Bài giảng Đường cong chuyển tiếp

Đờng klotoide
Đờng klotoide là đờng phù hợp nhất để làm đờng cong chuyển tiếp trong số các
đờng cong đã đợc nghiên cứu từ trớc đến nay. Đối với đờng ôtô có tốc độ tính toán
từ 60km/h trở lên nó là một yếu tố tuyến quan trọng để cải thiện hình dạng đờng
ôtô.Trong đoạn sử dụng của đờng cong này nó lệch rất ít so với bánh chuyển hớng
của xe ô tô trong quá trình xe tăng hoặc giảm tốc (xem hình 21). Ngời ta sử dụng đ-
ờng klotoide không chỉ để làm đờng cong chuyển tiếp mà còn sử dụng làm yếu tố
tuyến. Ông Max.v Leber nghiên cứu đờng klotoide ngay từ năm 1860. Trong xây
dựng đờng ô tô đờng cong này đợc ông L.Oerley sử dụng năm 1937 vì lý do động
lực học chạy xe, nhng do khó thực hiện nên nó đợc thay bằng đờng cong tròn nhiều
bán kính (tiêu chuẩn thiết kế đờng Đức năm1937). Chỉ sau khi bảng cắm đờng cong
klotoide đợc xuất bản thì nó mới đợc sử dụng trong thực tế. Bảng cắm đờng cong
hoàn chỉnh đầu tiên đợc xuất bản năm 1954 bởi các tác giả H.Kasper, W.Schrba và
H.Lorenz.
Một xe chạy với tốc độ không đổi và bánh chuyển hớng của nó quay với tốc độ
góc không đổi sẽ vẽ lên quỹ đạo của đờng cong klotoide. Đó là một đờng cong mà
độ cong liên tục tăng lên đều đặn theo cùng một hớng từ 1/R=0 đến 1/R= (xem
hình 24). Tích số của chiều dài đờng cong và bán kính tại điểm đang xét là một
hằng số:
L.R = kosntant
Hằng số khi định nghĩa đờng cong đợc thay bằng một thông số viết dới dạng bình
phơng (tơng tự nh là vế trái của phơng trình). Theo đó lập đợc phơng trình của đờng
cong klotoide :
L.R = A
2
Thông số đờng cong klotoide :
có chức năng giống hệt nh bán kính R của đờng cong tròn, nó phục vụ cho việc
phóng to thu nhỏ đờng cong. Có một số lợng vô hạn đờng klotoide tơng tự nhau về
mặt hình học, khi phóng to hoặc thu nhỏ thì chiều dài của đờng cong thay đổi tỉ lệ
thuận với thông số, tất cả các góc và những trị số tơng quan khác giữ nguyên không
đổi (hình 25). Góc giữa một đờng tang và đờng tang chính tại bất kỳ một vị trí nào

LRA .=
có trị số khác nhau, nó tăng lên cùng với chiều dài đờng cong khi thông số đờng
cong không đổi theo quy luật:
Chuyển sang góc:
Từ hai phơng trình cơ bản (A:) cho phép ta thiết lậ các công thức khác để khi
biết hai đại lợng xuất phát bất kỳ có thể tìm đợc tất cả những giá trị khác còn lại:
( là độ dài của đờng cong)

Các vị trí đặc trng và các vị trí về hình dạng của đờng klotoide
Một điểm trên đờng klotoide mà tại đó có R=L=A gọi là điểm đặc trng. Góc
giữa các đờng tang ở vị tí này bằng: =0.5 hoặc =31.8310 grad. Nhờ điểm đặc trng
có thể xác định đợc thông số của bất kỳ một đờng klotoide nào bằng cách đo chiều
dài L đến điểm tiếp xúc của đờng tang có góc =0.5 (31.8310 grad) (hình 26).
Ngoài ra còn các điểm hình dạng, những điểm ấy có các số tròn số khi tính tỷ số
A/R.
Theo hình 26 đợc biết là đờng klotoide từ điểm xuất pháp (điểm chuyển) đến
điểm hình dạng 6 và 4 (góc 1 grad
hoặc 2 grad) không phù hợp để làm
đờng cong chuyển tiếp. Ngợc lại
đoạn đờng klotoide vợt quá điểm
đặc trng 1 có sự thay đổi bán
kính quá lớn. Nó rất ít khi đợc sử
dụng để cấu tạo những đờng
cong trong đờng ô tô, trong đờng
tầu điện đôi khi ngời ta có dùng.
Phạm vi sử dụng thông thờng
nhất của đờng klotoide với t cách

2

3

1
L
1

L
2
L
3
1 2 3
R
=
8
R
1
2
R
3
R
Hình 2 : Các nhánh đ ờng klotoide có độ lớn
khác nhau (A1 < A2 < A3) và chung một đ ờng tang

=0,5 (31,381 grad)
R
=
8
1
A
=

R
6
1
A
=
R
5
1
A
=
R
4
1
A
=
R
3
1
A
=
R
2
2
A
=
R
3
A

=

R

=

L
A

=


2

.

R
A

=

2

.

R
5
2
R
A
=

0,71 ( = 63,66 grad)

0,50 ( = 127,32 grad)

0,40 ( = 198,76 grad)

1
1,5
2
3
4
5
6
(




~

1
4


g
r
a
d
)

(




~

8



g
r
a
d
)

(




~

3
,
5

g
r

a
d
)

(




~

2




g
r
a
d
)

(




~

1

,
3

g
r
a
d
)

(




~

1





g
r
a
d
)

Hình 3 : Các vị trí đặc tr ng và các vị trí
định dạng của đ ờng klotoide

R
L
.2

=

R
L
Grad
.2
6620,63=

LRA .=
R
A
L
2
=
RL .2

=

2AL =

2
L
A =

2RA =
L

A
R
2
=

2
L
R =

2
A
R =
R
L
.2

=

2
2
.2

A
L
=

2
2
.2

R
A
=

+Y
+X
-X
-Y

A
L=
R=0
50
0
2
+
A
2

+
A
2

-
A
2

-
A
2

2

A
grad
8
R=0
8
L=
-L
+L
R=
L= 0
8
_
+
Đ ờng tang chính
Hình 1 : Đ ờng klotoide trong toạ độ vuông góc
là yếu tố tuyến trong xây dựng đờng ô tô nằm giữa các điểm đặc trng 3 và 1 (
0.0556 đến 0.500 hoặc 3.5 grad đến 32 grad). Quy định này đúng đối với
các điều kiện vạch tuyến thông thờng trung bình. ở những điều kiện địa hình rất khó
hoặc là ở nút giao thông thì thờng sự thay đổi hớng sẽ lớn hơn đến mức phải sử
dụng đờng klotoide quá điểm đặc trng 1 (ví dụ quay đầu ở địa hình núi).
Các điều kiện để xác định các thông số của đờng klotoide
- Điều kiện thứ nhất để xác định thông số của đờng klotoide dùng làm yếu tố
tuyến đờng ô tô rút ra từ các khả năng sử dụng trung bình của đờng klotoide. Nó
dựa chủ yếu trên những yêu cầu về hình dáng đờng. Từ những yêu cầu đã nói trên
các nhánh klotoide nằm giữa các điểm đặc trng 3 và 1 nên đợc sử dụng chúng ta có
điều kiện sau đây:
1. Điều kiện thứ nhất:

RA
3
1
=
đến R hoặc
A = L đến 3L.
Khi các bán kính đờng cong tròn nhỏ nên chọn các thông số ở cận trên.
Điều kiện tiếp theo xuất phát từ những yêu cầu động lực học chạy xe vì lý do an
toàn và êm thuận độ tăng gia tốc li tâm = 0,5m/s
3
không nên bị vợt quá.
Từ đó, chúng ta có điều kiện 2 đối với A:
2. Điều kiện thứ hai:
3
min
17,0
E
VA
=
- Một điều kiện tiếp theo để quyết định chiều dài tối thiểu của đờng cong
chuyển tiếp đợc rút ra từ những yêu cầu về xây dựng. Việc chuyển từ độ dốc ngang
độ dốc ngoài đờng thẳng thành độ dốc ngang trong đờng cong (dốc siêu cao) phải
thực hiện trên đờng cong chuyển tiếp. Chú ý đến độ dốc nâng siêu cao lớn nhất cho
phép đối với mép phần xe chạy ta có công thức:
2
.
max
min
b
p

qq
L
r
eu

=
Trong công thức trên:
q
u
là độ dốc siêu cao
q
e
là độ dốc ngoài đờng thẳng
p
rmax
độ dốc nâng siêu cao lớn nhất cho phép
b là bề rộng phần xe chạy.
Theo phơng trình của đờng cong klotoide (
LRA .=
) ta có yêu cầu về thông số
tối thiểu.
3. Điều kiện thứ ba:
).(
2
.
max
min eu
r
qq
p

bR
A =
Tính theo ba điều kiện trên ta đợc các trị số trên bảng 15 ( các giả định: b =
7,0m; p
rmax
= 0,5%; q
u
= 4,0% ( 3,0% khi V
E
>100); q
e
= 1,5%).
Từ các trị số ở bảng 15, chúng ta thấy rằng khi bán kính đờng cong tròn nhỏ
(<300m) các ảnh hởng về động lực học chạy xe và xây dựng quyết định các thông
số tối thiểu của đờng klotoide. Khi quyết định các trị số sử dụng thông thờng trong
thiết kế nên chú ý đến điều đó.
Bảng 15 . Thông số đờng klotoide theo 3 điều kiện
V
E
(km/h)
40 50 60 70 80 90 100 120 140
Bán kính (m)
100 175 250 325 400 525 650 1200 1600
Điều kiện thứ
nhất A
1
33/
100
58/
175

83/
250
108/
325
133/
400
175/
525
217/
650
400/
1200
533/
1600
Điều kiện thứ
hai A
2
43 60 79 100 122 145 170 223 282
Điều kiện thứ ba
A
3
62
42
82
55
98
66
112
71
124

83
142
96
158
107
194
112
225
130
Các yếu tố cấu trúc của đờng klotoide
Tọa độ vuông góc của đờng klotoide là Fres Intergrale và không có lời giải chính
xác. Để tính toán X và Y các chuỗi giảm nhanh sau đây:

345640
8
9
4
5
++=
A
L
A
L
LX

422403366
10
11
6
7

2
3
++=
A
L
A
L
A
L
Y
Hình 27 các yếu tố cấu trúc của đờng klotoide.
Các biểu diễn nói chung của đờng klotoide xuất phát từ quan điểm rằng chỉ sử
dụng nhánh nằm trên góc vuông thứ nhất của đờng klotoide làm yếu tố đờng ô tô.
Kích thớc hình học của đờng klotoide đợc vẽ thống nhất theo quy trình thiết kế.
Trong hình 27 các ký hiệu đợc hiểu nh sau:
R: bán kính đờng cong tròn.
f: khoảng cách từ đờng cong tròn
đến đờng tang (độ dời của đờng cong
tròn).
: góc tiếp tuyến
T
u
: Giao điểm của các đờng tang
đờng klotoide.
t
1
: chiều dài của đờng tang dài.
t
k
: chiều dài của đờng tang ngắn

l
u
: chiều dài của đờng cong chuyển
tiếp
X
M
, Y
M
: các toạ độ của tâm điểm
đờng cong tròn nối với đờng cong
chuyển tiếp
X
E
,Y
E
: toạ độ của điểm cuối cùng của đờng klotoide
S
u
: chiều dài đờng dây cung của đờng klotoide
: góc của tang với đờng dây cung klotoide
G: đờng thẳng
K: đờng klotoide , GK là điểm bắt đầu của đờng cong chuyển tiếp
B: đờng cong tròn, KB là điểm kết thúc đờng cong chuyển tiếp
Độ dời của đờng cong tròn f đợc thông tính toán từ công thức:
f = Y
E
- R (1 - cos)
Cũng có thể dùng các công thức gần đúng để xác định, các công thức gần đúng
này đạt đợc độ chính xác của các bảng tra nếu chỉ sử dụng nhánh klotoide đến điểm
đặc trng 1:

R
l
f
u
24

hoặc
2
3
24A
l
f
u

Độ cong xác định theo công thức sau:

R
R
c
o
s

R
M
Y
M
Rsin
X
G
K

KB
Y

X
M
t
l
X
E
Y
E
t
k

f
T
u
l
u

S
u
Hình 4 : Các yếu tố cấu trúc đ ờng klotoide
RdL
d
k
1
==

Các công thức xác định các yếu tố cấu trúc khác đợc suy ra từ công thức cơ bản

tuỳ theo điều kiện địa hình.
Hình 28: Bình đồ và đờng biểu diễn độ cong của đờng klotoide
Bảng cắm đờng cong klotoide.
Việc sử dụng đờng klotoide làm yếu tố tuyến trong xây dựng đờng ô tô chỉ đợc
bắt đầu khi xuất bản các bảng cắm đờng cong. Các xuất phát điểm của các bảng này
là các công thức cơ bản của đờng klotoide với thông số A = 1, đờng klotoide đơn vị.
Để tính cho các đờng cong klotoide nhỏ hơn hoặc lớn hơn thực hiện bằng cách nhân
các trị số trong bảng với thông số thực của chúng. Bảng đầy đủ nhất là của tác giả
Kasper, Schurba và Lorenz. Với độ dài đờng cong thay đổi theo bớc 1/1000 từ l =
0,000 đến l = 2,000 và tơng ứng phạm vi thay đổi của góc tiếp tuyến từ = 0,0000
đến = 150 grad đã bao gồm đầy đủ các yếu tố cấu trúc cần thiết thông dụng. Để
tính toán cắm tuyến ngời ta dùng các sổ tay cắm đờng klotoide rất tiện lợi.
Các giá trị của đờng klotoide đơn vị đợc biểu thị bằng các chữ cái nhỏ. Đối với
những nhiệm vụ cắm tuyến thực tế tuỳ thuộc vào các
điều kiện ban đầu (khi cắm tuyến mới, khi nâng cấp
cải tạo đờng, khi điều kiện địa hình hạn chế v. v )
ngời ta làm việc với những đại lợng nhất định sau
đây:
- Các thông số klotoide A
- Bán kính đờng cong tròn R
- Chiều dài đờng cong chuyển tiếp Ru
- Góc tiếp tuyến
- Độ dịch chuyển đờng cong f
Các tài liệu tham khảo đã dẫn chỉ ra rằng cần phải biết đợc hai trong số các đại l-
ợng đã kể trên khi tính toán đờng klotoide (xác định khi thị sát hay là thiết kế sơ bộ
tuyến).
Phần lớn các trờng hợp trong thực tế sử dụng đờng klotoide đều đợc thực hiện với
các thông số và với bán kính đờng cong tròn là số nguyên dơng. Dựa vào đấy ngời
ta xây dựng các bảng cắm đờng klotoide bao quát và dễ sử dụng. Các bảng này
L

k=
8
1
E
k =
R
X
1
8
=0
k
R
=
E
X
1
k =
X
R
E
R
X
R
Hình 5 : Bình đồ và đ ờng biểu diễn
độ cong của đ ờng klotoide
chứa những giá trị đã tính sẵn cho các đờng klotoide với các thông số hay sử dụng
nhất để ngời thiết kế lựa chọn. Mối liên hệ với bảng klotoide đơn vị đợc xác lập
thông qua các tiếp tuyến khi cần thiết.
- Bảng - A (70 đờng klotoide tiêu chuẩn, A = 15 đến A = 3000)
Đó là các bảng klotoide tiêu chuẩn có thông số A nguyên sắp xếp theo bán kính

đờng cong tròn nối R nguyên. Mỗi một bảng chứa các giá trị của một đờng
klotoide.
- Bảng - L (60 đờng klotoide tiêu chuẩn, A = 15 đến A = 3000)
Các bảng L là các bảng cắm đờng cong đợc chia theo các đoạn nguyên của R.
- Bảng - R (65 bán kính nguyên, R = 15 đến R = 10000)
Mỗi một bảng chứa một loại các đờng klotoide phù hợp đối với bán kính đờng
cong tròn đã cho nguyên (ví dụ R = 45 A = 25 đến A = 80).
Để tiếp tục giảm nhẹ công việc với đờng klotoide ngời ta chế tạo ra thớc mẫu
klotoide có các thông số nguyên hay sử dụng nhất. Thớc này đợc tạo thành từ hai
đoạn liên kết với nhau và có dạng đờng cong chữ S. Với cái thớc ấy có thể vẽ đợc
các nhánh đờng klotoide theo cả hai chiều (hình 29). Thớc mẫu klotoide có tỉ lệ
1:100 (tất cả các kích thớc tính bằng m), khi sử dụng với các tỉ lệ khác phải tính đổi
thông số và bán kính. Thông số của đờng klotoide khi đó thay đổi giống nh sự thay
đổi tỉ lệ vẽ.
Hình 29: Thớc vẽ đờng klotoide
Các ví dụ:
M = 1:1000 A = 20 đến A = 250 (Thớc tiêu chuẩn)
M = 1:2000 A = 40 đến A = 500 ( x 2,0 )
M = 1:5000 A = 100 đến A =1250 ( x 5,0 )
M = 1:10000 A = 200 đến A = 2500 ( x 10,0 )
M = 1:500 A = 10 đến A =125 ( : 2,0 )
M = 1:200 A = 4 đến A = 100 ( : 5,0 )
2.2.3. Cắm tuyến trên bình đồ
Các đờng thẳng, đờng cong tròn, đờng klotoide đợc sử dụng làm các yếu tố tuyến
khi thiết kế đờng ô tô thoả mãn đợc tất cả các nhiệm vụ đặt ra đối với đờng. ở các
mục dới đây trình bày những sự phối hợp quan trọng nhất của các yếu tố tuyến nói
trên.
2.2.3.1. Đờng cong tròn
Sự sử dụng các đờng cong tròn đơn giản để thiết kế đờng cong do những nhợc
điểm đã biết chỉ nên hạn chế trong những trờng hợp đặc biệt. Những trờng hợp ấy

có thể là:
- Đờng cong ở những vị trí địa hình hạn chế đặc biệt, tại đó đờng klotoide
không phù hợp để làm đờng cong chuyển tiếp (f 0,3m).
- Các đờng cong có góc chuyển hớng nhỏ ( 10 grad).
- Đờng cong có bán kính rất lớn.
Nhằm khắc phục ấn tợng đờng bị gẫy phải đảm bảo chiều dài dờng cong đủ lớn
( l
k
2V
E
, tính bằng m) mặc dù bán kính đờng cong lớn.
Bảng 16: Bán kính nhỏ nhất ở đờng cong không có đờng cong chuyển tiếp
V
E
(km/h) 30 40 50 60 70 80 90 100
Đờng quốc lộ
R >
(tính bằng m)
500 500 1000 1000 1500 1500 2500 2500
Đờng thành phố
R >
(tính bằng m)
150 250 350 550 750 900 1050 1200
2.2.3.2. Đờng cong tròn nhiều thành phần.
Đờng cong tròn nhiều thành phần có phạm vi sử dụng giống nh đờng cong tròn
(đờng biểu diễn độ cong xem hình 22).
Bởi vậy đờng cong nhiều thành phần cũng chỉ nên dùng trong những trờng hợp
đặc biệt (địa hình hạn chế).
2.2.3.3. Đờng cong tròn với các đờng cong chuyển tiếp.
Dạng thông dụng nhất của tổ hợp đờng cong là một đờng cong tròn kẹp giữa hai

nhánh đờng cong chuyển tiếp. Các đờng klotoide có thể có thông số giống nhau
hoặc khác nhau. Khi thông số đờng klotoide khác nhau (đờng cong không đối
xứng) thì để đảm bảo mỹ quan tỷ
số A
1
: A
2
không nên vợt quá 1: 3.
Cũng vì lý do mỹ quan cần phải
chú ý đến chiều dài tối thiểu của
đờng cong tròn chêm giữa (xem
bảng 17).
Khi thiết kế đờng cao tốc, đờng
quốc lộ và đờng thành phố có thể
tham khảo các trị số thông thờng
và trị số tối thiểu ở bảng 18 và 19.
Các đờng cong đối xứng trong
thực tế chỉ đợc dùng ở những nơi
mà đờng ít phụ thuộc vào các
điểm khống chế. Khi thị sát hay khảo sát sơ bộ để quyết định các trị số thiết kế sẽ
sử dụng nên tiến hành sơ hoạ, khi đó không nên vợt quá các yêu cầu của bảng 18 và
19 nếu nh chi phí xây dựng không vì thế mà tăng lên đáng kể.
Bảng 17; chiều dài tối thiểu của đờng cong tròn trong tổ hợp đờng cong.
V
E
(km/h) 30 40 50 60 70 80 90 100
l
kmin
(m) 20 35 50 70
Bảng 18 . Các trị số quy định (bán kính đờng cong tròn và thông số đờng cong

chuyển tiếp) đối với đờng cao tốc.
Cấp đờng I II III
Trị số nên dùng
(tính bằng m)
R 1600 1200 800
A 450 350 270
Trị số tối thiểu
(tính bằng m)
R 1200 800 500
A 350 270 200
M



RR
R
i
T
T
B
B
k
1
K
2
K
2
K
1
K

G
G
Cung tròn
Đ ờng klotoide
Đ ờng thẳng
Đ ờng thẳng
Đ ờng klotoide
Hình 7 : Bình đồ và đ ờng biểu diễn độ cong của tổ hợp đ ờng cong
k=
1
R
i
k
k =
1
R
k=0
k=0
i
i
A
2
l
=
i
Các yếu tố cấu trúc quan trọng nhất kể cả các điểm chủ yếu của đờng cong trình
bày trên hình 31. tính toán các điểm chủ yếu có thể theo các công thức sau đây:
2
.

tgRt
=

2
).(
'

tgfRt
+=
Mg
Xtt
==


2
=
200

grad
k
R
l

=

ukg
lll .2
+=
Bảng 19. Các trị số quy định (bán kính đờng cong tròn và thông số đờng cong
chuyển tiếp) đối với đờng quốc lộ và đờng thành phố

1)
.
Tốc độ thiết kế (km/h) 30 40 50 60 70 80 90 100
Trị số nên dùng
60 100 175 250 325 400 525 650
Đờng quốc lộ
R
A 40 60 90 120 150 180 210 250
Đờng thành phố
q
u
= 3%
R 30 60 100 160 230 300 400 500
A 30 50 75 100 125 150 175 200
Trị số tối thiểu
30 60 100 140 200 250 325 400
Đờng quốc lộ
R
A 30 45 60 80 110 125 150 175
Đờng thành phố
q
u
= 3%
R 25 50 80 130 190 250 325 400
A 25 40 60 80 100 125 150 175
1)
So sánh với trị số tối thiểu ở bảng 15.
Tất cả các trị số của đờng klotoide đợc lấy trong các bảng hớng dẫn.
Nếu địa hình thực tế đòi hỏi phải dùng các nhánh đuờng cong klotoide không
giống nhau (A

1
A
2
) thì điểm giao nhau của hai đờng tang không nằm ở điểm giữa
2 đờng cong (hình 32) và xuất hiện hai độ dời đờng cong tròn khác nhau. Theo hình
32 thì:
d
ff
12
sin

=


M
T
T
G
G
T





0
K
f
B
B

1
K
2
K
K
l

l
u
R
R
+
f
2
K
1
K
u
T
T
u
g
t
E
Y
l
t
M
X
t

'
K
t
t
Hình 8 : Các yếu tố cấu trúc của tổ hợp
đ ờng cong đối xứng
(f
2
> f
1
)
Từ đó có:

sin
12
ff
d

=
Với trị số độ dời d có thể bổ sung các công thức tính toán cho trờng hợp đờng
cong đối xứng thành các trờng hợp đờng cong không đối xứng:
2
).(
1
'
1

tgfRt
==

2
).(
2
'
2

tgfRt ==
dtXt
Mg
++=
'
111

dtXt
Mg
+=
'
222
)(
21

+=

21 uukg
llll
++=
Hình 31: các yếu tố cấu trúc của tổ hợp đờng cong đối xứng
Để đơn giản cho công tác cắm tuyến nên chọn R và A nguyên. Nếu trong thực tế
không thể thực hiện đợc điều đó, ví dụ chiều dài đờng tang cần phải chính xác đối
với một hoặc là cả hai phía của đờng cong, thì nên u tiên thông số đờng klotoide

nguyên còn bán kính đờng cong tròn có thể không nguyên, bởi vì cả hai nhánh đ-
ờng klotoide hợp lại thành một đoạn tuyến dài hơn.
Để tính toán đầy đủ cho trờng hợp cha biết thông số thiết kế ở địa hình hạn chế
có thể sử dụng các công thức gần đúng trong tài liệu tham khảo số /14/, phạm vi sử
dụng của nó cho đến góc tiếp tuyến bằng 150 grad.
Hình 32: sự dịch chuyển của điểm hai đờng tang
cắt nhau khi tổ hợp đờng cong không đối xứng.
ffRX
M
) 6(

f
fX
R
M
.6
22
+

).3).(.3(.3
mM
XRXRRf
+
)4.(
.2
.3
662,63
R
f
R

f
grad
+

T


200 -
2
t
'
2

200 -
2
d
T
0

d
t
g
2
g
1
t
1
t
'
f

1
f
1
f
1
f
2
_
2
f
Đ

ờ
n
g

t
a
n
g

c
ủ
a

R

+

f

Hình 9 : Sự dịch chuyển của điểm hai đ ờng tang cắt nhau
Đ

ờ
n
g

t
a
n
g

c
ủ
a

R

+

f
2
Đ

ờ
n
g

t
a

n
g

c
ủ
a

R

Đ

ờ
n
g

t
a
n
g

c
ủ
a

R

1
khi tổ hợp đ ờng cong không đối xứng
ffRl
u

) 6.24(
+≈
2.2.3.4. Tổ hợp đờng cong hai nhánh đờng klotoide đối đầu
Các đờng klotoide tiếp xúc nhau tạo thành một tổ hợp đờng cong có hai nhánh
klotoide đối đầu. Tại điểm tiếp xúc 2 đờng klotoide sẽ có cùng một bán kính cong
và chung một đờng tang (hình 33). Tuỳ theo việc sử dụng các nhánh đờng klotoide
có thông số bằng nhau hoặc không bằng nhau để chia ra tổ hợp đờng cong đối xứng
(hình 34) hoặc không đối xứng (hình 35).
Hình 33: Bình đồ và đờng biểu diễn độ cong
của tổ hợp đờng cong có hai nhánh klotoide đối
đầu .
Hình 34: Các yếu tố cấu trúc của tổ hợp đờng
cong có hai nhánh klotoide đối đầu đối xứng.
Hình 35: Các yếu tố cấu trúc của tổ hợp đờng
cong hai nhánh klotoide đối đầu không đối
xứng.
Việc sử dụng tổ hợp đờng cong có hai nhánh
klotoide đối đầu đã nhiều lần bị chống lại bởi vì
xuất hiện các vấn đề khi tạo nên độ dốc ngang
phù hợp với động lực chạy xe do đờng chuyển
trực tiếp từ độ cong tăng sang độ cong giảm tại
điểm giao nhau. Sự ổn định chạy xe và mỹ quan
khi đó sẽ bị xấu đi, nhng điều đó chỉ xảy ra khi bán kính cong tại chỗ giao nhau t-
ơng đối nhỏ và góc chuyển hớng lón. Vì thế ngời
ta khuyên chỉ dùng loại tổ hợp đờng cong này
trong trờng hợp địa hình bị khống chế và bán
kính cong tại điểm tiếp xúc nhau lớn, đồng thời
góc chuyển hớng nhỏ (RS > 600 m; 15
grad).
Tổ hợp đờng cong có hai nhánh klotoide

đối đầu đối xứng.
Đờng phân giác T-S chia đôi góc (hình 34).
Theo đó ta có
E
Y
t
tg
'
2
=

và
T

k
1
2
k
min
R
R
i
K
2
K
1
G
G
Đ ờng tang chung
Đ ờng klotoide Đ ờng klotoide

Đ ờng thẳng
k = 0k = 0
Đ ờng thẳng
k =
1
i
R
i
A
2
=
i
L
i
L
min
R
1
k =
Hình 10 : Bình đồ và đ ờng biểu diễn độ cong của tổ hợp
đ ờng cong có hai nhánh klotoide đối đầu

T
R
1
k
min
k
2

2
2

=
K
1
G
K
G
2
S
M
k
t
g
t
E
X
t
'
M
Y
t
l
M
X

R
Y
E
có hai nhánh klotoide đối đầu
Hình 11 : Các yếu tố cấu trúc của tổ hợp đ ờng cong
T

R
m
i
n
2
k
k
1
G
K
2
C
2
t
l
2
X
M
1
t
g
1
200

l
2
t
1
C

1
2

t
g
2
S
M
1

2


1
K
G
t
k
1
k
2
t
Hình 12 : Các yếu tố cấu trúc của tổ hợp đ ờng cong
có hai nhánh klotoide đối đầu không đối xứng

2
.
'

tgYt
E
=
'
tXt
Eg
+=
Tuỳ theo dạng khống chế của địa hình trong tài liệu tham khảo /39/ đã đa ra các
giải pháp khác nhau cho các trị số đầu vào khác nhau.
Tổ hợp đờng cong hai nhánh đờng klotoide đối đầu không đối xứng.
Các công thức dùng để tính toán đợc lập ra nhờ định luật Cosin trong tam giác

sin)200sin(sin
2121
2
1 kkkk
ttttC +
=

+
=


sin)200sin(sin
2121
1

2 kkkk
ttttC +
=

+
=


sin
)(sin
212
1
kl
tt
C
+
=



sin
)(sin
211
2
kl
tt
C
+
=
t

g1
= t
l1
+ C
1
t
g2
= t
l2
+ C
2
Về nguyên tắc để đơn giản trong tính toán cắm tuyến nên dùng các thông số
klotoide và bán kính tại điểm tiếp xúc là số nguyên. Việc tính toán R
min
đợc thực
hiện theo công thức sau:
2
662,63
.
2
2
2
1
min
grad
AA
R

+
=

Các trị số quy định cho A và R khi thiết kế cho tổ hợp đờng cong hai nhánh đờng
klotoide đối đầu đối xứng và không đối xứng lấy ở bảng 18.
2.2.3.5. Đờng cong chữ S
Đờng cong chữ S đợc tạo thành bởi hai nhánh klotoide ngợc chiều nhau, hai đờng
klotoide này có chung điểm xuất phát (R = ), tại điểm ấy chúng có đờng tang
chung và điểm ấy cũng chính là điểm gặp nhau của hai nhánh klotoide. Nó đợc sử
dụng để nối hai đờng cong ngợc chiều nhau, sự chuyển tiếp của hai đờng cong ấy đ-
ợc bảo đảm hài hoà (hình 36). Điều kiện để bố trí đờng cong chuyển tiếp là khoảng
cách giữa hai đờng tròn D không đợc qúa lớn, hai đờng tròn không đợc bao nhau,
không đợc cắt nhau hoặc tiếp xúc nhau. Cả hai đờng klotoide và các đờng cong tròn
nối với nó phải đảm bảo các điều kiện của tổ hợp đờng cong đơn giản (bảng 18 và
19). Nhằm mục đích giảm nhẹ công tác cắm tuyến và nâng siêu cao đợc đều đặn, cả
hai nhánh klotoide nên có thông số bằng nhau. Nếu trong thực tế do hạn chế của địa
hình không đảm bảo đợc điều kiện ấy thì tỷ lệ A
1
/A
2
không nên vợt quá 1,5. Tơng tự
nh vậy khi thiết kế điều kiện lý tởng là đảm bảo cho hai bán kính đờng cong tròn
bằng nhau. Nếu do điều kiện địa hình không thể thực hiện đợc yêu cầu ấy thì nên
tuân theo những giới hạn dới đây:
Hình 36: Nguên tắc của đờng cong chữ S
Hình 37: Bình đồ của đờng độ cong của đờng
cong chữ S
a)
A
1
= A
2
R

1
2 R
2
b)
A
1
A
2
R
1
3 R
2
c)
A
1
= A
2
R
1
= R
2
(điều kiện lý tởng)
Để có thể cắm đờng cong chữ S bằng các bảng
klotoide với các thông số nguyên, cho phép tồn tại
một đoạn thẳng ngắn chêm giữa hai điểm xuất
phát của hai nhánh klotoide, chiều dài của nó
không đợc vợt quá trị số dới đây:
l
g
0,08 (A

1
+ A
2
)
Vì nh vậy ngời sử dụng đờng vẫn cảm thấy đ-
ờng không có điểm gẫy rõ rệt. Phải tránh không để cho hai nhánh klotoide nằm
trờm lên nhau. Nếu cần phải bố trí một đoạn thẳng chêm giữa lớn thì phải đảm bảo
chiều dài đoạn thẳng tối thiểu cho ở bảng 20.
Bảng 20. Chiều dài tối thiểu của đoạn thẳng chêm giữa.
V
E
(km/h) 30 40 50 60 70 80 90 100
Chiều dài tối thiểu của
đoạn thẳng giữa hai đ-
ờng cong ngợc chiều
(m)
Đờng quốc lộ 60 100 150 200
đờng thành phố 50 75 100 150
Đờng cao tốc Cấp thiết kế
I (140) II (120) III (100)
Chiều dài tối thiểu của
đoạn chêm giữa (m)
300 300 300
Trị số xuất phát dể tính toán đờng cong chữ S khi thiết kế là khoảng cách của hai
đờng cong tròn sẽ tạo nên đờng cong chữ S (hình 36). Có nhiều phơng pháp khác
nhau để xác định trị số của khoảng cách D :
M
2
1
R

2
R
2
R
1
R
1
M
D
R
=
8
Hình 13 : Nguyên tắc của đ ờng cong chữ S
A
k =
i
R
1
=
2
L
i
i
Đ ờng klotoide
k =
R
1
k =
1
R

k =
1
8
=
8
Đ ờng klotoide Đ ờng thẳngĐ ờng thẳng
L
i
R
=
8
1
K
2
K
W
K
1
B
2
K
B
u
l
Hình 14 : Bình đồ của đ ờng độ cong đ ờng cong chữ S
a) Nếu cả hai tâm của hai vòng tròn đều nằm trên bản vẽ thì đo trực tiếp độ dài
của M
1
M
2

:
)(
2121
RRMMD
+=
b) Tâm của các đờng tròn nằm ngoài bản vẽ. Hớng
của D đợc xác định nhờ hai đờng tròn phụ
tiếp xúc với hai đờng cong tròn, sau đó đo trực
tiếp khoảng cách (hình 38).
Hình 38: Xác định D nhờ hai đờng tròn phụ tiếp
xúc
c) Xác định khoảng cách D nhờ đờng tiếp tuyến
chung với hai đờng tròn (hình 39).
Hình 39: Xác định khoảng cách D nhờ đờng tiếp
tuyến chung T.
)()(
21
22
21
RRTRRD
+++=
Đối với trờng hợp các đờng klotoide có cùng thông
số thì các giá trị A, R, L và D có mối liên hệ theo các
công thức gần đúng sau đây, nhờ chúng có thể xác định
dễ dàng các giá trị cần tìm:
3
4
24R
A
D

=

4
3
24DRA
=

3
4
24D
A
R
=
2
3
24A
L
D
=

D
L
A
24
3
=

3
2
24 DAL

=
R
L
D
24
2
=

D
L
R
24
2
=

DRL 24
=
Nếu D có thể chọn tự do khi thiết kế thì có thể tính theo các công thức cơ bản
của đờng klotoide (các công thức 10 và 11).
Khi tính đờng cong chữ S thì cần phải chú ý đến đặc điểm sau đây của R và L:
21
21
.
RR
RR
R
+
=
D
R

2
R
1
Hình 15 : Xác định "D" nhờ hai đ ờng
tròn phụ tiếp xúc
2
R
1
R
2
M
1
M
T
(
1
R + R )
2
2
+
2
T
_
R( R
1
+
2
)D =
D
Hình 16 : Xác định khoảng cách "D" nhờ

đ ờng tiếp tuyến chung "T"
Bán kính này đợc gọi là bán kính thay thế,
nó không xuất hiện trong khi thiết kế.
L là tổng độ dài của hai đờng cong
chuyển tiếp.
L = l
u1
+ l
u2
Nếu thông số đờng cong chuyển tiếp đã xác
định thì có thể tính đợc các yếu tố cấu trúc
khác của đờng chữ S dễ dàng nhờ bảng lập
riêng cho nó
Hình 40: các yếu tố cấu trúc của đờng cong
chữ S
Y
M
= Y
M1
+ Y
M2
= (R
1
+ f
1
) + (R
2
+ f
2
)

X
M
= X
M1
+ X
M2


=
M
M
grad
Y
X
tg


E = (R
1
+ f
1
) . tg - X
M 1

E = X
M 2
- (R
2
+ f
2

) . tg Điều kiện: R
1
> R
2

sin

=
M
X
M
D = M - (R
1
+ R
2
) D = D
1
+ D
2
1
1
1
sin
R
EX
D
M

+
=

2
2
2
sin
R
EX
D
M


=

Khi tính trực tiếp đờng cong chữ S ngời thiết kế có thể theo 4 khả năng sau:
a) Xuất phát từ chiều dài đo trực tiếp trên bản vẽ của đờng tiếp tuyến chung
(T
1
T
2
hình 40), tính toán theo các điều kiện của tổ hợp đờng cong đơn giản
(mục 2.2.2.3 hoặc mục 2.2.3.4).
Nhng phải chú ý đến các quy định đối với đờng cong chữ S (bảng 20).
b) Khi các điều kiện thiết kế đợc tự do lựa chọn thì sử dụng các bảng tính đờng
cong klotoide tiêu chuẩn. Để phục vụ cho mục tiêu ấy có 19 bảng lập sẵn cho
đờng cong chữ S ứng với phạm vi biến đổi từ A = 100 đến A = 1500, trong các
bảng ấy bán kính đờng cong tròn nối là những số chẵn chục.
Mỗi một ô vuông trong bảng đờng cong chữ S bao gồm:
R
1

1

2


R
1
M
R
2
D
D
1
D
2
R
1
f
1
R
1
Y
M
1
Y
M
Y
E
1

f
1
f
2
R
2
Y
M
1
+
M
E
2
Y
R
2
M
1
X
E
1
X
g
1
t
W
P
E
M
2

X
E
2
X
g
2
t
y
+
f
2
R
2
M
X
M
T
1
M
1
M
2
T
2
B


K
K

B
Hình 17 : Các yếu tố cấu trúc của đ ờng cong chữ S
1. Dòng thứ nhất là khoảng cách giữa hai đờng tròn D
2. Dòng thứ hai là góc (grad).
3. Dòng thứ ba là khoảng cách E
(xem bảng 21 và hình 40).
Khi thiết kế nếu có thể dùng các giá trị tròn số của bảng tiêu chuẩn thì tất cả các
giá trị khác của đờng klotoide có thể xác định theo bảng klotoide lập theo thông số
A hoặc theo bán kính R.
Bảng 21. Trích một bảng đờng cong chữ S.
R 250 275 300 900 1000 L
250
76,67
28,29
0,00
67,55
26,19
10,39
60,39
24,34
19,29
21,35
8,65
88,37
20,01
7,80
91,91
250,000

275
67,55
26,19
10,39
59,04
24,20
0,00
52,41
22,46
8,90
17,19
7,91
77,68
16,03
7,13
81,20
227,27
c) Nếu vì lý do địa hình không thể dùng đợc đờng cong chữ S tiêu chuẩn thì
thông số của đờng klotoide có thể xác định theo toán đồ của Osterloh.
Nguyên tắc xây dựng của toán đồ cho đờng cong chữ S đối xứng và không đối
xứng trình bày trên hình 41 và 42. Trên toán đồ cũng trình bày ví dụ để xác
định thông số. Toán đồ dùng cho đờng chữ S không đối xứng chỉ dùng đợc khi
liên hệ với hình 41.
d) Khi địa hình có nhiều điều kiện khống
chế khi đó phải sử dụng D một cách
chính xác thì bảng cắm đờng cong chữ
S không còn dùng đợc nữa, ngời ta
phải xác định chính xác thông số. Để
phục vụ mục tiêu ấy ngời ta đã đa ra
một phơng pháp. Việc tính toán đợc

thực hiện nhờ bảng phụ. Cần phải xác
định những đại lợng xuất phát sau đây:
21
21
.
RR
RR
R
+
=
(Bán kính thay thế)
21
.10
RR
R
k
+
=
R
D
=

Nhờ giá trị dân số (bảng 22) ngời ta xác định đợc trị số là đại lợng xuất phát
của bảng phụ II.
= - k . d
Trong bảng phụ II mỗi một ô cho ta các giá trị xuất phát (số trên) và bớc của
bảng (số dới) để giảm nhẹ việc nội ngoại suy (bảng 23)
Hình 41: Toán đồ đờng cong chữ S của Osterloh
Bảng 22 . Trích từ bảng phụ I
Số lợng xuất phát (số trên); Số lấy ra khỏi bảng dân số (số dới).

1 0 1 2 8 9
2,0
0,613334
0,013693
0,624746
14250
0,636292
14823
0,708526
18714
0,721056
19440
2,1
0,733730
20190
0,746544
20965
0,759503
21766
0,840259
27138
0,854222
28134
Khi có l lấy ra từ bảng II sẽ tính đợc A
A = R . l
Chiều dài tổng cộng của đờng cong chữ S xác định đợc theo công thức:
L = A . I
Từ đó có thể xác định đợc chiều dài của cả hai nhánh
klotoide trong đờng cong chữ S:
l

u1
= A . l
1
với
1
1
R
A
l
=
l
u2
= A . l
2
với
2
2
R
A
l
=
Việc tính toán tiếp tục có thể theo bảng klotoide đơn vị
Hình 42: Toán đồ cho đờng cong chữ S không đối
xứng theo Osterloh
Bảng 23. Một trích đoạn của bảng phụ II
Trị số xuất phát là , trị số tra đợc là l
1 0 1 2 8 9
2,0
0,579101
0,9979

0,589122
0,9889
0,599234
0,9830
0,661742
0,9333
0,672457
0,9262
2,1
0,683254
0,9194
0,694131
0,9127
0,705087
0,9062
0,772415
0,8716
0,783888
0,8666
2.2.3.6. Đờng cong xoắn ốc
Một đờng cong tròn dài liên tục không thể sử dụng đợc trong thực tế thiết kế do
vớng các công trình hoặc địa hình tự nhiên. Một đoạn thẳng ngắn chêm giữa hai đ-
ờng cong tròn cùng chiều hoặc là hai đờng klotoide đối đầu làm cho hình ảnh con
đờng xuất hiện những điểm gẫy. Nhờ đờng cong chuyển tiếp với t cách là một yếu
tố liên kết đảm bảo cho hình ảnh con đờng đợc trơn nhẵn. Muốn thực hiện đợc điều
đó phải thoả mãn điều kiện hai đờng tròn bộ phận cần phải thiết kế thành một đờng
cong chung, hai đờng này không đợc cắt nhau và không đợc tiếp xúc nhau (hình
43). Bán kính đờng cong tròn và thông số đờng klotoide phải phù hợp với những
quy định chung khi thiết kế tổ hợp đờng cong. Thông số của đờng klotoide nên nằm
ở các giới hạn sau đây:

2
2
R
A =
tới R
2
với R
1
> R
2
Nếu cả hai tâm đờng tròn nằm trong bản vẽ thì xác
định khoảng cách D, khoảng cách này rất cần cho
việc tính toán sau này, một cách đơn giản theo công
thức dới.
D = R
1
- R
2
- M
Nếu tâm các đờng cong tròn nằm ngoài bản vẽ thì h-
ớng của D xác định nhờ hai đờng tròn phụ và đo trực tiếp chiều dài D (hình
44). Một cách gần đúng có thể xác định các đại lợng A,
R. L và D (tuỳ theo từng trờng hợp) theo những công
thức của đờng cong chữ S. Nhng khác với đờng cong
chữ S, bán kính thay thế đợc xác định theo công thức dới
đây:
21
21
.
RR

RR
R

=
Những yếu tố cấu trúc khác của đờng cong xoắn ốc có thể xác định nhờ bảng lập
riêng cho trờng hợp này (hình 45).
A
k =
i
R
1
=
2
L
i
i
Đ ờng klotoide
2
k =
R
1
2
k =
1
R
1
1
Đ ờng cong 2Đ ờng cong 1
i
L

1
M
2
M
1
R
2
R
M
D
2
R
R
1
Đ

ờ
n
g

t
a
n
g

c
ủ
a

đ

ờ
n
g

k
l
o
t
o
i
d
e

-

đ

ờ
n
g

c
o
n
g

2
Đ

ờ
n
g

t
a
n
g

c
ủ
a

đ

ờ
n
g

k
l
o
t
o
i
d
e

-

đ

ờ
n
g

c
o
n
g

1
Hình 20 : Nguyên tắc và bình đồ đ ờng
độ cong của đ ờng cong xoắn ốc
2
R
1
R
D
Hình 21 : Xác định độ dài "D"
nhờ hai đ ờng tròn phụ bằng nhau
Hình 44: Xác định độ dài D nhờ hai đờng
tròn phụ bằng nhau.
Hình 45: các yếu tố cấu trúc của đờng cong
xoắn ốc
Y
M
= Y
M 1
- Y

M 2
= (R
1
+ f
1
) - (R
2
+ f
2
)
X
M
= X
M 2
- X
M 1
M
M
Y
X
tg


=

22
MM
YXM +=
D = R
1

- R
2
- M
G
1
= Y
M 1
. tg
G
2
= Y
M 2
. tg
2
).(
22
'

tgfRt
+=
t
g
= t
2

+ X
M 2

l
u

= l
u2
- l
u1

Khi tự tính đờng cong xoắn ốc các phơng pháp đặt ra cho ngời thiết kế cũng
giống nh trờng hợp đờng cong chữ S.
a) Sử dụng các công thức đã dẫn để tính các đại lợng còn thiếu tuỳ thuộc vào đại
lợng đã biết (A, R, D và L). Sử dụng bảng klotoide và các công thức đờng
cong xoắn ốc để xác định tất cả các yếu tố cấu trúc.
b) Khi có thể tự định ra các điều kiện thiết kế thì có thể sử dụng 25 bảng lập sẵn
cho đờng cong xoắn ốc trong khoảng biến thiên của A từ A = 100 đến A =
1000. Đờng cong tròn nối với nó có các trị số bán kính chẵn chục
Bảng 24 . Trích một bảng đờng cong xoắn ốc
Bảng đờng cong xoắn ốc A = 150
R 90 100 110 120 125 130
150
1,831
52,9629
100,000
0,777
47,7214
75,000
0,300
43,3995
54,545
160
2,329
49,6166
109,375

1,105
44,7245
84,375
0,428
40,6861
63,920
0,190
37,2988
46,875
0,113
35,8082
39,375


2


1


2
R
1
R
M
1
M
2
T
M

Y
M
Y
M2
Y
M1
D
f
2
f
1
E1
Y
E2
Y
l
u
M
X

X
M
1
G
2
X
M
2
G

1
X
E
1
X
E
2
t
'
2
t
g
Hình 22 : Các yếu tố cấu trúc của đ ờng cong xoắn ốc
Mỗi ô vuông của bảng đờng cong xoắn ốc (bảng 24) chứa các giá trị:
1. Dòng thứ nhất : khoảng cách giữa hai đờng tròn D
2. Dòng thứ hai : góc (grad)
3. Dòng thứ ba : chiều dài của đoạn klotoide l
u

Tất cả các đại lợng còn lại có thể tra từ các bảng klotoide (R hoặc A).
c) Nếu do địa hình hạn chế không dùng đợc các bảng lập sẵn thì có thể xác định
các thông số đờng klotoide bằng toán đồ. Nguyên tắc xây dựng toán đồ đợc
trình bày trên hình 46
Hình 46: Toán đồ để thiết kế đờng xoắn ốc theo
Osterloh
d) Nếu các đờng cong cần phải nối với nhau rất to
thì việc tính toán chính xác đờng cong xoắn ốc thực
hiện tơng tự nh đờng cong chữ S. Khi đó phải xác
định đaị lợng trợ giúp:
21

RR
R
k

=
R
D
=

là đại lợng xuất phát của bảng trợ giúp thiết
kế đờng xoắn ốc III (bảng 25).
Sau khi xác định đợc d thì tính để dùng làm đại lợng xuất phát tra bảng trợ giúp
II (bảng 23)
= - k . d
Dùng bảng II xác định đợc l, sau đó có thể tính chính xác đợc thông số của đờng
klotoide
A = R . l
Chiều dài của đờng cong xoắn ốc khi đó có thể tính đợc chính xác theo công thức
l
u
= A . I
Với: l
u1
= A . l
1

1
1
R
A

l
=
và l
u2
= A . l
2

2
2
R
A
l
=
là các chiều dài của hai đờng klotoide. Các công việc tính toán tiếp theo đợc tiến
hành bằng cách sử dụng các công thức chung khi thiết kế tổ hợp đờng cong và bảng
đờng klotoide đơn vị.
Nơi thờng hay sử dụng đờng cong xoắn ốc là nhánh nối rẽ ở các nút giao thông
khác mức. Nếu vị trí tâm đờng cong tròn không xác định đợc thì các điều kiện cấu
tạo nó đợc thực hiện nhờ các đờng tròn phụ.
Bảng 25 . Trích một bảng trợ giúp III
là trị số dùng để tra bảng (số trên); d là trị số tra đợc (số dới)
1 0 1 2 8 9
1,3
0,116015
0,004420
0,119532
4682
0,123124
4971
0,146314

7045
0,150459
7455
1,4
0,154587
7886
0,158998
8338
0,163392
8814
0,191561
12187
0,196563
12848
2.2.3.3. Đờng cong chuyển tiếp bằng các nhánh đờng klotoide nối tiếp nhau.
Đờng này đợc lập nên từ một loạt các đoạn klotoide cùng hớng nhng thông số
khác nhau, tại điểm tiếp xúc chúng có chung đờng tang và cùng bán kính. Loại đ-
ờng này đợc lập lên từ hai hoặc nhiều nhánh klotoide. Nếu đờng này đợc dùng làm
yếu tố đờng cong ở các đờng đã đợc phân cấp thì các trị số R
min
và A
min
phải lấy theo
bảng 19. Tỷ lệ của các thông số đờng klotoide nối tiếp nhau (A
1
:A
2
) không nên vợt
quá 2 lần. Loại đờng này thờng đợc sử dụng làm đờng cong hãm phanh. Theo hình
47 ta có các công thức sau đây cho trờng hợp đờng cong chuyển tiếp đợc tạo thành

từ hai đoanj đờng klotoid:
=
1
-
1



2
=
2

+
X
E
= X
E 1
+ (X

E 2
- X

E 1
) . cos - (Y

E 2
- Y

E 1
) . sin

Y
E
= Y
E 1
+ (X

E 2
- X

E 1
) . sin + (Y

E 2
- Y

E 1
) . cos
X
M
= X
E 1
+ (X

M
- X

E 1
) . cos - (Y

M

- Y

E 1
) . sin
Y
M
= R + f
f = Y
E 1
+ (X

M
- X

E 1
) . sin + (Y

M
- Y

E 1
) . cos - R
l
u
= l
E 1
+ (l

E 2
- l

E 1
)
Hình 47: Các yếu tố cấu trúc của
đờng cong chuyển tiếp bằng các
nhánh đờng klotoide nối tiếp nhau.
Nhợc điểm của đờng này là sự
chuyển tiếp ở các điểm nối, tại đó
có sự thay đổi không nhiều thì ít về
độ cong (phụ thuộc vào bớc nhẩy
của thông số các đờng klotoide).
2.2.3.8. Đờng cong hãm
Để xây dựng đờng cong hãm nói chung ngời ta dựa vào các điều kiện động lực
học chạy xe sau đây:
a) Sự giảm tốc của xe trong phạm vi đờng cong hãm từ tốc độ ban đầu V
a
đến
tốc độ cuối V
e
là đều đặn (b = const.).
b) Gia tốc giảm tốc ( dz / dt = ) đợc bảo đảm là một hằng số bằng dạng của đ-
ờng cong khi độ giảm tốc đều đặn, độ lớn của nó đợc xác định sao cho hệ số
bám cần thiết của bánh xe với mặt đờng còn nằm trong giới hạn cho phép.
Khi chú ý đến những điều kiện này thì đờng cong phù hợp với chúng là đờng
cong tay áo, ở đờng cong này độ cong của nó không phải là đờng thẳng nh đờng độ
cong của đờng klotoide (hình 48).
Hình 48: Sơ đồ nguyên tắc của đờng độ cong ở đờng cong hãm.
Do thiếu bảng cắm đờng cong hãm chính xác, Blaschke đãđề nghị một đờng
cong thay thế để làm đờng cong hãm là đờng cong tạo thành bởi hai đờng klotoide
nối tiếp nhau. Sự so sánh các đờng độ cong của đờng cong hãm chính xác và đờng

cong thay thế đã chứng tỏ sự gần đúng có thể chấp nhận đợc (hình 48). Nhờ toán đồ
(hình 49) có thể dễ dàng tính đợc đờng cong klotoide hai thành phần để sử dụng
làm đờng cong hãm cho đờng quốc lộ.
Hình 49: Toán đồ để xác định các thông số của đờng klotoide hai thành phần
dùng làm đờng cong hãm.

M
R
R
O
O'

2

1
X
M
X
E1
X
E


y
y'
x
x'
E
2
Y

'
Y
'
E
1
E
2
X
'
E
1
X
'

2
,
,
1

E
Y
1
M
1
R
Y
M
A
1
Y

E1
f
l
E
1
l
u
2
A
E
1
l
'
E
2
l
'
Hình 24 : Các yếu tố cấu trúc của đ ờng cong chuyển tiếp
bằng các nhánh đ ờng klotoide nối tiếp nhau
Đ ờng cong hãm
k

=
R
1
1
k


=

1
R
1
Đ ờng cong Đ ờng thẳng
Đ ờng cong hãm thực
Một đ ờng klotoide
Đ ờng klotoide 1
Đ ờng klotoide 2
Hình 25 : Sơ đồ nguyên tắc của đ ờng độ cong ở đ ờng cong hãm
Điều bất lợi khi thay đờng cong hãm chính xác bằng đờng cong klotoide hai
thành phần là khi thiết kế phải chọn một hệ toạ độ phụ (hình 47).
Thomas đã lập bảng tính đờng cong hãm dùng riêng khi thiết kế chỗ rẽ ra ở các
nút giao thông nửa khác mức đờng cao tốc. Với các giả thiết về động lực học chạy
xe b = const, = const, bảng của Thomas đa ra nhiều tổ hợp đờng cong khác nhau
phù hợp để làm đờng cong hãm.
Không nên sử dụng đờng cong hãm trên đờng quốc lộ và đờng thành phố chỉ
bằng một đờng klotoide vì bán kính đờng cong tròn nhỏ. Mặc dù nó đợc lập ra từ sự
quan sát đờng cong chạy xe thực nhng nó vẫn đặt ra những
yêu cầu cao cho phơng thức chạy xe. Nếu ngời lái xe giảm
tốc quá ít ở đầu đờng cong hãm do sự tăng độ cong ít (b =
const trên toàn bộ đờng cong) thì ở đoạn cuối cùng khi sự
tăng độ cong lớn sẽ phải phanh gấp đến mức nguy hiểm.
Điều đó sẽ dẫn tới tình trạng nguy hiểm khi chạy xe vì cần
phải có sự tăng lên đồng thời lực bám dọc và lực bám
ngang.
2.2.3.9. Cần phải thiết kế đặc biệt các đờng cong có góc
chuyển hớng 10 grad vì lý do mỹ quan bởi vì nếu chỉ dùng một đờng cong tròn thì
do chiều dài của nó quá nhỏ xuất hiện trớc mắt ngời lái xe dạng nh một điểm gẫy.
Quy định chiều dài đờng tang tối thiểu cho đờng cong loại này sẽ đảm bảo bán kính
đờng cong tròn đủ lớn cần thiết.

Bảng 26 . Chiều dài đờng tang tối thiểu cho đờng cong tròn góc chuyển hớng nhỏ
V
E
(km/h) 30 40 50 60 70 80 90 100
Chiều dài đờng tang
tối thiểu (m)
60 100 150