Bài toán lọc, dừng tối ưu và điều khiển tối ưu quá trình ngẫu nhiên

I HC QUC GIA H NI






NGUYN THNG NG






Bi toỏn lc, dng ti u v iu khin ti u
quỏ trỡnh ngu nhiờn




luận văn thạc sĩ TON HC

Hà nội - 2012





I HC QUC GIA H NI






NGUYN THNG NG





Bi toỏn lc, dng ti u v iu khin ti u
quỏ trỡnh ngu nhiờn

Mó s : 60 46 15




luận văn thạc sĩ TON HC

Ngi hng dn khoa hc: GS.TSKH. ng Hựng Thng


Hà nội - 2012



Mục lục
1 Một số kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Một số kiến thức về quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Chuyển động Brownian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Tính chất của chuyển động Brownian . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Một số tính chất của tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Tích phân ngẫu nhiên và công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Bài toán lọc 16
2.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Bài toán lọc tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Phát biểu bài toán lọ c tổn g quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Giải bài toán lọ c tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Bài toán lọc Kalman-Bucy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 Giải bài toán lọ c Kalman-Bu c y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Bài toán dừng tối ưu 36
3.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Bài toán dừng tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Các bước giải bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.1 Bước 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.2 Bước 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.3 Bước 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 Ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5 Ví dụ áp dụng thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Điều khiển tối ưu hệ ngẫu nhiên 51
4.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Bài toán điều khiển tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1
4.3 Phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4 Ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5 Ví dụ áp dụng thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
A Lời giải một số bài tập của 3 chương 63
2
Lời mở đầu
Xác suất thống kê là một bộ phận củ a toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu
nhiên, là một lĩnh vực toán học ứng dụng. Ngày nay, Xác suất thống kê đã trở thành
một ngành toán học lớn, chiếm vị trí quan trọng tro ng cả lý thuyết và ứng dụng. Nó có
vai trò hết sức q uan trọng trong vật lý và trong phạm vi khác của khoa học tự nhiên,
trong kỹ thuật quân sự, trong các ngành kỹ thuật khác nhau, trong kinh tế học
Lý thuyết quá trình ngẫu nhiên là một trong lý thuyết qu a n trọng trong x á c suất
thống kê. Quá trình ngẫu nhiên cũng có thể được xem như một hàm ngẫu nhiên nào
đó và sự mô tả các hàm ngẫu nhiên này thường được thông qua các phương trình vi
phân ngẫu nhiên. Tính toán ngẫu nhiên phụ c v ụ đắc lực và đóng vai trò then c hố t
trong nghiên cứu các hàm ngẫu nhiên nói chung v à phương trình vi phân ngẫu nhiên

nói riêng.
Bài toán lọc, dừng tối ưu, điều khiển tối ưu quá trình ngẫu nhiên thuộc vào loại các
bà i toán có quan hệ mật thiết với ứng dụng. Cơ sở để để giải quyết bài toán đó là tính
toán ngẫu nhiên.
Vì những lý do trên dưới sự hướng dẫn GS. TSKH. Đặng Hùng Thắng em chọn đề
tài: "Bài toán lọc, dừng tối ưu và điều khiển tối ưu quá trình ngẫu nhiên".
Luận văn củ a em gồm phần mở đầu, phần kết luận và bốn chương:
•Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này nhằm giới thiệu về tích phân
Itô, công thức vi phân Itô, phương trình vi phân ngẫu nhiên. Đây là kiến thức cơ sở
chuẩn bị cho nội dung chính chương 2,3,4
•Chương 2: Bài toán lọc. Chương này giới thiệu v ề bài toán lọc, cách giải bài
toán lọc Kalman-Bucy.
•Chương 3: Bài toán dừng tối ưu. Chương này giới thiệu về bài toán dừng tối
ưu, các bước giải bài toán dừng tối ưu .
•Chương 4: Bài toán điều khiển tối ưu hệ ngẫu nhiên. Chương này giới thiệu về
bà i toán điều khiển tối ưu, phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman, cách giải bài toán
điều khiển tối ưu .
Tuy nhiên, do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi thiếu
sót. Em rất mong nhận được sự góp ý phê bình của các thầy, cô để luận văn của em
được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô trong khoa Toán-Cơ-Tin, bộ môn Xác
suất-Thống kê. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Đặng
Hùng Thắng đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành bản luận văn này.
3
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số kiến thức về quá trình ngẫu nhiên
1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.1 Một quá trình ngẫu nhiên là họ các biến ngẫu nhiên {X
t

}
t∈T
phụ
thuộc tham số t ∈ T trên không gian x ác suất (Ω, F, P).
trong đó T là tập con của đường thẳng thực, tức là T thuộc một trong các tập sau:
(−∞, +∞), [a, +∞), (−∞, b], [a, b], [a, b), (a, b], (a, b)
Chú ý rằng với mỗi t ∈ T ta có biến ngẫu nhiên ω → X
t
(ω); ω ∈ Ω. Đồng thời với
mỗi ω ∈ Ω ta có hàm t → X
t
(ω); t ∈ T
Hàm phân phối của quá trình ngẫu nhiên X = {X
t
}
t∈T
là hàm đo được µ
t
1
,t
2
, ,t
k
xác định trên không gian R
nk
, k = 1, 2, 3 ,:
µ
t
1
,t

2
, ,t
k
(F
1
×F
2
× ×F
k
) = P[X
t
1
∈ F
1
, , X
t
k
∈ F
k
]; t
i
∈ T
trong đó F
1
, , F
k
là những tập Borel trong R
n
Định lý 1.1 Với mọi t
1

, t
2
, , t
k
∈ T và mọi hoán vị σ trên {1, 2, , k} , cho họ độ đo
xác suất ν
t
1
,t
2
, ,t
k
trên R
nk
thoả mãn
ν
t
σ(1)
,t
σ(2)
, ,t
σ(k)
(F
1
× F
2
× ×F
k
) = ν
t

1
,t
2
, ,t
k
(F
σ
−1
(1)
× ×F
σ
−1
(k)
)
và
ν
t
σ(1)
, ,t
σ(k)
(F
1
× ×F
k
) = ν
t
1
, ,t
k
,t

k+1
, ,t
k+m
(F
σ
−1
(1)
× ×F
σ
−1
(k)
×R
n
× ×R
n
)
Khi đó luôn tồn tại không gian xác suất (Ω, F, P) v à quá trình ngẫu nhiên {X
t
}
với X
t
: Ω → R
n
thoả mãn
ν
t
1
,t
2
, ,t

k
(F
1
× F
2
× ×F
k
) = P[X
t
1
∈ F
1
, , X
t
k
∈ F
k
]; t
i
∈ T
với mọi t
i
∈ T, k ∈ N và mọi tập Borel F
i
Định nghĩa 1.2 Cho {X
t
} và {Y
t
} là các quá trình ngẫu nhiên trên không gian
(Ω, F, P). Khi đó ta nói rằng {X

t
} là bản sao của {Y
t
} nếu
P({ω; X
t
(ω) = Y
t
(ω)}) = 1 với mọi t
4
1.1.2 Chuyển động Brow nia n
Năm 1828 Robert Brown quan sát chuyển động tưởng chừng không theo quy luậ t của
hạt phấn hoa. Chuyển động được giả thiết giống như chuyển động các hạt trong chất
lỏng đồng chất. Biểu diễn các chuyển động đó người ta sử dụng quá trình ngẫu nhiên
B
t
(ω) để chỉ hạt phấn hoa ω ở thời điểm t
Ta xây dựng {B
t
} bởi định lý Kolmogorov vớ i độ đo x á c suất {ν
t
1
,t
2
, t
k
}
Với x ∈ R
n
ta xác định

p(t, x, y) = (2πt)
−
n
2
exp(−
|x −y|
2
2t
) với y ∈ R
n
, t > 0
Nếu 0 ≤ t
1
≤ t
2
≤ ≤ t
k
xác định độ đo {ν
t
1
,t
2
, t
k
} trên R
nk
ν
t
1
,t

2
, t
k
(F
1
× ×F
k
) =

F
1
× ×F
k
p(t
1
, x, x
1
)p(t
2
−t
1
, x
1
, x
2
) p(t
k
−t
k−1
, x

k−1
, x
k
)dx
1
dx
k
Chúng ta sử dụng ký hiệu dy = dy
1
dy
k
là độ đo Lebesgue và p(0, x, y)dy = δ
x
(y)
Từ

R
n
p(t, x, y)dy = 1 với t ≥ 0 và the o định lý Kolmogorov tồn tại không gian xác
suất (Ω, F, P
x
) và quá trình ngẫu nhiên {B
t
} trên Ω có hàm phân phối {B
t
} là
P
x
(B
t

1
∈ F
1
, , B
t
n
∈ F
n
) =

F
1
× ×F
k
p(t
2
− t
1
, x
1
, x
2
) p(t
k
− t
k−1
, x
k−1
, x
k

)dx
1
dx
k
Quá trình đó gọi là chuyển động Brownian bắt đầu tại x (quan sát ban đầu P
x
(B
0
=
x) = 1)
Quá trình B
t
= (B
(1)
t
, , B
(n)
t
) được gọi là chuyển động Brownian n-chiều nếu mỗi
quá trình {B
(j)
t
}; t ≥ 0 , 1 ≤ j ≤ n độc lập với nhau và là chuyển động Brownian 1-chiều
1.1.3 Tính chất của chuyển động Brownian
1. B
t
là quá trình Gaussian tức là với mọi 0 ≤ t
1
≤ ≤ t
k

biến ngẫ u nhiên
Z = (B
t
1
, , B
t
k
) ∈ R
nk
có phân phối chuẩn
2. B
t
có số gia độc lập, tức là B
t
1
, B
t
2
−B
t
1
, , B
t
k
−B
t
k−1
độc lập với mọi 0 ≤ t
1
<

t
2
<, , < t
k
1.2 Tích phân Itô
1.2.1 Tích phân Itô
Ký hiệu N = N(S, T ) là lớp các hàm
f(t, ω): [0, ∞)
×
Ω −→ R
thoả mãn:
5
1. (t, ω) −→ f(t, ω) là (B
×
F)-đo được với B là σ-đại số trên [0, ∞)
2. f(t, ω) là F
t
-tương thích
3. E[
T

S
f
2
(t, ω)dt] < ∞
Với hàm f ∈ N ta xác định tích phân Itô:
J[f](t, ω) =
T

S

f(t, ω)dB
t
(ω)
trong đó B
t
là chuyển động Brownian 1-chiều.
Chúng ta có thể xác định tích phân Itô bằng cách: Nghiên cứu lớp J[φ] các hàm
đơn giản φ, s a u đó áp dụng tính chất: Với mọi hàm f ∈ N luôn xấp xỉ bằng hàm đơn
giản φ và xác định

fdB là giới hạn của của

φdB khi φ → f .
Hàm đơ n giản: Một hàm φ ∈ N được gọi là hàm đơn giản nếu nó có dạng
φ(t, ω) =

j
e
j
(ω).χ
(t
j
,t
j+1
]
(t)
Khi đó tích phân của hàm đơn giản φ(t, ω) xác định bởi
T

S

φ(t, ω)dB
t
(ω) =

j≥0
e
j
(ω)[B
t
j+1
−B
t
j
](ω)
Tính đẳng cự: Cho φ(t, ω) là hàm đơn giản bị chặn. Khi đó
E[(
T

S
φ(t, ω)dB
t
(ω))
2
] = E[
T

S
φ(t, ω)
2
dt]

Định nghĩa 1.3 Với f ∈ N tích phân Itô
T

S
f(t, ω)dB
t
(ω) được định nghĩa
J[f](ω) :=
T

S
f(t, ω)dB
t
(ω) := lim
n→∞
T

S
φ
n
(t, ω)dB
t
(ω) (1.1)
trong đó hàm đơn giản φ
n
∈ N thoả mãn:
E[
T

S

|f −φ
n
|
2
dt] −→ 0
• Sự tồn tại giới hạn trên do dãy {
T

S
φ
n
(t, ω)dB
t
(ω)} là dãy Côsi trong L
2
(Ω, P)
6
1.2.2 Một số tính chất của tích phân Itô
Tính chất 1 (xem [10], [11]) Cho f, g ∈ N(0, T ) và 0 ≤ S < U < T . Khi đó:
1.
T

S
fdB
t
=
U

S
fdB

t
+
T

U
fdB
t
2.
T

S
(cf + g)dB
t
= c
T

S
fdB
t
+
T

S
gdB
t
3. E[
T

S
fdB

t
] = 0
4. E[(
T

S
fdB
t
)
2
] = E[
T

S
f
2
dt](Đẳng cự Itô)
Tính chất 2 (Bất đẳng thức Doob’s)(xem[8], [10])
Nếu M
t
là Martingale và M
t
(ω) liên tục thì ∀p ≥ 0, T ≥ 0 và ∀λ > 0 ta có:
P[ sup
0≤t≤T
[|M
t
| ≥ λ ] ≤
1
λ

p
E[|M
T
|
p
]
Tính chất 3 Cho f ∈ N(0, T ). Giả sử tồn tại một bản sao t-liên tục của f thoả mãn:
t

0
f(s, ω)dB
s
(ω); 0 ≤ s ≤ T
Khi đó tồn tại qu á trình ngẫu nhiên liên tục J
t
trên (Ω, F, P) thoả mãn:
P[J
t
=
t

0
fdB] = 1 với ∀t : 0 ≤ t ≤ T
1.3 Tích phân ngẫu nhiên và công thức Itô
Định nghĩa 1.4 Cho B
t
là chuyển động Brownian 1-chiề u trên không gian (Ω, F, P).
Tích phân ngẫu nhiên 1-chiều là quá trình ngẫu nhiên X
t
có dạng:

X
t
= X
0
+
t

0
u(s, ω)ds +
t

0
v(s, ω)dB
s
7
trong đó v ∈ N thoả mãn:
P[
t

0
v
2
(s, ω)ds < ∞ với ∀t ≥ 0] = 1
và u là H
t
-thích nghi thoả mãn:
P[
t

0

|u(s, ω)|ds < ∞ với ∀t ≥ 0] = 1
Khi đó ta nói rằng X
t
có vi phân ngẫu nhiên và
dX
t
= udt + vdB
t
Định lý 1.2 Công thức Itô 1-chiều(xem [3], [5], [8], [10])
Cho X
t
là quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô:
dX
t
= udt + vdB
t
Giả sử g(t, x) ∈ C
2
([0, ∞) ×R). Khi đó Y
t
= g(t, X
t
) là quá trình ngẫu nhiên Itô và
dY
t
=
∂g
∂t
(t, X
t

)dt +
∂g
∂x
(t, X
t
)dX
t
+
1
2
∂
2
g
∂x
2
(t, X
t
)(dX
t
)
2
trong đó dt.dt = dt.dB
t
= dB
t
.dt = 0; dB
t
.dB
t
= dt

Bây giờ ta mở rộng B(t, ω) = (B
1
(t, ω), , B
m
(t, ω) là chuyển động Brownian m-chiều,
khi đó X = (X
1
, X
2
, X
n
) là vi phân ngẫu nhiên Itô-n chiều biểu diễn bởi:















dX
1
= u

1
dt + v
11
dB
1
+ + v
1m
dB
m
. . . .
. . . .
. . . .
dX
n
= u
n
dt + v
n1
dB
1
+ + v
nm
dB
m
hay dạng ma trận
dX = udt + vdB
t
trong đó
X =







X
1
.
.
.
X
n






u =






u
1
.
.
.

u
n






v =




v
11
v
1m
. .
. .
v
n1
v
nm




dB =







dB
1
.
.
.
dB
n






8
Định lý 1.3 Công thức Itô nhiều chiều
Cho dX = udt+vdB là vi phân ngẫu nhiên Itô n-chiều định nghĩa như phần trước.
Nếu g(t, x) = (g
1
(t, x), , g
p
(t, x)) là ánh xạ khả vi cấp 2 liên tục từ [0, +∞) × R
n
vào
R
p
. Khi đó quá trình Y (t, ω) = g(t, X

t
) là quá trình ngẫu nhiên p-chiều mà mỗi thành
phần được cho bởi:
dY
k
=
∂g
k
∂t
(t, X)dt +

i
∂g
k
∂x
i
(t, X)dX
i
+
1
2

i,j
∂
2
g
k
∂x
i
∂x

j
(t, X)dX
i
dX
j
(1.2)
trong đó dB
i
dB
j
= δ
ij
dt, dB
i
dt = dtdB
i
= 0
1.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên
Phương trình vi phân ngẫu nhiên là phương trình có dạng:
dX
t
dt
= b(t, X
t
) + σ(t, X
t
)W
t
(1.3)
trong đó b(t, X

t
) ∈ R, σ(t, X
t
) ∈ R là các hàm đo được và W
t
là tiếng ồn trắng.
Hoặc:
dX
t
= b(t, X
t
)dt + σ(t, X
t
)dB
t
(1.4)
trong đó B
t
là chuyển động Brownian và W
t
=
dB
t
dt
Một quá trình ngẫu nhiên X
t
(ω), t ∈ [0, T ] được gọi là nghiệm của phương trình
vi phân với điều kiện ban đầu X
0
= Z, (Z là một biến ngẫu nhiên cho trước, độc lập

với W và E(Z
2
) < ∞) nếu:
(i) X
t
là thích nghi với F
t
và đo được đối với σ-trường tích B
[0,T ]
xF
t
(ii)E
t

0
X
2
t
dt < ∞
(iii) X
t
thoả mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên ban đầu
Định lý 1.4 Tồn tại và duy nhất(xem [3], [5], [10])
Cho T > 0 và b : [0, T] × R
n
→ R
n
σ : [0, T ] ×R
n
→ R

n×m
là hàm đo được thoả mãn
|b(t, x)|+ |σ(t, x)| ≤ C(1 + |x|); x ∈ R; t ∈ [0, T ], c = const
|b(t, x) −b(t, y)| + |σ(t, x) −σ(t, y)| ≤ D|x − y|; x, y ∈ R
n
, t ∈ [0, T ]
Cho Z là biến ngẫu nhiên độc lập với σ-trường F
∞
= σ(B
t
; 0 < t < ∞) : E[Z
2
] < ∞)
Khi đó phương trình vi phân ngẫu nhiên
dX
t
= b(t, X
t
)dt + σ(t, X
t
)dB
t
; X
0
= Z
có nghiệm duy nhất X
t
(ω) liên tục theo t và mỗi thành phần thuộc lớp N[0, T ]
9
1.5 Một số ví dụ

Ví dụ 1.1 Mô hình tăng dân số đơn giản
dN
t
dt
= α
t
N
t
; N(0) = N
0
trong đó α
t
= r
t
+ α
t
W
t
, W
t
="ồn trắng", α = hằng số.
Xác định sự phát triển dân số N
t
?
Giải
Giả thiết rằng r
t
= r không đổi ta có thể viết:
dN
t

= rN
t
dt + αN
t
dB
t
⇒
dN
t
N
t
= rdt + αdB
t
⇒
t

0
dN
s
N
s
= rt + αB
t
(B
0
= 0)
Sử dụng công thức Itô cho hàm g(t, x) = lnx, x > 0
d(lnN
t
) =

1
N
t
dN
t
+
1
2
(−
1
N
2
t
(dN
t
)
2
=
dN
t
N
t
−
1
2N
2
t
α
2
N

2
t
dt
=
dN
t
N
t
−
1
2
α
2
dt
Suy ra
dN
t
N
t
= d(lnN
t
) +
1
2
α
2
dt
Vì vậy
t


0
(d(lnN
s
) +
1
2
α
2
ds) = rt + αB
t
hay
ln
N
t
N
0
= (r −
1
2
α
2
)t + α B
t
N
t
= N
0
exp((r −
1
2

α
2
)t + α B
t
)
10
Ví dụ 1.2 Tìm điện tích trong mạch điện
Điện tích Q(t) ở thời điểm t tại một điểm cố định trong mạch điện thoả mãn phương
trình vi phân ngẫu nhiên
LQ

(t) + RQ

(t) +
1
C
Q(t) = G(t) + αW
t
(1.5)
Q(0) = Q
0
; Q

(0) = I
0
(1.6)
trong đó L là cảm ứng, R là điện trở, C là điện dung, W
t
là nhiễu trắng và G(t)+αW
t

là nguồn điện thế tại thời điểm t
Xác định điện tích c ủa mạch điện Q(t)?
Giải
Ta đưa vào véc tơ
X = X(t, ω) =

X
1
X
2

=

Q
t
Q

t

do đó

X

1
= X
2
LX

2
= −RX

2
−
1
C
X
1
+ G
t
+ αW
t
hoặc dưới dạng ma trận
dX = AXdt + Hdt + KdB
t
trong đó
dX =

dX
1
dX
2

A =

0 1
−
1
CL
−
R
L


H
t
=

0
−
1
L
G
t

K =

0
α
L

và B
t
là chuyển động Brownian 1-chiều
Vì vậy ta có phương trình vi phân ngẫu nhiên 2-chiều
Nhân cả hai vế của phương trình trên với exp(−At) ta có
exp(−At)dX = exp(−(At)AXdt + exp(−At)[H
t
dt + KdB
t
]
hay
exp(−At)dX − exp(−(At))AXdt = exp(−At)[H

t
dt + KdB
t
]
Xét vế trái exp(−At)dX − exp(−(At))AXdt Sử dụng công thức Itô cho hàm g =
(g
1
, g
2
) : [0, ∞) ×R
2
→ R
2
xác định bởi
g(t, x
1
, x
2
) = exp(−At)

x
1
x
2

ta được
d(exp(−At)X) = −A exp(−At)Xdt + exp(−At)dX
11
Khi đó ta có
exp(−At)X −X

0
=
t

0
exp(−As)H
s
ds +
t

0
exp(−As)KdB
s
Sử dụng tích phân từng phần ta có
X = exp(At)[X
0
+ exp(−At)KB
t
] +
t

0
exp(−As)[H
s
+ AKB
s
]ds
Ví dụ 1.3 Chuyển động Brown trên vò ng tròn đơn vị
Cho X = B là chuyển độ ng Brown 1-chiều và g(t, x) = e
ix

= (cos x, sin x) ∈ R
2
với
x ∈ R. Khi đó hãy chứng minh
Y = (Y
1
, Y
2
) = g(t, X) = e
iB
= (cos B, sin B)
là chuyển động Brown trên vòng tròn đơn vị Y
2
1
+ Y
2
2
= 1.
Giải
Theo công thức Itô:

dY
1
= −sin B.dB −
1
2
cos Bdt
dY
2
= cos B.dB −

1
2
sin Bdt
Như vậy quá trình 2-chiều Y = (Y
1
, Y
2
) mà ta gọi là chuyển động Brown trên vòng
tròn đơn vị (Y
2
1
+ Y
2
2
= 1) là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên

dY
1
= −
1
2
Y
1
dt −Y
2
dB
dY
2
= −
1

2
Y
2
dt + Y
1
dB
hoặc dưới dạng ma trận
dY = −
1
2
Y d t + KY dB
trong đó
K =

0 −1
1 0

Ví dụ 1.4 Với B
t
là chuyển động Brownian 1-chiều. Hãy kiểm tra xem qu á trình sau
có phải là nghiệm của phương trình vi phân tương ứng không?
(i)X
t
= e
B
t
và dX
t
=
1

2
X
t
dt + X
t
dB
t
(ii)X
t
=
B
t
1+t
; B
0
= 0 và dX
t
= −
1
1+t
X
t
dt +
1
1+t
dB
t
; X
0
= 0

(iii)X
t
= sin B
t
với B
0
= a ∈ (−
π
2
,
π
2
) và dX
t
= −
1
2
X
t
dt +

1 −X
2
t
dB
t
(iv)(X
1
(t), X
2

(t)) = (t, e
t
B
t
) và

dX
1
dX
2

=

1
X
2

dt +

0
e
X
1

dB
t
12
Giải
(i). Chọn Y
t

= B
t
→ dY
t
= dB
t
Sử dụng công thức Itô cho hàm g(t, y) = e
y
dX
t
=
∂g
∂t
(t, X
t
)dt +
∂g
∂y
(t, X
t
)dY
t
+
1
2
∂
2
g
∂y
2

(t, Y
t
)(dY
t
)
2
Trước hết ta tính
∂g
∂t
= 0,
∂g
∂y
= e
y
,
∂
2
g
∂y
2
= e
y
, (dY
t
)
2
= dt
Khi đó
dX
t

=
1
2
e
Y
t
dt + e
Y
t
dY
t
dX
t
=
1
2
X
t
dt + X
t
dB
t
Vậy quá trình đó là nghiệm của phương trình vi phân tương ứng.
(ii) Chọn Y
t
= B
t
→ dY
t
= dB

t
Sử dụng công thức Itô cho hàm g(t, y) =
y
1 + t
dX
t
=
∂g
∂t
(t, Y
t
)dt +
∂g
∂y
(t, Y
t
)dY
t
+
1
2
∂
2
g
∂y
2
(t, Y
t
)(dY
t

)
2
∂g
∂t
= −Y
t
1
(1 + t)
2
;
∂g
∂y
=
1
1 + t
;
∂
2
g
∂y
2
= 0, (dY
t
)
2
= dt
dX
t
= −
1

(1 + t)
Y
t
(1 + t)
dt +
1
1 + t
dY
t
dX
t
= −
1
(1 + t)
X
t
dt +
1
1 + t
dB
t
(iii) Chọn Y
t
= B
t
, dY
t
= dB
t
Sử dụng công thức Itô cho hàm g(t, y) = s in y

dX
t
=
∂g
∂t
dt +
∂g
∂x
(t, Y
t
)dY
t
+
1
2
∂
2
g
∂x
2
(t, Y
t
)(dY
t
)
2
Tính các đại lượng
∂g
∂t
= 0;

∂g
∂y
= cos y;
∂
2
g
∂y
2
= −sin y; (dY
t
)
2
= dt
13
Khi đó
dX
t
= −
1
2
sin Y
t
dt + cos Y
t
dY
t
dX
t
= −
1

2
X
t
dt +

1 −X
2
t
dB
t
Vậy quá trình đó là nghiệm của phương trình vi phân tương ứng.
(iv) Sử dụng công thức Itô cho hàm g(t, y) = (g
1
, g
2
) = (t, e
t
B
t
). Khi đó
dX
k
=
∂g
k
∂t
(t, X
t
)dt +


i
∂g
k
∂y
i
dY
i
+
1
2

i,j
∂
2
g
k
∂y
i
∂y
j
dY
i
dY
j
∂g
1
∂t
= 1;
∂g
1

∂y
1
= 0;
∂g
1
∂y
2
= 0;
∂
2
g
1
∂y
1
∂y
2
= 0;
∂
2
g
1
∂y
2
1
= 0;
∂
2
g
1
∂y

2
2
= 0
∂g
2
∂t
= e
t
Y
2
;
∂g
2
∂y
1
= 0;
∂g
2
∂y
2
= e
t
;
∂
2
g
1
∂y
1
∂y

2
= 0;
∂
2
g
1
∂y
2
1
= 0;
∂
2
g
1
∂y
2
2
= 0
Do đó
dX
1
= dt
dX
2
= X
2
dt + e
X
1
dB

t
hay
dX =

dX
1
dX
2

=

1
X
2

dt+

0
e
X
1

dB
t
Vậy quá trình đó là nghiệm của phương trình vi phân tương ứng.
Ví dụ 1.5 Chuyển động Brownian trên Ellipse
{(x, y);
x
2
a

2
+
y
2
b
2
= 1}
là quá trình ngẫu nhiên X
t
= (X
1
(t), X
2
(t) xác định bởi X
1
(t) = a cos B
t
, X
2
(t) =
b sin B
t
. Trong đó B
t
là chuyển động Brownian 1-chiều.
Chứng minh rằng X
t
là nghiệm của phương tr ình vi phân ngẫu nhiên
dX
t

= −
1
2
X
t
dt + MX
t
dB
t
trong đó
M =


0 −
a
b
b
a
0


14
Giải
Chọn Y
t
= B
t
Sử dụng công thức Itô cho hàm g(t, y) = (g
1
, g

2
) với g
1
= a cos y; g
2
= b sin y. Khi đó
dX
1
= −a sin Y
t
dY
t
−
1
2
a cos Y
t
dt
dX
2
= b cos Y
t
dY
t
−
1
2
b sin Y
t
dt

do đó
dX
t
= −
1
2

a cos Y
t
b sin Y
t

dt+


0 −
a
b
b
a
0



a cos Y
t
b sin Y
t

dY

t
hay
dX
t
= −
1
2
X
t
dt + MX
t
dB
t
Vậy X
t
= (a cos B
t
, b sin B
t
)
T
là nghiệm của phương trình vi phân
dX
t
= −
1
2
X
t
dt + MX

t
dB
t
trong đó
M =


0 −
a
b
b
a
0


15
Chương 2
Bài toán lọc
2.1 Đặt vấn đề
Để biết nghiệm Q(s) của bài toán, chúng ta thực hiện quan sát Z(s) của Q(s) tại thời
điểm s ≤ t. Tuy nhiên chúng ta không thể quan sát chính xác Q(s) mà chỉ biết dạng
của nó là:
Z(s) = Q(s) + "ồn trắng" (2.1)
Bài toán đặt ra : Tìm ước lượng tốt nhất của Q(t) trên cơ sở quan sátZ
s
trong công
thức (2.1) với s ≤ t? Bài toán như vậy gọi là bài toán lọc. Bằng trực giác, bài toán
đó là bài toán lọc tiếng ồn từ các quan sát một cách tối ưu.
2.2 Bài toán lọc tổng quát
2.2.1 Phát biểu bài toán lọc tổng quát

Một hệ thống X
t
mà sự tiến triển chúng mô tả bởi ph ương trình:
dX
t
= b(t, X
t
) + σ(t, X
t
)dU
t
Khi tiến hành quan sát chúng ta nhận được ph ương trình quan sát:
dZ
t
= c(t, X
t
)dt + γ(t, X
t
)dV
t
; Z
0
= 0 (*)
trong đó U
t
, V
t
là chuyển động Brownian.
Giả sử có quan sát Z
s

0≤s≤t
xác định bởi phương trình (*). Hãy tìm ước lượng tốt nhất
ˆ
X
t
của trạng thái X
t
dựa trên các quan sát này?
Như vậy
ˆ
X
t
là một hàm của các quan sát sao cho:
1.
ˆ
X
t
được đặt cơ sở trên các quan sát ( Z
s
; s ≤ t ) nghĩa là X
t
(.)là G
t
-đo được với
G
t
là σ-đại số sinh ra bởi ( Z
s
; s ≤ t )
16

2.
ˆ
X
t
là ước lượng tốt nhất theo nghĩa trung bình bình phương tức là:

Ω
|X
t
−
ˆ
X
t
|
2
dP = E[|X
t
−
ˆ
X
t
|
2
] = inf{E[|X
t
− S|
2
]; S ∈ K} (2.2)
trong đó
K := K(Z , t) := (S : Ω → R

n
; S ∈ L
2
(P ) và S là G
t
-đo được) (2.3)
2.2.2 Giải bài toán lọc tổng quát
Định lý 2.1 Nghiệm của bài toán lọc tổng quát xác định bởi:
ˆ
X
t
= P
K
(X
t
) = E[X
t
|G
t
]
Chứng minh
Trước hết ta xét bổ đề sau:
Bổ đề 2.1 Cho H ⊂ F là một σ- đ ại số và X∈ L
2
(P ) là F-đo được. Đặt N = (S ∈
L
2
(P ) S là H- đo được) và cho P
N
là phép chiếu từ không gian Hilbert L

2
(P ) vào
không gian con N. Khi đó
P
N
(X) = E[X|H] (2.4)
Chứng minh bổ đề
- E[X|H] là hàm được xác định duy nhất từ Ω → R thoả mãn:
1. E[X|H] là H-đo được.
2.

A
E[X|H]dP =

A
XdP với mọi A ∈ H
Thật vậy:
Sự tồn tại và duy nhất của E[X|H suy từ định lý Radon-Nikodym: Cho µ là độ đo
trên H xác định bởi µ(A) =

A
XdP, A ∈ H
Khi đó µ là liên tục tuyệt đối. Do đó tồn tại duy nhất hàm dạng P |H và H đo được
F trên Ω thoả mãn:
µ(A) =

A
F dP với mọi H ∈ H
Vì vậy E[X|H] = F là hàm tồn tại duy nhất theo độ đo P |H.
- P

N
(X) là H-đo được và

Ω
S(X − P
N
(X))dP = 0, ∀S ∈ N
Thật vậy:
P
N
là phép chiếu L
2
(P ) và o N. Khi đó ∀X ∈ L
2
(P ) có thể biểu diễn duy nhất:
X = X
1
+ X
2
với X
1
= P
N
(X) ∈ N và X
2
∈ N
⊥
(phần bù trực giao)
Do đó X
1

là F-đo được và

Ω
S(X − P
N
(X))dP = 0, ∀S ∈ N
Trong trường hợp riêng lấy S = I
A
, A ∈ F
17

A
(X − P
N
(X))dP = 0, ∀A ∈ H
hay

A
XdP =

A
P
N
(X)dP, ∀A ∈ H
Theo định nghĩa kỳ vọng điều kiện
P
N
(X) = E[X|F]
Chứng minh định lý
Theo lý thuyết không gian Hilber chúng ta thấy nghiệm của bài toán lọc cho bởi

ˆ
X = P
K
t
(X
t
)
Mặt khác theo bổ đề 1 ta có
P
K
t
(X
t
) = E[X
t
|G
t
]
Do đó
ˆ
X
t
= P
K
t
(X
t
) = E[X
t
|G

t
]. 
Thực tế chúng ta thường gặp bài toán lọc mà phương trình hệ thống và quan sát
ở dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính. Bài toán đó là bài toán lọc tuyến
tính hay bài toán lọc Kalman-Bucy
2.3 Bài toán lọc Kalman-Bucy
Vào năm 1960 Kalman và năm 1961 Kalman và Bucy đưa ra bài toán lọc Kalman
-Bucy. Nội dung của bài toán là đưa ra thủ tục để ước lượng trạng thái của hệ thống
được biểu diễn nhiễu dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên trên cơ sở của quan sát
nhiễu. Ngay lập tức nó đư ợc mang ứn g dụng vào các ngành khoa học khác và ngày
nay nó đã ứng dụng rộng rãi. Vì vậy bài toán lọc Kalman-Bucy đã được chứng tỏ là
rất hữu ích.
2.3.1 Phát biểu bài toán
Bài toán lọc Kalman-Bucy
Phương trình hệ thống, qu an sát của bài toán lọc có dạng:
Phương tr ình hệ thống: dX
t
= F (t)X
t
dt + C(t)dU
t
; F (t) ∈ R
n×n
, C(t) ∈ R
n×p
Phương tr ình quan sát: dZ
t
= G(t)X
t
dt + D(t)dV

t
; G(t) ∈ R
m×n
, D(t) ∈ R
m×r
Hãy tìm ước lượng tốt nhất
ˆ
X
t
của X
t
dựa trên các quan sát này?
Để đơn giản chúng ta chỉ xét trường hợp 1-chiều:
Bài toán lọc Kalman-Bucy 1-chiều
Phương trình hệ thống, qu an sát của bài toán lọc có dạng:
Phương tr ình hệ thống: dX
t
= F (t)X
t
dt + C(t)dU
t
; F (t), C(t) ∈ R
Phương tr ình quan sát: dZ
t
= G(t)X
t
dt + D(t)dV
t
; G(t), D(t) ∈ R
Hãy tìm ước lượng tốt nhất

ˆ
X
t
của X
t
dựa trên các quan sát này?
Chúng ta giả thiết rằng F, G, C, D là hàm bị chặn trong khoảng bị chặn và Z
t
=
t

0
H
s
ds; Z
0
= 0. X
0
có phân phối chuẩn độc lập với U
t
, V
t
và D(t) bị chặn, khác 0 trên
khoảng bị chặn.
18
2.3.2 Giải bài toán lọc Kalman-Bucy
Các bước để giải bài toán lọc Kalman-Bucy
Bước 1
Cho L = L(Z, t) là bao kín trong L
2

(Ω) của các tổ hợp tuyến tính dạng
c
0
+ c
1
.Z
s
1
(ω) + + c
k
.Z
s
k
(ω), s
j
≤ t, c
j
∈ R (2.5)
Cho P
L
là phép chiếu từ L
2
(Ω) lên L. Khi đó với K xác định như (2.3) thì
ˆ
X
t
= P
K
(X
t

) = E[X
t
|G
t
] = P
L
(X
t
) (2.6)
Vì vậy ước lượng tốt nhất Z- đo được của X
t
trùng với ước lượng Z-tuyến tính
tốt nhất của X
t
.
Bước 2
Thay Z
t
bằng quá trình đổi mới N
t
:
N
t
= Z
t
−

t
0
(GX)

∧
s
ds trong đó (GX)
∧
s
= P
L(N,t)
(G(s)X
s
) = G(s)
ˆ
X
s
(2.7)
Khi đó:
(i)N
t
có số gia trực giao tức là E[(N
t
1
−N
s
1
)(N
t
2
−N
s
2
] = 0 với [s

1
, t
1
] ∩ [s
2
, t
2
] = ∅
(ii)L(N, t) = L(Z, t), ví vậy
ˆ
X
t
= P
L(N,t)
(X
t
)
Bước 3
Đặt dR
t
= [D
2
(t)]
−
1
2
dN
t
Khi đó R
t

là chuyển động Brownian 1-chiều.
Hơn nữa L(N, t) = L(R, t)
ˆ
X
t
= P
L(N,t)
(X
t
) = P
L(R,t)
(X
t
) = EX
t
+
t

0
∂
∂s
E[X
t
R
s
]dR
s
Bước 4
Biểu diễn X
t

bằng phương trình vi phân ngẫu nhiên
dX
t
= F (t)X
t
dt + C(t)dU
t
Bước 5
Thay công thức X
t
từ bước 4 vào E[X
t
R
s
] và sử dụng bước 3 nhận được phương
trình vi phân ngẫu nhiên của
ˆ
X
t
là:
d
ˆ
X
t
=
∂
∂s
E[X
t
R

s
]
s=t
dR
t
+ (
t

0
∂
2
∂t∂s
E[X
t
R
s
]dR
s
)dt
Định lý 2.2 (Lọc Kalman-Bucy 1-chiều)
Nghiệm
ˆ
X
t
= E[X
t
|G
t
] của bài toán lọc tuyến tính 1-chiều được xác định bởi phương
trình vi phân ngẫu nhiên:

d
ˆ
X
t
= (F (t) −
G
2
(t)S(t)
D
2
(t)
)
ˆ
X
t
dt +
G(t)S(t)
D
2
(t)
dZ
t
(2.8)
ˆ
X
0
= E[X
0
] (2.9)
19

trong đó:
S(t) = E[(X
t
−
ˆ
X
t
)
2
] xác đ ịnh bởi phương trình Ricacti:
dS
dt
= 2F (t)S(t) −
G
2
(t)S
2
(t)
D
2
(t)
+ C
2
(t)
S(0) = E[(X
0
−E[X
0
])
2

].
Chứng minh
Chúng ta sẽ chứng minh định lý 2.2 thông qua 5 bước:
Bước 1: Ước l ượng Z-tuyến tính và Z-đo được
Bổ đề 2.2 Cho X, Z
s
; s ≤ t là biến ngẫu nhiên trong L
2
(P ).
Giả sử (X, Z
s
1
, Z
s
2
, Z
s
n
) ∈ R
n+1
có phân phối chuẩn với mọi s
1
, s
2
, s
n
≤ t, n ≥ 1.
Khi đó:
P
L

(X) = E[X|G] = P
K
(X)
Chứng minh Đặt
ˆ
X = P
L
(X), X

= X −
ˆ
X
Như chúng ta đã biết: Véc tơ (Y
1
, Y
2
, Y
k
) ∈ R
k
là chu ẩ n nếu và chỉ nếu tổ hợp tuyến
tính c
1
Y
1
+ c
2
Y
2
+ + c

k
Y
k
là chuẩn với mọi c
1
, c
2
, c
3
, c
k
và giới hạn trong L
2
của dãy
các biến ngẫu nhiên chuẩn là chuẩn.
Do đó
(X

, Z
s
1
, , Z
s
n
) là chuẩn với mọi s
1
, s
2
, , s
n

≤ 1.
Do E[X

Z
s
j
] = 0, X

và Z
s
j
không tương quan với mọi 1 ≤ j ≤ n.
Khi đó
X

và (Z
s
1
, , Z
s
n
) độc lập.
Vì vậy
X

độc lập với họ G.
Khi đó
E[χ
G
(X −

ˆ
X)] = E[χ
G
X

] = E[χ
G
]E[X

] = 0 với mọi G ∈ G
hay

G
XdP =

G
ˆ
XdP
Do
ˆ
X là G - đo được ta kết luận
ˆ
X = E[X|G].
Như vậy
P
L
(X) = E[X|G] = P
K
(X). 
Nhận xét: Ước lượng tốt nh ấ t Z-tuyến tính trùng với ước lượng tốt nhất Z-đo được.

Bổ đề 2.3 M
t
=

X
t
Z
t

∈ R
2
là quá trình Gaussian.
Chứng minh
Ta có thể giả sử rằng M
t
là nghiệm của phương trình vi phân 2-chiều
dM
t
= H(t)M(t)dt + K(t)dB
t
, M
0
=

X
0
0

(2.10)
20

trong đó H(t) ∈ R
2×2
, K(t) ∈ R
2×2
và B
t
là chuyển động Brownian 2-chiều.
Sử dụng dãy xấp xỉ Picard tìm nghiệm phương trình có dạng:
M
(n+1)
t
= M
0
+
t

0
H(s)M
(n)
s
ds +
t

0
K(s)dB
s
, n = 0, 1, 2, , (2.11)
Khi đó M
(n)
t

là Gaussian mọi n và M
(n)
t
−→ M
t
trong L
2
(P ) và M
t
là Gaussian. 
Bước 2: Quá trình đổi mới
Kí hiệu L(Z, T ) là bao kín trong L
2
(Ω) của tất cả tổ hợp tuyến tính
L(Z, T ) = {c
0
+ c
1
Z
t
1
+ + c
k
Z
t
k
; 0 ≤ t
i
≤ T ; c
j

∈ R}.
Bổ đề 2.4 L(Z, T ) = {c
0
+
T

0
f(t)dZ
t
; f ∈ L
2
[0, T ]; c
0
∈ R}
Chứng minh
Ký hiệu N(Z, T) = {c
0
+
T

0
f(t)dZ
t
; f ∈ L
2
[0, T ]; c
0
∈ R}. Ta cần chứng minh:
a. N(Z, T ) ⊂ L(Z , T ).
b. N(Z , T ) chứa tất cả các tổ hợp tuyến tính có dạng:

c
0
+ c
1
Z
t
1
+ + c
k
Z
t
k
; 0 ≤ t
i
≤ T .
c. N(Z, T ) đóng trong L
2
(P ).
Thật vậy
a. Ta c ó
T

0
f(t)dZ
t
= lim
n→∞

j
f(j2

−n
)(Z
(j+1).2
−n −Z
j.2
−n
)
⇒ c
0
+
T

0
f(t)dZ
t
là giới hạn tổ hợp tuyến tính của(Z
t
1
, Z
t
k
)
Do đó c
0
+
T

0
f(t)dZ
t

∈ L(Z, T ) hay N(Z, T ) ⊂ L(Z, T).
b. Giả thiết rằng 0 ≤ t
1
≤ t
2
≤, , ≤ t
k
≤ T . Khi đó:
k

j=1
c
j
Z
t
j
=
k−1

j=0
c
,
j
Z
j
=
k−1

j=0
t

j+1

t
j
c
,
j
dZ
t
=
T

0
(
k−1

j=0
c
,
j
χ
[t
j
,t
j+1
]
(t)dZ
t
trong đó Z
j

= Z
t
j+1
−Z
t
j
Do đó L(Z, T ) ⊂ N(Z, T ).
c. Ta có bất đẳng thức:
A
0
T

0
f
2
(t)dt ≤ E[(
T

0
f(t)dZ
t
)
2
] ≤ A
1
T

0
f
2

(t)dt (2.12)
21
Thật vậy:
Với f ∈ L
2
(P ) ta có:
E[(
T

0
f(t)dZ
t
)
2
] = E[(
T

0
f(t)(G(t)X
t
dt + D(t)dV t))
2
]
= E[(
T

0
f(t)G(t)X
t
dt)

2
] + E[(
T

0
f(t)D(t)dV
t
)
2
]
+ 2E[(
T

0
f(t)G(t)X(t)dt(
T

0
f(t)D(t)dV
t
)]
Từ
E[(
T

0
f(t)G(t)X
t
dt)
2

] ≤ A
1
T

0
f
2
(t)dt (Bất đẳng thức Côsi)
E[(
T

0
f(t)dZ
t
)
2
] =
T

0
f
2
(t)D
2
(t)dt (Tính đẳng cự Itô)
và {X
t
}, {V
t
} độc lập, chúng ta kết luận rằng:

A
0
T

0
f
2
(t)dt ≤ E[(
T

0
f(t)dZ
t
)
2
] ≤ A
1
T

0
f
2
(t)dt
Đồng thời L
2
[0, T ] là không gian đầy đủ. Vì vậy N(Z , T ) đóng trong L
2
(P ). 
Định nghĩa về quá trình đổi mới N
t

N
t
= Z
t
−
t

0
(GX)
∧
s
ds (2.13)
trong đó (GX)
∧
s
= P
L(Z,s)
(G(s)X
s
) = G(s)
ˆ
X
s
Hay
dN
t
= G(t)(X
t
−
ˆ

X
t
)dt + D(t)dV
t
(2.14)
Bổ đề 2.5 Với N
t
xác định như trên ta có:
1. N
t
có số gia trực giao.
22
2. E[N
2
t
] =
t

0
D
2
(s)ds.
3. L(N, t) = L(Z, t) Với mọi t ≥ 0.
4. N
t
là quá trình Gaussian.
Chứng minh
1 . Nếu s ≤ t và Y ∈ L(Z, s) ta có:
E[(N
t

−N
s
)Y ] = E[(
t

s
G(r)(X
r
−
ˆ
X
r
)dr +
t

s
D(r)dV
r
)Y ]
=
t

s
G(r)E[(X
r
−
ˆ
X
r
)Y ]dr + E[(

t

s
DdV )Y ]
= 0 (Vì X
r
−
ˆ
X
r
⊥ Y và V có số gia độc lập)
Do đó N
t
có số gia trực giao.
2 . Sử dụng công thức Ito cho hàm g(t, x) = x
2
ta có:
d(N
2
t
) = 2 N
t
dN
t
+
1
2
2(dN
t
)

2
= 2N
t
dN
t
+ D
2
dt
Do đó:
E[N
2
t
] = E[
t

0
2N
s
dN
s
] +
t

0
D
2
(s)ds
Mặt khác:
t


0
N
s
dN
s
= lim
t
j
→0

N
t
j
[N
t
j+1
−N
t
j
]
E[
t

0
N
s
dN
s
] = E[ lim
t

j
→0

N
t
j
[N
t
j+1
− N
t
j
]]
= lim
t
j
→0

E[N
t
j
[N
t
j+1
− N
t
j
]]
= 0 (do N
t

có số gia trực giao.)
Vậy
E[N
2
t
] =
t

0
D
2
(s)ds
23