Giáo trình môn học cơ học lý thuyết

Lời nói đầu
Cơ học lý thuyết là môn khoa học cơ học cơ sở nghiêm cứu chuyển động cơ
học của vật rắn và thiết lập các quy luật tổng quát các chuyển động đó.
Nội dung tài liệu này gồm có ba phần :
Phần một : Tĩnh học ( Chơng I; Chơng II; chơng III )
Phần hai : Động học ( Chơng IV; Chơng V; Chơng VI; Chơng VII )
Phần ba : Động lực học ( Chơng VIII; Chơng IX )
Để phục vụ cho đối tợng học tập trong chơng trình 60 tiết, tác giả đã sắp xếp
nội dung một cách ngắn gọn, chi tiết bao gồm các vấn đề cơ bản và thiết thực.
Nhằm giúp cho sinh viên giải quyết các bài toán thông thờng trong kỹ thuật xây
dựng. Để giúp cho sinh viên tự ôn tập, sau mỗi phần có câu hỏi ôn tập và bài tập
thực hành.
Nội dung tài liệu là một phần của chơng trình cơ học lý thuyết đợc giảng dạy
trong các trờng đại học kỹ thuật. Do đó việc nắm vững nộ dung tài liệu này sẽ
tạo điều kiện cho ngời học nghiên cứu tiếp chơng trình đại học một cách thuận
lợi.
Trong quá trình biên soạn có thể còn nhiều thiếu sót cả về nội dung lẫn hình
thức.Tác giả rất mong độc giả góp ý kiến phê bình để giáo trình ngày càng hoàn
thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn!
Các tác giả
Phần một
Tĩnh học Vật rắn
Tĩnh học vật rắn là phần nghiên cứu trạng thái cân bằng của vật rắn dới tác
dụng của các lực.
3

Hai vấn đề chính đợc nghiên cứu trong phần này:
- Thu gọn hệ lực về dạng đơn giản tơng đơng với nó
- Thiết lập điều kiện cân bằng của hệ lực
Để giải quyết hai vấn đề này ngời ta sử dụng phơng pháp tiên đề (phơng pháp

dựa trên các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề) và phơng pháp mô hình hoá.
Chơng I
các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề của tĩnh học
1.1. Các khái niệm cơ bản và một số định nghĩa
1.1.1.Các khái niệm cơ bản
1.1.1.1.Vật thể.
Mô hình của vât thể gồm:
Chất điểm ( vật điểm ): là điểm hình học có mang khối lợng, là mô
hình của các vật thể mà kích thớc của nó có thể bỏ qua do nhỏ so với
các vật thể khác hoặc không đóng vai trò quan trọng trong quá trình
khảo sát.
Cơ hệ: là tập hợp vô hạn hoặc hữu hạn các chất điểm có quan hệ lẫn
nhau.
o Cơ hệ tự do: là cơ hệ có thể thực hiện đợc mọi di chuyển vô
cùng bé từ vị trí đang xét sang vị trí lân cận của nó.
o Cơ hệ không tự do ( hay cơ hệ chịu liên kết): là cơ hệ mà trong
chuyển động của chúng có một hay một số di chuyển bị cản trở
bởi những vật khác.
Vật rắn tuyệt đối: là hệ các chất điểm mà khoảng cách giữa hai chất
điểm bất kì của nó không thay đổi trong suốt quá trình chuyển động. Nh
thế, dới tác dụng của lực vật rắn tuyệt đối không bị biến dạng - đây là một
sự lý tởng hoá vật rắn.
- Quy ớc gọi tắt vật rắn tuyệt đối là vật rắn hoặc cố thể.
4

1.1.1.2.Vật rắn cân bằng.
- Vật rắn đợc gọi là cân bằng khi vị trí của nó không thay đổi so với vị trí
của một vật nào đó đợc chọ làm mốc để theo dõi chuyển động (hay cân
bằng là sự đứng yên của vật so với hệ quy chiếu đã chọn).
- Trong tĩnh học, hệ quy chiếu đợc chọn là hệ quy chiếu quán tính.

1.1.1.3.Lực.
Lực đợc cảm nhận trong đời sống hàng ngày nh khi xách hoặc đẩy một vật
nào đó qua sự căng của cơ bắp.
Lực là đại lợng đặc trng cho tác dụng tơng hỗ cơ học giữa vật này và vật
khác, kết quả của nó làm cho trạng thái động học của vật bị thay đổi hoặc làm
cho vật bị biến dạng.
Thực nghiệm chứng minh rằng lực đợc đặc trng bởi ba yếu tố:

Điểm đặt của lực: Là điểm mà vật đợc truyền tác dụng tơng hỗ cơ học
từ vật khác.

Phơng, chiều của lực: là phơng chiều chuyển động từ trạng thái yên
nghỉ của chất điểm chịu tác dụng của lực.

Cờng độ của lực: là số đo tác dụng mạnh yếu của lực so với lực đợc
chọn làm chuẩn.
Nh vậy, ta có thể dùng vectơ để biểu diễn các đặc trng của lực, gọi là vectơ
lực. Ví dụ:
, ,QF
1.1.2.Một số định nghĩa:
- Hệ lực.
Tập hợp các lực lực cùng tác dụng lên một vật rắn đợc gọi là một hệ lực.
Kí hiệu: (
n
FFF

,
2
,
1

).
5

F
A

F
B

- Hệ lực tơng đơng.
hai hệ lực
), ,,(
21 n
FFF

và
), ,,(
21 n
PPP

đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có
cùng tác dụng cơ học đối với một vật rắn (nghĩa là nếu đem hai hệ lực tác dụng
lần lợt lên một vật rắn thì trạng thái cơ học của vật trong hai trờng hợp sẽ y nh
nhau).
Ký hiệu hai hệ lực tơng đơng là:
), ,,(
21 n
FFF

~

), ,,(
21 n
PPP

- Hợp lực của hệ lực.
Hợp lực của hệ lực
), ,,(
21 n
FFF

là một lực duy nhất tơng đơng với hệ lực ấy.
Gọi
k
r

là hợp lực của hệ lực
), ,,(
21 n
FFF

ta có:
k
r

~
), ,,(
21 n
FFF

- Hệ lực cân bằng.

Hệ lực
), ,,(
21 n
FFF

tác dụng lên một vật rắn mà không làm thay đổi trạng
thái chuyển động (hay cân bằng) của vật vốn có khi cha chịu tác dụng của hệ
lực ấy đợc gọi là hệ lực cân bằng. Hệ lực cân bằng còn gọi là hệ lực tơng đơng
với không.
ký hiệu:
), ,,(
21 n
FFF

~ 0.
- Hệ vật rắn cân bằng
Hệ vật rắn đợc gọi là cân bằng nếu mỗi vật thuộc vật rắn cân bằng.
- Hệ lực không gian là hệ lực có đờng tác dụng nằm bất kỳ trong không gian.
- Hệ lực phẳng là hệ lực có đờng tác dụng nằm bất kỳ trong mặt phẳng
- Hệ lực song song là hệ lực có các đờng tác dụng song song với nhau.
- Hệ lực đồng quy là hệ lực có các đờng tác dụng đi qua một điểm.
6

- Hệ ngẫu lực là hệ lực có từng cặp lực song song , ngợc chiều và cùng cờng độ.
1.1.3. Liên kết và phản lực liên kết.
1.1.3.1.Vật rắn tự do và vật rắn không tự do.
Vật rắn có thể thực hiện đợc mọi di chuyển vô cùng bé từ vị trí đang xét sang
vị trí lân cận của nó gọi là vật rắn tự do.
Ngợc lại nếu một hay mốt số di chuyển của vật bị cản trở bởi những vật khác
thì vật đó gọi là vật rắn không tự do.

Vật không tự do còn gọi là vật chịu liên kết, còn các vật khác cản trở vật đợc
khảo sát gọi là vật gây liên kết.
Những điều kiện cản trở di chuyển của vật khảo sát đợc gọi là liên kết đặt lên
vật ấy. Trong tĩnh học, ta chỉ nghiên cứu loại liên kết đợc thực hiện bằng sự tiếp
xúc hình học giữa vật thể đợc khảo sát với vật thể khác, đó là những liên kết hình
học.
1.1.3.2.Lực liên kết và lực hoạt động. Phản lực liên kết.
- Những lực đặc trng cho tác dụng tơng hỗ giữa các vật có liên kết với nhau qua
chỗ tiếp xúc hình học gọi là lực liên kết. Còn các lực không phải là lực liên kết
gọi là lực hoạt động - đó là các lực cho trớc tác dụng lên vật rắn và không bị
biến mất cùng với liên kết.
- Lực liên kết gồm có: áp lực và phản lực liên kết.
+Phản lực liên kết: là lực liên kết do các vật gây liên kết tác dụng lên các vật
chịu liên kết, tức đóng vai trò ngoại lực nên ảnh hởng rất lớn đến vật khảo sát.
Nó có tính chất:
Phụ thuộc vào kết cấu của liên kết và lực hoạt động tác dụng
lên vật rắn.
Có hớng ngợc chiều với hớng di chuyển mà vật khảo sát bị
liên kết cản trở.
Có độ lớn phụ thuộc vào các lực tác dụng lên vật rắn.
+áp lực: là lực liên kết do vật chịu liên kết tác dụng lên vật gây liên kết.
7

1.1.3.3. Các loại liên kết thờng gặp và các phản lực liên kết tơng ứng.
a. Liên kết tựa
Hai vật liên kết tựa khi chúng trực tiếp tựa lên nhau. Chỗ tiếp xúc của 2 vật
tựa lên nhau có thể là các bề mặt, các đờng, điểm và đờng, mặt và đờng, điểm và
bề mặt

Khi đó phản lực liên kết có phơng vuông góc với mặt tựa (hoặc đờng tựa)

đặt lên vật khảo sát và có chiếu hớng vào vật khảo sát. Tên gọi là phản lực pháp.
b. Liên kết dây mềm, thẳng, không giãn
Phản lực liên kết đặt vào chỗ buộc dây, hớng dọc theo dây, có chiều hớng ra
ngoài vật khảo sát. Tên gọi là sức căng của dây, ký hiệu là:
T

Nếu một sợi dây đợc vắt qua vật (ròng rọc) thì phản lực của dây hớng dọc
theo dây và có chiều hớng ra đối với mặt cắt của dây.
c.Liên kết gối
Để đỡ các dầm và khung ngời ta dùng các liên kết có dạng gối cố định và gối
di động:
- Gối đỡ bản lề cố định:
Phản lực liên kết đặt ở tâm O của bản lề và đợc phân tích thành hai thành
phần vuông góc với nhau.
Gối đỡ bản lề cố định cũng giống nh dạng liên kết bản lề trụ.
8
N

B
N

A
N

A
B
1
T

m

2
T

1
T

O
2
T


- Gối đỡ bản lề di động:
Phản lực liên kết chỉ có 1 thành phần vuông góc với điểm tựa và đặt tại
tâm bản lề.
Gối đỡ bản lề di động cũng là một dạng của liên kết tựa.
- Liên kết gối cầu:


Liên kết này đợc thực hiện nhờ quả cầu gắn vào vật chịu liên kết và đợc đặt
trong một vỏ cầu gắn liền với vật gây liên kết.
Vật khảo sát luôn tiếp xúc với mặt trong của quả cầu. Phản lực liên kết đi
qua tâm O của mặt cầu và đợc phân tích thành 3 thành phần vuông góc dọc theo
3 trục tọa độ.
- Liên kết cối:
Phản lực liên kết đợc xác định nh liên kết gối cầu.
d.Liên kết thanh
9
0
Y

O
0
X

0
R

N

O
Gối di độngGối cố định
z
y
0
Y

x
0
Z

0
X

R

z
y
0
Y

x
0
Z

0
X

R

Liên kết gối cầu Liên kết cối
O
1
1
S

O
2
A
B
2
S


Nếu bỏ qua trọng lợng của thanh và lực tác
dụng đặt ở hai đầu thì phản lực liên kết nằm dọc
theo thanh đối với thanh thẳng (hoặc có phơng
trùng với đờng nối hai đầu thanh đối với thanh
cong).
Trong trờng hợp này thanh chỉ chịu kéo hoặc chịu nén. Nếu thanh chịu kéo
thì phản lực hớng ra khỏi vật khảo sát (mặt cắt của thanh) và ngợc lại nếu thanh

chịu nén thì phản lực hớng vào vật khảo sát. Tên gọi là ứng lực.
e. Liên kết ngàm
Khi vật chịu liên kết và vật gây liên kết đợc nối cứng với nhau thì đợc gọi
là liên kết ngàm.
Ví dụ: Một thanh sắt đợc gắn chặt vào tờng, cột điện đợc chôn xuống đất
Phản lực bao gồm 1 lực
0
R

và một ngẫu lực có mômen
0
m

.
Nếu là ngàm không gian thì
0
R

đợc xác định bởi 3 thành phần
0
X

,
0
Y

,
0
Z

theo 3 trục tọa độ và véctơ mômen
0
m

cũng đợc phân tích làm 3 thành phần
x
m
,
y
m
,
z
m
theo 3 trục tọa độ.
Với ngàm phẳng thì phản lực liên kết
0
R

gồm 2 thành phần
0
X

và
0
Y


vuông góc với nhau và một mômen phản lực
0

m
nằm trong mặt phẳng ngàm.

10
0
Y

O
0
X

z
y
x
0
Z

m
x
m
y
m
z
0
Y

O
0
X

m
0

1.2. Hệ tiên đề của tĩnh học
1.2.1. Tiên đề 1 (Tiên đề về hai lực cân bằng).
Điều kiện cần và đủ để cho vật rắn tự do cân bằng dới tác dụng của hai lực
là hai lực này có cùng đờng tác dụng, ngợc chiều và cùng cờng độ.
ý nghĩa: Tiên đề 1 đa ra một tiêu chuẩn về cân bằng. Để biết một hệ lực đã
cho có cân bằng hay không ta chỉ cần chứng minh hệ lực ấy tơng đơng với hai
lực cân bằng.
1.2.2. Tiên đề 2 (Tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng).
Tác dụng của một hệ lực lên vật rắn tự do không thay đổi nếu thêm hoặc bớt
hai lực cân bằng.
ý nghĩa: Tiên đề hai quy định một phép biến đổi tơng tơng cơ bản về lực.
Hệ lực
( )
n
FFF

, ,,
21
~
),,, ,,(
,
21
FFFFF
n

* Định lý trợt lực
11

B

'
B
F

B
F
A

A
F
O

2
F

1
F

F
A B

'
F

F
A B

'

F

F

Tác dụng của lực không thay đổi khi trợt lực trên đờng tác dụng của nó
Chứng minh: Giả sử
A
F
tác dụng lên vật rắn tại điểm A. Trên đờng tác dụng của
A
F
. Thêm bớt tại B hai lực cân bằng
ABB
FFF

==
,
Ta có
A
F

~
),,(
,
BBA
FFF

~
B
F

1.2.3. Tiên đề 3 (Tiên đề hình bình hành lực).
Hệ hai lực cùng đặt tại một điểm tơng đơng với một lực đặt tại điểm đặt
chung và có vectơ lực bằng vectơ chéo hình bình hành mà hai cạnh là hai vectơ
biểu diễn hai lực thành phần.
21
FFF

+=
ý nghĩa: Tiên đề 3 cho phép biến đổi tơng đơng về hợp hai lực đồng quy và
phân tích một lực thành hai lực theo quy tắc hình bình hành lực. Nhờ tiên đề này
ngời ta đa phép cộng vectơ vào phép tính lực.
1.2.4. Tiên đề 4 (Tiên đề tác dụng và phản tác dụng).
Lực tác dụng và lực phản tác dụng giữa hai vật có cùng đờng tác dụng, hớng
ngợc chiều nhau và có cùng cờng độ.
Chú ý: Hệ lực
),(
,
FF

không phải là hệ lực cân bằng vì chúng tác dụng vào hai
vật rắn khác nhau.
ý nghĩa: Tiên đề 4 là cơ sở để mở rộng các kết quả khảo sát đối với một vật
sang khảo sát hệ vật.
1.2.5. Tiên đề 5 (Tiên đề hoá rắn).
Một vật biến dạng đã cân bằng dới tác dụng của một hệ lực thì khi hoá rắn
lại nó vẫn cân bằng.
12
A
B

'
F

F

ý nghĩa: Tiên đề 5 quy định điều kiện cần để vật thể biến dạng ở trạng thái cân
bằng: đó là hệ lực tác dụng lên nó phải thoả mãn các điều kiện cân bằng của vật
rắn tuyệt đối. Nhờ tiên đề này ta có thể sử dụng kết quả dã nghiên cứu cho vật
rắn cân bằng cho trờng hợp vật biến dạng cân bằng. Tuy nhiên các kết quả đó
cha đủ để giải quyết bài toán cân bằng của vật biến dạng mà phải thêm các giả
thiết khác về biến dạng.
1.2.6. Tiên đề 6 (Tiên đề giải phóng liên kết).
Vật rắn không tự do ( tức vật chịu liên kết) cân bằng có thể đợc xem là vật
rắn tự do cân bằng nếu giải phóng các liên kết, thay thế tác dụng của các liên
kết đợc giải phóng bằng các phản lực liên kết tơng ứng.
ý nghĩa: Nhờ tiên đề 6, các tiên đề phát biểu cho vật rắn tự do vẫn đúng cho vật
rắn chịu liên kết khi xem nó là vật rắn tự do chịu tác dụng của hệ lực gồm : các
lực hoạt động tác dụng lên nó và các phản lực liên kết tơng ứng với các liên kết
đợc giải phóng
1.3. Các khái niệm về mômen lực
1.3.1. Mô men của lực đối với một điểm
Mô men của lực
F

đối với điểm 0, kí hiệu
)(
0
Fm

, là một vectơ vuông góc
với mặt phẳng chứa điểm 0 và lực
F

sao cho khi nhìn từ đầu mút của nó nhìn
xuống thấy lực
F

vòng quanh 0 theo chiều ngợc chiều kim đồng hồ.
Trị số :
==

dtdFFm 2.)(
_
0
13
Vật rắn chịu
liên kết
Vật rắn gây
liên kết
Vật rắn tự do
X

Y

m


Trong đó:

d
là khoảng cách vuông góc từ tâm
mômen O đến đờng tác dụng của lực, đợc gọi
là tay đòn của lực
F

đối với tâm mômen O.
Ta nhận thấy:



=
=
=
0
0
0)(
0
d
F
Fm



* ý nghĩa : Đặc trng cho tác dụng quay của lực
F

quanh điểm O.
Nếu các lực cùng nằm trong mặt phẳng với điểm O thì các vectơ mômen
của các lực đối với điểm O sẽ song song với nhau. Trong trờng hợp đó ngời ta đ-

a ra khái niệm mômen đại số. Kí hiệu:
)(Fm
O



dFFm .)(
0
=

Dấu + khi lực
F

vòng quanh O theo chiều ngợc chiều kim đồng hồ. Dấu -
trong trờng hợp ngợc lại.
1.3.2. Mô men của lực đối với một trục.
14
)(
0
Fm



F
,
F


0
A

B
A
,
B
,
O
B
A
d
F

r

( )
Fm

0

Mô men của lực
F

đối với trục , ký hiệu
)(Fm


, là mô men đại số của lực
,
F

đối với 0, trong đó

,
F

là hình chiếu của lực
F

lên mặt phẳng vuông góc
với trục , còn 0 là giao giữa trục với mặt phẳng .

)()(
,
0
FmFm



=

0)( =

Fm


khi
0

=F
hoặc lực và trục đồng phẳng.
1.3.3. Định lý liên hệ giữa mô men của lực đối với một điểm và mô men của
lực đối với một trục.

địNH Lý: Mô men của lực
F

đối với trục

bằng hình chiếu lên trục ấy của
vectơ mô men của lực

F
đối với điểm 0 nằm trên trục.
[ ]
)()(
0
FmhchFm




=
Chứng minh:
OABdtFm = 2)(
0


,,
2)( BOAdtFm =


Gọi là góc giữa
)(

0
Fm


với trục ,ta có:

cos.
,,
OABdtBOAdt =

suy ra:

cos.22
,,
OABdtBOAdt =
Vậy:
[ ]
)(cos.)()(
00
FmhchFmFm






==

(đpcm)
1.3.4. Ngẫu lực.

15

a. Định nghĩa: Ngẫu lực là hệ gồm hai lực song
song ngợc chiều, cùng cờng độ và không cùng đ-
ờng tác dụng.
Kí hiệu: (
,
, FF

)
b. Các đặc trng của ngẫu lực:
- Mặt phẳng tác dụng : là mặt phẳng chứa hai lực thành phần.
- Chiều quay
- Cờng độ tác dụng: phụ thuộc vào lực tác dụng và cánh tay đòn, trong đó
cánh tay đòn là khoảng cách giữa hai đờng tác dụng của hai lực thành
phần. Cờng độ tác dụng của ngẫu lực có trị số F.d.
Để biểu diễn nó ngời ta dùng vectơ mô men ngẫu lực, kí hiệu
M
, có gốc tại
mặt phẳng ngẫu, có phơng vuông góc với mặt phẳng ngẫu và có hớng sao cho
khi nhìn từ đầu mút của vectơ ấy xuống mặt phẳng ngẫu ta thấy ngẫu lực quay
ngợc chiều kim đồng hồ và có môđun bằng mô men ngẫu lực .
dFM .=
Chú ý: Vectơ mômen của ngẫu lực là vectơ tự do về điểm đặt.
c. Định lí liên hệ giữa vectơ mô men ngẫu lực và mô men của lực đối với một
điểm.
Định lý:
Mô men đối với một điểm bất kì của ngẫu lực bằng vectơ mô men ngẫu lực.
16
F

r

O
,
F

,
r

d
,
F

F

m


MFmFm




=+ )()(
,
00
Chứng minh:

Theo định nghĩa, ta có:

FrFm




=)(
0
;
,,
0
)( FrFm




=

Do đó:
, , , , ,
0 0
( ) ( ) ( )m F m F r F r F r F r F r r F F M

+ = + = = = =




(đpcm)

Hệ quả:
Vectơ mô men ngẫu lực bằng mô men của một lực thành phần đối với
điểm nằm trên đờng tác dụng của lực thành phần kia.
1.4.Một số hệ quả
1.4.1. Hợp lực của hệ lực đồng quy.
Giả sử hệ lực
), ,,(
21 n
FFF

đồng quy tại điểm 0. áp dụng tiên đề 3 ta có
hợp lực của hệ đồng quy đợc một lực đặt tại điểm đồng quy và có dạng:

=
=+++=
n
k
knn
FFFFR
1
21



(*)
Để xác định phơng chiều và giá trị của hợp lực
R

ta có hai phơng pháp:
a)Phơng pháp vẽ.

17

1
F
'
A
'
B
'
C
'
D

'
R
A

2
F
B

3
F
C

4
F
D

R

O
,
O

Từ tiên đề 3 ta có vectơ hợp lực
R

là vectơ khép kín của đa giác OABCD,
các cạnh là các vectơ đợc biểu diễn bằng các lực thành phần. Đa giác OABCD đ-
ợc gọi là đa giác lực. Còn đa giác O

A

B

C

D

gọi là đa giác vectơ.
Vậy hợp lực của hệ lực đồng quy đợc biểu diễn bằng vectơ khép kín của đa
giác vectơ đặt tại điểm đồng quy.
b) Phơng pháp chiếu.
Chiếu biểu thức (*) lên hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz.
r


=
=+++=
n

k
kynyyyy
FFFFR
1
21

=
=+++=
n
k
kznzzzz
FFFFR
1
21
Vậy hợp lực của hệ lực là:
222
zyx
RRRR ++=
Gọi

,,
là góc tạo bởi

R
với các trục ox, oy, oz thì

R
R
x
=

cos
;
R
R
y
=

cos
;
R
R
z
=

cos
1.4.2. Một số định lý tơng đơng của ngẫu lực.
a. Định lý 1.
Hai ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng, có cùng chiều quay và cùng trị
số mômen thì tơng đơng với nhau:
18

Chứng minh:
Giả sử có hai ngẫu lực (


'
, FF
) và

1
(F
,
)
'
1

F
theo giả thuyết có
1
mm =
dFm .
=
111
.dFm =
dời hệ
),(
'
11


FF
tới O và O

và phân tích thành hai thành phần

'
22
'
22

''
11
'
2
''
1
21
,,,,,
,
,
FFFFPPFF
FPF
FPF
do hai lực
),(
'


PP
là hai lực cân bằng.
Mặt khác ta có
1
'
2
'
OFOOFO =
2
'
2
2. OFOdtdF =

1
'
11
2. OFOdtdF =
Vậy
2112
FFdFdFdF ===
mặt khác

FF ,
2
là hai vectơ cùng đờng tác dụng
của lực

=
2
FF
tơng tự ta có

=
'
2
'
FF
19

P
B

'

1
F

'
1
F
'
O
C

'
2
F

'
F
A

1
F

2
F

1
F

'
P
O

1
d
d

Vậy

''
22
'
11
,,, FFFFFF
đpcm
b. Định lý 2.
Tác dụng của ngẫu lực không thay đổi khi ta dời chúng tới những mặt phẳng
song song
Giả sử ngẫu lực
),(
'


FF
nằm trong
mp(

), lấy mp(
1

) song song với mp(

). Thêm hai lực cân bằng
),(
'
11


PP
tại
tâm hình chữ nhật ABA
1
B
1
. Sao cho

= FP
1
.Vậy
),(),,,(),(
'
1
'
11
''

PFPPFFFF
và
),(
1
'


PF

Mặt khác theo định lý 1 ta có:
),(),,,(),(
),(),(
),(),(
'
11
'
11
'
11
'
'
11
'
1
1
'
11
'

=
=
FFPPFFFF
PFPF
PFPF
Vậy ngẫu lực
),(
'

11


FF
chính là ngẫu lực
),(
'


FF
dời tới mặt phẳng

1
đcpcm
c. Định lý 3.
Hợp hai ngẫu lực đợc một ngẫu lực có vectơ mômen bằng tổng vectơ mômen
của hai ngẫu lực đã cho
21
2
,
22
1
,
11
),(
),(
mmm
mFF
mFF

+=



=
=
20

F
1
A
1
B

1
F

'
1
F
A
B

'
F

1
P

'
1
P
1



Chứng minh:
Giả sử ta có 2 ngẫu lực là
( ) ( )
',',
2211
FFFF

và
, ngẫu lực
( )
',
11
FF

có véctơ
mômen là
1
m

và ngẫu lực

( )
',
22
FF

có véctơ mômen là
2
m

.
Hai ngẫu lực này nằm trong 2 mặt phẳng giao nhau theo giao tuyến OO
1
. Giả
sử các véctơ mômen
1
m

và
2
m

có điểm đặt tại O.
Biến đổi 2 ngẫu lực
( ) ( )
',',
2211
FFFF

và
thành 2 ngẫu lực

( ) ( )
',', PFPF

và
. Hai
ngẫu lực này có các lực thành phần nằm trên giao tuyến OO
1
ngợc chiều nhau và
có cùng trị số.
Tức là:
2
2
1
1
''
d
m
d
m
PFPF


=====
. Vậy ta có:
( ) ( )
.',',,~',,',
2211
PFPFFFFF

Nhng ta chú ý rằng

( )
0', =PP

(vì nó là 2 lực cân bằng). Do vậy
có:
( ) ( )
.',~',,',
2211
FFFFFF

Mặt khác theo định lý liên hệ mômen của ngẫu lực và mômen của lực đối
với một điểm ta có:
( ) ( )
mFmFm





=+
00
Mà
( ) ( )
FmmFmm




0201
, ==

Vậy ta có:
21
mmm

+=
Tổng quát: Hợp các ngẫu lực đợc một ngẫu lực có véctơ mômen bằng tổng
các véctơ mômen của các ngẫu lực đã cho.
21
O
O
1
d
2
d
1
F

'F

'P

P

m

1
m

2
m

d. Định lý dời lực song song.
Lực

F
đặt tại A tơng đơng với lực

'
F
song song cùng chiều, cùng cờng độ
với lực

F
nhng đặt tại O và một ngẫu lực có mômen bằng mômen của lực

F
đối
với điểm O
Chứng minh:
Đặt tại O hai lực cân bằng
),(
'
11


FF
sao cho
k
r

==
1
'
11
),,( FFFFF
và
),(
'
1


FF
vậy

1
F
chính là lực

F
dời song song đến O
),(
'
1

FF
là ngẫu lực có vectơ mômen
)(
0

= Fmm


đpcm.
22
E
M
BE
D
Eq
uat
ion
.3

F

1
F

'
1
F
)(
0

=
Fmm

Chơng II
Hệ lực Phẳng
Hệ lực phẳng là hệ lực gồm các lực phân bố bất kỳ trong mặt phẳng. Trong bài
toán hệ lực phẳng sẽ nghiên cứu hai vấn đề chính:
- Thu gọn hệ lực phẳng về một tâm
- Tìm điều kiện cân bằng của hệ lực đó.
2.1. Thu gọn hệ lực phẳng về một tâm. Véctơ chính và mô men
chính
2.1.1. Phơng pháp thu gọn
Giả sử có hệ lực
),,,(
21


n
FFF
. Thu gọn từng lực về tâm O nhờ định lý dời
lực song song.



'
11
FF
và ngẫu lực
)(
101

=
Fmm



'
22
FF
và ngẫu lực
)(
202

=
Fmm




'
nn
FF
và ngẫu lực
)(
0

=
nn
Fmm
23

Vậy


),,,(
21 n
FFF
hệ lực đồng quy tại O
), ,,(
''
2
'
1

n
FFF
và hệ ngẫu lực
), ,(
21

n
mmm
Nh đã biết hệ
lực đồng quy tại một điểm O tơng đơng với một lực đợc biểu diễn bằng vectơ
chính của hệ lực đặt tại điểm đồng quy ta có.

=


==

'
1
'
0
RFR
n
k
k
Hệ ngẫu lực
), ,,(
21

n
mmm
tơng đơng với một ngẫu lực, có vectơ mômen

m
1 2 0 1 0 0
1
( ) ( ) ( )
n
n n k o
k
m m m m m F m F m F M

=
= + +ììì+ = +ììì+ = =

uuu

2.1.2. Kết quả thu gọn
Khi thu gọn hệ lực phẳng về một tâm đợc một lực và một ngẫu lực. Lực này
đợc xác định bằng véctơ chính

=


=
n
k
k
FR
1
'
của hệ lực và ngẫu lực có mômen bằng
mômen chính của hệ lực
0 0
1
( )
n
k
k
M m F

=
=

của hệ lực đã cho đối với tâm thu gọn.

),,,(
21 n
FFF
(

'
R
,
0
M

)
Chú ý:
+

'
R
không phụ thuộc vào tâm thu gọn ( vì luôn bằng tổng hình học các lực đã
cho ). Véctơ chính đợc xác định qua hai hình chiếu

'
R
{R
X
, R
y
}
24
n
F

1
F
2
F
O
'F
n
'F
1
'F
2
2
m
1
m
n
m
O
'R
0
0
m

R
X
= X
k
; R
y
= Y

k
Trị số và phơng chiều của

'
R
đợc tính theo công thức :
( ) ( )
22
''
'
RR
YX
R +=
Cos =
R'
R' x
; Sin =
R'
R' y
+
0
M

nói chung phục thuộc vào tâm thu gọn, vì nếu thu gọn về O đợc (

'
R
,
0
M

uuu
), còn thu gon về O
1
sẽ đợc (

1
R
,
01
M
uuuu
), mà theo định lý dời lực song song thì

1
R

[
R
,
)(
10

Rm
] . Kết quả là
[
R
, M
0
] [

1
R
, M
01
] [
R
, M
01
,
)(
10

Rm
] M
0
[ M
01
,
)(
10

Rm
] lợng biến thiên
mômen chính bằng
)(
10

Rm
:
M

0
= M
01
+
)(
10

Rm
Mômen chính đợc xác định theo công thức : M
0
= m
k

2.1.3. Các dạng chuẩn
Trong trờng hợp tổng quát khi thu gọn hệ lực phẳng về một tâm đợc một lực
và một ngẫu lực. Tuy nhiên tuỳ thuộc vào sự tồn tại của

'
R
và M
0
, có thể xảy ra
các trờng hợp sau đây:
a)

'
R
= 0 và M
0
= 0 ,

),,,(
21 n
FFF
0 : Hệ lực đã cho cân bằng
b)

'
R
= 0 và M
0
0 ,


),,,(
21 n
FFF
M
0
: Hệ lực đã cho tơng đơng với một
ngẫu lực.Trong trờng hợp này M
0
không phụ thuộc vào tâm thu gọn O.
c)

'
R
0 và M
0

= 0 : Hệ lực đã cho tơng đơng với một hợp lực

'
R
đặt tại tâm thu
gọn.
25

d)

'
R
0 và M
0
0 thì theo định lý dời lực song song, ta biến đổi (

'
R
, M
0
) (

'
R
,

R
,

"R

) (

R
) với

"R
= -

'
R
,

R
=

'
R
và d =
'
0
R
M
, hợp lực đặt tại O
*)Định lý Varinhông:
Trong trờng hợp hệ lực phẳng có hợp lực thì mômen của hợp lực đối với
điểm O bất kì bằng tổng mômen của các lực thành phần đối với cùng điểm ấy.

=

=

n
k
k
FmRm
1
00
)()(
Chứng minh:
Giả sử hệ có hợp lực

R
định lý biến thiên mômen chính cho tâm thu gọn O
bất kì về tâm thu gọn O
1
nằm trên đờng tác dụng của hợp lực
r

, ta có
)(
010
010
Rmmm


=
26
'R
O
'R
''R

RR
O
'O 'O
d



R
1
O
O


0
R


=
0
mm

Theo định nghĩa
0
01
=
m

(Mômen chính của hệ lực lấy đối với tâm thu gọn
nằm trên đờng tác dụng của hợp lực).

=
=
n
k
k
FmR
1
001
)(





=
=
n
k
k
Fmm
1
00
)(


Do đó:
)()(
0
1
0

RmFm
n
k
k




=

=
(đpcm).
*Hệ lực phân bố
Trong nội dụng môn học Cơ học lý thuyết ta chỉ nghiên cứu 2 dạng chuẩn
của hệ lực phân bố là.
+ Cờng độ lực phân bố đều q(x) = q = const.
Ta có hợp lực
R

:
qlR
=

R

cách đầu mút của dầm một đoạn
là:

2
l

d =
+ Cờng độ lực phân bố tuyến tính.
Giả sử lực phân bố dọc theo dầm có quy luật là hình tam giác có đáy là q. Ta
có:
Trị số của hợp lực
R

là:
qlR
2
1
=
Hợp lực
R

cách đầu mút của dầm một đoạn
là:
27
l
q
d
R

l
q
d
R