MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP hình học xạ ảnh và các phương pháp giải trong P2

1




Một số dạng bài tập
hình học xạ ảnh và các phơng
pháp giải trong P
2

2

Mục lục
Trang
Mục lục 1

Lời nói đầu 3

Chơng 1: Những kiến thức cơ sở của không gian p
n
5

1.1. Không gian xạ ảnh 5

1.2. ánh xạ xạ ảnh và biến đổi xạ ảnh 11

1.3. Siêu mặt bậc hai trong P
n
13

1.4. Các định lý cơ bản 17

Chơng 2. các dạng toán cơ bản và phơng pháp giải
trong P
2
22

2.1. Chứng minh đồng quy, thẳng hàng 22

2.2. Các bài toán quỹ tích 40

2.3. Các bài toán dựng hình 51

2.4. Các bài toán dạng chứng minh đờng thẳng đi qua điểm cố định,
điểm nằm trên đờng thẳng cố định 56

Chơng 3.

mối liên hệ giữa A
n
và P
n
61

3.1. Mối liên hệ giữa không gian afin của không gian xạ ảnh thể hiện
trên mô hình 61

3.2. Mối liên hệ giữa không gian xạ ảnh và không gian afin thể hiện qua
các ứng dụng cụ thể. 66

Kết luận 75

Tài liệu tham khảo 76

3

Lời nói đầu
Hình học xạ ảnh là một học phần quan trọng của bộ môn hình học cao
cấp trong trờng đại học. Việc vận dụng kiến thức lý thuyết vào giải các bài
toán xạ ảnh là một trong những nhiệm vụ quan trọng của sinh viên khi nghiên
cứu hình học xạ ảnh.
Để giải toán ngoài việc nắm vững kiến thức ngời làm toán cần có khả
năng phân tích, tổng hợp các dữ kiện của bài toán và vận dụng các kiến thức
liên quan. Một bài toán xạ ảnh có thể có nhiều hớng giải quyết khác nhau
(nhiều con đờng để đi đến kết quả) nhng để chọn đợc một phơng pháp
giải đúng, ngắn gọn phải nhờ khả năng t duy sáng tạo linh hoạt của ngời
làm toán.
Với mong muốn đợc nâng cao kiến thức của bản thân và giúp cho các
bạn sinh viên năm thứ 3 học tập tốt hơn, có tầm nhìn sâu rộng hơn về bộ môn
hình học xạ ảnh, tôi đã lựa chọn đề tài Một số dạng bài tập hình học xạ ảnh
và các phơng pháp giải trong P
2
.
Luận văn gồm 3 chơng:
Chơng 1. Những kiến thức cơ sở của không gian P
n
.
Chơng này đa ra những kiến thức cơ bản của không gian P
n
phục vụ

cho việc đa ra những phơng pháp và tiến hành giải các bài tập ở chơng 2
và chơng 3.
Chơng 2. Các dạng toán cơ bản và phơng pháp giải trong P
2
.
Chơng này đa ra các dạng toán cơ bản và các phơng pháp giải các
dạng toán đó trong P
2
. Bao gồm:
- Bài toán chứng minh đồng quy, thẳng hàng.
- Bài toán quỹ tích.
- Bài toán dựng hình.
- Bài toán chứng minh điểm nằm trên đờng thẳng cố định, đờng
thẳng đi qua điểm cố định.

4

Chơng 3. Mối liên hệ giữa không gian P
n
và A
n
.
Chơng này trình bày mối liên hệ giữa không gian P
n
và A
n
thể hiện qua
mô hình và qua các ứng dụng cụ thể trong P
2
và A

2
.
Luận văn tốt nghiệp của em đợc hoàn thành ngoài sự cố gắng của bản
thân còn đợc sự giúp đỡ chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo, thạc sĩ Nguyễn Đức Ninh
ngời đã hớng dẫn em trong suốt quá trình làm luận văn vừa qua.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong tổ Hình
học và các thầy cô giáo trong Ban chủ nhiệm khoa Toán đã giúp đỡ em hoàn
thành luận văn.
Tôi xin cảm ơn các bạn sinh viên trong tập thể lớp Toán A K38 và
ngời thân đã động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm
nghiên cứu.
Cuối cùng luận văn chắc chắn không tránh khỏi những khiếm khuyết,
sai sót. Vì vậy, em rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô
giáo và các bạn sinh viên để luận văn đợc hoàn chỉnh. Em xin chân thành
cảm ơn.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2007

Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Hòa

5

Chơng 1.
Những kiến thức cơ sở của không gian p
n
1.1. Không gian xạ ảnh
1.1.1. Định nghĩa không gian xạ ảnh

Cho một tập hợp P


và một K không gian vectơ n+1 chiều
V
n+1
và một song ánh p: [V
n+1
]

P. Khi đó bộ ba (P
n
, p, V
n+1
) đợc gọi là
không gian xạ ảnh n chiều trên trờng K, liên kết với K không gian
vectơ V
n+1
bởi song ánh p.
Kí hiệu: P
n
(K) hoặc P
n

Không gian xạ ảnh trên trờng số thực R gọi là không gian xạ ảnh thực
Kí hiệu là P
n
(R).
Không gian xạ ảnh trên trờng số phức C gọi là không gian xạ ảnh phức
Kí hiệu là P

n
(C).
+ Mỗi phần tử của P
n
đợc gọi là một điểm của không gian xạ ảnh P
n
+ Gọi

u
là vectơ khác
0

của V
n+1
và <

u
> là không gian vectơ con một chiều
sinh bởi

u
thì p(<

u
>)= U là một điểm nào đó của P
n
. Khi đó ta nói rằng

u

là đại diện của điểm U
Hai vectơ

u
và

u
(khác
0

) cùng đại diện cho một điểm khi và chỉ khi
chúng phụ thuộc tuyến tính:

u
= k

u
(k

0).
1.1.2. Định nghĩa phẳng
Cho không gian xạ ảnh (P
n
, p, V
n+1
). Gọi W là không gian vectơ con
m+1 chiều của V
n+1
(m

0). Khi đó tập hợp P([W]) đợc gọi là cái phẳng m
chiều (hoặc là m - phẳng) của P
n
.
1.1.3. Định nghĩa hệ điểm độc lập
Hệ r điểm(r

1) của không gian xạ ảnh P
n
gọi là hệ điểm độc lập nếu r
vectơ đại diện cho chúng là hệ vectơ độc lập tuyến tính trong V
n+1
. Hệ điểm
không độc lập gọi là hệ điểm phụ thuộc.

6

1.1.4. Mục tiêu xạ ảnh
Cho không gian xạ ảnh P
n
liên kết với K -không gian vectơ V
n+1
. Một
tập hợp có thứ tự gồm (n+2) điểm của P
n
{S
0
, S
1
S

n
; E} đợc gọi là mục tiêu
xạ ảnh nếu bất kì n+1 điểm trong n+2 điểm đó đều độc lập.
Các điểm S
i
gọi là các đỉnh của mục tiêu xạ ảnh.
Điểm E đợc gọi là điểm đơn vị.
Các m- phẳng (m< n) đi qua m+1 đỉnh gọi là các m- phẳng toạ độ. Đặc biệt
các đờng thẳng S
i
S
j
với i

j gọi là các trục toạ độ.
1.1.5. Toạ độ của điểm đối với mục tiêu xạ ảnh
Trong K không gian xạ ảnh P
n
liên kết với V
n+1
, cho mục tiêu xạ ảnh
{S
i
; E} có đại diện là cơ sở {

i
e
} của V
n+1
. Với mỗi điểm X bất kì của P

n
ta lấy
x

đại diện cho X. Khi đó tọa độ (x
0
, x
1
, , x
n
) của vectơ
x

đối với cơ sở
{

i
e
} cũng đợc gọi là toạ độ của điểm X đới với mục tiêu {S
i
; E} và viết
X= (x
0
: x
1
: : x
n
)
1.1.6. Đổi mục tiêu xạ ảnh
Trong P

n
cho hai mục tiêu xạ ảnh {S
i
; E} và {S
i
; E}
Gọi {

i
e
}; {

i
e
} lần lợt là hai cơ sở đại diện cho hai mục tiêu đó ta có:
Toạ độ của điểm X đối với hai mục tiêu đó lần lợt là (x
0
: x
1
: : x
n
)
và (x
0
: x
1
: : x
n
). Khi đó (x
0

, x
1
,. ., x
n
) và (x
0
, x
1
, , x
n
) chính là toạ
độ của vectơ đại diện

x
của điểm X đối với cơ sở {

i
e
} và {

i
e
}. Khi đó:
kx
i
=
0
n
j=

a
ij
. x
j
, i=
0,
n
; k

0. (*)
Hệ (*) đợc gọi là công thức đổi mục tiêu xạ ảnh.
Ma trận A= (a
ij
), i,j=
0,
n
chính là ma trận chuyển từ cơ sở {

i
e
} sang
cơ sở {

i
e
}. Nó cũng đợc gọi là ma trận chuyển từ mục tiêu {S
i
, E} sang
mục tiêu {S
i

, E}.

7

1.1.7. Phơng trình của m- phẳng
1.1.7.1. Phơng trình tham số của m- phẳng
Trong (P
n
, p, V
n+1
) cho mục tiêu xạ ảnh {S
i
; E} có đại diện là cơ sở
{

i
e
}. Gọi U là m- phẳng liên kết với không gian vectơ con (m+1) chiều
U

.
Ta tìm điều kiện cần và đủ để điểm X= (x
0
: x
1
: : x
n
) thuộc U.
Trên U lấy m+1 điểm độc lập A
0

, A
1
, , A
m

Khi đó: X= (x
0
: x
1
: : x
n
) thuộc U



x
=
0
=

m
i
t
i
.

i
a
(1)
Trong đó:

x
là vectơ đại diện của điểm X.

a
là vectơ đại diện của A
i

Hệ (1)

x
i
=
0
=

m
j
t
j
. a
ji
i=
0,
n
(*)
Trong đó: A
i
có toạ độ A
i

= (a
i0
, a
i1
, a
in
)
Hệ (*) là phơng trình trên gọi là phơng trình tham số của m phẳng U với
m+1 tham ssó t
1
, t
2
t
m
không đồng thời bằng o.
1.1.7.2. Phơng trình tổng quát của m- phẳng
Hệ (*)gồm (n+1) phơng trình với m+1 tham số: Vì ma trận (a
ij
) có hạng
m+1 nên ta có thể khử m+1 tham số từ hệ phơng trình trên, ta làm nh sau:
Chọn m+1 phơng trình độc lập trong (*) rồi giải hệ phơng trình vừa
chọn để tìm các t
i
theo a
ij
. Thay các giá trị đó của tham số vào n- m phơng trình
còn lại của hệ (*) ta đựơc hệ gồm n-m phơng trình tuyến tính thuần nhất.

0
n

j=

b
ij
. x
j
= 0 i=
1,

n m
(2)
Trong đó ma trận (b
ij
) với i =
1,

n m
; j =
0,
n
có hạng bằng n - m.
Hệ (2) đợc gọi là phơng trình tổng quát của m- phẳng U.

8

1.1.8. Toạ độ của siêu phẳng
Trong P
n
với mục tiêu đã chọn cho siêu phẳng U có phơng trình tổng
quát: u

0
x
0
+ u
1
x
1
++u
n
x
n
= 0
Trong đó: Các u
i
không đồng thời bằng 0.
Bộ số (u
0,
u
1
, u
n
) đợc gọi là tọa độ của siêu phẳng U đối với mục
tiêu xạ ảnh đã chọn.
Kí hiệu: U= (u
0
: u
1
: : u
n
).

1.1.9. Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng
Trong không gian xạ ảnh P
n
liên kết với V
n+1
cho bốn điểm A, B, C, D
thẳng hàng. Trong đó ba điểm A, B, C đôi một không trùng nhau. Ta gọi

a
,

b
,

c
,

d
là các vectơ lần lợt đại diện cho các điểm A, B, C, D thì các vectơ
đó thuộc một không gian hai chiều. Trong đó

a
và

b
độc lập tuyến tính. Ta
có các số k
1
, l
1

và k
2
, l
2
sao cho:



+=
+=
blakd
blakc
22
11

Trong đó: k
1
, l
1


0 vì C không trùng A, B.
Khi đó:
Nếu tỉ số
2 1
2 1
:
k k
l l
có nghĩa (l

2

0) thì nó đợc gọi là tỉ số kép của bốn điểm
thẳng hàng A, B, C, D. Kí hiệu [A, B, C, D].
Nếu l
2
= 0 thì
2
2
k
l
không có nghĩa. Khi đó tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D
bằng

.
Nh vậy: [A, B, C, D]=
2 1
2 1
:
k k
l l






nếu
2
2

0
0

=
l
l


9

1.1.10. Tỉ số kép tính theo tọa độ các điểm
Giả sử trong P
n
đã chọn mục tiêu xạ ảnh {S
i
; E}.
Cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ
A(a
0
: a
1
: : a
n
)
B(b
0
: b
1
: : b
n

)
C(c
0
: c
1
: : c
n
)
D(d
0
: d
1
: : d
n
)
Vì hai điểm A, B không trùng nhau nên ta sẽ chọn hai chỉ số i, j sao cho:

0

i i
j j
a b
a b

Khi đó: [A, B, C, D]=
:
i i
i i
j j j j
i i i i

j j j j
a d
a c
a c a d
b c b d
b c b d

1.1.11. Hàng điểm điều hoà
Nếu tỉ số kép : [A, B, C, D]= -1 thì ta nói rằng: Cặp C, D chia điều hoà
điểm A, B. Khi đó: [C, D, A, B]= -1 nên cặp điểm A, B cũng chia điều hoà cặp
điểm C, D. Bởi vậy ta còn nói cặp điểm A, B và cặp điểm C, D liên hiệp điều
hoà hay còn nói A, B, C, D là một hàng điểm điều hoà.
Trong P
n
tập hợp 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trong một mặt phẳng,
trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng đợc gọi là hình 4 đỉnh toàn phần.
Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh. Mỗi đờng thẳng đi qua hai đỉnh gọi là
một cạnh (có 6 cạnh), hai cạnh không cùng đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh
đối diện. Giao điểm của hai cạnh đối diện gọi là điểm chéo. Đờng thẳng đi
qua hai điểm chéo gọi là đờng chéo.



10

1.1.12. Tỉ số kép của chùm bốn siêu phẳng
1.1.12.1. Định nghĩa chùm siêu phẳng
Trong không gian xạ ảnh P
n
, tập hợp các siêu phẳng cùng đi qua (n-2)- phẳng
đợc gọi là chùm siêu phẳng với giá là (n-2)- phẳng.
1.1.12.2. Tỉ số kép của chùm bốn siêu phẳng thuộc chùm
Định lý: Cho bốn siêu phẳng U, V, W, Z thuộc một chùm, trong đó U, V, W,
Z đôi một phân biệt. Nếu d là đờng thẳng cắt bốn siêu phẳng đó lần lợt tại
các điểm A, B, C, D thì tỉ số kép của bốn điểm đó không phụ thuộc vào vị trí
của đờng thẳng d.
Tỉ số kép nói trên đợc gọi là tỉ số kép của chùm bốn siêu phẳng.
Kí hiệu [U, V, W, Z].
1.1.13. Chùm bốn siêu phẳng điều hoà
Bốn siêu phẳng U, V, W, Z thuộc một chùm đợc gọi là chùm bốn siêu
phẳng điều hoà nếu [U, V, W, Z]= -1.
1.1.14. Hình 4 cạnh toàn phần
Trong mặt phẳng xạ ảnh P
2
hình gồm bốn đờng thẳng trong đó không
có ba đờng thẳng nào đồng quy đợc gọi là hình 4 cạnh toàn phần.
E

b

c

A

D

k

F

q

p

Hình 1.1


11
Mỗi đờng thẳng đó đợc gọi là một cạnh. Giao điểm của hai cạnh đợc gọi là
một đỉnh. Hai đỉnh không nằm trên một cạnh gọi là hai đỉnh đối diện. Đờng
thẳng nối hai đỉnh đối diện đợc gọi là đờng chéo. Giao điểm của hai đờng
chéo gọi là điểm chéo.
1.2. ánh xạ xạ ảnh và biến đổi xạ ảnh
1.2.1. Định nghĩa
Cho các K-không gian xạ ảnh (P, p, V) và (P, p, V)
Một ánh xạ: f: P

P gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có một ánh xạ tuyến tính

: V

V sao cho vectơ


x
V là đại diện của điểm X

P thì

(

x
)

V là đại
diện của điểm f(X)

P. Nói cách khác, nếu p(<

x
>) = X thì p(

(

x
)) = f(x).
Khi đó ta nói rằng ánh xạ tuyến tính

là đại diện của ánh xạ xạ ảnh f.
1.2.2. Đẳng cấu xạ ảnh, hình học xạ ảnh
+ ánh xạ xạ ảnh f: P

P là một song ánh khi và chỉ khi P và P có cùng số
chiều. Khi đó f là một đẳng cấu và hai không gian P và Pgọi là đẳng cấu.
+ Một đẳng cấu xạ ảnh f: P

P của không gian xạ ảnh P lên chính nó đợc
gọi là phép biến đổi xạ ảnh của P.
+ Tập hợp các biến đổi xạ ảnh của P làm thành một nhóm, nó đợc gọi là
nhóm xạ ảnh của không gian xạ ảnh P.
+ Mỗi tập con H của P
n
gọi là một hình. Hình H đợc gọi là tơng đơng xạ
ảnh với hình H nếu có một phép biến đổi xạ ảnh f biến H thành H.
+ Một tính chất của hình H gọi là tính chất xạ ảnh (hay bất biến xạ ảnh) nếu
mọi hình H tơng đơng với hình H đều có tính chất đó. Nh vậy, hai hình
tơng đơng xạ ảnh đều có tính chất xạ ảnh giống nhau.
Tập hợp các tính chất xạ ảnh của các hình của P
n
gọi là hình học xạ ảnh trên P
n
.

12
1.2.3. Các phép thấu xạ trong P
n

1.2.3.1. Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa: Trong P
n
cho r- phẳng U và (n-r-1) -phẳng V không có điểm

chung. Khi đó cặp (U, V) sẽ gọi là một r- cặp: cặp (V, U) sẽ gọi là (n-r-1)-cặp.
Cho r- cặp (U, V) và cho phép biến đổi xạ ảnh f: P
n


P
n
sao cho mọi
điểm nằm trên U hoặc V đều bất động. Khi đó f đợc gọi là phép thấu xạ r-
cặp với cơ sở là r- cặp (U, V).
Tính chất của phép thấu xạ
Nếu điểm M không bất động thì đờng thẳng nối M và ảnh M của nó
luôn luôn cắt U, V. Giả sử hai giao điểm đó là A, B thì: [M, M, A, B] không
phụ thuộc vào M. Tỉ số kép đợc gọi là tỉ số thấu xạ của phép thấu xạ f.
1.2.3.2. Phép thấu xạ đơn
Một phép biến đổi xạ ảnh f: P
n

P
n
gọi là phép thấu xạ đơn nếu có
một siêu phẳng V mà mọi điểm của nó đều là điểm bất động.
Siêu phẳng V đó gọi siêu phẳng cơ sở của thấu xạ đơn f.
1.2.3.3. Các phép thấu xạ trong P
2

Trong P
2
, ta có các phép thấu xạ khác phép đồng nhất sau đây.
+ Phép 0- thấu xạ có cơ sở là 0- cặp (O, V) trong đó O là một điểm, còn V là

một đờng thẳng không đi qua O.
Với mỗi điểm M không trùng với O và không nằm trên V, đờng thẳng OM
cắt V tại B và nếu M= f(M) thì M, M, O, B thẳng hàng và [M, M, O, B]= k
(Tỉ số thấu xạ). (Hình 1.2)






b
v
m
o
m'

Hình 1.2


13
+ Phép thấu xạ đơn đặc biệt có tâm O và cơ sở là đờng thẳng V đi qua O.
Nếu ta biết một cặp điểm M và M= f(M) thì ảnh N= f(N) đợc xác định bởi
các điều kiện:
i. O, N, N thẳng hàng.
ii. Đờng thẳng MN cắt đờng thẳng MN tại một điểm nằm trên V.

1.3. Siêu mặt bậc hai trong P
n

1.3.1. Định nghĩa và kí hiệu
Phơng trình bậc hai thuần nhất của n+1 biến x
0
, x
1
, , x
n
trên trờng K
là phơng trình có dạng:
, 0
=

n
i j
a
ij
. x
i
. x
j
= 0 (1)
Trong đó: a
ij

K: a
ij

= a
ji
và có ít nhất một a
ij

0
A= (a
ij
) i, j =
0,
n
thì A là ma trận vuông đối xứng cấp n+1 có hạng ít
nhất bằng 1. Ta kí hiệu: x=
0
1

n
x
x
x







thì (1) có phơng trình : x
t
Ax= 0

Trong không gian xạ ảnh P
n
với mục tiêu {S
i
; E}. Tập hợp (S) gồm
những điểm X có tọa độ (x
0
: x
1
: : x
n
) thoả mãn phơng trình (1) đợc gọi là
một siêu mặt bậc hai xác định bởi phơng trình (1).
Phơng trình (1) đợc gọi là phơng trình của siêu mặt bậc hai (S) đối
với mục tiêu đã cho.
Ma trận A đợc gọi là ma trận của siêu mặt bậc hai đối với mục tiêu đã cho.
Hình 1.3

o
m
m'
n
n'


14
Siêu mặt bậc hai (S) đợc gọi là suy biến hay không suy biến nếu det A = 0
hoặc det A

0

Hai siêu mặt bậc hai (S) và (S) với các ma trận tơng ứng là A và A
đựơc xem là trùng nhau khi và chỉ khi có số k

K \ {0} sao cho: A = k. A.
1.3.2. Điểm liên hợp
Trong P
n
với mục tiêu đã chọn cho siêu mặt bậc hai (S) có phơng trình:
x
t
.A.x= 0 và hai điểm Y= (y
0
: y
1
: : y
n
), Z= (z
0
: z
1
: : z
n
)
Hai điểm Y và Z đợc gọi là liên hợp với nhau nếu y
t
Az= 0.
Trong đó: y, z lần lợt là ma trận cột tọa độ của Y, Z.
+ Định lý: Trong K- không gian xạ ảnh P
n
cho siêu mặt bậc hai (S) và điểm Y.

Tập hợp tất cả những điểm liên hợp với Y đối với (S) hoặc là một siêu phẳng
trong P
n
hoặc là toàn bộ P
n
.
1.3.3. Siêu phẳng đối cực, điểm kì dị
Nếu tập hợp các điểm liên hợp với điểm Y đối với siêu mặt bậc hai (S)
là một siêu phẳng thì siêu phẳng đó đợc gọi là siêu phẳng đối cực của điểm
Yđối với (S) kí hiệu là: Y
*
. Ngựơc lại điểm Y gọi là điểm đối cực của siêu
phẳng Y
*
đối với (S).
Điểm Y đợc gọi là điểm kì dị của siêu mặt bậc hai (S) nếu Y liên hợp
với mọi điểm của P
n
đối với (S).
1.3.4. Siêu phẳng tiếp xúc của siêu mặt bậc hai
Nếu điểm Y nằm trên siêu mặt bậc hai (S) nhng không phải là điểm kì
dị của (S) thì siêu phẳng đối cực Y
*
của Y đối với (S) đợc gọi là siêu phẳng
tiếp xúc của (S) tại Y hay còn gọi là siêu tiếp diện của (S) tại Y. Điểm Y gọi là
tiếp điểm.
1.3.5. Siêu phẳng liên hợp đối với siêu mặt bậc hai không suy biến
Trớc hết ta cần chú ý rằng: Nếu siêu mặt bậc hai (S) không suy biến
thì mỗi siêu phẳng bất kì đều có một điểm đối cực duy nhất.

15
Định nghĩa: Hai siêu phẳng U và V đợc gọi là liên hợp với nhau đối với siêu
mặt bậc hai không suy biến (S) khi 2 điểm đối cực của chúng liên hợp với
nhau đối với (S).
1.3.6. ánh xạ xạ ảnh giữa các đờng thẳng và chùm đờng thẳng trong P
2

+ ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm
Trong P
2
cho 2 đờng thẳng phân biệt s và s và một ánh xạ f: s

s từ
hàng điểm s đến hàng điểm s. Theo định lý cơ bản của ánh xạ xạ ảnh thì song
ánh f: s

s là một ánh xạ xạ ảnh khi và chỉ khi nó bảo toàn tỉ số kép của 4
điểm bất kì trên s.
ánh xạ xạ ảnh f sẽ hoàn toàn đợc xác định nếu cho biết 3 điểm phân
biệt A, B, C trên s và ảnh của chúng: A= f(A); B= f(B); C= f(C) trên s. Khi
đó mỗi điểm M

s sẽ có ảnh là M

s sao cho [A, B, C, M] = [A, B, C, M]
Định nghĩa : Trong P
2
cho hai đờng thẳng phân biệt s và s và một điểm P
không thuộc chúng. ánh xạ f: s

s biến mỗi điểm M

s thành điểm
M= s

PM gọi là phép chiếu xuyên tâm từ s

s. Điểm P đợc gọi là tâm
của phép f.
Dễ thấy phép chiếu xuyên tâm f là một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm
s

s= Q => f(Q)= Q; Q là điểm tự ứng phép chiếu xuyên tâm f.









Hình 1.4

m
p
q
m'
s'
s

s

s


16
+ ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đờng thẳng:
Định nghĩa 1: Cho hai chùm đờng thẳng phân biệt {S} và {S} trong P
2
. Một
ánh xạ f:{S}

{S} biến một đờng thẳng của {S} thành một đờng thẳng
của {S} đợc gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu nó bảo toàn tỉ số kép của bốn đờng
thẳng bất kì.
Định nghĩa 2: Cho P
2
cho hai chùm đờng thẳng phân biệt {S} và {S} và một
đờng thẳng p không thuộc chúng (có nghĩa là p không đi qua S ; p cũng
không đi qua S). ánh xạ xạ ảnh f: {S}

{S} biến mỗi đờng thẳng m

{S}
thành đờng thẳng m đi qua S và m

p đợc gọi là phép chiếu xuyên trục,
đờng thẳng p đợc gọi là trục của phép chiếu f.
Phép chiếu xuyên trục là khái niệm đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm.

Phép chiếu xuyên trục cũng là một ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đờng
thẳng. Nếu f: {S}

{S} là phép chiếu xuyên trục thì đờng thẳng q= SS
biến thành chính nó; q là đờng thẳng tự ứng.
Định nghĩa 3: Trong P
2
cho một điểm O. Ký hiệu B là tập hợp tất cả các
đờng thẳng của P
2
đi qua O (Gọi B là bó đờng thẳng tâm O hoặc chùm
đờng thẳng tâm O).
Giả sử

là một đờng thẳng không đi qua O.Ta có thể lập hai ánh xạ sau đây.
g: B



m

B

m



h:

B
M




OM
Gọi g là phép cắt bó B bởi

và h là phép nối

bởi O.
h và g là các ánh xạ xạ ảnh.
1.3.7. Hình 6 đỉnh
Tập hợp gồm 6 điểm phân biệt có thứ tự A
1
, A
2
, A
3
, A
4
, A
5
, A
6
gọi là
một hình 6 đỉnh. Nó đợc kí hiệu là: A
1

A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
.

17
Các điểm A
i
đợc gọi là các đỉnh của hình 6 cạnh đó.
Các đờng thẳng A
1
A
2
, A
2
A
3
, A
3
A
4
, A
4

A
5
, A
5
A
6
, A
6
A
1
gọi là các cạnh
của hình 6 đỉnh. Các cặp cạnh A
1
A
2
và A
4
A
5
; A
2
A
3
và A
5
A
6
; A
3
A

4
và A
6
A
1

gọi là các cặp cạnh đối diện.
1.4. Các định lý cơ bản
1.4.1. Định lý Đờ Giác thứ nhất
Trong không gian xạ ảnh cho 6 điểm A, B, C, A, B, C. Trong đó
không có ba điểm nào thẳng hàng. Khi đó hai mệnh đề sau đây tơng đơng:
a. Ba đờng thẳng AA, BB, CC đồng quy.
b. Giao điểm của các cặp đờng thẳng AB và AB; BC và BC; CA và
CA là ba điểm thẳng hàng.
1.4.2. Tính chất của tỉ số kép
Nếu bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng và phân biệt thì
a. [B, A, C, D] = [A, B, D, C] =
1
[ , , , ]
A B C D

b. [B, A, D, C] = [A, B, C, D]
c. [C, D, A, B] = [A, B, C, D]
d. [A, C, B, D] = [D, B, C, A] = 1- [A, B, C, D]
e. Nếu A, B, C, D, E là 5 điểm thẳng hàng phân biệt thì
[A, B, C, D]. [A, B, D, E] = [A, B, C, E]
1.4.3. Định lý về hình 4 đỉnh toàn phần
Trong một hình 4 đỉnh toàn phần hai điểm chéo nằm trên đờng chéo chia
điều hoà cặp giao điểm của đờng chéo đó với cặp cạnh đi qua điểm chéo thứ ba.
1.4.4. Định lý về hình 4 cạnh toàn phần

Trong hình 4 cạnh toàn phần hai đờng chéo cùng đi qua một điểm
chéo nào đó chia điều hòa hai đờng thẳng nối điểm chéo đó với hai đỉnh nằm
trên đờng chéo thứ ba.

18
1.4.5. Định lý về điểm liên hợp
Giả sử Y và Z liên hợp với nhau đối với (S) trong P
n
. Khi đó:
Nếu YZ cắt (S) tại hai điểm phân biệt M, N thì [Y, Z, M, N] = -1
Nếu YZ cắt (S) tại một điểm duy nhất thì điểm đó là Y hoặc Z.
1.4.6. Các tính chất của siêu phẳng liên hợp
Hai siêu phẳng liên hợp với nhau đối với siêu mặt bậc hai không suy biến
(S) khi và chỉ khi siêu phẳng này đi qua điểm đối cực của siêu phẳng kia.
Siêu phẳng U liên hợp với chính nó đối với siêu mặt bậc hai (S) khi và chỉ
khi U tiếp xúc với (S) (Tại điểm U
*
là điểm đối cực của U).
Cho hai siêu phẳng phân biệt U và V liên hợp với nhau đối với siêu mặt
bậc hai không suy biến (S). Nếu qua U

V có hai siêu phẳng phân biệt P, Q
cùng tiếp xúc với (S) thì [U, V, P, Q] = -1.
1.4.7. Định lý về phép chiếu xuyên tâm
ánh xạ xạ ảnh f: s

s giữa hai hàng điểm s và s là phép chiếu xuyên tâm
khi và chỉ khi giao điểm của s và s là điểm tự ứng.
1.4.8. Định lý xác định phép chiếu xuyên trục
ánh xạ xạ ảnh f: {S}

{S} giữa hai chùm {S} và {S} là phép chiếu
xuyên trục khi và chỉ khi đờng thẳng SS tự ứng.
1.4.9. Định lý Steiner
Trong mặt phẳng xạ ảnh thực P
2
(R)
a. Cho hai điểm cố định S
1
và S
2
nằm trên một đờng ovan và một điểm M
thay đổi trên ovan đó. Khi đó ánh xạ f: {S
1
}

{S
2
} biến đờng thẳng S
1
M thành
đờng thẳng S
2
M là một ánh xạ xạ ảnh, khác với phép chiếu xuyên trục (Khi M
trùng với S
1
, ta xem S
1
M là tiếp tuyến của ovan tại S
1

. Đối với S
2
cũng thế).
b. Ngợc lại: Cho ánh xạ xạ ảnh f: {S
1
}

{S
2
} giữa hai chùm phân biệt {S
1
}
và {S
2
}. Nếu f không phải là phép chiếu xuyên trục thì tập hợp các giao điểm
của các đờng thẳng tơng ứng là một đờng ovan tiếp với các tia tơng ứng
của đờng nối tâm tại S
1
, S
2
.

19
1.4.10. Định lý đối ngẫu của định lý Steiner
Xét trong mặt phẳng xạ ảnh thực P
2
(R)
a. Nếu s
1
, s

2
là hai tiếp tuyến phân biệt của một đờng ovan và m là một tiếp
tuyến thay đổi của ovan đó. Khi đó ánh xạ f: s
1

s
2
biến điểm s
1

m thành
điểm s
2


m là một ánh xạ xạ ảnh, khác với phép chiếu xuyên tâm (khi m
trùng s
1
thì ta xem s
1

m là điểm tiếp xúc của s
1
và ovan. Đối với s
2
cũng thế)
b. Ngợc lại nếu f: s
1

s

2
là ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm s
1
và s
2
. Khi
đó nếu f không phải là phép chiếu xuyên tâm thì các đờng thẳng nối hai điểm
tơng ứng sẽ tiếp với một đờng ovan. Đờng ovan đó tiếp với s
1
, s
2
lần lợt
tại f
-1
(Q) và f(Q) với Q = s
1


s
2
.
1.4.11. Các định lý về sự xác định của một đờng ovan trong P
2
(R)
Định lý 1: Cho năm điểm A, B, C, D, E trong đó không có ba điểm nào thẳng
hàng khi dó luôn luôn có một đờng ovan duy nhất đi qua chúng
Hệ quả 1: Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng
hàng và một dờng thẳng a đi qua A nhng không đi qua các điểm còn lại.
Khi đó có đờng ovan duy nhất đi qua B, C, D và tiếp với đờng thẳng a tại A
Hệ quả 2: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. đờng thẳng a đi qua A

nhng không đi qua B, C; đờng thẳng b đi qua B nhng không đi qua A, C.
Khi đó có một đờng ovan duy nhất đi qua C và tiếp với đờng thẳng a và b
lần lợt tại điểm A và B.
Đối ngẫu của định lý trên:
Định lý 2: Cho năm đờng thẳng a, b, c, d, e. Trong đó không có ba đờng
nào đồng quy. Khi đó có một đờng ovan duy nhất tiếp với chúng.
Hệ quả 3: Cho bốn đờng thẳng a, b, c, d. Trong đó không có ba đờng nào
đồng quy và một điểm A nằm trên a nhng không nằm trên các đờng còn lại.
Khi đó có một đờng ovan duy nhất tiếp với các đờng thẳng b, c, d và tiếp
với đờng thẳng a tại điểm A.

20
Hệ quả 4: Cho ba đờng thẳng a, b, c không đồng quy và một điểm A nằm
trên a nhng không nằm trên b, c. Một điểm B nằm trên b nhng không nằm
trên a, c. Khi đó có một đờng ovan duy nhất tiếp với đờng thẳng a tại điểm
A, tiếp với đờng thẳng b tại B và tiếp với đờng thẳng c.
1.4.12. Định lý Pascal
Cho một hình 6 đỉnh có 6 đỉnh nằm trên một đờng ovan (còn gọi là
hình 6 đỉnh nội tiếp đờng ovan đó) thì giao điểm của các cặp cạnh đối diện
nằm trên một đờng thẳng.
1.4.13. Định lý Briăngsông
Nếu cho một hình 6 cạnh phân biệt cung tiếp với một đờng ovan (còn
gọi là hình lục giác ngoại tiếp ovan đó) thì các đờng thẳng nối các đỉnh đối
diện đồng quy.
1.4.14. Định lý về phép biến đổi xạ ảnh của một đờng ovan
Cho f: (S)

(S) là phép biến đổi xạ ảnh khác phép đồng nhất của
đờng ovan (S). Khi đó với bất kì hai điểm M, N phân biệt của (S) và ảnh của
chúng M= f(M); N= f(N) thì giao điểm của MN và MN luôn nằm trên một

đờng thẳng cố định.
1.4.15. Định lý Frêgiê
Nếu f: (S)

(S) là phép đối hợp của đờng ovan (S) khác phép đồng
nhất thì đờng thẳng nối hai điểm tơng ứng bất kì luôn đi qua một điểm cố
định gọi là điểm Frêgiê của f.
1.4.16. Định lý Frêgiê đảo
Cho một điểm F cố định không nằm trên ovan (S). Với mỗi điểm M


(S) ta lấy M

(S) sao cho: F, M, M thẳng hàng. Khi đó ánh xạ f: (S)

(S)
mà f(M)= M là một phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của (S).

21
1.4.17. Đối ngẫu của định lý Frêgiê
Định lý thuận: Nếu ánh xạ F: (S
*
)

(S
*
) là đối hợp (F
2
= Id
s*

) thì giao điểm
các đờng thẳng tơng ứng nằm trên một đờng thẳng cố định (gọi là đờng
thẳng Frêgiê của F).
Định lý đảo: Cho một đờng thẳng cố định d không thuộc (S
*
) với mỗi đờng
thẳng a tiếp với (S) cho tơng ứng đờng thẳng F(a) tiếp với (S) sao cho đờng
thẳng a và F(a) cắt nhau trên d thì ta đợc ánh xạ F: (S
*
)

(S
*
) là phép xạ ảnh
đối hợp.
1.4.18. Định lý về phép ánh xạ xạ ảnh của đờng thẳng
Cho s là đờng thẳng trong P
n
. Phép biến đổi xạ ảnh khác đồng nhất
f: s

s là phép đối hợp của s khi và chỉ khi có hai điểm phân biệt M và M
sao cho: M=f(M); M= f(M).
1.4.19. Định lý về điểm bất động của phép đối hợp
Cho phép đối hợp f: s

s của đờng thẳng s khác với phép đồng nhất.
Nếu f có điểm bất động P thì nó còn có một và chỉ một điểm bất động nữa
Q

P và nếu điểm M của (S) có ảnh M

M thì [P, Q, M, M]= -1.
Hệ quả: Nếu f: s

s là phép đối hợp khác đồng nhất của đờng thẳng thì
hoặc f không có điểm bất động nào hoặc có đúng hai điểm bất động.
1.4.20. Định lý xác định một phép đối hợp
Một phép đối hợp f khác phép đồng nhất của đờng thẳng s đợc xác định nếu
cho hai điểm phân biệt A, B thuộc s và ảnh A, B của chúng.

22
Chơng 2.
các dạng toán cơ bản
và phơng pháp giải trong P
2

2.1. Chứng minh đồng quy, thẳng hàng
2.1.1 Phơng pháp tọa độ
Các bài toán có thể làm theo phơng pháp toạ độ là.
+ Bài toán cho phép chọn đợc một hệ toạ độ xạ ảnh thích hợp (chọn
đợc 4 điểm là một mục tiêu thích hợp). Với mục tiêu đã chọn, ta tính đợc
toạ độ của các đối tợng trong bài toán một cách đơn giản, không cồng kềnh
và chứa nhiều tham số.
+ Các bài toán liên quan đến siêu mặt bậc hai thì không nên sử dụng
phơng pháp toạ độ.
Lu ý các bài toán giải theo phơng pháp toạ độ có thể không cần vẽ hình.
Các bớc giải:
+ Chọn một hệ tọa độ xạ ảnh thích hợp và chuyển yêu cầu bài toán sang
ngôn ngữ toạ độ.

+ Tính tọa độ của các đối tợng trong bài toán
+ áp dụng các định lý, mệnh đề và kết quả đã biết để giải bài toán
trong hệ tọa độ đó.
+ Trả lời yêu cầu bài toán dới dạng ngôn ngữ hình học.
Chúng ta sử dụng một số mệnh đề sau:
Mệnh đề 1: Trong P
2
cho hai điểm A, B phân biệt có tọa độ: A(a
0
:a
1
:a
2
)
B(b
0
:b
1
:b
2
). Khi đó đờng thẳng AB= (u
0
:u
1
:u
2
)
Trong đó: u
o
=

1 2
1 2
a a
b b
; u
1
=
2 0
2 0
a a
b b
; u
2
=
0 1
0 1
a a
b b


23
Mệnh đề 2: Trong P
2
cho ba điểm A, B, C có tọa độ A(a
0
:a
1
:a
2
) B(b

0
:b
1
:b
2
);
C(c
0
:c
1
:c
2
). Khi đó điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là:

0 1 2
0 1 2
0 1 2
a a a
b b b
c c c
= 0
Mệnh đề 3: Trong P
2
cho ba đờng thẳng u, v, w có tọa độ u(u
0
: u
1
: u
2
)

v(v
0
: v
1
: v
2
); w(w
0
: w
1
: w
2
). Điều kiện cần và đủ để ba đờng thẳng đó đồng
quy là:
0 1 2
0 1 2
0 1 2
u u u
v v v
w w w
= 0
Mệnh đề 4: Trong P
2
cho ba điểm độc lập A
0
; A
1
; A
2
và một đờng thẳng d

không đi qua các điểm đó. Khi đó ta luôn chọn đợc điểm E để đờng thẳng d
đối với mục tiêu {A
0
, A
1,
A
2
, E} có phơng trình: x
0
+x
1
+x
2
=0
Mệnh đề 5: Trong P
2
phơng trình đờng thẳng đi qua A(a
0
: a
1
: a
2
)
B(b
0
: b
1
: b
2
) là:

0 1 2
0 1 2
0 1 2
x x x
a a a
b b b
= 0
Bài tập minh họa:
Bài 2.1.1.1. Chứng minh định lý Papuýt:
Trong P
2
cho ba điểm A, B, C nằm trên đờng thẳng và ba điểm A, B, C
cùng nằm trên đờng thẳng . Khi đó ba giao điểm AB

AB; AC

AC;
BC

BC đều nằm trên một đờng thẳng.
Bài giải
Chọn mục tiêu xạ ảnh {E
0
, E
1
, E
2
; E} nh sau: E
0

=

E
1

nhng
không trùng với A, B, C

24
E
2

nhng không trùng với A,
B, C
và E không thuộc , , E
1
E
2

(Hình 2.1).
Khi đó: với mục tiêu đã chọn ta có:
A= (a: 1: 0); B= (b: 1: 0); C=(c: 1: 0)
A= (a: 0: 1); B= (b: 0: 1);
C= (c: 0: 1)

Phơng trình đờng thẳng AB:
01'
10
210
b

a
xxx
=0

x
0
-ax
1
-bx
2
= 0
Phơng trình đờng thẳng AB:
01
10'
210
b
a
xxx
= 0

x
1
b+x
2
a-x
0
= 0

-x
0

+bx
1
+ax
2
= 0
R = AB

AB

R = (aa- bb: a-b: a-b)
Tơng tự: P = BC

BC = (bb-cc: b-c: b-c)
Q = CA

CA = (cc-aa: c-a: c-a)
Ta có:
' ' ' '
' ' ' '
' ' ' '
bb cc b c b c
cc aa c a c a
aa bb a b a c



= 0
Vậy P, Q, R thẳng hàng.
Bài 2.1.1.2. Trong P
2

cho ba điểm độc lập A, B, C và một đờng thẳng cắt các
cạnh BC, CA, AB của ABC ở A
1
, B
1
, C
1
. Gọi A
2
, B
2
, C
2
lần lợt theo thứ tự là
giao điểm của BB
1

CC
1
;

CC
1

AA
1
; AA
1

BB

1
. Chứng minh rằng: các
đờng thẳng AA
2
, BB
2
, CC
2
đồng quy.
e
0
e
2
a'
b'
c'

'

c
b
e
1
a
r
q
p
Hình 2.1

25
Bài giải
Ta chọn mục tiêu xạ ảnh {A, B, C; E}.
Khi đó với mục tiêu đã chọn: A
1
= (0: a: 1); B
1
= (b: 0: 1); C
1
= (c: 1: 0)
AA
1
= (0:-1: a); BB
1
= (1: 0: -b); CC
1
= (-1: c: 0)
A
2
= BB
1

CC
1
=(bc: b: c); B
2
= AA
1

CC

1
= (-ac: -a: -1); C
2
=AA
1

BB
1
= (b: a:1)
AA
2
=(0: -c: b); BB
2
=(-1: 0: ac); CC
2
=(-a: b: 0)
Vì A
1
, B
1
, C
1
thẳng hàng nên:
0 1
0 1
1 0
a
b
c
=0

<=> ac +b= 0 <=> a
2
c
2
= b
2
<=> a
2
c
2
b
2
= 0 (1)
AA
2
, BB
2
, CC
2
đồng quy khi và chỉ khi:
0
1 0
0
c b
ac
a b



= 0 <=> a

2
c
2
b
2
= 0 (2)
Từ (1) và (2): Các đờng thẳng AA
2
, BB
2
, CC
2
đồng quy.
Bài 2.1.1.3. Trong P
2
cho mục tiêu xạ ảnh (S
o
, S
1
, S
2
; E). Đặt E
0
=S
0
E

S
1
S

2
,
E
1
= S
1
E

S
2
S
0
, E
2
= S
2
E

S
O
S
1
. Lấy các điểm M
0
, M
1
, M
2
lần lợt nằm trên
các đờng thẳng E

1
E
2
, E
2
E
0
, E
0
E
1
và các điểm
M
0
= S
O
M
O


S
1
S
2
; M
1
= S
1
M
1

S
2
S
0
; M
2
= S
2
M
2


S
0
S
1
;
a. Chứng minh rằng :Nếu các đờng thẳng E
0
M
0
, E
1
M
1
, E
2
M

2
, đồng quy thì
các đờng thẳng S
0
M
0
, S
1
M
1
, S
2
M
2
đồng quy.
b. Nếu các điểm M
0
, M
1
,M
2
thẳng hàng thì các điểm M
0
, M
1
,M
2
cũng thẳng hàng.
Bài giải
Theo công thức tính toạ độ của các đờng thẳng và các điểm ta đợc :

S
O
E = (0: -1: 1); S
1
E = (1: 0: -1); S
2
E = (-1: 1: 0)
S
1
S
2
= (1: 0: 0);

S
O
S
2
=(0: 1: 0); S
0
S
1
= (0: 0: 1);
Do đó E
0
= (0:1: 1); E
1
= (1: 0:1);E
2
= (1:1: 0); Vì
0 1 2

M E E

nên toạ độ của
M
0
thoả mãn phơng trình của
1 2
E E
là : -x
0
+x
1
+x
2
=0. Do đó toạ độ của M
0
có
dạng: M
o
(a
0
+ b
0
: a
0
: b
0
);