Một số bài toán của lý thuyết đàn hồi và lý thuyết dẻo

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN
TẼN ĐÊ TAI: MỌT s o BAI TOẢN CUA LÝ THUYÊT ĐAN
HỔI VÀ LÝ THUYẾT DẺO
MẢ SỐ: QT-06-05
CHÙ TRÌ ĐỂ TÀI: PGS TS PHẠM CHÍ VĨNH
CÁC CÁN Bộ THAM GIA:
TH.S.BÙI THANH TÚ
TH.S. NGUYỄN THỊ KHÁNH LINH
ĐAI HOC QUỐC GiA HA NO'
TRUNG TÂM THÔNG TIN ihư VlẺN
HA NOI - 2006
BÁO CÁO TÓM TẮT
1. Tên đề tài: Một sỏ bài toán của ly thuyết đàn hồi và lý thuyết dẻo
Mà số: QT-06-05
2. Chủ trì đề tài: PGS TS Phạm Chí vinh
3. Các cán bộ tham gia:
Ths. Bùi Thanh Tú
Ths. Nguyễn Thị Khánh Linh
4. Mục tiêu và nội dung nshiên cứu của đề tài
a. Mục tiêu nshiẻn cứu
• c .
- Công thức của vận tốc sóng Ravleiơh trone môi trường đàn hồi đảng
hướng nén được có biến dạng trước.
- Cơ sở toán học của côns thức xấp xỉ vận tốc sóng Rayleigh của
Malischevvsky
- Sự phán xạ. khúc xạ cùa sóng đối với biẻn có độ nhám cao.
b. Nội dung nshiên cứu:
- Xây dưn.2 công thức vận tôc sóng Rayleigh trone môi trườns đàn hói
đản2 hướng nén được có biến dạng trước bằns phươns pháp hàm biến phức.
-Áp dụne phương pháp bình phươns tối thiếu để tìm cơ sờ toán học của

côns thức xấp xỉ Malischevvsky
-Sử dụns phương pháp thuần nhát hoá để tìm các phươns trình thuan nhất
hoá cùa các bài toán biên với biên có độ nhám cao. sử dụns các phươns trình
này để nghiên cứu bài toán phản xạ, khúc xạ của sónơ SH đối với biên có độ
nhám cao.
c. Các kết quả đạt được:
Xây dựng được cỏns thức của vận tốc sóns Rayleish tron2 mói
trườn.2 đàn hồi đàng hướns nén được có biến dạna trước.
t_ V— <—■ <—
- Chứna minh được rằna: xấp xi Malischevvskv là xấp xi tốt nhất ciia
giá trị chính xác cùa vận tốc són° Rayleiah trona khôns 2Ían Lr [-1, 0.5] đối với
tập các khai triển Tavlor của vận tốc sóna Rayleish đến cấp ha tại các aiá trị
thuộc đoạn [-1, 0.5].
-Tìm được các hệ số phản xạ. khúc xạ cùa són2 SH đối với biên có độ
nhám cao.
Các kết quả chính của đề tài được trình bày trons ba bài báo sau:
1. Phạm Chí VTnh, Nguyễn Thị Thu, Cồng thức vận tốc sóng Ravleiah tron”
môi trường đàn hồi đẳng hướng, nén được, có biến dạn° trước, Tuyến lặp côny
trình hội nahị khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ 8. Thái
Nguyên, 25-26/8/2006. trang 938-948.
2. Pham Chi Vinh and Peter G. Malischevvskv. Explanation for
Malischevvskys approximate expression for the Rayleiah \vave velocity.
Ultrasonics 45 (2006), 77- 81.
3. Phạm Chí VTnh, Đỗ Xuân Tùng. Sự phản xạ, khúc xạ của sóng SH đỏi
với biên có độ nhám cao, Tuyến tập còng trình hội nahị khoa học toàn quốc Cơ
học Vật rán biến dạn2 lần thứ 8. Thái Nsuvên. 25-26/8/2006. trana 949-959.
5. Tinh hình sử dụng kinh phí:
a. Đươc cấp: 20.000.000 đ
b.Chi tiêu:
- Thuê khoán chuvên môn: 12.000.000 đ

- Hội nghị, hội thảo khoa học: 3.000.000 đ
- Chi khác: 5.000.000 đ
Tổng cộng: 20.000.000 đ
KHOA QUÁN LÝ
(Ký và ghi rõ họ tén)
CHÚ TRÌ ĐỂ TẢI
)w
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
SUMMARY
Title of the Project: Some problems of theory of elasticity and theory
of plasticity
Code of the project: QT-06-05
Head of the research group: Ass. Prof. Dr. Pham Chi Vinh
Participants: MSc. Bui Thanh Tu
MSc. Nguven Thi Khanh Linh
Aims and Contents of the Project:
a. Aims of the project:
- Formulas for Rayleigh wave speed in compressible isotropic elastic
media with initial deformations.
- Studyinơ the mathematical base of Malischewsky"s approximation
of the Rayleioh wave velocity.
- InvestÌ2atiri2 the reílection and reữaction of SH \vaves to the
O »—
boundaries with hiah roughness.
b. Contents of the prọject:
- To find a íormula for Rayleish \vave speed in compressible
isotropic elastic media \vith initial deíormations usina the
complex íunction method.
- To investigate the explanation for Malischewsky's approximate
íormula of the Rayleieh wave velocitv.

- To construct the homogenized equations of the boundarv problems
with highlv rough boundaries by using the homogenization method.
To studv the reílection and reíraction of SH \vaves to the
boundaries with hĨ2h rouahness by employing the homo2enized
equations.
c. Main obtained results :
- Obtained the íormula for Rayleigh wave speecl in compressible
isotropic elastic media with initial deformations.
- Proved that Malischewsky's approximation can be considered as the
best approximation of the Rayleish wave velocity in the interval
[-1. 0.5], in the sense of least squares, \vith respect to the class of
Taylor e.xpansions of the Rayleigh \vave velocity up to the third
povver at the values helong to [-1.0.5].
- Found the reílection and reíraction coefficients of SH waves to the
boundaries with hiah roughness
Finance
a. Receiving:
20.000.000 VNĐ
b. Spending:
- For research works:
12.000.000 VNĐ
For Coníerences and Seminars: 3.000.000 VNĐ
For other \vorks:
5.000.000 VNĐ
Total: 20.000.000 VNĐ
M ỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU 1
Chương I. Công thức vận tốc sóng Rayleigh trong môi trường dàn hồi dẳng hướng. 3
nén được, có biến dạng trước

I. Mở đầu 3
II. Phương trinh tán sắc của sóng Rayleigh trong mõi trường đàn hồi đẳng hướng. 4
nén được, có biến dạng trước
III. Công thức vận tốc sống Rayleigh trong mõi trường đàn hồi đẳng hướng, nén 13
được, có biến dạng trước
IV. Kết luận 24
Chướng II. Cơ sở toán học của xấp xỉ Malischewskỵ 26
I. Mở đấu 26
II. Công thức chính xác của vận tốc sóng Rayleigh 27
III. Phương pháp binh phương tối thiểu 27
IV. Cơ sở toán học của công thức xấp xỉ Malischevvsky 29
V. Kết luận 32
Chương III: Sự phản xạ, khúc xạ của sống SH đối với biên có độ 33
nhám cao
I. Mở dầu 33
II. Biên phản chia hay biên có độ nhám cao và phương trình thuần nhất hoá 35
III. Sự phản xạ và khúc xạ của sóng SH đối với biên phân chia hoặc biên có độ 49
nhám cao
IV. Kết luận 62
KẾT LUÂN 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO 65
MỞ ĐẦU
Sóng mặt Rayleigh được Lord Rayleigh phát hiện và nahiên cứu từ hơn
một thế kỷ qua. nãm 1885. Nó vẫn tiếp tục được nơhiên cứu và khám phá do
những ÚT12 dụng to lớn của nó trona nhièu lĩnh vưc khác nhau của khoa học và
kỹ thuật như: Âm học. Khoa học vật liệu. Khoa học đánh 2Íá không hư hại
(Nondestructive evaluation). Khoa học kiêm tra khôna hư hòng (Nondestructive
Testing), Địa vật lý, Côna nahệ viễn thông,
Đối với són2 Ravleiah, vận tốc là một đại lượng cơ bàn và quan trọng. Nó
thu hút sự quan tàm đặc biệt của các nhà nahiên cứu trong các lĩnh \TJC khoa học

ứng dụng nói trên. Hơn nữa, nó còn được sử dụng đê xây dựng các hàm Green
đối với các bài toán độn2 cùa bán không gian. Cho nên việc tìm các công thức
của vận tốc sóns Rayleish, dưới dạns hiện, là hết sức cần thiết và có ý nahĩa trẽn
cả hai phươne diện: lý thuyết lẫn ứng dụng.
Đến năm 2000. công thức chính xác hoàn chình đầu tiên cùa vận tốc sóng
Rayleiah trong môi trường đàn hồi đản2 hướnơ được tìm ra bởi Malischcvvskv
[10] bằn2 cách sừ dụng trực tiếp MATHEMATICA. Sự chứii2 minh chặt chẽ
về mặt toán học cùa côns thức nàv đuọc hoàn thành vào nãm 2004 bới Pham và
Oaden [20]. Dựa vào phươns pháp chứns minh, hai tác siá Pham và Osden còn
tìm đươc một cõng thức khác của vận tốc sóns Rayleioh đối với mỏi trườns đàn
hồi đána hướna [20]. và các CÔĨI2 thức đối với môi trườna đàn hồi dị hướna. nén
được [18. 21] cũna như không nén được [17].
Vât liệu có biến dạns trước đã và đan2 được sừ dụng một cách hết sức
rộna rãi. Do vậy. việc tìm ra các côn2 thức vận tốc sóna Rayleish đối với môi
trườns đàn hồi có biến dạna (ứna suất) trước là hết sức cần thiết.
Mục tiêu thứ nhất của đề tài là: Tìm các cõng thức cùa vặn tóc SÓI1ÍỈ
Rayleigh trong môi trường đàn hồi nén đưọc có biến dạng trước.
Do tính chất quan trọng của vận tốc sóna Rayleish, trước khi tìm ra cỏn°
thức chínli xác đầu tiên (năm 2000), các nhà nahiên cứu đã tìm được một sỏ'
cỏna thức xấp xì của nó dưới dạne đon giản, dễ sứ duns. Gán đ á \.
Malischevvsky [12] đưa ra một côna thức xấp xỉ của vận tốc són2 Ravleiah đổi
với mòi trường đàn hói đảnă hướng, đối với các hệ số Poisson r e [-1. 0.5].
dành cho các vặt liệu với hệ số Poisson ãm (auxetic materials) ngày càng được
sử dụng rộng rãi. Tuy nhiên, công thức này được tìm ra chi bằng kinh nghiệm.
Do vậy mục tiêu thứ hai cùa đề tài là: Cơ sờ toán học của công thức xáp
xỉ Maỉischewsky.
Bài toán phán xạ. khúc xạ cùa sóng đối với các biên phắnơ có nhiều ứng
dụng trong thực tế và đã được nshiẽn cứu kì lưỡng. Gần đây, do sự phát triển cùa
kĩ thuật, bài toán phản xạ, khúc xạ của sóng đối với các biên cona trớ nên có
nhiều ứri2 dụng, và là đề tài nahiên cứu thời sự (xem [5].[8].[27]). đặc biệt là các

biên có độ nhám cao.
Mục tiêu thứ ba của đề tài là:
Sự phản xạ, khúc xạ của sóng SH đối với biên có độ nhám cao.
Các kết quà chính của đề tài được trình bàv trons ba bài báo sau:
1. Phạm Chí Vĩnh. Nguyễn Thị Thu. Côns thức vận tốc sóng Rayleigh
trona mòi trườns đàn hồi đẳns hướna. nén được, có biến dạng trước. Tuyến tập
côns trình hội nahị khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạna lần thứ 8. Thái
Nguyên. 25-26/8/2006. trang 938-948.
2. Pham Chi Vinh and Peter G. Malischevvsky. E.xplanation for
Malische\vsky’s approximate expression for the Rayleish \vave velocity.
Ultrasonics 45(2006). 77- 81.
3. Phạm Chí Vĩnh. Đỗ Xuân Tùng. Sự phàn xạ. khúc xạ của sóns SH đối
với biên có độ nhám cao, Tuyến tập công trình hội nghị khoa học toàn quốc Cơ
học Vật rắn biến dạns lần thứ 8. Thái Nsuyên. 25-26/8/2006, trans 949-959.
CHƯƠNG I: PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG RAYLEIGH
TRONG MÔI TRƯỜNG ĐÀN HÒI ĐÀNG HƯỚNG, NÉN Được, CÓ
BIÉN DẠNG TRƯỚC
I. MỞ ĐÀU.
Sóng mặt Rayleigh trong mỏi trường đàn hồi đẳng hướng nén được,
được Rayleigh [24] nghiên cứu từ hơn một thế kỷ qua, từ năm 1885. Kể từ
đó đến nay, sóng Rayleigh trong các môi trường đàn hồi khác nhau là đề tài
cho rất nhiều nghiên cứu. bời vi sóng Rayleigh có ứng dụng rộng rãi trong
địa chắn học, vật lý địa cầu, khoa học vật liệu và công nghệ viễn thông
Theo Destrade [6], các thiết bị sóng mặt (surface acoustic wave
devices) đã được sử dụng một cách rất thành công trong công nghệ viễn
thông (telecommunication industry).
Đối với sóng mặt Rayleigh, vận tốc sóng là một đại lượng rất quan
trọng. Theo Malischevvsky [11], vận tốc sóng Rayleigh là một đại lượng cơ
bản (a íundamental quantity) được các nhà nghiên cứu trong địa chấn học.
vật iý địa cầu và các lĩnh vực khác của vật lý quan tâm.

Theo Nkemzi [15], vi hàm Green của nhiều bài toán động đàn hồi đối
với bán không gian có liên quan đến nghiệm của phương trình tán sắc của
sóng Rayleigh, nên việc tìm công thức (dưới dạng hiển ) của vận tốc sóng
Rayleigh vừa có ý nghĩa lý thuyết, vừa có ý nghĩa ứng dụng.
Đối với môi trường đàn hồi đẳng hướng, các công thức vận tốc sóng
Rayleigh được tim ra bời Malischewsky [10], Pham và Ogden [20]. Đối với
vật liệu dị hướng, trong một số trường hợp đặc biệt của vật liệu monoclinic
với mặt phẳng đối xứng
X , = 0, các công thức vận tốc sóng Rayleigh được
tìm ra bời Ting [28], Destrade [6]. Đối với vật liệu trực hướng không nén
được, công thức vận tốc sóng Rayleigh được tim ra bởi Ogden và Pham
[17] dựa trên lý thuyết phương trình bậc ba. Đối với vật liệu trực hướng nén
được, các công thức vận tốc sóng Rayleigh được tim ra bời Pham và
Ogden [18,21]. Gần đây, công thức vận tốc sóng Rayleigh trong môi trường
đàn hồi đẳng hướng, không nén được, có biến dạng trước được tìm ra bởi
Pham [19].
3
Mục đích chính của chương này là thiết lập cống thức vận tốc sóng
Rayieigh trong môi trường đàn hồi đẳng hướng, nén được, có biến dạng
trước bằng cách sử dụng phương pháp hàm biến phức.
Chương này gồm 2 phần
Phần 1: Phương trình tán sắc cùa sóng Rayleigh trong môi trường
đàn hồi đẳng hướng, nén được, có biến dạng trước.
Mục đích của phần này nhằm tìm ra phương trình tán sắc cùa sóng
Rayleigh trong môi trường đàn hồi nén được có biến dạng trước. Khi môi
trường không có biến dạng ban đầu, phương trình được biến đổi tương
đương về phương trình tán sắc thông thường của sóng Rayleigh trong môi
trường đàn hồi, đẳng hướng nén được.
Phần 2: Cõng thức vận tốc sóng Rayleigh trong mỏi trường đàn hồi
đẳng hướng, nén được, có biến dạng trước.

Trong chương này, công thức vận tốc sóng Rayleigh trong môi trường
đàn hồi đẳng hướng, nén được có biến dạng trước được tìm ra. bằng cách
áp dụng phương pháp hàm biến phức, sử dụng công thức này. tác già đâ
chứng minh được điều kiện cần và đủ để tồn tại duy nhất sóng Rayleigh
trong môi trường đàn hồi đẳng hướng, nén được có biến dạng trước.
II.PHƯONG TRÌNH TẢN SẮC CÙA SÓNG RAYLEIGH TRONG .MỎI TRƯỜNG
ĐÀN HÒI ĐẢNG HƯỚNG, NÉN ĐƯỢC, CÓ BIÉN DẠNG TRUỚC
I.Các phương trình cơ bản
Xét một vật thể đàn hồi đẳng hướng, nén được mà ờ trạng thái tự
nhiên (không có ứng suất) chiếm bán không gian x : <0. Giả sử vật chịu
biến dạng ban đầu thuần nhất, tức là:
.V, = / .V A\ = /., X 2. X. = Â.X.,. Ải = const, i = 1.2.3 (1.1)
Sau khi chịu biến dạng ban đầu (1.1), vật thể chiếm bán không gian
A\ < 0. Xét chuyển động phẳng trong mặt phẳng (xn, x2) với các thành phần
chuyển dịch như sau:
u =«,(.vi,x2,/)./ = 1.2,m, =0 (1.2)
trong đó t là thời gian.
Khi đó bỏ qua lực khối, các phương trình chuyển dịch là [18, 27]:
4
-^>1111**;.!! ^KIII^I.Ỉ’ (^>>1:: — píii
Í^ O IP " ' *"*" 0, l P p ^ O P I ’ ^ ’ 11 ^0 '*22 2 ^ ’’ 22 p ^ 1
(1.3)
trong đó plà mật độ khối lượng của vật liệu ờ trạng thái ban đẩu, dấu chẩm
(trên) chỉ đạo hàm theo thời gian t, dấu phẩy chỉ đạo hàm theo các biến
không gian (Xi), các thành phần của tenxơ hạng bốn Ả, được xác định bời
các công thức [16, 25]:
ẽ ' - w
CẢ.Ả,
cW
JA, ( = JA = JA, _. — Ả .

C Ả
j
(\ c\v m ew '
Ả — - Â, —
1 ÕẰJ ,
Ả.
JA
Ú - V )
,-V Ô-U
(1.4)
ỈV = W ( / . là hàm năng lượng trên một đơn vị thể tích, J = .
Khi môi trường không có biến dạng trước, các thành phần A trờ
thành [16, 25]:
(1.5)
Ao,,:, = ^ + = Â,Ì*J
A0V,J = Ao,,„ =v- i* j
/.//là các môđun đàn hồi của vật liệu.
ứng suất trên mặt x2=const được tính bởi công thức [16, 25]:
ơ v - + 4 j : i i : m 2 .p ơ : : = A -r .: : : ư :.z + 4 >I1 2IMI.1 ’ ơ =0 (1-6)
Để đơn giản trong trình bày ta sử dụng các ký hiệu sau:
a ,, — ~ ■^ũini’a2: ^ù:222-ai2 a2\ '^ou::)
/t = = -^02121 ’ y' ~ -^02112
Khi đó hệ phương trình (1.3) trở thành:
(1.7)
( 1.8)
ữ. ^ Ị ĩ/j 11 t y t ĩ/| 7-» {^|1 p
+ Ơ :2Ỉ'2.22 + (<*,, + / - ) “ l,12 =pii2
Từ (1.6), (1.7) ứng suất trên mặt x2=const được xác định bời công
thức:

ơy = 0
ơ r . = / ' : “ |.Ị + / . « 2 .1
<7., = Of,:ííu TC„1Í;; (1.9)
Từ điều kiện cần và đủ để hệ (1.8) là eliptic mạnh (strongly elliptic) [16], ta
có:
a , > 0.a„ > 0./, > 0./, > 0 (1.10)
2. Sóng Rayleigh
Giả sử sóng mặt Rayleigh truyền theo hướng 0X1, khi đó ta tim
nghiệm của hệ (1.8) dưới dạng:
li. = A s\p[iksx. - i(kx. — cot)]
ư: = Ả : exp[/fcc, - i(kxt - Cút)]
trong đó: Ai, A2 là các hằng số, Củ\à tần số sóng, k là số sóng, s lả hằng số
cần tìm. Để trường chuyển dịch của sóng Rayleigh tắt dần theo chiều sâu,
tức là: lim
II =0./ = 1.2 (1.12)
r - —
thì s phải có phần ào âm, tức là: Im^<0 (1.13)
Thay (1.11) vào (1.8) ta được
a n.ị(ik): + (ar - y.)(ikÝSÃ: +ỵ2(ik)ls2AỊ =Alp(-icoỳ
ỵ,A: (ikỳ + a 21Ụk)z s2 A: -■-(ar_ ■¥ y.)(iks)(ik)A, =A:p(-iojỳ
hay:
(a:. - ỵ :s: - pc'-)A, + ỵ.)s.4: =0
(«,, -ỵ*)sẨ. + (/ , +Cf.;5: -p c 2)A2 = 0
(1.14)
(1.15)
trong đó: c = — là vận tốc sóng Rayleigh.
Ả*
Để hệ (1.15) có nghiệm không tầm thường thì định thức của hệ phải bằng
không, tức là:
a + ỵ.s: - p c : (ar +ỵ.)s I

" ' : , j = 0 (1.16)
(ar_+ỵ.)s yx+ azỵ - - pcl\
Sau khi khai triển định thức cấp hai, phương trình (1.16) trờ thành:
(ữ„ +ỵ:s: -pc'-)(ỵt + a::s2 - pc2)- ( a í2 + v.)V =0
<=> + 2fo: + ( 7 = 0
trong đỏ: ê = a v.Yz
a = (a.A - pc-)(ỵ\ - pc'-)
2b = a::(au -pc'-) + ỵ:(ỵỉ-pc:)-(a.2+ỵ.ỳ (1.18)
Từ(1.17)tacó:5:5:: = (119)
c a 22?'
s- - s :s - Ỉ Ị s íỉ± Z lã . z s t h z á ỉ l z £ ủ (1.20)
Theo (1.13), để thoả mãn điều kiện tắt dần thì s1, s2 phải có phần ảo
âm. Từ đó ta sẽ chứng minh được rằng vận tốc sóng Rayleigh c phải thoả
mãn các bất đẳng thức sau:
0 < pc~ < min(v a ) = •/, (1.21)
Thật vậy, đặt X = s z, từ (1.17) suy ra:
c X 2 + 2bX + a = 0 (1.22)
Trường hợp 1: A>0 :Khi đó Xí, x 2 là các số thực, do vậy X,. x2 phải là
các số âm. Vì nếu ngược lại . chẳng hạn Xí >0 thi 5. = v X, là một số thực.
do vậy phần ảo của Sị bầng không, mâu thuẫn với điều kiện Ims, <0. Do
st2 = .v, <0?s:: = x : <0 nên:
[(«,, - pc'-)> 0
■ V. - pc '~) > 0
hoặc
Ịịa,, - pc:) < 0
ị 7 (1.23)
[/i - pc2) < 0
Giả sử:
(1.24)
(au - pc'-)< 0

ị/, - pc'-)< 0
Chú ý đến (1.10), từ (1.20) và (1.24) suy ra:
2
(ar +ỵ.ỳ - a 22(au - pc: )-'/,(■/, -ọc'-) A
s, +s2
-

-
—

>u (1-^0)
a 2 2 Ĩ 2
Điều này mâu thuẫn với: í,: <0,s2: < 0, do vậy:
Ị(ữu - pc' ) > 0 , ,
<ị hay 0<pc <m in(/,,aM) (1.26)
|/| -pc:)>0
7
Trường hợp 2: A<0 khi đó phương trình (1.22) có hai nghiệm phức
liên hợp: Xì = X2. Do vậy:
= X 2.X: = \x:\2 = k " : >0 (1.27)
Chú ý rằng: Không thể xảy ra trường hợp 5 ,: = 0, vì nếu ngược lại thì suy
ra s2 =0. nhưng điều này mâu thuẫn với (1.13).
Từ (1.19) và (1.27) ta có:
\(av - pc'-)> 0
| / i - pè' ) > 0
hoặc
| ( a M - pc: ) < 0
I/, - pcz)< 0
Giả sử:
ị(an - pc'-)< 0

Ị/, - pc'-)< 0
Từ (1.22) ta có:
A = (2bý -4ac = [a:z(a.í - p c : ) + / , ( / , -pc'-)-{ar v,7 .):]:
- 4 a::ỵ :(au - pc'-)(/, - p c : )
= [ứ; : ( a n - / X ;) + / ; ( / , - A ’ : )]: - p c : K / r A ’ : ;
- 2 (Cf,; T y . ) : [cr:: (ữ ., - p c ^ ì - r ỵ Ạ / i - p c '- ) \ ( 1 .3 0 )
= [a;:(an -/X’; ) + /.(/, - pc:)]: -2(ar_ + ỵ.y-[aZ2(au -pc'-) + ỵ2(ỵ] -pt-: )]
Từ (1.30), tính đến (1.10) và (1.29) suy ra: A>0, nhưng điều này máu
thuẫn với giả thiết A < 0, nên suy ra:
ị(a,t - pc:)> 0 ,
ị hay 0 < pc < min(/,. av )
[/, - ) > 0
Như vậy trong mọi trường hợp ta luôn có:
0 < p c 2 <m in(/,,au) = ỵ, (1-31)
Từ phương trình (1.17) ta tìm được Sì, s2 sao cho lms,<0 (i=1.2). Với
mỗi s, (i=1,2) ta tìm được nghiệm riêng tương ứng cỏ dạng (1.11) trong đó
các hằng số Aì, A2 được xác định bởi hệ (1.15) Một tổ hợp tuyến tính của
( 1.28)
(1.29)
8
các nghiệm riêng này chính là trường chuyền dịch của sống Rayleigh, tức
là:
u. = [c, exp(iks,.x2) + c, exp(/'Ấrs,x, )]exp[/(kxỊ - cot\
u: = [cl\C exP(iks x- ) T q.C: exp(iks2xz )]exp[ỉ'(fct, - cot\ (1.32)
trong đó c 1f c 2 là các hằng số (được xác định từ điều kiện biên). q1f q2
được xác định bởi công thức sau:
q = _ Í 5 i _ l M Ì z ^ £ Ì l =

/ = 1.2 (1.33)
(ar - ỵ. ]s (y, + a ::si2 - pc'-)

Giả sừ mặt biên x2 tự do với ứng suất. Khi đó. theo (1.9) ta có:
ỵ.u - - ỵ.u = 0 khi x2=0
ỵ2u,, + ỵ.Uị , = 0 khi X2=0 (1.34)
Đó chính là điều kiện biên để xác định các hằng số Ci, c 2.
3. Phương trình tán sắc
Thay (1.32) vào điều kiện biên (1.34) ta đươc:
y;[C,(/'Ấ:j;) + C;(/Ẩrj,)] + 7.[Ợ|C, +q2C:ịik) = 0
r 1 ( ■ /
a r (C| + c,X ik) - a 22 [ợjC, (iks,) + qzCẠiks: )J = 0
hay [/,5. + ỵ.ọ ]C| + Ị/;S; + /.<7;]C; =0
[a -ơ.,.q 5.]c, -r[ữp =0 (1.36)
Để hệ (1.36) có nghiệm không tầm thường với c 1t c 2 thì định thức của hệ
phải khác không, tức là:
Ị/;5, -rỵ.ọ. /;5; + /•‘7: í = 0
|a i; +
a ,.g ìsì
a \2
+ a
22
<Ỉ
2
s
2
'
ỵ:ar (sl - s 2) -ỵ :a ::s.s2(qí - q 2) + a rỵ.(qì - q2) - a ::ỵ.q,q:ịs, - s :) = 0
(1.37)
Sử dụng các kí hiệu: CI\\ - a u - pc~,Yị = ỵ. - pc: .p - (a . + ỵ. ), từ (1.33)
ta có:
, „ au -pc- + ỵĩsí2 t an -p c2 +ỵ:s22
q l - CỊ 2 =

+

1— —
(a - 7. )5, ( ơ p + 7. ) s ,
V-,; : (1 38)
_ ( ạ , , - p c : )( . s , - 5 , ) _ ( g Ị Ị - ỵ 2SịS2) ( 5 ị - s:)
(ar +ỵ.)s,s2 pS\s.
9
„ „ _ ũrn - p c - + / :í,- ctu-pc:+ỵzs{
Ị \ I "* — • '
(an +ỵ.)s. (an + v.)s2
_ (Qịị - p c : )2 +7:(g;i - p c : )(s,: T i ^ T y . ỵ ỵ
<a !2 -ỵ.ỳs-s:
_ ( a II: - y : g i : ( 5 . : - 5 . : ) ~
j3's.s,
a i:
Thay (1.38) và (1.39) vào (1.37) và giản ước cho (sr s2) ta được:
t t n Cl\\ — / ,5 , 5 , ơ;;
■ T ữ .,;/.
— - -

-
— = 0
p yổ5j5: azzsxs.
Ơll-V 5 52 / .ơ ,:cd l ữ p /,v , ỒTu/. A
<=> / , a p - + -—

= 0
/7 /fc,$2 p 5,5,

- : y . ơ p ơ l l ơuy.p .
<=> 7: #12 - ỵ :a::a\\ T/, ữ2:5j52 -r

—

a,:;/2/ , —— = 0
hay
5j52 5.5,
- , : , ỵ.ara\: (ar +/.)/.a _
• / , « , . (G í\. - ỵ . ) - ỵ . a . . a : a s.s H

—

a .

— —

= 0
5 ;S . " 5 . Í ,
: - : ỵ.'au _ A
<=>;/.or., -ỵ~ava\\ + /,

— = 0
5,5,
<=> (ỵ:ar~ - / ;or;;ữn )5,5, +ỵ2:a :2si2s22 - ỵ.2 ữ.\\ = 0
c=> ( / a ; - ỵ a a )s s 4-ỵ2U\\/, - ỵ.2ữ\i = 0
<=>(/,/, -ỵ.')a\\ +ỵ2{ctí: - a ::a\\)s]s: =0
Từ (1.19) suy ra:
CCll/
V := - ,Ị '

V ữ::/:
Thật vậy:
Trường hợp 1:
Nếu A > 0 v \ s :: là các số thực, do vậy chủng phải là các số âm
(để đảm bảo Sì, s2 có phần ảo âm). Khi đó í, = -//?,./?, > 0.5, = -//?,
suy ra:
(1.39)
(1 4 0 )
(1.41)
(1.42)
■ P: > 0 ,
10
5j5i ( lỴ ỊĨ^ỊÌ-, P\Pt \S\Si' \ S\ S' 0*43)
I
Từ (1.19) và (1.43)ta suy ra (1.42).
Trường hợp 2:
Nếu A< 0 thì theo trên s.; =s.; . Từ điều kiện Ims <0 (i=1 2) và
S,=\S,
( i= 1,2) suy ra nếu s2=a+ib (b<0) thì Sì—a+ib suy ra:
5,5, = ~(a~ +b~) < 0
= > s . s z = - 5 , 5 , : = - , ỹ s l s 2 .
Từ (1.19) và (1.44) ta thu được (1.42).
Thay (1.42) vào (1.41) ta được:
(.7.7, -y-)a v. + (— ỹ (a:: a -A - ữ i:2)võĩĩ\/^" = 0
a 22
(1.44)
hay
(«11 - pc'-)-ỵ.:ụ
l
+ ( — j 2 [«:;(«), - pc2) - a r_2ịj a u - pcW i - p c : = 0

(1.45)
Ta sẽ chứng minh rằng, khi đó phương trình tán sắc (1.45) với điều kiện
(1.31) sẽ được biến đổi tương đương về phương trình:
(2 - v): = 4^fỉ^ỹyfỉ - ~Õy (1.47)
trong ũó y -^ T .c : - — .6 = — —— (148)
cỊ - p /1 + 2//
Từ (1.31) và (1.46) ta có:
0 < y < 1 (1.49)
và theo định nghĩa của e thì 0< 6 < 1 (1.50)
Phương trình (1.47) với các ký hiệu (1.48) chính là phương trình tán sắc
của sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi đẳng hướng nén được. Nó
được tìm ra được bời Rayleigh [24] vào năm 1885 và được trình bày trong
các sách giáo trình về lý thuyết đàn hồi, hay sóng đàn hồi, chẳng hạn [1]
[4].
11
S ử d ụ n g (1.46), (1 .4 8), p h ư ơ n g trình (1.4 5 ) trờ th à n h :
í1 - ^ Ạ M i - v ) - ^ - í - ^ f rU - 2 4 . - T^ v ì- A ^ Ĩ T ặ : ^ = o (1-51)
l V '-+2.Ì/ J j
: 1

V (- II' v) +

—— [(/_ + 2 u ): - u(Ả 4- 2 u)y - X' 1 1 — Ô\yiỉ — V = 0 (1 -52)
V /. + 2 u ) ' -r 2 ụ ■ ' J
C h ia c ả hai v ế c ủ a (1 .5 2 ) c h o ( - u ' ) ta đ ư ợ c :
í l

^ r - y ì ■
1 Ả + 2,U )
/. + 2 u

[4Ả -r 4 u - (Ả + 2 ^ )1 ’]^ 1 - (Ạ\: 1 - V = 0
(1 - Ọy)y - í
í 4 (ả + ụ )
Â-rlu
\
- V A 1 - íẠ\. 1 - y = 0
i
/
(1.53)
(1.54)
C h ia hai v ế (1 .5 4) c h o yiỉ- ổ \- ^ o t a có:
y Ậ Z Ẹ . _ ị -y\l^Ty =
\Â + 2 .u }
0
(1.55)
Nhân hai vế (1.55) với % 1 - y * 0 ta được:
Ỵyịĩ - 6y - Ị 4 jA - ậ - y L ĩ ^ v = 0
• v • 1 / + 2ụ - r
(1.55)
Nhân 2 vế (1.55) với v l-V *0ta được:
r-iu + A ) v\ ! _ v)=0
à + ĩ u
 + 2 u
{ỉ- }')-yẠ -tyẠ -y = 0
(1.56)
(1.57)
(1.58)
« . [4(1 -&)- >’Xl - y) - y v '1 - B y Ạ ^ ỹ = 0
Ta sẽ chứng minh với điều kiện (1.49) phương trình (1.58) tương
đương với phương trình (1.47). Đó chính là điều kiện cần chứng minh.

Thật vậy, chia hai vế của (1.58) cho yf\ - y * 0 ta có:
[4(1 - ớ ) - > .y ĩ - y = y-J 1 % ’
Chú ý rằng do 3Ả + 2LI > 0 nên:
4(1 - 6>)> ]
Do vậy:
4(1 - ớ) - V > 0
(1.59)
(1.60)
(1.61)
12
Tinh đến (1.49), (1.50), (1.61) thì phương trình (1.59) tương đương với
phương trình sau (nhận được sau khi bình phương hai vế của (1.59)):
[4(1 - ớ )- v]: (1 - v) = V2 (1 - ọỳ) (1.62)
1 ó[(l - ef - 8(1 - 0)V + v: \\ - v) = v; -9ỵ:' (1 .6 3 )
c=> 16(1 - ớ): - 8(1 - d)y -r v: -16(1 - ớ): y + 8(1 - ỡ)y2 - y- = y2 -Ạ - (1.64)
«=. 16(1 - ớ)-8y + y : - 16(1 - e)y + 8y : - y 5 = 0 (1.65)
<=>.v5 - 8 y : + (24 - 16 ớ )v - 16(1 - ớ) = 0 (1.66)
Mặt khác, với điều kiện (1.49), (1.50) thì phương trình (1.47) tương
đương với phương trình sau:
( 2 - v)J =16(1- V-X1-Ạ-) (1.67)
<=> (l6 + 16v: T VJ —32v —8^3 +8v: )= ỉ6(ỉ - Ọy - y + (Ạ’2) (1.08)
o y 4 - 8.V3 + 24y 2 - 32y = -\6Ọy -16 V + \66y1 (1.69)
- 8_v; - (24 - 16ớ )v2 - 1 6 ( l - ớ ) = 0 (1.70)
Phương trình (1.70) trùng với phương trình (1.66) nên phương trình (1.45)
trong trường hợp mỏi trường không có biến dạng trước tức là phương trinh
(1.52). tương đương với (1.47). Đố là điều cần phải chứng minh.
III.CÔNG THỨC VẬN TÓC SÓNG RAYLEIGH TRONG MỒI TRƯỜNG
ĐÀN HÒI ĐÁNG HƯỚNG, NÉN ĐƯỢC, CÓ BIÉN DẠNG TRƯỚC
1. Dạng phức của phư ơng trình tán sắc
Đ ặtx = -Ar (1.71)

pc-
Khiđó: pc'-= ^ (1.72)
X
Từ (1.31) suy ra:
X>1 (1.73)
Thay (1.72) vào (1.45) và chú ý: 6 = — , ta có:
“ 1.
13
x)
í o
/./: I - 1
V x)
- V*2
y\Yl '} : (. Ỡ'\ ; ị
I a v a u\ \ - - \ - a , z .
V ^22^11
J

V
x
J
O Ỹ Ũ % 0
\v -VẢ x)
1
(1.74)
Chú ý đến (1.73), phương trình (1.74) tương đương với phương trình
sau:
(*-0)[(/i.y; — ì
V ữ 2 :a \ì )
(1.75)

X — 0 V X - 1 = 0
Đặt
a = I > l
0
Khi đó (1.75) tương đương với phương trình:
Fịx) = 0
(1.76)
(1.77)
trong đó:
F(x) = (ơ x -l)[(/,/, - )x - ỵ j 2] +
(~^=—ỹ[(ana:: - Ofi:').v - a22ỵì ]Võx - w.v -1
ữna ;;
Xét phương trình (1.78) trong mặt phẳng phức C:
F(z) = 0
F(r) = (or - !)[(/,/, - •/.' ) z - ỵ j 2] +
(1.78)
ơ /:/: 1,
ao
) -[{a,.az~ - a r : )r - a;zỵ' ]vor - lvz - 1
(1.79)
(1.80)
trong đó %o r - l . \ r - l là những nhánh chính của hàm căn bậc hai. Khi
r € R thì (1.27) trùng với phương trình (1.25). Phương trình (1.27) được gọi
là dạng phức của phương trình tán sắc (1.23). Như sẽ chỉ ra dưới đây.
phương trình (1.27) chỉ có một nghiệm duy nhất khác — và đó là nghiệm
ơ
thực.
2. F(z)=0 tương đương với một phương trình bậc hai.
Ta sử dụng các ký hiệu sau:
L = [-A).s = {2 eC.iíL}: N(z0 ) = { € 5.0 <

i
< e)
ơ
(1.81
14
trong đó £ là một số dương đủ nhò, Zo là một điểm nào đó của mặt phẳng
phức c.
Nếu một hàm /(:) chỉnh hình trong miền Q cC thì ta viết:
Từ (1.80) ta dễ dàng khẳng định được hàm F(z)có các tính chất sau:
(/,) F(r) e H(S)
(/,) F(:) bị chặn trong jV(— ) và iV(l)
ơ
(/,) F(:) = 0{:'~) khiịz —
(ft ) F(:) liên tục trên L từ bên trái và từ bẽn phải với các giá trị biên là:
Ị_
F~ự) = (ot-l)ịỵlỵĩ - ỵ-2} - ỵj2]+ị \aua12 - cc^1) -
V Cí\)ữ 22 /
(1.82)
. VƠ7 - IV1 - /
F (l) = (Ơ7 - 1)
Đặt:
■/. 7, — ỵ
l
/ crv,v V [■/ 1
l a\ia22 )
(1.83)
I 11
. V
ơi -
IV 1 - /

Oĩ - 1 (;/,/; \-ỵ j:
ư)
=
V Ơ7 - 1
Ị
! Cr/\ V2 1 '1/ ~ \ 1

+ /'!■ ■ k 1 - í
Vg i:g=J
I
_/(_gZlZl I' [(cfna :: - - ứ ;;y,Ịvl- /
{ana2iJ
(1.84)
Khi đó ta có:
1 + /ơ(0 r
ự) = — iz±l.r G L
trong đó: (p(t)
<p(<)
I
Ịaua:: - ar_: } - Ị\'l - 7
a::J
(1.85)
Ị’/Ji - - r ,r 2Nơr -1
Từ (1,82)-(1.84) suy ra: F'(t) = gự)F'(tịt € L
Xét hàm r(r)được định nghĩa bời công thức:
1 rlogg(0
r(z) = 7 “ í
2 /1 7 ỉ2/77 ị í - z
(1.86)
(1.87)

(1.88)
15
Dễ dàng chứng minh được rằng hàm r(T)thoã mãn các tính chất sau:
(/,) r (z)eH(S)
(/;) r ( x ) = o
(/.) n r ) =- ị l o g ( z 6.V(i)
2 ơ G
T(r) = Q|(r).z s A’(l)
trong đó Q ,(r), Q,(z) là các hàm bị chặn trong các lân cận A'(—). .V(l)của
ơ
' , 1

. .
các điẽm z = — =1 (xem Muskhelishvili [15]. tiêt 29). Chii ý răna. đẽ
ơ
chứng minh khẳng định (/-). cần sử dụng các điều sau đây:
l02g(—) = ìn. losg(l) = 0 (1.89)
ơ
Xét hàm 0 (r) được xác định như sau:
®(r) = expr(r) (1.90)
Từ {/,)-(/,) suy ra:
(<pỊ) o ịz)sH(S)
(ộ,) 0(r)^ 0 Vr € s
{Ọ:J 0(r) = ơ(l) k h i , : —»Tr.
( 1 Ỵ: 1
(ệx) 0(z) = expQ„(z).zeAr( - )
\ ơ ) ơ
O(r) = expQ, (z).z e Ar(l)
Sử dụng công thức PlemeỊi [13], dễ dàng chứng minh được hàmO(r)
thoả mãn các điều kiện sau biên sau (xem Muskhelishvili [13], tiết 35):

CD-ự) = gự)®-(t).teL (1.91)
Xét hàm }'(-) xác định qua f(-).0 (z)nh ư sau:
Y(z) = F{z)/Q(z) (1.92)
Từ (/ )- (./,), (1.87), ( ^ H ^ ) v à (1.92) ta có:
16
(y ,) Y(z)eH(S)
(V,) Y(z) = 0(z') k h i 12—> + x
( V, ) }'(z) bị chặn trong iV(— ) và A’(l)
ơ
(v4) Y~ (t) = Y~(t).r € L
Từ các tính chất (y ,)-(v J của hàm Y(z) suy ra Y(z) chỉnh hình trong
’ 1
toàn bộ mặt phăng phức trừ các điẽm z = — và r = 1. Nhưng từ (y3) ta thây
ơ
đây là những điểm bất thường khử được nên ta có thẻ xem Y(z) chỉnh hình
trong toàn bộ mặt phẳng phức ( xem [13]). Do đố, theo định lý Liouville mờ
rộng [18] kết hợp với tính chất (y2) ta có:
Y(: ) = />( ) (1.93)
trong đó P(z) là một đa thức bậc 2 của z.
Từ (1.92) và (1.93) ta có:
F ( r ) = 0 (r).P (r ) (1 .9 4 )
vì í>(r) = 0 vr€ 5( do tính chất (ệ.)) và í>(r)-> x khi z -)• — .0(1)^0( do
ơ
(ựS4)), nên từ (1.94) suy ra:
í 1 ì
F(:) = 0 o P(r) = 0 trong 5 u-i — >u{lỊ- (1.95)
3. Tìm P(z)
Từ (1.95) ta thấy thay cho việc giải (1.79) ta giải phương trinh P(z) = 0.
Từ (1 79) và (1.80) ta thấy F(—) = 0 do vậy từ (1.95) suy ra:
ơ

/>(-) = 0 (1.96)
ơ
Từ (1.90) và (1.94) ta có:
/>(-) = f-(-)exp[-r(-)] (1.97)
Mặt khác từ (1.85) ta cỏ:
17
ĐAI HỌC Quôc GlA MA NO'
TRUNG TÂM THÔNG TIN THƯ t/IÊN
j
ĩ )
>T / bA'
0
lo gơ ự ) = logỊ^-

— dl j = JogỊj _ iọ ự ) \ - log[l -
i(pụ)\
= log l + iọ{t)\ + /arg[l -r log l - iạ>(tỳ - /arg[l - iọ(t)\ (1 -98)
= 2iarctgọ(t) = 2i0(t)
Theo (1.88) và (1.98) thì:
r(z) = — 'í—Lớ(0</r
711
Í\-L

ơ _
Khai triển —— tại lân cận của điềm : = x ta có:
(1.99)
(1.100)
Thay (1.100) vào (1.99) ta được:
-r(x) = Ẻ ^ r
/1=0 -

trong đó: /„ = — jV’ớ(/)í*.« = 0,L2
£7
Từ (1.101) ta có:
e = 1 + — -ỉ—^ + ơ(z )
trong đó a0, a, là các hằng số cần xác định. Ta có:
(e-n ’)=(-r(z))
( - a 2CI,
ro
( 1.101)
(1.102)
(1.103)
(1.104)
ặ + ƠI )ì = f-—
r
- i + 0(z~J )Ỵl + ^7 + 3 + ơ( r
"'))
z ' J { z- ĩ- A z I- )
« í - ^ - p L + 0 (r-4)
,ì
ỡ(z'4)l (1.105)
Từ (1.105) ta suy ra:
18
\'o r - W r - l = VarỊ 1 -— Yf1 -—Ỵ
/ V "7
= Nơr 1 - - ! - - —4 . -f O iz ':' ) :i 1-
2ơr 8cr r X
Khai triển Vcr -1. N r -1 tại r = X ta được:
= VơrỊ I 1 1

!y - 0 (:~: )

V 2cz S ơ :- y-y 2r 8r
— ì I - [ - L + ỉ ì 4 - + 0( r - 5) ị
2ơ ) I v8<7 4ơ 8 j r
Thay (1.107) vào (1.79) ta được:
= VỠrỊ 1 - Í - - 1 -1 ■' 1 1
. ~> 1,
F(:) = {ar -1)[(/,/, - ,y.: )_- - ỵ.ỵ,
Ị(ữn<
2
::
— ữ , jĩ — ữ:;:ỵl
a.,a^
\ . 1 /
ơ 1
ƠI

—
2 2 v
1 1 ơ 1
8cr 4 8 ) I
(1.107)
(1.108)
hay
trong đó
F(:) = A:2 - B: + c - ơ(j?-')
U 'A,
ì í -'V
ơ Vi/:-/- -
-\{a ua :: ữ r. )\
J

J
B = ơỵìỵ:-rỵjĩ-y. - -
+ í /l/: H 51 '

! ! —
2; ơ,,ữ.
2cfncf;: -r (ơ + l)ịữMữ;; - a,:: )
(1.109)
V w n “ :: /
„ 1
c r ,,:
f 1
o
V
' \ a ơ I
c = / '7=+ U S : J [ ĩ ^ 4 ^ n K r ' “ = - “ ‘= )+ £ f j (1/no)
Thế (1.103), (1.109) vào (1.97) ta có:
P(z) = A=2 +(aoA - B): + Aa, - a.B + C (1.111)
Như trên đã biết để tìm vận tốc sóng Rayleigh ta phải tìm nghiệm thực
lớn hơn 1 của phương trình bậc hai P(z) = 0 trone miền s u í —Ị u
M
Theo (1.96) thì phương trình P(:) = 0 có hai nghiệm là :
ơ
19