Đặc trưng của toán tử khả nghịch dạng suy rộng và ứng dụng giải các bài toán biên tương ứng

DAI HOC
QUOC GIÀ
HA NOI
• • •
TRUÒNG
DAI HOC KHOA HOC TU
NHIÉN
PHAMTHIBACHNGOC
OÀC
TRJNG
CUA TOÀN
l\i
KHA NGHICH DANG SUY RÒNG
t f
ff
t
VA
(JfNG
DUNG
GIÀI
CÀC BÀI TOÀN
BIÉN
TUONG
(JfNG
LUAN
AN
TIEN
SÌ TOAN HOC
Chuyén
ngành :
Gìài tich

Mas6:
1.01.01
TRil'iGli'-^l riìCNi'jTiij
r;-iL[v^^;,i
WUJJWI
TÀP THÈ
HUONG
DAN KHOA HOC
•
•
GS.TSKH.
IMGUYÌN
VÀN
MÀU
TS.
NGUYÌN
MINH
TUÀN
HA NOI 2001
MUC LUC
hcfì cam
doan 1
Muc
lue 2
Càc
ky
hieu dring
trong luan
àn
3

MÒ
dau 5
ChiTo^ng
I. Dac
triTng cùa
toàn
tii khà
nghich phài suy rong 10
1.1. Toàn tu
khà
nghich phài suy rong 10
1.2. Càc còng thuc noi suy co bàn 24
1.3. Còng thuc bieu
dién nghieni
cua
phuong
trình sinh
bòi
toàn tu
khà nghich phài suy rong 34
Chu'o^ng
II. Mot so bài toàn bién doi
vó'i pIiLTo'ng
trình
sinli
bò'i
toàn
tT3f
khà nghich phài suy rong 51
2.1.

Bài toàn già tri ban dau 51
2.2.
Bài toàn già tri
bién ca
bàn
CI
2.3.
Bài
(.oàn
già tri
bién
hón hgp thu nhat 73
2.4. Bài toàn già tri bién hón hgp thu hai 84
2.5.
Nhan xét ve bài toàn già tri bién tòng
quàL
92
Chiro'ng
III. Mot so
két qua
ve toàn
tiV
khà
ngh:ch pliài
suy
rong bac cao LOG
3.1 Toàn
tu khà
nghich phài
suy

rong
bac cao 100
"
3.2.
Dieu kien
khà
nghich phài
suy
rong
bac cao
ciìa
toàn
tu dai so . . 107
3.3.
Dac trung Volterra cua da thuc vai toàn tu khà nghich phài suy
rong bac cao
Ili
3.4.
Nghiéni
cua phuong trình sinh
beri
toàn tu khà nghich phài suy
rong bac cao . . . ." 117
Két
luan 122
Càc còng trình dà còng bo
Hén
quan
dén luan
àn 123

Tài
lìeu
tham khào 124
Lò'i
càm
o'n
126
MUC LUC
hcfì cam
doan 1
Muc
lue 2
Càc
ky
hieu dring
trong luan
àn
3
MÒ
dau 5
ChiTo^ng
I. Dac
triTng cùa
toàn
tii khà
nghich phài suy rong 10
1.1. Toàn tu
khà
nghich phài suy rong 10
1.2. Càc còng thuc noi suy co bàn 24

1.3. Còng thuc bieu
dién nghieni
cua
phuong
trình sinh
bòi
toàn tu
khà nghich phài suy rong 34
Chu'o^ng
II. Mot so bài toàn bién doi
vó'i pIiLTo'ng
trình
sinli
bò'i
toàn
tT3f
khà nghich phài suy rong 51
2.1.
Bài toàn già tri ban dau 51
2.2.
Bài toàn già tri
bién ca
bàn
CI
2.3.
Bài
(.oàn
già tri
bién
hón hgp thu nhat 73

2.4. Bài toàn già tri bién hón hgp thu hai 84
2.5.
Nhan xét ve bài toàn già tri bién tòng
quàL
92
Chiro'ng
III. Mot so
két qua
ve toàn
tiV
khà
ngh:ch pliài
suy
rong bac cao LOG
3.1 Toàn
tu khà
nghich phài
suy
rong
bac cao 100
"
3.2.
Dieu kien
khà
nghich phài
suy
rong
bac cao
ciìa
toàn

tu dai so . . 107
3.3.
Dac trung Volterra cua da thuc vai toàn tu khà nghich phài suy
rong bac cao
Ili
3.4.
Nghiéni
cua phuong trình sinh
beri
toàn tu khà nghich phài suy
rong bac cao . . . ." 117
Két
luan 122
Càc còng trình dà còng bo
Hén
quan
dén luan
àn 123
Tài
lìeu
tham khào 124
Lò'i
càm
o'n
126
CAC KY HIEU DUNG TRONG LUAN AN
IN -
Tàp
hgp càc so tu nhién
JN*

- Tàp hgp càc so nguyén
duong
C^
C
-
Truàng
so
phue,
truò-ng
so phuc
raò
rong
]R
- Truàng so thuc
X - Khòng gian tuyen
tinh
trén
truò-ng
so
R
hoac C
X' - Khòng gian doi ngàu
vó-i
X,
L{X)
- Tap hgp càc toàn tu tuyen
tmh
vó-i
niien
xàc dinh va mien già tri

dugc
cliua
trong X
doni
A,
{A E
L{X))
- Mien xàc dinh cua toàn tu A
Im
A,
{A
e L{X))
- Mien già tri cua toàn tu A
Lo{X) :=
{A
G
L{X) :
doni
A = X}
kerA
= {x
e doni
A : A{x)
=
0}
dim coker A = dim {X \
ker^}
dim
X
- So chieu cua khòng gian X

rank G - Hang cua ma tran G
det G - Dinh thuc cua ma tran G
I - Toàn tu dòng nhat
R{X) - Tap hgp càc toàn tu khà nghich phài thuòc
L{X)
TZo
- Tap hgp càc nghich dào phài cua D G R{X)
A{X) ~
Tap hgp càc toàn tu khà nghich
trai
thuòc L{X)
Ci ~
Tap hgp càc nghich dào
trai ciia
L
G A{X)
W{X)
- Tap hgp càc toàn tu khà nghich suy rong thuòc L{X)
Wy
- Tap hgp càc nghich dào suy rong cua V G W{X)
R\{X) - Tap hgp càc toàn tu khà nghich phài suy rong thuòc
L{X)
TZy
- Tap hgp càc nghich dào phài suy rong
ciia
V G
R.i{X)
n\)^
=
{IV

e
ni

wvw
=
w,
vw^
=
w}
Tv
- Tap hgp càc toàn tu ban dau phài cua V
Qy
- Tap hgp càc toàn tu ban dau
trai
cua V
Ty^w '
Tap hgp càc toàn tu' ban dau phài cua V co
tinh
chat
c{W)
^VyWc
'
Tàp
hgp càc toàn tu ban dau phài cua V co tmh chat
cc{W)
Rk{X)
- Tap hgp càc toàn tu khà nghich phài suy rong bac k
TZy
- Tap hgp càc k- nghich dào phài suy rong cua V G
Rk{X)

TÓ^^
= {W G
n^
: WVW = W}
V{X) - Tap hgp càc toàn tu Volterra thuòc L{X)
A^{X)
- Tap hgp càc toàn tu dai so thuòc L{X)
C
[a,
b]
- Khòng gian càc
liàm
so co dao
hàni lién
tue
dén
càp
A'^
trén [a,
b]
r
- Duàng tròn
dan
vi trong mat phang phuc
D~^
- Mien
hiru
han trong mat phang
gió*!
han

bò'i F
D'
=
c\{D-^ur)
H^{r)
- Khòng gian càc hàm
giói
noi va thòa man dieu kien Holder trén
F
vai
so
niU
^i
(0 <
yLi
< 1).
6ij
- Ky hieu Kronecker
MÒ^
DAU
Ly thuyét càc toàn tu khà nghich mot
phia khcri
dau
tii'
càc y
tuò'ng
cua
Micusinski va dugc Przeworska Rolewicz D. xày dung
lan
dau tién vào dau

nhirng
nani
70, là mot trong càc
linh
vuc nghién cuu quan trong dat ca
sa
khài
quàt dai so cho nhung bài toàn cua Giài
tfch
nhu: phuong trình vi phàn, phuong
trình
tich
phàn, phuong trình dao hàm riéng, phuong trình sai phàn, càc bài
toàn nói suy,
Ngay sau khi ra
dòi,
huóng nghién cuu này dà thu hut dugc su
chù
y cua
nhieu
nlià
toàn hoc. Nhung két
qua
quan trong ve ly thuyét toàn tu khà nghich
mot
phia ciìa
Przeworska Rolewicz D.
([17]-
[22]),
Tasclie

M. ([25]-[26]), Von
Ti-otha
H. ([27]),
Nguyén
Vàn Mau ([7]- [12]), Binderman Z. ([3]- [4]), cho
thày nhiéu bài toàn riéng ré cua giài
tich
co the bieu dién
6u'ac duai
dang mò
liình cliung va
co the dugc nghién cuu theo
nhirng
thuàt toàn co bàn tong quàt.
Cliang
han, càc bài toàn noi suy Lagrange, nói suy Newton, noi suy Hermite
va
mot so bài toàn bién trong Giài
tich
co the dugc
xeni nliu
là càc
truò'ng
hgp
dac biet cua bài toàn già tri bién vói nhirng dieu kien ban dau
tuong thich
va
càc
pliuang
trình vi phàn, phuong trình sai phàn, phuong trình dao hàm riéng,

co the dugc
xeni
nhu là phuong trình sinh boi toàn tu khà nghich phài. Hon
nira,
nhiéu két
qua
cua ly thuyét càc toàn tu khà nghich mot
phia
dà dóng
góp
mot phàn quan trong vào viec hoàn chinh ly thuyét Noether càc toàn tu
tuyén
tmh.
Ta biét rang,
nioi
toàn tu tuyén tmh tàc dòng trong mot khòng gian
hiru
han
cliiéu
hoac khà nghich hoac khà nghich suy rong nhung khòng khà nghich
phài thuc su.
Tu
do
ly
thuyét càc toàn tu khà nghich suy rong ra
dòi (xeni
Dinh nghia
1.1.3)
va
dugc nhiéu

nguòi
quan tàm nghién cuu nhu Anselone P.
M., Nashed M. Z. ([1], [24]),
Ben-israel
A. va GreviUe T. N. E. ([2]), Caradus S.
R. ([5]), Nguyén Vàn Mau
([10],
[11]), Tuy nhién
co
rat nhiéu tmh chat quan
trong
ciia
nhung toàn tu quen biét trong Giài
tich
nhu: toàn tu dao hàm, toàn
tu sai phàn, toàn tu vi phàn, khòng dugc the hien nhu là nhirng dac trung
ca bàn nhat
ciia
toàn tu' khà nghich suy rong.
Vào
nàm
1996, Nguyén
Vàn
Mau
va
Nguyén Minh Tuan ([13]-[14]) dà dua
ra khài niem ve toàn tu* khà nghich phài suy rong (xem Dinh nghia
1.1.4)
va
nghién cuu mot so tmh chat cua no. Co the nói rang tap hgp toàn tu khà nghich

phài suy rong
nani
giira tap hgp toàn tu khà nghich phài
va
tap hgp toàn tu
khà nghich suy rong. Tap hgp toàn tu khà nghich phài suy rong chua tàt cà càc
toàn tu' khà nghich phài
va
nhiéu toàn tu' quen biét nhu: toàn tu chiéu, toàn
tu' vi
tich
phàn, mot so toàn tu dai so
va
toàn tu trong khòng gian hiru han
chiéu,
Muc tiéu
ciia
luan àn này là tiép
tue
nghién cuu mot so tmh chat mói cua
toàn
tu'
khà nghich phài suy rong V nhu: nghién cuu càu
triic
khòng gian hach
va khòng gian
ànli
cua
V^
Tiép theo nghién cuu mot so tinh chat cua toàn

(;u khà nghich phài suy rong bac cao
va
dua ra viec phàn
lóp
càc toàn tu tuyén
tmh theo dò khà nghich cua no. Buóc dau nghién cuu mot so dac trung cua
toàn tu khà nghich phài suy rong bac cao.
Viec nghién cuu
tình
chat c{R)
va
ung dung vào giài mot so bài toàn bién
va bài toàn noi suy tong quàt sinh
bòi
toàn
tu'
khà nghich phài vói he toàn
tu ban dau co
tinh
chat do dà dugc Przeworska-Rolewicz D. va Binderman Z.
nghién cuu (xem [18], [4]). Sau do Nguyén
Vàn
Mau
va
Pham Quang Hung dà
mó rong
tinli
chat c{R)
tliành
tmh chat

CG{R)
va dua ra còng thuc nghiem cua
bài toàn nói suy tong quàt sinh
bòi
toàn tu* khà nghich phài vói he toàn tu ban
dau
co tinh
chat
CQ{R)
(xem [15]). Luan àn này tiép tue xày dung tmh chat
c{W)
va ca{W) ciia
toàn tu ban dau phài cua
V,
tìx dò
dua ra mot so dac trung
mói cua he toàn tu ban dau phài cua V
co tinh
chat
c{W)
va
CG{W).
Sau dò
dua ra
càcli
giài bài toàn nói suy tong quàt sinh
bòi
V vói he toàn tu ban dau
phài co tmh chat c{W)
va

CG{W)
ma mot so bài toàn noi suy co dién nhu: nói
suy Lagrange, nói suy Newton, nói suy Hermite dugc xem nhu là càc truóng
hgp riéng dac biet.
Phuang
trình sinh bòi toàn tu' khà nghich phài D
va
càc bài toàn bién
6
tuang
ung dang
N
Q{D)x := J2
^-^"^
=
y^y^x
(o-o-i)
n=0
N
Q{D)x
:= J2
D^'AnX
^y^
yeX
(0.0.2)
n=0
dà dugc Przeworska Rolewicz D. nghién cuu (xem [18]). Sau do, trong [11]
Nguyén Vàn Mau dà
nghién
cuu lóp phuang trình dang

M
N
Q[D]x
~J2Y^
D'^AmnD'^x
=
y,
yeX
(0.0.3)
771=0
n=0
Luan àn này dua ra càch giài phuong trình sinh bòi toàn tu' khà nghich phài
suy rong V dang
M N
Q[V]x
-J2Y1
y^^muV^x
=
y^yeX
(0.0.4)
Tn=0 71=0
ó
day
AMN
=
L Amn ^
Lo{X),
Amn^N-n C
X^,
Xm ~

dom
V^.
Sau
dò
nghién cuu tmh giài dugc cua mot so bài toàn bién doi vói phuang trình (0.0.4)
thòng qua do khà nghich (khà nghjch, khà nghich phài, khà nghich trai, khà
nghich suy rong) cua toàn tu giài tuang ung va àp dung vào giài mot so
lóp
phuang trình nhu phuang trình vi
tich
phàn hàm, phuang trình
tich
phàn ky
di,
Luan àn
goni
ba chuang
Chuang I nghién cuu dac trung cua toàn tu khà nghich phài suy rong.
Chuang này gom 3 muc. Muc 1.1
gòm
2 tiét : Trong tiét 1.1.1 dua ra dinh
nghia
va
mot so
tinh
chat
ciia
toàn tu' khà nghich phài suy rong
V,
toàn tu ban

dau phài
va trai
cua
V,
xày dung càu
triic
khòng gian
kerV^
va
domì/^;
tiét
1.1.2 xày dung
tinh
chat
c(W) va
CG{W)
cua toàn tu ban dau phài
ciìa
V sau
dò
xày dung mot so dac trung mói cua he toàn tu' ban dau phài cua V co tmh
chat c(W) va
CG{W)
làm
ca
so
de giài mot so bài toàn bién va bài toàn nói suy
ò
càc muc sau. Muc 1.2 dua ra càch giài bài toàn noi suy tong quàt sinh bai
toàn tu khà nghich phài suy rong V vói he toàn tu ban dau phài co tmh chat

c{W)
va
CG{W)
va
àp dung bài toàn này dua ra dugc mot so còng thuc noi
suy ca bàn nhu: nói suy Lagrange, noi suy Newton, noi suy Hermite. Muc 1.3
nghién cuu càch giài phuang trình sinh bòi toàn tu khà nghich phài suy rong V
dang (0.0.4) va ung dung vào giài phuong trình
tich
phàn ky di, phuang trình
vi
tich
phàn hàm,
Chuang II dua ra càch giài mot so bài toàn bién doi vói phuang trình dang
(0.0.4).
Chuang này
goni
5 muc. Muc 2.1, nghién cuu bài toàn già tri ban dau
doi vói toàn tu
(5[^],
tue là tini
nghiem cua phuang trình (0.0.4)
tlióa man
dieu
kien ban dau (2.1.1). Muc 2.2, néu càch giài bài toàn già tri bién ca bàn doi vói
toàn tu
Q[ì^],
tue
là
tini

nghiem cua phuang trình (0.0.4) thòa man dieu kien
bién (2.2.1). Muc 2.3, nghién cuu bài toàn già tri bién hón hgp thu nhat doi vói
toàn
tu'
Ql^]? tue
là
tini
nghiem cua phuang trinh (0.0.4) thòa man dieu kien
bién (2.3.1). Muc 2.4, nghién cuu bài toàn già tri bién hón hgp thu hai doi vói
toàn tu
Q[K],
tue là
tini
nghiem cua phuong trinh (0.0.4) thòa
man
dieu kien
bién
liòn
hgp (2.4.1). Cuoi
cìmg,
muc 2.5 nghién cuu bài toàn già tri bién tong
quàt doi vói toàn tu
Q[l^],
tue là
tini
nghiem cua phuang trinh (0.0.4) thòa
man dieu kien ban dau (2.5.1).
Ó
mói bài toàn déu dua ra dang cua toàn tu
giài,

dieu kien de bài toàn
tliiét lap diing
dàn
va
vi du àp dung vào giài phuang
trình vi
tich
phàn hàm
co
dieu kien trong giài
tich.
Chuang III trình
bay
mot so két
qua ve
toàn
tu*
khà nghich phài suy rong
bac cao. Chuang này
goni
4 muc. Muc 3.1 trinh
bay
khài niem toàn tu khà
nghich phài suy rong bac k
(k
G
W)
(a
day
coi toàn tu khà nghich phài

va
khà nghich phài suy rong là toàn tu khà nghich phài suy rong bac 0
va
bac 1),
tìi"
do dàn dén viec phàn lóp càc toàn tu tuyén tmh theo tùng dò khà nghich
cua no (khà nghich, khà nghich phài, khà nghich phài suy rong, khà nghich suy
rong bac k
{k
> 1), khà nghich suy rong). Dac biét trong muc này chi ra rang,
toàn tu khà nghich suy rong bac cao co nhiéu
tinh
chat quan trong tuang tu
nhu toàn tu khà nghich phài dà biét. Khài niem toàn tu ban dau phài
va
trai
cua toàn tu khà nghich phài suy rong bac cao dugc xày dung giong nhu toàn
tu ban dau phài va
trai ciia
toàn tu khà nghich phài suy rong.
Ben canli
mot
*
so
tinh
chat quen thuòc nhu còng thuc Taylor-Gontcharov, còng thuc Taylor,
con co
mot so tmh chat mói cua toàn tu ban dau phài suy rong bac k (nhu
Dinh ly 3.1.5, 3.1.6). Trong muc 3.2, dua ra diéu kien càn
va

du de toàn tu dai
so trong khòng gian hiru han chiéu là toàn tu khà nghich phài suy rong bac
k,
diéu dac biet là
nioi
toàn tu dai so S khà nghich phài suy rong bac k ung vói
A:-nghich
dào phài W déu
co tinh
chat
SW^-^^
=
W^;
S^W^S^
-
S^.
Tiép
theo,
muc 3.3 nghién cuu dac trung Volterra cua da thuc P{V) dang (3.3.2)
vói V
G Rh{X) va To
dang (3.3.3) là nghich dào suy rong Volterra cua
P{V)^
day
là su mó rong truc tiép diéu kien khà nghich phài cua da thuc P{D) vói
D E R{X) dà dugc càc nhà toàn hoc Przeworska Rolewicz D.
va
Von Trotha H.
(xem [18]) khào sàt
nani

1988 doi vói he so hàng, sau dò vào
nani
1992 Nguyén
Vàn Mau dà tong quàt cho truàng hgp he so là toàn tu dai so
dìrng
(giao hoàn
vói D va
i?)(xeni
[11]). Trong muc 3.4 dua ra càch giài mot so phuang trinh
vói toàn tu khà nghich phài suy rong bac cao.
Càc két qua cua luan àn dugc nghién cuu bang phuang
pliàp
cua Giài
tich
- Dai so. Càc két qua ca bàn cua luan àn dà dugc dang va nhan dang
ó
càc tap
chi
chuyén ngành ([l]-[9])
va
dà dugc bào cào tai càc Hòi nghi Khoa hoc va càc
Xéniina
sau;
- Hòi nghi toàn quoc
làn
thu nhat ve
IJng
dung Toàn hoc, 12-1999.
- Hòi nghi Phuang trinh dao hàm riéng
va ITng

dung, Vien Toàn hoc,
12-
1999.
- Hòi nghi Khoa hoc Truàng Dai hoc Khoa hoc Tu
nhién.
Dai hoc Quoc
già
Ha Noi, 11- 2000.
- Xémina Giài tich - Dai so, Khoa Toàn - Ca - Tin
h9c
Truàng Dai hoc
Khoa hoc Tu
nhién.
Dai hoc Quoc
già Ha
Nói.
- Xémina Phuang trình dao hàm riéng, lién truàng Dai hoc
Bach
khoa -
Dai hoc Khoa hoc Tu nhién.
9
Chu-ang
I
DAC TRITNG CUA TOAN
Tl>
KHÀ NGHICH
PHÀI
SUY RONG
Nói dung cua chuang này nghién cuu dac trung cua toàn tu khà nghich
phài suy rong. Trong muc 1.1, dau tién

chiing
tòi dua ra càc dinh nghia
ve
toàn
tu khà nghich phài suy rong
V,
toàn tu ban dau phài, toàn tu ban dau
trai
cua
V
va
mot so
tinh
chat mói
ciìa
V sé dugc ung dung vào giài phuang trinh ò*
muc 1.3. Sau
dò
xày dung
tinh
chat
c{W) va
CG{W)
cua toàn tu ban dau phài
cua V dong thài dua ra mot so dac trung mói cua he toàn tu ban dau phài
co
tmh chat trén. Vàn de giài bài toàn noi suy tong quàt sinh
bòi
toàn tu khà
nghich phài suy rong V vói he toàn tu ban dau phài

co tinh
chat c{W) hoac
CG{W)
va
thuat toàn xày dung còng thuc noi suy co bàn cua mot so bài toàn
noi suy co dien dugc trình
bay
trong muc 1.2. Cuoi cùng, trong muc 1.3 chiing
tòi dua ra càch giài phuang trình tuyén
tinh
sinh bai toàn tu khà nghich phài
suy rong V.
1.1.
Toàn ti3f
khà
nghjch
phài suy rong
Già su X là khòng gian tuyén
tinh
trén truàng so
/C,
K,
— M
hoac
K",
=
C
Ky hieu L{X) là tàp hgp tàt cà càc toàn tu tuyén tmh tàc dòng trong X
va
Lo{X)

= {A
^ L{X)
: dom A = X}. Ta
co Lo{X)
là mot dai so vói don vi
/.
1.1.1. Dinh nghia va tfnh chat
cùa toàn tu
khà nghich phài suy rong
Dinh nghia 1.1.1. [18] Toàn tó D
e
L{X)
dicqc ggi
là khà nghich phài néu
ton
tqi
toàn hi R
e Lo{X)
sao cho Im
i?
C
doni
D
va
DR, = I. Toàn tu R.
dica e ggi
là nghich dào phài cua D.
Tàp hgp càc toàn tu khà nghich phài trong
L{X)
dugc ky hieu là

R{X).
Tap hgp càc nghich dào phài cua D
G
R{X) dugc ky hieu là
Ti-o-
Dinh nghia 1.1.2. [18] Toàn tu L
6 Lo{X) duqc
ggi là khà nghich
trai
néu
ton
tqi
toàn té A E
L{X)
sao cho
Ini
L C dom A
va
AL = I. Toàn tu A
duac
ggi là nghich dào
trai
cua L.
10
Tàp hgp càc toàn tu khà nghich
trai
trong L{X) dugc ky hieu là
A{X).
Tap hgp càc nghich dào
trai

cùa L G
A{X)
dugc ky hieu là
Ci.
Dinh nghia 1.1.3. [11] Toàn tu V G
L{X) dicqc
ggi là khà nghich suy róng
néu ton tqi W G
L{X)
sao cho Im
F
C dom
W,
Ini
W C
doni
V
va
VWV = V
trén dom V. Toàn té W
dicqc
ggi là nghich dào suy rong cua
V.
Tap hgp càc toàn tu khà nghich suy rong trong
L{X)
dugc ky hieu là
W{X).
Tàp hgp càc nghich dào suy rong cua V G
H^(X)
dugc ky hieu là

Wy.
Dinh nghia 1.1.4. [13] Toàn tu V G W{X) duqc ggi là khà nghich phài suy
rong néu ton tqi W G Wy sao cho
Ini
{VW -
/)
C
kerl/,
(tiic
là
V'^W
= V).
Toàn té W
dicqc
ggi là nghich dào phài suy rong cua V.
Tap hgp càc toàn tu khà nghich phài suy rong trong L{X) dugc ky hieu là
Ri{X).
Tap hgp càc nghich dào phài suy rong cua V dugc ky hieu là
7?.|/.
Tue
là
nl
=
{weL{x):
vwv
=
v,
vHv
=
v}.

(i.i.i)
Tir
càc dinh nghia trén,
de
dàng suy ra càc bao hàm thuc sau
R{X) C
Ri{X)
C
W{X),
A{X) C
W{X).
Ky hieu
n^^^
=
{wenl:
wvw
=
w,
vw^
=
w}.
(1.1.2)
Menh de 1.1.1. Vài moi V G
Ri{X)
deu ton tqi W G
7^Sj^
Chung minh. Do
^
G Ri{X) nén ton tai
Wi

G
n\,
sao cho
VW^V =
V,
V'^Wx
=
V. Néu dat W
= VW^VWx
thi de dàng
Idem
tra thay W G
7?/J\
Menh
de 1.1.2. Cho V
E
Ri{X),
W^
,Wn
ETéy\
Vài
m,n
e
IN\
ta co
y^-'^
khi
m
> n,
i)

V^W^
.
• •
W,,
= { VWn
khi
m -
n,
14^,,,+1 Wn khim
<
n.
ti)
V'^Wi WrnV'''
=
V''\
Chung minh. i) Néu
m
= n
=
1 thi i) hien nhién
diing.
11
Néu
m
= n > 2
thi
V^Wi
•••Wn =
V'^-^{V^Wi)W2
• • •

Wn
=
V'^-^W2 'Wn
=
•••
=
VWn.
Néu
VI
< n
thi
V^W,
• • • Wn
=
{V'^W,
• • • Wrr,.)W^,+i • • •
w,,
=
vw„,w^+,
• • •
w„,
=
{VWr„y)Wl^,
• • • Wn
=
H/„,+
i • • •
Wn.
Néu m
> n

thi
V^'Wi
• • • Wn =
V"'-"{V"Wi
• • • Wn)
=
V"'-"VWn
=
V"""".
ii) Theo i) ta
co
V^Wi
• • •
WmV""
=
{vWmy)^^^^
=
v^.
Dac biet, khi
Wi
=
• • •
=
Wn
ta nhan
dugc két
qua quen thuòc sau:
Menh de 1.1.3. [13] Cho V 6
Ri{X) va
W

e
u'yK
Vài
m,ne
N*,
ta co
(
F'"-"
khi
m
> n,
i)
F'"H/'^
=
<^
VW khi m = n,
H)
y"'H/'"F'"
=
F"^.
l
ly"-"
khi
VI
< n.
Dinh ly 1.1.1.
([11],
[13]) Già
sic
A,B e L{X) sao cho Im A

e
dom B va
Im B C dom A. Khi dà I + AB lan
luqt
là khà nghich phài, khà nghich trai, khà
nghich. suy róng, khà nghich. phài suy róng
va
khà nghich khi
va chi
khi I + BA
tieang
ung là khà nghich phài, khà nghich trai, khà nghich suy róng, khà nghich
phài suy róng
va
khà nghich. Han mìa,
néu
RAB
G
7?.J^.AB,
LAB
G
Cf.^.AB,
WAB
e
Wi+AB,
w\s
e
7^J+4i?
^à
(I

+
AB)-^
e
UJ+AB^CI+AB,
thi
REA =
I
-
BRAB^
€
T^I+BA,
LBA
=
I
-
BLABA
G
CJ+BA,
WBA =I- BWABA
e
W,+BA,
Wl^
=1-
BW\„A e 7?,] +
^^,
{I
+
BA)-'
=I-B{I
+

AB)-'A
e
TZj+BA n
CJ+BA-
12
Dinh nghia 1.1.5. (cf [11]) Toàn tu F G L{X) duqc
ggi
là toàn tu ban dau
'
phài dia V G
Ri{X)
ung vói W G
7?.|j'
néu thòa
m,àn
càc
diéu
kien sau
day:
F^
=
F,
Ini
F
-
ker
V,
FW = 0 trén
doni
W.

Ky
liiéu
J-y
là tap
liop
càc toàn
tu'
ban dau phài
ciìa
V.
vai
Menh de 1.1.4. (cf [11]) Néu F là toàn tv; ban dau phài cua V ung
W
G
n\^^
thi
ij
Fz — z vói
m.gi
z G ker V,
a)
VF = 0 trén
doni
F,
in)
kevFnkeiV ^
{0}.
Dinh ly 1.1.2. (cf [11]) Toàn tu F G
L{X)
là toàn tu ban dau phài cua

V G
Ri{X)
ring vói W G
7^S^^
khi
va
chi khi F = I
-
WV trén
doni
V.
Dinh ly 1.1.3. (cf [11] Gòng thuc Taylor - Gontcharov)
Néu
{is,}7:=o, ,N-i ià
càc toàn tu ban dau phài cua V G R]{X) tuang ung
vói
{TV'^i}i=o, ,yv-i
C
Ry
sao cho
Ini Wj
C
doni
Wj^\,
(j
—
1, ,
A^
—
1), thi

trén dom
V^
ta co
/ - Fo
+
^ Wo • • •
Wi-iFiV'
+
Wo • • •
Wj^.iV^,
i=ì
Dinh ly 1.1.4. Cho V G
Ri{X) va
VFo,
• -
•,
^^N-i ^
T^y^
sao cho
Ini Wj
C
doni
H'j-i:
(j =
1, ,
A/'
—
1). Khi do ta co
N-l
i) ker

V^
=
IxeX
: x
^ Zo
+
J^
^^^^o ' • •
Wk-iZ'k,
z^
G ker V
i
, (1.1.3)
ii)
doni
V^
= Wo
• •
-WN-IV^Xj^
ekevV^,
X^
:-dom
V^,
(1.1.4)
;
N-1
xeX :x
=
Wo
Wp^^iy

+
J]
H^o
• • •
Wk^xZf,,
y G
V^X^
Chiing minh.
i) Néu X G
kerT/^
thi
V^x
=
0. Già su
FQ,
. ,
F/v-^i
làn
luot
là càc
toàn
tu'
ban dau phài cua V ung vói
WQ,
.
,
Wjsf-].
Theo còng thuc Taylor-
13
Gontcharov ta

co
N-X
x =
FoX+^Wo-"
Wk-iF^V^x +
P^o
• • •
W^-iV'x.
k=l
Dat
2fc
=
FkV^x,
{k =
0, ,N
-1),
hien nhién
Zf,
G ker V.
Tir
do suy ra
N-l
=
zo-\-J2Wo Wk^iZf,,
(1-1.5)
N-l
Nguac
lai, già su x co dang (1.1.5), khi do
7V-1 N-l
V'^x

=
V^'zo
+
F^
2]
1^0
• • •
W,.rz,
=
V'^zo
+
J^
^""'"'^ = 0"
k=X k=l
Vày X G
kerF^.
Gòng thuc (1.1.3) duac chung minh,
ii) Già
SU'
X
G dom
V^.
Dat x = u + v
vai
u
~
WQ
- • •
Wj^^xV^x,
v =

{I -
Wo
WM-IV^)X.
Khi
dò
u
G
VKo
• •
•
WN-IV^XJ^,
V^V
= 0
va
X
G
Wo - - -
Wi^-iV^XN-^kerV^,
Mat khàc,
néu y
G
T^o
• • •
WN-IV^X^^
+kevV^
thi ton tai x G dom
V^
vk
z
e

ker
V^
sao cho
y
=
VFQ
•
• •
W^A^-I^^X
+ z. Do
dò
F^y
=
V^Wo
• •
•
WM-IV^X
+
V^z
=
V^x.
Suy ra
y
G dom
V^.
Già su rang
u
G
T^o
" • "

WN^IV^XN
nkerV^.
Khi dò ton tai v G dom
V^
sao
elio n = V7o • • •
WN-IV^V
va
F^u
=
0. Mat khàc,
tir
V^v
=
V^Wo
- - •
WN-IV^V
=
V^u
= 0 suy ra
n =
1^0
• • • Wpj-iV^v
= 0. Vi
vày
PFo VF;v-iV^^^7vnkery^
=
{0}. Gòng thuc
(1.1,4)
duac chung minh.

iii) Suy truc
tiép tir
i)
va
ii).
Dac biet, khi
WQ
= • • •
=
WA^-J,
ta co càc he
qua
sau:
He
qua
1.1.1. (cf [11] Gòng thuc Taylor)
Néu F G
L{X)
là toàn té ban dau phài cua V G
R\{X)
tuang
lìng
vói
W G
n[^\
thi vói moi N
e
N*
ta co
7V-1

I=Y1
W'FV'
+
W^V^
trén dom
V^.
7=0
14
He
qua
1.1.2. Néu V G
Ri{X),
W G
R\]^
thi
{
N-l
x^X
:
x=J2^^^
k=0
i)
kevV^
=U^X:
x=
)_^
Wz^,
z^
G
kexV

) ,
l
k-o
ii) dom
V^
=
W^V^XN®keiV^,
iii)
dom
V^
= ìxeX
:
x:=W^y+
^
M/'^^fc,
Zk
GkerF,
geV'^Xr,}-
[ k=0
)
Dinh nghia
1.1.6.
(cf [11]) Toàn
tic
G G
L{X)
duqc ggi là toàn tu ban dau
trai
cua V G
Ri{X)

tuang ung vói W G
Ry
néu thòa m.àn càc dieu kien sau
day:
G^
=
G,
Ini
G
=
ker
W,
GV
=
0 trén dom V
Ky hieu Qy là tàp tàt cà toàn tu ban dau
trai
cua V.
Menh de
1.1.5.
(cf [11]). Néu G là toàn té ban dau
trai
cua V G
R\{X)
ring
vói W G
n\!r^
,
thi
i) Gu = u vói m.gi u G ker

W,
il) WG = 0 trén
doni
G,
iii)
kerG'nkeriy =
{0}.
Dinh ly 1-1.5. (cf [11]) G G
L{X)
là toàn tu ban dau
trai
cua V G
R\{X)
ung
vói W G
R.\l^
khi
va
chi khi G
= 1
- VW trén dom W.
Chù
y 1.1.1. Khi V là toàn tu khà nghich phài thi toàn tu ban dau phài cua
V
trìmg
vói toàn tu ban dau dà biét cua toàn tu khà nghich phài va toàn tu
ban dau
trai
cua V bang 0.
Vi

du 1.1.1. Già su D G
R{X),R
G
Rp-
Dat
K =
X x X. Xét càc ma tran
vuòng càp 2
vó-i
he so toàn tu nhu sau:
15
De dàng
kieni
tra thày rang Im
l^
C
doni
VF, Im
H^
C dom V. Han
nira,
lai co
kerV = {(.T,c) :x
GX,CG
kerL>} ^
{(0,0)},
Ini
V = {(0,.T),
xeX}
g/f.

Vi
vày V
eRi{K),
W
eR^.
Vi
du
1.1.2,
Già SU' X là khòng gian tuyén
tinh tìiy y ,
P
e Lo{X)
là toàn tu
chiéu, nghia là
P
7^
0, P
7^
/ va
P^
==
p.
Vay
P
G
Ri
(X), P G
7^},.
Vi
du 1.1.3. Già SU'

X =
(7^[a,
6],
a <
fo <
b,
to
co dinh. Xét càc toàn tu
trén X sau day:
t
{Vx){t) =
x^t)
-
x\to)^
{Wx){t) - Jx{s)ds
- x{to){t - to).
to
t
Khi do,
néu
dat
Z?
= —
va i?
= /,
thi
V =
RD^,
W =
R^D,

DR = I. De
to
kiém
tra thay rang VWV
=
V, WVW =
W,
V^V
= V.
Vay
V
e Ri{X) va
W
G
n\)\
Tlieo càc
dinh ly 1.1.2 va
1.1.5,
ta co
{Fx){t) = ((/ - WV)x)
(t) =
((/ -
R^D'')x)
{t)
=
.T(^n)
+
.T'(f„)(t -
U),
{Gx){i) =

((/ - VW)x){t) = ((/ - RD)x){t)
=
.T(to),
(y\T)(0 = iRD^+'x){t)
=
.T«(0
-
x^'\to),
t
(i-I)!
' ' ^"^
z!
«0
(Fy'.T)(i) =
-T('+'^(io)(i-io),
kerF =
Un{l,0,
dim ker
1/
=
2.
16
Ap dung còng thuc Taylor doi vai mòi x{t) G
C^[a,ò],
ta co
N-l
x{t) = {Fx){t) +
Y,{W'FV'x){t)
+
{W^V''x){t)

i^l
R
r
-1
C
= x{to)
+
x'itoKt
-to)+J2f ^\7^V^^'"-'HtoKs ~ to)ds
1=1
;
co
{i-l)
t
N-l
to
=
x((„)
+
,T'((„)((
-
(O)
+
É
x<-">(to)''^~_^°]jj"'
to
^=0
to
i!
~ ^"^ • y

(iV-1)!
Gms^xx{t) eC°°[a,ò]
va
N^loJ
(7V-1)!
-"^ ^^'"^^ ^•
to
Khi do
oo
x{t)=Y:^-^xiHto).
1=0
Ghuòi trén chmh là chuòi Taylor
kliai
trién tai t =
ÌQ.
1.1.2.
Tinh
chat c{W) va CG{W) cùa
toàn tò
ban dau phài
a)
Tinh
chat c{W)
Dinh nghia 1.1.7. ([20] Przeworska Rolewicz)
17
F^'^
1.1'
• •
' '-••••
'

'• • "'-'
Cho D G R{X)
va
R
E
RD-
Toàn té ban dau
Fo
cua D duqc ggi là co
tinh
' chat c{R) néu vói m.oi k
£ Fsf
deu ton tai
Cf^
E /C
sao cho
k
^k
FoR
z =
-—2
vói moi z G
kerZ?.
A;!
Bay già chung ta
sé
xày dung
tinh
chat c{W) cho toàn
tu'

ban dau phài
doi vài toàn tu khà nghich phài suy róng V.
Dinh nghia 1.1.8. Cho V G
Ri{X) va
W
e
Ry.
Toàn té ban dau phài
FQ
cua V duqc ggi là co tmh chat c{W) néu vói mói fc G iV deu ton tai
dk E IC
sao cho
FQW^Z
=
dkZ
vói mgi z G
kerK
Tàp hap toàn tu ban dau phài cua V co
tinh
chat
c{W)
duac ky hieu là
Ty^w-
Menh de
1.1.6.
Cho V G
Ri{X),
W G
n\,,
dim

kerF =
5, (0 < s <
+oo)
va
(ei,,.,
,65)
là mot ca
sa
cua
kerF.
Di^u
kien càn
va de
de toàn té ban dau
phài
Fo
céa V
co tinh
chat c{W) là vói mgi k
e N
deu ton tai
d^
E )C
sao cho
FoW^ej=dkej,
j =
l, ,s.
(1.1.6)
Chiing minh. Hien nhién,
néu Fo

G
J-'y^w
thi
(1.1.6) duac thòa
man.
s
Nguac lai, vài z G
kevV thi
z
= J2 ^j^j ^^^ ^j ^ ^^ tir
do suy ra
s
ss
FoW^z = ^ FoW^ajCj
=
^ ajdkej
=
dk"^
ajSj
=
dkZ.
j=i j=i j=i
Vay
Fo
G
:Fy^w
Dinh
ly
1.1.6.
Néu dim kevV = 1 thi

Tyy^
=
Ty.
Chung minh. Già
su
dim
kerV
= 1,
tue
là
ker^
=
Un {e} vài e là ca
sa
cua
kerV.
Do
Fo
G
Ty
nén vài moi k
e IN
deu co
FQW^S
G
kerX^.
Tue
là ton tai
•k
dk

G
/C
sao cho
FoWe
=
d^e.
Vày
FQ
CO
tmh chat c{W) nén
Ty^w =
T^
y
•
Vi
du
1.1.4.
Cho X —
IR va
càc toàn tu'
tuyén
tinh trén X nhu sau:
-(:")•
"-^(oj)' (oi)'
^-(J
0^
18
De
kieni
tra thày rang V G

Ri{X),
W,
Wi
G
R\,,
Fi
G
Ty,
k^iV
=
hn{e},
• vài e = (1,0), dim
kerF
=-
1 va
F^W^e
-
2^e,
A:
G
W.
Vay
Fi
co tmh chat c{W).
Vi
du
1.1.5.
Gho X là khòng gian day vò han càc so thuc,
a
=

{ao^cx\^ ),
à
day
ao =
0,
oci ^ Q {i
>_
1),
x = (xo,.xi, )
G
X.
Xét càc toàn tu tuyén tmh
trén X sau
day:
Vx
=
y,
y =
(yo,2/i,.
•
•) vài
y,,.
=
a,,,.T„+i;
n
=
0,1,.

•j^
,

Wx =
z,
z =
(zo.zu )
vai
Zo =
Xo,
Zi = Xu Zn
= ^——,
("•
>
2),
O^n-1
Wox =
t,
t:=
{to.t'U ^) yài to =
0,
ti =xu tn =
,
(n
> 2),
<^77-l
FoX =
u,
u
= (uo.ui, ) vai uo =
xo,
Ui = Xi
-

aiX2,
w,,
=
0,
(n
> 2).
De thày
y
G
i?i(X),
1^,1^0
^
7^[.,
FQ
G
FK
ung vài
Wo,
kevV = lin
{ei,
es}
vài
ei =
(1, 0, ),
62
=
(0,1,0, ),
dim ker
V
= 2

va
Foiy^ei =
lei,
FoW^e2 =
0.e2,
keJN.
Tir
Menh de 1.1.6 suy ra
FQ
khòng co
tinh
chat c{W).
Sau
day
ta xét mot so dac trung cua he toàn tu ban dau phài cua V co
tmh chat c{W).
Già su he
{Fi,.,.,
F^^}
C
F\/vv
> tue
là vài mòi k
e JN
déu ton tai
dii^
G
K'^
sao cho
FiW^z = dii,z

vài
?:-=
l, ,n; z
e
kerV.
(i-1-7)
Ky hieu
Vn := det{d,^f,_i))i^k=h ,n] ' (1.1.8)
FÌ:=(F,, ,F,W/^-1),
^ =
l, ,n;
(1.1.9)
di :=
(rìio, ,di(n-i)),
^ ==
l, ,n.
(1.1.10)
Dinh nghia
1.1.9.
He toàn té
^i,
,^;,, ditqc
ggi là dgc lap tuyén
tinh
trén
n
tàp D néu
^ aiAiX ~
0 vói m.gi x
£

D thi
ai
= 0.
i=ì
19
Menh de 1.1.7. Cho V G
Ri{X),
W
eR\.
va he {Fi, ,F,J d
Ty^y•
Dwu
kien càn
va
du de he vecta toàn té
{Fi, ,
F^,,}
dgc lap tuyén tinh trén ker V là
he
{di,
,dn}
^9<^
làp
tuyén
tinh,
trong
dò Fj va di
duqc xàc dinh bài (1.1.9)
va
(1.1.10).

Chung minh. Già su he
{Fi, ,
F„,}
doc lap tuyén
tinh
trén ker V
va
71
n
V^
P-di
= 0, vài
/3i e IC tue
là
Y^
ftidik
=
0,
A:
—
0, , n - 1.
1=1
i=l
Suy
ra
71 71
^PiFiW^z^O,
fc
=
0, ,r?,

- 1
^^/3iFi^-0,
V^
G
kerì/.
1=1
i=l
Theo già tliiét suy ra
Pi ~
0 vài i
=
1, ,,
n. Vay he
{d], ,
d^}
doc lap
tuyén tmh.
Nguac lai, néu he
{di, ,
d^^}
doc lap tuyén
tinh va
n n
Y^
PifiZ
= 0,
\/z e kei
V,
ngliìa
là

^
PÌFÌW''z
= 0,
VA:
= 0,. , n - 1.
i=l
t=l
Do
do
J^A^ifc^
= 0, V2
G ker
F,
A:
=:
0, ,r?. - 1.
1=1
Vi
dim ker V
^
0 nén ton tai z
^
0. Suy ra
n n
J2PidiM=-0,
A:
=
0, ,n-1;
tue là
J^/5,d,-0.

i=l
z=l
Tir
già thiét suy ra
Pi =
0. Vày he
{Fi, ,
Fn}
doc lap tuyén tfnh trén ker
V,
Dinh ly 1.1.7. Cho V G
Ri{X),
W G
7^|,
m
he
{Fi, ,F„}
C
Fi/^v-
i'^^eu
kien càn
va
du de
Vn ^ Q
là he
{Fi, ,
Fn}
dgc lap tuyén
tinh
trén

Pn{W),
ò
day
F„(H/) =
lin{TF'^^,
^GkerF,
A—0,
,n
- l}
. (1.1.11)
20
Chung minh. Già su
Vi
7^
0,
tue
là he
{di, ,
d,,}
doc lap tuyén tfnh,
tir
Menh
de 1.1.7 suy ra he vecta toàn tu
{Fi,
•
•
•, Fn}
doc lap tuyén
tinh
trén ker

V va
già su
n
Y,aiFiX
=
Q,
yx^Pn{W).
i=i
Suy ra
71
^aiFiW^z^Q,
VA:-0, ,n-1;
2 G
kerì/.
i=l
T7.
^
Tir
dò dàn dén
X]
^ÌFÌ^
= 0-
Theo già thiét suy ra
a^
=
0. Vay he
{Fi, ,
F„
}
i=l

doc lap tuyén tfnh trén
Pn{W).
Nguac lai, già su he
{Fi,
,Fn}
doc lap tuyén tfnh trén
Pn{W)
va
n
y^
aiFiZ =
0,
V2
G ker
K,
a^
G
/C.
7=1
Suy ra
n
Y^aiFiW'^z^O,
VA;-0, ,n-1,
^GkerK
7:=i
Nén
n—l
71
J2 /?fc
X]^^^^^'^'^^

-
0,
V/3fc
G IC.
Do do
fc
=
0
7=1
71
n—l
71
^ QiFi Yl PkW'^) =0<^Y1 "'^-'^ = 0' ^•'^ ^ ^"(^)
i=0
k=0
i=l
Tir
già thiét suy ra
ai =
0,
z =
1, , n. Vay he
{Fi, ,
F„}
doc lap tuyén tfnh
trén
kerV.
Tii'
Menh de 1.1.7 suy ra
Vn

7^
0. Dinh ly duac chung minh.
b) Tfnh chat CG{W)
Dinh nghia 1.1.10. Cho V G
Ri{X) va
W
e
Ri.
Toàn té ban dau phài
Fo
ella
V
dicqc
ggi là
co
tinh chat
CG{W)
(tue
là tinh chat
c(W)-
suy róng) néu
ton tai bó càc khóng gian con
Zi, ,
Zs
(5 > 2)
cria kerV
sao cho
21
i)
kerV = 0Zj

vói
Zj ^
{0},
Zi
n
Zj
= {0}, i
7^
j,
ii^
FQVF'^ZJ
=
CkjZj
vói mgi
Zj
G
Zj^
c^.
e
ÌC,
k
e
W,
(^(i
day
Coj = l
vi
FQZ
~
z vói mgi z G ker V).

Tàp
hgp
càc toàn tu ban dau phài cua V
co
tfnh chat
CG{W)
duac ky hieu
là
F\/,VVG*
Menh de
1.1.8.
Cho V G
Ri{X),
W G
R},,
dim kerì/ < +00,
kerF - 0
Zj,
(5 > 2). Dieu kien
càn va dd
de
FQ
G
J^y
co tinh chat
CG{W)
là vói mói k
E
IN
deu ton tai

c^j
G
/C
sao cho
FoW Cij
—
CkjSij
à
day
(eij, ,
e^jj)
là mot ca
sa
cua Zj
(j
— 1, , s;
z =
1, ,
5j).
Chung minh. Néu
Zj
G Zj
thi Zj
=
^
CLÌ^ÌJ^
ai
G
/C.
Tir dò suy ra

i=l
Sj Sj Sj
FoW^Zj
=
FoW^
^ OiCij = ^ aiCkjEij
=
CA;J
^
0^6^^
=
c^^^j.
1=1 1=1 1=1
Vay
Fo
co tfnh chat CG{W).
Tir Dinh nghia 1.1.9
va
Menh de 1.1.8 suy ra rang moi toàn tu ban dau
phài co tfnh chat c{W) déu co tfnh chat
CG{W).
Dac biét néu dim
keiV
= 1
thi
J^y^w
=
^V,WG'
Vi
du duài

day
chi ra rang ton tai F G
Fy
co tfnh chat CG{W) nhung
khòng co tfnh chat c{W).
Vi
du
1.1.6.
Gho X =
K^
vài K =
C{R).
Xét càc toàn tu tuyén tfnh trén X
sau
day:
/ /
o\
(li
li
0
=
1
0 Q
D I
loOi?
V=\
I I
Q \,
W=\
li li Q

^^
=
I
1^
i^
0
ì
,
F,
=
(
#/ |/ 0
0 0
i?i/
V 0 0
K-
22
à day
f
t
^ =
Jt'^^j'^'^
/' ^^•'''^^^^ ^ ^^'^' ""^^^ e
/r,
z
G
W*,
(/.7:)(0
= x(0
0 i

De dàng kiém tra thày V G
i?i(X),
W,
Wi
G
7?.|^,
F^
G
Fu
ung vài
H/^
va
kerl/
=
ZieZ2,
Zi -lin{ei
:
a
=
{t\-t},Q),
i e
N},
Z2 =
lin{t;:
z;
=
(0,0,1)},
FiW'z=
(^)
z vài

zeZu
FiW^v
=
-~v
vài
V
G
Z2.
k\
Vày
Fi
G
Fi/
co tfnh chat
CG{W)
nhung khòng co tfnh chat c{W).
Bay già, ta xét mot so dac trung mài cua he toàn tu ban dau phài cua
V G
Ri{X) co
tfnh chat
CG{W).
Già su he
{Fi, ,F„}
C
J^y^Wc
™S "^ó^i
bo khòng gian con khòng tàm
thuòng
{Zi, ,
Z5}

cua
kerì/,
Khi dò vài mòi k G
W,
v G
{1, ,
5} déu ton
tai
Ciky
G
/C
sao
elio
FiW^z^=CikvZxn yzyeZy]
i
=
l, ,n. (1.1.12)
Ky hieu
V^:'^
- det{ci^,_ij„)i^,= i n
(1.1-13)
Fi
:=
(F,, ,
FiVW'-'),
,: =
1, ,
n
(1.1.14)
Cl''^

•=
{ciOv^ ^Ci{n-i)v):
i =
l, ,n.
(1.1.15)
Ta biét rang, toàn tu ban dau phài FQ
CO
tfnh chat CG{W) vài bo khòng
gian con
Zi, ,,
Zg
cua ker V khi va chi khi
FQ
CO
tinh
chat c{W) trén mòi khòng
gian
Zi,
Z5.
Vi vay, dua vào Menh de 1.1.7
va
Dinh ly 1.1.7 suy ra càc két
qua sau:
23
Menh de 1.1.9. Cho
V
G
Ri{X),
W
G

R\,
va
he
{Fi, ,Fn}
C
Fi/ir^-
Va?,
m.oi V G
{1, ,
s}, dieu kien càn
va
du de he
càc vecta
{Fi, , F„}
dgc lap
tuyén tinh trén
Zy
là he càc vecta
{C}''\
,
C,/
}
dgc lap tuyén tmh.
à
day
Fi,
C|'^
duqc xàc dinh bài (1.1.14)
va
(1.1.15).

Dinh ly 1.1.8. Già
sé V
e
Ri{X),
W
G
Ri va
he
{Fi, ,Fn}
C
J='y,Wa-
Vài
moi V G
{1, ,
s},
Dieu kien càn
va
du
de
Vn^
^ 0
là he {F\, ,
Fn}
dgc lap
tuyén tinh trén
P^rviW),
à
day
Vn dicqc
xàc dinh bài (1.1.13)

va
P,,,,{W)=\m{W^z^:
Zy^Zy,
A =
0, ,
n -
1}. (1.1.16)
1.2.
Càc
còng
thiic
nói suy
co*
bàn
Trong muc này, chung
ta
de cap dén càch giài bài toàn noi suy tong quàt
sinh bài toàn
tu
khà nghich phài suy róng
V
vài he toàn
tu
ban dau phài
co
tfnh chat
c{W)
hoac CG{W). Tir do xày dung duac càc còng thuc noi suy co
bàn doi vài bài toàn noi suy Hermite, noi suy Lagrange, noi suy Newton.
Dinh nghia 1.2.1. Cho

V
G
Ri{X) ,
W
G
R\,.
Phàn
té
N
u^^W'^-h.n
vài
^iv/O;
zu ,zj^
ekevV,
(1.2.1)
m-l
dicqc
ggi
làV~
da thuc bac
N
—
l.
Xét bài toàn noi suy tong quàt (BTNSTQ) sau day:
Gho
n
tap hiru han
J^;,
(z =
1, , n) càc so nguyén khòng

ani
vài
#7^
—
r,;,
ri +
• • •
+ rn =
N.
Tini w
là
ì/
-
da thuc bac
A^
-
1 thòa
man
TV diéu kien sau:
FiV^u^Uikvàìk^Ii,
z =
l, ,n;
(1.2.2)
trong
&ÓV
eR,
(X),
W
e
n^y\

{Fu ,
F„} e
Tv^wa,
ker
V =
^ Z„
G
e Gy
v=l
ung vài
W
thòa
man diéu kien
Gzy =
dyZy,
Vzy
G
Zy,
dy
G
/C va Uik
G
kerì/
dà
elio.
(Tue
là,
tini
u
tlióa man

phuang trinh
V^u
=
0
va FiV^u
=
liik)-
24