Các cấu trúc đại số và áp dụng

ĐẠI HỌC ọ ư ố c GIA HÀ NỘI
TRƯ Ờ N G Đ A I H O C K H O A H O C T ự N H IÊ N

0O0-

ĐỂ TÀI
CÁC CẤU TRÚC ĐẠI S ố
VÀ ÁP DỤNG
(ALGEBRAIC STRUCTURES AND APPLICATIONS)
Mã số : QT. 02. 01
Chủ trì đề tài : TS. Nguyễn Đức Đạt
Các thành viên tham gia:
1. PGS TS Trần Trọng Huê
2. TS Phạm Việt Hùng
3. Đỗ Hùng Sơn (học viên Cao học)
4. Một sổ sinh viên ngành Đại số.
Hà n ộ i- 2 0 0 3 tr \)\l2 4 -À
Phần 1
BÁO CÁO TÓM TẮT
ĐỀ TÀI
CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ VÀ ÁP DỤNG
M ã số: QT. 02. 01
Chủ trì đề tài:
TS. Nguyễn Đức Đạt
Các thành viên tham gia:
1. PGS TS Trần Trọng Huệ
2. TS Phạm V iệt H ùng
3. Đ ỗ Hùng Sơn (học viên Cao học)
4. M ột số sinh viên ngành Đ ại số.
1.1. Mục tiêu và nội dung đề tài:
N ghiên cứu các cấu trúc đại số cơ bản như N hóm , V ành, D àn

nhằm m ục đích:
a) T iếp cận m ột số hướng nghiên cứu đang được quan tâm h iện nay:
- N ghiên cứu và áp dụng lý thuyết căn cho bài toán về cấu trúc và
phân loại dàn.
- Đ ặc trư ne căn m ột số lớp vành.
3
b) Phục vụ công tác giảng dạy, đào lạo và hướng dẫn nghicn cứu khoa
học trong sinh viên như soạn chuyên đề, hướng dẫn khoá luận tốt
nghiệp, luận án thạc sĩ; góp phần bổ sung, hoàn thiện các giáo trình
Đại số đang giảng dạy.
1.2. Các kết quả đã đạt được
a) Mở rộng khái niệm căn cho các đại số phổ dụng nói chung và dàn nói
riêng. Bài báo khoa học “Căn Jacobson của dàn”.
b) Nghiên cứu căn của đại số trên vành giao hoán có đơn vị, chủ đề: tính
chất lựa chính qui, hệ thức xác định căn của đại số. Bài báo khoa học
“Về các đại số s - tựa chính qui”.
c) 01 quyển “Bài tập Đại số và Hình học giải tích”, đề nghị xuất bản tại
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
d) 02 khoá luận tốt nghiệp đã bảo vệ;
01 luận án thạc sĩ đang thực hiện.
1.3. Kết luận
Bằng việc hoàn thành đề tài Nghiên cứu khoa học “Các cấu trúc Đại
số và áp dụng” chúng tôi đã duy trì những hoạt động nghiên cứu khoa học
một cách thường xuyên, hệ thống và bổ ích, đã phục vụ đắc lực cho việc học
tập và nghiên cứu khoa học trong sinh viên, góp phần đổi mới nội dung và
phương pháp giảng dạy, đáp ứng yêu cầu của nhà ưường trong tình hình
hiện nay.
4
T ìn h hình kin h phí của để tài
Thu: Kinh phí Irường cấp 8.000.000 (lám triệu đổng).

Chi : Đã chi các khoản sau:
1) TTiuố khoán chuyỏn môn : 6.000.000 đ
(Trần Trọng Huệ: 2.000.000 đ (Bài báo KH)
Nguyễn Đức Đạt: 4.000.000 đ (Bài báo KH,
viếl quyển BT Đại số và Hình học giải líc h )).
2) Vâl tư văn phòng : 180.000 đ
3) Hội thảo, Seminar : 1.500.000 đ
4) Các chi phí khác : 320.000 đ
8.000.000 đ
Tám triộu đổng chẵn
Khoa quản lý Chủ trì đề tài
t J U ò a
Nguyễn Đức Đạt
Cơ quan chủ trì đổ lài
5
PRCƯECT
ALGEBRAIC STRƯCTURES
AND APPLICATIONS
QT. 02. 01
Coordinator:
Nguyen Duc Dat
Participants :
1. Prof. Dr. Tran Trong Hue
2. Dr. Pham Viet Hung
3. Do Hung Son
4. Tran Nam Tien
5. Dinh Van Thuan
1.1. Aims and contents :
The projcct studics the algebraic structurcs such as groups, rings,
Iattices vvith the íollovving aims:

a) Applying some recent approaches for :
- Studying and a p p l y in g radical theory in the problcm o f
“classiíying latlices”.
- Giving the radical characteristic of somc ring classcs.
6
b) Giving aids to građuate education, training and research activities
such as vvriling text books and lecturer notes, supervising master
Ihcses, etc.
1.2. Activities and results :
In this project, we have obtained thc following results:
a) Extcnding the radical concept inừoduced previously to universal
algebras. In particular, the results for lattices have been published in
paper: “Jacobson’s radical of lattices”.
b) Studying radical of K - algebras (K : commutative ring vvith unity),
giving radical characteristic of class of s - quasi-regular algebras.
Result: scientiíic paper “On the s - quasi-regular algebras”.
c) 01 text book “Problem in algebra and analytical geometry”.
d) 02 B. sc. theses.
1.3. Conclusion :
In the scientiíic research project QT. 02. 01, we have carried out
rcgular and useíul scicntiíĩc aclivities in order to give ncw research rcsults
and contributions to the actual tcaching works.
7
Phần 2
NỘI DUNG CHÍNH
M ục lục
2.1. Mở đầu 9
2.2. Nội dung 11
2.3. Kết luận 12
Tài liệu tham khảo

13
8
2.1. Mở đầu
Vài nét vế công tác giảng dạy và đào tạo ngành Đại sô'
Sau một số năm bị gián đoạn, từ khoá 39 (năm 1994), tại Khoa Toán
- Cơ — Tin học đã xuất hiện trở lại một số sinh viên ngành Toán học. Số
sinh viên này, trong giai đoại 1, học chung với lớp Toán — Tin học ứng
dụng, sang giai đoạn 2 được thành lập lớp riêng gồm 15 em. Từ đó đến nay,
các lớp sinh viên ngành Toán được thành lập nối tiếp nhau và do đó số sinh
viên làm khoá luận tốt nghiệp tại tổ Đại số - Hình học - Tô pô hàng năm
đều được duy trì (xem bảng thống kê).
Khoá
Sĩ số
Số sinh viên
ngành Đại số
K39 15
2
K40 34
7
K41
38 4
K42
69
5
K43 50 3
K44
50 12
Mặt khác, năm 1994, Đại học Quốc gia Hà Nội được thành lập với
mục tiêu đào tạo đa ngành, đa lĩnh vực, chất lượng cao. Việc hoàn thiện các
khung chương trình và các bộ giáo trình được đẩy mạnh. Tổ Đại số - Hình

học - Tồ pô Irong giai đoạn này đã ra các giáo trình đại số quan trọng:
- Đại số tuyến tính và Hình học giải tích (1997 - Trần Trọng H u ệ ) ,
- Đại số Đại cương (1998 - Nguyễn Hữu Việt H ưng),
- Đại số tuyến tính (1999 - Nguyễn Hữu Việt H ư ng),
(,) Sĩ sô' của các lớp có sự xô dịch mỗi năm.
9
- Đại số và Hình học giải tích (2000 - Trần Trọng Huệ) (giáo trình
đành cho các khoa phi toán ),
- Đại số Đại cương (2001 - Trần Trọng Huệ) .
Một sô'đề tài nghiên cứu khoa học đã thực hiện
Đ ể đáp ứng yêu cầu đào tạo của nhà trường, Tổ Đại số - Hình học -
Tô pô đã thúc đẩy công tác nghiên cứu khoa học. Ngoài những đề tài của
Giáo sư Nguyễn Hữu Việt Hưng, nhóm nghicn cứu của chúng tôi đã Ihực
hiện các đề tài:
- Phân loại các cấu trúc đại số, 1996, chủ trì: TS. Nguyễn Đức Đạt
(cấp đại học Khoa học Tự n h iên),
- Đại số và ứng dụng, 2001, chủ trì: PGS.TS. Trần Trọng Huệ (cấp
Đại học Quốc gia Hà N ộ i).
Bằng các đề tài này chúng tôi đã duy trì các hoạt động Nghiên cứu
khoa học để tiếp cận với các xu hướng nghiên cứu đang được quan tâm hiện
nay, phục vụ một cách đắc lực cho công tác giảng dạy, đào tạo và góp phẩn
thúc đẩy việc học tập và nghiên cứu khoa học trong sinh viên.
Đề lài QT.02.01: Các cấu trúc đại số và áp dụng
Trong đề tài Nghiên cứu khoa học này, chúng tôi quan tâm chủ yếu
tới Lý thuyết căn, áp dụng nó cho việc nghiên cứu dàn và vành.
Đã thực hiện:
a) Chuyển khái niệm căn của nhóm, vành sang căn của dàn - một cấu
trúc đại số không có phép toán 0 - ngôi (do đó không có những cấu
trúc con đặc biệt như nhóm con chuẩn tắc, idcal). Kết quả này được áp
dụng cho bài toán về cấu trúc và phân loại dàn [3].

b) Nghiên cứu tính chất tựa chính qui, các hệ thức xác định căn của các
đại số, lổng quát hoá một cách có hệ thống các tính châ't chính qui và
lựa chính qui đã được định nghĩa và nghicn cứu bởi các tác giả trước,
đưa ra đặc trưng căn của lớp R các đại số s - tựa chính qui [5].
c) Viết quyển “Bài tập Đại số và Hình học giải tích”, bổ sung cho bộ giáo
trình Đại số (vốn chưa có các quyổn bài tập).
10
2.2. Nội dung
1) Nhằm mục đích nghiên cứu căn một cách tổng quát hơn, trên các cấu
trúc đại số nói chung, trong các đề tài trước chúng tôi đã định nghĩa cãn
theo tương đẳng trên các Đại số phổ dụng [4].
Trong đề tài này, TS. Nguyễn Đức Đạt tiếp tục nghiên cứu căn bằng
các tương đẳng. Vì các tương đẳng trcn Đại số phổ dụng A lập thành dàn
đầy đủ C(A) nên thay cho căn của đại số A ta nói căn trên dàn C(A).
Năm 1952, Amitsur [1] đã đưa ra khái niệm p - căn trên dàn đẩy đủ,
trong đó p là H - quan hệ [1, 3, 7].
Ở đây, chúng tôi áp dụng khái niệm p - căn cho các dàn. Tuy nhiên,
việc chỉ ra H - quan hệ p và p - căn thường khó. Trước hết, chúng tôi đề
xuất một H - quan hệ p trên các dàn đầy đủ và nguyên tử, chứng minh sự
tồn tại p - căn trên các dàn đó. Để áp dụng cho lý thuyết dàn, ta xét các
dàn L có C(L) là dàn đối nguyên tử. Căn Jacobson r(L) của dàn L được định
nghĩa bằng p - căn của dàn C*(L) - dàn đối ngẫu của C(L). Vậy căn
Jacobson của dàn L được hiểu là giao của tập tất cả các tương đẳng tối đại
của dàn L.
Căn Jacobson của dàn L có ý nghĩa trong việc phân loại các dàn mà
trong đề tài này chúng tôi đã đạt được một kết quả quan trọng, đó là định lý:
“Dàn phân phối không tầm thường luôn là dàn r - nửa dơn” [3].
2) G iáo sư T rần Trọng H uệ đề cập tới căn của các đại số ưên vành giao
hoán, có đơn vị:
Trong lý thuyết vành, các tính chất tựa chính qui và chính qui đã

được đưa ra và được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, chẳng hạn như f - chính
qui [2], s - chính quy [6J. Trong đề tài này, GS H uệ đã đề xướng khái niệm
đại số s - tựa chính qui, đưa ra điều kiện cần và đủ đổ m ột lớp các đại số s
- lựa chính qui là một lớp căn theo nghĩa Kurosh - Amitsur. Từ đó đã xây
11
dựng được các lược đồ xác định các lớp cãn bởi các chuỗi hình thức có dạng
00
f = ^ f n, Irong đó fn e K [tj, ,tn] (với K là vành giao hoán, có đơn vị).
n=l
3) Tham gia đề tài này còn có các sinh viên Iheo ngành Đại số. Dưới sự
hướng dẫn của TS.N guyễn Đức Đạt, sinh viên Trần Nam Tiến (Khoá 43) đã
hoàn thành khoá luận tốt nghiệp: “Một số vấn đề về căn trên dàn đầy đủ”.
Trong khoá luận này tác giả đã phát triển một mệnh đề của Amitsur, kết
quả này giúp ích cho việc nghiên cứu sự tồn tại căn của một lớp các đại số
|7]. Sinh viên Đinh Văn Thuấn (Khoá 44) hoàn ihành khoá luận “Dàn các
tương đẳng” cũng phục vụ cho đổ tài này [8].
4) Hiện nay, các sinh viên đang học môn đại số cao cấp và đại số tuyến
lính mong muốn có một quyển Bài tập vừa sát chương trình, vừa hệ thống,
vừa dỗ sử dụng để hoàn thành một môn học được cho là trừu tượng, khó
nắm bắt. Cuốn Bài tập Đại số và Hình học giải tích mà chúng tôi biên soạn,
phần nào đáp ứng được nguyện vọng của sinh viên và bổ sung vào bộ giáo
trình của Khoa.
2.3. K ết luận
Được sự tài trợ của Nhà trường và sự giúp đỡ của Phòng Khoa học -
Công nghệ, Khoa Toán - Cơ - Tin học, đề tài QT. 02. 01 do chúng tôi chủ
trì đã thành công tốt đẹp, đạt được các kết quả là :
2 bài báo khoa học ,
1 quyển giáo trình ,
2 khoá luận tốt nghiệp .
Đổ tài còn có khả năng liếp tục phát triển và mở rộng.

Chúng tôi xin chân Ihành cảm ơn Nhà trường, Ban lãnh đạo Phòng
Khoa học - Công nghệ, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học đã tạo
điều kiện cho công tác nghiên cứu khoa học của chúng tôi. Chúng tôi chân
thành cảm ơn các đồng nghiệp và các thành viên trong đề tài đã nhiệt tình
Iham gia và đóng góp rất nhicu đổ đề tài thành công tốt đẹp.
12
Tài liệu tham khảo
[ 1 ] s. A. Amitsur, General theory of radicals I, Radicals in complctc
laltices, Amer. J. Math., 74 (1952), 774 - 786.
[2] R. L. Blair, A note on f - rcgularity in rings, Proc. Amer. Math. Soc.,
6 (1955), 511 -515.
[3] N. Đ. Đ ạt, Căn Jacobson của dàn, Tạp chí K H , ĐH SP Hà Nội, 4
(2002) 11 - 16.
[4] N. Đ. Đạt, Phân loại cấu trúc đại số, đề tài NCKH cấp ĐHKHTN, mã
SỐTN 9 7 -0 1 (1998).
[5] T. T. Hue, On the s - quasi-regular algebras, VNƯ Joumal o f
Science, T XIX, 2 (2003), 25 - 30.
[6] T. T. Hue and F.Szasz, On the radical class determined by
regularities, Acta Sci. Math., 43 (1981), 131 - 139.
[7] T. N . Tiến, M ột số vấn đề về căn trên dàn đầy đủ, K L tốt nghiệp K 43
(2002), Khoa Toán - Cơ - Tin học.
[8] Đ . V. T huấn, D àn các tương đẳng, K L tốt ngh iệp K 44 (2003), K h oa
Toán - Cơ - Tin học.
13
Phần 3
PHỤ LỤC
Phần này tập hợp các tài liệu minh chứng cho nội dung của phần 2.
Gồm có :
1) Bài báo khoa học :
- Căn Jacobson của dàn,

tác giả Nguyễn Đức Đ ạt.
2) Bài báo khoa học :
- Về các đại số s — tựa chính qui ,
tác giả Trần Trọng Huệ .
3) Quyển Bài tập Đại số và Hình học giải tích ,
tác giả Nguyễn Đức Đ ạt.
4) Khoá luận tốt nghiệp :
- Một số vấn đề về căn trên dàn đầy đủ ,
tác giả Trần Nam Tiến .
- Dàn các tương đảng ,
tác giả Đinh Văn Thuấn .
5) Phiếu đăng ký kết quả.
14
Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TAO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HẢ NỘI
ISSN 0868 * 3719
TẠP CHÍ
KHÓA HỌC
JOƯRNAL OF SCIENCE
HANOI LNIVERSH V OF EDICATION
SER IES
NATLRALSCIENCES
Á w
ị
SÔ
\
200
CÁC KHOA HOC Tư NHIÊN
H À N Ộ I 2002
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI

TẠP CHÍ KHOA HỌC s ố 4 NÁM 2002
CĂN JACOBSON CỬA DÀN
NGUYỄN ĐỨC DAT
Khoa Toán - Cơ - Tin hoc Trường ĐH KHTN • ĐH QG Hà Nội
I. M ỏ Đ Ẩ l
Lý thuyết cân đã đươc nghiên cứu rộng rãi cho vành", tại đó. căn được định nghĩa
dựa tiên các cấu trúc con đãc biệt, đó là các i-đê-an [4]. Vì các 1-đẽ-an cùa vành K lâp
thành dàn đầy đú C(K) nên thay cho căn cùa vành K ta có thế nói căn trẽn dàn C(K).
Năm 1952, Amitsua [1] đã đưa ra khái niêm p-cãn trên dàn đáy đu, trong đó p là H-
quan hệ (Định nghĩa 2.1). Tuv nhiên, việc chi ra H-quan hệ p và chứng minh sự tổn tại
cúa p-cãn đói với một lớp dàn là một việc khó, vì thực chất, đó chính là việc chi ra một
kiểu cân cụ thể.
Trong bài này, chúng tòi đề xuất một H-quan hệ p trên các dàn nguyên tử và chứng
minh sự tổn tại p-cãn trên các dàn đó. Kết quả này được áp dụng để nghiên cứu căn cùa
dàn dựa trên các tương đắns cúa chứns. Nếu dàn L có dàn các tương đán2 C(L) là dàn
đối nguvên tứ thì căn Jacobson r(L) cùa L đươc định nghĩa bằng o-cãn của dàn C*(L).
Căn r(L) tỏ ra là một còng cụ hữu ích trong bài toán về cấu trúc và phàn loại các dàn mà
Định lý 2.10 là mõt kết quả thú vị.
II. CÁC KHẢI NIÊM VÀ KẾT QUẢ
Trước hết, ta nhắc lai mòt sò' khái niệm và kết quả trong [1].
c luôn được hiểu là dàn đầy đủ với các phần tử nhò nhất và lớn nhất được ký hiệu
lần lượt là 0C và lc (hoặc 0 và 1).
Định nghĩa 2.1. Quan hệ phai ngói trẽn dàn c dược gọi là H-quan hệ nếu :
(a) (a,b)ep, a .b e C =>a>b.
(b) (a,a)ep, VaeC.
11
(c) (a.b)ep. c >b =>(a v c , c) e p.
Nếu (u.b) €p. ta nói a là p-phăn từ trẽn b, trong trường hợp b = 0 ra nói a là p-
plỉấn tứ. Dàn con A (đày đù) cùa c đươc gọi là p-nửa đơn nếu (X, 0A) € p, X 6 A chì
ĩhuâ mãn khi X = 0A. Nếu b < a và khoảng ịb, aj là p-nừa dơìì thì la viết bộa vù nói a

là p - phấn lừ trên b, đác biệt, khi b p 1 thì b là p - phấn từ.
Chú ỷ 2.2.
a) Trong dàn c, 0 là p-phần tử và 1 là p - phần từ. do vậy tâp hợp các p-phần tử và
tập hợp các p - phần từ cùa c đều khác rỗng.
b) Mỗi p - phần tử đều đứng trẽn các p-phần tứ. Hội cùa họ tất cà các p - phần từ
cũng là p - phần tử và do đó, nó là p - phẩn từ nhỏ nhất.
Đinh nghĩa 2.3. Phàn từ r € c dươc gọi là p-cãn cùa dàn c nếu nó vữa là p-phần
tử vừa lá p - phản tứ. . *’
Chú ý rằng, nếu p-cằn tồn tại thì nó là duy nhất và do đó người ta ký hiệu là r(C,p).
Bâỵ giờ ta chuyển sang nội dung chính cùa bài. Các khái mẽm và thuât ngữ ớ đây
được tham khảo trono [2, 3].
Ta xét dàn c đầy đủ và cũng là dàn nguyên tử với tập các nguyên từ A = Ị t; I i € 11.
Định nghĩa 2.4. Ta định nghĩa quan hệ p hai ngòi trên c như sau : a, b € c. (a,b)
e pnếu 3x e c, 3K, J, K oJ oỉ sao cho a = -t vị V t ), b = -V vị V t ).
J
1
K
Chú ý rằng 0 = V t , do đó Vx e c, VJ c I thì (x V ( V t ), X) ep đăc biêt ( V t
0 1 J J
1
J
V t. ) e p với K c J.
k
Mệnh đề 2.5. Quan hệ p là H-quan hệ.
Chiũig minh: Ta chứng tỏ rằng p thoả mãn các điều kiện đã nêu ờ định nghĩa 2.1.
Dẻ dàng nhàn thây p thoả mãn (a) và (b). Giả sừ a. b G c chúng được viết như ớ (2.4)
và c e c. c > b. Ta có a V c = (x V c) V ( V t ,) và c = X V c (vì X < b < c), vây (a V c , c)
J J
6 p tức p thoả mãn (c).
Mệnh đề 2.6. Dàn c dấy đù và nguyên tủ luôn luôn có p-căn.

Chicng minh: Giả sử A = I tj I 1 e I) là tâp các nguyên từ cùa c. Đặt ^ = V ti, ta chỉ
ra chính là p-cân cùa c. Theo (2.4) to là p-phần từ. cần chi ra nó cũng là p - phần từ.
• a) Nếu lo = 1 thì lo p 1 theo (2.2) a).
b) Nếu to * 1, ta chì ra răng [to, 1] là p-nửa dơn. Bãng phản chứng, giả sừ 3d > ^ ,
(d to) e p, suy ra 3x e c, to = X V to và d = X V to. Vây to > X và do đó d = to, màu
thuẩn với giả thiết d > .
12
- Mệnh để dừợc chứng minh.
Thí dụ 2.7. Cho các dàn L,, , L3 và L4 như (H. 1).
Ta có r(L„ p) = t0 , r(L2, p) = 1 , r(Lj, p) = t , r(L4, p) = t.
Chú ý rằng ớ các dàn Lị . ụ . L3 phán từ b không là p - phấn từ cũng khòng là
p-phần tứ, còn trong dàn L, phần từ 1 không là p-phần từ.
Ta áp dụng khái niệm p-cãn và các kết quà vừa thu được vào nshièn cứu căn của
dàn. Ta biết rằng dàn không có phần tứ “không” như vành nên nó không có các cấu trúc
con như i-đê-an trên vành. Vậy ta sẽ xét dàn các tương đấng C(L) của dàn L, nó là dàn
đầy đù với các phần tứ nhò nhất và lớn nhất được kv hiệu lấn lượt là A và X . Nếu C(L) là
dàn nguyên tử (với nguvèn từ là các tương đấng nhỏ nhất khác A) thì cãn cúa dàn L được
hiếu là p-cãn r(C(L), p) với p được định nghĩa như (2.4). Trong bài này ta mới chi quan
tâm tới cãn Jacobson của dàn, được định nghĩa như sau*:
Định nghĩa 2.7. Già sử L là một dàn với C(L) là dàn đối ngu\én tử. Khi đó r(C'(L),
p) dược gọi là cún Jacobson hav r-căn cùa dàn L và được kỷ hiệu là r(L). sếu r(L) = A,
ta nói L là dàn r-nừa đơn.
T hí d ụ 2.8. Ta xét dàn ngũ giác Ns = (0, X, y, z, 1}, trong dó\<v, X V z = y V z
= 1,XAZ = VAZ = 0. Dàn C(Nj) có các phần tứ như sau:
♦
Tương đắng a gồm hai lớp : {0, z }, Ịx. V. 1 Ị.
Tương đáng b gồm hai lớp : (0, X, y), \z, 1).
Tương đấng c gồm bòn lớp : Ị0|, |z). {X, y). 111.
Các tương đẳng A (= 0) và T (= 1).
13

Khi đó, C(Nj) s L, và C*(NS) 2 L4 VỚI Lj, L 4 ờ hình (H.l). Vậy r(N5) = t. Hơn nữa
dàn thương là dàn 4 phần tử ( 0. X, z , 1 Ị và r = A (A trên dàn thương).
Dưới đây ta sẽ xét r-cãn cùa các dàn phân phối. Trước hết ta có :
Bổ đề 2.9. Nếu p là dàn phán phoi và x.y 6 p ,x < y thì trên p có rương dẳnẹ §óm
dũng 2 lớp : X và y .
Chứng minh. Ta đặt Fv = |z 6 p I z > y}. lọc chính sinh bơi y. Xét táp 7 tất cả các
lọc chưa y, khong chưa X. *7 ^ 0 vì F; É 7. Dẻ dàng suv ra <7 với quan hệ c thoá mãn
các điểu kiện cúa Bổ để Zom, vậy nó có phấn tử tối đai, đươc ký hiệu là F.
Ta lại dặt Jx = jz € p|z < x|. i-đê-an chính sinh bới X. Hiến nhiên J n F = 0 . Vày
tập các i-đê-an chứa X và rời nhau với F là tãp khác rỗng, theo Bổ đề Zom. có phán tư tối
đai. được ký hiệu là J.
Tóm lại, ta có J n F = 0 và * € J, y e F. Ta chứng minh J u F = p. Băng phan
chứns, giả sử 3z ể J u F.
i) Ta chì ra 3j 6 J, j V z e F. Thật vậv, nếu Vj 6 J, j V z ểF, ta Iấv K = (J u |z|),
dàn con sinh bời J và z. hiển nhiên K n F = 0. Đãt J, = (t e p 1 3k € K, t < k). Ta thấy
J| là i-đê-an và Jị n F = 0. vì nếu 3f e Jị n F thì f < k 6 K (3k), suy ra k Ễ F. màu
thuẫn với cách lấy K. Vậv Jj n F = 0 và J, D J, mâu thuẫn với tính tối đai cùa J.
ii) Một cách tương tư, ta cũng chí ra được 3f e F, z A f e J.
Từ i), ii) và từ tính chất phân phối cúa p, suy ra :
(z V j) A f = (z A f) V (j A 0 G F n J.
Điều nàv mâu thuẫn với F ^ J = 0. Phép chúng minh bằng phan chứng kết thúc, ta
có J u F = p hay J, F làm thành một phàn hoach cùa p. Vậy có quan hệ tương đương
gồm 2 lớp X = J ỹ = F và vì J là i-đê-an, F là lọc dễ dàng suy ra nó là tươno đẩng.
Bổ đề được chứng minh.
Đinh Iv 2.10. Dàn phân phối có hơn 1 phấn tủ là r-nửa dơn.
Chiữig minh. Giả sử p là dàn phàn phối có ít nhất 2 phần từ.
a) Ta chứng tò p có r-căn. Theo Bổ đề 2.9, p có các tương đẳng 2 lớp, vì chi có 2
lớp nên các tương dẳng này là lối đại. Vây C(P) có đối nguyên từ. Giả sử a là tương đãng
và a * t- Dàn thương Ỳa cũnê ^ p^ân p^ỏ‘ V1 n° c° 4uá I phần tử nên có tương đẳng
2 lớp tương đảng này được viẻt dưới dạng Ya’ tronỗ đó b là tương đẩng trên Pvàacb.

14
Hiến nhiên b là tương đẳng 2 lớp. VậymỒiVe*C(P), a * X đéu được chặn trẽn bởi một
đối nguyên từ. suy ra C(P) làJidàn đối nguyên tử, do đó tổn tại p-cần.trèn dàn C*(P), tức p
có r-cãn.
b) Ta có r(L) = V = A ti = Ht, trong đó 11. i e I là các tương đẳng 2 lớp. Ta
chứng minh P|t = A. Giả sừ X. ỵ e C; X
2
y. Nêu X < V hoăc y < X thì có tương đảng 2
lớp X, y • Còn nêu X không so sánh y, ta đãt z = X V V, suv ra X < z và do đó có tương
đẳng 2 lớp X , z ; dễ dàng suy ra y e z hay z = V. Vậy, nếu X * V luòn luôn có tương
đẳng 2 lớp X, V hay (x, y) € f|t,. Vậy f]t = A.
I I
Định lv được chứng minh.
Định lv 2.10 cho ta một áp dung bước đầu vào bài toán về cấu trúc và phàn loai các
dàn. Trước hết, nó cho ta thấy các dàn phàn phối vi có các tương đấng tj, ị e I với ||t =
I
A nên chúng đẩng câu với tích trực tiếp con cúa các dàn y aồm 2 phàn tứ. Mặt khác
» / / •
lớp các dàn r-nửa đơn chứa tất cá các dàn phân phối, vì vậy khái niêm r-cãn còn đươc
tiếp tục áp dung cho việc nghiên cứu cấu trúc các dàn khôns phàn phối.
TÀI LIỆU T H AM K H Ả O
[1] Amitsua S.A General theory of rađicals /, Radicals in compleĩe lattices, Amer.
J. Math. 74(1952), 774- 786.
[2] Cohn P.M ưniversal algebia, Harper and Row, 1965.
[3] Grảtzer G General laỉtice theory. Akademie-Verlag, Berlin, 1978.
[4] Szász R.A Radicals of nngs. Akademiai K;adó. Budapest. 1981.
T Ó M T Á T
Bài báo nơhiẽn cứu khái niệm căn cùa dàn. Tác giả đã áp dung khái niêm p-cãn cua
Amitsua (1952) tronơ n°hiẽn cứu dàn các tương đẳng của dàn, nhờ đó đưa ra đinh nghĩa
cãn Jacobson r(L) của các dàn L có tương đảng tối đai. đồng thời chi ra áp dung hữu ích

cùa cân r(L) trong bài toán về cấu trúc và phân loai các dàn.
SUMMARY
ON JACOBSON’S RADICAL OF LATTICES
NGƯYEN DL'C DAT
The paper deals with the definition and application of the radical of lattices. It is
shovvn that the p-radical proposed by Amitsua (1952) can be used for siudying the
lattice of congruences on lattices. Following it. Jacobson’s radical, denoted by r(L), is
defined for lattice L vvhich has maximal congruences. Furthermore, a useíul application
of Jacobson’s radical for solving the problem of structure and classification of lattices is
investigated.
16
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HA NỘI
TẠP CHÍ KHOA HOC s ố 3 NÁM 2002
MỤC LỤC
Trans
Hà Tiên Nsoan. Nsuvẻn Thi Nsu. Biìi ioản Ciiuchx cho cúc phươnỉỊ
trình hxperbolic \ỉ()H'Ịe - Ampere.
2. Nguvẻn Đức Đat. Cán .ĩacobsun ciiư dàn 11
3. Nauvẻn Vãn Anh. Oiui trinh lum \ ịệc íHii in hợp dộtvị cơ iìíii kx vu tiid
bin máx nén khi ớ diéti kiện khi í/itxéii tlur. Jói. [ ~
4. Vũ Vãn Hùna. L\ iltuxèí ve sự LÍỠn iìơ nhiệt cua bán dẫn lụp phương
kim c MƠI Vị. 23
5. Nguyễn Việt Hưns. Nsuvẻn Quana Báu. Anh hường cùa cơ chè rún xụ
diện tử - phỏnonárn lèn hé sò húp thụ sótì<i diện từ yếu b(Ti diện rư rư
do tron" ĩịiếnq lượiìiỊ tử. 30
6. Nguyễn Thị Phươns Lan. Nauvễn Hữu Minh. Nguyẻn Thị Thanh
Hương. Ảnh hườn ạ của hiện tượng trật tự nguyên tử và dao dộng phi
diều hòa lèn khoán° cách tnm° bình cùa các nguyên ỉửrronẹ hợp kim
hai thừnli phàn. 38
7. Nguyễn Minh Thúy. Nguyễn Vãn Minh. Nghiên cứu phố tán xạ

Ruman trung vại liẹu siẻư díỉn nhiệt độ cưo hệ Bi£i':C aCu:yC o xOn+j . 47
8. Lê Vãn Cát. Lẽ Hái Đãns. Tổn'ị hợp và xác định dặc trưnỵ cấu trúc
một sò oxít síit. 53
9 Nouvẻn Quane Tùne. Nẽuyễn Thị Thúy Hà. Đăng Đình Bach, Mai
Tuyên. Hoạt tinh XÍIC rức bíi:ơ cua :eoliĩ trong phàn IÒÌỊỊ uldoi hóa
ưxeton thành diaxetununcul. 58
10 Nouvẻn Đức Chuy. Tràn Thi Mày, Nguyễn Thị Thu. Nghiên am
cliuyén hóa tro bay Phu Lai thành sán pliấm chứa :eolit và một sà rinh
chất dục trưng a tíi chung. 63
11 Trần Thị Đà. Pham Naọc Thach. Trươns Thi Câm Mai. Tốniị hợp và
tinh chất một so dòng phàn CIS- irans - diamin dicloro Pt <11). 68
ĐAI HỌC QUÓC GIA HA XOI
VIETNAM NATIONAL l NIYERSITY. HAN01
ISSN 0866-8612
T
KHO;
« - ! □ u RNAL
T O Á
MATHEM
T. XIX, No2, 2003
VNU. JOURNAL 0F SCIENCE, Mathematics - Physics T XIX, Nq2 - 2003
O N T H E 5 - Q U A S I R E G U L A R A L G E B R A S
T ra n T ro n g H ue
Department of Mathematics, Mechanics and Iníormatics
College of Science, VNU
A b s tr a c t. In this paper we introduce the definition of S-regular algebras and establish
some diagrams to deíỉne concret radical classes.
1. In tro d u c tio n
In this note we shall work in the variety w of algebras over an associative and
commutative ring K with unity element. For details of radical theory we refer to [11]. VVe

now come to the definit,ion of radical in the sense of Kurosh and Amitsur:
The class R is called a radical class in w if R satisẵes the following three conditions
i) R is homomorphically closed;
ii) Every algebra A has an R - ideal R{A)\
iii) The factor algebra A/R(A) of A with respect to R(A) is R — semisimple i.e.
R(A/R(A)) = 0.
In ring theorv many regularities and quasi-regularities have been deíinecl and studied
by m any authors. In [6 ] we have introduced the notion of S - regular algebras and showed
the radical characteristic of regularities in this sense. In this note we are going to introduce
the deíĩnition of S — quasi regular algebras and to establish some diagrams to deíĩne concret
radical classes. It is a generalization of the / - regularies in [5].
We recall the following definition:
Let there be assigned to each an algebra A belonging to w a mappúig S a which
maps the dicscrete direct sum .4°° = ® ~^4, into the algebra .1. where Ax = A, for
1 = 12 The class s consisting of all mappings SA is called a regularity in w if the
following condition is satisíìed: For every K - homomorphism / : A -> B we have the
conưnutative diagram below
.400 > ,4
/°° Ị /ị (!)
V V
ổ°° B
where /° ° = ( /, /, /■■•)■
An algebra A is said to be S - regular if S a (A°°) = A.
2 . S - q u asi reg u la r alg ebras
D eR nitio n 1 . Let s = {Sa : A°° -> A }Aew be the S - regularity. An element a of
the algebra A is Cíìlled S - quasi regular if there exists an elemcnt X oí ,40 0 such that
pr (X) = a and s \{x) — 0 , where prx is the projection of A°° onto ì th component.
Typeset by Ạvt<S-Tjỳ\
VNU. JOURNAL 0F SCIENCE, Mathematics - Physics. T XIX, Nq2 - 2003
O N T H E 5 - Q U A S I R E G U L A R A L G E B R A S

T ran T ro ng H ue
Department oỉ Xlathematics. Mechanics and Iníorniatics
College of Science, VNU
A b s tra c t. In this paper we introduce the deíìnition of 5-regular algebras and establish
some diagrams to deíìne concret radical classes.
1. Intro d uction
In this note we shall work in the variety w of algebras over an associative and
commutative ring K with unity element. For details of radical theory we refer to [11]. VVe
now come to the de&nition of radical in the sense of Kurosh and Amitsur:
The class R is called a radical class in w if R saúsíìes the following three conditions
i) R is homomorphically closed;
ii) Every algebra A has an R — ideal R(A);
iii) The factor algebra A/R(A) of A with respect to R{A) is R — semisimple i.e.
R(A/R(A)) = 0.
In ring theorv many regularities and quasi-regularities have been deíìned and studied
by many authors. In [6 ] we have introduced the notion of S - regular algebras and showed
the radical characteristic of regularities in this sense. In this note we are going to introduce
the deSnition of S - quasi regtilar algebras and to establish some diagrams to deíìne concret
radical classes. It is a generalization of the / - regularies in [5].
We recall the following deíìnition:
Let there be assigned to each an algebra A belonging to w a mapping S a which
maps the dicscrete direct sum .4°° = into the algebra A, where A, - A, for
i = 1 2 The class s consisting of all mappings Sa is called a regularity in w if the
followin«- condition is satisíìed: For every K - homomorphism / : .4 -> B we have the
commutative diagrani below
.400 _ £ d _ > ,4
r ị f í1)
V V
B ° ° 5 fl-» B
where Ị 0 0 = (/, /, /•••)•

An algebra A is said to be 5 - regular if S a {ả °°) = A.
2 . S — qua si regulĩu- alg ebra s
D e fin itio n 1. Let s = {5.4 : A°° -V Ả}Aew be the S - regularity. Aũ element a of
the algehra. 4 is calỉecì S — quasi regulas if there exists an elemcut X ũf .4°° su ch that
/XJ _ ữ anci Sa(x) = 0, where pr: is the projecúon of A°° onto ì th component.
Typeset by
VNU JOURNAL 0F SCIENCE, Mathematics - Physics. T.XIX, Nq2 - 2003
O N T H E s - Q U A S I R E G U L A R A L G E B R A S
T ran T ro n g H u e
Department of Mathematics, Mechanics and Iníormatics
College of Science, VNU
A b s tra c t. In this paper we introduce the deíìnition of S-regular algebras and establish
some diagrams to deíìne concret radical classes.
1. In tro ductio n
In this note we shall work in the variety w of algebras over an associative and
commutative ring K with unity element. For details of radical theory we refer to [11]. We
now come to the deíỉnition of radical in the sense of Kurosh and Amitsur:
The class R is called a radical class in w if R satisíies the following three conditions
i) R is homomorphically closed;
ii) Every algebra A has an R — ideal R(A);
iii) The factor algebra A/R{A) of A with respect to R(A) is R — semisimple i.e.
R(A/R{A)) = 0.
In ring theorv many regularities and quasi-regularities have been deíìned and studied
by many authors. In [6 ] we have introduced the notion of S — regular algebras and showed
the radical characteristic of regularities in this sense. In this note we are going to introduce
the deíỉrútion of S — quasi regular algebras and to establish some diagrams to define concret
radical classes. It is a generaIization of the / — regularies in [õ].
We recall the following deíĩnition:
Let there be assigned to each an algebra A belonging to w a mapping Sa which
maps the dicscrete direct sum A00 = into the algebra A. where Ai — A, for

i = 1 , 2 , The class s consisting of all mappings Sa is called a regularity in w if the
following condition is satisfied: For every K — homomorphism / : .4 -+ B we have the
commutative diagram below
^cc 4
r \ f\
V V
B ° ° S b > B
where /° ° = ( / ,/,/ ) •
An algebra A is said to be 5 — regular if Sa{'4°°) = A
2. S — quasi regular algeb ras
D efin ition 1. Let s = {5^ : A°° —> A }à ew be the S — regularity. An eỉement a o ỉ
the sdgebra A is called S — quasi regular if there exists an element X of ,4°° such that
prx(x) = OL and S a (x ) = 0, where prx is the projection of A°° onto l th component.
Typeset by Ạ v|5*T ^X
(1)
♦
25