lý thuyết nguyên ham,tích phân

1



A. NGUYÊN HÀM
ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số
 
y f x
xác định trên
K
, hàm số
 
y F x
được gọi là nguyên
hàm của hàm số
 
y f x
trên
K
khi và chỉ khi:
Kx 
, ta có:
   
' F x f x

Kí hiệu:
   


f x dx F x

.
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số sau:
4
y x x

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số sau:
in2sy x

Bài tập 1 (trang 100 SGK Giải tích 12): Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của
hàm số còn lại?
a)
x
e

và
x
e


; b)
sin2x
và
2
sin x
; c)
2
2
1
x
e

x




và
4
1
x
e
x




.
Có bao nhiêu cách để giải bài tập 1?
Có hai cách :
- Tính nguyên hàm.
- Đạo hàm.
Giải:
a)
x
e

và
x
e



là nguyên hàm của nhau.
b)
2
sin x
là một nguyên hàm của
sin2x
.
c)
4
1
x
e
x




là một nguyên hàm của
2
2
1
x
e
x




.
Bài tập 2 ( trang 100, 101 SGK Giải tích 12): Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a)
3
1
()
xx
fx
x


; b)
21
()
x
x
fx
e


;
c)
22
1
( ) ;
sin .cos
fx
xx

d)
( ) sin5 .cos3 ;f x x x

LÝ THUYẾT NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

2

e)
2
( ) tanf x x
; h)
1
()
(1 )(1 2 )
fx
xx



g)
32
()
x
f x e


.
a, Đưa về hàm số chứa các lũy thừa của biến x,
F(x) =
Cxxx 
3/26/73/5
2

3
7
6
5
3
.
c,
2 2 2
14
-2cot2
sin .cos sin 2
dx dx x C
x x x
  

.
hoặc
2 2 2 2
1 1 1
sin .cos sin cos
dx dx
x x x x





.
d, Biến đổi thành tổng:
 

1
( ) sin5 .cos3 sin8 sin2 ;
2
f x x x x x  

F(x) =
Cxx 

)2cos8cos
4
1
(
4
1
.
b, Biến đổi thành tổng các tích phân:
2 1 2 1
2 1 1 1

21
ln ln
2 ln2 1
.
(ln2 1)
x
x
x
x
xx
x

x
dx dx dx
e e e
C
ee
ee
C
e

   
  
   
   
   
   
   
   



  

e, Biến đổi
2
2
1
( ) tan 1
cos
f x x
x

  
;
( ) tan - F x x x C

g, Biến đổi vi phân, F(x) =
Ce
x


23
2
1
.


3

h,
C
x
x



1
1
ln
3
1
.

hướng dẫn câu h:

3/2;3/102
1
)21)(1(
)2()(
)21)(1(
)1()21(
211)21)(1(
1













BABA
BA
xx
BABA
xx
xBxA
x

B
x
A
xx

ĐỊNH LÍ 1: Nếu hàm số
 
y F x
là nguyên hàm của hàm số
 
y f x
thì hàm số
 
y F x c

cũng là nguyên hàm của hàm số
 
y f x
.
Khi đó ta có:
   
f x dx F x c

với
c
là hằng số.
ĐỊNH LÍ 2: Cho các hàm số
   
,u u x v v x
xác định trên

K
. Khi đó ta có:
1.
 
u v dx udx vdx  
  

2.
kvdx k vdx

, với
k
là hằng số.
Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp
Hàm số
Nguyên hàm
Hàm số
Nguyên hàm
1
xc



k

kx c



x



1
1
1
xc






 
ax b



 
 
1
1
1
ax b c
a






1
x

ln xc

1
ax b

1
ln ax b c
a


1
2 x

xc

1
2 ax b

1
ax b c
a


sin x

cosxc 

 
sin ax b

 
o
1
csa
a
x b c 

cosx

sin xc

 
cos ax b

 
1
sin ax b c
a



4

2
1
sin x

tan xc

 
2
sin
1
ax b

 
n
1
ta a
a
x b c

2
1
cos x

cot xc 

 
2
cos
1
ax b

 
o
1

cta
a
x b c 

x
e

x
ec

ax b
e


1
ax b
ec
a



x
a

1
ln
x
ac
a


x
a



1
ln
x
ac
a





Trong đó:
c
là hằng số.
PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
PHƯƠNG PHÁP 1 : Đổi biến số.
Dấu hiệu nhận biết khi dùng phương pháp đổi biến số.
1.
   
f x g x dx

, trong đó :
   
'g x f x
. Đặt

 
t g x

2.
 
 
 
f u x v x dx

, trong đó :
   
'u x v x
. Đặt
 
t u x

3.
 
 
,
m
f x f x dx

, đặt
 
m
t f x

4.
1

ln ,f x dx
x





, đặt
lntx

5.
 
22
,f x a x dx

, đặt
sinx ta
hoặc
cosx ta

6.
 
22
,f x x a dx

, đặt
sin
a
x
t



7.
 
22
,f x x a dx

, đặt
tanx ta

PHƯƠNG PHÁP 2 : Từng phần
Khi không có dấu hiệu nào của đổi biến số, ta dùng công thức từng phần.
Công thức của từng phần :
udv uv vdu


Một số dấu hiệu cơ bản khi dùng phương pháp từng phần.
1.
 
sin xfx xd


, đặt
 
sin x
u f x
dxdv









2.
 
cos xfx xd


, đặt
 
cos x
u f x
dxdv










5

3.
 
x

fxe dx


, đặt
 
x
u f x
dv de x







4.
sin
x
de xx



, đặt
sin
x
xdx
ue
dv











5.
cos
x
de xx



, đặt
cos
x
xdx
ue
dv










6.
ln
x
dxe x


, đặt
ln
x
ux
dv e dx










7.
 
ln xf x xd


, đặt
 
lnux
dv f dxx










B. TÍCH PHÂN
Công thức Newton – leibnizt:
       
b
b
a
a
f x dx F x F b F a  


Tích phân từng phần:
 
bb
b
a
aa
udv uv vdu


Định lí quan trọng:
     

b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
  
với
a c b


   
ba
ab
f x dx f x dx


BÀI TẬP VẬN DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
Các bài toán sau đòi hỏi HS phải thuộc bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm để vận
dụng vào giải bài tập.
Ngoài ra những kiến thức bổ trợ để giải bài tập dạng này là: công thức lượng giác, hàm số mũ – hàm
số logarit, bảng đạo hàm của các hàm số lượng giác, hàm số mũ – hàm số logarit.
1.
 
4
2
23x
fx
x


2.
 

 
2
2
2
1x
fx
x


3.
 
3
12
fx
xx


4.
 
2
si2
2
n
x
fx
5.
   
2
tan cotxxfx 
6.

 
22
cos2
sin cos
f
xx
x
x 

7.
 
sin3 c2 os2fx xx
8.
 
2
2
cos
x
x
e
f x e
x





9.
 
23

xx
f x a

10.
 
2
2
1
fx
x


11.
 
2
5
32
fx
xx


12.
 
sin7 cos5 cosxxf xx 


6

16.
 

 
2
2
1x
fx
x


17.
 
3
1x
fx
x


18.
 
2
tanf x x

19.
 
2
cosf x x
20.
 
22
1
sin cos

fx
xx

21.
 
sin3f x x

21.
 
2sin3 cos2f x x x
22.
 
 
1
xx
f x e e
23.
 
31x
f x e




Bài tập 2: Tìm nguyên hàm
 
Fx
của hàm số
 
fx

thỏa mãn điều kiện:
1.
   
2
7
2 , 2
3
f x x F  
2.
   
4 , 4 0f x x x F  

3.
   
32
4 3 2, 1 3f x x x F    
4.
   
32
2
3 3 1 1
,1
2 1 3
x x x
f x F
xx
  

