Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức_SKKN toán THPT

SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Có thể nói rằng bài toán bất đằng thức nói chung và bài toán tìm GTNN,
GTLN nói riêng là một trong nhưng bài toán được quan tâm đến nhiều ở các kỳ
thi học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,…và đặc biệt hơn nữa là với xu hướng ra
đề chung của Bộ GD – ĐT. Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học thì bài toán bất
đẳng thức là bài toán khó nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một số bất
đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn gặp nhiều khó khăn
do một số sai lầm do thói quen. Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên
cứu tôi thấy đây là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các
em học sinh khá giỏi Để giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài toán cực trị đặc biệt
là các trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tôi viết chuyên đề “Kỹ thuật chọn điểm
rơi trong bất đẳng thức”, để viết sáng kiến kinh nghiệm và trao đổi với đồng
nghiệp.
Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, nhằm giúp
các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra
một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền
tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu. Được sự động viên, giúp đỡ của các
thầy trong hội đồng bộ môn Toán của sở GD, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp trong
tổ Toán – Tin học trường THPT hàm Rồng . Tôi đã mạnh dạn viết chuyên đề
“K thu t ch n i m r i ỹ ậ ọ đ ể ơ trong bất đẳng thức”.
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

1. Thuận lợi

- Kiến thức đã được học, các bài tập đã được luyện tập .
- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự
học và yêu thích môn học.
- Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên đề.
- Được sự động viên của BGH, nhận được động viên và đóng góp ý kiến
cuả đồng nghiệp.

Giáo viên: Lê Thị Thủy
1
SKKN: K THUT CHN IM RI TRONG BT NG THC
2. Khú khn
- Giỏo viờn mt nhiu thi gian chun b cỏc dng bi tp
- a sụ hoc sinh yờu bt ng thc bi toỏn tỡm GTNN, GTLN .
3. S liu thng kờ
Trong cỏc nm trc, khi gp bi toỏn liờn quan n bt ng thc bi toỏn
tỡm GTNN, GTLN s lng hc sinh bit vn dng c th hin qua bng sau:
III. NI DUNG CHUYấN
1. C s lý lun
Cung cp cho hc sinh khụng ch kiờn thc m c phng phỏp suy lun, kh
nng t duy. T nhng kiờn thc c bn phi dn dt hoc sinh co c nhng kiờn
thc nõng cao mt cỏch t nhiờn (ch khụng ỏp t ngay kiờn thc nõng cao).
2. Nụi dung
2.1 BI TON M U
Bi toỏn 1. Cho
, 0
1
a b
a b
>


+

, tỡm GTNN ca
2 2
1 1
2

1
P
ab
a b
= +
+ +
Gii
Li gii 1. Ta cú:
2 2 2 2 2
1 1 4 4 4
2
2 2
1 2 1 ( ) 1
P
ab
a b a ab b a b
= + = =
+ + + + + + +
Du = xy ra
2 2 2
1 2 ( ) 1 0
(voõ nghieọm)
1 1
a b ab a b
a b a b

+ + = + =

+ = + =


. Vy khụng
tn ti
Min ? ?P
Li gii 2. Ta cú:
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 4 1
6 3 3 3
1 6 1 ( ) 1 4
P
ab ab ab ab
a b a ab b a b ab
= + + + = +
+ + + + + + + +
Giỏo viờn: Lờ Th Thy
Khụng
nhn
bit
c
Nhn bit,
nhng khụng
bit vn dng
Nhn bit v
bit vn
dng ,cha gii
c hon
chnh
Nhn bit v

bit vn dng ,
gii c bi
hon chnh
S lng 60 20 9 1
T l ( %) 66,7 22,2 9,9 1.1
2
SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
Mặt khác
2
1
2 4
a b
ab
+
 
≤ =
 ÷
 
. Vậy
2 2
4 1 8
3
2 6
2 2
P
a b a b
≥ + ≥
+ +
   
+

 ÷  ÷
   
Dấu “=” xảy ra
2 2
1 3
1
2
1
a b ab
a b a b
a b

+ + =

⇔ = ⇔ = =


+ =

.
Lời bình: Bài toán 1 áp dụng bất đẳng thức
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
. Lời giải 1 tại sao sai?
Lời giải 2 tại sao lại tách
1 1 1
2 6 3ab ab ab
= +

? ? Làm sao nhận biết được điều đó…?
Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua chuyên đề
này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các
bài toán cực trị.
2.1 PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy
Bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức quen thuộc và có ứng dụng rất rộng
rãi. Đây là bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là công cụ
hoàn hảo cho việc chứng minh các bất đẳng thức.
* Bất đẳng thức Cauchy
Cho
n
số thực không âm
1 2
, , , ( 2)
n
a a a n ≥
ta luôn có:
1 2
1 2

n
n
n
a a a
a a a
n
+ + +
≥
L

. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 2 n
a a a= = =L
.
* Một vài hệ quả quan trọng:
+
2
1 2
1 2
1 1 1
( ) vôùi 0, 1,
n i
n
a a a n a i n
a a a
 
+ + + + + + ≥ ∀ > =
 ÷
 
L L
+
2
1 2 1 2
1 1 1
vôùi 0, 1,
i
n n
n
a i n
a a a a a a

+ + + ≥ ∀ > =
+ + +
L
L
+ Cho
2n
số dương (
, 2n Z n∈ ≥
):
1 2 1 2
, , , , , , ,
n n
a a a b b b
ta có:

1 1 2 2 1 2 1 2
( )( ) ( )
n n n
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≥ +
Trong chứng minh bất đẳng thức, đôi khi việc ghép và sử dụng các bất đẳng
thức cơ sở không được thuận lợi và dễ dàng. Khi sử dụng liên tiếp nhiều bất
đẳng thức ta phải chú ý tới điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để điều kiện này
luôn được thỏa mãn suốt quá trình ta sử dụng bất đẳng thức trung gian. Và bất
Giáo viên: Lê Thị Thủy
3
SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
đẳng thức Cauchy là một trong những bất đẳng thức đó. Để thấy được kĩ thuật
này như thế nào ta sẽ đi vào một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho a

≥
3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a+
a
1
Phân tích và tìm tòi lời giải
Xét bảng biến thiên của a,
a
1
và S để dự đoán Min S
a 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …. 30
a
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
1
10
1
11
1

12
1
….
30
1
S
3
3
1
4
4
1
5
5
1
6
6
1
7
7
1
8
8
1
9
9
1
10
10
1

11
11
1
12
12
1
….
30
30
1
Nhìn lại bảng biến thiên ta thấy khi a tăng thì S càng lớn và từ đó dẵn đến
việc dự đoán khi a=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất.Để dễ hiểu và tạo sự ấn tượng ta
sẽ nói rằng Min S=
3
10
đạt tại “Điểm rơi : a=3”.
Do bất đẳng thức côsi chỉ xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia
phải bằng nhau ,nên tại “Điểm rơi:a=3”ta không thể sử dụng bất đẳng thức côsi
trực tiếp cho 2 số a và
a
1
vì 3
≠
3
1
. Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất đẳng thức
côsi cho cặp số







a
a 1
,
α
sao cho tại “điểm rơi:a=3”thì
a
a 1
=
α
tức là ta có lược đồ
“điểm rơi” sau đây:
Sơ đồ:
a=3
⇒
9
3
3
1
3
11
3
=⇒=⇒








=
=
α
α
αα
a
a

Từ đó ta biến đổi theo sơ đồ “Điểm rơi”được nêu trên.
Lời giải: S=a+
a
1
=



+



a
a 1
9
+
9
8a
≥
2.

a
a 1
9
⋅
+
9
38⋅
=
3
10
Vậy với a=3 thì Min S=
3
10
Ví dụ 2: Cho a
≥
6.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a
2
+
a
18
Sơ đồ điểm rơi :
a=6
⇒









=
=
6
18
36
6
18
2
a
a
α

⇒







=
=
αα
α
36
36
6
18
2

a

⇒
6
1818
=
a
62=⇒
α
Giáo viên: Lê Thị Thủy
4
SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
Lời giải: S=a
2
+
a
18
=



+



a
a 18
62
2
+









−
62
1
1
a
2

≥
2.
a
a 18
62
2
⋅
+









−
62
1
1
a
2
=6.
6
aa
+
2
62
1
1 a








−
≥
6.
2
6.
62
1

1
6
66








−+
=36 +3
6
Vậy với a=6 thì Min S=2a+3.
6
Ví dụ 3: Cho
, 0
1
a b
a b
>


+ ≤

, tìm GTNN của biểu thức
2 2
1 1
4P ab

ab
a b
= + +
+
.
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có :
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 4 1
4 4 4
2 2 2 2
2 ( )
P ab ab ab
ab ab ab ab
a b a b ab a b
 
= + + + ≥ + + = + +
 ÷
+ + + +
 
.
Mặt khác
1 1
4 2 .4 2 2
2 2
ab ab
ab ab
+ ≥ =
. Vậy
4 2 2P ≥ +

nên
2(2 2)MinP = +
Sai lầm 2:
2 2 2
1 1 1 1 4 1 1 1 1
4 2 4 . 4 2 6
4 4 2 4 4 4
( )
P ab ab
ab ab ab ab ab ab ab
a b a b
 
= + + + + ≥ + ≥ + + = +
 ÷
+ +
 
Dấu bằng xảy ra
2 2
2 2
2
1 1
16 2
1
a b ab
a b a b
a b

+ =



⇔ = ⇔ = =


+ =


. Thay
1
2
a b= =
vào ta được
7P
≥

7MinP
⇒ =
khi
1
2
a b= =
.
Nguyên nhân sai lầm:
Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách
1 1 1
2 2ab ab ab
= +
là
do thói quen để làm xuất hiện
2 2 2
2 ( )a b ab a b+ + = +

.
1
4 2 2 4
2
1
a b
MinP ab VN
ab
a b
=



= + ⇔ = ⇒


+ =


. Dấu “=” bất đẳng thức không xảy ra
⇒

không kết luận được
4 2 2MinP = +
Giáo viên: Lê Thị Thủy
5
SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi
1
2

a b= =
nên đã tách các số hạng và
7MinP
=
khi
1
2
a b= =
là đúng, nhưng
bước cuối học sinh làm sai.
Ví dụ như
2
(1 )x x x− + ≥
, dấu bằng xảy ra khi
1x
=
2
( 1) 1??Min x x
 
⇒ − + =
 
.
Lời giải đúng:
Do P là biểu thức đối xứng với
,a b
, ta dự đoán
MinP
đạt tại
1
2

a b= =
, ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1 4 1 1
4 2 4 . 7
2 4 4 2
( )
4
2
P ab ab
ab ab ab ab
a b a b
a b
 
= + + + + ≥ + + ≥
 ÷
+ +
 
+
 
 ÷
 
Dấu bằng xảy ra
2 2
2 2
2
1 1
16 2
1
a b ab

a b a b
a b

+ =


⇔ = ⇔ = =


+ =


.
Ví dụ 4: Cho
, 0
1
a b
a b
>


+ ≤

, tìm GTNN của biểu thức
3 3 2 2
1 1 1
S
a b a b ab
= + +
+

.
Sai lầm thường gặp:
Ta có:
3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2
1 1 1 2 2 9 2 1 1
3
3 3 3 3 3 3
S
a b a b ab a b ab a b a b ab a b ab
 
= + + + + ≥ + +
 ÷
+ + + +
 

3 2
9 2 1 1 1 2 4 59
. 9 .
3 3
( )
3.
2
ab a b a b
a b
a b
 
= + + ≥ + ≥
 
+
+

 
+
 
 ÷
 
59
3
MinS =
Nguyên nhân sai lầm:
3 3 2
3
59
( )
3
1
a b a b
MinS a b vn
a b

+ =

= ⇔ =


+ =

Lời giải đúng:
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi
1
2

a b= =
, và ta thấy:
3 3 2 2 3
3 3 ( )a b a b ab a b+ + + = +
vì thế ta muốn xuất hiện
3
( )a b+
, ta áp dụng bất
đẳng thức
3 3 2 2
1 1 1
2 2a b a b ab
+ +
+
và nếu vậy:

3 3 2 2 3
1 1 1 9
2 2 ( ) ( )a b a b ab a b ab a b
+ + ≥
+ + − +
Giáo viên: Lê Thị Thủy
6
SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
Ta không đánh giá tiếp được cho nên ta phải áp dụng bất đẳng thức cho 5 số:
3 3 2 2 2 2 3 3
3
1 1 1 1 1 25 25
20
2 2 2 2 ( ) ( ) ( )

( )
4
S
a b a b ab a b ab a b ab a b a b
a b
= + + + + ≥ ≥ ≥
+ + + + +
+ +
Dấu bằng xảy ra khi
1
2
a b= =
.
2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Bunhia
Cũng như bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức này cũng cần có một
phương pháp để cân bằng các hệ số khi ta giải các bài toán liên quan đến bất
đẳng thức này.
* Bất đẳng thức Bunhia
Cho
2n
số dương (
, 2n Z n∈ ≥
):
1 2 1 2
, , , , , , ,
n n
a a a b b b
ta có:
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2

( ) ( )( )
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +L L L
Dấu “=’ xảy ra
1 2
1 2
(quy öôùc neáu 0 0)
n
i i
n
a
a a
b a
b b b
⇔ = = = = ⇒ =L
* Một vài hệ quả quan trọng
Dạng 1:
( )
( ) ( )
2
2211
22
2
2
1
22
2
2
1

nnnn
babababbbaaa +++≥+++++
Dạng 2:
( ) ( )
nnnn
babababbbaaa
2211
22
2
2
1
22
2
2
1
+≥++⋅+++
Dạng 3:
( ) ( )
nnnn
babababbbaaa +++≥+++⋅+++
2211
22
2
2
1
22
2
2
1
Dấu bằng: Dạng 1, dạng 2

n
n
b
a
b
a
b
a
===⇔
2
2
1
1
;dạng 3
0
2
2
1
1
≥===⇔
n
n
b
a
b
a
b
a
Ví dụ 1:Cho




≥++
>
6
0,,
cba
cba
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S=
2
2
2
2
2
2
111
a
c
c
b
b
a +++++
Phân tích và tìm tòi lời giải:Xét dang đặc biệt với n=2:
( )
2211
2
2
2
1

2
2
2
1
][ bababbaa +≥++
Dấu bằng xẩy ra
0
2
2
1
1
≥=⇔
b
a
b
a
Ý nghĩa: chuyển đổi một biểu thức ở trong căn thành một biểu thức khác ở ngoài
căn. Xét đánh giá giả định với các số α, β
Giáo viên: Lê Thị Thủy
7
SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
( )






+
+

≥+














+
+
=+
b
a
b
a
b
a
β
α
βα
βα
βα
22

22
2
2
22
2
2
1111
(1)
+
( )






+
+
≥+















+
+
=+
a
b
c
b
c
b
β
α
βα
βα
βα
22
22
2
2
2
22
2
2
1111
(2)
( )







+
+
≥+












+
+
=+
a
c
a
c
a
c
β
α

βα
βα
βα
22
222
22
2
2
1111
(3)
⇒
0
22
111
)(
1
S
cba
cbaS =













+++++
+
≥
βα
βα
Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán S=S
o
tại điểm rơi
a=b=c=2, khi đó tất cả các bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thơi xảy ra dấu bằng
tức là ta có sơ đồ điểm rơi sau:
bb
a
β
1
=
Sơ đồ: a=b=c=2 ⇒
c
b
βα
1
=

⇔

1
4
111
====
a

c
c
b
b
a
β
α

⇒

a
c
βα
1
=
Kết hợp với biến đổi theo “kỹ thuật điểm rơi trong cối ” ta có lời giải sau:
Lời giải đúng:






+≥+







+=+
b
a
b
a
b
a
1
4
17
1
)14(
1
17
11
22
2
2
2
2
+






+≥+







+=+
c
b
c
b
c
b
1
4
17
1
)14(
1
17
11
22
2
2
2
2







+≥+






+=+
a
c
a
c
a
c
1
4
17
1
)14(
1
17
11
22
2
2
2
2
__________________________________
⇒ S













++++++++=






+++++≥
cba
cba
cba
cba
cba
111
444
)(
4
15
17

1111
444
17
1
2
173
3
2
45
17
1111
444
66
4
15
17
1
6
=






+
=









⋅⋅⋅⋅⋅+⋅≥
cba
cba
Với a=b=c=2 thì Min S=
2
173
a,b,c > 0
Giáo viên: Lê Thị Thủy
8
4
=
α
1
=
β
SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
Ví dụ 2: Cho Tìm Min của S=
ba
c
ac
b
cb
a
+
++

+
+
+
+
111
222

6
≥++
cba
Bình luận và lời giải
Phân tích để tìm lời giải: Xét đánh giá giả định với các số
βα
,
( )
cb
a
cb
a
+
+≥+

















+
+
β
αβα
22
2
2
1
(1)
+
( )
ac
b
ac
b
+
+≥+

















+
+
β
αβα
22
2
2
1
(2)
( )
ba
c
ba
c
+
+≥+

















+
+
β
αβα
22
2
2
1
(3)
___________________________________
⇒









+
+
+
+
+
+++≥+
accbba
cbaS
111
)(.
22
βαβα
⇔

( )
o
S
accbba
cbaS =















+
+
+
+
+
+++
+
≥
1111
22
βα
βα
Do biểu thức đối xứng với a,b,c nên dứ đoán S=S
o
tại điểm rơi a=b=c=2, khi đó
các bất dẳng thức (1), (2), (3)đồng thời xảy ra dấu bằng tức là có sơ đồ điểm
rơi sau đây:
*Sơ đồ điểm rơi:
b
a
βα
1
=
a=b=c=2 ⇒
⇒====⇔=
1

4
111
1
a
c
c
b
b
a
b
b
β
α
βα
a
c
βα
1
=
Từ đó ta có lời giải sau đây:
*Lời giải đúng:
cb
a
cb
a
+
+≥+

















+
+
1
4)14(
1
22
2
2
+
ac
b
ac
b
+
+≥+

















+
+
1
4)14(
1
22
2
2
Giáo viên: Lê Thị Thủy
9
4
=
α
1
=
β

SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
ba
b
ba
c
+
+≥+
















+
+
1
4)14(
1
22
2

2
⇒








+
+
+
+
+
+++≥
accbba
cbaS
111
)(4.17
accbba
cba
accbba
cba
+++++
+++≥
+++
+++≥
9
)(4

3
)(4
3
( ) ( ) ( )
[ ]
)(6
9
)(4
)111(
9
)(4
3
222
cba
cba
accbba
cba
++
+++=
+++++++
+++≥
)(62
9
)(62
9
8
)(
8
31

cbacba
cba
cba
++
+
++
+
++
+++=
2
51
4
9
4
93
)(62
9
.
)(62
9
8
36
8
31
3
=+=
++++
⋅
++
+⋅≥

cbacba
cba
.
2
17.3
17.2
17.3
172
51
==≥⇒ S
Với a=b=c=2 thì min S=
2
173
Ví dụ3: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a+b+c+
.102 ≥abc
Chứng minh rằng
S=
66
42
98
42
98
42
98
222
2
222
2
222
2

≥++++++++
cba
c
bac
b
acb
a
*Lời giải:
Dự đoán điểm rơi: a = b = c = 2
Sử dụng bất đẳng thức bunhiacôpski có:
cab
a
acb
a
++≥++++ 9
4
42
98
.4182
222
2
+
abc
b
bac
b
++≥++++ 9
4
42
98

.4182
222
2
bca
c
cba
c
++≥++++ 9
4
42
98
.4182
222
2
_________________________________






++≥⇒
cba
S
111
4.24
+9(a+b+c)+ab+bc+ca
)(6222
4
2

4
2
4
2
)(6)2()2()2(
444
cbaabcabcabcc
c
b
b
a
a
cbaabccabbbcac
c
b
b
a
a
++++++⋅+⋅+⋅≥
+++++++++






++







++






+=
6624/727210.612)2(612 =≥⇒=+≥++++= Sabccba
* Bài tập tương tự (trích dẫn trong các đề thi đại học)
Giáo viên: Lê Thị Thủy
10
SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
Bài1: Cho
, , 0
1
x y z
xyz
>


=

, chứng minh rằng:
3 3 3 3
3 3
3 3

m x y m y z
m z x
xy yz zx
+ + + +
+ +
+ + ≥
, với
: Nếu 1 là đề thi Đại học khối D năm 2005m N m
∗
∈ =
Bài 2: Cho
, ,x y z
là 3 số thỏa
0x y z+ + =
, chứng minh rằng:
3 4 3 4 3 4 6
x y z
+ + + + + ≥
(đề tham khảo 2005)
Bài 3: Cho
2, 3, 4a b c≥ ≥ ≥
, tìm GTLN:
4 2 3ab c bc a ca b
P
abc
− + − + −
=
Bài 4: Cho
, ,a b c
là các số dương thỏa mãn

3
4
a b c+ + =
.
Chứng minh rằng:
3 3 3
3 2 3 3a b b c c a+ + + + + ≤
(ĐTK 2005)
Bài 5: Cho
, , 0
1
a b c
a b c
>


+ + ≤

, tìm GTNN của các biểu thức sau:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
P
ab bc ca
a b c
S
ab bc ca

a b b c c a
Q
ab bc ca
a bc b ca c ab
= + + +
+ +
= + + + + +
+ + +
= + + + + +
+ + +
Chú ý:
Cần chú ý hai bất đẳng thức Cơsi và Bunhiacơpxki, biết được các dấu
hiệu khi nào dùng bất đẳng thức nào.Phát hiện các dấu hiệu như có các bình
phương thì thường phải nghĩ tới Bunhiacopxki, có điều kiện các số dương thì
khả năng nghĩ tới Cơsi. Cách giải phải đi ngược qui trình thơng thường. Đầu tiên
phải dự đốn được điểm rơi xảy ra tại đâu, sau đó lồng ghép các số trong bất
đẳng thức sao cho khi xảy ra dấu bằng tại đúng điểm rơi đã dự đốn…
IV. KẾT QỦA
Chun đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tơi tham gia dạy 10NC và
Lụn thi Đại học trong hai năm gần đây. Trong q trình học chun đề này,
học sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài tốn liên quan, tạo
cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở ra cho học sinh cách nhìn
Giáo viên: Lê Thị Thủy
11
SKKN: K THUT CHN IM RI TRONG BT NG THC
nhn, vn dng, linh hot, sỏng to cỏc kin thc ó hc, to nn tang cho hc
sinh t hc, t nghiờn cu.
Kt qu sau khi thc hin chuyờn :
Khụng
nhn

bit
c
Nhn bit,
nhng khụng
bit vn dng
Nhn bit v
bit vn
dng ,cha gii
c hon
chnh
Nhn bit v
bit vn dng ,
gii c bi
hon chnh
S lng 0 3 50 37
T l ( %) 0.0 3.3 55.6 41.1
V. GII PHP MI
Dang toỏn Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bt ng thc núi chung rt a
dng v phong phỳ. Mi bi toỏn li cú rt nhiu cỏch gii khỏc nhau, vic la
chn s dng linh hot cỏc kin thc ó hc s lm cho hc sinh phỏt trin t
duy sỏng to. Chuyờn ny ch mang tớnh cht gi m cung cp cho hc sinh
cỏch nhỡn mi, phỏt huy s sỏng to. ờ at kờt qua cao hc sinh cn luyờn tõp
nhiờu, cú thờm nhiu thi gian su tm cỏc ti liu tham kho liờn quan.
VI. THC TIN GING DY
1. Quỏ trỡnh ỏp dng
Bng mt chỳt vn hiu bit v kinh nghim ging dy mt s nm, tụi ó
h thng c mt s kin thc liờn quan, su tm v tớch ly c mt s bi
tp phự hp theo mc t d n khú cho hc sinh tham kho t gii.
2. Hiu qu sau khi s dng
Sau khi hc sinh hc xong chuyờn ny hc sinh thy t tin hn, hng thỳ

hn, to cho hoc sinh nim am mờ, yờu thớch mụn toỏn, m ra mt cỏch nhỡn
nhn, vn dng, linh hot, sỏng to cỏc kin thc ó hc, to nn tang cho hc
sinh t hc va t nghiờn cu.
3. Bi hc kinh nghim
Giỏo viờn: Lờ Th Thy
12
SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra là trước
hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, biết vận dụng linh hoạt các
kiến thức này, từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến
thức một cách hợp lý với các đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu,
rèn kỹ năng cho học sinh.
Chuyên đề này chủ yếu đưa ra các bài tập từ đơn giản đến nâng cao từ đó
hình thành kỹ năng, phương pháp giải. Do đó khi giảng dạy phải cung cấp nhiều
dạng bài tập khác nhau để phát triển tư duy của học sinh.
VII. KẾT LUẬN
Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp
lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ. Do đó đây chỉ là một
chuyên đề trong rất nhiều chuyên đề, một phương pháp trong hàng vạn phương
pháp để giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh. Giáo viên trước hết
phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp
cho học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vân
dụng linh hoạt các kiến thưc cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu
và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước
một bài toán khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ đó
tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu.
Tuy nội dung của chuyên đề khá rộng, song trong khuôn khổ thời gian có
hạn người viết cũng chỉ ra được các ví dụ, bài toán điển hình.
Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để
chuyên đề này được đầy đủ hoàn thiện hơn.

VII. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bài tập đại số lớp 10, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008
2. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ năm 2010.
3. Các dạng Toán LT ĐH của Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002
4. 263 bài bất đẳng thức của Nguyễn Vũ Thanh-NXB Giáo Dục
5. Bất đẳng thức của Trần Văn Hạo-NXB Giáo Dục năm 2009
Thanh Hóa, ngày 09 tháng 05 năm
2013
Người thực hiện
Giáo viên: Lê Thị Thủy
13
SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
Lê Thị Thuỷ
Giáo viên: Lê Thị Thủy
14