Xây dựng các phần mềm mô phỏng chuyển động đối lưu nhiệt của chất lỏng thực chuyển động của chất lỏng nhớt xung quanh vật cản

ĐẠI HỌC QUÓC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐAI HOC KHOA HOC T ư NHIÊN
_________________*______•
_______________ • •
r f i A -4 A , > •
Tên đê tài
XÂY DựNG CÁC PHẦN MÈM MÔ PHỎNG:
CHUYÉN ĐỘNG ĐÓI L ư u NHIỆT CỦA CHÁT LỎNG THỤC
CHUYÉN ĐỘNG CỦA CHẤT LỎNG NHỚT XUNG QUANH VẬT CẢN
Mã số: QT - 05 - 02
Chủ trì:
TS. Trần Văn Trản
Hà Nội - 2005
BÁO CÁO TÓM TẮT THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
a. Tên đề tài Xây dựng phần mềm mô phỏng chuyển động đối lưu nhiệt của chất lỏng thực; mõ
phỏng chuyển động của chất lỏng thực xung quanh vật cản phục vụ nghiên cứu và đào tạo
ngành cơ học.
b. Chủ trì đề tài : TS Trần Vãn Tràn
c. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:
- Mục tiêu : cần phải đào tạo được đội ngũ các sinh viên, học viên trên đại học về ngành cơ học
với định hướng có khả năng giải quyêt được các bài toán thực tiễn đặt ra ở mọi qu_ mô. Đê đạt
được mục tiêu đó, công việc giảng dạy cơ học cần phải song song đạt được các yêu câu sau đôi
với học viên:
• Có hiêu biêt tôt vê bản chât vật lý của các quá trình mà cơ học nghiên cứu, giài quyêt;
• Có kiến thức cơ sở vững vàng;
• Có kiến thức sâu về phương pháp tính;
• Khả năng lập trình tôt
Một phương pháp hiện đại để giúp học viên cơ học đạt được các mục tiêu trên là cho họ học
băng cách tạo nên các phân mêm mô phỏng sô các bài toán cơ học chọn lọc, vì công việc đó kêt
hợp đước tất ca các kiến thức và kỹ năng nêu trên. Đẻ tài này xây dựng đe phục vụ cho mục
tiêu đó.

- Các nội dung của để tài:
• Xây dựng mô hình vật lý-toán cho chuyền động đối lưu nhiệt; và chuyến động chảy bao
vật cản của chất lỏng thực.
• Lựa chọn phương pháp tính thích họp cho mô hình đặt ra.
• Xây dựng cấu trúc phần mềm linh hoạt phù hợp cho từng bài toán, cho phép mô phỏng
diễn biến của các hiện tượng một cách trực quan và tiện lọi trong việc thay đổi chế độ
mô phỏng
• Lập trình theo thiết kế
• Tiến hành mô phỏng sô
cỉ. Các kết quà đạt được. Các nội dung trên đã được hoàn thành trọn vẹn; tạo được hai phần
mềm mô phỏng hai hiện tượng cơ học lý thú và khá phức tạp; Các phần mềm này còn phục vụ
tốt cho công việc nghiên cứu khoa học; Các kết quả mô phỏne sẽ được báo cáo tại Hội nehị Cơ
học Chất lỏng toàn quốc, tánơ 7/2006.
e. Tinh hình kinh ph í: Tổng kinh phi đề tài được cấp là 20.000.000 đ. dùng để chi cho các khoản
mục như đã dự toán trong đề tài.
Xác nhận của Ban chủ nhiệm khoa Chủ trj
PrOj &ct summary
a. Name o f the Project:
Numerical simulation of free convective motions of a viscous liquid, and of flows of a real
liquid past an obstacle.
b. Head o f the Project'. Ph.D Tran Van Tran
c. Objective and Outlines o f the Project:
- The main objective of this project is to develop two softwares dữected to numerical
simulations on PC , one for 2D-free convective motions of viscous fluids in a rectangular
domain, and other for 2D-VĨSCOUS flows past an obstacle. These softwares will be used as a tool
for teaching computational fluid dynamics at the University of Natural Sciences as well as for
research in fluid mechanics.
- The following tasks had done in the fraimwork of the Project:
• Conducting a detailed description of models for the two mechnical problems mentioned
above;

• Discussing numerical method used for solution of these problems;
• Designing the structure of the simulating softwares with the aime to conduct simulations on
the chosen topics effectively and easily;
• Programming in line with the design
• Conducting some simulations and discussing the results
d. Results achieved in the Project:
- A detailed report on both features of the Project and workes done is written
- Two softwares had created and met all project requirements for simulating two chosen
phenomena in fluid mechanics.
- The reslults of the simulations show main features of these two mechnical processes well
enough.
MỤC LỤC
T ê nđ ềm u c Trang
I. M ô tả đề tài và các nội dung thực hiện 1
1. Đặt vấn đề 1
2. Mô hình vật lý-Toán 2
2.1 Dòng chảy đối lưu nhiệt trong chất lỏng, chất khí 2
2.2 Bài toán chảy bao vật can 8
3. Phương pháp giải số 11
3.1 Giai số phương trình truyền tải-khuếch tán 11
3.2 Tính hàm dòng 12
4. Cấu trúc phần mềm mô phỏng 12
4.1 Mô phỏng dòng chảy đôi lun 12
4.2 Mô phono dòng chảy bao vật cản 13
5. Kết quả mô phỏng 14
II. Kết luận 15
III. Tài liệu tham khảo 15
IV. Các phụ lục 16
BẢO CÁO THỰC HIẼN ĐÊ TÀI QT 05-02
1

BÁO CÁO NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ T H ựC HIỆN ĐỀ TÀI
I. MÔ TẢ ĐÈ TÀI VÀ NỘI DƯNG THỰC HIỆN
1. Đặt vấn đề
Cơ học trước tiên là ngành khoa học ứng dụng. Các hiện tượng xảy ra trong
tự nhiên và công nghệ liên quan đến các quá trình chuyển động, biến dạng,
trao đổi nhiệt chất, tương tác các hệ vật chất, đều là đối tượng nahiên cứu
của các chuyên ngành cơ học khảc nhau. Vì vậy có thể nỗi, cơ học là một
nền tàng cơ bản nhất của những ứng dụng phong phú trong hầu hết các lĩnh
vực tụ nhiên vả khoa học kỹ thuật trong mọi thời điểm.
Các hiện tượng hay quá trình mà cơ học nghiên cứu thường lất phức tạp.
Các bài toán thưc tế đặt ra ngày càng đòi hỏi phải tính đến càng nhiều yểu tố
ảnh hường càng tot. V ì vậy, dối với các bài toán lớn của thực tiễn đặt ra gần
như không có hy vọng nhận được lời giải cua nó bằng phưcmg pháp giải
tích. Ngay việc nhận được lời giải xấp xi của nó trên các máy tính cũng
không hề đơn giản, và Icliông phải lúc nào cùng làm được. Tuv nhiên, việc
sức mạnh của các công cụ tính toán hiện nay phát trien nhanh đến mửc
không ngờ càng làm cho hy vọng một ngày nào đó cơ học có thể giải quyết
được phần lớn các bài toán thực tiễn của mình với' độ chính xác cần thiết
càng trở nên hiện thực.
Vì những lý do nêu trên, tfiệc phải tãng cường năng lực giải quyết các bài
toán cơ học cua thực tê ở các mức độ phức tạp khác nhau cho các sinh viên
ngành cơ học là mục tiêu hàng đầu. Mục liêu đó đòi hòi phải trang bị cho
s!>ih viên cơ học những kiến thưc cơ bản chuyên ngành, kết hợp chặt chẽ với
kha năng su dụng máy tính điện từ để giải quyết bài toán đặt ra. Đó là giải
pháp cung cấp một b j kiến thức: cơ học cơ bản + phương pháp tính chuyên
dụng + khả năng lập trình, trong đó hai nội dung cuối được xây dựng trên
những vấn đề cụ thể của nội dung thứ nhất.
Với mục đích đó, trong các năm qua một số đề tài với nội dung xây dựng
phần mềm mô phỏng số các bài toán cơ học chọn lọc đã được thực hiện tại
bộ môn cơ học, khoa toán-cơ-tin học. Đề tài này cũng là một thể hiên của

mục tiêu nói trên. Các phán mềm xây dựng trong khuôn khổ đề tài này còn
có một mục tiêu nữa là phục vụ các nghiên cứu cơ học chất lòng trong một
số vần đề có tính thực tiễn cao: đó là hiện tượng đối lưu rứ ệt và dòng chảy
xung quanh vật cản.
2
BAO CÁO THƯC HltN ĐẺ TÁI QT 05-02
Dòng chảy đối lưu là một hiện tượng tự nhiên xảy ra hàng ngày trong khí
quyên và đại dương. Nó có vai trò quyết đinh trong việc hình thành các hiện
tượng thời tiêt, và các thiên tai như bão, lụt, Trong công nghiệp, hiện
tượng đôi lưu nhiệt cũng được sử dụng rộng rãi, từ việc đơn giải như giải
pháp thông thoáng nơi làm việc cho đến các thiết bị truyền nhiệt trong các lò
phản ứng hạt nhân.
Một hiện tượng khác cũng thường xảy ra là dòng chất lỏng hay chất khí chảy
bao một vật cản trong miền dòng chảy của chúng. Hiểu biết về sự hiện diện
của các vật cản đó ảnh hưởng qua lại với dòng chảy như thế nào có thể g;úp
chúng ta đánh giá tác động của dòng chảy lên vật (tính lực hay phân bố áp
suất xung quanh vật) hoặc của vật đến trương vận tốc, trường áp suất, từ đó
có thể đánh giá các tính chất khác như lan iruyền chất ô nhiễm, sói lở vùng
lân cận
Hai hiện tượng cơ học nói trên là nội dung chinh của đề tài trong tiếp cận
nghiên cứu mô h.nh toán và phương pháp tính, từ đó xây dựng một số phần
mềm dùng để mô phỏng chúng. Các phần mềm đó dùng để giảng dạy về
môn cơ học chất lòng, kv năng tính toán và ỉập tiình tại bộ môn cơ học, đồng
thời có thể hoàn thiện thành một công cụ nghiên cứu về các hiện tượng trên.
Đó là các hiện tượng vẫn đang là vấn đỏ thời sự của cơ học chất lỏng trên
thế giới.
2. Mô hình vật lý-toán
2.1 Mô phỏng dòng chảy đối lưu nhiệt trong chất lỏng, chất khỉ
Chúng ta sẽ sử dụng mô hình đối lưu do Bussinesq đề xuất từ đầu thế kỷ
trước và van được sử dụng rộng rãi hiện nay. Mô tả ngắn gọn về mô hình

như sau. Chúng ta xuất phát từ hệ phương trình Navier-Stokes đầy đủ cho
chất lỏng thực:
p
— +(vv)v
5t
í Tỉ
'l
V p + ĨỊ
AV + — + £■
VdivV + pg
(1)
V
pT
— + VVí
ôt
— Ả AT
+
D
(2)
^ + d h {p\) = 0 (3)
õt ' 7 v
trong đo V là vận tốc chất lòng, p, T.S, là áp suất, nhiệt độ. entropy cùa chất
lỏng, p ,tj,G,ả ỉần lượt là tỷ khối, hế số nhớt trượt, hệ số nhớt thể tích và hệ
BÁO CÁO THƯC HH.’N đ ẻ t à i q t 05-02
3
số truyền nhiệt của chất lỏng, g là gia tốc trọng trường, còn D là hàm tán xạ
có dạng:
f ì + Ễ ! i- ỉ
õ x k õ x , 3
£ (div\f

Để khép kín hệ (l)-(3) ta cần đưa thêm vào phương trình trạng thái của môi
trường hai tham số, có dạng tổng quát:
P = H [t ,p ) ( 4 )
Bây giờ ta xét chu>ên động đối lưu tự doc của chất lỏng, chất khí, trong đó
t;nh nén được của mỏi trường không đáng kể. Ta bắt đầu đơn gian hóa từ
phương trình trạng thái. Ta biểu diễn áp suất và nhiệt độ cua chất lỏng ở
dạng:
T = ĩ + T ' ; P = P + P' ( 5)
với ĩ ,? là các giá trị trung bình nào đó lấy làm điểm gốc, còn T',P' đặc
trưng cho sự lệch khỏi các giá trị trung bình nói trên. Chủng ta sẽ giả thiết
ràng các giá trị lệch đó không lớn lắm theo nghĩa chúng tạo ra sự lệch về tỷ
khối không đáng kể so với t> khối “trung bình”, nghĩa là ta có
P = PoỢ>P) + P'> p'
«
Po
(6)
Giới hạn đến sổ hạng bậíMihất cho phân tích Taylor của (4) ta có:
P = Po +
Ẽn
ẽ T
r +
( - N
op
, ÕP
P' = p ữ{ \ - Ị 3 T + a P ')
( 7)
'T
trong đó a và (3 là hệ số nén đẳng nhiệt và hế số giãn nở nhiệt của chất lỏng.
Từ giả thiết (6) ta phải có:
ị a P ’ « 1 < 1, \pT '\< \ ( 8)

Giả thiết thêm ràng, ảnh hưởng cua biến đổi áp suất đến tỷ khối quá bé so
với ảnh hường của nhiệt độ (điều này là đúng đắn đối với đối lưu tự do):
\a P '\« \ạ r\ (9)
Do đó. phương trình trạng thái có thể viết ờ dạng xáp xi sau:
P = P o i ) - P T ) ( 10)
Chính mối quan hệ (10) dẫn đến chuyển động đổi lưu tự do của chất lòng,
khi mà phân bố nhiẹt độ trong lòng nó không đồng nhất hoặc không thòa
4
Ba O c á o THƯC HIÉX ĐÉ tài QT 05-02
mãn điều kiện cân bằng nhiệt Nếu xuất phát từ biểu thức cho áp suất thủy
unh trong chất lỏng thì điều kiện (8), (9) dẫn đến điều kiện tương ứng:
ap0gH « pe «1 (11)
trong đó H là đặc trưng cho chiền thẳng đứng trong miền dòng chảy, còn 0
là đặc trưng về độ lệch nhiệt độ. Nhừng giả thiết nêu trên cho phép ta coi
chât lỏng là không nén được, và do đó có thê viết phương trình liên tục ở
dạng:
dìvV - 0 (12)
Bằng cách tuyến tính hỏa biều thưc của entropy theo biến đổi áp suất và
nhiệt đô, đồng thời sử dụng định nghĩa của các hệ số nhiệt dung, ta đi đến
kết quả:
cp p D, P"T
/1
s = sữ+-ẬT P\
(l3)
T Po aPo
Lại một lần nữa ta có đánh giá ảnh hưởng của biến thiên ap suất nho hơn so
với biến thiên nh.ệt độ nên ta có:
s = sb + ụ r
(14)
Thay (14) vào (2) và bỏ qua ảnh hướng không đáns ke cùa các thành phần

tán xạ, ta có thể coi:
Ẽ ĩL + \ ^ r = ỵ T ’
(15)
õt
với ỵ = Ảl(pữcp).
Ta chuyển san? xem xét việc đơn giản hóa phương trình Navier-Stokes.
Thay (10) vào (1) với lưu ý (12), ta nhận đươc:
pữ{ \ - p r ) ^ - = -W p ^ W + pữ{\-pT')g (16)
at
Nếu ta phân tách áp suất thành hai thành phần: p = P + p' trong đó thành
phần thứ nhất là ap suát thủy tĩnh tương ứng với áp suất ở trạng thái cân
bằng p0, và do đ > vp = pữg .
Khi đó, vế phải của (16) có thể viết lại ở dạng:
-Wp'+rjAV-p^T'g
(17)
BÁO CÁO THỰC HIÊN ĐẺ TÀI QT 05-02
5
Ta lại sử dụng một giả thiết nữa thường đúng cho chuyển độnẹ đối lưu tự
do. Đó là giả thiêt cho rằng gia tốc do đối lưu tự do ( tất nhiên theo chiều
thăng đung) nhỏ hơn so với gia tốc trọng trường. Khi đó thành phần ứng với
gia tôc đôi lưu ở vê trải sẽ bị bỏ qua và ta nhận được phương trình:
3 V 1
~ + ( V V ) V = - —
V p + v ầ V + g p T Y
(18)
õt Po
trong đó k là véc tơ đơn vị theo chiều thẳng đửnơ, hươne lên trên
Vậy hệ phương trình mô tả chuyển động đối lưu tự do sẽ bao gồm: (12), (15)
và (18). Trong tiêp cận của Bussineq như mô tà ở trên, ta thấy sự giãn nở
của tỷ khối do chênh lệch nhiệt độ chi được tính đến duy nhất trong phương

trình chuyên động (lực Asimed) còn phương trình liên tục vẫn ở dang không
nén được. Điêu này có vẻ không bình thường. Tuy nh .ên. những thực
nghiệm cân trọng đã chỉ ra rằng giả thiết đó vẫn hợp lý vì nó mô tả khá
chính xác những đặc trưng cơ bàn của chuyển động đối lưu Tự do.
Bây giờ chúng ta nói đến các điều kiện biên của bài toán đối lưu nhiệt. Nếu
chất lỏng được chứa trong các biên cứng thì ta cần đưa vào thêm phương
trĩnh truyền nhiệt trong vật ran (biên cứng) ở dạng:
ẽị = X A Tc (19)
tìt
trong đó chỉ số c có nghĩá~là nhiệt độ của thành cứng. Khi đó trên biên cứng
ta có các điều kiện cho phương trình truyền nhiệt:
ẽ~ b = X A T c
(20a)
õt
x ^ - = x c^ f - (20b)
ôn õn
Các biểu thức (20) mô tả điều kiện liên tục cua nhiệt độ và dòng nhiệt trên
bề mặt tiếp xúc. Ngoài ra cũng cần đặt điều kiện biên cho biên ngoài của
thành cứng tương ứng với điều kiện nó được nung nóng hay làm nguội
Trong các bài toán được đề cập đến ở đây, chủng ta sẽ sử dụng điều kiện
cho ngay trên biên của chất lỏng.
Hệ phương trình chuvển động đối lưu dẫn ra ở trên có nghiệm tầm thường
ứng với trạng thái đồng nhất nhiệt độ ở mọi nơi và vận tôc bằng không ở
mọi thời điểm (không có chuyên động cua chàt lỏng). Ngoài trạng thái đó ta
còn có một trạng thái gọi là trạng thái cân bàng cơ học, được thiết lập như
6
BÁO CÁO THỰC H1ẼN ĐẺ TÀI QT 05-02
sau. Nếu ta coi V—0 ở mọi điểm và kí hiệu nhiệt độ và áp suất ở trạng thái đó
là p0, to thì từ hệ phương trình (15), (18) thu đưọc:
—“ vPo^r0 k = 0

Po
Ar0=o
Từ hai phương trình này, ta dễ dàng; nhận được:
vroxk = 0
Bỏ qua trường hợp Vĩ0 =0 ứng với trạng thái đồng nhất nhiệt độ khắp nơi
mà ta đã nhắc đến ở trên, ta còn có lời giải với gradient nhiệt độ cùng chiều
thẳng đứng với véc tơ k., nghĩa là ta có lời giải ở dạng (kết hợp với phương
trĩnh truyền nhiệt):
Tữ=Tữ(z)=-Az+B (21)
với A, B là các hẳn'ỉ số. Đó là trạng thái cân bằng cơ học. Nếu A>0 ta có
phân bố nhiệt độ giảm (ỉần theo chiều cao, còn A<0 ứng với trường hợp nhiệt
độ chất long tăng dàn theo chiều cao. Trường hợp thứ hai khỏng dán đến đối
lưu nhiệt, trong khi trường họp thứ nhất sẽ dẫn đến mất ổn định Rayleigh-
Taylor và xuất hiện chuyển động đối lưu.
Trong nghiên cứu của đề tài này chuyển động đối lưu xuất phát tử cả hai
trạng thái mô tà ở trên dc/tồn tại những kích động về nhiệt tronơ lòng chất
lỏng hoặc trên biên của nó đều được xem xét và mô phong.
Bây giờ ta đề cập đến việc đưa hệ phương trình và các điều kiẹn biên và ban
đầu của bài toán chuyên động đối lưu về dạng không thứ nguyên Ta lấy các
đại lượng sau làm các đại lượng đặc tiung: L - độ dải đặc trưng cho kích
thước của miền dòng chảy; 0 đặc trưng cho sự chênh lệch nhiệt độ; I - thời
gian đặc trưng cho các thay đổi Cua các yếu tố bên ngoài gây ra chuyển động
đối lưu; và các thông số nhiệt động lực học: V ,
X,
gp. Từ các đại lượng kê
trên ta có thể tạo nên các đại lượng không thứ nguyên như:
0r= gậQL_ p r V F = — , R = Grx Pr
V'2 X L
Các số trên lần lượt được đặt tên là số Grashof, Prandtl, Fourier và Rayleigh.
Trong đề tài này chúng ta sẽ mô phỏng chuyền động đối lưu hai chiều trong

một miền giới hạn bởi bốn biên cứng như trên hình 1 (kích thước hình học
BÁO CÁO THỰC HIÊN ĐẺ TÀI QT 05-02
7
đã được không thứ nguyên hóa bằng cách chia cho L). Các biên cứng lần
lượt đánh dấu bằng các ký hiệu B l, B2 B3 B4.
Hệ phương trình cho trường hirp này sẽ là:
õu õu cu õ p
1

\-U —
+ V— = - — + ——
dt õx ẽy õx
Re
^ Õ2U õ2u^

õx
2
ẽy2
ẽv dv õv _ ôp 1 ' Ô2V Õ2V S
ôt õx ồy õy
Re
cx~ ẽy2
G r

+ —^T
ReJ
1
ÕT ÕT ÔT
— + « — + V—- =
õt ôx ôy

Pr Re
õx
'à-T Ô-YN
+
èy1
,
du ôv

—
+ — = 0
ôx ày
(22)
(23)
(24)
(25)
Trong các phương trình trên, nếu ta lấy
vận tốc đặc trưng là vỉL thì số Reynolds
sẽ nhận giá trị bằng đơn vị. Đê loại áp
suất ra khỏi hệ phươno trình chuyển
động, chúng ta sẽ sử dụng các biến hàm
dòng và hàm xoáy. Từ (2Ậ.) ta thấy, tồn
tại một hàm số mà ta gọi là hàm dòng với
các tính chất sau:
B;
►
00
Uj
b 4
B i

►
u
=
õ ự ẽ\ự
cy
ôx
Hình 1
Ngoài ra, ta cũng đưa vào hàm số đặc trưng cho rotV, gọi là hàm xoáy, mà
trong trường hợp hai chiều chỉ có một thành phần khác không:
ỡv
õx
(27)
Khi đó hệ (22) và (23) sẽ đưa về được dạng sau:
õú) õco õco
1

(.
u

1- V

õt ôx ẽy
Re
d ứ) 5 co
G r ÔT

Re2
ôx
dS ự c
V

~dxr+ !ỉỹr ~
= (ú
(28)
(29)
8
BÁO CÁO THỰC HIÊN ĐÈ TÀI QT 05-02
Như vậy, hệ phương trình mô tả chuyển động đối lưu tự do hai chiều bao
gồm (28),(29),(26) và (24).
Vê điêu kiện biên cho bài toán trên, ta có thể thu nhận trên các luận cứ sau.
Do vận tốc của chất lòng thực luôn bằng không trên biên cứng cố định nên
từ điều kiện w=v=0 trên BỈ-B4 nên ta có:
ta dễ dàng nhận được công thức tính giá trị của hàm xoáy trên biên qua các
giá trị hàm dòng lân cận:
Điều kiện biên (33) thể hiện nhiệt độ trên thành giữ không đổi, nhờ tính chất
truycn nhiệt qua thành cứng một cách tức thời, trong khi (34) lại thể hiện
khả năng cách nhiệt của thành cứng là tuyệt đôi.
2.2 Bài toán chảy bao vật cản
Xét bài toán chảy bao hai chiều sau. Chất lỏng không nén được chảy bao
một vật rắn hình chừ nhật. Chiều dòng chày từ trái sang phải. Ta lây miên
tính toán cũng có dạng hình chữ nhật: bao hoàn toàn vật cản trong nó và có
các canh đủ xa vật cản đề các điều kiện biên mà ta sẽ đê cập đến ở phản sau
là chấp nhận được (Hình 2). Lấy một lưới sai phân với bước lưới đéu theo
từng chiều. Giả sử trên lưới đó, vật cản chiem các cột tử ĩ\ đến /2, và các
dòng từ j 1 đến jl. Phương trình mô tả chuyển động của chất lung cũng sẽ là
< =0
Để cho hàm xoáy, từ (29) ta có:
=
O il
= 1 // ; <yl
= (ù \ = ụ /

l a Is, " >y ’ Is, Ifl, ” ™
Sử dụng các biêu thức xấp xi đạo hàm trên biên cho dưới đây:
(31)
(32)
a1
71 =0
\B
(33)
b/
(34)
BẢO CÁO THƯC HIỆN ĐÊ TÀI QT 05-02
9
phương trình liên tục (25), hai phương trình động lượng (22) và (23), riêng
trong phương trinh (23) ta bỏ đi sổ hạng liên quan đến irứũệt độ ở vể phải.
Lại chuyên qua hàm dòng và hàm thế, ta nhận được hai phương trình sau:
dũ) ÔCỬ d(ũ
1
— + U-
+ V -

õt ôx ây Re
f a2 a’ '
0 (Ù ẽ Củ
-I 2
õx ẽy-
= 0
ô2ụ/ Õ2Ụ/
õx2 õy
=
Cú

(35)
(36)
N
Ji
'ịk
$
V,
•V;
A
I| h
Hình 2
M
Ta đặt điều kiện biên cho hàm dòng và hàm thế trong (35) và (36). Trên các
biên cứng của vật cản ta có các điều kiện:
\ự = 0, V (/, j ) : /, < / < /2, ý, < j< j 2 (37)
' 8^1 ụ/ 2
eo\B =
2 h2
;0(h‘)
(38)
Trên biên: I = 1 ta coi dòng chảy ở khoảng cách đù xa vật cản nên theo [4] ta
lấy điều kiên — = 0. Điều kiện này tương đương với điều kiện sau cho hàm
õx2
dòng:
ỡV
<5xJ
= 0
(39)
10
BẢO CÁO THỰC HIÊN ĐÊ TÀI QT 05-02

Để thu nhận điều kiện cho hàm xoáy, ta xuát phát từ biểu thức tính hàm
xoáy trên biên đó:
u i ,»I ~ W. .
Jl 1H
' 2 h.
- ( VA ,
Do (v,)Uj -ịv x)2j- - ịự xx)2^, nên sử dụng sơ đồ trung tâm cho đạo hàm bậc
hai hàm dòng, ta nhận được điêu kiện biên cho hàm xoáy như sau:

r
2h h\
Trên biên i=M: theo [4] ta lấy các điều kiện như sau:
¥a =0
Cú =0
Trên hai biên j= l và j —N : ta giả thiêt biên đủ xa vật cản nên trên hai biên
này ta có ihể coi dòng chảy song song với dòng chày ban đằu ờ phía xa bẽn
trái vật, và do đó chuyển động ờ cac miền đó là không có xoáy:
¥>=\
(40)
(41)
(42)
co = 0
(43)
(44)
Ta thấy, phương trình chạhàm dònơ (36) ch. là cấp hai. Trong khi điều kiện
biên cho nó trên các biên i-1 và i=A/lại co cấp dạo hàm cao hơn hoặc bằng
cấp của phương trình. Điều khôna bình thường này sẽ được vượt qua khi
giải số phương trình đo với các điều kiện biên như vậy băng một thuật toán
như sau. Khi giải phương trình sai phân của (36) băng phương pháp quét
luân hướng thì khi quét theo chiều j, ta giải như bình thường. Nhưng khi

quet theo chiều X, thay vì tính hàm dòng, trước tiên ta unh hàm
Phương trình để tính hàm này có dạng:
- co.
(45)
ĐÓ thuần túy là biểu thức đại số với vế phải đã biết. Tại điểm mút i= l, từ
(39) và cỏpơ thức tính đạo hàm cấp một theo sơ đồ tiến có bậc xấp xi bậc hai
cho ta:
yiJ. =
4 ^ ,- 4 ^
(46)
BÁO CÁO THỰC HIÊN ĐÊ TAI QT 05-02
11
Trong khi đó điều kiện (41) đảm bảo:
(47)
Trên các biên cứng theo chiều song song với trục Oy của vật cản (i cố định
v à ; thay đổi), ta cũng dễ dàng thu Iihận được điều kiện cho Ỹ xuất phát từ
biểu thức cho hàm xoáy:
õu õv

õy ôx
Do trên các biên nói trên ta có:
u
= V = 0
u
= 0 . Do đó ta nhận được:
Thuật toán mô tả trên đây đảm bảo độ chinh xác bậc hai cho phương trình
xác đinh hàm dòng.
3. Phương pháp giải số
3.1 Giải sổ phương trình truyền tải-khuếch tán
Trong mục này chúng ta mô tả phương pháp sai phân dùng đê giai sô

phương trình dạng truyền tải-khuếch tán (24), (28) và (35). Chúng ta sử
dụng sơ đồ sai phân sau và phương pháp quét luân hướng cho các phương
trình truyền tải-khuếch tán nói trên [2]:
trong đó ta dùng các ký hiệu:/ để chì co hoặc T, s để chi các hệ số đứng với
toán tử L aplace trong các phương trìnn (24) hoặc (28), G là thành phân
không chứa đạo hum cùa các hàm cần tính trona các phương trinh tương
ứng. Ngoài ra ta còn định nghĩa:
v xx=a
Sau khi tính được Ỹ, ta sẽ tính Vị/ từ phương trình
và các điểu kiện biên:
(48)
(49)
(50)
(51)
12
BÁO CÁO TH l'C HIỆN ĐÊ TÀI QT 05-02
N êu ta lây ki—ỈC2—0 thì ta có sơ đồ trung tâm, nếu k] = \, ế$=0 thì đó là sơ đồ
ngược dòng, còn kj=k2=\ ứng với sơ đồ Samarski. Hệ phương trình đại số
tuyên linh (51) sẽ được giải bàng thuật toán Thomas.
3.2 Tỉnh hàm dòng
Để tính nghiệm của phương trình (24) ta sử dụng sơ đồ sai phân trung tâm
cho các đạo hàm cấp hai và sử dụng phương pháp đa lưới [3]. Phương pháp
đó có tốc độ tính toán nhanh nhất trong tất cả các phương pháp tính nghiệm
cùa bài toan biên đối với phương trình Poison.
Do tính chất đặc thù của các điều kiện biên nên phương trình (36) cho hàm
dòng trong bài toán chảy bao vật Can sẽ được giải bằng phương pháp khác.
Ta cũng vẫn sử dụng phương pháp quét luân hướng. Ờ bước quét theo chiều
j ta có hệ cần giải viết ơ dạng:
Tiếp theo, ở làn quét theo ỉ, trước tiên ta tính ¥ từ (45)-(48). sau đó ta tính Vị/
từ (49)-(51).

4. Cấu trúc phần mềm mô phỏng
4.1 Mô phỏng dòng chảy đối lưu
Các thông số của phần mềm bao gcm:
- N hóm 1 liên quan đến tính chất của chất lỏng, cân cho các số : Re, Pr, Gr
- Nhóm 2 liên quan đến các điều kiện biên: nhiệt độ ở dưới đáy Tday , nếu
tham số này =0 thì ta có trường hợp đối lưu xuất hiện từ trạng thái cân băng
nhiệt độ khấp nơi, và nhiễu nhiệt độ được đua vào tại thời điêm ban đâu ở
m ột số điểm có thể tự do lựa chọn và nhập vào từ bàn phím. Nêu nó khác
không thì đối lưu xãy ra do chất lỏng bị đốt nóng từ phía dưới.
- N hóm 3 liên quan đến các bước tích phân: Ax, Ay, At.
/
(53)
BÁO CÁO THỰC HIỆN ĐỀ TÀI QT 05-0:
13
- N hóm 4 liên quan đến tần xuất hiển thị kếl quả tính toán dưói a^ns hình
ảnh.
Phan m êm mô phỏng chuyên động đối lưu của chất lỏng được thiết kế theo
yêu cầu như sau:
- Các thông sô của nhóm 1 và nhỏm 2 được đưa vào từ bàn phím và không
thạy đôi trong quá trình tinh toán, vì đây là các thông số cơ bản xác liiiih
chât lỏng cụ thê với phương thức tạo nên chuyển động đối lưu cụ thể, và ta
cần xem bức tranh chuyển động tương ứng ra sao
- Các thông sô của nhóm 3 cũng được nhập vào t r bàn phím. Bước tích phân
theo không gian Ax, Ay không cần thay đổi trong khi mô phỏng, tuy vẫn có
thể thay đổi chúng, nếu cần. Riêng bước tích phân theo thời gian At có thể
thay đổi được khi cần thiết nhằm đạt được độ chính xác mono muốn hay
đảm bảo tính ôn đinh của thuật toán.
- Các thông số của nhom 4 phả- được thay đổi tại bất kỳ thời điềm nào trong
khi tính toán. Đ iều này rất quan trọng vì bằng cách thay đoi tần xuất hiên thị
kết quả tính toán dưới dạng hình ảnh cho phép ta theo dõi được diễn biên

của dòng chảy, điều m à ta cần nhất khi đặt vấn đề mô phỏng. Ngoài ra, trong
trường hcrp kết quả tính toán không như m ong đợi sẽ cho phép ta quyết định
dừng để thay đổi các thông số đầu vào cho m ột trường hợp mơi hay tiêp tục
mô phỏng trường hợp hiện thời.
Việc nhập số liệu đầu vào, thay đổi các thông số cần thiết, hìnn thức hiển thị
(tần xuất, chất lượng) được thông qua một M enu thiêt kê tiện lợi cho mục
tiêu đặt ra.
4.2 Mô phỏng dòng chảy bao vật cản
Các thông số của phần mềm mô phỏng cho trường hợp này cũng gôm 4 loại:
- N hóm 1 liên quan đến tính chất của chất lỏng, cần cho số Reynlods Re
- N hóm 2 liên quan đến kích thước hình học của vật cản. Trong phân mêm
này các thông số kích thước đó được nhập từ bàn phím với các chi sô il, i2,
P J 2
-Nhom 3 liên quan đến các bước tích phân: Ax, Ay, At.
- N hóm 4 liên quan đến tần xuất hiển thị kết quả tính toán dưới dạng hình
ảnh.
14
BÁO CÁO THỰC HIEN ĐÊ TAI QT 05-02
Phan mêm mô phỏng chày bao vật cản của chất lỏng được thiết kế theo yêu
câu như sau:
- Các thông sô của nhóm 1 và nhóm 2 được đưa vào từ bàn phím và không
thay đôi trong quá trình tính toán.
- Các thông sô của nhóm 3 cũng được nhập vào từ bàn phím. Bước tích phân
theo thời gian At có thể thay đổi được khi cần thiét nhằm đạt được độ chính
xác mong muôn hoặc để đảm bảo tính ổn định của thuật toán.
- Các thông sô của nhóm 4 được thay đổi dề dàng bất kỳ lúc nào ta muốn.
5. Kết quả mô phỏng
Trên các hình 3-8 (trong phần Phụ lục) là kết quả mô phỏng hai bài toán đặt
ra trong đê tài. Trên h:nh 3 và hình 4 là trường vận tỏc, trường dòng, trường
xoáy và trường nhiệt độ của một irương hợp chuycn động đối lưu với số

R e= l, Pr=l và Gr=1000. Củng là các bức tranh phát triển của dono đối lưu
với những điều kiện ban đầu khác được cho trên hình 5 và 6.
Trên hình 7 là kết quả mò phỏng dòng chày xung quanh một vật can có thiết
diện vuông ở sô R e= l000000. Tương tự, trên hình 8 là bức tranh phát triển
dòng chảy bao đối với một vật cản hình chữ nhật ờ số Re= 100000.
Nhìn chung, các đặc t u n g cơ ban của các dòng chảy được mô phòng ờ đây
đã được phản ánh khá tot so với thực tế. Điều này chứng tò, mô hnih toán
đưa ra tương đối chính xác và thuật toán giãi số cũng thích hợp đối với các
bài toán này.
Phần mềm mô phỏng được xây dựng rất sát với ý đồ sử dụng và đáp ứng tốt
các yêu câu đặt ra.
II KÉT LUẬN
• Các nội dung và mục tiêu đặt ra đối với đề tài đã được hoàn thành đầy
đù và với chất lượng rât cao.
• Hai phần mềm mô phòng tạo ra trong khuôn khô đề tài r ày trưoc tiên
sẽ là một công cụ đào tao rât hữu ích và có ý nghĩa sư pham cao vì đã
được xây dựng trên những bài toán cơ học chất lỏng điển hình và khá
phức tạp. Mô hình toán được mô tả kỷ và đầy đủ, dễ hiểu, phương
pháp số đươc giới thiệu chi tiết. Phần mềm được viết đi ng theo tuần
tự cùa thật toán đưa ra.
BÁO CÁO THỰC HIEN ĐẺ Ta I QT 05-02
15
• Trên cơ sở hoàn thiện và bổ suníị các giả thiết mới về điều kiện biên,
e dỏng chảy rối, các phần mềm này còn được sử dụng tốt cho các
nghiên cứu khoa học về dòng chảy đối lưu nhiệt tụ do và cường bức
thường gặp trong kỹ thuật và Tự nhiên, về tính toán dòng chảy xung
quanh vật cản ba chiều, làm cơ sở cho các tính toán ứng dụng như bài
toan lan truyên ô nhiễm, bài toán tính lực tác động lẽn các công trình
trong biên, các công trình có độ cao lớn trong không khí
• Các phân mêm này cùng còn rất hữu ích trong việc nghiên cứu và so

sánh các phương pháp giải số khac nhau đối với bài toán chuyển dộng
của chât lỏng, các kỷ thuật xử lý lưới với bước lưới khác nhau ở từng
vùng tính toán. NgOai ra nó cũng còn cung cấp Iihừng kỳ nãng đầu
tiên tfong việc chúng ta tụ xây dựng các phần mềm mô phỏng số
mang tính chuyên nghiệp phục vụ cho hướng sử dụng các công cụ
tính toán hiệu năng cao vào việc mô phòns số các hiện tượng hay quá
trình phức tạp khác.
• Tác giă mong muốn có được các đầu tư kinh phí cho công việc phát
triển theo các hướng vừa đề cập đến ở trên tại Trung tâm Tính toán
Hiệu năng cao trong tương lai
III. TAÌ LIỆU THAM KHẢO
1. Boussinesq J. Theori^anaỉytique de ỉa chaleur, vol. 2. Paris 1903
2. Polezaev V.I., et al. Mathematical modeling convective heat-mass
transfer on the Navier-Stokes equations. Nauka, 1987 (in Russian)
3. Trần Vãn Tràn, Phương pháp số thực hành, (sẽ in)
4. Roach P.J., Computational Fluid Mechanics, Hermosa, 1972
IV. CÁC PHỤ LỤC
Velocity sẻ Id &^mBerature solies60
Re=1, Pr=1Gr=1000, step=3
Velocity field & streamfunction isolie:
R e -1 . Pr=1 Gr=1000. steD=3
Velocity ổeld & s?reaipift]ctionQisolines
Re=1., Pr=1, Gr=1000, step=7
Veỉổcity field & vortiftrty0isolines 60
Re-1., Pr=1, Gr=1000, step=7
Hinh 4 a,b,c
Velocity ield & temnpraUJre isolines1
Re-1 Pr=1, Gr=1000, step=7
Hình 4 a,b,c
60

50
40
> t
30
20
10
Veỉổcity field & ẳỉreạínlỉictionìsolines 70
Re=1., Pr=1, Gr=1000, step=7
Velocity field
8
temperature tsolim I
Re-1., Pr=1, Gr=1000, step=7
40
>.
20
20 40 60
Re=10,Pr=1 ,ổr=1000,step=2
velocity field &sfreamlines
20 40 60
Re=10,Pr=1 ,dfr=1000,step=2
velocity field &vorticity isolines
60
• ■

: . : .
40
* • ■-
/‘r*. •
•
>»

' ■’

• '
‘ - \i ■
V* ■<*•’, •
20
ỹ; 1
20 «0 60
Re=10,Pr=1 ,dr=1000,step=2
velocity field itemperature isolines
Hinh 5 a.b,c
>1
Hình 6 a,b,c
20 40 60 80 100
Flow past an obstacle, ($e=1000000, step=3
velocity field & stre a m 'ini 5
20 40 60 80 100
Flow pastan obstacle, ãe=1 Q0000Q, step=3
velocity field & vorticrtv isolines
X Flow past an obstacle, Re=1000, step=50
Flow past an obstacle, Re=1000, St6p=50 Velocity field & vorticity isolines
Velocity field & streamlines
Hinh 7 a,b,c,d