Giúp học sinh lớp 9 hiểu rõ về mạch cầu

Mục lục
Nội dung Trang
Đặt vấn đề 2
Phần I: Lý thuyết cơ bản 3
A. Sơ đồ mạch điện 3
B. Phân loại 3
Phần II: Các ví dụ – Khai thác phương pháp giải 3
C. Mạch cầu cân bằng 3
I. Tính chất của mạch cầu cân bằng 3
II. Một số ví dụ và phương pháp giải 4
D. Mạch cầu không cân bằng 6
I. Mạch cầu có một điện trở bằng 0 6
II. Mạch cầu có hai điện trở bằng 0 8
III. Mạch cầu có ba điện trở bằng 0 9
IV. Mạch cầu tổng quát
10
Phần III. Kết luận
16
- 1 -
A - Đặt vấn đề
Khi học sinh đã có một khối lượng kiến thức đáng kể về
phần dòng điện không đổi thì việc rèn kĩ năng áp dụng các định
luật về dòng điện không đổi và nâng cao kiến thức có tính hệ thống
khá sâu, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh là hết sức cần thiết .
Việc giải bài tập về mạch cầu đáp ứng được những vấn đề nêu trên.
Ngoài ra, trong một số năm học vừa qua việc thi chọn học sinh
giỏi các cấp và thi vào các trường chuyên cũng thường xuyên đề cập
đến dạng bài tập này. Xuất phát từ thực tế giảng dạy, đặc biệt là việc
bồi dưỡng học sinh giỏi tôi mạnh dạn đưa ra các tình huống và phương
pháp giải bài tập mạch cầu. Qua đây tôi cũng hy vọng giúp học sinh
hiểu được một cách có hệ thống về mạch cầu, góp phần nâng cao chất

lượng giảng dạy.
Nội dung đề tài gồm 3 phần:
Phần I: Lý thuyết cơ bản
Phần II: Các ví dụ – Khai thác phương pháp giải
Phần III: Kết luận
- 2 -
Phần I: Lý thuyết cơ bản
A – Sơ đồ mạch điện
Các điện trở R
1
; R
2
; R
3
; R
4
gọi là các cạnh của mạch cầu. Điện trở R
5
có
vai trò khác biệt gọi là đường chéo của mạch cầu.
B – Phân loại
Người ta phân mạch cầu thành hai loại: Mạch cầu cân bằng và mạch cầu
không cân bằng.
- Khi đặt vào A và B một hiệu điện thế U ≠ 0.
Nếu dòng điện qua R
5
= 0 được gọi là mạch cầu cân bằng.
Nếu I5 ≠ 0. thì được mạch cầu không cân bằng. Mạch cầu không cân bằng
được phân thành hai loại.
+ Loại có 1 trong 5 điện trở bằng 0

+Loại mạch cầu tổng quát không cân bằng có đủ 5 điện trở.
Phần II: Một số ví dụ và phương pháp giải
C. Mạch cầu cân bằng
I. Tính chất của mạch cầu cân bằng.
1. Về cường độ dòng điện.
- Theo hàng ngang, các dòng điện đều bằng nhau.
I
1
= I
2
; I
3
= I
4
(1)
- Theo cột dọc, các cường độ dòng điện tỉ lệ nghịch với điện trở của chúng.
1 3
3
1
I R
I R
=
;
2 4
4
2
I R
I R
=
(2)

2. Về hiệu điện thế.
- Theo cột dọc, các hiệu điện thế bằng nhau.
U
1
= U
3
; U
2
= U
4
(3)
- 3 -
- Theo hàng ngang, các hiệu điện thế tỉ lệ với điện trở của chúng.
1 1
2
2
U R
U R
=
;
3 3
4
4
U R
U R
=
(4)
2. Về điện trở .
Từ (1) và (2) hoặc từ (3) và (4) ta có công thức cầu cân bằng:

1 3
2
4
R R
R R
=
(5)
Chú ý : Công thức (5) được lập ngay trên hình vẽ của mạch cầu, trong đó 4 điện
trở có vị trí như các trung tỉ và ngoại tỉ của một tỉ lệ thức.
Khi mạch cầu đã cân bằng thì bỏ qua R
5
để tính điện trở tương đương của
mạch cầu.
II. Một số ví dụ và phương pháp giải
1. Ví dụ 1.
Cho mạch điện như hình vẽ.
Biết rằng: R
1
: R
2
: R
3
= 1 : 2: 3 ;
I = 1A; U
4
= 1V; I
5
= 0. Tìm R
1
;

R
2
; R
3
; R
4
; R
5
; R
AB
.
Bài giải:
Do I
5
= 0 nên đây là mạch cầu cân bằng.
Ta có:
1 3
2
4
R R
R R
=
=
1
2
Tại nút A: I
1
+ I
3
= I = 1A;

1 3
3
1
I R
I R
=
= 3
⇒ I
1
=
3
4
(A); I
3
= I
4
=
1
4
(A); I
2
=
3
4
(A)
R
4
=
4
4

U
I
= 4 (
Ω
)
R
3
= R
4
/2 = 2 (
Ω
) ; R
1
= R
3
/3

= 2/3 (
Ω
)
R
2
= 2 R
1
= 4/3(
Ω
)
- 4 -
R
5

tuỳ ý vì I
5
= 0
( ) ( )
1 2 3 4
1 2 3 4
AB
R R R R
R
R R R R
+ +
=
+ + +
= 1,5 (
Ω
)
Nếu bỏ qua R
5
, mạch còn (R
1
nt R
2
) // (R
3
nt R
4
)
Hoặc có thể tính
4 3 4 3 3
1

1 .2
4
1,5( )
1
AB
AB
U
U U U I R
R
I I I
+
+ +
= = = = = Ω
2. Ví dụ 2: (Thi HSG tỉnh Hưng Yên 2001 – 2002)
Cho mạch điện như hình vẽ, hiệu điện thế giữa hai đầu M, N của đoạn
mạch không đổi U = 7V. Các điện trở R
1
= 3
Ω
; R
2
= 6
Ω
. PQ là một dây dẫn
dài 1,5 m, tiết diện không đổi S = 0,1mm
2

, điện trở suất
ρ
= 4. 10

-7

Ω
m.
a. Tính điện trở của dây dẫn PQ.
b. Dịch chuyển con chạy C tới vị trí sao cho chiều dài PC = CQ/2. Tính chỉ số
của am pe kế.
Bài giải:
a. S = 0,1mm
2

= 0,1. 10
-6

m
2
.
áp dụng công thức:
7
6
1,5
4.10 . 6( )
0,1.10
l
R
S
ρ
−
−
= = = Ω

b. Nếu học sinh không được trang bị kiến thức về mạch cầu cân bằng thì bài
toán cũng vẫn giải được, song gặp nhiều khó khăn và rất dễ nhầm lẫn.
Ta chỉ cần nhận xét:
PC
PC
1
; R 6
2
R 2 ; 4
1
(1)
2
CQ
CQ
PC
CQ
PC CQ R
R
R
R
= + =
⇒ = Ω = Ω
⇒ =
Mà
1
2
1
(2)
2
R

R
=
- 5 -
Từ (1) và (2)
1
2
PC
PQ
R
R
R R
⇒ = ⇒
Mạch cầu cân bằng
⇒
Số chỉ của ampe kế
bằng 0
I
A
= 0 (A).
D. Mạch cầu không cân bằng
I. Mạch cầu có một điện trở bằng 0 (một trong bốn cạnh của mạch cầu bằng 0).
a. Ví dụ 1:
Cho mạch điện như hình vẽ:
Trong đó : U
AB
= 2V; R
2
= R
3
=

1,5
Ω
; R
4
= 2
Ω
; R
5
= 3
Ω
.
Tìm cường độ dòng điện qua các
điện trở.
* Phương pháp giải: Vẽ lại sơ đồ mạch điện theo nguyên tắc. Những điểm có
cùng điện thế chập lại với nhau.
Bài giải:
Chập A với M, ta có mạch điện như sau:
2
2
3 5
3 5
4
( )
3
3.1,5
1( )
3 1, 5
1 2 3( )
AN
ANB AN NB

U
I A
R
R R
R
R R
R R R
= =
= = = Ω
+ +
= + = + = Ω
4 3,5
5
5
3 4 5
2 2
.1 ( )
3 3
2
2
3
( )
3
9
5
2 2 4
( )
3 9 9
ANB
AN

U
I I A
R
U
I A
R
I I I A
= = = =
⇒ = = =
= − = − =
Hoặc
3
3
2
4
3
( )
1,5 9
AN
U
I A
R
= = =
- 6 -
b. Ví dụ 2: Mạch cầu có điện trở đường chéo bằng 0.
Cho mạch điện như hình vẽ:
Trong đó điện trở của ampe kế :
R
A
= 0; R

1
= R
3
= 2
Ω
; R
2
= 1,5
Ω
; R
4
= 3
Ω
; U
AB
= 1V. Tìm
cường độ dòng điện qua các điện
trở và số chỉ của ampe kế. Chốt
(+) của ampe kế mắc vào đâu?
Bài giải
Do R
A
= 0 nên chập M và N, ta có sơ đồ mạch điện như sau:
Phân tích mạch:
(R
1
// R
3
) nt( R
2

// R
4
)
1 3
13
1 3
2 4
24
2 4
13 24
.
2.2
1
2 2
.
3.1,5
1
3 1, 5
1 1 2
AB
R R
R
R R
R R
R
R R
R R R
= = = Ω
+ +
= = = Ω

+ +
= + = + = Ω
13 24
1
2
AB
AB
U
I A I I
R
= = = =
3 1
1
2 4
I
I I A= = =
(Vì R
1
// R
3
⇒ U
1
= U
3
mà R
1
= R
3
)
U

2
= U
4
= U
24
= I
24
. R
24
= 1/2 . 1 = 0,5 (V)
2
2
2
4 24 2
0,5 1
1,5 3
1
6
U
I A
R
I I I A
⇒ = = =
= − =
Vì I
2
> I
1
nên dòng điện qua ampe kế chạy từ N đến M .
Vậy chốt (+) của ampe kế mắc ở N.

Số chỉ của ampe kế là : I
A
= I
2
– I
1
= 1/12 (A).
- 7 -
* Chú ý:
- Lúc đầu chưa thể xác định được chiều của dòng điện qua ampe kế.
- Phải dùng cả hai sơ đồ, vì trong sơ đồ tương đương ta phải tạm bỏ
nhánh của R
A
.
- Dòng qua ampe kế (tổng quát hơn là nhánh có điện trở bằng 0) chỉ được
tính qua các dòng liên quan ở nút vào N hoặc nút ra của ampe kế.
II. Mạch cầu có hai điện trở bằng 0.
a. Phương pháp giải:
- Vẽ lại sơ đồ mạch điện.
- Kết hợp sơ đồ gốc ban đầu và sơ đồ tương đương.
- áp dụng định luật về nút.
b. Ví dụ 1:
cho mạch điện như hình vẽ:
R
A1
= R
A2
= 0; R
2
= 2

Ω
; ; R
3
= 3
Ω
; R
5
= 6
Ω
; U
AB
= 2 V . Hỏi số chỉ của
ampe kế ?
Bài giải:
Do R
A1
= R
A2
= 0 nên chập A với M, chập B với N ta được sơ đồ tương
đương.
Dựa vào sơ đồ tương đương ta được:
Dựa vào sơ đồ gốc: Tại nút A: I = I
A1
+ I
3

⇒ I
A1
= I - I
3

= 4/3 (A)
Tại nút B: I = I
A2
+ I
2

⇒ I
A2
= I - I
2
= 1 (A)
Vậy số chỉ của ampe kế A
1
là : I
A1
= 4/3 (A)
Vậy số chỉ của ampe kế A
2
là : I
A2
= 1 (A)
- 8 -
Chú ý:
Nên dựa vào nút A và B sẽ tránh được nhầm lẫn. Có thể dựa vào nút M để
tính I
A1
, nút N để tính I
A2
nhưng phải xác định đúng chiều của I
5

.
b. Ví dụ 2:
Cho mạch điện như hình vẽ:
Trong đó R
A1
= R
A2
= 0; R
2
= 3
Ω
; R
4
= 6
Ω
; R
5
= 1
Ω
; U
AB
= 2 V . Tìm cường
độ dòng điện qua các điện trở và số chỉ của ampe kế ?
Bài giải:
Do Do R
A1
= R
A2
= 0 nên chập A, M, N Khi đó không có dòng điện qua R
5

(Vì
U
MN
= 0), ta được sơ đồ tương đương.
2 4 2 4
2 4
2 1
; ;
3 3
U U
I A I A I I I
R R
= = = = = +
Trở về sơ đồ gốc, ta có :
I
A1
= I
2
= 2/3 (A) ( Vì I
5
= 0)
I
A2
= I
4
= 1/3 (A)
III. Mạch cầu có ba điện trở bằng 0.
a. Phương pháp giải:
- Giống như trường hợp mạch cầu có hai điện trở bằng 0 nhưng có thêm điều
kiện dòng điện qua điện trở R

5
là I
5

≠
0.
- 9 -
b. Ví dụ:
Cho mạch điện trở như hình vẽ:
R
4
= 1
Ω
; R
5
= 2
Ω
; R
A1
= R
A2
=
R
A3
= 0 ; U
AB
= 1 V . Ampe kế A
3
chỉ
0,1 A. Hỏi ampe kế A

1
và A
2
chỉ bao
nhiêu?
Bài giải:
Vì Ampe kế A
3
chỉ 0,1 A nên phải
hiểu điện trở của các ampe kế nhỏ
không đáng kể, chứ không phải bằng 0.
Ta có sơ đồ mạch điện tương đương.
Cường độ dòng điện qua R
4
và R
5

lần lượt là:
5 4
5 4
1 1
; 1
2 1
U U
I A I A
R R
= = = = =
I = I
4
+ I

5
= 3/2 (A)
Trở lại sơ đồ gốc:
+ Nếu dòng qua A
3
chạy từ M đến N thì:
I
A1
= I
A3
+ I
4
= 0,1 + 1 = 1,1 (A)
I
A2
=I
5
- I
A3
= 0,5 – 0,1 = 0,4 (A)
+ Nếu dòng qua A
3
chạy từ N đến M thì:
I
A1
= I
4
– I
3
= 1 - 0,1 = 0,9 (A)

I
A2
=I
5
+ I
A3
= 0,5 + 0,1 = 0,6 (A)
IV. Mạch cầu tổng quát.
- Mạch cầu không cân bằng không thể có 4 điện trở bằng 0. Vì khi đó sẽ
xảy đoản mạch.
a. Phương pháp giải.
Có ba phương pháp giải mạch cầu tổng quát: Phương pháp điện thế nút,
phương pháp đặt hệ phương trình có ẩn số là cường độ dòng điện và phương
pháp chuyển mạch sao – Tam giác.
- 10 -
b. Ví dụ:
Ví dụ 1:
Cho mạch điện như hình vẽ, có
R
1
= 1
Ω
; R
2
= 1
Ω
; R
4
= 3
Ω

;
R
5
= 4
Ω
; U
AB
= 5,7V.
Tìm cường độ dòng điện
qua các điện trở và điện trở
tương đương của mạch cầu.
Bài giải:
Do U
AB
= 5,7V > 0 nên V
A
> V
B
nên chiều dòng điện qua R
1;
R
2;
R
3;
R
4
như
hình vẽ:
Cách 1: Dùng phương pháp điện thế nút.
Chọn I

5
có chiều như hình vẽ

. Ta đặt ẩn số là U
1
và U
3
. Khi đó:
U
5
= U
MN
= U
NA
+ U
AM
= - U
3
+ U
1

Tại nút M: I
1
+ I
5
= I
2
1 1 3 2
1 5 2
U U U U

R R R
−
⇒ + =
Do U
2
= U
AB
– U
1
nên :
1 1 1 3
5,7
(1)
1 1 4
U U U U− −
= −
Tại nút N: I
4
+ I
5
= I
3
4 1 3 3
4 5 3
U U U U
R R R
−
⇒ + =
mà U
4

= U
AB
- U
3

⇒
3 3 1 3
5,7
(2)
2 3 4
U U U U− −
= +
Từ (1) ⇒ 9U
1
– U
3
= 22,8 (3)
Từ (2) ⇒ -3U
1
+ 13 U
3
= 22,8 (4)
Từ (3) và (4) ⇒ U
1
= 2,8V; U
2
= 2,9V; U
3
= 2,4V; U
4

= 3,3V; U
5
= 0,4V.
Các dòng điện;
- 11 -
1
1
1
2,8 (A)
U
I
R
= =
2
2
2
2,9 (A)
U
I
R
= =
3
3
3
1,2 (A)
U
I
R
= =
4

4
4
1,1 (A)
U
I
R
= =
5
5
5
0,1 (A)
U
I
R
= =
I
5
> 0 ⇒ chứng tỏ chiều dòng điện qua R
5
ta chọn là đúng.
I = I
1
+ I
3
= 2,8 + 1,2 = 4 (A)
Điện trở tương đương của mạch cầu là R = 1,425 (
Ω
)
* Cách 2: phương pháp đặt hệ phương trình có ẩn số là cường độ dòng điện
Ta có U

AB
= U
1
+ U
2
= I
1
R
1
+ I
2
R
2
= I
1
+ I
2
= 5,7
⇒ I
2
= 5,7 – I
1
(5)
Từ nút M: I
5
= I
2
– I
1
= 5,7 – 2I

1
(6)
U
AM
= U
1
= U
3
+ U
5
⇒ I
1
= 2I
3
+ 4I
5

1 5 1 1 1
3
4 4(5,7 2 ) 9 22,8
2 2 2
I I I I I
I
− − − −
= = =
(7)
Từ nút N: I
4
= I
3

– I
5
=
1
13 34,2
2
I −
(8)
Có U
ANB
= U
3
+ U
4
= 2I
3
+ 3I
4

⇒ 5,7 = 9I
1
– 22,8 + 3.
1
13 34,2
2
I −
1
2,8I A⇔ =
Thay I
1

= 2,8A vào (5) ; (6); (7) . ta có:
I
2
= 2,9A
I
3
= 1,2A
I
4
= 1,1A
I
5
= 0,1A
I = I
1
+ I
3
= 4 (A)
R
tđ
= 1,425
Ω

- 12 -
Ví dụ 2:
cho mạch điện như hình vẽ:
Biết R
1
= R
2

= 1
Ω
; R
3
=2
Ω
;
R
4
= 3
Ω
; R
5
= 1
Ω
; U
BD
=
10V không đổi.
1. Tính cường độ dòng điện qua
mỗi điện trở
2. Xác định chiều dòng điện
qua đoạn mạch EF
3. Tính điện trở của đoạn mạch
BD.

Bài giải:
a. phương pháp đặt hệ phương trình có ẩn số là cường độ dòng điện.
Chọn chiều dòng điện như hình vẽ, ta có:
Tại nút E: I

3
= I
4
+ I
5
(1)
I
2
= I
1
+ I
5
(2)
Có U
BD
= U
1
+ U
2
= I
1
R
1
+ I
2
R
2

⇒ 10 = I
1

+ I
2
(3)
Có U
BD
= U
3
+ U
4
= I
3
R
3
+ I
4
R
4

⇒ 10 =2 I
3
+ 3I
4
(4)
U
BE
= U
BF
+ U
FE
⇒ I

1
= 2I
3
+ I
5
(5)
Kết hợp (1); (2); (3); (4); (5) ta có hệ phương trình:
I
3
= I
4
+ I
5

I
2
= I
1
+ I
5

10 = I
1
+ I
2

10 =2 I
3
+ 3I
4

I
1
= 2I
3
+ I
5

Nhận xét: Việc tìm cường độ dòng điện qua các điện trở theo cách giải trên là
giải được song việc giải hệ 5 phương trình, 5 ẩn số là tương đối phức tạp và khó
giải với nhiều học sinh.
- 13 -
b. Phương pháp điện thế nút.
Chọn ẩn số là U
1
và U
3
.
Ta có : U
FE
= U
FB
+ U
BE
= - I
3
R
3
+ I
1

R
1
= U
5

⇒ U
5
= U
1
– U
3

Tại nút E: I
1
+ I
5
= I
2

1
1 5 2 1 1 3
1 5 2
1 1 1
BD
U U
U U U U U U
R R R
−
−
⇔ + = ⇔ + =

⇔ U
1
+ U
1
– U
3
= 10 – U
1

⇔ 3U
1
– U
3
= 10 (1)
Tại nút F :
I
3
= I
4
+ I
5

3
3 4 5 1 3 3
3 4 5 5 5 3
1 3 3 3
10
1 3 2
BD
U U

U U U U U U
R R R R R R
U U U U
−
−
⇔ = + ⇔ + =
− −
⇔ + =
⇔ 6U
1
–11 U
3
= -20 (2)
Từ (1) và (2) ta có :
1
130
V
27
U =
;
3
40
V
9
U =
⇒
1
1
1
130

:1 4,8 ( )
27
U
I A
R
= = ≈
2
2
2
130
10
27
5,2 ( )
1
U
I A
R
−
= = ≈
3
3
3
40
: 2 2,2 ( )
9
U
I A
R
= = ≈
4

4
4
40
10
9
1,8 ( )
3
U
I A
R
−
= = ≈
I
5
= I
2
– I
1
= 5,2 – 4,8 = 0,4 A
Vì I
5
> 0 nên chiều dòng điện đã chọn là đúng. Dòng qua R
5
có chiều từ F đến E
R
BD
=
10
1, 4
4,8 2,2

U
I
= Ω
+
;
- 14 -
Ngoài các phương pháp giải trên: Để giải bài tập mạch cầu tổng quát ta còn
có phương pháp chuyển mạch sao thành mạch tam giác và ngược lại chuyển
mạch tam giác sang mạch sao. Tuy nhiên việc chuyển mạch là tương đối phức tạp
và chỉ được áp dụng để tính điện trở tương đương của mạch điện là chính nên tôi
không giới thiệu trong chuyên đề này.
- 15 -
Phần III. Kết luận
Trên đây tôi đã giới thiệu một chuyên đề nhỏ về mạch cầu
và phương pháp giải. Do việc tham gia dạy đội tuyển còn ít, với
kinh nghiệm của mình có được qua thực tế giảng dạy tôi muốn trao
đổi với các đồng nghiệp một số vấn đề về nội dung và phương
pháp giải loại bài tập này. Rất mong nhận được những ý kiến đóng
góp chân thành của các đồng chí, giúp tôi bổ sung thêm vốn kiến
thức và kinh nghiệm giảng dạy.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
- 16 -