Không gian với cơ sở yếu và cs-ánh xạ phủ compắc

Không gian với cơ sở yếu
và cs-ánh xạ phủ compắc
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Trần Văn Ân
Học viên thực hiện: Nguyễn Thị Lê
Lớp Cao học 13 - Giải tích
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 1 / 27
lời nói đầu
• Câu hỏi mà Alexandroff đưa ra năm 1961 trong bài báo On some
results concerning topological and their continuous mappings đã
trở thành vấn đề trung tâm của tôpô đại cương trong mấy thập kỷ
qua và được gọi là vấn đề Alexandroff.
• Nội dung của vấn đề là đi tìm mối quan hệ giữa các không gian
tôpô và không gian mêtric bằng cách đặc trưng chúng thông qua
các ánh xạ khác nhau.
• Quá trình nghiên cứu đã thu hút những nhà toán học tên tuổi
như: E. Michel, L. Foged, S. Lin, Y. Tanaka, Z. Li, và họ đã thu
được nhiều kết quả thú vị.
• Trong [5], L. Foged chứng tỏ rằng một không gian tôpô là không
gian Frechet với k-lưới σ-HCP khi và chỉ khi nó là ảnh của không
gian mêtric qua ánh xạ đóng.
• S. Lin trong [14] đã chỉ ra một không gian tôpô là ℵ-không gian
Frechet khi và chỉ khi nó là s-ảnh đóng của không gian mêtric.
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 2 / 27
lời nói đầu
• Câu hỏi mà Alexandroff đưa ra năm 1961 trong bài báo On some
results concerning topological and their continuous mappings đã
trở thành vấn đề trung tâm của tôpô đại cương trong mấy thập kỷ
qua và được gọi là vấn đề Alexandroff.
• Nội dung của vấn đề là đi tìm mối quan hệ giữa các không gian
tôpô và không gian mêtric bằng cách đặc trưng chúng thông qua
các ánh xạ khác nhau.

• Quá trình nghiên cứu đã thu hút những nhà toán học tên tuổi
như: E. Michel, L. Foged, S. Lin, Y. Tanaka, Z. Li, và họ đã thu
được nhiều kết quả thú vị.
• Trong [5], L. Foged chứng tỏ rằng một không gian tôpô là không
gian Frechet với k-lưới σ-HCP khi và chỉ khi nó là ảnh của không
gian mêtric qua ánh xạ đóng.
• S. Lin trong [14] đã chỉ ra một không gian tôpô là ℵ-không gian
Frechet khi và chỉ khi nó là s-ảnh đóng của không gian mêtric.
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 2 / 27
lời nói đầu
• Câu hỏi mà Alexandroff đưa ra năm 1961 trong bài báo On some
results concerning topological and their continuous mappings đã
trở thành vấn đề trung tâm của tôpô đại cương trong mấy thập kỷ
qua và được gọi là vấn đề Alexandroff.
• Nội dung của vấn đề là đi tìm mối quan hệ giữa các không gian
tôpô và không gian mêtric bằng cách đặc trưng chúng thông qua
các ánh xạ khác nhau.
• Quá trình nghiên cứu đã thu hút những nhà toán học tên tuổi
như: E. Michel, L. Foged, S. Lin, Y. Tanaka, Z. Li, và họ đã thu
được nhiều kết quả thú vị.
• Trong [5], L. Foged chứng tỏ rằng một không gian tôpô là không
gian Frechet với k-lưới σ-HCP khi và chỉ khi nó là ảnh của không
gian mêtric qua ánh xạ đóng.
• S. Lin trong [14] đã chỉ ra một không gian tôpô là ℵ-không gian
Frechet khi và chỉ khi nó là s-ảnh đóng của không gian mêtric.
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 2 / 27
lời nói đầu
• Câu hỏi mà Alexandroff đưa ra năm 1961 trong bài báo On some
results concerning topological and their continuous mappings đã
trở thành vấn đề trung tâm của tôpô đại cương trong mấy thập kỷ

qua và được gọi là vấn đề Alexandroff.
• Nội dung của vấn đề là đi tìm mối quan hệ giữa các không gian
tôpô và không gian mêtric bằng cách đặc trưng chúng thông qua
các ánh xạ khác nhau.
• Quá trình nghiên cứu đã thu hút những nhà toán học tên tuổi
như: E. Michel, L. Foged, S. Lin, Y. Tanaka, Z. Li, và họ đã thu
được nhiều kết quả thú vị.
• Trong [5], L. Foged chứng tỏ rằng một không gian tôpô là không
gian Frechet với k-lưới σ-HCP khi và chỉ khi nó là ảnh của không
gian mêtric qua ánh xạ đóng.
• S. Lin trong [14] đã chỉ ra một không gian tôpô là ℵ-không gian
Frechet khi và chỉ khi nó là s-ảnh đóng của không gian mêtric.
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 2 / 27
lời nói đầu
• Câu hỏi mà Alexandroff đưa ra năm 1961 trong bài báo On some
results concerning topological and their continuous mappings đã
trở thành vấn đề trung tâm của tôpô đại cương trong mấy thập kỷ
qua và được gọi là vấn đề Alexandroff.
• Nội dung của vấn đề là đi tìm mối quan hệ giữa các không gian
tôpô và không gian mêtric bằng cách đặc trưng chúng thông qua
các ánh xạ khác nhau.
• Quá trình nghiên cứu đã thu hút những nhà toán học tên tuổi
như: E. Michel, L. Foged, S. Lin, Y. Tanaka, Z. Li, và họ đã thu
được nhiều kết quả thú vị.
• Trong [5], L. Foged chứng tỏ rằng một không gian tôpô là không
gian Frechet với k-lưới σ-HCP khi và chỉ khi nó là ảnh của không
gian mêtric qua ánh xạ đóng.
• S. Lin trong [14] đã chỉ ra một không gian tôpô là ℵ-không gian
Frechet khi và chỉ khi nó là s-ảnh đóng của không gian mêtric.
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 2 / 27

lời nói đầu
• E. Michel và K. Nagami trong [15] chứng minh rằng không gian c ó
cơ sở đếm được theo điểm khi và chỉ khi nó là s-ảnh mở của không
gian mêtric,
Một câu hỏi đặt ra:
Không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương được đặc trưng
bằng ảnh của không gian mêtric qua ánh xạ nào?
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 3 / 27
lời nói đầu
• E. Michel và K. Nagami trong [15] chứng minh rằng không gian c ó
cơ sở đếm được theo điểm khi và chỉ khi nó là s-ảnh mở của không
gian mêtric,
Một câu hỏi đặt ra:
Không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương được đặc trưng
bằng ảnh của không gian mêtric qua ánh xạ nào?
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 3 / 27
lời nói đầu
• E. Michel và K. Nagami trong [15] chứng minh rằng không gian c ó
cơ sở đếm được theo điểm khi và chỉ khi nó là s-ảnh mở của không
gian mêtric,
Một câu hỏi đặt ra:
Không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương được đặc trưng
bằng ảnh của không gian mêtric qua ánh xạ nào?
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 3 / 27
lời nói đầu
Vấn đề trung tâm của luận văn:
• Giải quyết vấn đề Alexandroff về mối quan hệ giữa không gian với
cơ sở yếu đếm đượ c địa phương với không gian mêtric, cụ thể là:
đặc trưng không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương bằng
ss-ảnh mở yếu của không gian mêtric thể hiện ở Định lý 1.3.5;

• Trả lời câu hỏi: các không gian như ℵ-không gian, không gian với
cơ sở yếu đếm đượ c địa phương, k-không gian với k-lưới compắc,
đếm được-compắc, được bảo tồn qua những ánh xạ nào?
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 4 / 27
lời nói đầu
Vấn đề trung tâm của luận văn:
• Giải quyết vấn đề Alexandroff về mối quan hệ giữa không gian với
cơ sở yếu đếm đượ c địa phương với không gian mêtric, cụ thể là:
đặc trưng không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương bằng
ss-ảnh mở yếu của không gian mêtric thể hiện ở Định lý 1.3.5;
• Trả lời câu hỏi: các không gian như ℵ-không gian, không gian với
cơ sở yếu đếm đượ c địa phương, k-không gian với k-lưới compắc,
đếm được-compắc, được bảo tồn qua những ánh xạ nào?
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 4 / 27
lời nói đầu
Vấn đề trung tâm của luận văn:
• Giải quyết vấn đề Alexandroff về mối quan hệ giữa không gian với
cơ sở yếu đếm đượ c địa phương với không gian mêtric, cụ thể là:
đặc trưng không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương bằng
ss-ảnh mở yếu của không gian mêtric thể hiện ở Định lý 1.3.5;
• Trả lời câu hỏi: các không gian như ℵ-không gian, không gian với
cơ sở yếu đếm đượ c địa phương, k-không gian với k-lưới compắc,
đếm được-compắc, được bảo tồn qua những ánh xạ nào?
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 4 / 27
cấu trúc luận văn
Luận văn được chia làm 2 chương:
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu. Chúng tôi
trình bày một số khái niệm về các loại họ đếm được theo điểm, đếm
được -compắc, cơ sở yếu, sn-lưới, ánh xạ mở yếu, ánh xạ 1-phủ-dãy,
một số không gian tôpô đặc biệt và tập trung nghiên cứu về các bất

biến của ℵ-không gian. Đặc biệt chúng tôi chỉ ra rằng không gian tôpô
có cơ sở yếu đếm được địa phương khi và chỉ khi nó là ss-ảnh mở yếu
của không gian mêtric thể hiện ở Định lý 1.3.5.
Chương 2. Họ CF và cs-ánh xạ phủ compắc. Chúng tôi nghiên cứu
mối quan hệ giữa họ CF với các họ hữu hạn địa phương, hữu
hạn-compắc, CP, HCP, WHCP, và đưa ra được một số điều kiện để
các họ nói trên là tương đương đồng thời chỉ ra rằng k-không gian với
k-lưới c ompắc, đếm được -compắc được bảo tồn qua cs-ánh xạ, đóng
hoặc ánh xạ Lindel¨op mạnh, đóng.
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 5 / 27
cấu trúc luận văn
Luận văn được chia làm 2 chương:
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu. Chúng tôi
trình bày một số khái niệm về các loại họ đếm được theo điểm, đếm
được -compắc, cơ sở yếu, sn-lưới, ánh xạ mở yếu, ánh xạ 1-phủ-dãy,
một số không gian tôpô đặc biệt và tập trung nghiên cứu về các bất
biến của ℵ-không gian. Đặc biệt chúng tôi chỉ ra rằng không gian tôpô
có cơ sở yếu đếm được địa phương khi và chỉ khi nó là ss-ảnh mở yếu
của không gian mêtric thể hiện ở Định lý 1.3.5.
Chương 2. Họ CF và cs-ánh xạ phủ compắc. Chúng tôi nghiên cứu
mối quan hệ giữa họ CF với các họ hữu hạn địa phương, hữu
hạn-compắc, CP, HCP, WHCP, và đưa ra được một số điều kiện để
các họ nói trên là tương đương đồng thời chỉ ra rằng k-không gian với
k-lưới c ompắc, đếm được -compắc được bảo tồn qua cs-ánh xạ, đóng
hoặc ánh xạ Lindel¨op mạnh, đóng.
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 5 / 27
cấu trúc luận văn
Luận văn được chia làm 2 chương:
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu. Chúng tôi
trình bày một số khái niệm về các loại họ đếm được theo điểm, đếm

được -compắc, cơ sở yếu, sn-lưới, ánh xạ mở yếu, ánh xạ 1-phủ-dãy,
một số không gian tôpô đặc biệt và tập trung nghiên cứu về các bất
biến của ℵ-không gian. Đặc biệt chúng tôi chỉ ra rằng không gian tôpô
có cơ sở yếu đếm được địa phương khi và chỉ khi nó là ss-ảnh mở yếu
của không gian mêtric thể hiện ở Định lý 1.3.5.
Chương 2. Họ CF và cs-ánh xạ phủ compắc. Chúng tôi nghiên cứu
mối quan hệ giữa họ CF với các họ hữu hạn địa phương, hữu
hạn-compắc, CP, HCP, WHCP, và đưa ra được một số điều kiện để
các họ nói trên là tương đương đồng thời chỉ ra rằng k-không gian với
k-lưới c ompắc, đếm được -compắc được bảo tồn qua cs-ánh xạ, đóng
hoặc ánh xạ Lindel¨op mạnh, đóng.
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 5 / 27
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu
1.1 Các khái niệm mở đầu
1.1.1 Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô và P là họ các tập
con của X .
a) P được gọi là họ đếm được theo điểm (tương ứng, hữu hạn theo
điểm) nếu mỗi điểm x ∈ X thuộc đếm được (tương ứng, hữu hạn) phần
tử của họ P.
b) P được gọi là họ đếm được-compắc (tương ứng, hữu hạn-compắc)
nếu với mọi tập compắc K của X thì K chỉ có giao với nhiều nhất là
đếm được (tương ứng, hữu hạn) phần tử của họ P.
c) P được gọi là họ cs-đếm được (tương ứng, cs-hữu hạn) nếu với mọi
dãy hội tụ A (bao gồm cả điểm hội tụ của nó) thì A chỉ có giao với
nhiều nhất là đếm được (tương ứng, hữu hạn) phần tử của họ P.
d) P được gọi là họ sao đếm được nếu mọi phần tử P ∈ P chỉ giao với
nhiều nhất là đếm được phần tử của họ P.
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 6 / 27
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu
1.1 Các khái niệm mở đầu

1.1.1 Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô và P là họ các tập
con của X .
a) P được gọi là họ đếm được theo điểm (tương ứng, hữu hạn theo
điểm) nếu mỗi điểm x ∈ X thuộc đếm được (tương ứng, hữu hạn) phần
tử của họ P.
b) P được gọi là họ đếm được-compắc (tương ứng, hữu hạn-compắc)
nếu với mọi tập compắc K của X thì K chỉ có giao với nhiều nhất là
đếm được (tương ứng, hữu hạn) phần tử của họ P.
c) P được gọi là họ cs-đếm được (tương ứng, cs-hữu hạn) nếu với mọi
dãy hội tụ A (bao gồm cả điểm hội tụ của nó) thì A chỉ có giao với
nhiều nhất là đếm được (tương ứng, hữu hạn) phần tử của họ P.
d) P được gọi là họ sao đếm được nếu mọi phần tử P ∈ P chỉ giao với
nhiều nhất là đếm được phần tử của họ P.
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 6 / 27
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu
1.1.3 Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô và P là phủ các tập
con nào đó của X. Ký hiệu P
x
= {P ∈ P : x ∈ P}.
a) P được gọi là lưới tại điểm x ∈ X nếu x ∈ P với mỗi P ∈ P và với
mọi lân cận U bất kỳ của x, tồn tại P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U.
b) P được gọi là k-lưới nếu với mọi tập con compắc K và với mọi lân
cận U của K trong X, tồn tại họ con hữu hạn F ⊂ P sao cho
K ⊂ ∪F ⊂ U.
c) P được gọi là cs-lưới nếu với mọi dãy {x
n
} hội tụ tới điểm x
0
và với
mọi lân cận U của x

0
trong X, tồn tại số tự nhiên m và phần tử P ∈ P
sao cho {x
n
: n ≥ m} ∪ {x
0
} ⊂ P ⊂ U.
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 7 / 27
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu
1.1.5 Định nghĩa. Cho ánh xạ f : X → Y .
a) f được gọi là ánh xạ 1-phủ-dãy nế u với mọi y ∈ Y tồn tại
x
y
∈ f
−1
(y) sao cho mỗi dãy hội tụ tới y là ảnh của một dãy nào đó hội
tụ tới x
y
.
b) f được gọi là ánh xạ mở yếu nế u tồn tại cơ sở yếu
B =

{B
y
: y ∈ Y } của Y và với mỗi y ∈ Y tồn tại x
y
∈ f
−1
(y) thoả
mãn với mọi lân cận mở U của x

y
, tồn tại B
y
∈ B
y
sao cho B
y
⊂ f (U).
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 8 / 27
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu
1.1.6 Định nghĩa. Cho ánh xạ f : X → Y .
a) f được gọi là ánh xạ compắc nếu với mọi điểm y ∈ Y thì f
−1
(y) là
tập compắc trong X.
b) f được gọi là ánh xạ Lindel¨op nếu f
−1
(y) là tập Lindel¨op trong X,
với mọi y ∈ Y .
c) f được gọi là ánh xạ Lindel¨op mạnh nếu f
−1
(L) là tập con
Lindel¨op trong X với mọi tập Lindel¨op L trong Y .
d) f được gọi là cs-ánh xạ nế u f
−1
(K ) là tập con khả li trong X với
mọi tập compắc K trong Y .
e) f được gọi là ss-ánh xạ nế u với mọi y ∈ Y tồn tại lân cận V của y
sao cho f
−1

(V ) khả li trong X .
1.1.7 Định nghĩa. Tập con P của không gian tôpô X được gọi là lân
cận dãy của điểm x ∈ P nếu mọi dãy hội tụ tới x đều nằm trong P chỉ
trừ ra một số hữu hạn phần tử.
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 9 / 27
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu
1.1.8 Định nghĩa. Giả sử P =

{P
x
: x ∈ X } là họ các tập con của X
thoả mãn với mỗi x ∈ X ,
1) P
x
là lưới tại điểm x;
2) Nếu U, V ∈ P
x
khi đó W ⊂ U ∩ V với W nào đó thuộc P
x
.
P được gọi là một sn-lưới nếu với mỗi phần tử P ∈ P
x
có P là lân cận
dãy của x.
P được gọi là một cơ sở yếu nếu tập G ⊂ X là mở trong X khi và chỉ
khi với mỗi x ∈ G , tồn tại P ∈ P
x
sao cho P ⊂ G .
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 10 / 27
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu

1.2 ℵ-không gian
Nội dung chính mục này chúng tôi tập trung nghiên cứu về các bất
biến của ℵ-không gian. Kết quả thu được thể hiện ở Mệnh đề 1.2.4.
1.2.1 Bổ đề. Giả sử P là họ các tập con đóng của không gian tôpô X.
Khi đó hai mệnh đề sau tương đương:
a) P là họ hữu hạn địa phương;
b) P là họ CP và hữu hạn theo điểm.
1.2.4 Mệnh đề. Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ hoàn chỉnh. Khi đó nếu
X là ℵ-không gian thì Y cũng vậy.
1.2.6 Hệ quả. Không gian mêtric được bảo tồn qua ánh xạ hoàn chỉnh.
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 11 / 27
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu
1.2 ℵ-không gian
Nội dung chính mục này chúng tôi tập trung nghiên cứu về các bất
biến của ℵ-không gian. Kết quả thu được thể hiện ở Mệnh đề 1.2.4.
1.2.1 Bổ đề. Giả sử P là họ các tập con đóng của không gian tôpô X.
Khi đó hai mệnh đề sau tương đương:
a) P là họ hữu hạn địa phương;
b) P là họ CP và hữu hạn theo điểm.
1.2.4 Mệnh đề. Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ hoàn chỉnh. Khi đó nếu
X là ℵ-không gian thì Y cũng vậy.
1.2.6 Hệ quả. Không gian mêtric được bảo tồn qua ánh xạ hoàn chỉnh.
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 11 / 27
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu
1.3 Không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương
Đây là trọng tâm của luận văn. Trong mục này chúng tôi đưa ra một
số tính chất của không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương và chỉ
ra rằng không gian tôpô có cơ sở yếu đếm được địa phương khi và chỉ
khi nó là ss-ảnh mở yế u của không gian mêtric.
1.3.1 Mệnh đề. Cho không gian tôpô X . Khi đó (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒

(d) ⇒ (e).
a) X là không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương;
b) X là không gian với cơ sở yếu σ-đếm được địa phương;
c) X là không gian với cơ sở yếu đếm được theo điểm;
d) X là không gian gf-đếm được;
e) X là không gian dãy.
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 12 / 27
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu
1.3 Không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương
Đây là trọng tâm của luận văn. Trong mục này chúng tôi đưa ra một
số tính chất của không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương và chỉ
ra rằng không gian tôpô có cơ sở yếu đếm được địa phương khi và chỉ
khi nó là ss-ảnh mở yế u của không gian mêtric.
1.3.1 Mệnh đề. Cho không gian tôpô X . Khi đó (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒
(d) ⇒ (e).
a) X là không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương;
b) X là không gian với cơ sở yếu σ-đếm được địa phương;
c) X là không gian với cơ sở yếu đếm được theo điểm;
d) X là không gian gf-đếm được;
e) X là không gian dãy.
Nguyễn Thị Lê (CH13) Không gian với cơ sở yếu Vinh, 05/01/2008 12 / 27