Tích phân ngẫu nhiên đối với martingale

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN VĂN TÍNH
TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI
MARTINGALE
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN VĂN TÍNH
TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI
MARTINGALE
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.15
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. ĐẶNG HÙNG THẮNG
Hà Nội - 2011
Mục lục
Lời nói đầu 5
1 Kiến thức chuẩn bị 7
1.1 Không gian L
p
và tính đo được . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Hàm biến phân bị chặn và tích phân Stieltjes . . . . . . 8
1.3 Không gian xác suất,biến ngẫu nhiên,lọc . . . . . . . . . 9
1.4 Điều kiện hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.2 Hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng . . . . . . . 13
1.6 Thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Kỳ vọng có điều kiện và tính chất . . . . . . . . . . . . . 16
1.7.1 Các định nghĩa của kỳ vọng có điều kiện . . . . . 17
1.7.2 Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện . . . . . . 17
1.8 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Tích phân ngẫu nhiên đối với L
2
-Martingale 26
2.1 Các tập hợp và quá trình dự đoán được . . . . . . . . . . 28
2.2 Khoảng thời gian ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Độ đo trên các tập hợp dự đoán được . . . . . . . . . . . 32
2.4 Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Mở rộng phép lấy tích phân và hàm lấy tích phân . . . . 42
3 Công thức Ito 47
3.1 Quá trình biến phân bậc hai và các tính chất . . . . . . . 47
3.1.1 Định nghĩa và đặc trưng của biến phân bậc hai . 48
3.1.2 Tính chất của biến phân bậc hai đối với L
2
-Martingale 51
i
3.1.3 Định lý giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Công thức Ito một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Ứng dụng của công thức Ito . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.1 Đặc trưng của chuyển động Brown . . . . . . . . 59
3.3.2 Quá trình mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.3 Một họ Martingale sinh ra bởi M . . . . . . . . . 65
Kết luận 71
Tài liệu tham khảo 72
LỜI NÓI ĐẦU
Giải tích ngẫu nhiên ngày nay đóng một vai trò hết sức quan trọng trong
lý thuyết xác suất - thống kê hiện đại, nó có ứng dụng rộng rãi ở tất cả

các lĩnh vực khác nhau như trong công nghệ thông tin, công nghệ viễn
thông, kinh tế, thị trường chứng khoán, bảo hiểm, dự báo rủi ro, trong
nông nghiệp.Và hiện đang được giảng dạy ở hầu hết các trường đại học
trong và ngoài nước, nó thu hút rất nhiều nhà khoa học không ngừng
nghiên cứu và phát triển về nó.
Trong đó tích phân ngẫu nhiên là một trong những khái niệm quan
trọng của giải tích ngẫu nhiên. Từ khái niệm đó người ta đã xây dựng
nên một loại tích phân ngẫu nhiên đối với Martingale,mở rộng tích phân
Ito, chúng rất có ý nghĩa về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng. Do đó
đã được các nhà toán học và các nhà kinh tế nghiên cứu và phát triển.
Phạm vi của luận văn này là hệ thống lại một số kết quả đã có và tìm
hiểu thêm các tính chất của tích phân ngẫu nhiên, xem xét một số ứng
dụng của tích phân ngẫu nhiên, khái quát lại những kiến thức cơ bản
của giải tích ngẫu nhiên và trên cơ sở đó bước đầu tìm hiểu về tích phân
ngẫu nhiên đối với Martingale
Luận văn được chia làm 3 chương cụ thể như sau:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày các kiến thức cơ
sở cần cho các chương tiếp theo.Trọng tâm là: Martingale, martingale
liên tục, martingale liên tục phải, martingale địa phương, martingale
liên tục phải địa phương
Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên. Nghiên cứu các tập hợp và quá trình
dự đoán được, khoảng thời gian ngẫu nhiên, độ đo trên các tập dự
đoán được, mở rộng phép lấy tích phân và hàm lấy tích phân địa
phương
Chương 3: Công thức Ito. Tìm hiểu về biến phân bậc hai và tính chất
của biến phân bậc hai, công thức Ito và ứng dụng của công thức Ito
5
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên
các vấn đề trong luận văn vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể
tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày. Mong được sự chỉ bảo

của thầy cô và sự góp ý xây dựng của bạn bè cũng như đồng nghiệp .
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà nội, ngày 10 tháng 3 năm 2011
Học viên
Nguyễn Văn Tính
6
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian L
p
và tính đo được
Giả sử (S, Σ) là một không gian đo được, gồm một tập hợp S khác rỗng
và một σ- trường Σ các tập con của S. Một hàm X : S → R
d
gọi là
Σ- đo được nếu X
−1
(A) ∈ Σ với mọi tập Borel A trong R
d
, ở đây X
−1
kí hiệu là nghịch ảnh. Một định nghĩa giữ nguyên tương tự đối với hàm
X : S →
¯
R = [−∞, ∞] .Ta sử dụng

X ∈ Σ

có nghĩa là " X là Σ- đo
được " và


X ∈ bΣ

có nghĩa ” X bị chặn và Σ đo được ".
Nếu Γ là một họ con của Σ, một hàm X : S → R
d
gọi là Γ- đơn giản nếu
X =

n
k=1
c
k
1
Λ
k
với c
k
là hằng số trong R
d
, tập hợp Λ
k
∈ Γ, và n ∈ N.
Một hàm như vậy gọi là Σ-đo được. Ngược lại bất kỳ hàm Σ- đo được
là một giới hạn theo từng điểm của một dãy các hàm Σ-đơn giản
Ví dụ : Một hàm Σ-đo được X : S → R là giới hạn theo từng điểm của
một dãy {X
n
} của hàm Σ-đơn giản xác định bởi:
X

n
=
n2
n

k=0
k
2
n
1
{k2
−n
X<(k+1)2
−n
}
+
−n2
n

k=−1
(k + 1)
2
n
1
{k2
−n
X<(k+1)2
−n
}
và |X

n
| ↑ |X| .Ở trên ta có đối số bị chặn của X .
7
Giả sử v là một độ đo dương trên (S, Σ). Một tập hợp trong Σ
của v-độ đo không gọi là một v- tập hợp có độ đo không .Với p ∈
[1, ∞), L
p
(S, Σ, v) biểu thị không gian vectơ của hàm Σ- đo được X :
S → R mà
||X||
p
≡



S
|X(s)|
p
v(ds)


1
p
là hữu hạn .Nếu các hàm là bằng nhau v - hầu khắp nơi, thì L
p
(S, Σ, v)
là một không gian Banach với chuẩn ||.||
p
. Trong trường hợp p = 2 ,
nó cũng là một không gian Hilbert với tích trong (., .) xác định bởi

(X, Y ) =

S
X(s)Y (s)v(ds) với X và Y trong L
2
(S, Σ, v). Bất cứ khi
nào ta xem những không gian theo cách này, nó sẽ được ẩn mà ta đang
xác định các hàm là bằng nhau v-hầu khắp nơi .
1.2 Hàm biến phân bị chặn và tích phân
Stieltjes
Cho một hàm giá trị thực g trên R
+
, biến phân của g trên [0, t] xác
định bởi:
|g|
t
≡ sup

n−1

k=0
|g(t
k+1
) − g(t
k
)|

là sự phân hoạch của [0, t] bởi 0 = t
0
< t

1
< < t
n
= t. Biến phân
|g|
t
tăng theo t . Nếu |g|
t
< ∞, g gọi là biến phân bị chặn trên [0, t].
Nếu điều này đúng với mọi t trong R
+
, g gọi là có biến phân bị chặn địa
phương trên R
+
; và nếu sup
t∈R
+
|g|
t
< ∞ thì g là biến phân bị chặn trên
R
+
. Một hàm liên tục là biến phân bị chặn địa phương trên R
+
nếu và
chỉ nếu nó là hiệu của hai hàm tăng liên tục. Một hàm g có biến phân bị
chặn địa phương trên R
+
cảm sinh một độ đo có dấu µ trên σ- trường
B, trong đó

µ((a, b]) = g(b) − g(a) với a < b trong R
+
và µ({0}) = 0.
Độ đo µ là duy nhất xác định bởi những khoảng ở trên (a, b] cùng với
{0} sinh ra B. Nó là độ đo dương trên (a, b] nếu g tăng và không có các
8
nguyên tử nếu g liên tục. Biến phân |µ| của µ là độ đo liên kết với biến
phân |g|. Nếu f ∈ L
1
([0, t], B
t
, |µ|), thì tích phân Lebesgue-Stieltjes của
f đối với g trên [0, t] xác định bởi

[0,t]
f(s)dg(s) ≡

[0,t]
fdµ
= lim
n→∞

∞

k=0
k
2
n
µ


s ∈ [0, t] :
k
2
n
 f(s) <
k + 1
2
n

+
−∞

k=−1
(k + 1)
2
n
µ

s ∈ [0, t] :
k
2
n
 f(s) <
k + 1
2
n

và |

[0,t]

f(s)dg(s)| 

[0,t]
|f|d|µ|. Nếu tích phân cuối hữu hạn đối
với mọi t ∈ [0, T] và g liên tục, thì

[0,t]
f(s)dg(s) là một hàm liên tục
của t ∈ [0, T] và ta biểu thị nó bởi

t
0
f(s)dg(s). Nếu f là hàm liên tục
trên [0, t], thì tích phân Riemann- Stieltjes của f đối với g trên [0, t] xác
định và bằng với tích phân Lebesgue-Stieltjes ,nghĩa là

[0,t]
f(s)dg(s) = lim
n→∞
N
n

k=1
f(s
n
k
)(g(t
n
k
) − g(t

n
k−1
)), (1.1)
đối với bất kỳ dãy các phân hoạch 0 = t
n
0
< t
n
1
< . . . < t
n
N
n
= t của [0, t]
trong đó s
n
k
∈ [t
n
k−1
, t
n
k
] và max
N
n
k=1
|t
k
− t

k−1
| → 0 khi n → ∞. Nếu g
liên tục, thì

t
0
f(s)dg(s) cũng xác định bởi (1.1) khi f liên tục phải trên
[0, t] với giới hạn trái hữu hạn trên (0, t] hoặc liên tục trái trên (0, t] với
giới hạn phải hữu hạn trên [0, t)
1.3 Không gian xác suất,biến ngẫu nhiên,lọc
Cho(Ω,F, P) ,là một không gian xác suất. Điều này có nghĩa là (Ω,F)
là một không gian đo được và P là một độ đo xác suất trên (Ω,F) ,sao
cho mỗi tập con của một P -tập hợp có độ đo không trong F là trong F.
Kí hiệu ω biểu thị một phần tử sinh của Ω .Đối với hàm Y :Ω −→ R
d
,
(hoặc
¯
R),và một tập A trong R
d
(hoặc
¯
R), Y
−1
(A) ={ω:Y (ω)∈ A} thì
9
cũng viết như {Y ∈ A}.
Ta viết L
p
đối với L

p
(Ω,F, P ). Với X∈ L
1
, E(X) ≡

Ω
X dP biểu thị
kỳ vọng của X .Khi mở rộng ký hiệu đối với Λ ∈ F , E(X,Λ) biểu
thị

Λ
X dP và khi Λ là dạng của {Y ∈ A} ,điều này thì được viết như
E(X;Y ∈ A) .Một hàm F- đo được X: Ω −→ R
d
được gọi là biến ngẫu
nhiên nếu d = 1 hoặc một véc tơ ngẫu nhiên nếu d ≥ 2 .Cho một tập hợp
chỉ số tùy ý Γ và hàm tùy ý X
α
từ Ω tới R
d
hoặc
¯
R, σ-trường σ{X
α
,α
∈ Γ} là σ- trường nhỏ nhất của tập hợp con của Ω sao cho X
α
là đo
được đối với nó cho mỗi α ∈ Γ.Điều này được gọi là σ- trường sinh bởi
tập hợp {X

α
,α ∈ Γ} . Nếu G là một σ- trường con của F , bổ sung
˜
G
của G là σ- trường nhỏ nhất chứa G và tất cả các P- tập hợp có độ đo
không trong F.
Lọc là một họ {F
t
,t ∈ R
+
} của σ- trường con của F sao cho F
s
⊂ F
t
với
mọi s < t trong R
+
. Nếu thoả mãn hai điều kiện sau ,thì {F
t
, t ∈ R
+
}
gọi là một lọc tiêu chuẩn :
(i) F
t
= F
t+
≡

s>t

,với mọi t;
(ii) F
0
chứa tất cả P- tập hợp có độ đo không trong F
1.4 Điều kiện hội tụ
Ta xem lại một vài khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất dưới đây.
Giả định rằng với các tính chất cơ bản của sự hội tụ trong L
p
, theo xác
suất ,và hội tụ hầu chắc chắn , cũng như tính khả tích đều và hội tụ
theo phân phối .
Định nghĩa 1.4.1. Biến ngẫu nhiên X
n
được gọi là hội tụ theo xác xuất
tới biến ngẫu nhiên X nếu với ε > 0 bất kỳ .
lim
n→∞
P [|X
n
− X| > ε] → 0
Định nghĩa 1.4.2. Dãy biến ngẫu nhiên X
n
được gọi là hội tụ hầu chắc
chắn đến biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại tập A có xác suất không sao
cho
X
n
(ω) → X(ω) với ω /∈ A
10
Định nghĩa 1.4.3. Dãy biến ngẫu nhiên X

n
được gọi là hội tụ theo
trung bình bậc p (0 < p < ∞) đến biến ngẫu nhiên X nếu
E|X
n
− X|
p
→ 0, (n → ∞)
Mệnh đề 1.4.4. Cho p ∈ [1, ∞) và {X
n
} là một dãy biến ngẫu nhiên
trong L
p
hội tụ theo xác suất hoặc hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu
nhiên X. Khi đó ba phát biểu dưới đây là tương đương
(i) {X
n
} hội tụ đến X trong L
p
.
(ii) {|X
n
|
p
} là khả tích đều .
(iii) lim
n→∞
E(|X
n
|

p
) = E(|X|
p
).
1.5 Quá trình ngẫu nhiên
Cho một không gian xác suất (Ω,F, P) và một không gian trạng thái đo
được {E,E} , một quá trình ngẫu nhiên là một họ (X
t
)
t≥0
sao cho X
t
là
một biến ngẫu nhiên có giá trị trong E cho mỗi thời điểm t ≥ 0 .Chính
thức hơn, một ánh xạ X:(R
+
×Ω,B
+
⊗F) −→ (R, B) , ở đây B
+
là tập
Borel của không gian thời gian R
+
.
1.5.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1.5.1. . Quá trình (X
t
)
t≥0
được cho là đo được nếu ánh xạ

(R
+
×Ω,B
+
⊗F) −→ (R) :(t,ω ) −→ X
t
(ω) là đo được trên (R
+
×Ω) đối
với σ- trường B(R
+
)⊗F .
Liên kết với một quá trình là một lọc , một chuỗi tăng của σ - đại số
,nghĩa là.
F
s
⊂ F
t
nếu 0  s  t < ∞
Xác định F
∞
bởi
F
∞
=

t≥0
F
t
= σ(


t≥0
F
t
)
11
Nếu (X
t
)
t≥0
là một quá trình ngẫu nhiên,thì lọc tự nhiên của (X
t
)
t≥0
được cho bởi
F
X
t
= σ(X
s
: s  t).
Quá trình (X
t
)
t≥0
được cho là (F
t
)
t≥0
thích nghi, nếu X

t
là F
t
đo được
đối với mỗi t ≥ 0.
Quá trình (X
t
)
t≥0
rõ ràng là thích nghi đối với lọc tự nhiên.
Định nghĩa 1.5.2. . Một quá trình đo được dần dần nếu cho mỗi t hạn
chế của t với thời gian khoảng [0, t] là đo được đối với B[0,t]⊗F
t
, ở đây
B[0,t] là σ-đại số Borel của các tập con của [0, t]
Định nghĩa 1.5.3. Một quá trình (X
t
)
t≥0
được cho là bị chặn nếu có
tồn tại một hằng số K ,sao cho đối với tất cả ω và t≥ 0, thì |X
t
(ω)| < K
Định nghĩa 1.5.4. Cho (X
t
)
t≥0
là một quá trình ngẫu nhiên xác định
trên (Ω,F.P ), và cho X’ = (X


t
)
t≥0
là một quá trình ngẫu nhiên xác định
trên (Ω,F, P) .Thì X và X

có cùng phân bố hữu hạn chiều nếu với mọi
n, 0 t
1
<t
2
<. . . , t
n
<∞, và A
1
, A
2
· · · , A
n
∈ E.
P (X
t1
∈ A
1
, . . . , X
tn
∈ A
n
) = P (X


t1
∈ A
1
, X

t2
∈ A
t2
, . . . , X

tn
∈ A
n
)
.
Một Quá trình ngẫu nhiên d chiều X là một hàm X : I × Ω −→ R
d
trong đó I là một khoảng thời gian trong R
+
và X(t, .) là F- đo được đối
với mỗi t ∈ I .Khi chiều là không quan trọng hoặc được hiểu là xác định
" d-chiều " được bỏ qua. Một quá trình X là đo được nếu X là B×F- đo
được. Ta nói rằng X có giá trị ban đầu x ∈ R
d
nếu 0 ∈ I và X(0, .) = x
hầu chắc chắn. Quá trình X cũng được biểu thị bởi {X
t
, t ∈ I}, hoặc
đơn giản {X
t

} khi I = R
+
. Biến ngẫu nhiên vectơ X(t, .) thì cũng biểu
thị bởi X(t) hay X
t
. Cho một họ tăng {F
t
, t ∈ I} của σ-trường trên Ω
thì quá trình X được gọi là thích nghi với họ này nếu X
t
∈ F
t
với t ∈ I
Quá trình X được gọi là liên tục (phải/trái) nếu t → X(t, ω) là liên tục
(phải/trái) trên I với mỗi ω ∈ Ω. Dĩ nhiên tính liên tục phải (trái) tại
điểm cuối bên phải (trái) của I thì không xác định.
Hai tập hợp của biến ngẫu nhiên (hoặc vectơ) X = {X
α
, α ∈ Γ} và
Y = {Y
α
, α ∈ Γ} ,chỉ số bởi tập hợp tương tự nhau, là bản sao khác
nhau nếu P(X
α
= Y
α
) = 1 với mọi α ∈ Γ. Ta nói X và Y là không phân
12
biệt được nếu P (X
α

= Y
α
với mọi α ∈ Γ ) = 1. Hai tập hợp mà bản
sao của mỗi tập khác nhau không cần phải phân biệt rõ ràng. Tuy nhiên
nếu X và Y là mỗi bản sao khác nhau và Γ là đếm được hoặc X và Y là
quá trình liên tục phải (hoặc trái), thì chúng không phân biệt được. Đối
với tất cả mục đích thực hành quá trình không phân biệt được nên được
coi là giống nhau. Đối với trường hợp cá biệt, nếu trong định nghĩa của
quá trình liên tục ta chỉ cần đòi hỏi rằng hầu hết mọi quỹ đạo liên tục,
như vậy một quá trình sẽ không phân biệt được từ một với tất cả quỹ
đạo liên tục. Thực vậy ta sẽ thường chứng minh rằng trên phần bù của
một P - tập hợp có độ đo không có một bản sao liên tục của một quá
trình đã cho. Điều đó tầm thường để định nghĩa bản sao trên tập hợp
có độ đo không để làm cho nó liên tục trên tất cả Ω. Như vậy một bản
sao là duy nhất về tính không thể phân biệt được. Tương tự như vậy để
điều chỉnh cho đúng nếu ta thay thế liên tục bởi liên tục phải ở trên. Từ
bây giờ quá trình có nghĩa là một quá trình một chiều với I = R
+
trừ
trường hợp quy định
1.5.2 Hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng
1.5.2.1 Quá trình Poisson
Một quá trình N = {N
t
, t ∈ R
+
} là một quá trình Poisson với tham số
α > 0 nếu nó có những tính chất sau đây:
(i) N
0

= 0
(ii) với 0  s < t < ∞, N
t
− N
s
là một biến ngẫu nhiên Poisson với
trung bình là α(t − s) có nghĩa là N
t
− N
s
lấy giá trị trong N
0
sao
cho
P (N
t
− N
s
= n) =
(αt)
n
e
−αt
n!
với mọi n ∈ N
0
(iii) với 0  t
0
< t
1

< < t
l
< ∞,
{N
t
0
; N
t
k
− N
t
k−1
, k = 1, . . . , l}
là một họ các biến ngẫu nhiên độc lập
13
Nhận xét: Mọi quá trình Poisson đều có bản sao với quỹ đạo liên tục
phải. Ta sẽ chỉ sử dụng bản sao này. Hầu chắc chắn quỹ đạo của một
quá trình Poisson là các hằng số trừ tại các bước nhẩy. Các bước nhẩy
này có độ lớn là 1. Số các bước nhẩy này là hữu hạn trong mỗi khoảng
thời gian bị chặn. Nhưng sẽ là vô hạn trong [0; ∞). Lượng thời gian giữa
các bước nhẩy liên tiếp là các biến ngẫu nhiên độc lập và có phân phối
mũ với tham số α. Nhưng nếu T
n
là thời gian giữa các bước nhẩy n
ts
và
(n + 1)
st
thì P (T
n

> t) = e
−αt
với mỗi t .
Đối với một quá trình Poisson N, thì tồn tại một bộ lọc tiêu chuẩn{F
t
}
xác định bởi F
t
= σ{N
s
, 0  s  t} với t ∈ R
+
, vì bộ lọc chứa các tập
P - không của F trong F
t
ta có F
t
= F
t+
.
1.5.2.2 Chuyển động Brown
Một quá trình B = {B
t
, t ∈ R
+
} đươc gọi là một chuyển động Brown
trong R nếu nó có tính chất sau đây:
(i) với 0  s < t < ∞, B
t
− B

s
là một biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn
với trung bình không và phương sai t − s ;
(ii) với 0  t
0
< t
1
< < t
l
< ∞,
{B
t
0
; B
t
k
− B
t
k−1
, k = 1, . . . , l}
là một tập hợp các biến ngẫu nhiên độc lập.
(iii) B là quá trình liên tục,tức là hầu hết các quỹ đạo của B là hàm
liên tục
Một chuyển động Brown trong R
d
là một bộ d- quá trình một chiều
B = {B
t
= (B
1

t
, B
2
t
, . . . , B
d
t
), t ∈ R
+
}
Trong đó mỗi B
i
= {B
i
t
, t ∈ R
+
}, i = 1, 2, . . . , d là một chuyển động
Brown trong R và các B
i
là độc lập với nhau .
Ta sẽ ki hiệu P
x
và E
x
là xác suất và kỳ vọng của một chuyển động
Brown B sao cho B
0
= x hầu chắc chắn
14

Nhật xét : Từ tính chất (i) ta suy ra rằng mỗi thành phần độc lập
của B phân phối của B
t
- B
s
chỉ phụ thuộc vào phân phối của t − s
.Tính chất này được gọi là tính chất thuần nhất theo thời gian hay là
tính dừng .Hơn nữa, nếu B
0
= x hầu chắc chắn, thì xác suất chuyển là
P
t
(x, A) ≡ P
x
(B
t
∈ A) = (2πt)
−
1
2
d

A
exp(−|x − y|
2
/2t)dy
với mọi t > 0 ,x ∈ R
d
.và tập Borel A trong R
d

.Do đó
P
t
(x
0
+ x, x
0
+ A) = P
t
(x, A) với mọi x
0
∈ R
d
Tính chất (ii) ở trên gọi là tính chất có số gia độc lập. Tính chất này
vẫn đúng cho chuyển động Brown d-chiều.
Mọi chuyển Brown đều có một bản sao liên tục .Ta sẽ sử dụng bản sao
này. Chuyển động Brown có lọc tự nhiên xác định bởi:
F
t
= σ{B
s
, 0  s  t} với mỗi t.
Mội tính chất cơ bản của chuyển động Brown là tính chất Markov mạnh.
Tính chất này nói lên điều sau đây: Cho trước diễn biến của một chuyển
động Brown B tới một thời điểm dừng hữu hạn τ , thì dáng điệu của B
sau đó chỉ phụ thuộc vào τ và vào trạng thái B
τ
của B tại thời điểm τ.
Nói chính xác nếu f : R
d

→ R là một hàm đo được Borel và τ là một
thời điểm dừng thì
E(1
{τ<∞}
f(B
τ+t
)|F
τ
) = 1
{τ<∞}
E
B
τ
(f(B
t
)).
Nếu A là tập Borel bất kỳ trong R
d
thì
τ
A
≡ inf{t > 0 : B
t
/∈ A}
là một thời điểm dừng.
1.6 Thời điểm dừng
Một hàm F-đo được τ : Ω →
¯
R
+

được gọi là một thời điểm dừng thích
nghi với bộ lọc {F
t
} nếu {τ  t} ∈ F
t
với mỗi t ∈ R
+
. Nếu {F
t
} là
15
một lọc tiêu chuẩn để F
t
= F
t+
, thì điều kiện trên τ là tương đương với
{τ < t} ∈ F
t
với mỗi t .
Kết hợp với một thời điểm dừng τ là σ-trường F
τ
. Điều này bao gồm
tất cả tập A trong F
∞
≡ ∨
t∈R
+
F
t
, thỏa mãn

A ∩ {τ  t} ∈ F
t
với mọi t ∈ R
+
Định lý 1.6.1. τ là một thời điểm dừng đối với F
t+
nếu và chỉ nếu với
mọi t ∈ R
+
,biến cố {τ < t} là F
t
-đo được
Chứng minh. Cho τ là một F
t+
thời điểm dừng thì với mọi t ∈ R
+
biến
cố {τ < t} là F
t
-đo được.
Do đó 1/n < t ta có

τ  t −
1
n

∈ F
(t−1/n)+
⊂ F
t

như vậy
{τ < t} =
∞

n=1

τ  t −
1
n

∈ F
(t−1/n)+
∈ F
t
Để chứng minh chiều ngược lại nếu t ∈ [0, ∞) ta có {τ < t} ∈ F
t
thì với
mỗi t

τ < t +
1
n

∈ F
(t+1/n)
như một hệ quả mà
{τ  t} =
∞

n=1


τ < t +
1
n

∈
∞

n=1
F
(t+1/n)
= F
t+
1.7 Kỳ vọng có điều kiện và tính chất
Kỳ vọng có điều kiện là một khái niệm rất quan trọng trong lý thuyết
xác suất đặc biệt là trong lý thuyết martingale.
16
1.7.1 Các định nghĩa của kỳ vọng có điều kiện
Định nghĩa 1.7.1. Cho một không gian xác suất (Ω,F, P ) và cho A ∈ F
với P (A) > 0 .Xác định Q(B) = P (B|A) =
P (AB)
P (A)
, với mọi B ∈ F ,
Q(B) là một độ đo xác xuất trên (Ω,F). Nếu X là một biến ngẫu nhiên
,ta xác định kỳ vọng có điều kiện của X đối với A là
E(X|A) =

A
XdQ
Định nghĩa 1.7.2. Giả sử (Ω,F, P) là không gian xác suất,G là σ-đại

số con của F ,X là biến ngẫu nhiên khả tích .Kỳ vọng có điều kiện của
biến ngẫu nhiên X với G đã cho là biến ngẫu nhiên M thỏa mãn các
điều kiện sau:
(i) M là G- đo được
(ii) M thỏa mãn đẳng thức

A
MdP =

A
XdP, A ∈ G
M còn được ký hiệu là E(X|G)
Định nghĩa 1.7.3. Giả sử (Ω,F.P ) là không gian xác suất X là biến
ngẫu nhiên bất kỳ sao cho với xác suất một
min{E(X
+
|G), E(X
−
|G)} < ∞
Khi đó ta nói X có kỳ vọng có điều kiện đối với σ- trường G, và gọi
E(X|G) = E(X
+
|G) − E(X
−
|G)
là kỳ vọng có điêu kiện của X đối với G
1.7.2 Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện
Sau đây là các tính chất cơ bản của kỳ vọng có điều kiện . Các đẩng
thức hay bất dẳng thức trong các tính chất sau được hiểu là đúng hầu
chắc chắn

17
1.Nếu C là hằng số thì E(C|G) = C
2.Nếu X  Y thì E(X|G)  E(Y |G)
3.Nếu a, b là các hằng số thì E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G)
4.|E(X|G)|  E(|X||G)
5. Nếu X và G độc lập thì E(X|G) = EX
6.E[E(X|G)] = EX
7.Nếu G
1
⊂ G
2
thì
E[E(X|G
2
)|G
1
] = E[E(X|G
1
)|G
2
] = E(X|G
1
)
8.Nếu Y là G - đo được và E|Y | < ∞, E|XY | < ∞ thì
E(XY |G) = Y E(X|G)
9. Nếu G
0
= {∅, Ω}(σ- trường tầm thường) thì
E(X|G
0

) = EX
1.8 Martingale
Định nghĩa 1.8.1. Cho X = {X
t
, F
t
, t ≥ 0} là một quá trình khả tích
thì X là một
(i) Martingale nếu E(X
t
|F
s
) = X
s
hầu chắc chắn với mọi 0st < ∞
(ii) Martingale trên nếu E(X
t
|F
s
)  X
s
hầu chắc chắn với mọi 0st
< ∞
(iii) Martingale dưới nếu E(X
t
|F
s
)  X
s
hầu chắc chắn với mọi 0st

< ∞
Định nghĩa 1.8.2. Một martingale X = {X
t
, F
t
, t ≥ 0} được cho là
mộtL
2
-martingale hay martingale bình phương khả tích nếu E(X
2
t
) < ∞
với mọi t ≥ 0
18
Định nghĩa 1.8.3. Một quá trình X = {X
t
, F
t
, t ≥ 0} được cho là một
L
p
bị chặn nếu (sup
t
)
t≥0
E(|X
t
|
p
) < ∞

Định nghĩa 1.8.4. Một quá trình X = {X
t
, F
t
, t ≥ 0} được cho là khả
tích đều nếu và chỉ nếu (sup
t
)
t≥0
E(|X
t
|1
|X
t
|N
) −→ 0 khi N → ∞.
Với p ∈ [1, ∞), M được gọi là một L
p
- martingale nếu nó là một
martingale và M
t
∈ L
p
đối với t. Nếu sup
t∈R
+
E(|M
t
|
p

) < ∞, ta nói M
là L
p
- bị chặn . Tính chất martingale thì được bảo toàn bởi L
p
- giới hạn
khi F
0
là hoàn toàn đầy đủ. Một cách chính xác hơn nữa ta có điều sau
đây
Mệnh đề 1.8.5. Giả sử {X
n
} hội tụ trong L
p
tới X ∈ L
p
đối với
p ∈ [1.∞) .Thì với bất kỳ σ - trường con G của F,{E(X
n
|G)} hội tụ
trong L
p
đến E(X|G)
Chứng minh. Điều này được chứng minh bởi bất đẳng thức Jensen đối
với kỳ vọng có điều kiện thoả mãn
E(|E(X
n
|G) − E(X|G)|
p
)  E(E(|X

n
− X|
p
|G))
= E(|X
n
− X|
p
Mệnh đề 1.8.6. Cho p ∈ [1, ∞). Giả sử {M
n
t
, F
t
, t ∈ R
+
} là một L
p
- martingale đối với mỗi n ∈ N, và đối với mỗi t, M
n
t
hội tụ trong L
p
tới M
t
khi n → ∞ .Nếu F
0
là đầy đủ ,thì {M
t
, F
t

, t ∈ R
+
} là một L
p
-
martingale
Chứng minh. Theo định nghĩa của martingale cố định s < t trong R
+
.Với mọi n
M
n
s
= E(M
n
t
|F
s
) (1.2)
Vế bên trái ở trên hội tụ trong L
p
tới M
s
bởi giả thiết và bởi mệnh đề
1.8.5, vế bên phải hội tụ tới E(M
t
|F
s
) trong L
p
.Do đó

M
s
= E(M
t
|F
s
) hầu chắc chắn
Nếu F
0
là đầy đủ thì M
s
∈ F
s
và khi đó hầu chắc chắn ở trên có thể
bỏ đi.
19
Định nghĩa cho trên là một martingale với tham số liên tục, t ∈ R
+
.
Đôi khi ta sẽ đề cập đến martingale với tham số t bị thu hẹp trên một
tập con của R
+
một khoảng thời gian con hoặc một tập rời rạc của các
điểm
Nếu M = {M
t
, F
t
, t ∈ R
+

} là một martingale, thì với mỗi hằng số
T ∈ R
+
thì dễ dàng kiểm chứng lại rằng M
T
= {M
t∧T
, F
t
, t ∈ R
+
} là
một martingale ,và từ đó M
t∧T
= E(M
T
|F
t
) ,suy ra rằng M
T
là khả
tích đều. Khi T được thay thế bởi một thời gian bị chặn τ, một kết quả
tương tự bảo toàn, cung cấp cho M có quỹ đạo liên tục phải và lọc tiêu
chuẩn. Thực vậy nhiều lý thuyết có ích đối với martingale tham số liên
tục đòi hỏi những giả thiết này. Bởi vậy ta chọn định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.8.7. Một martingale M = {M
t
, F
t
, t ∈ R

+
} được gọi là
liên tục phải nếu
(i) {F
t
, t ∈ R
+
} là một lọc tiêu chuẩn, và
(ii) {M
t
, t ∈ R
+
} có tất cả quỹ đạo liên tục phải
Ví dụ 1. Cho N = {N
t
, t ∈ R
+
} là một quá trình Poisson với tham
số α > 0 và {F
t
} là một lọc tiêu chuẩn liên đới. Thì {N
t
−αt, F
t
, t ∈ R
+
}
là một L
p
- martingale liên tục phải với p ∈ [1, ∞)

Ví dụ 2. Cho B = {B
t
, t ∈ R
+
} là một chuyển động Brown trong R với
B
0
∈ L
p
đối với p ∈ [1, ∞) và cho {F
t
} là lọc tiêu chuẩn liên đới với B.
Thì {B
t
, F
t
, t ∈ R
+
} là một L
p
- martingale liên tục.Hơn nữa, nếu p  2
thì {B
2
t
− t, F
t
, t ∈ R
+
} là một L
p/2

- martingale liên tục
Nếu M là một martingale và điều kiện (i) ở trên là thỏa mãn thì có một
bản sao liên tục phải của M
Định lý 1.8.8. Cho p ∈ [1, ∞) và M là một L
p
- martingale liên tục
phải .Thì với mỗi t và c  0
c
p
P ( sup
0st
|M
s
|  c)  E(|M
t
|
p
; sup
0st
|M
s
|  c) (1.3)
Nếu p > 1, thì với mỗi t, sup
0st
|M
s
| ∈ L
p
và
|| sup

0st
|M
s
|||
p
 q||M
t
||
p
(1.4)
ở đay 1/p + 1/q = 1
20
Chứng minh. Bất đẳng thức (1.3) được áp dụng đối với tham số rời rạc
theo định lý 9.4.1 của Chung [3] thì martingale trên |M|
p
là ước lượng
hữu hạn tại nhiều điểm thời gian và làm cho giới hạn những điểm này
trở thành trù mật hội tụ hầu chắc chắn trong [0, t] , một cách tương
tự (1.4) được áp dụng theo định lý 9.5.4 của Chung [3] đối với [M] là
một martingale trên dương. Bất đẳng thức (1.4) sẽ gọi là bất đẳng thức
Doob. Như trường hợp tham số rời rạc, nó được thay thế bởi một kết
quả phức tạp hơn khi p = 1
Định lý 1.8.9. (Định lý hội tụ martingale)
. Cho p ∈ [1, ∞) và M là một martingale liên tục phải và L
p
-bị chặn
.Khi đó có một biến ngẫu nhiên M
∞
∈ L
p

sao cho lim
t→∞
M
t
= M
∞
hầu
chắc chắn. Hơn nữa, nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện sau đây
(i) p=1 và {M
t
, t ∈ R
+
} là khả tích đều hoặc
(ii) p>1
. thì {M
t
, F
t
, t ∈ [0, ∞]} là một L
p
-martingale trong đó F
∞
=

t∈R
+
F
t
và E(|M
∞

|
p
)= lim
t↑∞
↑ E(|M
t
|
p
)
Chứng minh. Sự tồn tại của M
∞
∈ L
1
sao cho lim
t→∞
M
t
= M
∞
hầu
chắc chắn theo bổ đề của Fatou ta có
E(|M
∞
|
p
)  lim
n→∞
inf E(|M
n
|

p
)  sup
t∈R
+
E(|M
t
|
p
) < ∞ (1.5)
Nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện (i) hoặc (ii), thì M
n
hội tụ đến
M
∞
trong L
1
khi n → ∞. Khi đó đối với n > 1, ta có
M
t
= E(M
n
|F
t
)
và bằng cách cho n → ∞ và dùng mệnh đề 1.8.5, ta được
M
t
= E(M
∞
|F

t
) (1.6)
Từ M
∞
= lim
t↑∞
M
t
hầu chắc chắn và F
∞
là hoàn toàn đầy đủ, ta có
M
∞
∈ F
∞
.Như vậy {M
t
, F
t
, t ∈ [0, ∞]} là một L
p
-martingale .Do đó
{|M
t
|
p
, F
t
, t ∈ [0, ∞]} là một martingale trên ,và do đó
lim

t↑∞
↑ E(|M
t
|
p
) = sup
t∈R
+
E(|M
t
|
p
)  E(|M
∞
|
p
)
21
Bằng cách kết hợp điều này với (1.5) ta thấy rằng bất đẳng thức cuối
cùng ở trên là đúng
Định lý 1.8.10. (Định lý bị chặn Doob). Cho p ∈ [1, ∞) và M là một
martingale liên tục phải L
p
-bị chặn. Nếu p = 1,giả sử M là khả tích đều .
Cho M
∞
∈ L
p
sao cho lim
t→∞

M
t
= M
∞
hầu chắc chắn. Giả sử Γ ⊂ R
+
và {τ
t
, t ∈ Γ} là một họ tăng của thời điểm dừng. Thì {M
τ
t
, F
τ
t
, t ∈ Γ}
là một L
p
-martingale và {|M
τ
t
|
p
, t ∈ Γ} là khả tích đều
Chứng minh. Theo định lý hội tụ martingale, {M
t
, F
t
, t ∈ [0, ∞]} là một
L
p

-martingale và M
t
= E(M
∞
|F
t
) với mọi t. Đối với bất kỳ hai thời điểm
dừng η  σ ,M
η
và M
σ
là trong L
1
,và M
η
=E(M
σ
|F
η
) .Bởi η = τ
s
và
σ = τ
t
với s < t trong Γ ,theo tính chất martingale cho {M
τ
t
, F
τ
t

, t ∈ Γ}
.Mặt khác nếu ta cho η = τ
s
với t ∈ Γ và σ = ∞ thì theo bất đẳng thức
Jensen đối với kỳ vọng có điều kiện ta có
|M
τ
t
|
p
= |E(M
∞
|F
τ
t
)|
p
 E(|M
∞
|
p
|F
τ
t
).
Từ điều này mà M
τ
t
∈ L
p

với mỗi t ∈ Γ và {|M
τ
t
|
p
, t ∈ Γ} là khả tích
đều
Hệ quả 1.8.11. Cho p ∈ [1, ∞) và M là một L
p
-martingale liên tục
phải
(i) Nếu Γ ∈ R
+
và {τ
t
, t ∈ Γ} là họ thời điểm dừng tăng sao cho
sup
t∈Γ
τ
t
 T với T ∈ R
+
, thì {M
τ
t
, F
τ
t
, t ∈ Γ} là một L
p

-martingale
và {|M
τ
t
|
p
, t ∈ Γ} là khả tích đều
(ii) Nếu τ là một thời điểm dừng, thì {M
t∧τ
, F
t
, t ∈ R
+
} là một L
p
-
martingale .Hơn nữa, nếu τ bị chặn ,thì {|M
t∧τ
|
p
, t ∈ R
+
} là khả
tích đều
Chứng minh. Đối với phần (i), từ M
t∧T
= E(M
T
|F
t

) và M
T
∈ L
p
,do đó
{M
t∧T
, F
t
, t ∈ R
+
} thỏa mãn giả thiết của định lý (1.8.10), ta kết luận
(i) từ đó τ
t
∧ T = τ
t
Đối với phần (ii), áp dụng (i) với τ
t
= t ∧ τ với t ∈ Γ = [0, T ] và cố
định T ∈ R
+
. Từ T là tuỳ ý, ta kết luận rằng {M
t∧τ
, F
t∧τ
, t ∈ R
+
} là
một L
p

-martingale ta coi nó như một bài toán để thử lại rằng F
t∧τ
có
thể thay thế bởi F
t
do đó. Nếu τ bị chặn bởi T , thì khả tích đều trên
[0, T]
22
Định nghĩa 1.8.12. {F
t
, t ∈ R
+
} là một lọc tiêu chuẩn và với p ∈ [1, ∞)
một tập hợp M = {M
t
, F
t
, t ∈ [0, ∞]} được gọi là một L
p
-martingale
địa phương. Nếu
(i) M
0
là một biến ngẫu nhiên F
0
-đo được
(ii) Có một dãy {τ
k
, k ∈ N} của thời điểm dừng sao cho τ
k

↑ ∞ hầu chắc
chắn và với mỗi k ,
M
k
= {M
t∧τ
k
− M
0
, F
t
, t ∈ R
+
} (1.7)
là một L
p
-martingale .
Dãy {τ
k
} được gọi là một dãy địa phương hóa đối với M. Khi p = 1, ta
bỏ qua sự xác định ” L
p
” . Nếu M
t
= M
0
∈ F
0
với mọi t, thì M là một
martingale địa phương phù hợp với định nghĩa trên . Một ví dụ ít tầm

thường là một chuyển động Brown trong R. Với biến ngẫu nhiên ban
đầu tùy ý và thường dùng bộ lọc F
t
= σ{B
s
, 0  s  t} .Định nghĩa
trên được thúc đẩy bởi các ví dụ như nơi biến ngẫu nhiên ban đầu M
0
không phụ thuộc vào bất kỳ điều kiện khả tích . Ta sẽ thường bỏ qua
bộ lọc {F
t
} từ kí hiệu đối với một martingale địa phương.
Một L
p
- martingale địa phương M = {M
t
, F
t
, t ∈ R
+
} được gọi là liên
tục phải nếu
(i) {F
t
, t ∈ R
+
} là một lọc tiêu chuẩn , và
(ii) M có tất cả quỹ đạo liên tục phải
Mệnh đề 1.8.13. Cho p ∈ [1, ∞) và M là một L
p

martingale địa phương
với một dãy địa phương hóa {τ
k
} . Nếu với mọi t  0 ta có
{|M
t∧τ
k
|
p
, k ∈ N} là khả tích đều (1.8)
thì M là một L
p
-martingale. Đảo lại thì cũng đúng để chứng minh rằng
M là liên tục phải.
Chứng minh. Giả sử (1.8) là đúng . Thì với t = 0 ta có |M
0
| ∈ L
p
. và
do đó {M
0
, F
t
, t ∈ R
+
} là một L
p
- martingale . Nó được bổ sung bởi
biểu thức (1.7) mà {M
t∧τ

k
, F
t
, t ∈ R
+
} là một L
p
-martingale. Bây giờ
lim
k→∞
M
t∧τ
k
= M
t
hầu chắc chắn và tính khả tích đều (1.8) thì cũng
kéo theo tính hội tụ trong L
p
bởi mệnh đề 1.4.1 . Từ M
t
∈ F
t
cho mỗi
23
t, tương tự mệnh đề 1.8.6 mà {M
t
, F
t
, t ∈ R
+

} là một L
p
- martingale .
Nếu M là một L
p
-martingale liên tục phải thì từ hệ quả 1.8.11 (i) suy ra
{|M
t∧τ
k
|
p
, k ∈ N} là khả tích đều với t cố định
Nếu M là một L
p
-martingale liên tục phải thì có một sự lựa chọn tự
nhiên của dãy martingale địa phương đối với M. Mà chứng tỏ rằng M
là một L
p
-martingale với bất kỳ p ∈ [1, ∞). Dãy này thì được thể hiện
dưới đây.
Mệnh đề 1.8.14. Giả sử M là một martingale địa phương liên tục,và
cho τ
k
= inf{t > 0 : |M
t
− M
0
| > k} với mỗi k ∈ N.Thì với mỗi
p ∈ [1, ∞) , M là một L
p

-martingale địa phương và τ
k
là một dãy địa
phương hóa đối với nó
Chứng minh. Cho {σ
n
} là một dãy địa phương hoá đối với M, sao cho
{M
t∧σ
n
− M
0
, t ∈ R
+
} là một martingale liên tục. Thì
{M
t∧τ
k
∧σ
n
− M
0
, t ∈ R
+
}
là một martingale với mỗi k và n. Bằng định nghĩa của τ
k
ở trên thì bị
chặn bởi k. Do đó M
k

= {M
t∧τ
k
− M
0
, t ∈ R
+
} là một martingale. Bằng
mệnh đề 1.8.13 với (τ
k
được thay thế bởi σ
n
), Do đó τ
k
là một dãy địa
phương đối với M, sao cho đối với mỗi k, M
k
bị chặn trong L
p
, với mỗi
p ∈ [1, ∞)
Ví dụ: Cho B = {B
t
, t ∈ R
+
} biểu thị một chuyển động Brown trong
R
3
. Cho h : R
3

\{0} → R xác định bởi h(x) = |x|
−1
với x ∈ R
3
\{0} . Đối
với mỗi k ∈ N , cho τ
k
= inf{t > 0 : |B
t
|  k
−1
}. Thì {τ
k
} là dãy tăng
của thời điểm dừng , thích nghi với lọc F
t
kết hợp với B, và τ
k
↑ ∞ hầu
chắc chắn từ
P {B
t
= 0 với t > 0} = 0
h là hàm điều hoà trong R
3
\{0} mà bao hàm
D
k
= {x : |x| > k
−1

} với mỗi k
Xác định một hàm g
k
trên bao đóng
¯
D
k
của D
k
bởi g
k
(x) = E
x
{h(B
τ
k
)}
với mỗi x ∈
¯
D
k
, trong đó E
x
biểu thị kỳ vọng cho B
0
= x hầu chắc chắn
24
. Bởi tính chất Markov mạnh và tính đối xứng cầu của B, g
k
có tính

chất giá trị trung bình mà đó là tính chất giá trị trung bình ở trên bề
mặt của bất kỳ một hình cầu đủ nhỏ với x ∈ D
k
giá trị của nó tại x là
như nhau.Điều đó cho thấy rằng g
k
là điều hòa trong D
k
và nó có thể
trở thành liên tục trong
¯
D
k
với giá trị giới hạn là bằng nhau của h . Bởi
nguyên lý giá trị lớn nhất đối với hàm điều hòa g
k
= h trong
¯
D
k
với mọi
k . Đối với k ∈ N và x ∈ D
k
, ta có với mỗi t cố định.
E
x
(h(B
τ
k
)|F

t
) = 1
{τ
k
t}
h(B
t∧τ
k
) + 1
{τ
k
>t}
E
x
(h(B
τ
k
)|F
t
).
Bởi tính chất Markov mạnh trên {τ
k
> t} ta có
E
x
(h(B
τ
k
)|F
t

) = E
x
(h(B
τ
k
)) = g
k
(B
t
).
Bằng cách kết hợp trên, từ g
k
= h trong
¯
D
k
,chúng ta có
E
x
(h(B
τ
k
)|F
t
) = h(B
t∧τ
k
).
Giả sử B
0

≡ x
0
= 0 với mọi k đủ lớn x
0
∈ D
k
và theo trên ta có
{h(B
t∧τ
k
), t ∈ R
+
} là một martingale bị chặn. Điều đó nói lên rằng
{h(B
t
, t ∈ R
+
} là một martingale địa phương. Nhưng nó không là một
martingale bởi vì
E
x
0
(h(B
t
)) = E
x
0
(h(B
0
)) = x

0
với mọi t đủ lớn,
bởi phép tính sau .Đối với t > 0 và R > 2|x
0
|
E
x
0
(h(B
t
)) =
1
(2πt)
3
2

R
3
|y|
−1
e
−|y−x
0
|
2
2t
dy

1
(2πt)

3
2






|y|R
|y|
−1
dy +

|y|>R
|y|
−1
e
−|y|
2
8t
dy






C
1
R

2
(2πt)
3
2
+
C
2
R
Ở đây y ∈ R
3
và C
1
và C
2
là hằng số độc lập đối với t và R .Bởi khi cho
t → ∞ và R → ∞ ,thì dẫn đến lim
t→∞
E
x
0
(h(B
t
)) = 0.
Một phép tính tương tự chỉ ra rằng h(B
t
) ∈ L
2
với mỗi t và cho ước
lượng tốt hơn sup
t0

E
x
0
{(h(B
t
))
2
} < ∞.
25