SKKN_Phát triển ngôn ngữ toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung véc tơ và tọa độ_Hình học 10

I. Phần thứ nhất: Đặt vấn đề.
Nghiên cứu vấn đề phát triển ngôn ngữ toán học của học sinh trong quá trình
học tập môn toán là một yêu cầu cấp thiết và đúng đắn. Điều này được chứng
minh dựa trên những lý do sau:
- Đổi mới trong giáo dục đã và đang được toàn xã hội quan tâm, đặc biệt giai
đoạn hiện nay. Trong đó, vấn đề đổi mới nội dung và phương pháp dạy học rất
được chú trọng. Với môn toán lớp 10, trong lần thay sách gần đây (năm 2006),
sách giáo khoa (cả đại số và hình học) đã có sự cải biên rõ rệt. Các hoạt động
nhằm phát triển ngôn ngữ toán học được tăng cường và nêu lên trong mục tiêu
dạy học chứng tỏ đã có sự thay đổi cách tiếp cận ngôn ngữ toán học trong nội
dung và phương pháp dạy học.
- Vấn đề ngôn ngữ nói chung và ngôn ngữ toán học nói riêng đã được nhiều
nhà giáo dục trong và ngoài nước quan tâm và cho rằng, Toán học không chỉ là
một hệ thống nào đó các sự kiện và phương pháp mà trước hết phải là ngôn ngữ để
mô tả các sự kiện và phương pháp trong các khoa học khác nhau và trong hoạt
động thực tiễn , giải quyết đúng đắn mối quan hệ giữa nội dung tư tưởng toán học
và hình thức ngôn ngữ toán học là một cơ sở phương pháp luận quan trọng của
giáo dục học Chứng tỏ trong dạy học Toán, ngôn ngữ toán học có vị trí quan
trọng và rất cần được quan tâm.
- Qua nghiên cứu chủ đề vectơ, toạ độ ở hình học 10 theo hướng tiếp cận
ngôn ngữ toán học tôi thấy, vectơ, toạ độ đã tạo nên bước phát triển đáng kể trong
toán học. Nhờ các công cụ này mà nhiều sự kiện toán học đặc biệt là hình học đã
được trình bày và chứng minh gọn gàng hơn. Hơn nữa học sinh còn có thêm hai
phương pháp giải toán quan trọng và chủ yếu là phương pháp vectơ (PPVT) và
phương pháp toạ độ (PPTĐ). Với mỗi học sinh, nắm vững hai phương pháp này là
nắm “mã” giải toán hình học mới, loại ngôn ngữ mới. Những bài toán hình học
từng được diễn đạt bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp, sau khi “phiên dịch” sang
ngôn ngữ vectơ, ngôn ngữ toạ độ sẽ chuyển thành bài toán đại số thuần tuý, tận
dụng được những công cụ của đại số để giải. Nghĩa là khả năng sử dụng ngôn ngữ
1
toán học của học sinh đã nâng lên một bước so với trước đó. Điều này đòi hỏi trong

dạy học hình học 10, giáo viên phải có những nguyên tắc và biện pháp sư phạm
hợp lí để phát triển ngôn ngữ toán học cho học sinh.
Do đó,tôi lựa chọn nghiên cứu và viết sáng kiến kinh nghiệm : “Phát triển
ngôn ngữ toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung véc tơ và tọa
độ- Hình học 10”.
II. Phần thứ 2: Nội dung
1. Cơ sở khoa học để đề xuất sáng kiến kinh nghiệm.
Trong dạy và học toán, có ba thứ ngôn ngữ có tác động đến nhận thức của học
sinh. Đó là ngôn ngữ với các thuật ngữ (phản ánh các khái niệm toán học), ngôn
ngữ kí hiệu, ngôn ngữ tự nhiên (ngôn ngữ thường ngày, với chúng ta là Tiếng
Việt). Ba thứ ngôn ngữ này khác nhau nhưng không tách biệt nên gây ra không ít
khó khăn cho học sinh khi học và nghiên cứu toán học. Trong ba thứ ngôn ngữ
đó, toán học sử dụng hai thứ trên, đó là ngôn ngữ đặc trưng của nó, còn gọi là
ngôn ngữ toán học . Ngôn ngữ toán học là kết quả của việc hoàn thiện ngôn ngữ
tự nhiên (NNTN) theo ba khuynh hướng khác nhau:
i) Loại bỏ sự cồng kềnh,
ii) Tính đơn trị,
iii) Mở rộng khả năng biểu thị.
Ngôn ngữ toán học, khác với NNTN, được gọi là ngôn ngữ kí hiệu. Mặc dù
chính ngôn ngữ toán học cũng sử dụng các kí hiệu xác định - các chữ cái và dấu
để xây dựng các biểu thức ngôn ngữ (từ và câu). Cách gọi này có ý nghĩa rõ ràng
vì việc sử dụng kí hiệu trong ngôn ngữ toán học và NNTN có sự khác nhau căn
bản. Ngôn ngữ toán học (theo nghĩa hẹp) là ngôn ngữ xây dựng trên hệ thống các
kí hiệu toán học. Ngôn ngữ toán học (theo nghĩa rộng) bao gồm ngôn ngữ toán học
theo nghĩa hẹp và các thuật ngữ toán học, hình vẽ, mô hình, biểu đồ, đồ thị, … có
tính chất quy ước nhằm diễn đạt các nội dung toán học được chính xác, logic và
ngắn gọn.
2
Ngôn ngữ toán học khắc phục được các nhược điểm thường gây khó khăn cho
học sinh của NNTN như: sự thiếu cô đọng, nhiều khi không chính xác khi diễn

đạt một vấn đề tổng quát nào đó. Chẳng hạn, phép tính “1 + 2 = 3” nếu diễn đạt
bằng NNTN sẽ rườm rà hơn: “một thêm hai được ba” hoặc “một cộng hai bằng
ba”.
Trong quá trình dạy học chủ đề vectơ và toạ độ ở chương trình hình học 10,
nếu tăng cường hợp lý các hoạt động ngôn ngữ toán học thì sẽ góp phần nâng cao kết
quả học tập của học sinh.
2.Nội dung cụ thể của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.Bài toán sư phạm về ngôn ngữ toán học trong dạy học môn toán ở trường phổ
thông

Trong dạy học toán trường phổ thông, cả hai cách tiếp cận để nghiên cứu
ngôn ngữ toán học là theo phương diện ngữ nghĩa và theo phương diện cú pháp đều
quan trọng và có ý nghĩa riêng. Nếu chỉ giới hạn ở phương diện ngữ nghĩa thì học
sinh sẽ không học được những công cụ toán học hình thức và do đó không giải được
các bài toán bằng công cụ toán học. Nếu chỉ giới hạn ở phương diện cú pháp thì học
sinh sẽ không hiểu ý nghĩa của các biểu thức của ngôn ngữ toán học và không thể
phiên dịch được bài toán nảy sinh từ bên ngoài toán học thành bài toán trong toán
học và do đó kiến thức của học sinh sẽ chỉ mang tính hình thức và không có khả
năng vận dung.
Qua theo dõi thực tế học tập toán học nói chung và việc sử dụng ngôn ngữ
toán học nói riêng của học sinh, có thể thấy còn tồn tại một số vấn đề sau:
 Học sinh rất khó khăn khi phiên dịch các bài toán trong NNTN hoặc khoa
học khác sang ngôn ngữ toán học và ngược lại.
Chẳng hạn, đa số học sinh lúng túng khi giải bài toán sau:
Cho hai lực
1
F
và
2
F

cùng có điểm đặt tại O. Tìm cường độ lực tổng hợp của
chúng trong trường hợp
1
F
và
2
F
đều có cường độ là 100 N, góc hợp bởi
1
F
và
2
F
bằng 120
0
.
3
100N
120
0
100N
2
F
1
F
O
Hình 3

Bài toán này nếu phát biểu bằng ngôn ngữ vectơ chỉ đơn giản là: Cho hai
vectơ có độ dài bằng nhau và bằng 100 (đv độ dài), tạo với nhau một góc 120

0
(hình 3). Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ đó.
 Học sinh nắm chưa vững chắc phương diện cú pháp của ngôn ngữ toán
học.
Sai lầm thường thấy ở học sinh khi đọc các biểu thức đại số hay khi biến đổi
các biểu thức đại số. Chẳng hạn:

b.ya.x)ba)(yx( +=++

RRR ra suy
RRR
1
=+=+
2
21
111

xsinxsin 22 =

xsinxsinxsin += 67
Hoặc khi trình bày lời giải một bài toán thì diễn đạt thiếu trong sáng, thậm
chí chưa chính xác ngay cả khi đã hiểu bài.
 Về phương diện ngữ nghĩa, khả năng nắm vững các thuật ngữ và kí hiệu
toán học của nhiều học sinh còn hạn chế, mắc nhiều nhược điểm.
Chẳng hạn: khi giải phương trình, học sinh thường sử dụng các phép biến đổi
⇔
hoặc
⇒
một cách tuỳ tiện; dùng những kí hiệu toán học để viết tắt những câu
trong ngôn ngữ thông thường; không hiểu chính xác các liên từ “khi”, “ khi chỉ

khi ” nên sử dụng tuỳ tiện trong trình bày bài toán,…
Ngoài những nguyên nhân từ phía học sinh như: thiếu tập trung khi học bài trên
lớp; không tích cực, tự giác, chủ động học tập để tích luỹ tri thức, rèn luyện kĩ
năng….Khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học của học sinh còn hạn chế vì một số lí
do sau:
4
 Do sự kết hợp không đúng đắn các cách tiếp cận theo phương diện ngữ
nghĩa và theo phương diện cú pháp trong truyền thống dạy toán dẫn tới học sinh
chỉ hiểu tri thức toán học một cách hình thức.
Chẳng hạn, việc dạy học các yếu tố hình học giải tích (HHGT) thường bộc lộ
nhược điểm là không cân đối giữa hai phương diện nội dung và hình thức, giữa
cái cụ thể và trừu tượng, thể hiện ở việc nhiều học sinh có thể nhớ các biểu thức
hình thức trong hình học giải tích nhưng không hiểu đầy đủ ý nghĩa, bản chất
hình học của nó; từ đó vận dụng chúng một cách máy móc, hoặc không biết vận
dụng chúng trong các tình huống cụ thể.
 Chú ý không đầy đủ trong dạy học ngữ nghĩa của ngôn ngữ toán học nên
đôi khi giáo viên đã tách rời hình thức với nội dung, hay tách rời công thức và kí
hiệu của ngôn ngữ toán học với nội dung toán học nằm ngoài ngôn ngữ.
Chẳng hạn khi giải phương trình:
xx −=− 423
(*), nhiều học sinh chỉ máy móc
biến đổi (*)
⇔




−−=−
−=−
)x(x

xx
423
423
hoặc xét hai trường hợp
2
3
2
3
<≥ x,x
để phá
giá trị tuyệt đối (tức là thành thạo về cú pháp) mà không hiểu tại sao có phép biến
đổi đó và các phép biến đổi đã đảm bảo tương đương chưa. Muốn khắc phục
nhược điểm trên, giáo viên cần giúp học sinh thấy được nguyên nhân các biến đổi
là do khái niệm giá trị tuyệt đối (tức là do mặt ngữ nghĩa của kí hiệu giá trị tuyệt
đối):
A



<
≥
=
0 A khi A-
0A khi A
,….
 Nhiều khi giáo viên quá chú trọng khâu vận dụng kiến thức trong khi học sinh chưa
hiểu đầy đủ bản chất của kiến thức đó. Do đó khi được đặt trong một tình huống cần sáng
tạo, hoặc quên một thuật toán, công thức, học sinh rất lúng túng không biết làm thế nào để
xây dựng lại thuật toán, công thức đó. Chẳng hạn, các công thức tính độ dài đoạn thẳng,
góc, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, … ở hình học 10 có thể dễ dàng xây

dựng nhờ kiến thức về vectơ, toạ độ kết hợp với các quy tắc đại số.
5
Do đó, để phần nào khắc phục những tồn tại trên, đòi hỏi người giáo viên trước
hết phải dạy tốt ngôn ngữ toán học. Khi cung cấp một tri thức mới cho học sinh, kể
cả khi xây dựng nội dung lí thuyết cũng như trong lúc giải bài tập, chúng ta cần chú ý:
- Kết hợp hợp lí các cách tiếp cận ngôn ngữ toán học (ở đây tôI muốn đề cập
đến là ngôn ngữ vectơ và toạ độ) theo hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp
trong suốt quá trình dạy học.
- Coi trọng mặt cú pháp của ngôn ngữ toán học khi học sinh được học một
công cụ mới. Nếu có điều kiện cần dạy học sinh phân biệt những cách thức cơ
bản để thiết lập ngôn ngữ toán học như từ và câu trong ngôn ngữ tự nhiên.
2.2. Một số nguyên tắc và biện pháp sư phạm phát triển NNTH trong dạy
học hình học 10.
2.2.1. Một số nguyên tắc phát triển NNTH trong hình học 10
Nguyên tắc 1: Phát triển NNTH cho học sinh trong dạy học hình học 10 giúp
học sinh học hình học tốt hơn.
Việc giảng dạy hình học 10 có mục tiêu quan trọng là giáo viên phải trang bị
đầy đủ kiến thức, kĩ năng để học sinh có thể thao tác, tính toán trên vectơ, toạ độ;
hơn nữa họ phải thuần thục các công cụ này tới mức biết sử dụng vectơ, toạ độ
như là ngôn ngữ để trình bày các nội dung toán học khác. Do sự phát triển trong
sử dụng NNTH đó giúp học sinh học tốt hình học hơn, các em có thêm phương
pháp nghiên cứu hình học khác ngoài những phương pháp đã biết.
Nguyên tắc 2: Dạy học NNTH ở hình học 10 cần làm cho học sinh biết mô tả
chính xác nội dung toán học liên quan đến vectơ, toạ độ và dùng những kiến thức
đó diễn đạt các sự kiện toán học đã biết khác
Đây là nguyên tắc nhằm trả lời câu hỏi, trong hình học 10 cần phát triển
NNTH nào cho học sinh. Khi học hình học 10, đòi hỏi học sinh không chỉ biết mô
tả chính xác các khái niệm, tính chất liên quan đến vectơ, toạ độ, sau đó tự trình
bày được các bài toán mà còn phải biết dùng ngôn ngữ vectơ, ngôn ngữ toạ độ
trình bày nội dung toán học khác.

Nguyên tắc 3: Thông qua các hoạt động toán học để phát triển NNTH cho HS
6
Trong dạy học toán, đặc biệt là dạy học hình học 10, cần thông qua hoạt động
toán học (hoạt động nhận dạng thể hiện, hoạt động toán học phức hợp, hoạt động
trí tuệ phổ biến, hoạt động trí tuệ chung, hoạt động ngôn ngữ) để hình thành, rèn
luyện và phát triển NNTH cho học sinh.
2.2 2 Một số biện pháp phát triển NNTH trong hình học 10
Nếu các nguyên tắc trên, có thể còn chưa đủ, nhưng đều là các yêu cầu hướng
vào người học thì các biện pháp thực hiện lại dành chủ yếu cho người dạy như là
người tổ chức quá trình rèn luyện và phát triển ngôn ngữ toán học cho học sinh.
Các biện pháp cụ thể là:
Biện pháp thứ nhất: giáo viên sử dụng ngôn ngữ, kể cả NNTN và NNTH chính
xác và đúng lúc.
Khi diễn đạt nội dung toán học, dẫn dắt để học sinh tiếp cận khái niệm hay
trình bày bài, giáo viên không được tuỳ tiện sử dụng thuật ngữ, kí hiệu.
Biện pháp thứ hai: giáo viên cân đối hợp lí hai phương diện ngữ nghĩa và cú
pháp của NNTH trong quá trình dạy học hình học 10
Cần kết hợp hợp lí hai phương pháp tiếp cận ngữ nghĩa và cú pháp khi nghiên
cứu về NNTH. Tức là, trong quá trình dạy học toán, cần quan tâm một cách ưu
tiên đối với mặt ngữ nghĩa của NNTH và sử dụng cú pháp của NNTH khi cần xác
định thuật toán.
Biện pháp thứ ba: giáo viên tổ chức cho học sinh dùng các hình thức ngôn ngữ
khác nhau trong học tập toán.
Yêu cầu giáo viên tổ chức cho học sinh luyện tập ngôn ngữ toán học thường
xuyên dưới các hình thức khác nhau như bằng lời nói hoặc chữ viết, hơn nữa, cần
thông qua việc huy động nhiều công cụ nghiên cứu hình học (phương pháp
HHTH, vectơ, toạ độ) để phát triển NNTH cho học sinh.
Biện pháp thứ tư: giáo viên bổ sung câu hỏi bài tập, các chỉ dẫn sư phạm có tính
ngôn ngữ (nhưng không thay đổi bản chất nội dung toán học) trong giờ dạy toán.
Thông qua các chỉ dẫn, các câu hỏi có tính ngôn ngữ; người thầy không chỉ

truyền đạt cho học sinh tri thức, cách suy nghĩ mà còn phát triển ở họ khả năng sử
dụng ngôn ngữ toán học. Các câu hỏi, chỉ dẫn cần đảm bảo ba yêu cầu: thích hợp
với học sinh; tính logic, hệ thống; tôn trọng thời gian suy nghĩ của học sinh.
Biện pháp thứ năm: coi trọng việc phiên dịch giữa các hình thức ngôn ngữ.
7
Ngay sau khi dạy học các khái niệm, nhằm củng cố khái niệm và giúp học sinh
có kĩ năng vận dụng kiến thức đó trong giải toán sau này, giáo viên cho học sinh
lập những bảng “từ điển” chuyển đổi giữa các ngôn ngữ HHTH, vectơ, toạ độ.
Làm các bài toán vận dụng các kết quả đó, có dịch xuôi, dịch ngược giữa các
ngôn ngữ, qua đó phát triển NNTH cho học sinh.
Biện pháp thứ sáu: giáo viên tạo các dạng tương tác trong giờ học toán.
Trong giờ học toán, giáo viên cần tạo ra một môi trường hoạt động ngôn ngữ
đa dạng như giữa học sinh với giáo viên, giữa học sinh với học sinh, và giữa học
sinh với chính mình. Qua các hoạt động đó, học sinh sẽ tích luỹ tri thức, rèn luyện
và phát triển ngôn ngữ.
2.3 Phát triển ngôn ngữ trong dạy học vectơ, toạ độ ở hình học 10
2.3.1 Hoạt động ngôn ngữ trong dạy học khái niệm vectơ, toạ độ
a) Dạy học khái niệm vectơ
Hình học lớp 10 cung cấp cho học sinh một khái niệm mới là vectơ, sau đó
trang bị các phép toán về vectơ như tổng của hai vectơ, hiệu của hai vectơ, tích
của vectơ với một số, tích vô hướng của hai vectơ và sử dụng các phép toán đó
vào giải toán. Dạy học khái niệm vectơ cần chú ý một số điểm sau:
- Chú ý ngay từ đầu tới mặt ngữ nghĩa của khái niệm, quan tâm hợp lí tới mặt cú
pháp; bởi đây là những kiến thức mở đầu, rất cơ bản (theo nguyên tắc thứ hai,
biện pháp thứ hai). Trong định nghĩa phép toán, cần cho học sinh thấy phép cộng
hai vectơ, phép trừ hai vectơ và phép nhân vectơ với một số xuất phát từ định
nghĩa có tính chất kiến thiết. Do đó phải chú ý tới bản chất của các kí hiệu, phân
biệt nó với các kí hiệu về phép toán trên tập số.
Ví dụ 1.
Khi dạy học bài: Hiệu của hai vectơ. Khái niệm vectơ đối được xây dựng theo

lý thuyết không gian vectơ:
Nếu tổng của hai vectơ
a
và
b
là vectơ - không, thì ta nói
a
là vectơ
đối của vectơ
b
, hoặc vectơ
b
là vectơ đối của vectơ
a
.
Vectơ đối của vectơ
a
được kí hiệu là -
a
.
8
Cách định nghĩa này thuận lợi cho việc chứng minh mọi vectơ cho trước đều
có vectơ đối, tính duy nhất của vectơ đối, nhưng bước đầu có thể gây khó khăn
cho học sinh trong việc dựng vectơ đối của một vectơ. Đòi hỏi giáo viên phải đưa
ra một quan niệm hình học về vectơ đối qua ví dụ cụ thể, chẳng hạn:
“Cho đoạn thẳng AB thì vectơ đối của vectơ
AB
là vectơ nào?”
hoặc “Nếu O là trung điểm của đoạn thẳng AB thì vectơ đối của vectơ
AO

là
vectơ nào?”
Sau đó, khi định nghĩa hiệu hai vectơ, phân biệt cho học sinh hai dấu “-” đứng
trước vectơ
b
ở hai vế của định nghĩa
a
-
b
=
a
+ (-
b
) có bản chất hoàn toàn
khác nhau. Trong khi dấu “-” ở vế trái chỉ phép trừ hai vectơ, một khái niệm cần
định nghĩa, thì dấu “-” ở vế phải biểu thị phép lấy vectơ đối của một vectơ, một
khái niệm đã biết.
Ví dụ 2.
Sau khi hình thành định nghĩa tích của một vectơ với một số, cho học sinh
rút ra nhận xét sau: 1.
a
=
a
, (- 1).
a
= -
a
Mới nhìn học sinh sẽ ngộ nhận các tính chất trên giống tính chất của phép
nhân hai số thực nên là hiển nhiên, nhưng khi phải chứng minh học sinh thường
rất lúng túng. Đòi hỏi phải hiểu khái niệm mới có câu trả lời.

- Cũng như dạy học các khái niệm khác, cần thông qua các hoạt động ngôn ngữ
để phát triển năng lực nhận thức của học sinh và hơn nữa giáo viên đánh giá đúng
học sinh của mình .
Ví dụ 3.
Khi dạy học tiết 1, 2 bài “Các định nghĩa” sau khi cho học sinh tiếp cận kiến thức,
hình thành định nghĩa; để củng cố định nghĩa chúng ta cho học sinh:
 Phát biểu lại định nghĩa vectơ bằng lời lẽ của mình?
Yêu cầu tối thiểu cần diễn đạt được là: Vectơ
• là đoạn thẳng có hướng;
• có điểm đầu, điểm cuối.
Kí hiệu
AB
(khi biết điểm đầu, điểm cuối)
9
u
B
A
Hình 5

u
(khi không quan tâm đến điểm đầu, điểm cuối).
- Lựa chọn và cung cấp các bài tập có tác dụng rèn luyện, phát triển ngôn ngữ
vectơ cho học sinh.
Ví dụ 4.
Nhằm củng cố các thuật ngữ, kí hiệu về vectơ như “cùng hướng”, “ngược
hướng”, “độ dài vectơ”, có thể cho học sinh làm bài sau .
Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AB, các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a)
AC
và

BC
cùng hướng; b)
AC
và
AB
cùng hướng;
c)
AC
và
BC
ngược hướng; d)
BCAB =
;
e)
BCAC =
; f)
BCAB 2=
.
Ví dụ 5. Nhằm củng cố, kiểm tra khái niệm tích của một vectơ với một số và kĩ
năng chuyển đổi ngôn ngữ của học sinh, giáo viên đưa ra bài toán:
Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó
thẳng hàng là: a)
ACkAB:Rk =∈∃
.
b)
MBMCMA:M =+∀
.
c)
BCABAC +=
.

d)
0=++∀ MCMCMA:M
.
b) Dạy học khái niệm toạ độ
- Nhiệm vụ của dạy học khái niệm toạ độ là cung cấp cho học sinh các biểu
thức toạ độ để biểu thị các sự kiện hình học, chẳng hạn: điều kiện để điểm thuộc
đường thẳng, vị trí tương đối giữa hai đường,… Khi dạy học khái niệm toạ độ ở
hình học 10, ngoài những nguyên tắc và biện pháp nêu trên, còn cần lưu ý một số
điểm sau:
• Chỉ dạy cho học sinh những khái niệm cơ bản nhất;
• Một số kiến thức không đòi hỏi trình bày quá chặt chẽ, chính xác và
chứng minh một cách đầy đủ;
• Về phương pháp giảng dạy: nên dùng nhiều hình vẽ, bảng, biểu để mô tả
rõ ràng và trực quan các đối tượng và sự kiện hình học.
10
Ví dụ 1. Khi dạy học các khái niệm toạ độ cho học sinh, nhằm giúp học sinh hiểu
đúng (mặt ngữ nghĩa) các khái niệm đó, đồng thời phát triển ngôn ngữ toán học,
có thể cho học sinh lập bảng liệt kê một số khái niệm được diễn đạt dưới những
hình thức ngôn ngữ khác nhau. Chẳng hạn:
Ngôn ngữ Hình
học tổng hợp
Ngôn ngữ vectơ Ngôn ngữ toạ độ
Điểm M Điểm M (x; y)
Đoạn thẳng AB, A
là điểm đầu, B là
điểm cuối.
AB
(x; y)
ở đó




−=
−=
AB
AB
yyy
xxx
;(x
A
; y
A
),
(y
A
; y
B
) lần lượt là toạ độ của A,
B.
Đường thẳng AB
Giá của vectơ
AB



−+=
−+=
t)yy(yy
t)xx(xx
ABA

ABA
,(x
A
; y
A
),
(y
A
; y
B
) lần lượt là toạ độ của
A, B. Hoặc ax + by + c = 0
Trung điểm I của
đoạn thẳng AB
hoặc điểm I sao
cho:



=+
=
ABIBIA
IBIA
Điểm I sao cho:

0=+ IBIA
hoặc
)OBOA(OI +=
2
1

,
với O bất kì.






++
22
BABA
yy
;
xx
,
(x
A
; y
A
), (y
A
; y
B
) lần lượt là toạ
độ của A, B.
Trọng tâm G của
ABC∆
hoặc Điểm
đồng quy của ba
đường trung tuyến

của
ABC∆
.

0=++ GCGBGA
hoặc với O bất kì:
)OCOBOA(OG ++=
3
1






++++
33
cBACBA
yyy
;
xxx
(x
A
; y
A
), (y
A
; y
B
), (x

C
; y
C
) lần
lượt là toạ độ của A, B, C.
- Nói đến toạ độ là nói đến biến, nói đến phương trình, hệ phương trình và các
biến đổi đại số, do đó dạy học toạ độ có liên quan đến dạy học phương trình, hệ
phương trình.
Ví dụ 2. Khái niệm đường thẳng có liên quan đến phương trình bậc nhất hai ẩn
11
ax + by + c = 0, toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn



=++
=++
0
0
222
111
cybxa
cybxa
.
2.3.2 Hoạt động ngôn ngữ trong dạy học tính chất vectơ, toạ độ
Những tính chất quan trọng thường được thể hiện dưới dạng định lí. Dạy học
các tính chất toán học là để cung cấp cho học sinh một hệ thống kiến thức cơ bản
của bộ môn, là cơ hội thuận lợi để phát triển ở học sinh khả năng suy luận và
chứng minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ.
Trong dạy học định lý, tính chất, các hoạt động ngôn ngữ thường dùng là giáo

viên cho học sinh phân tích cấu trúc logic, nội dung định lý trong khi củng cố
định lý; qua đó các em được khắc sâu định lý đó. Cao hơn nữa là giáo viên cho
học sinh phát biểu định lý bằng hình thức khác nhằm phát triển năng lực diễn đạt
độc lập ý nghĩ của các em .
Như vậy, các hoạt động ngôn ngữ diễn ra trong dạy học định lí là :
• Học sinh phân tích cấu trúc logic, nội dung định lí;
• Thay đổi hình thức phát biểu định lí.
a) Dạy học tính chất về vectơ
- Các tính chất của vectơ chủ yếu được hình thành từ định nghĩa vectơ và phép
toán về vectơ. Muốn dạy tốt tính chất vectơ trước hết phải dạy tốt các khái niệm,
trên cơ sở khái niệm hình thành tính chất.
Ví dụ 1.
Khi dạy học tính chất của phép cộng vectơ:
1) Tính chất giao hoán:
abb a +=+
;
2) Tính chất kết hợp:
)cb(ac)b a( ++=++
;
3) Tính chất của vectơ - không:
a a =+ 0
.
Chỉ đòi hỏi chúng ta giúp học sinh nắm vững khái niệm tổng của hai vectơ, biết
vẽ vectơ tổng khi có hai vectơ cho trước. Các tính chất được công nhận sau khi
minh hoạ bằng hình vẽ cụ thể. Sau đó, cho học sinh phân tích cấu trúc của tính
12
chất để củng cố, hơn nữa còn rút ra: trong phép toán cộng các vectơ, có thể đổi
chỗ hai hay nhiều vectơ bất kì.
Ví dụ 2.
Trong bài “Tích của một vectơ với một số” khi học định lý biểu thị một vectơ

theo hai vectơ không cùng phương:
Cho hai vectơ không cùng phương
a
và
b
. Khi đó mọi vectơ
x
đều có thể biểu
thị một cách duy nhất qua hai vectơ
a
và
b
, nghĩa là có duy nhất cặp số m và n
sao cho
bnamx +=
.
Sau khi phân tích cấu trúc định lí, học sinh có thể phát biểu định lý trên bằng
ngôn ngữ của mình như sau:
Cho hai vectơ
b ,a
không cùng phương và vectơ
x
bất kỳ, khi đó tồn tại duy nhất
cặp m, n sao cho
bnamx +=
.
Hoặc Trong mặt phẳng, có duy nhất cách biểu diễn một vectơ theo hai vectơ
không cùng phương cho trước.
Hơn nữa, qua hình vẽ minh hoạ (hình 7) giải thích được định lý:
- Các tính chất về vectơ chỉ nhằm mục đích xây dựng phương pháp vectơ sau

này, không nhằm xây dựng tường minh một không gian vectơ. Do đó trong các
chứng minh không cần quá hàn lâm, chỉ cần tăng cường các hình vẽ để học sinh
dùng “trực giác” kiểm tra các tính chất. Quan trọng là phải cho học sinh củng cố,
luyện tập tính chất trong các bài tập.
Ví dụ 3.
13
a
x
x
b
b
a
Hình 7
Trong dạy học các tính chất của phép nhân vectơ với một số, cho học sinh tìm
(hoặc kiểm chứng) tính chất k
bkak)b a( +=+
bằng cách vẽ hình kiểm tra với k
= 2. Sau đó, để khắc sâu tính chất, giáo viên cho học sinh tìm sự giống nhau và
khác nhau của phép nhân vectơ với một số và phép nhân những số đã biết:
k(a + b) = ka + kb k
bkak)b a( +=+
(k+ m)a = ka + ma (k + m)
a
= k
a
+ m
a
k(ma) = (km)a k(m
a
) = (km)

a
k.a =0
⇔
k = 0 hoặc a = 0 k.
a
=
0
⇔
k = 0 hoặc
a
=
0
Giống nhau: hình thức (cú pháp). Khác nhau: nội dung (ngữ nghĩa).
Phép nhân các số là phép toán trong, còn phép nhân vectơ với một số là phép toán
ngoài. Do đó không thể áp dụng luật giản ước của các số đối với vectơ (sau này
học về tích vô hướng của hai vectơ sẽ lí giải được.
Ví dụ 4.
Để luyện tập tính chất trọng tâm G của tam giác ABC:

0=++ GCGBGA
, cho học sinh bài tập: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt
là trọng tâm của các
ABC∆
và
'C'B'A∆
thì
'CC'BB'AA'GG. ++=3
.
b) Dạy học tính chất về toạ độ
- Nói đến toạ độ là nói đến hai biến, nói đến phương trình và hệ phương trình

bậc nhất hai ẩn, do đó dạy học tính chất về toạ độ chính là dạy học những kiến
thức liên quan đến đại số như điều kiện để hệ phương trình có nghiệm, số nghiệm
của một phương trình, hệ phương trình,…
Do toạ độ được xây dựng từ vectơ, các tính chất của toạ độ thường suy ra từ
ngôn ngữ vectơ.
Ví dụ 1.
Khi xây dựng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
chúng ta cho học sinh nhìn khoảng cách giữa
hai điểm M, M
0
dưới hình thức độ dài
vectơ
0
MM
; sử dụng ngôn ngữ toạ độ
14
x
y
O
M
0
M

Hình 9
tính
0
MM
. Việc làm đó chính là rèn
ngôn ngữ toán học cho học sinh.
Ví dụ 2.

Khi dạy học tiết 27, phương trình tổng quát của đường thẳng, chúng ta cho học
sinh lập bảng so sánh cách sử dụng hai ngôn ngữ sau:
Ngôn ngữ hình học tổng hợp Ngôn ngữ toạ độ
Điểm M (x; y)
Điểm M thuộc (nằm trên) đường
thẳng
∆

Toạ độ (x;y) của M nghiệm đúng
phương trình đường thẳng
∆

M là giao điểm của hai đường thẳng
∆
1
và
∆
2
Toạ độ (x;y) của M là nghiệm của hệ
hai phương trình hai đường thẳng
∆
1
và
∆
2
Nhờ vậy, ở các bài học sau học sinh hoàn toàn có thể xác lập được những kết
quả tương tự khi nghiên cứu đường tròn, đường elip,…
2.3.3 Hình thành phương pháp véc tơ, phương pháp tọa độ, trong giải
toán hình học 10 theo hướng tiếp cận ngôn ngữ toán học
ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể

xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Một biểu hiện của
việc thành thạo ngôn ngữ toán học ở học sinh là khả năng trình bày lời giải một bài
toán. Ba yêu cầu chủ yếu của lời giải một bài toán là lời giải không có sai lầm, lập
luận có căn cứ chính xác, lời giải đầy đủ, hơn nữa lời giải đó phải được trình bày ngắn
gọn, sáng sủa, mạch lạc và sử dụng hợp lý các ký hiệu toán học.
2.3.3.1. Hình thành phương pháp véc tơ trong giải toán hình học 10.
Khi có công cụ vectơ, khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học của học sinh đã
được phát triển thêm một bước. Học sinh không chỉ làm các phép toán trên vectơ,
mà còn diễn tả nhiều sự kiện hình học đã biết dưới hình thức ngôn ngữ vectơ
thông qua phương pháp giải toán mới: phương pháp vectơ. Để góp phần nâng cao
hiệu quả dạy học, hình thành phương pháp vectơ cho học sinh, chúng ta cần xác
định hai khâu mấu chốt để giải một bài toán bằng phương pháp vectơ, đó là:
15
- Chuyển bài toán sang ngôn ngữ vectơ.
- Phân tích một vectơ thành một tổ hợp vectơ.
Muốn thực hiện tốt hai khâu trên, cần rèn cho học sinh kỹ năng chuyển tương
đương (hay phiên dịch) những quan hệ hình học từ cách nói thông thường (hình
học tổng hợp) sang dạng vectơ để có thể vận dụng công cụ vectơ trong giải toán
có thể thực hiện theo 3 bước:
Bước 1. Chuyển bài toán hình học ban đầu sang ngôn ngữ vectơ; bằng cách
lựa chọn một số vectơ gọi là “hệ vectơ gốc”, “phiên dịch” các giả thiết, kết luận
của bài toán hình học đã cho ra ngôn ngữ vectơ.
Bước 2. Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các
phép biến đổi các hệ thức vectơ theo “hệ vectơ gốc”.
Bước 3. Chuyển các kết luận vectơ sang các tính chất hình học tương ứng.
Ví dụ 1.
Để chuẩn bị các yếu tố cần thiết cho quy trình (các bước 1, 2) giải toán bằng phương
pháp véc tơ, giáo viên cho học sinh làm một số dạng toán chuẩn bị. Chẳng hạn, sau khi
học bài “Tổng của hai vectơ” với quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và bài “Hiệu
của hai vectơ” với quy tắc về hiệu vectơ, chúng ta cho học sinh làm một số bài tập đòi

hỏi thay tổng đại số của nhiều vectơ bởi một số vectơ, thay một vectơ bởi tổng đại số
của nhiều vectơ hoặc chứng minh đẳng thức vectơ:
a) Tính tổng
1)
DECDBCAB +++
biết A, B, C, D, E bất kì
2)
MNDKKFAD +++

b) Đơn giản biểu thức
1)
MPEPEKMPADONOM −−+++−
2)
BMAPPMBCAC +−−−
c) Biểu diễn vectơ
AB
dưới dạng tổng đại số của các vectơ sau:
1)
BD,DC,AC
2)
BC,CD,DA
d) Chứng minh
16
1)
PNMQPQMN +=+
với M, N, P, Q bất kỳ.
2)
CDBFAECFBEAD ++=++
với A, B, C, D, E, F bất kỳ.
Ví dụ 2.

Để chuẩn bị cho bước 1: phiên dịch các giả thiết, kết luận sang ngôn ngữ vectơ,
ngay trong mỗi bài học chúng ta cho học sinh làm các bài tập nhằm thành lập “từ
điển vectơ”. ở đó, mỗi “từ” của “từ điển” biểu diễn mối liên hệ giữa các sự kiện hình
học và các hệ thức vectơ. Các “từ ” đó phải được hình thành một cách chặt chẽ, có
cả điều kiện cần và đủ. Chẳng hạn, khi hình thành “từ” trung điểm của đoạn thẳng
trong “từ điển” đó, ta cho học sinh làm hai bài toán sau (chỉ sử dụng những kiến thức
hình học tổng hợp, kiến thức vectơ đã biết để chứng minh):
a) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, chứng minh rằng :

0=+ OBOA

b) Cho đoạn thẳng AB, và điểm O thoả mãn đẳng thức
0=+ OBOA
.
Chứng minh rằng O là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Qua đó rút ra mệnh đề: “Điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm của
đoạn thẳng AB là
0=+ OBOA
”, nghĩa là “O là trung điểm của đoạn thẳng AB”
đã “dịch” thành “O:
0=+ OBOA
” trong ngôn ngữ vectơ.
Cuối cùng, từ hệ thống bài tập đó, hình thành một cuốn “từ điển” để phiên
dịch giữa ngôn ngữ vectơ và ngôn ngữ hình học tổng hợp. Có thể kể ra một số
kết quả thường dùng sau:
Ngôn ngữ hình học tổng hợp Ngôn ngữ vectơ
Ba điểm A, B, C thẳng hàng
•
ACkAB =
hay

•
BCkAC =
… hoặc
•
OBmOAkOC +=
,
ở đó O tuỳ ý và k + m =1
Hai điểm B, C trùng nhau
•
ACAB =
với A bất kỳ.
•
0=BC
Hai đường thẳng song song,

CDkAB =
17
AB // CD
M chia AB theo tỉ số k, k
≠
0, -1.
MBkMA
=
M là trung điểm đoạn AB
0=+ MBMA
AM là trung tuyến của tam giác ABC
AMACAB 2=+
G là trọng tâm tam giác ABC
•
0=++ GCGBGA

•
OGOCOBOA 3=++
, O bất kỳ
Hai đường thẳng vuông góc,
AB
⊥
CD

0=CD.AB

Ví dụ 3.
Để học sinh dễ dàng thực hiện bước 2, chúng ta cho các em làm các bài tập đòi
hỏi phân tích một vectơ theo một hệ vectơ. Qua các bài tập cụ thể đó các em vừa
được luyện tập kiến thức cũ, vừa chuẩn bị cho quy trình giải toán sau này và hơn
nữa là rèn luyện, phát triển ngôn ngữ vectơ. Chẳng hạn cho học sinh bài toán:
Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích
AM
theo hai vectơ
ACv ,ABu ==
.
Bài toán có 2 cách giải, mỗi cách có ưu điểm riêng:
Cách 1. (Không cần hình vẽ)
Theo giả thiết ta có
BCBM
3
2
=
, áp dụng quy tắc ba điểm:

BMABAM +=

=
BCAB
3
2
+
=
)ABAC(AB −+
3
2
=
ACAB
3
2
3
1
+
Vậy
=AM
ACAB
3
2
3
1
+

vu
3
2
3
1

+=
.
Cách 2. (Có sử dụng hình vẽ)
Kẻ ME // AC, MF // AB (hình 10),
ta có
AFAEAM +=
.
Theo định lí Ta-let AE =
3
1
AB,
18
F
E
u
v
M
C
B
A
Hình 10
AF =
3
2
AC.
Do đó
vACAF ,uABAE
3
2
3

2
3
1
3
1
====
.
Vậy
=AM
vu
3
2
3
1
+
.
Ví dụ 4.
Sau hệ thống bài tập chuẩn bị của giai đoạn 1, giáo viên tiếp tục cung cấp một
số dạng toán giải bằng phương pháp véc tơ, được trình bày theo quy trình ba
bước. Nhấn mạnh tính ưu việt của phương pháp này so với các phương pháp đã
biết trước đó. Chẳng hạn, với bài toán:
Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,
DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.
Chúng ta cần hướng dẫn để học sinh sử dụng được “từ” hai điểm trùng nhau của
ngôn ngữ vectơ:
Sau đó yêu cầu học sinh trình bày bài toán theo tinh thần 3 bước để khắc
sâu phương pháp này:
• Gọi G
1
; G

2
lần lượt là trọng tâm của tam
giác ANP và CMQ và O là một điểm tuỳ ý.
Khi đó ta có



=++
=++
2
1
3
3
OGOQOMOC
OGOPONOA
(1)
• Mặt khác

)ODOC()OCOB(OAOPONOA ++++=++
2
1
2
1

)ODOB(OCOA +++=
2
1
(2)

)ODOA()OBOA(OCOQOMOC ++++=++

2
1
2
1
19
Ch ng minh hai i m ứ đ ể A
1
; A
2
trùng nhau, t ng ng ch ngươ đươ ứ
minh

0
21
=
AA
ho c ặ
21
OAOA
=
v i ớ O l i m tu ý.à đ ể ỳ
Q
C
P
B
N
A
M
D
Hình 11

)ODOB(OAOC +++=
2
1
(3)
Từ (1), (2), (3)
⇒

21
OGOG =
.
• Vậy
21
GG ≡
. 
Với hệ thống bài tập hợp lý, học sinh sẽ dễ dàng hơn khi học về vectơ và giải
toán bằng phương pháp vectơ, nghiên cứu hình học không gian sau này.
2.3.3.2. Hình thành phương pháp toạ độ trong giải toán hình học 10
Với học sinh lớp 10, yêu cầu cần đạt được sau khi học hình học là :
• Biết các phương pháp để lập phương trình đường thẳng, đường tròn và ba
đường conic khi biết các yếu tố xác định mỗi đường.
• Từ phương trình các đường, thấy được các tính chất và quan hệ giữa các đường.
• Lập được phương trình tiếp tuyến cho đường tròn và ba đường conic cùng với
việc chứng minh được các tính chất của nó.
• Nhớ và vận dụng được biểu thức toạ độ để biểu thị một cách chính xác các sự kiện hình
học, chẳng hạn: điều kiện để điểm thuộc đường, vị trí tương đối của các đường.
Nghĩa là, khi có mặt phẳng toạ độ, mỗi vectơ, mỗi điểm, đường thẳng, đường
tròn, đường conic và tính chất, quan hệ đơn giản giữa các hình đó đều đã diễn đạt
bằng toạ độ. Học sinh chỉ phải làm việc, tính toán trên các kí hiệu của đại số:
biến, nghiệm, phương trình,…

Hơn nữa, phương pháp toạ độ ở hình học 10 chỉ nghiên cứu các đối tượng hình
học trên mặt phẳng như đường thẳng, đường tròn, ba đường conic, nhưng lại
được áp dụng nhiều trong giải toán hình học không gian ở lớp 12. Do đó, dạy để
học sinh thành thạo phương pháp toạ độ là rất cần thiết.
Phương pháp toạ độ được thực hiện theo một quy trình 3 bước:
Bước 1. Chọn hệ toạ độ thích hợp, phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ toạ độ;
Bước 2. Dùng các kiến thức về toạ độ để giải bài toán;
Bước 3. Phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học
tổng hợp.
20
Với học sinh lớp 10, các bài toán khi đưa ra đều đã ngầm chọn hệ toạ độ là hệ
toạ độ Đềcác vuông góc, nên trong bước 1 học sinh thường không phải chọn hệ
toạ độ nữa. Do yêu cầu của đề bài nên bước 3 cũng ít khi phải làm.
Để cụ thể hoá nội dung trên, tôi đưa ra một số ví dụ, có phân tích theo các biện
pháp sử dụng, nhằm dạy học phương pháp toạ độ cho học sinh. Các ví dụ thường
chỉ sử dụng bước 1, 2.
Bước 1. Dịch những sự kiện hình học sang ngôn ngữ toạ độ. Chẳng hạn, “điểm
nằm trên đường thẳng” nghĩa là “toạ độ của điểm thoả mãn phương trình
đường thẳng”, hoặc “điểm M(x; y) cách I(a; b) một khoảng R” nghĩa là “MI =
R)by()ax( =−+−
22
”, hay “elip” là “tập hợp các điểm thoả mãn phương
trình
1
2
2
2
2
=+
b

y
a
x
với a > b > 0”,…
Bước 2. Khi bài toán đã chuyển sang ngôn ngữ toạ độ, sử dụng những kết quả của
bước 1, tính toán bằng công cụ đại số để tìm đáp số của bài toán.
Trong bước 1, có thể cho học sinh vẽ phác hoạ các đường, có sử dụng những yếu
tố của đề bài để hỗ trợ.
Ví dụ 1.
Lập phương trình tham số của đường thẳng
∆
trong các trường hợp sau:
a)
∆
đi qua hai điểm A(1; - 4) và B(-3; 5).
b)
∆
đi qua điểm M(1; -2) và có vectơ pháp tuyến
);(n 34 −
.
c)
∆
đi qua điểm M(3; -5) và có hệ số góc k = -3.
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ theo 2 bước:
• Bước 1. Phương trình tham số của đường thẳng:



+=
+=

tuyy
tuxx
20
10
,
ở đó (x
0
; y
0
) là toạ độ một điểm thuộc đường thẳng,
(u
1
; u
2
) là toạ độ vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Riêng ý c) còn phải chuyển giả thiết “hệ số góc k = -3” thành “phương trình
đường thẳng có dạng y = - 3x + a”.
• Bước 2. Tìm (x
0
; y
0
), (u
1
; u
2
) từ giả thiết?
21
Giải
a) Đường thẳng
∆

đi qua A(1; - 4) và B(-3; 5) nên
nhận
) ;(AB 94−=
làm vectơ chỉ phương
đi qua hai điểm A(1; - 4).
Phương trình tham số của đường thẳng là:



+−=
−=
ty
tx
94
41
b) Từ giả thiết có đường thẳng
∆
nhận
) ;(u 43
làm vectơ chỉ phương
đi qua điểm M(1; -2).
Phương trình tham số của đường thẳng là:



+−=
+=
ty
t x
42

31
c) Đường thẳng
∆
có hệ số góc k = -3 nên phương trình đường thẳng có dạng
y = - 3x + a, do đó
∆
có vectơ chỉ phương
)3- ;(u 1
.
hơn nữa
∆
đi qua điểm M(3; -5) (giả thiết).
Do đó phương trình tham số của
∆
là:



−−=
+=
ty
t x
35
3
Sau đó, cho học sinh so sánh với những hiểu biết trước đây về đường thẳng để
tìm thấy sự tương đồng: giống như trong hình học tổng hợp, bằng công cụ toạ độ
ta cũng có kết luận đường thẳng hoàn toàn xác định (viết được phương trình) khi
biết hai yếu tố:
• Một điểm thuộc đường thẳng và phương (cụ thể là vectơ chỉ phương);
• Một điểm thuộc đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng;

• Hai điểm thuộc đường thẳng.
Ví dụ 2.
Cho hai đường thẳng m và n lần lượt có phương trình tổng quát là
(m): 2x - y - 5 = 0
(n): x - 3y - 10 = 0
Tìm giao điểm của m và n.
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ
• Bước 1. Giao điểm của hai đường thẳng có toạ độ nghiệm đúng (m), (n).
22
Tìm giao điểm của (m), (n) là tìm (x; y) nghiệm đúng



=−−
=−−
0103
052
yx
yx
.
• Bước 2. Giải hệ, tìm (x; y).
Giải.
Toạ độ giao điểm M (x; y) của hai đường thẳng (m) và (n) là nghiệm của hệ
phương trình:



=−−
=−−
0103

052
yx
yx

⇔




−=
=
3
1
y
x
Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M(1; -3)
Ví dụ 3.
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm M(2; 5) và N(5; 1). Lập phương trình
đường thẳng đi qua điểm M sao cho khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng đó
bằng 3.
Giáo viên dẫn dắt để học sinh suy nghĩ theo 2 bước:
• Bước 1. Đường thẳng
∆
cần lập có phương trình ax + by + c = 0 (*).
(đã cân nhắc đến yếu tố khoảng cách trong đề bài)

∆
đi qua M nghĩa là toạ độ của M thoả mãn phương trình (*).
Khoảng cách từ N đến đường thẳng bằng 3 nghĩa là:
d(N,

∆
) =
22
ba
cbyax
NN
+
++
.
• Bước 2. Tìm a, b, c từ hệ phương trình thu được.
Với bài trên, để giảm số biến phải tìm, nên xuất phát từ phương trình với hệ số
góc k.
Giải
Trước hết ta thấy ngay, trong hệ toạ độ đó đường thẳng x = 2 thoả mãn điều
kiện đề bài.
Ta đi tìm phương trình đường thẳng
∆

đi qua M(2; 5) có hệ số góc k:
y = k(x - 2) + 5
⇔
kx - y - 2k + 5 = 0.
Ta có :
23

y
x
x = 2
M(2; 5)
N(5; 1)

O
5
5
Hình 12
d(N,
∆
) =
1
43
1
5215
22
+
+
=
+
+−−
k
k
k
kk
= 3
⇔

9
1
43
2
2
=

+
+
k
)k(
⇔
4
27
−=k
.
Do đó đường thẳng
∆
có phương trình là 7x + 24y - 134 = 0.
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn đề bài là x = 2 và 7x + 24y - 134 = 0.
Ví dụ 4.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho
ABC∆
, biết A(- 6 ; -3), B(- 4 ; 3), C(9; 2). Viết
phương trình đường thẳng d chứa phân giác của góc BAC.
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ theo 2 bước:
• Bước 1. Phương trình phân giác của góc giữa các đường thẳng AB, AC có
dạng:
2
2
2
2
222
2
1
2
1

111
ba
cybxa
ba
cybxa
+
++
±=
+
++
, ở đó a
1
x + b
1
y + c
1
= 0,
a
2
x + b
2
y + c
2
= 0 lần lượt là phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, AC.
Đường thẳng AB, AC tương ứng có phương trình như thế nào?
B, C nằm về hai phía của phân giác cần tìm tương ứng với kết luận nào?
• Bước 2. Các kết quả trên thu được một hệ, kết hợp lại sẽ có đáp số.
Cũng có thể tìm d bằng cách lập phương trình đường thẳng qua A, có vectơ
chỉ phương là vectơ tổng của hai vectơ đơn vị cùng hướng với
AC,AB

.
Giải
Đường thẳng AB có phương trình tổng quát là:
6
3
2
6 +
=
+ yx

⇔
3x - y + 15 = 0
Đường thẳng AC có phương trình tổng quát là:
5
3
15
6 +
=
+ yx

⇔
x - 3y - 3 = 0
Do đó hai đường phân giác trong và ngoài của góc A có phương trình là:
3x - y + 15 =
±
(x - 3y - 3)
Tức hai đường thẳng d
1
: x + y + 9 = 0 (lấy dấu + ở vế phải)
d

2
: x - y + 3 = 0 (lấy dấu - ở vế phải)
24
Để tìm phương trình phân giác
trong của góc A, ta thay toạ độ của
B và C vào phương trình d
1
, thấy B,
C nằm cùng phía đối với d
1
.
Chứng tỏ d
2
là đường thẳng cần tìm.
Vậy phương trình đường thẳng
cần tìm là: x - y + 3 = 0.
Ví dụ 5.
Cho hai đường thẳng
∆
1
: x + 2y - 3 = 0,

∆
2
: 3x - y + 2 = 0.
Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm P(3; 1) và cắt
∆
1

,
∆
2
lần lượt
ở A, B sao cho
∆
tạo với
∆
1
,
∆
2
một tam giác cân có cạnh đáy là AB.
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ:
• Bước 1.
∆
có phương trình ax + by + c = 0.

∆
đi qua điểm P(3; 1) nên 3a + b + c = 0 (*).
Phân giác l của góc tạo bởi
∆
1
,
∆
2
có phương trình a’x + b’y + c’ = 0
(a’, b’, c’ tính được từ giả thiết)
∆
cắt

∆
1
,
∆
2
lần lượt ở A, B sao cho
∆
tạo với
∆
1
,
∆
2
một tam giác
cân có cạnh đáy là AB nên
∆
vuông góc với l
⇒
aa’ + bb’ = 0 (**)
• Bước 2. Giải hệ (*), (**) tìm a, b, c.
Giải
Vì
∆
tạo với
∆
1
,
∆
2
một tam giác

cân có cạnh đáy là AB nên
∆
vuông góc
với phân giác của góc tạo bởi
∆
1
,
∆
2
.
Phân giác của góc tạo bởi
∆
1
,
∆
2
có
phương trình là:
10
23
5
32 +−
=
−− yxyx
hay l
1
:
022312232 =−−++− y)(x)(
l
2

:
022312232 =+−−++ y)(x)(
.
25
d
C(9; 2)
B(- 4; 3)
A(-6;-3)
Hình 13
2
B
2
A
2
B
1
A
1
P
l
1
l
2
1
Hình 14