1
0
105
1
00
3
1

0
210
11
0
35
13
210
11
000
35
13
00000
3
1
140
1
000
420
13
0
105
1
0
140
1
0
420
13
000
105

1
00
3
1
00000
3
1
0
420
13
0
70
9
000
210
11
0
35
13
420
13
000
70
9
0
210
11
000
35
13

00000
6
1
00000
3
1
a
a
xm
xm
aa
aa
aaa
aaa
xm
xm
xm
xm
aaaa
aaaa
mm
o
oo
d) Phần tử tam giác 3 nút ở đỉnh của bài toán phẳng.
Ma trận khối lợng tơng thích có dạng:
m
ij
= tI
dxdyNN
j

A
i

(8.18)
Trong đó r - khối lợng riêng
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 22
Bài tập lớn phần tử hữu hạn
t - bề dầy phần tử
I - ma trận đơn vị cấp 2
Từ đó ta có:
[ ]

=
201010
020101
102010
010201
101020
010102
12
t
m

(8.19)
Trong đó :

là diện tích của phần tử.
Ma trận khối lợng tập trung:
m
ij
=
I
t
3


(8.20)
I là ma trận đơn vị cấp 6.
e) Phần tử hình chữ nhật có bốn nút ở đỉnh của bài toán phẳng.
[ ]

=
4
04

204
0204
10204
010204
2010204
02010204
36
t
m

(8.21)
f) Phần tử tấm chữ nhật chịu uốn có bốn nút ở đỉnh.
Phần tử này có 24 bậc tự do. Ma trận khối lợng tơng thích có dạng:
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 23
Bài tập lớn phần tử hữu hạn
[ ]

=
2
2
22
22
222
222
2222
2222
80
6380
4614613454
604227480
42401996380
27419912264614613454
3028116404219980
283011642602746380
11611639419927412264614613454
40421993028116604227480
4260276283011642401996380
119274122611611639427419912264614613454
a
abb
ab
aabaa
abbbabb

abaa
aabaaabaa
abbbabbbabb
ababab
aabababaaabaa
abbababbbabbbabb
bababab
m
3) Ma trận cản
Ma trận cản đợc xách định:

[ ] [ ] [ ]
dVNNc
T
V


=

Thành phần c
ịj
trong ma trận
[ ]
c
là tổng hợp các lực tác dụng tại nút i theo ph-
ơng k do tốc độ đơn vị tại nút j theo phơng l, trong khi tốc độ cũng nh chuyển vị và gia
tốc của tất cả các nút còn lại bằng không.
Ta giả thiết lực cản tỷ lệ với tốc độ chuyển dịch của phần tử.Ta có công thức xác
định ma trận cản của phần tử nh sau:

[ ] [ ] [ ]
( )
'
1
1
0
kamc
m
n
l
i


=

=

Trong đó:
[ ]
k
là ma trận độ cứng phần tử, a, l là các hệ số.
Nếu trong công thức trên chỉ lấy 2 số hạng thì.

[ ] [ ] [ ]
kamac
o 1
+=
(8.23)
Tức là tổ hợp tuyến tính của ma trận khối lợng và ma trận độ cứng.
4) Dao động tự do không có lực cản.

Trong phơng trình:
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 24
Bài tập lớn phần tử hữu hạn
[ ]
{ }
[ ] [ ]
{ }
t
PMCK =






+






+

Cho
[ ]
C
và
{ }
t

P
bằng 0, ta đợc phơng trình dao động tự do không có lực cản:
[ ]
{ }
[ ]
0
.
=






+ CK
(8.24)
Giả sử một kết cấu có dao động điều hòa sau đây:
{ }
t

cos
0
=
(8.25)
Thay (8.25) vào phơng trình (8 24) ta đợc:
[ ] [ ]
( )
{ }
0
0

2
= MK

(8.26)
Từ công thức trên ta có:
[ ] [ ]
( )
0
2
=
MK

(8.27)
Đây là hệ phơng trình đại số để xác định tần số dao động tự do của kết cấu.
Ma trận tổng thể
[ ]
K
và ma trận khối lợng
[ ]
M
đều là các ma trận vuông cấp n
(n là số bậc tự do của tất cả các nút), do đó hệ phơng trình đại số gồm n phơng trình
đối với
2

. Giải phơng trình ta tìm đợc n nghiệm thực dơng, tức n là giá trị dơng của
2

, tìm đợc n giá trị tần số riêng
i

(i=1,2,3,n). Mỗi giá trị của tần số riêng ứng với một dao động cụ thể, trong đó
tỉ số giữa các chuyển vị của các chuyển vị nút lại cha xác định. Thay
i

vào phơng
trình (8.26) ta tìm đợc vectơ riêng
{ }
0

, tơng ứng với mỗi tần số riêng, đó chính là biên
độ dao động của các nút tơng ứng với tần số thứ i.
Câu 9: Khái niệm, ý nghĩa và các loại phần tử bậc cao?
- Khái niệm phần tử bậc cao:
Một phần tử hữu hạn nếu trờng chuyển vị của nó đợc mô tả bằng các đa thức
xấp xỉ bậc nhất dẫn đến biến dạng và ứng suất không đổi trong phần tử, đợc gọi là
phần tử tuyến tính. Để phản ánh tốt hơn trạng thái biến dạng và ứng suất của phần tử
ngời ta còn mô tả trờng chuyển vị bằng các đa thức xấp xỉ bậc 2 hoặc cao hơn. Các
phần tử nh vậy gọi là phần tử bậc cao.
- ý nghĩa phần tử bậc cao:
Trần Việt Yên - Lớp đờng ô tô và xây dựng đờng thành phố k15 25