Về phép biến đổi FOURIER phân và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Phạm Thị Thảo
VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Phạm Thị Thảo
VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán học tính toán
Mã số: 60 46 30
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. NGUYỄN MINH TUẤN
Hà Nội - 2012
Lời cảm ơn
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy tôi,
PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn, người thầy kính mến đã hết lòng dạy
bảo, hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện
luận văn Thạc sỹ và những năm t rước đó khi tôi thực hiện khóa luận tốt
nghiệp.
Tôi xin cảm ơ n các thầy cô trong khoa Toán-Cơ-Tin học, trườ ng Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình dạy bảo và tạ o
mọi điều kiện thuận lợi cho tô i trong suốt những năm học vừa qua. Đồng
thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô và các anh chị trong
Seminar "Giải số phương trình vi phân" thuộc bộ môn Toán học Tính toán
và Toán ứng dụng, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia
Hà Nội về những trao đổi khoa học quý báu.

Nhân dịp này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị em
đồng nghiệp, bạn bè và các anh chị em trong nhóm Toán học Tính toán,
Cao học 2009-2011 về những hỗ trợ, chia sẻ và giúp đỡ trong suốt thời gian
tôi học tập và thực hiện luận vă n.
Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến gia đình tôi, những
người đã ủng hộ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt những năm tháng qua
để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
i
Lời mở đầu
Những kiến thức ban đầu liên quan đến phé p biến đổi Fourier phân đã
được xây dựng từ những năm 1920-1930. Sau đó, phép biến đổi này nhiều
lần được phát triển. Trong suốt thập niên 1980, nó nhận được sự quan tâm
của một số nhà toán học [7, 9]. Trong [7, 9], các tác giả V. Namias, A.C.
McBride và F.H. Kerr khô ng chỉ đưa ra định nghĩa chuẩn cho phép biế n
đổi Fourie r phân như là sự tổng quát hóa của phép biến đổi Fourier thông
thường mà còn ph át triển các phép toán tử cho biến đổi này đồng thời ứng
dụng nó để giải quyết các vấn đề trong cơ học lượng tử. Tuy nh iên, phép
biến đổi Fourier phân chỉ thực sự được quan tâm mạnh mẽ từ sau loạt bà i
báo về ứng dụng trong quang học, xử lý tín hiệu [2, 3, 8, 10]. Từ đó đến nay,
nó đã trở thành một một công cụ rất hiệu quả trong xử lý các tín hiệu có
tần số phụ thuộc thời gian và xử lý các tín hiệu quang học . Nhiều nghiên
cứu trên phép biến đổi Fourier phân đã được thực hiện nhằm giải quyết các
bài toán ứng dụng trong quang học, xử lý tín hiệu, hệ động lực học, quá
trình ngẫn nhiên.
Trong thời gian gần đây lý thuyết về tích chập của phép biến đổi Fourier
phân đã được nhiều tác giả quan tâm [6, 12, 4, 13]. Dựa trên những kết quả
đã có về tích chập của phép b iến đổi Fourier, cá c tác giả tập t rung xây dựng
các tích chập đối với phép biến đổi Fourier phân và ứng dụng các tích chập
trong thiết kế bộ lọc.
Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận, gồm hai chương:

i
Chương 1 trình bày các kiến thức nền tảng về phép biến đổi Fourie r
phân bao gồm định nghĩa, biểu diễn tích phân, c ác tính chất và ph ép toán
toán tử. Trong chương này, luận văn cũng g iới thiệ u một vài ứng dụng của
phép biến đổi Fourier phân trong cơ học lượng tử và xử lý tín hiệu.
Chương 2 xây dựng các tích chập có trọng, tích chập suy rộng của phép
biến đổi Fourier phân và ngược của nó đồng thời á p dụng các chập này để
giải phương trình tích phân dạng chập.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên
luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhậ n được sự
đóng góp của các thầy cô và các bạn để nội dung luận văn được hoàn thiện
hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, năm 2012
Học viên
Phạm Thị Thảo
ii
Bảng ký hiệu
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
F T Phép biến đổi Four ier
F RF T Phép biến đổi Four ier phân
H
n
(x) Đa thức Hermite bậc n: H
n
(x) = (−1)
n
e
x
2
d

n
dx
n
e
−x
2
với n ∈ N.
φ
n
(x) Hàm Hermite bậc n: φ
n
(x) = e
−
x
2
2
H
n
(x).
• Không gian L
1
(R) :=

f : R → C :

R
|f (x)|dx < +∞

• Với f ∈ L
1

(R) và kí hiệu N
n
:=
1
√
2π|sin α|

R
|φ
n
(x)|dx,
f
0
:=
1

2π |sin α|

R
|f(x)|dx,
f
1
:=
N
n

2π |sin α|

R
|f(x)|dx.

iii
Mục lục
Lời cảm ơn i
Lời mở đầu i
Danh mục các ký hiệu iii
1 Phép biến đổi Fourier phân 1
1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier phân . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Biển diễn tích phân của phép biến đổi Fourier phân . . . . . 3
1.3 Phép tính toán tử tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Phép biến đổi Four ier phân của một số hàm thường dùng . . 11
1.5 Ứng dụng của phép biến đổi Fourie r phân . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Ứng dụng trong cơ học lượng tử . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2 Ứng dụng trong xử lý tín hiệu . . . . . . . . . . . . . 19
2 Tích chập của phép biến đổi Fourier phân 29
2.1 Về tích chập của biến đổi Fourier phân . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Một số tích chập có trọng của biến đổi Fourier phân . . . . . 31
2.3 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Kết luận 45
iv
Chương 1
Phép biến đổi Fourier phân
1.1 Định nghĩa phép bi ến đổi Fourier ph ân
Phép biến đổi Fou rier và phép biến đổi Fourier ngược trong không gian L
2
(R)
được định nghĩa như sau
g(u) =
1
√
2π

∞

−∞
f(x)e
−iux
dx, (1.1.1)
f(x) =
1
√
2π
∞

−∞
g(u)e
iux
du, (1.1.2)
trong đó Phương trình (1.1.1) thường được xem là Fourier và Phương trình
(1.1.2) là Fourier ngược. Chuyển sang dạng toán tử, phép biến đổi này được
cho bởi công thức sau
F
π
2
[f(x)] =
1
√
2π
∞

−∞
f(x)e

−iux
dx, (1.1.3)
F
−
π
2
[f(x)] =
1
√
2π
∞

−∞
f(x)e
iux
dx. (1.1.4)
Toán tử F
π
2
và F
−
π
2
là các liên hợp phức của nhau, thỏ a mãn hệ thức
F
π
2
F
−
π

2
= F
−
π
2
F
π
2
= 1. Chúng ta chú ý rằng nếu
F
π
2
[f(x)] = g(u) thì F
π
2
[g(u)] = f (−x), (1.1.5)
1
1.1. Định nghĩa phép biến đổi Fourier phân 2
và nếu
F
π
2
[f(−x)] = g(−u) thì F
π
2
[g(−u)] = f(x). (1.1.6)
Có thể chỉ ra rằng hàm riêng của phép biến đổi Fourier là các hàm Hermite
e
−x
2

/2
H
n
(x) với giá trị riêng e
−in
π
2
, trong đó H
n
(x) là đa thức Hermite cấp
n. Điều này được biểu diễn dưới dạng toán tử
F
π
2

e
−x
2
/2
H
n
(x)

= e
−in
π
2
e
−x
2

/2
H
n
(x). (1.1.7)
Bây giờ, chúng ta mở rộng phươ ng trình giá trị riêng này với tham số liên
tục α
F
α

e
−x
2
/2
H
n
(x)

= e
−inα
e
−x
2
/2
H
n
(x). (1.1.8)
Toán tử tổng quát F
α
có thể được biểu diễn dưới dạng e
−iαA

. Từ dạng này,
toán tử A được xác định bằng một vài kỹ thuật biến đổi đại số
A = −
1
2
d
2
dx
2
+
1
2
x
2
−
1
2
. (1.1.9)
Biến đổi Fourier và Fourier ngược lần lượt ứng với các giá trị α =
π
2
và
α = −
π
2
. α = 0 ứng với toán tử đồng nhất còn α = π ứng với toán tử chẵn
lẻ. Nếu chúng ta xác định cấp a của phép biến đổi Fourier phân bằng côn g
thức a = α/(π/2) thì phép biến đổi Fourier thông thường có cấp 1. Cấp của
phép biến đổi được giới hạn trong đoạn −2 ≤ a ≤ 2.
Các tính chất dưới đây được suy ra trực tiếp từ biển diễn toán tử.

Tuyến tính. F
α


k
b
k
f
k
(u)

=

k
b
k
F
α
[f
k
(u)].
Biến đổi ngược. (F
α
)
−1
= F
−α
.
Unitary. (F
α

)
−1
= (F
α
)
∗
.
Cộng chỉ số. F
α+β
= F
α
F
β
.
Giao hoán. F
β
F
α
= F
α
F
β
.
Kết hợp. F
γ
(F
β
F
α
) = (F

γ
F
β
)F
α
.
Hàm riêng. F
α
[φ
n
(x)] = e
−inα
φ
n
(x).
1.2. Biển diễn tích phân của phép biến đổi Fourier phân 3
Dạng toán tử mặc dù khá hữu dụng trong nghiên cứu lý thuyết nhưng
rất khó để sử dụng vào tính toán. Để khai thác triệt để phép biến đổi mới,
toán tử được biểu diễn lại dưới dạng tích phân. Biển diễn tích phân đượ c tác
giả V. Namias xây dựng lần đầu tiên trong bài báo [9] và sau đó được hai
tác giả A. McBride và F. Kerr [7] điều chỉnh nhằm khắc phục nhữ ng điểm
chưa chặt chẽ.
1.2 Biển diễn tích phân của phép biến đổi Fourier
phân
Phương trình hàm riêng
F
α
[φ
n
](x) = e

−inα
φ
n
(x)
chỉ ra r ằng đa thức Hermite là hàm riêng của toán tử F
α
với giá trị riêng
e
−inα
. Mọi h àm bình phương khả tích f đều khai triển được thông qua các
hàm riêng này

∞
n=0
a
n
φ
n
(x) với
a
n
=
1
2
n
n!
√
π
+∞


−∞
H
n
(x)e
−
x
2
2
f(x)dx.
Tác động toán tử F
α
lên hàm f ta được
f
α
:= F
α
[f] = F
α

∞

n=0
a
n
φ
n

=
∞


n=0
a
n
F
α
[φ
n
] =
∞

n=0
a
n
e
−inα
φ
n
.
Đến đây, chúng ta có định nghĩa của biến đổi Fourier phân dưới dạng chuỗi,
tuy nhiên dạng này không thuận tiện cho mục đích tính toán. Tiếp tục thay
a
n
trong chuỗi bởi biểu diễn tích phân ta thu được
f
α
(p) =
∞

n=0



1
2
n
n!
√
π
+∞

−∞
φ
n
(x)f(x)dx


e
−inα
φ
n
(p)
1.2. Biển diễn tích phân của phép biến đổi Fourier phân 4
=
+∞

−∞

∞
n=0
e
−inα

H
n
(p)H
n
(x)
2
n
n!
√
π
e
−
(
x
2
+p
2
)
/2
f(x)dx
=
1
√
π
√
1 −e
−2iα
∞

−∞

exp

2xpe
−iα
− e
−2iα
(x
2
+ p
2
)
1 −e
−2iα

exp

−
x
2
+ p
2
2

f(x)dx,
trong đó bước biến đổi cuối sử dụng công thức Mehler [5]

∞
n=0
e
−inα

H
n
(p)H
n
(x)
2
n
n!
√
π
=
exp

2xpe
−iα
−e
−2iα
(
x
2
+p
2
)
1−e
−2iα

√
π
√
1 −e

−2iα
.
Để đơn giản biểu diễn, chúng ta sử dụng các đẳng thức sau
2xpe
−iα
1 −e
−2iα
= −ixp csc α,
1
√
π
√
1 −e
−2iα
=
e
−
i
2
(
π
2
α−α
)

2π |sin α|
,
e
−2iα
1 −e

−2iα
+
1
2
= −
i
2
cot α,
trong đó α = sgn(sin α). Rõ ràng là các đẳng thức này chỉ đúng trong trường
hợp sin α = 0, tức là α /∈ πZ. B i ểu diễn tích phân thu được là
f
α
(p) = (F
α
f) (p) =
e
−
i
2
(
π
2
α−α
)
e
i
2
p
2
cot α


2π |sin α|
∞

−∞
exp

−i
xp
sin α
+
i
2
x
2
cot α

f(x)dx,
trong đó α = sgn(sin α) và 0 < |α| < π.
Trong dạng toán tử, biến đổi Fourier phân được định nghĩa (F
α
f) (p) =
f(p) nếu α = 0 và (F
α
f) (p) = f(−p) nế u α = ±π. Điều này vẫn đúng với
biểu di ễn tích phân vừa tìm được vì tại các giá trị này, li m
ε→0
f
α+ε
= f

α
. Do
đó, với tính chất giới hạ n này, ta có thể giả thiết rằng biểu diễn tích phân
đúng trên toà n đoạn |α| ≤ π. Rõ ràng, trường hợp |α| > π có thể lấy modul
và đưa về trường hợp tr ong khoản g [−π, π]. Định lý dưới đây được chứng
minh cụ thể trong [7].
1.2. Biển diễn tích phân của phép biến đổi Fourier phân 5
Định lý 1.2.1. Giả sử rằng α = a
π
2
thì biến đổi Fourier phân có biểu diễn
tích phân
(F
α
f) (p) =
∞

−∞
K
α
(p, x)f(x)dx,
trong đó nhân của biến đổi được xác định là
K
α
(p, x) = c
α
exp

−
ixp

sin α
+
i(x
2
+ p
2
)
2

, c
α
=
e
−
i
2
(
π
2
α−α
)

2π |sin α|
=

1 −i cot α
2π
với a /∈ 2Z; K
α
(p, x) = δ (p − x) với a ∈ 4Z; và K

α
(p, x) = δ (p + x) với
a ∈ 2 + 4Z.
Sử dụng công thức nhân
K
α
(p, x) =














1−i cot α
2π
exp

−
ixp
sin α
+
i(x

2
+p
2
) cot α
2

, nếu α = kπ
δ (p −x) , nếu α = 2kπ
δ (p + x) , nếu α = (2k + 1)π
(1.2.1)
biến đổi Fouri er phân được định nghĩa dưới dạng tích p hân như sau
(F
α
f) (p) =
∞

−∞
K
α
(p, x)f(x)dx
=















1−i cot α
2π
e
i
2
p
2
cot α
∞

−∞
exp

−
ixp
sin α
+
ix
2
cot α
2

f(x)dx, nếu α = kπ
f(p), nếu α = 2kπ
f(−p), nếu α = (2k + 1)π.

Vấn đề điều kiện tồn tại của bi ến đổi Fourier phân đã được ngh iên cứu
trong [11]. Tác giả chỉ ra rằng biến đổi Fourier phân tồn tại trong cùng điều
kiện phép biến đổi Fourier tồn tại.
Một số các tính chất sau của nhân phép biến đổi được suy ra trực tiếp
từ định nghĩa.
1.2. Biển diễn tích phân của phép biến đổi Fourier phân 6
Định lý 1.2.2. Nếu K
α
(p, x) là nhân của phép biến đổi Fou rier phân thì
1. K
α
(p, x) = K
α
(x, p) (đối xứng chéo).
2. K
−α
(p, x) = K
α
(p, x) (liên hợp phức).
3. K
α
(−p, x) = K
α
(p, −x) (đối xứng điểm).
4.
∞

−∞
K
α

(p, t)K
β
(t, x)dt = K
α+β
(p, x) (tính cộng tính).
5.
∞

−∞
K
α
(p, x)
K
α
(t, x)dx = δ(p − t) (tính trực giao).
Mặc dù phép biến đổi Fourier phân được địn h nghĩa với mọi α thực nhưng
do tính tuần hoàn của c ác hàm lượng giác liên quan nên biến đổi này thường
được xét trên đ oạn [−π, π]. Lúc này, dạng tích phân được cho bởi công thức
F
α
[f] (p) =
∞

−∞
f(x)K
α
(x, p)dx, (1.2.2)
trong đó
K
α

(x, p) =




















1−i cot α
2π
exp

i cot α
2
(x
2
+ p

2
− 2xp sec α)

, nếu α = 0,
π
2
, π
δ (x − p) nếu α = 0
δ (x + p) n ếu α = π
1
√
2π
e
−ixp
nếu α =
π
2
là phép biến đổi Four ier phân (FRFT), và
F
−α
[g] (x) =
∞

−∞
g(p)K
−α
(x, p)dp, (1.2.3)
1.3. Phép tính toán tử tổng quát 7
trong đó
K

−α
(x, p) =




















1+i cot α
2π
exp

−
i cot α
2
(x

2
+ p
2
− 2xp sec α)

, nếu α = 0,
π
2
, π
δ (p −x) nếu α = 0
δ (x + p) nếu α = π
1
√
2π
e
ixp
nếu α =
π
2
là phép biến đổi Four ier phân ngược (IFRFT).
Định lý Parseval quen thuộc đối với phé p biến đổi Fourier cũn g được mở
rộng đến phép biến đổi Fourier phân.
+∞

−∞
x(t)y
∗
(t)dt =
+∞


−∞
X
α
(u)Y
∗
α
(u)du.
Bằng việc áp dụng Định lý Parseval, tính chất bảo toàn năng lượng (bảo
toàn chuẩn) dưới đây đã được chứng minh
+∞

−∞
|x(t)|
2
dt =
+∞

−∞
|X
α
(u)|
2
du.
Như vậy, nếu hàm f(x) ∈ L
2
(R) thì ảnh của nó qua phép biến đổi Fouri er
phân cũng là một hàm thuộc không gian L
2
(R).
1.3 Phép tính toán tử tổng quát

Cũng như trong trường h ợp phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Laplace,
phép tính toán tử có thể xây dựng dựa trên phép biến đổi Fourier phân.
Phép biến đổi của tích
Cho f(x) là một hàm bất kỳ thuộc lớp hàm L
2
(R), ta cần chỉ ra phép biến
đổi Fourier phân của x
m
f(x).
Sử dụng công thức truy hồi
H
n+1
(x) + 2nH
n−1
(x) − 2xH
n
(x) = 0,
1.3. Phép tính toán tử tổng quát 8
ta suy ra
F
α

xe
−
x
2
2
H
n
(x)


(p) = pe
−
p
2
2
e
−i(n+1)α
H
n
(p)+ne
−
p
2
2
(e
−i(n−1)α
(1.3.1)
− e
−i(n+1)α
)H
n−1
(p).
Mặt khác, H
′
n
(p) = 2H
n−1
(p) nên
d

dp
F
α

xe
−
x
2
2
H
n
(x)

= −pe
−inα
e
−
p
2
2
H
n
(p) + 2ne
−inα
e
−
p
2
2
H

n−1
(p). (1.3.2)
Rút gọn ne
−inα
e
−
p
2
2
H
n−1
(p) giữa phương trình (1.3.1) và (1.3.2) ta t hu được
F
α

xe
−
x
2
2
H
n
(x)

=

p cos α + i sin α
d
dp


F
α

e
−
x
2
2
H
n
(x)

.
Suy ra
F
α
[xf] =

p cos α + i sin α
d
dp

F
α
[f]. (1. 3.3)
Dạng toán tử của phương trình này là
F
α
x =


p cos α + i sin α
d
dp

F
α
. (1.3.4)
Lặp lại công thức (1.3.4) ta có kết quả
F
α
x
m
=

p cos α + i sin α
d
dp

m
F
α
. (1.3.5)
Từ phương trình (1.3.5) ta có ngay
F
α
[x
2
f] =
1
2

sin 2α(i + p
2
cot α)F
α
[f] + ip sin 2α
d
dp
F
α
[f] − sin
2
α
d
2
dp
2
F
α
[f].
(1.3.6)
Bây giờ ta xét hàm g(x) với giả thiết khai triển được thành chuỗi Taylor
g(x) =

b
m
x
m
. Sử dụng phương trình (1.3.5), ta tìm được phương trình
toán tử tổng quát hơn
F

α
[g(x)] = g

p cos α + i sin α
d
dp

F
α
. (1.3.7)
Tác động toán tử này lên hàm f ta được
F
α
[gf] = g

p cos α + i sin α
d
dp

F
α
[f]. (1.3.8)
1.3. Phép tính toán tử tổng quát 9
Đổi thứ tự của f và g ta cũng tìm được
F
α
[gf] = f

p cos α + i sin α
d

dp

F
α
[g]. (1.3.9)
Vậy biến đổi Fourier phân của x
m
f(x) trong đó f(x) thuộc lớp hàm
Lebesgue L
2
trong khoảng (−∞, +∞) được cho bởi công thức
F
α
[x
m
f(x)] =

p cos α + i sin α
d
dp

m
F
α
[f(x)] . (1.3.10)
Đặc biệt, trong trường hợp m = 2:
F
α

x

2
f(x)

=
1
2
sin 2α(i + p
2
cot α)F
α
[f(x)] + (1.3.11)
1
2
ip sin 2α
d
dp
F
α
[f(x)] − sin
2
α
d
2
dp
2
F
α
[f(x)] .
Phép biến đổi của vi phân
Quy tắc chỉ ra phép biến đổi Fourier ph ân của đạo hàm một h àm số. Bằng

cách sử dụng biểu diễn tích phân (1.2.2) và phương pháp tích phân từng
phần với giả thiết hàm f(x) → 0 khi x → ±∞, ta tìm được
F
α

df
dx

= −i cot αF
α
[xf] +
ip
sin α
F
α
[f].
Sử dụng phương trình (1.3.3), ta được
F
α

df
dx

=

ip sin α + co s α
d
dp

F

α
[f] . (1.3.12)
Dạng toán tử của phương trình (1.3.12) là
F
α

d
dx

=

ip sin α + co s α
d
dp

F
α
, (1.3.13)
và có thể mở rộng đến đạo hàm cấp cao
F
α

d
m
dx
m

=

ip sin α + co s α

d
dp

m
F
α
. (1.3.14)
Trong trường hợp đạo hàm cấp 2, ta có công thức
F
α

d
2
f
dx
2

= (−p
2
sin α+i cos α) sin αF
α
[f]+ip sin 2α
d
dp
F
α
[f]+cos
2
α
d

2
dp
2
F
α
[f]
(1.3.15)
1.3. Phép tính toán tử tổng quát 10
Với hàm g(x) khai triển được thành chuỗi Taylor, ta có
F
α

g

df
dx

f

= g

ip sin α + co s α
d
dp

F
α
[f] . (1.3.16)
Phép biến đổi của tích hỗn tạp
Bằng cách sử dụng công thức (1.3.10) và (1.3.14) trong trường h ợp m = 1

ta tìm được công thức phép biến đổi của tích hỗn tạp
F
α

x
df
dx

=

−sin α + ip
2
cos α

sin αF
α
(f) + (1.3.17)
p cos 2α
d
dp
F
α
(f) +
i
2
sin 2α
d
2
dp
2

F
α
(f) .
Phép biến đổi của thương
Để tìm F
α

f
x

, ta bắt đầ u từ công thức (1.2.3) b ằng cách thay f bởi
f
x
. Công
thức phép biến đổi của thương được cho dưới đây.
F
α

f
x

= −
i
sin α
e
ip
2
2
cot α
p


−∞
e
−
ip
2
2
cot α
F
α
(f) dp. ( 1.3.18)
Phép biến đổi của tích phân
Xét hàm g(x) =
x

a
f(x)dx, ta suy ra f (x) =
d
dx
g(x). Áp dụng công thức
(1.3.12), ta có
F
α
[f] = F
α

d
dx
g(x)


= (ip sin α + cos α)
d
dp
F
α
[g] . (1.3.19)
Đặt g
α
:= F
α
[g] và f
α
:= F
α
[f], ta thu được phương trình vi phân
ip sin α g
α
(p) + c os αg
′
α
(p) = f
α
(p).
Giải phương trình này ta thu được công thức
F
α


x


a
f(x)dx


= sec α.e
ip
2
2
tan α
p

a
e
−
ip
2
2
tan α
F
α
(f) dp. (1.3.20)
Phép tịnh tiến
Bằng cách thay biến x trong công thức (1.2.2) biểu diễn tí ch phân của phép
1.4. Phép biến đổi Fo urier phân của một số hàm thường dùng 11
biến đổi Fourier phân bởi x
′
= x + b ta thu được
F
α
[f(x + b)] = e

ib sin α(p+
1
2
b cos α)
F
α
[f(x)] (p + b cos α). (1.3.21)
Phép mũ
F
α

e
ibx
f(x)

= e
ib cos α
(
p+
1
2
b sin α
)
F
α
[f(x)] (p + b sin α) . (1.3.22)
1.4 Phép biến đổi Fourier phân của một số hàm
thường dùng
Dưới đây, chúng ta liệt kê các biế n đổi Fourier phân của một số hàm th ông
dụng (chứng minh chi tiết có thể tham khảo tại [1]).

Hàm đơn vị. Biến đổi Fo urier phân của hàm f(x) = 1 là
F
α
[1] =

1 + i tan α
2π
e
−i
p
2
2
tan α
khi α =
π
2
+ kπ. Biến đổi là δ(p) khi α =
π
2
+ kπ.
Hàm delta. Biến đổi Fourier phân của hàm f(x) = δ( x − x
0
) là
F
α
[δ(x − x
0
)] =

1 −i cot α

2π
e
i
2
(
p
2
cot α−2px
0
csc α+x
2
0
cot α
)
khi α = kπ. Biến đổi là δ(p − p
0
) khi α = π + 2kπ và α = 2kπ.
Hàm Hermite. Biến đổi Four ier phân của hàm Hermite φ
n
(x) là
F
α
[φ
n
(x)] = e
−inα
φ
n
(x).
Hàm chirp tổng quát. Hàm f(x) = e

i
2
(χx
2
+2γx)
có biến đổi Fouri er phân
là
F
α

e
i
2
(χx
2
+2γx)

=

1 + i tan α
1 + χ tan α
e
i
p
2
(χ−tan α)+2pγ sec α−γ
2
tan α
2(1+χ tan α)
khi α = arctan χ +

π
2
+ kπ.
1.4. Phép biến đổi Fo urier phân của một số hàm thường dùng 12
Hàm Gaussian tổng quát. Hàm f(x) = e
−
1
2
(χx
2
+2γx)
có biến đổi Fourie r
phân là
F
α

e
−
1
2
(χx
2
+2γx)

=

1 −i cot α
χ −i cot α
e
i

2
cot α
p
2
(
χ
2
−1
)
+2pχγ sec α+γ
2
χ
2
+cot
2
α
× e
−
1
2
csc
2
α
p
2
χ+2pγ cos α−χγ
2
sin
2
α

χ
2
+cot
2
α
.
Trong đó χ > 0 được yêu cầu cho sự hội tụ.
Hình 1.1: Các tín hiệu và FRFT của nó (α = π/4): (a) Biển diễn miền thời gian của
hàm Dirac; (b) FRFT của hàm Dirac; (c) Biển diễn miền thời gia n của hàm đơn vị;
(d) FRFT của hàm đơn vị; (e) Biển diễn miền thời g ia n của hàm mũ; (f) FRFT của
hàm mũ. Đường nét liền: phần thực. Đường nét đứt: phần ảo.
1.4. Phép biến đổi Fo urier phân của một số hàm thường dùng 13
Hình 1.2: F RFT của hàm chữ nhật được tính toán với các góc khác nhau. Đường
nét liền: phần thực. Đường nét đứt: phần ảo.
1.5. Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân 14
1.5 Ứng dụng của phép biến đổi Fou r i er phân
Biến đổ i Fourier phân có nhiều ứng dụng tr ong cơ học lượng tử [9], xử lý tín
hiệu [14, 18, 19, 20], quang học [2, 3, 8, 10] và các ứng dụng mới hơn trong
kỹ thuật watermarking [21, 22, 23], công nghệ mã hóa [24], nhận dạng mẫu
[25]. Phần này đề cập đến các ứng dụng của FRFT trong cơ học lượng tử
và xử lý tín hiệu.
1.5.1 Ứng dụng trong cơ học lượng tử
Biến đổi Fourier phân được sử dụng để giải quyết các phương trình v i phân
nảy sinh trong cơ học lượng tử. Trong từng bài toán cụ thể, t ham số α được
tự do lự a chọn một cách phù hợp nhằm đơn giản hóa phương trình. Không
chỉ đối với phương trình vi phân thường, phương pháp này cũn g tỏ ra hiệu
quả với phươn g trình đạo hàm riêng.
Ví dụ 1.5.1. Hàm Green của dao động điều hòa phụ thuộc thời gian
Ta đi xét phương trình Schr¨odinger của dao động điều hòa phụ thuộc thời
gian

−

2
2m
∂
2
ψ
∂x
2
+
1
2
kx
2
ψ = i
∂ψ
∂t
(1.5.1)
trong đó  là hệ số Planck chia cho 2π; k là hệ số đàn hồi với dao động của
vật khối lượng m, năng lượng E. Cho ψ(x, 0) là trạng thái ban đầu củ a gói
sóng. Nghiệm ψ(x, t) được tìm thông qua hàm Green K(x, x
′
, t) thỏa mãn
phương trình (1.5.1) với điều kiện ban đầu K(x, x
′
, 0) = δ(x − x
′
)
ψ(x, τ ) =


+∞
−∞
K(x, x
′
, τ)ψ(z
′
, 0)dx
′
. (1.5.2)
Để đơn giản phương trình ta đặt
z =
4

mk/
2
x, (1.5.3)
z
′
=
4

mk/
2
x
′
, (1.5.4)
1.5. Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân 15
τ =

k/m t = ωt. (1.5.5)

Hàm Green K(z, z
′
, τ) thỏa mãn phươ ng trình
−
1
2
∂
2
K
∂z
2
+
1
2
z
2
K = i
∂K
∂τ
, (1.5.6)
Điều kiện đầu của K l à K(z, z
′
, 0) = δ(z − z
′
). Ph ương trình (1.5.6 ) được
viết lại thành
(A +
1
2
)K = i

∂K
∂τ
,
trong đó A là toán tử trong công thức (2.8). Chúng ta đặt
K(z, z
′
, τ) = F
α
[Φ](z, z
′
, τ), (1.5.7)
trong đó ph ép biến đổi Fourier phân tác động lên biến z. Thay vào phương
trình trên ta có
(A +
1
2
)F
α
[Φ] = i
∂
∂τ
(F
α
[Φ]) . (1.5.8)
Thay vì xem xét α là hằng số, ta cho α phụ thuộc thời gian. Do đó
∂
∂τ
(F
α
Φ) =

∂F
α
∂τ
Φ + F
α
∂Φ
∂τ
.
Vì A giao hoán với F
α
= e
−iαA
nên
∂F
α
∂τ
= −i

∂α
∂τ

Ae
−iαA
= −i

∂α
∂τ

AF
α

= −i

∂α
∂τ

F
α
A.
Phương trình (1.5.8) trở thành
F
α

∂α
∂τ
A − A −
1
2

Φ + i
∂Φ
∂τ

= 0,
và được thỏa mãn khi biểu thức trong dấu ngoặc đồ ng nhất bằng không.
Bây giờ chúng ta chọn
∂α
∂τ
= 1 để phương trình (1.5.8) rút gọn thành
−
1

2
Φ + i
∂Φ
∂τ
= 0 (1.5.9)
1.5. Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân 16
Góc α p hụ thuộc thời gian α = τ +C và chọn C = 0. Lúc này α = τ. Phương
trình (1.5.9) là giải được và có kết quả Φ = e
−iτ
2
F (z), trong đó F(z) là một
hàm nào đó của z cần xác định. Tại τ = 0, α = 0 và F
α
= F
0
là ánh xạ
đồng nhất. Do đó
K(z, z
′
, 0) = F
0
Φ(z, z
′
, 0) = Φ(z, z
′
, 0) = δ (z − z
′
) .
Vì vậy
Φ(z, z

′
, τ) = e
−iτ
2
δ (z − z
′
) . (1.5.10)
Hàm Green được cho bởi
K(z, z
′
, τ) = F
α
Φ(z, z
′
, τ) = F
τ
e
−iτ
2
δ (z − z
′
) = e
−iτ
2
F
τ
δ (z − z
′
) . (1.5 .11)
Ta tìm được

K(z, z
′
, τ) =
1
√
2πi sin τ
e
i
2
[
cot τ(z
2
+z
′2
)−2zz
′
csc τ
]
. (1.5.12)
Ví dụ 1.5.2. Hàm Green của dao động điều hòa có lực tác dụng
Trong một vài ứng dụng của lý thuyết trường và điện lượng tử, ta phải đi
khảo sát hiệu ứng đ ộng lực sinh bởi một ngoại lực phụ thuộc thời gi an F(t)
mà không phụ thuộc vào vị trí . Phương trình Schr¨odinge r của dao động điều
hòa có lực tác dụng là
−

2
2m
∂
2

ψ
∂x
2
+
1
2
kx
2
ψ −xF (t)ψ = i
∂ψ
∂t
, (1.5.13)
Chúng ta viết lại phương trình (1.5.13) bằng các biến rút gọn như bài toán
trên. Đặt f(τ) = F(
τ
ω
)/
√
ωk. Ta xét hàm Green K(z, z
′
, τ) thỏa mãn
phương trình
1
2
∂
2
K
∂z
2
−

1
2
z
2
K + zf (τ)K + i
∂K
∂τ
= 0. (1.5.14)
Điều kiện đầu của K là
K(z, z
′
, 0) = δ(z − z
′
). (1.5.15)
1.5. Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân 17
Đặt K(z, z
′
, τ) = F
α
[Φ](z, z
′
, τ), thay vào phương trình (1.5.14), tương tự
như ví dụ trước ta thu được
F
α

∂α
∂τ
A −A −
1

2

Φ + i
∂Φ
∂τ

+ zf(τ)F
α
Φ = 0 (1.5.16)
Giải hệ gồm hai phương trình (1.3.3) và (1.3.12) với hai ẩn xF
α
(f) và
d
dx
F
α
(f) ta tìm được công thức
xF
α
[f] = F
α

cos α xf − i sin α
df
dx

. (1.5.17)
Sử dụng công thức (1.5.17), phương trình (1.5.16) đượ c viết lại thành
F
α


∂α
∂τ
A −A −
1
2

Φ + i
∂Φ
∂τ
+ f(τ)

cos α zΦ −i sin α
∂Φ
∂z

= 0.
(1.5.18)
Phương trình trên tương đương với

∂α
∂τ
A −A −
1
2

Φ + i
∂Φ
∂τ
+ f(τ)


cos α zΦ −i sin α
∂Φ
∂z

= 0.
Chọn α = τ, ta được phương trình vi phân cấp một
i
∂Φ
∂τ
− i sin τ f(τ)
∂f
∂z
+

z cos τf(τ) −
1
2

Φ = 0. (1.5.19)
Vì F
0
là toán tử đồng nhất nên
Φ(z, z
′
, 0) = F
0
Φ(z, z
′
, 0) = K(z, z

′
, 0) = δ (z − z
′
) . (1.5.20)
Ta đã có công t hức tổng quát tìm nghiệm chính xác của phương trì nh đạo
hàm riêng cấp một. Tuy nhiên trong trường hợp này ta có thể giả thiết
nghiệm có dạng
Φ(z, z
′
, τ) = X(z
′
, τ)δ [θ(τ ) + z −z
′
] , (1.5.21)
trong đó θ(τ ) và X là các hàm cần xác định. Điều kiện đầu của θ và X là
θ(0) = 0 và X(z
′
, 0) = 1.
1.5. Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân 18
Thay (1.5.2 1) vào phương trình (1.5.19) ta được

i
∂X
∂τ
+ (z cos τf (τ) −
1
2
)X

δ + (

dθ
dτ
X −i sin τf(τ)X)δ
′
= 0.
Do đó
dθ
dτ
− i sin τf(τ) = 0, (1.5.22)
i
∂X
∂τ
+ (z cos τf(τ) −
1
2
)X = 0. (1.5.23)
Nghiệm thỏa mãn điều kiện đầu là
Φ(z, z
′
, τ) = e
i
[
z
′
η(τ)−ξ(τ )−
τ
2
]
δ [θ(τ ) + z −z
′

] , (1.5.24)
trong đó
θ(τ) =
τ

0
i sin τf(τ)dτ (1.5.25)
η(τ ) =
τ

0
cos τf(τ)dτ (1.5.26)
ξ(τ) =
τ

0


τ
′

0
sin τ
′′
f(τ
′′
)dτ
′′



cos τ
′
f(τ
′
)dτ
′
. (1.5.27)
Hàm Green cho dao động điều hòa có lực tác dụng là
K(z, z
′
, τ) = e
i
[
z
′
η(τ)−ξ(τ )−
τ
2
]
F
τ
δ [θ + z −z
′
] . (1.5.28)
Ta tìm được
K(z, z
′
, τ) =
1
√

2πi sin τ
e
i
{
z
′
η−ξ+
1
2
cot τ[z
2
+(z
′
−θ)
2
]−z(z
′
−θ) csc τ
}
. (1.5.29)
Ứng dụng này đã được Namias đề c ập chi tiết [9] để giải quyết các vấn
đề khác nảy sinh tr ong cơ học lượng tử như: trạng thái tĩnh và mức năng
lượng của electro n tự do trong từ trường đều không đổi, sự thay đổi của
gói sóng electron trong từ trường đều không đổi, nghiệm của phương tr ình
Schr¨odinger của electron tự do trong từ trường đều biến thiên theo thời gian.