Một số bài toán trong lý thuyết định tính và lời giải số của phương trình vi phân đại số và phương trình sai phân ẩn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỐNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN
«1« ^
'ĩ'
TÊN ĐỂ TÀI:
MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG LÝ THUYẾT ĐỊNH TÍNH VÀ
LỜI GIẢI SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI số VÀ
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Ẩn
MÃ SỐ: QT-06-02
CHÚ TRÌ ĐÊ TÀI:
TS. VŨ HOÀNG LINH
CÁC CÁN BỘ THAM GIA:
GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh, GS.TS. Nguyễn Hữu Dư, TS. Lê Còng Lợi,
NCS. Hà Thị Ngọc Yên, ThS. Nguvễn Quốc Tuấn,
CN. Lê Huv Hoàng, CN. Đoàn Duv Hài
HÀ NỘI - 2006
Mục lục
0. Báo cáo tóm tắt 2
1. Lời mở đầu 9
2. Nội dung chính 12
2.1 Tính ổn định vững của hệ vi phân đại số
có chứa tham số bé 12
2.2 Bán kính ổn định của phương trình vi phân
đại số với hệ số biến thiên 17
2.3 Lý thuyết Floquet cho phương trình sai phân
ẩn và ứng dụng 20
3. Kết luận 22
4. Tài liệu tham khảo 23
5. Phụ lục 26
1. BÁO CÁO TÓM TẮT
a. Tên đê tài, mã số.

Một số bài toán trong lý thuyết định tính và lời giải số của phương trình vi phân
đại số và phương trình sai phân ẩn
Mã số: QT-06-02
b. Chủ trì đề tài.
TS. Vũ Hoàng Linh
c. Các cán bộ tham gia.
GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh, GS.TS. Nguyễn Hữu Dư, TS. Lê Công Lợi, NCS. Hà
Thị Ngọc Yến, ThS. Nguyễn Quốc Tuấn, CN. Lê Huy Hoàng, CN. Đoàn Duy
Hai
d. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu.
- Mục tiêu: Lý thuyết định tính và lời giải số của phương trình vi phân đại số
được các nhà nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng trên thế giới đặc biệt quan tâm
trong khoảng thời gian 25 năm trớ lại đây. Một số trường phái nghiên cứu tiêu
biểu đã được hình thành ở Mỹ (Gear, Petzold, Campbell, Rheinbold), Đức
(Maerz, Kunkel, Mehrmann, Lubich), Thụy Sỹ (Hairer), Nga (Bojarincev,
Chistyakov), w. Nhiều bộ chương trình phần mềm đã được xây dựng và áp
dụng hiệu quả vào các bài toán công nghệ và kỹ thuật trong các dự án công
nghiệp ớ các nước tiên tiến, ví dụ như các bài toán điều khiển tối ưu, bài toán mô
phỏng mạch điện tử, mô phỏng hệ cơ học nhiều vật và một số bài toán tính toán
khoa học khác.
Tại khoa Toán — Cơ — Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG
HN, từ cuối những nãm 90, một nhóm nghiên cứu vể phương trình vi phân đại số
đã được hình thành (GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh, GS.TS. Nguyễn Hữu Dư, TS. VQ
Hoàng Linh, TS. Lê Công Lợi). Trong 5 năm vừa qua chúng tôi đã thực hiện 2
đề tài cấp ĐHQG về lTnh vực này. Các kết quả đã được trình bày tại nhiều hội
nghị khoa học trong và ngoài nước. Hơn 15 bài báo khoa học đã được công bố,
trong đó nhiều bài báo được đăng ờ các tạp chí quốc tế có uy tín như J.
Differential Equations, Applied Numerical Mathematics, Systems & Control
Letters, IMA J. Mathematical Control and Information, J. Difference Equations
Applic., J. Math. Analysis Applic., Advances in Difference Equ., w. Đê tiếp

cận các hướng nghiên cứu hiện đại trên thê giới, từ nhiều năm nay chúng tôi đã
duy trì một seminar về phương trình vi phân và tính toán khoa học. Ngoài mục
tiêu chính là đạt được các kết quả khoa học có chất lượng, chúng tôi cũng hướng
tới việc bồi dưỡng, đào tạo các sinh viên, học viên cao học, và lớp cán bộ trẻ có
năng lực trong lĩnh vực Toán học tính toán và Toán ứng dụng thành những cán
bộ khoa học có chuyên môn tốt, đảm nhận được công tác đào tạo và nghiên cứu
khoa học, đổng thời đóng góp vào việc nghiên cứu lý thuyết phương trình vi
phân đại số.
- Nội dunẹ: Phương trình vi phân đại số cấp 1 có dạng tổng quát:
f(x\x,t)=0, (1)
trong đó ma trận Jacobi của f theo biến thứ nhất được giả thiết là suy biến. Dạng
tuyến tính của (1) có thể viết như sau:
E(t)x’(t)+A(t)x(t)=q(t). (2)
Chúng tôi cũng quan tâm đến hệ thời gian rời rạc
Enxn+I+Anxn=qn (3)
cũng như các trường hợp hệ (2-3) với hệ số hằng. Nội dung nghiên cứu của đề
tài gồm các vấn đề chính như sau:
1. Tính ổn định vững của hệ PTVPĐS với hệ số hằng có chứa tham số bé:
tính ổn định của hệ khi ma trận dẫn có chứa tham số bé, dáng điệu tiệm
cận của bán kính ổn định phức khi tham số tiến đến 0.
2. Bán kính ổn định và tính ổn định vững của phương trình (2): xây dựng
công thức tính bán kính ổn định, mở rộng lý thuyết số mũ Bohl, khảo sát
sự phụ thuộc của tính ổn định vững vào dữ liệu của bài toán. Chúng tối đã
có một số kết quả ban đầu trong hướng nghiên cứu này và đã được nhận
đăng ở tạp chí J. Differential Equations, một trong những tạp chí toán học
hàng đầu trên thế giới (theo các số liệu thống kê mới nhất, tạp chí này
được xếp hạng thứ 22 trong số trên 500 tạp chí toán học lý thuyết trên thế
giới).
/. Tình hình kinh phí của đề tài (hoặc dự án).
Kinh phí 20 triệu đồng đã chi vào các mục như sau:

1. Thanh toán dịch vụ công cộng: 800.000đ
2. Vật tư vãn phòng: l.OOO.OOOđ
3. Thông tin liên lạc: l.OOO.OOOđ
4. Hội nghị: l.OOO.OOOđ
5. Công tác phí: 5.000.000đ
6. Thuê mướn: 10.000.OOOđ
7. Chi phí nghiệp vụ chuyên môn: 1.200.000đ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
KHOA QUẢN LÝ
(Ký và ghi rõ họ tên)
CHỦ TRÌ ĐỂ TÀI
(Ký và ghi rõ họ tên)
GS.TS. Nguyễn Hữu Dư
TS. Vũ Hoàng Linh
7
3. Các tính chất định tính của hệ (3) : tính khả qui và hệ tuần hoàn, mờ rộng
các định lý cổ điển như Erugin, Floquet, vv; phương pháp hàm Lyapunov
khảo sát tính ổn định của hệ; mối liên hệ giữa hệ thời gian liên tục và hệ
rời rạc nhận được khi rời rạc hóa; ứng dụng trong lời giải số của phương
trình vi phân đại số và phương trình đạo hàm riêng đại số.
e. Các kết quả đạt được.
B ii báo khoa học (còng bô ở tạp chí và kỷ yếu hội thảo khoa học):
1. N.H. Du, V.H. Linh, On the robust stability of implicit linear systems
containing a small parameter in the leading term, IMA Journal on Mathematical
Control and Information, 23(2006), 67-74. .
2. P.K. Anh, H.T.N. Yen, Floquet theorem for linear implicit nonautonomous
difference systems, J. Math. Analysis Appl., 321(2), 2006, 921-929.
3. V.H. Linh, N.H. Du, Stability radii for linear time-varying differential
algebraic equations and their dependence on data, in: ObeiM’olfach Report
18/2006, MFO Workshop on Differential Algebraic Equations, April 16-22,

2006, Oberwolfach, Germany, 43-45.
Báo cáo tại hội nghị khoa học:
1. Hội nghị Quốc tế về Phương trình vi phân đại số, Oberwolfach, Germany,
16-22/4/2006, người báo cáo: V.H. Linh, tên báo cáo: Stability radii for
lineơr time-varying differential algebraic equations and their dependence
on data. (báo cáo mời)
2. Hội nghị khoa học Khoa Toán — Cơ - Tin học, 7/10/2006, người báo cáo:
Vũ Hoàng Linh, tên báo cáo: Exponentiơ! stability and stabiỉity radii for
time-varvinq differentiơl-aloebrơic equations.
3. Hội nghị khoa học Khoa Toán — Cơ - Tin học, 7/10/2006, người báo cáo:
Phạm Kỳ Anh, tên báo cáo: Some recent results on singular difference
equations.
Đào tạo đại học và sau đại học: 6 luận vãn đại học, 4 luận văn cao học 1 NCS
(chuẩn bị bảo vệ)
/. Tình hình kinh phí của đề tài (hoặc dự án).
Kinh phí 20 triệu đồng đã chi vào các mục như sau:
1. Thanh toán dịch vụ công cộng: 800.000đ
2. Vật tư văn phòng: l.OOO.OOOđ
3. Thông tin liên lạc: l.OOO.OOOđ
4. Hội nghị: l.OOO.OOOđ
5. Công tác phí: 5.000.000đ
6. Thuê mướn: 10.000.OOOđ
7. Chi phí nghiệp vụ chuyên môn: 1.200.000đ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HOC T ự NHIÊN
KHOA QUẢN LÝ
(Ký và ghi rõ họ tên)
CHỦ TRÌ ĐỂ TÀI
(Ký và ghi rõ họ tên)
GS.TS. Nguyễn Hữu Dư
TS. Vũ Hoàng Linh

2. ABSTRACT
a. Project's title. Some problems in the qualitative theory and numerical
analysis of differential-algebraic equations and implicit difference equations
Code: QT-06-
b. Project's supervisor. Dr. Vu Hoang Linh
c. ProịecCs members. Prof.Dr. Pham Ky Anh, Prof.Dr. Nguyen Huu Du, Dr. Le
Cong Loi, Ha Thi Ngoe Yen, Tran Quoc Tuan, Le Huy Hoang, Doan Duy Hai
d. Objective and content of the proịect.
In the project we consider the differential equation of general form
f(x\x,t)=0, (1)
where the Jacobian of íunction f w.r.t. the íìrst variable is supposed to be
singular. The linear variant of system (1) is given as
E(t)x’(t)+A(t)x(t)=q(t). (2)
We are also interested in the discrete time system
EnXn+i+Anxn=qn (3)
as vvell as in systems (2-3) with constant coefficient matrices. The main
objectives of the research are as follows
1. Robust stability of systems containing small parameter: we investigate the
exponential stability of systems with a small parameter in the leading term
and asymptotic behaviour of the stability radius as the parameter tends to
zero are investigated.
2. Stability radii and robust stability of time-varying system (2): we aim to
propose a ĩormula of the stability radii. to extend the well-known Bohl theorv
for differential-algebraic equations, and to analyse the data-dependence of
the stability radii.
3. Stability of difference system (3) : our main problems and objectives are
reducibility and Erugin’s Theorem, periodic systems and Floquet’s Theorem;
the Lyapunov function method for the stability analysis; and relations
betvveen qualitative properties of continuous-time system (2) and discretized
system of form (3).

e. Main resuỉts of the projects.
Publications (in journals and conĩerence proceedings):
1. N.H. Du, V.H. Linh, On the robust stability of implicit linear systems
containing a small parameter in the leading term, IMA Journal on Mathematical
Control and ỉnỊormation, 23(2006), 67-74.
2. P.K. Anh, H.T.N. Yen, Floquet theorem for linear implicit nonautonomous
difference systems, J. Xĩath. Anal. Appl., 321(2), 2006, 921-929.
3. V.H. Linh, N.H. Du, Stability radii for linear time-varying differential
algebraic equations and their dependence on data, in: Oberwolfach Report
ỉ812006, MFO VVorkshop on Differential Algebraic Equations, April 16-22,
2006, Oberwolfach, Germany, 43-45.
Lecture at conference and vvorkshop:
1. MFO Workshop on Differential-Algebraic Equations, Oberwolfach,
Germany, 16-22/4/2006, speaker: V.H. Linh, title: Stability radii for linear
time-varyìng differential algebraic equations and their cỉependence on data.
(invited lecture)
2. Conference of Faculty Mathematics, Mechanics and Iníormatics,
7/10/2006, speaker: V.H. Linh, title: Exponenticil stability ancỉ Sỉabilitỵ raclii
for tinie-vcirxin° clijferential-algebraic equations.
3. Conĩerence of Faculty Mathematics, Mechanics and Informatics,
7/10/2006, speaker: Phạm Kỳ Anh, title: Sorne recent results on sinẹular
difference equations.
Education and training: % B.Sc. theses, 4 M.Sc. Theses, 1 Ph.D. Thesis
Một số bài toán trong
lý thuyết định tính và lời giải số
của phương trình vi phân đại số
và phương trình sai phân ẩn
1 Lời mở đầu
Lý thuyết định tính và lời giải số của phương trình vi phân đại
số được các nhà nghiên cứu lý thu vết và ứng dụng trẽn thế giới

đặc biệt quan tâm trong khoảng thời gian 25 năm trở lại đây. Nói
một cách nôm na, phương trình vi phân đại số là một hệ hỗn hợp
phương trình vi phân và phương trình đại số. Như vậy, lời giải bài
toán bao hàm cả phép tính tích phân và phép tính vi phân. Nhiều
khi phần phương trình vi phân chưa được giải ra tường minh theo
đạo hàm và phần ràng buộc đại số dược "ẩn" trong hệ. Dây là
nguyên nhân khiến việc nghiên cứu định tính cũng như giải số bài
toán gặp khó khăn. Một số trường phái nghiên cứu tiêu biểu được
được hình thành ở Mỹ (Gear, Petzold. Campbell. Rheinbold),
Dức (Maerz. Kunkel, Mehrmann. Lubich), Thụy Sỹ (Hairer). Nga
(Bojarincev. Chistyakov). vv. Nhiều bộ chương trình phần mềm
đã được xây dựng và áp dụng hiệu quả vào các bài toán công
nghệ và kỹ thuật trong các dự án công nghiệp ở các nước tiên
tiến, ví dụ như các bài toán điều khiển tối ưu trong công nghiệp,
bài toán mô phỏng mạch điện tử. mô phỏng hệ cơ học nhiều vật
và một số bài toán tính toán khoa học khác, xem [13.5]. Trong
đề tài này chúng tôi cũng khảo sát phương trình sai phân ẩn. hav
là dạng rời rạc tương ứng của phương trình vi phân đại số. Lớp
phương trinh này xuất hiện nhiều trong các mô hình kinh tế và
xã hội cũng như trong quá trình giải số phương trinh vi phân đại
số và phương trình vi phân đại số đạo hàm riêng.
Mục tiêu chính của chúng tôi khi thực hiện đề tài QT 06-02 là
Iighiên cứu một số bài toán trong lý thuyết PTVPĐS và PTSP
ẩn, cụ thể là những bài toán mà nhóm nghiên cứu của chúng tôi
đã quan tâm và có một số kết quả ban đầu trong thời gian 5 Iiăm
9
gần đây, xem [2.3,8,9,10,11.12,22.23].
1. Tính ổn định vững của hệ có chứa tham số bé dạng
{E + eF)y'(x) = Ay{x),
trơng đó E là Iiia trận suy biến. Chúng tôi đã khảo sát cấu trúc

đại số của cặp ma trận hệ số và tính ổn định của hệ khi ma trận
dẫn có chứa tham số bé. Chúng tôi cũng chỉ ra dáng điệu tiệm
cận của bán kính 011 định phức khi tham số tiến đến 0.
2. Bán kính ổn định cho hệ PTVPĐS tuyến tính chỉ số 1 với
hệ số biến thiên dạng
E{t)y'ự) = A(t)y(t),
trong đó hàm ma trận E(t) suy biến với mọi t. Chúng tôi đã xây
dựng công thức tính bán kính ổn định cho hộ trcn đồng thời khảo
sát sự phụ thuộc của tính ổn định vững vào dữ liệu của bài toán.
3. Lý thuyết Floquet cho hệ sai phân tuyến tính an dạng
A n X n + l -f- B nx n — CỊni
trong đó ma trận An suy biến với mọi n. Chúng tôi chứng minh
rằng mọi hệ sai phân chỉ số 1 đều có thể đưa về dạng chính tắc
Kronecker. định nghĩa tính khả qui và mở rộng định lv cổ điển
Floquet cho hệ sai phân tuần hoàn. Như một ứng dụng, tính 011
định rủa hệ tuần hoàn phi tuyến cũng được đề cập.
Các kết quả nghiên cứu của đề tài đã được trình bày tại
• Xemina "Giải số phương trình vi phân", Khoa Toán-Cơ-Tin
học, 2/2006-11/2006,
• Hội nghị kv niệm 50 năm thành lập Khoa Toán-Cơ-Tin học.
Hà Nội. 10/2006.
• Hội Iighị quốc tế Dại học Osaka- ĐHQG Hà Nội về khoa học
mũi nhọn, Hà Nội, 10/2005.
• Hội nghị Quốc tế về PTVPĐS. Viện Toán học Ober\volfach.
CHLB Đức, 4/2006.
10
Kết quả của đề tài đã dược công bố trong 3 bài báo khoa học
(1-1 bài trong các tạp chí quốc tế IMA Journal on Mathematical
Control and Information - Nhà xuất bản Đại học Oxfonl và tạp
chí .ĩournal on Mathernatical Analysis and Applications - Nhà

xuất bản Elsevier. 1 bài trong kỷ yếu hội nghị quốc tế về PTYPĐS
của Viện Toán học Ober\volfaeli. CHLB Dức).
Chúng tôi xin trân trọng cám rtn Dại học Quốc gia Hà Nội.
trường Đại học Khoa học Tự nhiên. Phòng Khoa học - Công nghệ,
và Khoa Toán - Cơ - Tin học đã tao điều kiện đe chúng tôi thực
hiện đề tài này.
11
2 N ội dung chính
2.1 Tính ổn định vững của hệ vi phân đại số có chứa
tham số bé
Xét hệ
(E + eF)y'x) = Ay(x)ì (2.1)
trong đó E. F. À € c nx" là các ma trận cho trước, £ là một tham
số nhỏ. Trong phần lớn của nghiên cứu này, ma trận dẫn (khi
chưa bị nhiễu) E suy biến nhưng
Giả thiết Al. Cặp {E,A} chính qui, có chỉ số 1 và ôn dinh tiệm
cận.
Tính on định tiệm cận cửa một cập ma trận {E.A} có nghĩa
rằng tất rả các giá trị riêng hữu hạn (nghiệm của đa thức đặc
trưng det XE — A) đều có phần thức âm. Câu hỏi thứ nhất đặt
ra là với điều kiện nào của F thì hộ (2.1) ón định tiệm cận với
mọi £ đủ nhỏ ?
Trong các ứng dụng thực tế ma trận hệ số A thường chịu tác
(lộng của nhiều không xác định. Xét hệ có nhiễu
(E + sF)y'ụ-) = Í.4 + BAC)y(x). (2.2)
Trong (2.2) ma trận A là nhiễu chưa xác định, các ma trận B <E
C"xp. c 6 C'/x" xác ctịnli cấu trúc của nhiễu. Ta có định nghĩa
bán kính 011 định cho hệ (2.1) đối với (2.2) như sau
Định nghĩa 1 Bán kính ôn dinh (phức) của hệ (2.1) đối VỚI
nhiễu cấu trúc dạng (2.2) dược rác định bằng công thức

r{E+sF.A:B.C) = mf {II A|| . A E c pỵq và (2.2) không ô.ả.t.c.} .
(2.3)
Chuẩn được- sử dụng là chuẩn ma trận tương thích với chuẩn véc
tơ bất kỳ. Chú ý rằng nhiễu có thể làm mất tính chính qui của
cặp ma trận hệ số. Khi đó, dương nhiên khống thể Iiói gì về tính
011 định của hệ. Công thức của bán kính ổn định cho hộ chì số
1 đã được xây (lưng trong [24.6 . và cho hệ chỉ số bất kỳ trong
12
[8,9]. Hinrichsen &z Prithchard trong [16] đã chỉ ra rằng, đối với
hệ hiển E = I. bán kính ổn định phụ thuộc liên tục vào ma trận
hệ số A. Câu hỏi thứ hai đặt ra ở đây là bán kính ổn định phụ
thuộc như thế nào vào ma trận dẫn? Hàm r(E + sF. A: B. C) có
. tiến đến r(E, A\ B , C) khi £ tiến đến 0 ? Vì £ có giá trị nhỏ, việc
tính toán r{E + cF, A \ B,C) thường dẫn đến bài toán đặt không
chỉnh. Vì thế một công thức tiệm cận của r(E + £F, A; B. C) có
ý nghĩa trong cả lý thuyết và tính toán.
Trước hết. chúng tôi nhắc lại kết quả về bán kính ổn định cho
hệ vi phân đại số bất kỳ.
Mệnh đề 1 Giả sử cặp {E. A} chính qui và ổn định tiệm cận.
Khỉ đó
r(E, A: B,C) = ị sup \\C(sE - A)~lB\\\ . (2.4)
Ị, .SGỉK J
ớ đây, ilR kỷ hiệu trục số ảo trong mặt phẳng phức.
Dưới sự tác động của tham số c. cấu trúc đại số (chỉ số. số giá
trị riêng hữu hạn) có thể thay đổi. Chỉ số của cặp ma trận hệ số
trong (2.1) cũng c:ó thể trở thành lớn hơn 1. Tuy nhiên khi đó.
bán kính ổn định của hệ thường bằng 0. trừ trường hợp nhiễu ở
vế phải có cấu trúc đặc biệt. Vì thế chúng tôi phân loại và chỉ
quan tâm đến các trường hợp sau.
Cl. Chỉ số thay đổi: Chỉ số của {E + zF.A} thay đổi từ

0 sang 1 khi £ bằng 0. nói cách khác, tồn tại C() > 0 sao cho
index{E+sF. .4} = 0 với mọi c , 0 < £ < í ( j. nhưng index{£. .4} = 1.
Đương nhiên, sự thay đoi về chỉ số kéo theo sự thay đổi về hạnơ
của ma trận dẫn.
C2. Hạng ma trận dẫn thay đổi: Chỉ số cua {E + sF. *4}
luôn bằng 1 với mọi c đủ nhỏ và 5 = 0: Tuy nhiên, hạng của
[E + sF) là hằng số và khác với hạng của E khi c > 0 đủ nhỏ.
Diều này có nghĩa lằng một số giá trị riêng hữu hạn sẽ biến mất
khi £ bằng 0.
C3. Cấu trúc đại số không đổi: Chí số của cặp ma trận hệ
số cũng như hạng của ma trận dẫn không thay đổi khi £■ đủ Iihỏ
và bằng 0. Khi đó. nhiễu zF được gọi là Iihiễu cho phép, xem [G\
13
Hai trường hợp đầu được gọi là bài toán nhiễu kì dị, còn trường
hợp cuối là bài toán nhiễu chính qui.
Để đơn giản, chúng ta xét hệ (2.1) ở dạng khối. Không mất
tổng quát, giả sử
e - ( eĩ
ỉ ) ■ '■ -( £ :
% ) ■
M
trong đó En không suy biến. Điều kiện indexịE, A) = 1 tương
đương với tính khả nghịch của Aọ2. Hơn nữa, chúng ta cũng giả
thiết rằng các ma trận xác định cấu trúc nhiễu có dạng
B = 0 ’c=(c‘ C 2 ) -
(2.6)
Các khối con được giả thiết có kích thước thích hợp, ví dụ Aij có
kích thước ni X rij, i,j — 1,2, trong đó 721 + ĨÌ2 = n.
Chúng ta dễ dàng chứng minh được kết quả sau về tính liên
tục của bán kính ổn định đối với ma trận hẽ số và cấu trúc nhiễu.

Mệnh đề 2 Giả sử 8 €
cnxn
là ma trận hằng, «4(c) : [0,CQJ —>
C";\ B(e) : [0. £0J -> ẻ nxp,C(e) : [0,cO] -» p * n là các hàm ma
trận liên tục. cặp {<£*. -4.(0)} cỏ chỉ số 1 và ổn định. Khi dó
lim r{£.A{s):B{s).C{e)) = r(£. A(O): 5(0). C(0)).
ong
Mệnh đề này thực chất là một mở rộng của Mệnh đề 2.2 tr
[16], cho PTVPĐS chỉ số 1.
2.1.1 Trường hợp chỉ số thay đổi
Trước hốt. chúng ta phát bicu điều kiện cần và đủ đổ trường hợp
này xảy ra.
Mệnh đề 3 Ma trận dẫn (E + cF) không suy biến với mọi £ đá
nhó khi và chi khi cặp {E, F} chính qui.
Chúng ta giả thiết thêm như sau.
Giả thiết A2. Ma trận F-22 không suy biến.
14
Giả thiết A3. Các cặp ma trận {F22-A22} và {E\\, A ị\—A\2A 0}Aọ\}
ổn (lịnh tiệm cận.
Chúng ta có thể chứng minh rằng các điều kiện trên không
phụ thuộc vào quá trình biến đổi các ma trận về dạng khối thưa
như đã trình bày ở trên. Hơn nữa. các điều kiện Iiày đủ dể đảm
bảo tính ổn định của hệ (2.2).
Mệnh đề 4 Giả sử A1-A3 đúng. Khi đó hệ (2.1), (2.5) ôn định
với mọi £ đủ nhỏ. nói cách khác, tồn tại c > 0 sao cho ơ{E +
cF,A} c c - với mọi £ € [0,c].
Chứng minh của mệnh đề này còn chỉ ra dáng diệu tiệm cận
của các giá trị riêng hữu hạn của cặp {E + cF, A}. Nếu chúng ta
ký hiệu tập giá trị riêng của các cặp ma trận như sau
Ơ{E\1, ^ 11 — ^12^221^21} — {ụ-1-•••, ụ-m })

ơ{F22,A22} = {v
ơ{E + eF, A} = {X!(£),A2(e)

A„1+n2(c)}.
Khi đó, Iiếu các giá trị riêng của {E + sF,A) dược sắp xếp một
cách thích hợp. ta có
£ Ả j(z) = Uj + o(l), 7 = 1 . 2

r?2,
— 1^-1 + 0(1 ), 1 — 1.2

rìị. z —* +0.
Mở rộng các kết quả trước đó của [7] và [10]. chúng ta có định lv
sau về dáng điệu tiệm cận của bán kính ổn định.
Định lý 1 Giả sử A1-A3 đúng. Khi đó
lim r(E + sF. A: B.C) — min{r(£\ A: B. C). r(Fọ-2. A-22- Bọ. Cọ)}.
Như vậy. khi £ tiến đến 0. bán kính Ổ11 định của hệ (2.1) có
giới hạn là giá trị nhỏ nhất giữa bán kính Ổ11 định cua hệ thu gọn
"chậm" và hệ lớp biên "nhanh". Khi tham số c nhỏ. vai trò của
các khối Fn . F12. Fọ\ trong nhiễu ớ phần tử dẫn hầu như không
đáng kể.
15
2.1.2 Trường hợp hạng ma trận dẫn thay đổi
Trong phần này. thay cho A2. chúng ta có giả thiết sau.
Giả thiết A2#. Ma trận F có dạng tam giác khối, có nghĩa rằng.
F2\ (hoặc Fi2) là ma trận 0 và ỉndex{Fo2 , ^22} — 1-
Tương tự như trường hợp trước, chúng ta có các kết quả sau.
Mệnh đề 5 Giả sử A1.A2&, và A3 đúng. Khi đó với mọi c đá
nhỏ, cặp {E 4- eF,A} có chí số 1 và ôn đinh tiệm, cận, có nghĩa
rằng, tồn tại ĩ sao cho

index {E + eF, A} — 1 và ơ{E + eF, A} c c _
đúng với mọi. £ 6 [0,c].
Định lý 2 Giả sử Al,A2uà A'3 đủny. Khi dó
lim r(E + cF. A: B,C) = min{r(£', A: B. C), r(F22, A22' Bọ, C2)}.
2.1.3 Trường hợp cấu trúc đại số không thay đổi
Chúng ta xét trường hợp tầm thường khi ma trận E không suy
biến.
Mệnh đề 6 Giả sứ E không suy biến và {E.A} ổn đinh tiệm
cận. Khi đó cặp {{E + sF).A} có chi số 0 và ôn dinh VỚI mọi. giá
trị £ đủ nhỏ. nói cách khác, tồn tại ĩ > 0 sao cho E + íF không
suy biến và ơ{E + eF, .4} c c - với mọi £ G [0,?].
Định lý 3 Giả sử các giả thiết của mệnh đề trên được thỏa mãn.
Khi đó
lim r{E + eF. A: B. C) = r(E. A: D. C).
- - - + 0
Các kết quả trẽn đúng với mọi ma trận F. Xhư vậy. trung trường
hợp này. bán kính ổn định phụ thuộc liên tục vào ma trận dẫn.
Kết quả trên cũng được mỏ rộng cho trường hợp ma trận dẫn E
suy biến với điều kiện nhiễu ĩF không làm thay dổi cấu trúc dại
số của hệ.
1 6
Mệnh đề 7 Giả sử {E . .4} cú chỉ số 1. Kìn đó cặp {E + zF. .4}
có chỉ số và số giá trị riêng hữu hạn như của hệ tha gọn {E. .4}
VỚI mọi E đủ nhỏ nếu và chỉ nếu
F22 = 0, F2iEfl1(Fn£;1-11)iFi2 = 0. i = 0.1,2 (2.7)
Định lý 4 Giả sử AI đúng và ma trận F thóa mãn (2.7). Khỉ
đỏ cặp {E + cF.A} ổn định với mọi £ đã nhỏ. Hơn nửa,
lim r(E + sF.A:B.C) = r{E.A]B.C).
£ —+0
Như vậy. Định lý 3. Định lý 4 và Mệnh dề 2 cho thấy, đối với bài

toán nhiễu chính qui (tham số Iihỏ không làm thay dổi cấu trúc
đại số của cặp ma trận) thì bán kính ổn định phụ thuộc liên tục
vào các ma trận hệ số.
2.2 Bán kính ổn định của phương trình vi phân đại số
với hệ số biến thiên
Trong phần này. chúng tỏi giới thiệu một số kết quá ban đầu về
bài toán ổn định vững của PTVPĐS tuyến tính với hệ số biến
thiên dạng
E{t)ịj{t) = A(t)yít). (2.8)
Giả sử E(-) € L'^c{0. oc: X'?x") có nhản liên tục tuyệt (tối. K = {C. R}.
và A{‘) € Vỉ£{0. dc:K" <n). Ma trận hàm E{t) suy biến hầu
với mọi t > 0. Chúng ta giá thiết (2.8) có toán tử Cauchv
cỊ) = {$(Ể, .s)}f s>0 ổn định inũ. có nghĩa lằng tồn tại các số dương
M và Jj sao cho
||0>(í.3||:<n^ < . t > s > 0. (2.9)
Xét hệ (2.8) (lưới tác (lộng của nhiễu cấu trúc dạng
E(t)x\t) = A(t)x{t) + B(t)MC(-)x{-))(t). t > 0. (2.10)
trong đó B(-) G L^(0. oc:K"xm) và C(-) e I x (0. oc: Kí/X'') là
các ma trận xác định cấu trúc của nhiễu và A : Lp{0. oc: K"') —
Lp(0. oc; K'1) là toán tử nhiễu tuyến tính và có tính chất nhân quả
(causal). Khi đó. (2.10) là một lớp phương trình vi phân hàm. ví
dụ. có thể là phương trình vi phân có chậm, phương trình vi-tích
phân, vv. Trong các ứng dụng, hệ (2.8) đóng vai trò mô hình lý
thuyết đã được dơn giản hóa. còn hệ nhiễu (2.10) là I11Ô hình thực
tế.
Bán kính ổn định của một hệ động' lực được định nghĩa như
là giá trị r lớn nhất SAO cho tính ổn định của hệ được hảo toàn
với mọi nhiễu A có chuẩn nhỏ hơn r. Khái niệm này được đưa
ra bởi Hinriehsen and Pritchard r14Ị cho hệ phương trình vi phân
tuyến tính hệ số hằng với nhiễu tĩnh (static perturbation. không

phụ thuộc vào thời gian và đầu ra). Trong các ứng dụng thực tế.
nhiễu thường phụ thuộc vào bản thân lời giải hoặc đầu ra, ví dụ
khi ta tuyến tính hóa một hộ phi tuyến. Tính ổn định vững đối
với nhiỗu động (dynamic pcrturbation) được xct trong [17]. Bài
toán về bán kính ổn định cho hệ tuyến tính với thời gian biến
thiên được giải quyết trung [19]. Bán kính ổn định được II
1Ớ lộng
cho PTVPĐS với hệ số hàng trong [24] và [6].
Mục tiêu chính của nghiên cứu này là mở rộng kết quả của
•Jacob trong [19] cho hệ (2.8) có chỉ số 1. Việc phân tích được dựa
trên lý thuyết chỉ số (tractability index) của Griepentrog và Márz
[13]. Bán kính ổn định của (2.8) đối với (2.10) được định nghĩa và
ký hiệu bằng ry_(E.A: B.C). Khác với trường hợp phương trình
vi phân thường, chúng ta muốn bảo toàn không chỉ tính ổn định
mà cả chỉ số 1 của hệ. Chúng ta sẽ xây dựng và chứng minh một
cống thức của bán kính ổn định ry_{E. A: B.C). biểu diễn bằng
chuẩn của một toán tử input-output.
Giả sử Q là một phép chiếu liên tục tuyệt đối (khả vi hầu khắp
nơi) lẽn ker E. Dặt p = I — Q. .4 = A + EP' và G = E - AQ.
Giả sử các giả thiết sau.
Giả thiết A l. Hệ (2.8) có chi số 1 và tồn tại M > 0. a > 0
sao cho
i|$o(f.s)P(s)|| < Jĩe~a{t~ò‘. t > s > 0.
trong đó fI>y(t. s) là toán tử Cauchv của hệ PTYP thừa kế (inher-
ent ODE-s) của (2.8).
Giả thiết A2. PG~l. QG~l và Ọs := —QG~lA căn bản bị
chặn ( essentiallv bounded ) trên [O.oc).
Chúng ta định nghĩa các toán tử
(L,„u)(f) = Cự) / ,'‘I>(t. s)PG~' B(s)u(.s)ds + C(t)QG-' Bu(t).
(L ,0u)(f) = C(t)QG~lBu(t).

với mọi t > 10 > 0. u E Lp(0, oc:Kn), p > 1. Toán tứ thứ nhất có
tên gọi toán tứ input-output nhân tạo liên hợp với hệ (2.8.2.10).
Định lý 5 Già sử Al-2 đủng. Khi dó
Nếu E không suy biến, với Q = 0. chúng ta nhận được kết quả
của Jacob. Hơn nữa, dễ thấy ngay nếu bộ E. A.
B. c
thực thì bán
kính ổn định thực và phức bằng nhau. Chúng ta cũng ghi chú
rằng dưới tác động của nhiễu thì hộ (2.8) cỏ thổ không còn cỏ
chi số 1. Dây là sự khác biệt căn bản giữa tính ổn định vững của
phương trình vi phân thường (không có vấn đề chỉ sỏ. chính xác
hơn chỉ số 0 được bảo toàn) và phương trình vi phân đại số.
Dối vói hệ hàng, chúng ta nhận được một kết quả mở rộng kết
quả đã biết cho PTYP thường của Hinriohsen và Pritcharđ. xem
[17]. sang PTYPĐS.
Định lý 6 Giả sứ hệ (2.8) VỚI hệ số hẵng có chi số 1 và ôn định
tiệm cận. Khi dó
Hơn nữa, nếu p — 2, có nghĩa rằng chuẩn Lọ được sứ dụng, khi
Sự phụ thuộc của bán kính ổn định vào dữ liệu (các hàm ma
trận A. 13. C) cũng được dề cập trong nghiên cứu này. Một số kết
quả đã có trước đỏ về bài toán tương tự có thổ tìm thấy trong
'15] và [18] cho hệ PTYP thường, trong [11' cho hộ YPĐS với hộ
r'x{E. A: B. C) = min{sup ||LfJ 1 . ||L0|| 1}.
t o>0
rx (E.A:B.C) I M " 1.
dó
19
số hằng. Giả sử {Fk(-)}iie^ là một dãy các hàm ma trận đo được
và căn bản bị chặn. Xét dãy bài toán
E{t)x'{t) = (A(t) + Fk(t))x(t), t> 0, Ả: =1,2 (2.11)

Giả thiết A3. Với hàm chiếu Q như trên, các ma trận Gk —
E — (A + Fk)Q khả nghịch hầu khắp và với mọi k. Hơn nữa,
PG^1, QG^1 and Qị = —QG^lẢ căn bản bị chặn trên [0. oo).
Định lý 7 Giả sử A 1-3 đúng. Hơn nữa, dãy hàm {Fk(-)}keN thỏa
mãn
i)PG-lFk{-) 6 Li(0. oo; Knxn), v/c
ú') lim ess sup Ế>0||P(G^1 — G_1)(í)|| — 0,
iii) lim ess sup f>0||Q{G^1 — G~l)(t)\\ = 0.
k — oc
Khỉ dó dãy hệ (2.11) cũng có các toán tử Cauchy ổn đĩnh mũ và
lim r:<(£\ A + Fk\ B. C) = rx(E. A: B. C).
/r—oc
Các kết quả trẽn với chứng minh chi tiết đa và đang được công
bố trong các bài báo riêng.
2.3 Lý thuyết Floquet cho phương trình sai phân ẩn và
ứng dụng
Trong phần này chúng tôi nghiên cứu tính chất nghiệm của phương
trình sai phân ẩn dạng
A/iXn + l “t" B nx n — Ọ,Ị, (2.12)
trong đó A„, B„ E Rrnxm và Cịn G w . Chúng tôi luôn giả thiết
ma trận dẫn .4,, suy biến và có hạng hằng, rank An = r. (1 <
r < rn — 1).
Định nghĩa 2 Hệ sai phân (2.12) (tược gọi là có chỉ số 1 riếu
(ỉ) rank An — r Vn > 0,
(lĩ) Sn n ker ,4„_ 1 = {0} Vn > ì,trong dó Sn = G ầ>rn :
Bnị e im An}.
•20
Khái niệm chỉ số 1 của PTSP tương tự khái niệm chỉ số 1 (tractabil-
ity index) của PTVPĐS do Márz đưa ra. tuy nhiên sự khác biệt
là ở đây. cập ma trận {.4„, Bn} không nhất thiết cũng có chí số 1

(theo Iighĩa chỉ số Kronecker) như trong trường hợp PTVPĐS.
Bây giờ chúng ta xét hệ sai phân nhận được từ hệ (2.12) bàng
rách đổi hiến xn = Fn-\Xn-i và nhân cả hai vế của hệ với ma
trận Eri, trong đó En, Fn là các ma trận không suy biến
An+ 1 + Bnxn — qn. (2.13)
De thav Ầri — EnAnFn. Bn — Efi B
ỊỊ
Fn_ 1. Qn Ep(jn. Nhci.il X0t
ràng tính chất chỉ số 1 không thay đổi sau biến đói nói trên.
Định lý 8 Phương trình sai phân chí số 1 dạng (2.12) có thê
biến đôi về dạng chính tắc Kronecker như sau
diag (Ir,Om-r)xn+1 + diag Im-r)xn = cịn.
Tiếp theo, chứng tôi sẽ khảo sát tính chất nghiệm của hệ sai phân
tuần hoàn.
Định nghĩa 3 Hệ (2.12) dược gọi là tuần hoàn chu kỳ X c N
nếu
. Bn-ị-\ BII. Lũ. qn + \- (Ịn. Vn ^0.
Định nghĩa 4 Ma trận x n G R/r'x'" thỏa mãn bài toán (J(á trị
ban dầu
+ B„Xn = 0. — I) = 0.
trong dó P_1 — P.V- 1 là phép chiếu lên s_V- 1 song song với
ker A-I = ker được gọi là ma trận nghiệm cơ bản của hệ
tuần hoàn (2.12).
Chúng ta chứng minh được kết ([Uci chính sau (lây.
Định lý 9 Tồn tại ma trận Fn không suy biến, tuần hoàn chu kỳ
i\ và ma trận hằng R € ỈR' X/ không .suy biến sao cho ma trận
nghiệm cơ bán của hệ tuần hoàn (2.12) với ma trận B„ không suy
biến có biêu diễn
x„ = F„_idiag {R".Om-r)F:Ị. Vn > 1.
21

Như một hệ quả, chúng ta có kết quả về tính khả qui của hệ sai
phân tuần hoàn.
Định lý 10 Phương trình sai phân (2.12) tuần hoàn, chi số 1 với
ma trận Bn không suy biến luôn có thê biến đôi về dạng chính tắc
Kronecker VỚI hệ số hằng như sau
cliag ự r ,O m-r ’ừn+1 + diag (-R . Im-r)xn = q„.
Sử dụng các kết quả trôn chúng tôi CÒ11 khảo sát được một số bài
toán phụ khác như bài toán về sự tồn tại cluy nhất nghiệm của
phương trình sai phân ấn. tuần hoàn và có trễ dạng
— \ B r ,x n + C'nx n- nri Qn . /7^0.
và bài toán về tính 011 định của nghiệm tầm thường của hệ sai
phân phi tuyến ấn dạng
fn-ị-l • II) Oi
trong đó f n : W ’ X Rm — R"' là hàm khả vi liên tục và thỏa mãn
/(0,0) = 0. /n^xiy.x) = f„(y. x). in >0, -y, X e R in.
3 Kết luận
Trong đề tài nghiên cứu. chúng tôi đã đạt được những kết quả
sau
1. Nghiên cứu tính ổn định vững của hệ vi phân đại số có chứa
tham số bé trong phần tử dẫn. khảo sát dáng điệu tiệm rận của
bán kính ổn định của hệ khi tham số tiến đến 0.
2. Dưa ra công thức bán kính ổn định cho phương trình vi
phân đại số với hệ số hiến thiên, chứng minh một số kết quả về
sự phự thuộc vào (lữ liệu của hán kính ổn định.
3. Nghiên cứu tính chất nghiệm của hệ sai phân tuyến tính ẩn.
tuần hoàn và có chí số 1. Mở rộng lý thuyết Floquet cho phươnơ
trình sai phân án.
4 Tài liệu tham khảo
1. R.p. Aganvall. Difference Equations and Inequaỉities - The-
ory. Methods, and Applications. Dekker. Ne\v York. 2000.

2. P.K. Anh. H.T.X. Yen. On the solvability of initial value
problenis for nonlinear implicit difference equations. Aduances
Difference Equations. 3(2004). 195-200.
3. K. Balla. V.H. Linh, Adjoint pairs of differential-algebraic
equations and Hamiltonian .systems, Applied Numerical Math-
ematic.s. 53(2005). 131-148.
4. M. Bracke. On stability rad.il of parametrized linear differenticil-
algebraic systems. Ph.D. Thesis. ưniversity of Kaiserslautern.
2000.
5. K.E. Brenan. S.L. Campbell. L.R. Petzolcl. Numericaỉ solu-
tion of inỉtial valae problems in differential algebrcưc equa-
tions. SIAM. Philaclelphia. 1996.
6. R. Byers, N.K. Nichols, On the stability radiux of general-
ized state-space systems. Linear Algebra Applications. 188-
1 8 9 ( 1(J‘J3). 113-134.
7. \ r. Dragan. The asyniptotic behavior of the stabilitv radius
for a singularly perturbed linear svstem. Int. ■]. Robuát and
Nonlinear Control. 8(1998;. 817-829.
8. N.H. Du. Stability radii of linear differential algebraic equa-
tions. Vietnam J. Math. 27*1999). 379-382.
9. N.H. Du. D.T. Lien. V'.H. Linh. On complex stabilitv radii for
iinplicit discrete time systems. Vietnarn -J. Math 31(20031).
475-488.
10. N.H. Du. Y.H. Linh. Implicit-system approach to the robust
stability for a class of singularly perturbed linear systems.
Systems Control Lette.rs. 54(2005). 33-41.
11. N.H. Du. V.H. Linh. Robust stability of implicit linear sys-
tems containing a small parameter in the leading terni. ỈMA
J. Mathernatical Control InỊormation, 23(2006). 67-84.
12. N.H. Du, V.H. Linh, Stability radii for linear time-varying

differential algebraic equations with respect to dynamic per-
turbations. J. Diỷỷerential Equatỉons. 230(2006). 579-599.
13. E. Griepentrơg. R. Márz. Differential Algebraic Equations
and Their Numericaỉ Treatment. Teubner Texte zur Mathe-
matik 88. Teubner. Leipzig. 1986.
14. D. Hinrichsen,A.J. Pritchard. Stability for structured pertur-
bations and the algebraic Riccati equation. Systems Control
Letters. 8(1986), 105-113.
15. D. Hinrichsen. A. Ilchmann. A.J. Pritchard, Robustness of
stability of time-varving linear svstems. J. DiỊỷerential Equa-
tions. 82(1989). 219-250.
16. D. Hinrichsen. A.J. Pritchard. A note on some differences
betvveen complex and real stability raclii. Systems Control
Letters. 14(1990). 401-408.
17. D. Hinrichsen. A.J. Pritchard. Destabilization by output feed-
back. Dựferential ỉntegraỉ Equations. 5(1992). 2. 357-380.
18. A. Ilchmann. I.M.V. Mareels. Stability radli for slowly tune-
ưaryiny systems. in: Advances in mathematical svstem the-
orv, Boston. Birkháuser. ‘2001. 55-75.
19. B. Jacob. A íormula for the stability radius of time-varying
systems. -J. Differential Equations. 142(1998). 107-187.
20. G.A Kurina. Singular perturbations of control problems \vith
equation of State not solved for the derivative (A survev). J.
Computer System Sciences Int 31(1993). 17-45.
21. R. Lamour. R. Mărz. R. v\’inkler. Ho\v Floquet tlieory applies
to index-1 clifferential algebraic equations. ./. Math. Annl.
Appi. 217(1998). 371-394.
24