Một số đặc trưng tính toán và độ phức tạp tính toán trên máy Blum-shub-smale và trên cấu trúc đại số

‘ :.y
- 1-V ^ * >* k . ' 1 V •
■I 1 fv.v5F'»'•iff.'Cf'?'!W '‘ĩ ’
K ịiJHpw ; • *&: Ate ịi -yi , *
R1' nKflpfetafflySt? \v35i: '
I i s M # Jf Ể® M Ĩ
r ^ jiirJrV ;T^fww J , V; V. . • ■
»•':, *r - • -' ?***' - -Au /-, J ■
■ rJR li-,
Đ Ạ I HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Tên đề tài
MỘT SỐ ĐẶC TRUNG TÍNH TOÁN VÀ ĐỘ PHỨC
TẠP TÍNH TOÁN TRÊN MÁY BLUM-SHUB-SMALE
VÀ TRÊN CẤU TRÚC ĐAI s ố
Mã số : QT- 04 - 01
Chủ trì đề t à i: PGS.TS.TRẦN THỌ C H Â U
H À NỘI - 20 05
Đ Ạ I HỌ C Q UỐ C G IA H À NỘ I C ộ ng h oà xã h ội chủ n gh ĩa V iệt n am
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Độc lập -Tự do - Hạnh phúc
= = == == = = *+ * =
BÁO CÁO TÓM TẮT
1. Tén đề tài M ột s ố đặc trưng tính toán và độ phức tạp tính toán
trên máy Bỉum-Shub-Smaỉe và trên cấu trúc đại sô ”
2. Mã số : Q T -04-01
3. Chủ trì đề tài : PGS.TS.TRẦN THỌ CHÂU
4. Cán bộ tham gia: GS.TS.Đặng Huy Ruận,
5. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu
a) Mục tiêu nghiên cứu
M ô hình tính toán trên số thực được đưa ra bởi ba nhà khoa học MỸ là L.Blum.
M.Shub, S.Smale vào nãm 1989 và thường được gọi là máyBSS.

- Một trong những mục tiêu chính theo cách tiếp cặn của Blum-Shub-Smale là
phải xây dựng lý thuyết độ phức tạp tính toán một cách phù hợp {con form )
nhằm giải quyết các vấn đề dựa trẽn nền tảng cơ bản là tính giải tích, tính tó-pô.
và chỉ ra một số vấn đề thực sự khó trong tính toán với bản chất là các số thực
bất kỳ được xử lv như là một thực thể thực sự.
- Một số khái niệm và kết quả quan trọng của lý thuvết độ phức tạp cổ điển được
chuyển sang m ỏ hình BSS-đơn định trong thời gian đa thức (ký hiệu ì à Pr) và
m ô hình BSS-kìiâní' đơn định cũng trong thời gian đa thức (ký hiệu là N Pr).
M ô hình tổng quát hơn là m ô hình tính toán trẽn cấu trúc đại số được
A.Hemm erling (University Greifswald, Federal G erm an y) nehién cứu từ nhrrni
nãm 1995 tới nay về Lý thuyết độ phức tạp tính toán, kha nãnc đoán nhãn nL:on
ngữ và một số kết quá cho các bài toán NP-đầv đú.
PGS.TS.Vũ N gọc Loãn.
PGS.TS.ĐỖ Trung Tuấn
ị f) <v hOC Q'.' - GIA HA u
! Tp - Tí:' ' , f.,Ị Thi.J v t u
1
b) Nội dung nghiên cứu
- Nghiên cứu các đặc trưng tính toán trên máv BSS làm việc với số thực
* N ghiên cưú một số đặc trưng đoán nhận ngôn ngữ và độ phức tạp theo mõ hình
mở rộng trên cấu trúc đại sỏ
6. Các kết quả đạt được
Tổng quan một số kết quả quan trọng trên hai mỏ hình: m ô hình Blum-Shub-
Smale và m ô hình m ở rộng trên cấu trúc đại sổ
- V é nghiên cứu cơ bản:
+ Chứng minh 2 định lý tổng quát về tính đoán nhận ngón ngữ theo luật logic và
luật De Morgan trên m ó hình cấu trúc đại sỏ
+ Chứng minh một vài tính chất kết hợp giữa 2 phép toán là H ơp (O1) và Giao
(rì) trong đoán nhận ngón ngữ
+ Áp dụng các kết quả đạt được cho việc nghiên cứu sâu hơn vé hai câu trúc

tính toán nói trên nhằm đua ra những khả năng tính được trên các máy trừu
tượng BBS.
7. Tình hình sử dụng kinh phí
a) Được cấp: 20.000.000 đồng
b) Sử dụng:
+ Thuê khoán chuvén m ôn : 12.000.000đ
+ Hội nghị khoa học. Xẽmina : 4.000.OOOđ
+ In ấn và các việc khác : 4.000.000đ
Hà nội, ngày 31 thúng 12 năm 2004
Ỷ kiến của Ban Chủ nhiêm Khoa CH Ủ TRÌ ĐÊ TÀI
GS.T5KH. S Í L *
SUMMARY
1. Title of p roject:
Som e characteristic Properties of the computability and the com plexity over the
Blum-Shub-Smale’s Model and the Model of the algebraic Structure
2. Code of project : Q T - 0 4 - 01
3. Head of research group :
Prof.Dr. Tran Tho Chau
4. Participants : Prof.Dr. Dang Huv Ruan
Prof.Dr. Vu N goc Loan
Prof.Dr. D o Trung Tuan
5. Aim s and contents o f project :
a) Rearcli aims :
In 1989. L.Blum, M.Shub and S.Sm ale[l] introduced the model for computations
over the real numbers which is now usuallv called the BSS-machine.
- One of the main purposes of the BSS approach was to create a uniform complexity
theory dealing with problems having an analytical and topological background, and
to show that certain problems hard even if arbitrary reals are treated as basic
entities.
Many basic concepts and fundamental results o f classical computability and

com plexity theory reappear in the BSS model: the classes Pr and N P r.
Based on the computation m odel introduced by A.Hemm erling [4] for string
functions over single sorted, total algebraic structures, he studed som e basic features of
a General theory of computability, recocnisabilitv of languages, and som e results OÍ the
N P-compl e t e ne s s .
b) M ain contents :
- Studying the properiie.s V)I ihe BSS-m oJci over uiw iiui
- Studying the properties of recocnisabilitv of lancuaees and com plexjtv over I he
algebraic structures
3
6. M ain obtained results :
Proving two theorems about the recognisabilitv o f languages after the logical
rules and D e Morgan rules over the algebraic structures
- Proving some associative properties of languages from two operations: union
(u ) and intersection (n )
- Applying the obtained results for advance research from two above models
which can us help to do many results about the computability over the abstract
BSS-model and over the algebraic structures.
7. Finance
a a) Receiving (From Coll. Nat. Sc.): 20.000.000đổng
b) Spendings :
+ For research works :
12.000.000d
+ For scientific conferences and seminars :
4.00ũ.000đ
+ Other works :
4.000.000d
Hu noi, December 31- 2004
Prof.D r. Tran The Chau
4

KÊT LƯẶN
Trên cơ sở lý thuyết Tin học. các khái niệm về khả năng tính được, độ phức tạp
tính toán, và khả năng đoán nhận ngón ngữ trên máy BSS và trên cấu trúc đại số. Chuns
tỏi đã nghiên cứu thêm một sô tính chất cơ bản của hai mô hình nói trên và đưa ra
được 2 định lý tổng quát về tính đoán nhận ngón ngữ theo luật logic và luật De M orsan
trên cấu trúc đại số. Đổng thời áp dụng luật đã nêu cho mỏ hình cấu trúc đại số. một
cóng cụ rất hữu hiệu trong quá trình xử lý xâu ký tự dựa trên cấu trúc đại số như nhữne
kết quả truyền thống trên mó hình máy Turing, đảm bảo tót tính hiệu quả và khá năng
đoán nhận của hai m ó hình theo tư tưởng lý thuyết độ phức tạp một cách đóng đéu
(uniform ) từ một hình thức hoá này đến một hình thức hoá khác.
Các kết quả đạt được của đề tài vừa mang V nghĩa lv thuvết vừa m ans V nghĩa
ihực tiễn, nhất là trong thời đại công nghệ thông tin đã và đang phát triển một cách
mạnh mẽ như ngày nay trẽn thế giới.
MỤC LỤC
Trang
1. M ở đầu 7
2. M ô hình Blum-Shub-Smale 9
2.1 Các khái niệm, định nghĩa 9
2.2 Thí dụ minh hoạ 11
2.3 Các kết quả cơ bản 13
2.4 Một số kết quả khác về vấn đề đầy đủ 14
3. M ô hình tính toán trén cấu trúc đại số ] 4
3.1 Các khái niệm, định nghĩa 14
3.2 Một số kết quả cơ bản trên mô hình cấu trúc đại số ] 6
TÀI LIỆU THAM KHẢO 21
6
MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG TÍNH TOÁN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH
TOÁN THEO MÔ HÌNH BLUM-SHUB-SMALE VÀ MÔ
HÌNH TỔNG QUÁT TRÊN CÂU TRÚC ĐẠI s ố
1. Mờ đầu

Vân đề cơ bản của lý thuyết tính toán có thể được đặt ra và phát biếu một cách
dễ hiểu như sau:
- Có thể tính được cái gì
Đối với những bài toán nào chúng ta có thê xảv dựng được các thú tục máy
cùng với tính hiệu quả của nó nhầm giải quyết mọi tình huống đặt ra của bài
toán
Những bài toán nào có tồn tại thuật toán đê giải được nó
Sự phát triển mang tính chất nến tảng của logic Toán học từ nhữne năm 1930
người ta đã chỉ ra rang tổn tại các bài toán khóng giải được, nehĩa là khỏnc tốn tại một
thuật toán nào để giải được các bài toán đó.Trước đây người ta luôn cô gắng xây dime
một thuật toán cho mồi bài toán sao cho nó được phát biểu một cách chính xác chừns
nào tìm được một thuật toán đúng đắn nhất. Vấn đề cơ bản nàv mang một ý nshĩa thực
tiễn rất cao: người ta sẽ khỏne bao giờ xây dựng các thuật toán cho một bài toán khỏng
giải được. Vậy cấn phải có m ột m ỏ hình tính toán để thiết lập tính khône giải được cua
một bài toán. Nếu chúng ta muốn chỉ ra rằng không tổn tại một thuật toán cho một bài
toán riêng biệt nào đó thì chúng lại cần phải có một định nghĩa chính xác về thuật toán.
Khi chứng minh tính giải được, người ta chỉ cần đưa ra một thủ tục cụ thể mà hiệu quả
theo nghĩa trực siác là được.
Chúng ta hiểu thuật ngữ thuật toán và thủ tục hiệu quà là đổng nghĩa với nhau (/12/).
Các cơ sớ lý thuyết của sự tính toán và độ phửc tạp tính toán đã được nhiéu nhà
Toán học nổi tiênc như Ciỏdel. Church. Turinc. Klecne và nhiêu ncười khác nehién
cứu từ nhữne năm 1930. Các kẽt qua đạt được đã làm thúc đáv nén Toán học thê siới
phát triển khỏns ngừn£ và nhiéu kết qua tuyệt vời trén phươns diên lv thuyết đã được
thừa nhận, đặc biệt là A.Turing đã đưa ra m ỏ hình tính toan tỏng quái được iiọi la ma\
Turing. Đ ó là một mỏ hình Toán học thích hợp đê diẻn ta khái niệm thuái toán va
khai niệm ham linh được.
/
V ào năm 1971, S.Cook, nhà Toán học người Canada, là người đầu tiên đưa ra hài
toán p = N P ?“. có nghĩa là liệu có phải m ọi ngôn ngữ đoán nhận được hời m ột m áy
Turing khỏng-đơn định trong thời gian đa thức thì cũng đoán nhận được bời một máy

Turing-đơn định trong thời gian đa thức ?
Đ ê nghiên cứu sâu hơn mối quan hệ giữa p và NP. chúng ta dễ dàng nhận thấy rãnc
p c Np, còn vấn đề ngược laị “ NP c P ? “ thực sự là khó khãn từ láu nay. Muốn hiểu
tốt hơn, chúng ta chọn ra một bài toán “khó giải nhất" BT* thuộc lớp NP và kiểm tra
xem BT* có thuộc p hay không. N ếu BT* thuộc p thì khi đó các bài toán còn lại ít khó
hơn hay cùng lắm Jà khó bằng BT* cũng thuộc p. Vậy bài toán '"khá nhất" trons NP sẽ
là chìa khoá vạn năng để m ở cửa bài toán “ p = NP ?
S.Cook gọi các bài toán “khố nhất “ trong NP là các bài toán “ N P - đầy đủ " , và
chính ông là người đầu tiên năm 1971 đã chứng minh bài toán thoả được
(SATISFIABILITY- viết tắt là SAT) là NP-đầy đủ. Sau đó M.Karp dựa vào phương
pháp của Cook đã chứng minh thém một loạt 20 bài toán thuộc lớp NP-đầy đu. và cho
đên nãm 1979, M. Garey và D.Johnson (/2/) đã tổng kết được 300 bài toán NP-đấv đu.
Từ đó đến nay số lượng các bài toán NP-đầy đủ ngàv một đông hơn, phone phú và đa
dạng hơn, góp phần tích cực cho việc lựa chọn chia khoá đê m ở cánh cửa “ p = NP ?
Vào năm 1989, ba nhà Toán học M ỹ là Blum, Shub. Smale /1/ đã đưa ra một mó
hình tính toán trên sô' thực và đưa chúng ta đến một tiếp cận mới về LÝ thuyết độ phức
tạp tính toản trên phạm vi này.
Một trong những mục đích chính của tiếp cận mô hình Blum-Shub-Smale (viết tắt
là m ô hình BSS) là xây đựng m ột lý thuyết độ phức tạp chuẩn (uniform) nhàm giái
quvết các bài toán trên nền tảng giaỉ tích và tỏpó, đồng thời chỉ ra một số bài toán
"khó" ngay cả khi số thực bất kỳ được xử lv như là một thực thê cơ bàn. Nhiều khái
niệm và kết quả cơ bản cua lý thuyết độ phức tạp tính toán cổ điển đều áp duns lại
trong m ỏ hình BSS: máy tính van năng (universal machines), các lớp
PR và NPr (tương tư như p rà AT ). các bài toán N P R-đầy đu. Vào nảm 1995.
A .Hem m erline /4/ lại nghién cứu lý ihuyél độ phức tạp tính Iơán trẽn m ỏ hình cáu trúc
đại số 1. tronc đó khái niệm I-tính đươc đối với các hàm xâu trên m ỏ hỉnh cấu trúc
Tư tườnn cua mó hình tính toán này bãl ncuón từ các cóng trinh cua Goode /3/.
Poizat /1 1/ và đã thu được nhiêu két qua quan trone trone lình vực K thuvc! đi) phức
8
tạp tính toán, góp phần đi sáu nghiên cứu bài toán “P = NP ?'' theo các mỏ hình tính

toán khác nhau, và làm rõ thêm bản chất “ khó ” của từng bài toán có thể chứng m inh
được trên m ỗi m ột m ó hình tính toán.
2. M ó hình Blum - Shub - Smale
Ký hiệu: - R* = u R k
k e N
Một điểm v=(v,.v2 ) € R x thoả mãn yk=0 vói k đủ lớn.
2.1 Các khái niệĩĩii định nghĩa
Đ ịnh nghĩa 2.1 Giả sử Y c R '
- Một máv Blum-Shub-Smale M (viết tát BSS-nuíy) trẽn R với tập vào chấp nhận Y
là một tập hữu hạn các câu lệnh I có gán nhãn từ 0.1.2 N
- Một hình trạng của m áy M là một bộ bốn (n.i.j.x) G IxN xNx R ' .
trong đó n là câu lệnh hiện tại, i và j là các địa chi cứa các thanh ghi (copv-roìiistCTs )
và X là nội dung hiện tại của thanh ghi.
Hình trạng ban đầu của máy M khi tính toán với dữ liệu vào v e Y là
(l.L l.length(v ).y ).
Nếu n e N và hình trạng hiện tại đạt được ]à (N.i,j.x) thì khi đó quá trình tính toán
được kết thúc và dữ liệu ra là X.
Các câu lệnh của m áv M bao gồm các dạng sau đây:
• Lệnh tính toán (computation)
- Tính toán dữ liệu:
n: xs <— xk o n X] . trong đó
n: X <— a với a là một hàne thuộc R.
Như vậy thanh íihi X, sẽ nhặn gia trị là X, o n Xị hoặc a tương ứng. Mọi thanh ehi
khác đêu không thay đòi. Lệnh tiẽp theo sẽ là n+1.
- Địa chi mới: i <— i+] hcxic i = 1: j <— j+l hoặc j = 1.
9
• Lệnh rẽ nhánh (branch):
n: Nếu x 0 >= 0 thì nhảy đến P(n) hoặc nhảy đến n+ 1.
trong đó p(n )e I.
Như vậy lệnh tiếp theo Ị3(n) là được xác định khi điều kiện thoả mãn; nếu không

chuyển đến lệnh tiếp theo. Tất cả các thanh ghi khác đều không thay đổi.
• Lệnh sao chép (copy):
N: X, <- . nghĩa là nội dung của thanh đọc (read- register) được sao chép sang
thanh ghi (write- register). Lệnh tiếp theo sẽ là n+1. M ọi thanh ghi khác đéu giữ
nguyên.
Tất cả các giá trị a xuất hiện trong các lệnh tính toán tạo thành một tập hợp được gọi
]à tập các hằng của maý.
Mỗi một máy M trên Y đều tươns ứng với một hàm <I>N1 tính được bời M.
Đây là một hàm bộ phận từ Y vào R r và cho kết qua là giá trị tính được với dữ liệu vào
y e Y.
Định nghĩa 2.2 Giả sử A c B c R " và M ]à một BSS-máy trên B.
a) Tập dữ liệu ra {output set) của M là tập hợp O m(B).
Tập dừng (halting set) của M là tập tất cà các dữ liệu vào y sao cho C>N1(V) là xác
định.
b) Cặp (B.A ) ký hiệu là bài toáìì quyết định. Cặp này được gọi là cỏ thể cỊttycí dịìiìì
được (decidable) khi và chỉ khi tồn tại một BSS-máy N với tập vào chấp nhặn B sao
cho là hàm đặc trims của A vào B. và trone trườne hợp này người ta nói rãns máy
N quyết định (B.A).
C h ú ý: Cộp (B.A) là có thé quyét đinh được khi \'à chi khi A \'à B \ A đéu la các táp
dừng trẽn B.
10
Định nghĩa 2.3
a) Đối với X =(x,,x2, ) e R* sao cho X = (X],X2 xk,0.0 ) e R* thì khi đó người ta
ký hiệu:
size(x) = k.
b) Giả sử M là một BSS-máy trên Y c R* và y e Y. Khi đó thời gian thực hiện cua
máy M trén y được xác định bởi biểu thức:
Số thao tác thực hiện của M trên dữ liệu vào V,
TM(y):= i nếu 0 M(y) được xác định
00. trường hợp còn lại

Đ ịnh nghĩa 2.4 Giả sử A c B c R x
a) Một bài toán quyết đinh (B,A) được gọi là thuộc lớp PR khi và chỉ khi tổn tại một
BSS-máy M với tập vào chấp nhận B và các hằng k e N , c eR / sao cho M quyết đinh
(B,A) và V y e B ( TM(y) <= c.size(y)k ).
b) (B,A) được gọi là thuộc lớp N P R khi và chỉ khi tổn tại một BSS-máv với tập vào
chấp nhận BxR y và các hàng k € N, c e R r sao cho:
(1) 0 M(y,z) G {0,1}
(2) O
m (y.z) = 1 => y e A
(3) Vy e A 3 z e R x (<Ỉ>M (y.z)= l và TM(y) <= c.size (v )k ).
Chú V : ở đâv z được xem như là một “ngẫu nhiên" {guess) để diễn tả m ột cách
không hình thức của thuật toán N P R .
2.2 Thí dụ minh hoạ
Tính quyết đinh của táp s ố nguyên dưong ị/ì/ì
Gia sư s c Z' . Chuns ta xã}' dựne một má\' M s tren R đê qu\ ẽt định táp s.
n^hĩa là cho dữ liệu vào II eZ . máy M s sẽ cho kết qua ra là l. nếu n e s. hoặc là 0.
néu n € s.
11
M áy M s tương ứng với m ột hàng s e R được xác định bằng biểu diễn nhị phân như
sau đáy:
s= . S|s2 s n trong đó 1, nếu n e s
sn = ^
0. nếu n Ễ s.
H ìnhl Tính quxết đinh của tập sở nguyên dương
M s được xâv dựng ứng với hằne s , trong đó hãng s đóng vai trò như là một
“Oracle" của m áy Turing.
M áy sẽ cho câu trả lời “ Is n e s ?" với độ phức tạp thơi gian là nlogìì (Hình 1).
Đ inh nỉĩhĩa 2.5 Giíi SƯ n £ s và s c Rr' . Khi đó s đươc £01 lã Iiiíư-CỈLII sò
(semi-al°ebraic). nêu s là tập các phán tứ thuộc R n thoa mãn hê phươns trình đa thức
trên R hay nói cách khác, nêu s là hợp hữu hạn các tập con có dang:

[y ể R” : f( y ) = 0 A g ,(y)> 0

g ,( y )> 0 ; .
tront; đó f. g| . g ; g ,e R [x !•■•*[■.]•
12
Đ ịn h n ghĩa 2.6 Giả sử (B i.A [) và (B t.A i) là các bài toán quvết định. Khi đó người ta
nói rằng: (B2,A 2) là dán được về (B ị.A ,) trong thời gian đa thức, khi và chỉ khi tổn tại
m ột BSS-máy M trên B-, sao cho:
(B2)c B, , O m (y) G A| <=> v ẽ A2,
và M làm việc trong thời gian đa thức.
Ký hiệu: (B 2.A2) < r (B |.A|).
Chú ý:
1) Các tập con nửa-đại số của R ]à hợp hữu hạn của các khoảng giới nội. không si ới
nội, mở, đóng, hoặc nửa-m ở (/1/).
2) Các bài toán quyết định (R,Q), (R. Z), (R,N), và (Q,Z) đều không thuộc lóp PR
(/9/).
3) Bài toán (R,Q) là không quyết định được, còn các bài toán (R. Z). (R.N). và (Q.Z)
là quyết định được (/9/).
2.3 Các kết quả co bản
Chúng ta ký hiệu:
Fk= {f : f là đa thức n biến với hệ sổ thực có bậc <= k Ị
Fk zero = {f e Fk: f có nghiệm thực}
Fk7-r.+ = {f s Fk: f có nghiệm thực với các thành phần không â m }
Đ ịnh lý 3.1 (Bìum-Shub-Smale /ỉ/)
a) Đối với mọi k >=4 bài toán (Fk, Fk zcro) là NPR -đầy đủ.
b) M ọi bài toán thuộc lớp N Pr đều có thể quyết định được trong thời gian hàm mũ.
C hú ý- Với °ia thiết là PR - NPr thì siới hạn k = 4 là cán dưới chát nhất cưa đinh
lý 3.1. điều này đã được Triesch /15/ chứng minh :
Với k =1.2.3 bài toán (F \ Fl „ ril ) là thuộc lớp PR.
13

2.4 Một sô kết quả khác về các vân đề đầy đủ
1) Bài toán (QS,Q S yeJ-h ệ phương trình đa thức bậc 2 có một nghiệm là N PR -đầy đu
C/8/>.
2) Bài toán (Fk. Fk 7cro+) là N PR -đáy đủ với k>=4 (/Sỉ).
3. Mò hình tính toán trên cấu trúc đại sỏ
3.1. Các khái niệm, định nghĩa
Đ ịnh nghĩa 3.1 Giả sử N + là tập tất cả các sỏ nguyên dương.
Một cáu n úc đại sổYâ một bộ bốn :
£ =< S;(c, : 1 e l c):( R, : i e I R):( F, : i e I F)>,trong đó :
- s là một tập khác rỗng, được gọi là tập nền của X
- (Cj : i e l c) là một họ (có thể rỗng) của các hằng cơ bản, tức là c, e S vơí mọi 1 e l c
- R, : i e I R) là một họ các quan hệ cơ bản, tức là Ri C s k' với k, là số ngói thuộc N +
với mọi i e I R
- (F, : i elp) là một họ các hàm cơ bản. trong đó mỗi một hàm có số neòi là ], thuộc
Bộ ba ơ = <IC; (k, : i e I R):( ], : i elp)> được gọi là ký nliậii (signature của I).
Một cấu trúc được gọi là hữu hạn, nếu tất cả các tập chỉ số Ic. IR. Ip đều là hữu hạn.
Thí dụ:
1) B = < {0,1 ]•; 0.1: = : > là một cấu trúc trường nhị phân
2) R = <R: 0.1; <=: + *./> là một cấu trúc sắp thứ tự của trưòfng số thực
3) v = <V; 0 :=; (ơ : re R),+>là một khôns gian vectơ tuyên tính
(ơ r(x)= r.x )
Trone các thí dụ trên, hai thí du đầu có câu trúc hữu han. còn thí du sau cùnc có
câu trúc vó hạn.
Sir rinh toán trone s nshĩa là sư tính toán của các hàm (bỏ phân) k biên ự) : —> s.
M ót liiii tục thuật toan hữu hạn nghía là cho một bộ dữ liệu <S].S;

sni \'áo "mav".
M áv làm việc tươnc ứng VỚI một chương trình nào do và cho kéi qua la gia tri cua ham
. khi vìi chi khi ham được xác đinh.
14

Đ ịnh n gh ĩa 3 .3 - M ột I-ch ư ơ n g trình được gọi là đơn định (D-program ). nếu nó
không chứa lệnh guess và tất cả các lệnh nhảy chỉ chứa đúng m ột nhãn.
- M ột chương trình là không-đơn định loại Ị hay còn gọi ỉà khỏng-đơn dịììh nhị phái!
(N I -program ), nếu nó không chứa lệnh guess.
- Một chương trình là không-đơn định loại 2 (N2-program). nếu nó là một chươnc
trình tuv ý.
Chú ý:
Các khái niệm D-tính được và N,-tính được đéu hiểu tương tự như trước đây.
Người ta còn phân biệt kỹ hai khai niệm :
I - chương trình ( 'L-program ) và z -Tựa chương trình ( 'L-Quasiproỵơm ) ớ chỗ la
trong 'L-cluỉơiìg trình chỉ cho phép một số hữu hạn các hãng của cáu trúc là các số
hạng trực tiêp, trong khi đó thì E-Tựa chương trình lại cho phép các phán tư Uiỳ ý cúa
tập nển là các số hạng trực tiếp.
Và tương ứng chúng ta lại phán biệt thêm khái niệm tựa Ịìầnạ (quasiconstanỉ).
Đ ịnh nghĩa 3.4 Một phần tử s e S được coi là (£)- kiến tliiết (constructible). nếu tòn
tại một hàm xác định khấp nơi cp„ sao cho:
cp,(co) =s với mọi co € s +. là m ột hàm S-tính được đơn định.
Đ ịnh nghĩa 3.5 Một cấu trúc s được gọi là song kiến thiết (bipotent ). nếu tón tại ít
nhất hai phần tử kiên thiết r(1 và rI.
C hú v: - Trẽn cấu trúc so n s kiên thiết, ne ười ta có thế sử dung các rãnh phụ eiúp cho
việc xử lý xâu. chàng hạn : xâu co = r,is]r,;s: ,rm s„
(iị e í0.1Ị) thay cho xâu gốc là co = S|S: . sn .
- Và hàm cặp xáu {pani/ii! o f string):
pair(S|S: sn ,S] S; sm ) =dt.f r0S|r0s2 r(t sn rjSiroS^ rdS^ .
Ò d''iV tap hop I pair I (■) ('->-1 : (■) € S’ ! la D- q LI vet đinh diro'c.
15
3.2. M ột sô' kết quả cơ bản trén mỏ hình cáu trúc đại só
Định lý 3.1 (/4/)
Trẽn m ỗi cấu trúc I . các m ệnh đề sau là đúng :
- Nếu N ,p = N 2P thì N ,P Q = N 2PQ.

- Nếu p = N,p thì PQ = N,PQ (i=1.2)
- N,p = PQ khi và chỉ khi N,PQ = PQ (1=1.2).
Đ ịnh ly 3.2 (s-m-n Theorem /5/)
Đối với mỗi một m, n G N + tổn tại một hàm S- tính được xác định khắp nơi với
(m +1) biến CTmn : ({ r0,rl}+)m+1 -*• { r0.r,}+ sao cho với mọi
co ,

com e {r,„r,}+ và mọi 0)m+ !

c.)m+n E s + :
^ (0(1 ([í)J I,. . ., COm,M m+| ,. . ., (0m+n ] ) — ộ I, n <(:)(),(!.], . f im I ( I ®m + n]
Đ ịnh lý 3.3 (Recursion Theorem /5/)
Giả sử n e N +. và ọ : (S+)n+l —> s + là một hàm S-tính được đơn định. Khi đó lỏn
tại một xâu CD0 e {r0,rj}+ sao cho
Vcù,

com G s + : cp(co,

com) = o , ,(,([« ,

íử j).
Đ ịnh lý 3.4 {Fixed- Poiìit Theorem /5/)
Giả sử n e N +, và cp : s + —» s + là một hàm I-tính được đơn đinh. Khi đó tổn
tại một xâu co0 € {r0,r,}+ sao cho
Veo,

CDm e s + : O ,,0 ([co,

coJ) = ®cp l(HI, ([tO]

toJ).
Định IV 3.5 {Rice 's Theorem /5/)
Giả sir 0 la một láp hợp các hàm bộ phận một biên I-tính được đơn định và
khác rỏng. Khi đó ton tai một láp chi sỏ
](<$) =Ji| ;(!) : e Iru.r] !+ và <t> I là khóne I-đoán nhận đơn định.
16
V ào năm 2002, trong thời gian thực tập ba tháng tại Trường ĐHTH G reifsw ald.
chúng tôi đạt được hai kẻt quả sau đây về vấn đề tính được trẽn m ỏ hình cấu trúc đại sò
(/Preprint 2002/).
Đ ịnh lý 3.6 Tồn tại một hàm X - tính được với 2 biến
tp : ({ r(hr1}+)2 —> { r0.r,}+ sao cho với mọi co. co' e {r0.r,}+ và mọi co Ị

ojm t
s + :

í[“ l

«m]} = (p ([co I

co j).
Đ ịnh lý 3.7 Hàm sau đây là I - tính được đối với mọi D-tựa chương trình n và
mọi co Ị

CDm e s + :
co’ . nếu 0 \ (Xkln, ([co,

0)m]) tổn tại
và bàng 0)'
g(pair(code(n),[cừ|

Cừj) =dcl ị
không xác định, nếu
«.<*!,, ri) ( [« ,

ís)m]) không tôn tại.
Trong thời gian thực hiện tiếp đé tài 2004, chúng tỏi đã tiếp tục nehién CƯÚ theo
mô hình này và ihu thèm được một vài kết quả mang tính tổng quát của luát logic và
luật De Morgan .
Đ ịnh lý 3.8 (Hem m erling/ 5/)
Lớp các tập ra (output sets) của ngôn neữ trên cấu trúc đại số là đóns đói với
các phép hợp (u ) và giao (n ).
Một cách tự nhién. chúns tôi cũng dễ dàng suy ra rãng nó cũng thoa mãn luãt phân
phối hai bên đỏi với hai phép loan này là:
u r-, ( \ T \Y ) = ( Ư V ) u ( r o \Y ì (ã)
u ( V ~ W ) = ( u O1 V ) ( I' „ \v ) (h)
Chim e minh hai tinh chát này dựa vào cách chứng minh cua đinh ]Ý 7.1 cua
H em merlinc(/5/) và lý thuyêt tập hợp cổ điển.
17
Từ đấy, chúng tôi đi đẻn kêt quả tổng quát sau đáy theo luật logic và
luật D e M organ.
Định lý 3.9
Giả sử (A >.) > e L và (B > ) >. e V, là hai họ các tập ra của ngón ngữ trên câu
trúc đại số. Khi đó chúng ta có:
M .€ L A ijn (u AíMBfi) = u i.v|líW1(A i. n B p).
Chứng minh:
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp Toán học theo số phán từ cua hai họ
(A>.) Ã e L và (B>. ) >. e M- Chúng ta ký hiệu lực lượng của tập hợp D là I D i.
1) Bước khởi đấu: I LỈ = 1. và I Nil =2. Chúng ta có:
A l n ( B l u B 2 ) = (AI nBI ) u (AI n B2)
điều này đúng theo tính chất phản phối hai bẽn (a).

2) Bước giá thiết c/ny nạp:
Giả sử cổng thức đúng với mọi I lI .! mI <= k < - n:
(^ i.íL A > ) r'') /. t M B p.) = ) X(J LxM ( A)_ Cì ).
3) Bước chứng minh quy nạp:
Chúng ta sẽ chứng minh rầns. cỏn s thức cũng đúng với ! LỈ =n+l.l MI =n+l:
( u t f |_Aj ) n ( u , ễ MB[!) = í L\M^ ,r>i Bu)
Chúng ta xét 5 trường hợp sau đày:
• Trường hợp 1: i Ll =1. và I MỈ =n+ l
A | 0 ('<J Ị.1 í 1 ,n*l ì ~ ^ u € l n+l ( A ] o Bp ) .
Thật vậy. chúng ta có
A ,n (U M , n+i B |U) = A| ~'(('-L., ] n )'^ ị )= A I B . . B
= (A,~ B,- > ~ <A,~ B„*1> = (A R i . 'A p
= , r!. : ( A r 'B u ) .
vì rànc (U j|r: I „ Bị-1 ) = B ,. \à (A] B _ u (AỊ But
(theo gia thiêt qui nạp >.
1S
• Trưòng hợp 2: I Ml = 1, và I Ll = n+ l
( U M 6 I-n+1 B n) n A, = u M e , n+1 (B |i n A |).
Chưng minh tương tự như trường hợp 1 bằng cách đổi vai trò của A cho B.
• Trường hợp 3 : I Ll = h <= n. và ỉ Ml = n +1.
( u i.Ei hA;.)n(uNil n+lB|i)= u 1aM {A,r- B U)
Thật vậy, chúng ta có :
( e I h A >.) =Aj. (theo giả thiết quy nạp)
và chúng ta áp dụng phương pháp chứne minh tương tư như trường hơp 1 bãne cách đổi
vai trò A ị cho A j*.
• Trường hợp 4 : I m | = t <= n. và I l I =rì+1.
Ãe L ^ ^ ự t I I B |_l) — ự. ịi )Ị-_ [_\ M (A fiH B |i)
Thật vậy, chúng ta có
( u ^ u B ụ ) = Bj. (theo ciá thiôt quy nạp),
và chúng ta áp dụng phương pháp chứng minh tương tự như trườns họp 2 bans cách đổi

vai trò B, cho Bjt .
• Trường hợp 5 : I MỈ = n+1. và I l I =n+ l
( u , L A>.) n (u e M B M ) = V >. VL1 e LvM { A >. n Bm ).
Thật vậv, chúne ta biên đỏi vẽ phai như sau:
u ; K|1 f LxM ( A/. ^ ^ = ^ ' U1 € in+l.n+li^ A / ^ B M ) 'vj ( B n + Ị I . ('sj , L n+I A/ ) )
u (A n+I n ,:M IW1 B u n ( A n+| Bn+1) = ((w1, , L. n^| A, ) r-, Cw: v _ B u I)
( B ,wI C\ (uL- IK1 A ;.|| - I A n. 1 ( w' M. N) . ; B u II ( A n_; B n. ; ) . ( )
19
Chúng ta đặt:
^ _ ( u >■ e L-n+1 A> ) và Y = ( u AiM^ +1B ụ). Khi đó từ (*) chúng ta có:
( X n Y ) u ( B n+1 n X ) u ( A n+I n Y ) u ( A n+1 n B n+, ) =
( Y n ( X u A n+| )) u (B n+i n ( X u A n+1 )) = ( Y n ( u > . L A> )) O'
( B n+| n ( u A e L A>. )J = ( u ;.h Aj n ( Y u B n+1 ) = u , ^ , UM ( A, r Bu ).
(đpcm)
Định lý 3.10
Giả sứ ( A j ; e L và (B X ) A ẹ M là hai họ các tập ra cùa ngón ngữ trẽn cáu
trúc đại số. Khi đó chúng ta có:
( ^ t L A , ) u ( n , ị M B Ị.I) = o ; vuLxM ( A, yj B u ) .
Phương pháp chứng minh định lý này lương lự như chứna minh định lý 3.9
bằng cách đổi vai trò u cho n . (đpcm)
N hận xét:
Theo định lý7.1(H em m erling /5/). lớp các tập đoán nhận (recognizable sets) cua
ngôn ngữ trên cấu trúc đại số cũns có tính chất đóng đối với hai phép toán họp (O I và
giao (n ). do đó các tính chất phãn phối hai bên (a)&(b) cũne đểu thoả mãn. Vì vậy
tính chất tổng quát của lớp nsôn nsữ nàv đều áp dụng được cho hai định lý 3.9 và
định lý 3.10. Hơn nữa. lớp các tập đoán nhậ n (cũng như lớp các táp ra) két hợp với
hai phép toán hơp (u ) và giao (n ) nói trẽn lập thành một dàn phán phối
{distributive lauicc I.
20
TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Blum,L.; Shub, M.; Smale, s On a the orx o f compulation and compiexitx over IỈIƯ real
numbeis. NP-completeness, recursive functions and universal machines. Bull. Amer. Math.
Soc. 21 (1989), 1-46
[2] Garey, M. R.; Johnson, D. s Computers and intractability, W.H. Freeman and ciHiipiinx,
New York , /9 7 9
[3] Goode, J, B., Accessible telephone directories, J. Svmb. Logic 59 (1994). 91-105
[4] Hemmerling, A., Compuiabihlx and complexity over structures of finite type.
E M Am dt-University Greifswald, Preprint 2 (1995)
[5] Hem m erling, A., Computability o f String fimciicms over algebraic structures.
Math. Logic Quarterly 4 4 (1998). 1 -44
[6] Hemm erling, A., On p versus N P for parameter-free programs over algebraic
structures, Math. Logic Quarterly 47 (2001), 67-92
[7] Koiran. p., /4 weak version o f the Blnm-Shub-Smalc model, FOSC '93 (1943 I, 486-495
and Neuro COLT TR Series NC-TR-94-5 (1994)
[8] Meer, K Computation over z and R: a comparison. Journal of Complexity 6 (1990).
256-263
[9] Meer, K., Komplexitàtsberrơctunẹen fu r reelle Machinenmodelle. PhD. Dissertation.
Verlag Shaker. Aachcn. 1993
[10] Michaux, c ., p ^ N P over the nonstandard real implies p T NP over R.
Theoretical Computer Science 133 (1994), 95-104
[11] Poizat, EL Les petit cailloux. Aleas. Lyon. 1995
[12] Salomaa. A Computation and Automata. Cambridge University Press 1985
(bản dịch tiếng Việt : "N há p m ón tin học ỉ Ý thuyết tinh toán và các O tóm at cua
hai tác cia N suvẻn Xuân My và Phạm Trà Ân. N X BK H & KT Hà nội- 1992)
[13] Triesch. E .4 note en J theorem o f Bìum-Shiib-Smak. Journal o f Complexiry 6
(1990). 166-169
[14] Tran Tho Chau, ỉnĩrdncĩicn 1(1 thi' Tt’(>r\ of c (imputation and c ompỉe.xiĩy over ilw
Real Numbers and other Alỉỉcbrưic SlruơiuTs . Preprint Reihe M clthem atik.
Nr. 2 0 -2 0 0 2 . Emst-Moruz-Amdt-UniversitaL Cireiiswald 2002.
Phiếu đăng ký kết quả nghiên cứu

Tén đề tài: Một sô đặc trưng tính toán và độ phức tap tính toán trén máy
Blum-Shub-Smale và trên cấu trúc đại số
Mã số: QT - 04 - 01
Cơ quan chủ trì đề tài: Khoa Toán-Cơ-Tin học.
Trường Đại học Khoa học Tự nhién -
Đ H Q G H à nộ i
Địa chỉ: 334-N guyẻn Trãi, Thanh Xuân. Hà nội.
Tel. 8 581 135
C ơ q u an q uả n lý đ ể tài: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên-
ĐH Q G Hà nội
Địa chỉ: 334'N guyễn Trãi. Thanh Xuân. Hà nội.
Tel. 8 584 529
Tổng kinh phí thực chi: 20000 X lOOOđ
Trong đó: - Từ ngân sách Nhà nước: 0 X lOOOđ
- K inh phí của Trường: 20000 X ]000đ
- Vay tín dụng: 0 X lOOOđ
- Vốn tự có: 0 X lOOOđ
- Thu hồi: 0 X lOOOđ
Tên các cán bộ phối hợp nghiên cứu:
Chủ trì: PGS.TS.Trán Thọ Cháu
Những người tham gia:
GS.TS.Đặng Huy Ruận
PGS.TS. Vũ N gọc Loãn
PGS.TS. Đỗ Trung Tuấn
N e ày
Số đăng ký đề tài sỏ chứng nhân đăng ký
Kết qua nchiên cứu
Bao mát
a. Phó bién rộng rãi
b. Phổ biến hạn chê

c. Bao mát
Ki6n nghị ve (|U1 mo va đoi tượng áp dung nghién C Ứ U '
Cac ket qua đạt được có thê áp dụng nhằm tao lập thém những táp dữ
liẹu ra {output sets), tập đoán nhận (recognizable sets) hãng cách lãp đi
lặp lại một số lán theo ý muốn, rói dừng lại tại thời điếm thích họp đê
xem dáng điệu của ngôn ngữ được sinh ra theo luật logic và luật
De Morgan mà chúng ta áp dụng cho m ỏ hình trừu tượns nói trên và
đỏng thời áp dụng các luật đó cho quá trìng xứ ]ý thòng tin trone hệ
thống.
Chủ nhiệm đề tài
Thủ trườn2
cơ quanchủ
trì đổ tài
Chủ tịch Hội
đổng đánh giá
chính thức
Thư trưứns cơ quan
quan lý de tài
Họ và Tên
~ĩ r£Vv\ rtio
c y : / / *
J a n jllÕ4*
fia t l í lí. Dun
ì
Học vị
P ^ . T Í . ĩí<í v>
\ \ ■
J&UGN- - 1.
Ký tên
Đóng dấjí

Y \ ^
c í ^
- - li* 4
V \ ụ
J.

" \
S
ỉ
i
e-o V
T r n L
J
' - — ' ' « '1 r-ỳ
»„ : ~s/dÀM<:' Ui / J d c /
23
Emst-Moritz-Amdt-Universitat Greifswald
Preprint-Reihe Mathematik
Introduction to the Theory of Computation
and Complexity over the Real Numbers and
other Algebraic Structures
Tran Tho Chau
Nr. 20/2002