Nghiên cứu ứng dụng phương pháp tính toán động lực học lưu chất (Computational Fluid Dynamics - CFD) trong các bài toán kỹ thuật

NHẬN XÉT CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

Họ và tên sinh viên: NGUYỄN THÁI PHƯỚC Lớp: 50DT-1
Ngành: Đóng Tàu Thủy Mã ngành: 102
Tên đề tài: Nghiên cứu ứng dụng phương pháp tính toán động lực học lưu chất
(Computational Fluid Dynamics – CFD) trong các bài toán kĩ thuật.
Số trang: 79 Số chương: 4 Số tài liệu tham khảo: 9
Hiện vật: 1 bản thuyết minh, 1 CD.
NHẬN XÉT CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN.









Kết luận:


Nha Trang, ngày tháng năm 2012
Cán bộ hướng dẫn.



PGS. TS Trần Gia Thái


PHIẾU ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

Họ và tên sinh viên: NGUYỄN THÁI PHƯỚC Lớp: 50DT-1
Ngành: Đóng Tàu Thủy Mã ngành:102
Tên đề tài: Nghiên cứu ứng dụng phương pháp tính toán động lực học lưu chất
(Computational Fluid Dynamics – CFD) trong các bài toán kĩ thuật.
Số trang: 79 Số chương: 4 Số tài liệu tham khảo: 9
Hiện vật: 1 bản thuyết minh, 1 CD.
NHẬN XÉT CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN







Điểm phản biện:
Nha Trang, ngày tháng năm 2012
Cán bộ phản biện.



Nha Trang, ngày …… tháng …… năm 2012
Chủ tịch hội đồng
Điểm chung
Bằng số Bằng chữ

i

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1
Chương 1 ĐẶT VẤN ĐỀ 2
1.1 TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU 2
1.2 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU 3
1.2.1 Tình hình ngoài nước 3
1.2.2 Tình hình trong nước 4
1.3 MỤC TIÊU, NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 4
1.3.1 Mục tiêu 4
1.3.2 Nội dung 4
1.3.3 Phương pháp 5
Chương 2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN ĐỘNG LỰC
HỌC LƯU CHẤT - CFD 6
2.1 GIỚI THIỆU CHUNG VỀ CFD 6
2.1.1 CFD là gì 6
2.1.2 Vai trò và ý nghĩa của CFD trong giải các bài toán kỹ thuật nói chung và
kỹ thuật tàu thủy nói riêng 6
2.2 NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐẠO CỦA PHƯƠNG PHÁP CFD 10
2.2.1 Mở đầu 10
2.2.2 Mô hình hóa dòng 10
2.2.2.1 Thể tích kiểm soát hữu hạn (quan điểm Euler) 10
2.2.2.2 Phần tử chất lưu vô cùng bé (quan điểm Lagrange) 11
2.2.3 Đạo hàm vật chất 12
2.2.4 Phương trình liên tục 15
2.2.5 Phương trình động lượng 18
2.2.6 Phương trình năng lượng 21
2.2.7 Điều kiện biên 24
2.3 RỜI RẠC VÀ LƯỚI 28
ii

2.3.1 Rời rạc 28

2.3.1.1 Phương pháp vi phân hữu hạn 28
2.3.1.2 Phương pháp phần tử hữu hạn 32
2.3.1.3 Phương pháp thể tích hữu hạn 35
2.3.2 Tạo lưới 36
2.3.2.1 Các dạng phần tử 36
2.3.2.2 Lưới cấu trúc 39
2.3.2.3 Lưới không cấu trúc 40
2.3.2.4 Đánh giá chất lượng lưới 41
2.4 TRÌNH TỰ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CFD 43
2.4.1 Đặt vấn đề 45
2.4.2 Mô hình tính toán 45
2.4.3 Quá trình rời rạc hóa 45
2.4.4 Mô phỏng CFD 46
2.4.5 Xử lí kết quả và phân tích 46
2.5 LỰA CHỌN PHẦN MỀM 46
2.5.1 Phần mềm GAMBIT 47
2.5.2 Phần mềm ANSYS FLUENT 48
Chương 3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 49
3.1 BÀI TOÁN “VÁCH NGĂN BỊ VỠ” 49
3.1.1 Mô tả bài toán 49
3.1.1.1 Nội dung bài toán 49
3.1.1.2 Số liệu đầu vào 49
3.1.1.3 Số liệu đầu ra 50
3.1.2 Giải bài toán 50
3.1.2.1 Phương trình chủ đạo 50
3.1.2.2 Mô hình VOF 50
3.1.2.3 Lưới 52
3.1.2.4 Hội tụ bài giải 53
iii

3.1.2.5 Phân tích kết quả 53
3.2 BÀI TOÁN “HỘP DI CHUYỂN TRÊN NƯỚC” 63
3.2.1 Mô tả bài toán 63
3.2.1.1 Nội dung bài toán 63
3.2.1.2 Số liệu đầu vào 64
3.2.1.3 Số liệu đầu ra 64
3.2.2 Trình tự tính toán 64
3.2.2.1 Các thông số cơ bản 64
3.2.2.2 Phương trình chủ đạo 65
3.2.2.3 Mô hình rối 65
3.2.2.4 Phương pháp VOF 65
3.2.2.5 Lưới 66
3.2.2.6 Hội tụ bài giải 66
3.2.2.7 Phân tích kết quả 67
3.2.3 Phát triển bài toán hộp di chuyển trên nước thành bài toán thuyền di
chuyển trên nước 69
3.2.3.1 Mô tả bài toán 69
3.2.3.2 Lưới 70
3.2.3.3 Hội tụ bài giải 74
3.2.3.4 Phân tích kết quả 74
Chương 4 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Ý KIẾN 79
4.1 KẾT LUẬN 79
4.2 ĐỀ XUẤT Ý KIẾN 79
PHỤ LỤC 80
Phụ lục 1 TẠO LƯỚI VÀ THIẾT LẬP BÀI GIẢI CHO BÀI TOÁN “VÁCH
NGĂN VỠ” 80
P1.1 Tạo hình học cho mô hình 80
P1.2 Chia lưới 80
P1.3 Thiết lập và giải trong ANSYS FLUENT 82
iv

Phục lục 2 TẠO LƯỚI VÀ THIẾT LẬP BÀI GIẢI CHO BÀI TOÁN “HỘP DI
CHUYỂN TRÊN MẶT NƯỚC” 90
P2.1 Tạo hình học cho mô hình 90
P2.2 Chia lưới 91
P2.3 Thiết lập và giải bằng ANSYS FLUENT 93
Phục lục 3 TẠO LƯỚI CHO BÀI TOÁN “THUYỀN DI CHUYỂN TRÊN MẶT
NƯỚC” 104
P3.1 Tạo hình học cho mô hình 104
P3.2 Chia lưới 105
TÀI LIỆU THAM KHẢO 108
1

LỜI NÓI ĐẦU

Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của các máy vi tính tốc độ cao, thì các phương
pháp tính toán số cũng ngày càng được quan tâm và đã đạt được những thành tựu
lớn trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt trong các ngành kĩ thuật. Việc tìm hiểu và nắm
bắt các cơ sở lí thuyết cũng như ứng dụng các phương pháp số, cụ thể là tính toán
động lực học lưu chất–CFD, là hết sức cần thiết đối với các ngành kĩ thuật nói
chung và ngành công nghiệp tàu thủy nói riêng của nước ta.
Được sự phân công của bộ môn, trong thời gian từ ngày 15/04/2012 đến
30/6/2012, chúng tôi đã thực hiện đề tài tốt nghiệp Nghiên cứu ứng dụng phương
pháp tính toán động lực học lưu chất (Computational Fluid Dynamics – CFD)
trong các bài toán kĩ thuật. Nội dung gồm 4 chương như sau:
- Chương 1: Đặt vấn đề.
- Chương 2: Một số vấn đề cơ bản về phương pháp tính toán động lực học lưu
chất – CFD.
- Chương 3: Kết quả nghiên cứu.
- Chương 4: Thảo luận kết quả.

Trong quá trình thực hiện đề tài, do tài liệu và kiến thức còn hạn hẹp nên không
thể tránh khỏi những sai sót. Kính mong quý thầy cô xem xét và bổ sung, góp ý để
đề tài có thể hoàn chỉnh hơn.
Xin chân thành cảm ơn PGS.TS Trần Gia Thái, các thầy cô của khoa Kỹ Thuật
Giao Thông, trường Đại học Nha Trang cùng gia đình và bạn bè đã giúp đỡ cho
chúng tôi hoàn thành đề tài này.
Nha Trang, ngày 09 tháng 7 năm 2012
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thái Phước
2

Chương 1
ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1 TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
Như đã biết dòng chảy lưu chất chuyển động đóng một vai trò quan trọng
trong đa số các bài toán kĩ thuật, chẳng hạn như dòng không khí bao quanh máy bay,
gió thổi qua các công trình xây dựng, sự lưu thông và truyền nhiệt của dòng lưu
chất trong các hệ thống làm mát, dòng nước trong các công trình thủy lợi, dòng
nước và không khí bao quanh thân tàu thủy,… Việc nắm được các đặc tính dòng
chảy, sự biến thiên của các đại lượng thuộc tính của dòng lưu chất sẽ giúp người kĩ
sư có các nhìn toàn diện về sự vận động của dòng, từ có có thể tính toán, tối ưu hóa
thiết kế các thiết bị, phương tiện nhằm đạt được hiệu quả làm việc cao nhất. Trong
thực tế thông tin về cấu trúc dòng chảy có thể thu được từ đo đạc, kiểm tra thực
nghiệm hoặc trong tính toán lí thuyết. Những phương pháp này cung cấp những
thông tin quan trọng, nhưng vẫn còn giới hạn bởi chưa đánh giá được hết các đặc
tính dòng, mất khá nhiều công sức, thời gian và tiền bạc. Sử dụng phương pháp tính
toán động lực học chất lưu (Computational Fluid Dynamics – mà sau đây ta gọi tắt
là CFD) cho khả năng đánh giá tốt hơn, cung cấp những phân tích, đánh giá sâu hơn
đối với các dòng chảy phức tạp, bao gồm các thuộc tính dòng như vận tốc, áp suất,
chế độ chảy rối, nhiệt độ, nồng độ… bên ngoài cũng như bên trong vật thể phân tích,

việc tính toán cũng trở nên đơn giản và nhanh chóng hơn, chi phí cũng được giảm
xuống đáng kể. CFD có khả năng áp dụng cho các loại chất lưu như khí, lỏng, đa
pha, di chuyển các hạt, sự đốt cháy… Vai trò của CFD trong dự báo kĩ thuật công
nghiệp đã trở nên mạnh đến mức ngày nay nó được nhìn nhận như “phương pháp
thứ ba” trong động lực học lưu chất, cùng với hai phương pháp cổ điển khác là lý
thuyết thuần túy và thực nghiệm thuần túy.
Với sự phát triển mạnh mẽ của CFD như hiện nay, đề tài này được thực hiện
nhằm nghiên cứu những lí thuyết cơ bản của CFD, từ đó vận dụng vào giải một số
bài toán kỹ thuật đơn giản, tạo tiền đề cho những nghiên cứu sâu hơn.

3

1.2 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU
1.2.1 Tình hình ngoài nước
Vào những năm 1970, CFD đã bắt đầu được kết hợp với các ngành khoa học
khác như toán học, vật lý, phương pháp số,… để tính toán, mô phỏng dòng chảy của
chất lưu. Sự phát triển của CFD đã tạo nên một bước phát triển mới cho ngành công
nghệ tính toán. Ứng dụng đầu tiên của phương pháp CFD là mô phòng dòng cận âm
dựa trên phương pháp phương trình không tuyến tính. Năm 1980, phương pháp đầu
tiên được xây dựng để mô phỏng 2-D, và sau đó phát triển lên thành mô hình 3-D.
Phương trình Euler trở thành một phương pháp quan trọng. Nhờ sự phát triển của
tốc độ máy tính và phát triển kỹ thuật số, rất nhiều ứng dụng thực tế đã được CFD
tính toán và mô phỏng để đưa ra được những dự báo trong những hoàn cảnh cụ thể
như mô phỏng dòng chảy thổi qua máy bay, mô phỏng dòng chảy bên trong turbine.
Vào giữa năm 1980, các nhà khoa học đã phát triển trong việc mô phỏng dòng chảy
xét đến độ nhớt bởi phương trình Navier-Stokes. Từ đó mô hình mô phỏng dòng
chảy rối đã được phát triển với mức độ phức tạp và chính xác hơn.
Với đòi hỏi độ chính xác và phức tạp hơn trong việc mô phỏng cấu trúc của dòng
chảy như thế đã hình thành nên phương pháp lưới. Phát triển bắt đầu với những cấu
trúc lưới đơn giản bằng sự kết hợp của phương pháp đại số và sử dụng những

phương trình đạo hàm riêng và sau đó là những dạng lưới phức tạp hơn như lưới
cấu trúc-lưới không cấu trúc, lưới lục diện-lưới tứ diện… nhằm có được lưới khớp
tốt nhất với các biên dạng hình học phức tạp mà vẫn đạt được tốc độ tính toán
nhanh nhất có thể.
Ngày nay, CFD được ứng dụng rộng rãi vào các ngành khoa học tiên tiến và
công nghệ cao cũng như các ngành khoa học phục vụ dân sinh. Chẳng hạn, CFD
được ứng dụng mô phỏng về chuyển động của tàu vũ trụ với vận tốc siêu thanh và
dòng chảy bao cũng như các yếu tố khí động tác dụng lên các vật thể bay nói chung.
Ngoài ứng dụng trong các ngành kỹ thuật, CFD còn được ứng dụng rộng rãi trong
các ngành khác như sinh học, y tế, khí tượng,… Chẳng hạn, CFD được ứng dụng
vào ngành đại dương học để mô phỏng các quy luật của dòng biển nóng, lạnh và tác
4

động của chúng lên khí hậu toàn cầu, Trong y tế, CFD được sử dụng để mô phỏng
quá trình hoàn lưu máu ở hai vòng tuần hoàn, ảnh hưởng của các yếu tố bên trong,
bên ngoài lên nhịp đập cũng như sức khỏe của nội tạng nói riêng và toàn bộ cơ thể
nói chung Thật khó có thể kể hết phạm vi ứng dụng của CFD mà các nước đã đạt
được.
Đặt biệt, với những ứng dụng to lớn và hiệu quả kinh tế mà CFD mang lại, ngày
nay các công ty đóng tàu lớn trên thế giới cũng đã đưa CFD vào trong chương trình
nghiên cứu và ứng dụng để mô phỏng, tính toán trường chất lỏng bao quanh thân
tàu để nâng cao chất lượng thiết kế vỏ tàu, tối ưu hóa đường hình, thiết kế chân vịt,
tính toán thủy động lực học chân vịt, thiết kế các hệ thống bơm,
1.2.2 Tình hình trong nước
CFD đã được nghiên cứu từ lâu trên thế giới và đã đi vào ứng dụng trong
nhiều lĩnh vực khoa học, quân sự lẫn dân sự. Trong khi đó nước ta vẫn chỉ ở mức độ
tiếp xúc với những vấn đề cơ bản, và chỉ hạn hẹp trong một số lĩnh vực mà chưa có
nhiều tài liệu nghiên cứu sâu, cũng như phổ biến học tập. Hiện tại CFD chỉ được
nghiên cứu ứng dụng trong các lĩnh vực quân sự, tính toán khí động học máy bay…
các lĩnh vực khác vẫn chưa được ứng dụng nhiều. Do sự hạn hẹp về nghiên cứu lẫn

giảng dạy nên CFD vẫn còn là một khái niệm khá mới mẻ đối với phần lớn các kĩ
sư, giảng viên và sinh viên.
Đề tài này được thực hiện với hi vọng sẽ góp một phần thúc đẩy nghiên cứu
và ứng dụng phương pháp CFD vào các ngành kỹ thuật nói chung và kỹ thuật tàu
thủy nước ta nói riêng.
1.3 MỤC TIÊU, NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1.3.1 Mục tiêu
- Nắm được các lí thuyết cơ bản của phương pháp CFD.
- Ứng dụng phương pháp CFD vào giải một số bài toán kỹ thuật.
1.3.2 Nội dung
5

- Một số vấn đề cơ bản về phương pháp tính toán động lực học lưu chất
CFD, bao gồm: các phương trình chủ đạo, các phương pháp rời rạc hóa
và lưới, trình tự thực hiện một bài toán bằng phương pháp CFD…
- Kết quả nghiên cứu ứng dụng CFD vào giải quyết một số bài toán kỹ
thuật đơn giản mà cụ thể ở đây là bài toán về dòng hai pha nước–không
khí.
1.3.3 Phương pháp
Đề tài được nghiên cứu bằng phương pháp lí thuyết kết hợp với thực
hành. Tìm hiểu lí thuyết cơ bản về CFD, từ đó vận dụng vào mô phỏng và
giải quyết một số bài toán kỹ thuật.



6

Chương 2
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH
TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC LƯU CHẤT – CFD

2.1 GIỚI THIỆU CHUNG VỀ CFD
2.1.1 CFD là gì
Tính toán động lực học lưu chất (Computational Fluid Dynamics–CFD) là
lĩnh vực khoa học sử dụng các phương pháp số kết hợp với công nghệ mô phỏng
trên máy tính để giải quyết các bài toán liên quan đến các yếu tố chuyển động của
môi trường, đặc tính lý hóa của các quá trình trong môi trường đang xét, đặc tính
sức bền của môi trường, đặc tính nhiệt động, đặc tính động học, hay đặc tính động
lực học hoặc khí động lực học, đặc tính lực, hoặc đặc tính moment và tương tác của
các môi trường với nhau… phụ thuộc vào từng đối tượng và phạm vi cụ thể của
từng vấn đề, từng lĩnh vực khoa học mà CFD được ứng dụng.
Những yếu tố vật lí của bất kỳ một dòng chất lưu nào đều được kiểm soát bởi
ba nguyên lý cơ bản:
1. Bảo toàn khối lượng.
2. F = ma (định luật 2 Newton).
3. Bảo toàn năng lượng.
Những nguyên lý cơ bản này có thể biểu thị dưới dạng các số hạng của phương
trình toán học, mà dạng tổng quát nhất của chúng là những phương trình đạo hàm
riêng. Tính toán động lực học chất lưu là thuật toán thay thế những phương trình
đạo hàm riêng chủ đạo của dòng lưu chất bằng rời rạc số và đưa những rời rạc số
này vào không gian và/hoặc thời gian để nhận được sự mô tả số đầy đủ cho trường
dòng đang xét.
2.1.2 Vai trò và ý nghĩa của CFD trong giải các bài toán kỹ thuật nói chung và
kỹ thuật tàu thủy nói riêng
7

Ngày nay CFD đã phát triển hết sức mạnh mẽ, được ứng dụng trong hầu hết các
lĩnh vực. Khó có thể kế hết những ứng dụng đó, nhưng nhìn chung trong các ngành
kỹ thuật thì CFD có những ứng dụng như sau:
 Ngành công nghiệp hàng không vũ trụ
- Mô phỏng dòng bao các phương tiện bay, biên dạng cánh trong dòng

chảy dưới âm, cận âm, siêu âm và siêu thanh.
- Xác định các đặc tính khí động lực học…

Hình 2.1 Mô phỏng trường vận tốc bao quanh máy bay.
 Công nghiệp chế tạo ô tô
- Mô phỏng dòng bao ngoài vỏ ô tô.
- Xác định hệ số ma sát mặt sườn.
- Mô phỏng quá trình làm việc của hệ thống thải khí và làm lạnh…

Hình 2.2 Mô phỏng dòng không khí qua xe đua F1.
8

 Ngành chế tạo máy
- Các hệ thống thủy tốc và khí tốc áp.
- Van, khóa van, van tiết lưu.
- Dòng chảy trong các ống dẫn.
- Quá trình thoát khí từ ống xả.
- Mô phỏng quá trình ăn mòn…
 Công nghiệp dầu khí
- Mô phỏng chuyển động của dầu và khí trong các ống dẫn.
- Mô phỏng hoạt động của các trạm bơm.
- Xác định đặc tính thủy lực.
- Dòng chảy với tạp chất….
 Xây dựng
- Tính toán phụ tải gió lên công trình và các phần tử kết cấu.
- Mô phỏng hoạt động của đê kè và các công trình che chắn.
- Thông gió và điều hòa trong các công trình.
- Dòng chảy trong các ống dẫn

Hình 2.3 Mô phỏng gió qua một mô hình kiến trúc xây dựng.

 Năng lượng
- Mô phỏng quá trình diễn ra trong các kết cấu tua-bin khí.
- Các bài toán trao đổi nhiệt liên hợp…
 Năng lượng nguyên tử
9

- Đảm bảo độ tin cậy và an toàn sử dụng các trang thiết bị nhiệt điện
khi tăng công suất các cụm phát điện của nhà máy điện hạt nhân…
 Ngành công nghiệp tàu thủy
- Mô phỏng quá trình sinh sóng trên mặt thoáng khi tàu di chuyển trên
mặt nước.
- Mô phỏng trạng thái dòng bao, hiện tượng tạo bọt khí của chân vịt khi
hoạt động.
- Tinh toán sức cản, tối ưu hóa đường hình tàu thủy…

Hình 2.4 Mô phỏng quá trình sinh sóng khi tàu di chuyển (a) phương pháp bể thử
(b) phương pháp CFD.

Hình 2.5 Mô phỏng hiện tượng tạo bọt khí của chân vịt (a) phương pháp CFD (b)
phương pháp thực nghiệm.
10

2.2 NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐẠO CỦA PHƯƠNG PHÁP CFD
2.2.1 Mở đầu
Nền tảng của CFD là những phương trình chủ đạo cơ bản của động lực học
chất lưu:
 Phương trình liên tục.
 Phương trình động lượng.
 Phương trình năng lượng.
Chúng là những phát biểu toán học của ba nguyên lý vật lý cơ bản mà toàn bộ cở sở

động lực học chất lưu lấy làm nền tảng:
 Bảo toàn khối lượng.
 F = ma (định luật 2 Newton).
 Bảo toàn năng lượng.
2.2.2 Mô hình hóa dòng
Để nhận được những phương trình cơ bản của chuyển động chất lưu, cần phải
tuân thủ theo các quan điểm sau:
- Chọn những nguyên lý vật lý cơ bản thích hợp từ các định luật vật lý sau:
 Bảo toàn khối lượng
 F = ma (định luật 2 Newton)
 Bảo toàn năng lượng
- Áp dụng những nguyên lý vật lý này cho một mô hình dòng thích hợp.
- Từ áp dụng này, rút ra những phương trình toán học chứa đựng những
nguyên lý vật lý đó.
Với một lưu chất liên tục ta có thể chọn 1 trong 2 mô hình sau để mô hình hóa dòng:
2.2.2.1 Thể tích kiểm soát hữu hạn (quan điểm Euler)
11

Xét một thể tích khép kín trong một khu vực hữu hạn của dòng. Thể tích này
xác định một thể tích kiểm soát V và một bề mặt kiểm soát S. Thể tích kiểm soát
này có thể cố định trong không gian với chất lưu chuyển động vòng qua nó hoặc
chuyển động cùng với chất lưu, sao cho những hạt chất lưu luôn ở cùng nhau trong
nó.

Hình 2.6 Thể tích kiểm soát hữu hạn.
Thể tích kiểm soát là một vùng đủ lớn, hữu hạn của dòng. Những nguyên lý vật lý
cơ bản được áp dụng cho lưu chất nằm trong thể tích kiểm soát, và với lưu chất cắt
qua bề mặt kiểm soát (nếu thể tích kiểm soát cố định trong không gian). Thay vì
xem xét toàn bộ trường dòng một lúc, với mô hình thể tích kiểm soát ta chỉ cần xét
lưu chất trong vùng hữu hạn của chính thể tích đó. Những phương trình tích phân

hoặc đạo hàm riêng nhận được từ thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không
được gọi là dạng bảo toàn của những phương trình chủ đạo. Còn đối với thể tích
kiểm soát hữu hạn chuyển động cùng với chất lưu được gọi là dạng không bảo toàn
của những phương trình chủ đạo.
2.2.2.2 Phần tử chất lưu vô cùng bé (quan điểm Lagrange)
Xét một phần tử chất lưu vô cùng bé trong dòng, với một thể tích vi phân dV, đủ
lớn để chứa một số khổng lồ những phần tử để có thể xem như một môi trường liên
12

tục. Phần tử chất lưu có thể cố định hoặc chuyển động dọc theo dòng chảy với
vector vận tốc
V

bằng vận tốc dòng tại mỗi điểm.

Hình 2.7 Phần tử chất lưu vô cùng bé.
Thay vì xét toàn dòng cùng một lúc, những nguyên lý vật lý cơ bản chỉ áp dụng cho
chính phần tử chất lưu. Những phương trình vi phân đạo từng phần riêng nhận trực
tiếp từ phần tử chất lưu cố định trong không gian là dạng bảo toàn của các phương
trình. Những phương trình nhận được trực tiếp từ phần tử chất lưu chuyển động là
dạng không bảo toàn của các phương trình chủ đạo.
2.2.3 Đạo hàm vật chất
Đạo hàm vật chất (substantial/material derivative) D/dt biểu diễn suất biến đổi
theo thời gian của các thuộc tính lưu chất của một phần tử lưu chất khi nó di chuyển
trong trường lưu chất.
Theo mô hình hóa dòng, xét sự chuyển động của phần tử chất lưu vô cùng bé
chuyển động cùng với dòng theo hình 2.8.
13

Hình 2.8 Phần tử chất lưu chuyển động trong trường dòng.
Trường vector vận tốc trong không gian Descartes:
kwjviuV





trong đó những thành phần x, y và z của vận tốc đã cho tương ứng với


tzyxuu ,,,



tzyxvv ,,,



tzyxww ,,,

Trường mật độ vô hướng cho bằng:



tzyx ,,,



Tại thời gian t

1
,

phần tử chất lưu được định vị tại điểm 1 trong hình 2.8. Tại điểm
này và thời gian này, mật độ của phần tử chất lưu là:



111111
,,, tzyx



vào thời gian t
2
về sau, phần tử chất lưu đó đã di chuyển đến điểm 2 trong hình 2.8.
Mật độ của phần tử chất lưu này là:
14



222222
,,, tzyx



Khai triển theo chuỗi Taylor hàm ρ = ρ(x, y, z, t) quanh điểm 1:
       
12
1

12
1
12
1
12
1
12
tt
t
zz
z
yy
y
xx
x











































Chia cho (t
2
-t

1
) và bỏ đi các số hạng bậc cao chúng ta nhận được
112
12
112
12
1
12
12
112
12








































































ttt
zz
ztt
yy
ytt
xx
xtt

(2.1)

Về mặt vật lý đây là suất biến đổi mật độ trung bình thời gian của phần tử chất lưu
khi nó di chuyển từ điểm 1 tới điểm 2. Trong giới hạn, khi t
2
tiến đến t
1
số hạng này
trở thành:
Dt
D
tt
tt













12
12
12
lim

Dρ/Dt là ký hiệu suất biến đổi mật độ của phần tử chất lưu ở thời gian tức thời khi

nó di chuyển qua điểm 1, được gọi là đạo hàm vật chất D/Dt. Chú ý rằng (Dρ/Dt) là
suất biến đổi mật độ theo thời gian của phần tử chất lưu đã cho khi nó di chuyển qua
không gian. Khác với (Dρ/Dt), (
∂
ρ/∂t
) là suất biến đổi theo thời gian của mật độ của
chất lưu tại điểm cố định 1.






 V
t
Dt
D

(2.2)
V

: là suất biến đổi thể tích theo thời gian của một phần tử chất lưu chuyển động
trên một đơn vị thể tích.
dt
Vd
V
V
)(1





(2.3)
15

Dρ/Dt và dρ/dt là như nhau. Bởi vậy, đạo hàm vật chất không khác gì đạo hàm toàn
phần theo thời gian. Tuy nhiên, đạo hàm vật chất mang tính chất vật lí còn đạo hàm
toàn phần theo thời gian thì thiên về ý nghĩa toán học.
2.2.4 Phương trình liên tục
- Xét mô hình thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không gian so với dòng.
Thể tích là cố định và được giới hạn bởi mặt kiểm soát mà trên đó vận tốc dòng là V,
diện tích bề mặt phần tử vector là dS. Gọi dV là thể tích phần tử trong thể tích kiểm
soát hữu hạn. Áp dụng nguyên lý bảo toàn khối lượng.

* Xét B: Dòng khối lượng của chất lưu chuyển động qua bề mặt cố định bất kì
(kg/s) = (mật độ) × (diện tích bề mặt) × (thành phần vận tốc thẳng góc với bề mặt).
Do đó dòng khối lượng phần tử qua vùng dS là
dSVdSV
n
.


(2.5)

Hình 2.9 Thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không gian.
B trở thành một tích phân mặt
B

=



C

Suất giảm khối lượng
trong thể tích kiểm soát
theo thời gian
Khối lượng tổng thể của
dòng đi ra khỏi thể tích
kiểm soát qua bề mặt S
=

(2.4)
16



S
dSVB .

(2.6)
* Xét C: Khối lượng chứa trong thể tích phần tử dV là dV. Toàn bộ khối
lượng trong thể tích kiểm soát là một tích phân thể tích

V
dV


Suất tăng khối lượng theo thời gian trong V là





V
dV
t

(2.7)
Suất tăng khối lượng theo thời gian =
 
dzdydx
t



(2.8)
Dòng khối lượng tổng thể ra khỏi phần tử phải bằng với suất giảm của khối lượng
bên trong. Giảm khối lượng kí hiệu là các đại lượng âm trong phương trình (2.7) và
(2.8)








 
dzdydx
t
dzdydx
z
w
y
v
x
u



















Hay







0

















dzdydx
z
w
y
v
x

u
t

(2.9)
Hạng tử trong dấu ngoặc là


V

.
. Do đó:
 
0. 


V
t


(2.10)
Phương trình (2.10) là phương trình liên tục dạng bảo toàn.
- Xét mô hình của một phần tử chất lưu vô cùng bé chuyển động với dòng. Khối
lượng cố định bằng δm và thể tích biến đổi là δV
Vm



(2.11)
17

Theo nguyên lý bảo toàn khối lượng



0
Dt
mD

(2.12)
Kết hợp phương trình (2.11) và phương trình (2.12), chúng ta được




0
Dt
VD
Dt
D
V
Dt
VD






Hay



0
1








Dt
VD
VDt
D




(2.13)
Số hạng trong dấu ngoặc có ý nghĩa vật lý như
V.

. Ta có
0.  V
Dt
D


(2.14)

Phương trình (2.14) là dạng phương trình liên tục trong dạng không bảo toàn
- Chúng ta cũng có thể đưa phương trình liên tục ở dạng bảo toàn về dạng không
bảo toàn và ngược lại bằng cách xét đồng nhất vector bao gồm sự phân kỳ của tích
vô hướng vector theo thời gian



 VVV
(2.15)
Thay phương trình (2.15) vào phương trình liên tục dạng bảo toàn
0 









VV
t


(2.16)
Biểu thức trong ngoặc là đạo hàm vật chất của mật độ. Do đó, phương trình (2.16)
trở thành
0. 



V
t


(2.17)
18

Đây chính là dạng không bảo toàn của phương trình liên tục.
Nhận xét: Việc sử dụng dạng bảo toàn hoặc không bảo toàn của những phương
trình chủ đạo tạo ra sự khác biệt nhỏ trong hầu hết lý thuyết động lực học. Ngược
lại, sử dụng bất cứ dạng nào cũng đều có thể tạo sự khác nhau trong những ứng
dụng CFD.
2.2.5 Phương trình động lượng
Xét thành phần x của định luật thứ 2 Newton,
F
x
= ma
x
(2.18)
trong đó F
x
và a
x
là thành phần vô hướng của lực và gia tốc tương ứng.


Hình 2.10 Phần tử chất lưu chuyển động vô cùng bé, chỉ giới hạn minh họa trong
hướng x. Mô hình được dùng để dẫn ra thành phần x của phương trình động lượng.
Trước hết hãy xét vế trái. Chúng ta nói rằng phần tử chất lưu chịu một lực
trong hướng x. Có hai nguồn lực này:

(1) Lực khối: tác động trực tiếp lên khối lượng thể tích của phần tử chất lưu.
Lực khối tác động lên phần tử chất lưu theo hướng x:

 
dzdydxf
x

(2.19)
19

(2) Lực mặt: tác động trực tiếp lên bề mặt phần tử chất lưu.
Lực mặt tổng hợp trong hướng x:
dydxdz
z
dzdxdy
y
dzdydx
x
dzdydx
x
p
pp
zx
zx
zxyx
yx
yx
xx
xx
xx












































































(2.20)
Lực tổng hợp F
x
trong hướng x
dxdydzfdxdydz
zyxx
p
F
x
zx
yx
xx
x


























(2.21)
Xét vế phải của phương trình(2.18). Khối lượng của phần tử chất lưu cố định
m = ρdxdydz (2.22)
Cũng như vậy, gia tốc của phần tử chất lưu là suất biến đổi theo thời gian của vận
tốc của nó
Dt
Du
a
x



(2.23)
Kết hợp phương trình (2.21), (2.22), và (2.23), ta có thành phần x của phương trình
động lượng :
x
zx
yx
xx
f
zyxx
p
Dt
Du



















(2.24a)
Tương tự, những thành phần y và z
y
zyyyxy
f
zyxy
p
Dt
Dv


















(2.24b)

z
zz
yz
xz
f
zyxz
p
Dt
Dw


















(2.24c)
Đây là dạng không bảo toàn. Chúng là những phương trình vô hướng, và được gọi
là phương trình Navier-Stokes. Chúng có thể nhận được trong dạng bảo toàn



 
x
zx
yx
xx
f
zyxx
p
uV
t
u






















.
(2.25a)


 
y
zyyyxy
f
zyxy
p
vV
t
v






















.
(2.25b)