SKKN Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ

Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
ĐỀ TÀI
:
PHƯƠNG PHÁP DẠY CHO HỌC SINH LỚP 9
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
A. NHẬN THỨC CŨ- GIẢI PHÁP CŨ:
Phương trình vô tỷ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn .Trong chương
trình đại số 9 ,phương trình vô tỷ là một dạng toán khó. Khi gặp các phương trình
có chứa căn tương đối phức tạp, học sinh rất lúng túng không tìm ra cách giải và
hay mắc sai lầm khi giải Có những phương trình không thể giải bằng các
phương pháp quen thuộc. Khi gặp phương trình vô tỷ , học sinh thường chỉ quen
một phương pháp là nâng luỹ thừa 2 vế để làm mất dấu căn. Nhưng trong quá
trình giải sẽ thường mắc phải một số sai lầm trong phép biến đổi tương đương
phương trình ,vì vậy dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm. Có một số phương trình
sau khi làm mất dấu căn sẽ dẫn đến phương trình bậc cao, mà việc nhẩm nghiệm
để đưa về phương trình bậc nhất, bậc 2 để giải lại rất là khó khăn . Vì vậy học
sinh sẽ rất lúng túng và không tìm ra lời giải .
B. NHẬN THỨC MỚI – GIẢI PHÁP MỚI
I. Nhận thức mới:
Để khắc phục những tồn tại trên khi dạy cho học sinh giải phương trình vô tỷ ,
giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và
kiến thức mở rộng, hình thành các phương pháp giải một cách kịp thời. Với mỗi
phương trình cần để cho học sinh nhận dạng phát hiện ra cách giải và tìm ra cách
giải phù hợp nhất , nhanh nhất. Qua mỗi dạng tổng quát cách giải và hướng dẫn
học sinh đặt đề toán tương tự, từ đó khắc sâu cách làm cho học sinh. Nếu biết
phân dạng , chọn các ví dụ tiêu biểu , hình thành đường lối tư duy cho học sinh
thì sẽ tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu và nâng cao
hiệu quả giáo dục .
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

1
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
II. GIẢI PHÁP MỚI:
A- Hệ thống hoá các kiến thức cơ bản liên quan và bổ sung một số kiến thức
mở rộng .
1. Các tính chất của luỹ thừa bậc 2, bậc 3, tổng quát hoá các tính chất của luỹ
thừa bậc chẵn và luỹ thừa bậc lẻ.
2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử , các hằng đẳng thức .
3. Các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, bất đẳng thức có chứa giá trị tuỵêt đối.
4. Cách giải phương trình, bất phương trình bậc nhất , bậc 2 một ẩn, cách giải
hệ phương trình.
5. Bổ sung các kiến thức để giải các phương trình đơn giản:
*
A
=
B

⇔





=
≥
≥
2
0
0
BA

B
A
*



=
≥
⇔=
BA
A
BA
0
*
00 ==⇔=+ BABA
B. Cung cấp cho học sinh các phương pháp thường dùng để giải phương
ttrình vô tỷ .
PHƯƠNG PHÁP 1. Nâng lên luỹ thừa để làm mất căn ở 2 vế của phương
trình( thường dùng khi 2 vế có luỹ thừa cùng bậc).
Ví dụ: Giải phương trình

23151 −=−−− xxx
(1)
+ Ở phương trình (1) hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm để
nguyên hai vế như vậy và bình phương hai vế để làm mất căn . Vì vậy giáo viên
cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải tức cần khắc sâu cho học
sinh tính chất của luỹ thừa bậc 2:
a = b
⇔
a

2
= b
2
( Khi a, b cùng dấu )
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

2
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
Vì vậy khi bình phương hai vế được phương trình mới tương đương với phương
trình ban đầu khi hai vế cùng dấu.
Ở phương trình (1), VP
≥
0 , nhưng vế trái chưa chắc đã
≥
0 vì vậy ta nên
chuyển vế đưa về phương trình có 2 vế cùng
≥
0.
(1)
⇔

23151 −+−=− xxx
Đến đây học sinh có thể bình phương hai vế:

23151 −+−=− xxx

⇔

21315272

2
+−=− xxx
(*)
Ta lại gặp phương trình có một vế chứa căn , học sinh có thể mắc sai lầm là bình
phương tiếp 2 vế để vế phải mất căn mà không để ý hai vế đã cùng dấu hay chưa.

⇔

)21315(449144
22
+−=+− xxxx
042411
2
=+−⇔ xx

0)2)(211( =−−⇔ xx




=
=
⇔
2
11
2
x
x
Và trả lời phương trình (*) có 2 nghiệm :
2;

11
2
21
== xx
Sai lầm của học sinh là gì? Tôi cho học sinh khác phát hiện ra những sai lầm :
+ Khi giải chưa chú ý đến điều kiện để các căn thức có nghĩa nên sau khi giải
không đó chiếu với điều kiện ở (1) : ĐK :
1≥x
vì vậy
11
2
1
=x
không phải là
nghiệm của (1)
+ Khi bình phương hai vế của phương trình (*) cần có điều kiện
7
2
072 ≤⇔≥− xx

vậy
2
2
=x
không là nghiệm của (1)
- Sau khi phân tích sai lầm mà học sinh thường gặp , từ đó tôi cho học sinh tìm ra
cách giải đúng không phạm sai lầm đã phân tích .
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

3
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
C
1
: Sau khi tìm được
11
2
=x
và
2
=
x
thử lại (1) không nghiệm đúng Vậy (1) vô
nghiệm.
( cách thử lại này làm khi việc tìm TXĐ của phương trình đã cho là tương đối
phức tạp )










≥
≥⇔≥
≥
2

3
1
5
1
1
x
xx
x
C
2
: Đặt điều kiện tồn tại của các căn thức của (1)
Sau khi giải đến (*) khi bình phương hai vế đặt thêm điều kiện
7
2
≤x
vậy
x
thoả
mãn :





≥
≤
1
7
2
x

x
nên phương trình (1)vô nghiệm
C
3
: Có thể dựa vào điều kiện của ẩn để xét nghiệm của phương trình .
Điều kiện của (1) :
1
≥
x
do đó
1511515 −<−⇒−<−⇒< xxxxxx
Vế trái <0. VP
≥
0 nên phương trình (1) vô nghiệm .
Sau đó tôi ra một số bài tập tương tự cho học sinh trình bày lời giải.
Bài tập tương tự : Giải phương trình
a)
24314 −=+−+ xxx
b)
31212 +−−=+−− xxxx
Ví dụ 2: Giải phương trình :

271
33
=−++ xx
(2)
Ở phương trình (2) học sinh cũng nhận xét có chứa căn bậc 3 nên nghĩ đến việc
lập phương hai vế :
Chú ý: + ở căn bậc lẻ:
12 +n

A
có nghĩa với
A∀
nên không cần đặt điều kiện
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

4
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ



≥−
≥+
07
01
x
x
+ Ở luỹ thừa bậc lẻ: a=b
⇔
a
2n+1
=b
2n+1
; (n
∈
N) nên không cần xét đến dấu
của hai vế.
Giải:+ Lập phương hai vế
( ) ( )

87.137.1371
2
33
2
3
=−++−++−++ xxxxxx
(**)
Đến đây có thể học sinh rất lúng túng vì sau khi lập phương hai vế, vế trái nhìn
rất phức tạp, giáo viên hướng dẫn học sinh nghĩ đến hằng đẳng thức:
( a+b)
3
=a
3
+b
3
+3a
2
b+3ab
2
=a
3
+b
3
+3ab(a+b)
Vậy (**) có thể viết :

( )
871.)7)(1(371
33
3

=−++−++−++ xxxxxx
(I)
(đến đây thay
271
33
=−++ xx
vào phương trình) ta được:

0)7)(1(82.)7)(1(38
3
=−+⇔=−++ xxxx
( II)
Giải ra:
7;1
21
=−= xx
; Thay lại vào PT đã cho ta thấy nghiệm đúng , nên đó là 2
nghiệm của PT ban đầu. Vậy (2) có nghiệm
7;1
21
=−= xx
+ Ở phương trình (2) ngoài việc lập phương hai vế cần sử dụng hằng đẳng thức
một cách linh hoạt để đưa phương trình về dạng đơn giản a.b = 0 rồi giải.
Chú ý: Do từ (I) suy ra (II) ta thực hiện phép biến đổi không tương đương , vì nó
chỉ tương đương khi x thoả mãn :
271
33
=−++ xx
. Vì vậy việc thay lại nghiệm
của (II) vào phương trình đã cho là cần thiết . Nếu không thử lại có thể sẽ có

nghiệm ngoại lai.
Bài tập tương tự : Giải phương trình :
a)
333
511 xxx =−++−
b)
42312
33
=−++ xx
c)
333
101212 xxx =++−
( Đề thi vào toán tin -2000)
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

5
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
PHƯƠNG PHÁP 2 : Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu
giá trị tuỵêt đối.
Phương pháp này là: Khi gặp phương trình mà biểu thức trong căn có thể viết
được dưới dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức :

AA =
2
để làm mất dấu căn đưa về phương trình đơn giản
Ví dụ: Giải phương trình :

532813232222 =−+++−+− xxxx
(3)

Nhận xét: + Ở phương trình (3) học sinh có thể nhận xét vế trái có cùng căn bậc
hai nên có thể bình phương hai vế. Nhưng ở phương trình này sau khi bình
phương (lần 1) vẫn còn chứa căn nên rất phức tạp.
+ Biểu thức trong căn có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức
.
Giải : ĐK:
2
3
032 ≥⇔≥− xx
;
532813232222 =−+++−+− xxxx

C
1
: Đến đây để giải (***) ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối, trước khi phá dấu
A
thì
cần xét dấu của A
Nhận xét:
0132 >+−x
vậy chỉ xét dấu
432 −−x
Nếu
2
19
2
3
1632
0432 ≥⇔






≥
≥−
⇔≥−− x
x
x
x
Thì
43283225432132 =−⇔=−⇔=−−++− xxxx
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

6
( ) ( )
*)*(*;5432132
5432132
5164.322)32(1322)32(
22
=−−++−⇔
=−−++−⇔
=+−−−++−+−⇔
xx
xx
xxxx
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
Giải ra
2

9
=x
(Không thoả mãn điều kiện)
+ Nếu
2
19
2
3
432 ≤≤⇔<− xx
Thì
005432132 =⇔=+−−+− xxx
vô số nghiệm x thoả mãn
2
19
2
3
≤≤ x
Kết luận:
2
19
2
3
≤≤ x
C
2
: ( Để giải (***) cũng có thể sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối .
.BABA +≥+
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A.B
≥
0)

Giải: (***)
5324132
5432132
=−−++−⇔
=−−++−
xx
xx
Ta có:
5324132324132 =−−++−≥−−++− xxxx
Vậy:
5324132 =−−++− xx
Khi
( )( )
0324132 ≥−−+− xx





≥
≥−−
⇔
2
3
0324
x
x
Giải ra:
2
19

2
3
≤≤ x
Bài tập tương tự: Giải phương trình
a)
1267242 =−−++−−+ xxxx
b)
21212 =−−+−+ xxxx
(Nhân 2 vế với
2
thì trong căn sẽ xuất hiện hằng
đẳng thức)
PHƯƠNG PHÁP 3: Đặt ẩn phụ:
Phương pháp đặt ẩn phụ là phương pháp hay mà tôi rất tâm đắc , phương pháp này
có thể dùng để giải được rất nhiều phương trình
Ở phương pháp này dùng cách đặt ẩn phụ để đưa về dạng phương trình vô tỷ đơn
giản
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

7
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
Cách đặt ẩn phụ: + Đặt 1 ẩn phụ
+ Đặt 2 ẩn phụ
+ Đặt nhiều ẩn phụ
A) Cách đặt 1 ẩn phụ :
C1: Chọn ẩn phụ thích hợp để đưa phương trình về phương trình có một ẩn là
ẩn phụ đã đặt .Giải phương trình tìm ẩn phụ , từ đó tìm ẩn chính.
VD1:Giải phương trình:
2

2
x
+6x+12+
23
2
++ xx
=9 (4)
-Nhận xét:+ ở phương trình này nếu bình phương 2 vế sẽ đưa về một phương
trình bậc 4 mà việc tìm nghiệm là rất khó
+ Biểu thức trong và ngoài căn có mối liên quan :
2x
2
+6x+12=2(x
2
+3x+2)+8
Hướng giải:+ Đặt ẩn phụ là y=
23
2
++ xx
+ Chú ý: Đối với ĐK: x
2
+3x+2
0
≥
có thể giải được nhưng với những
bài toán mà biểu thức trong căn phức tạp thì có thể tìm giá trị của x rồi thử lại
xem có thoả mãn ĐK hay không
Giải: ĐK: x
2
+3x + 2

0
≥
(⇔
x+1) (x+2)
0
≥
⇔



−≥
≤
1
2
x
x
Đặt :
23
2
++ xx
=y
0≥
PT (4)
⇔
2y
2
+y+8=9

⇔
2y

2
+y -1=0
Giải ra:y
1
=1/2 ( Thoả mãn ĐK); y
2
=-1( Loại)
Thay vào:
23
2
++ xx
=1/2
⇔
x
2
+3x+2=1/4
Giải ra:x
1
=
2
23 +−
; x
2
=
2
23 −−

Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

8
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
Đối chiếu với ĐK: x=
2
23 +−
thoả mãn là nghiệm của PT (4)
VD2: Giải phương trình:
071262
22
=+−+− xxxx
( Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 10 năm 2003-2004)
Hướng dẫn : ĐK :
xxx ∀≥+− ;07126
2
Ta biến đổi để thấy được mối quan hệ giữa các biểu thứctrong phương trình:
07)2(62
22
=+−+−
xxxx
Đặt :
axx =− 2
2

Ta có phương trình:
aa =+ 76
(I)
Giải(I) tìm a từ đó tìm x.
VD2: Giải phương trình:
xxx 2)11)(11( =+−−+

HD: Ở bài này ta tìm mối liên hệ các biểu thức bằng cách đặt :
ux =+1
;
Rút x theo u thay vào các biểu thức còn lại trong phương trình để đưa về phương
trình ẩn u.
Giải: ĐK : -1
1
≤≤
x
;
C1: Đặt:

[ ]
)1(2)12()1()1(2)12)(1()5(
1
)20(
1
222
2
+−+−−⇔−=+−−⇔
−=⇒
≤≤
=+
uuuuuu
ux
u
ux







=+−+−
=−
⇔
0)1(212
01
2
uu
u
+ Nếu :
(101 =⇒=− uu
thoả mãn)
011 =⇒=+⇒ xx
(Thoả mãn ĐK)
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

9
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ

0145
)12(2
012
)1(212
2
22
2
=−+⇔




+=−
≥+
⇔
+=+−
uu
uu
u
uu
Giải ra:
(1
1
−=u
loại);
25
24
1
5
1
5
1
2
2
−=−







=⇒= xu
thoả mãn điều kiện
Vậy
25
24
;0 −== xx
là nghiệm của (5)
c2:Ở bài này có thể đặt :
bxax =+=− 1;1
;
Đưa về hệ phương trình:





=+
−=+−
2
)1)(1(
22
22
ba
baba
C2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình về 2 ẩn: ẩn chính và ẩn phụ, tìm mối quan hệ
giưã ẩn chính và ẩn phụ.
VD
3

: Giải phương trình:
xx −=− 22
2
(6)
Nhận xét:- Nếu bình phương hai vế đưa về phương trình bậc 4 khó nhẩm nghiệm vô
tỷ.Vì vậy ta có thể đặt ẩn phụ nhưng chưa đưa được về phương trình chỉ chứa một
ẩn. -Hãy tìm cách đưa về một hệ phương trình có 2 ẩn là ẩn chính và ẩn phụ. Tìm
mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ từ đó đ ưa về phương trình đơn giản.
Giải: ĐK:



≥−
≥−
02
02
2
x
x

Đặt:
2
22 yxxy −=⇒−=
;Ta có hệ:





=−

=−
xy
yx
2
2
2
2
Đây là hệ phương trình đối xứng



=−
=
⇒
=−+−⇒
yx
yx
xyxy
1
0)1)((
+ Nếu x=y ta có phương trình:
xx =−2
giải ra
1=x
(thoả mãn điều kiện)
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

10
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ

+ Nếu1-x=y ta có phương trình:
xx −=− 12
giải ra:
2
51−
=x
( Thoả mãn điều
kiện)
Vậy phương trình (6) có 2 nghiệm
2
51
;1
21
−
== xx
VD
4
: Giải phương trình:

20062006
2
=++ xx
Cách 1: Đặt
yx =+ 2006
ta có hệ phương trình






=+
=+
2006
2006
2
2
yx
yx
giải ra




+=+
−=+
⇔



−=
−=
12006
2006
1
xx
xx
yx
yx
từ đó sử dụng phương pháp 1 để giải tiếp.
Chú ý : Cách này thường sử dụng khi quan hệ ẩn chính và ẩn phụ đưa được về hệ

phương trình đối xứng.
Cách 2: Đưa 2 vế về cùng bậc:






+−=+
−+=+
⇔






−+=






+⇔
++−+=++
2006
2
1
2

1
2
1
2006
2
1
2
1
2006
2
1
4
1
20062006
4
1
22
2
xx
xx
xx
xxxx
Đến đây tiếp tục giải theo phương pháp 1
Bài tập tương tự : Giải phương trình
a)
3
3
1221 −=+ xx
; HD: Đặt ẩn phụ
3

12 −= xy
ta có hệ :





=+
=+
xy
yx
21
21
3
3
b)
14122
2
+=++ xxx
; HD : Đặt ẩn phụ
xxy +=
2
c)
15932764
22
=+++++ xxxx
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

11

Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
B) Đặt 2 ẩn phụ:
Ở dạng này ta đặt 2 ẩn phụ đưa về hệ phương trình 2 ẩn phụ, giải hệ tìm giá trị
của ẩn phụ, từ đó từ mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ đặt lúc đầu đưa về
phương trình đơn giản.
VD
1
: Giải phương trình:
112
3
=−+− xx
(7)
Nhận xét: Ở vế trái có căn bậc 2 và căn bậc 3 nên việc nâng luỹ thừa 2 vế để làm
mất dấu căn là rất khó.
+ Hai biểu thức trong căn có mối quan hệ:
112
=−+−
xx
(hằng số)
+ Đặt 2 ẩn phụ: Sẽ đưa về hệ 2 phương trình không chứa căn và giải.
Giải: ĐK:
1
≥
x
Đặt:

vxux =−=− 1;2
3
Ta có hệ phương trình:




=+
=+
1
1
33
vu
vu
giải ra
2;1;0
321
−=== uuu
Từ đó:
10;2;1
321
=== xxx
( thoả mãn điều kiện)
Vậy phương trình (7) có 3 nghiệm:
10;2;1
321
=== xxx
VD2: Giải phương trình:
312
3
=++− xx
( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005)
HD: Đặt
bxax =+=− 1;2
3

; Ta có hệ:



−=−
=+
3
3
23
ba
ba
Giải ra:a=1; b=1 ; từ đó giải ra tìm x=3
Tổng quát: Đối với phương trình có dạng:

cxfbxfa
mn
=±+− )()(
Ta thường đặt:
mn
xfbvxfau )(;)( +=−=
Khi đó ta được hệ phương trình:
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

12
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ





+=+
=+
bavu
cvu
mn
hoặc



−=−
=+
bavu
cvu
mn
Giải hệ này tìm u, v sau dó tìm x
VD
3
: Giải phương trình:

( ) ( )
( )
0191313
3
2
3
2
3
2
=−+−++ xxx
(9)

Nhận xét: Nếu lập phương hai vế thì cũng rất phức tạp vì không đưa được về dạng
a.b=0 như ở phương trình (2)

)13)(13(19
2
−+=− xxx
. Nên có thể đặt 2 ẩn phụ
Giải: Đặt
3
13 += xu

3
13 −= xv
(9) trở thành:





=+
=++
2
1
33
22
vu
uvvu
Giải ra:




−=
=
1
1
v
u
vậy ta có:

0
113
113
3
3
=⇒





=−
=+
x
x
x
Vậy (9) có nghiệm x=0
Bài tập tương tự: Giải phương trình :
a)
1
2

1
2
1
3
=−++ xx
b)
1
33
=+−+ bxax
Ngoài cách trên có một số bài khi đặt 2 ẩn phụ nhưng không đưa được về hệ PT
thì ta có thể tìm quan hệ của 2 ẩn phụ , thay vào hệ thức đã đặt lúc đầu để đưa về
phương trình đơn giản. Như các VD sau:
VD
4
: Giải phương trình:

15)2(2
32
+=+ xx
(10)
Nhận xét: Nếu bình phương hai vế của phương trình sẽ đưa về phương trình bậc 4
rất khó giải:
Hướng dẫn: + Nhận xét gì về biểu thức x
3
+1 ?
có dạng HĐT: x
3
+ 1=(x+1)(x
2
-x+1)

Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

13
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
+ Tìm mối quan hệ giữa x
2
+2 và x
3
+1
x
2
+2 =(x
2
-x+1)+(x+1)
+ Từ đó ta có thể đặt 2 ẩn phụ:
1;1
2
+−=+= xxbxa
và tìm mối quan hệ a, b từ
đó tìm x
Giải:
ĐK :
1
−≥
x
)1)(1(5)1(2
22
+−+=+ xxxx
Đặt

1;1
2
+−=+= xxbxa
Ta có: a
2
=x+1 ; b
2
= x
2
-x+1 ; x
2
+2=a
2
+b
2
Phương trình đã cho trở thành:

0)2)(2(
5)(2
22
=−−⇔
=+
baba
abba



=
=
⇔

ab
ba
2
2
* Với a= 2b ta có:
121
2
+−=+ xxx







−
=
+
=
⇒
=−−⇔
2
375
2
375
035
2
1
2
x

x
xx
( Thoả mãn điều kiện)
+ Với b=2a Ta có:
121
2
+=+− xxx
. Từ đó giải ra tìm x
( Ở dạng này việc tìm mối quan hệ giữa các biểu thức ở hai vế là rất quan trọng .
Vì vậy trước khi giải phải quan sát nhận xét để tìm ra phương pháp giải phù hợp).
VD5:Giải phương trình:

30239)53(2
22
++=++ xxxx
( Đề thi vào Phan Bội Châu 2004-2005)
HD : Hãy biểu diễn để thấy mối quan hệ các biểu thức:
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

14
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ

( )
[ ]
32)9(391323
22
+++=+++ xxxx
Đặt:
bxax =+=+ 9;32

2
;
Ta có PT:
0))(13(3)13(
2
=−−⇔+=+ abbbaba
Giải ra:




=
=
3
1
b
ab





+=+
=+
⇔
932
3
1
9
2

2
xx
x
; Giải ra: x=0
VD5: Giải phương trình:
);8(21625
23
+=+ xx
( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005)
HD: Biến đổi
)8(2)42)(2(25
22
+=+−+ xxxx
Mối liên hệ:
)42()42(8
22
+++−=+ xxxx
;
Đặt:
bxxax =+−=+ 42;)2(2
2
Ta có phương trình:
0)2)(2()(25
22
=−−⇔+= bababaab
Từ đó tìm a,b, và tìm được x
BT Tương tự: Giải phương trình
a)
83)23(2
32

+=+− xxx

b)
1635233132
2
−+++=+++ xxxxx
Hướng dẫn:Nhận xét:
352)1)(32(
3
++=++ xxxx
Đặt :
4343
01;032
22222
−+=⇒+=+⇒
≥+=≥+=
vuxxvu
xvxu
Nên ta có phương trình:
020)()(220
222
=−+−+⇔+−+=+ vuvuuvvuvu
Đặt: u+v=t. Ta có phương trình: t
2
-t-20=0
Giải ra:



−=

=
)(4
5
loait
t
Do đó:
5132 =+++ xx
Đến đây dùng phương pháp 1 để giải: x=3
C) Đặt nhiều ẩn phụ:
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

15
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
VD1: Giải phương trình:
23222312
2222
+−+++=−−+− xxxxxxx
Nhận xét: + Phương trình này nhìn rất phức tạp , nếu nghĩ đến phương pháp bình
phương 2 vế thì sẽ đưa về một phương trình phức tạp .
+ Việc đặt điều kiện để các căn thức có nghĩa có thể phức tạp , nên ta giải phương
trình tìm x rồi thử lại.
+ Quan sát nhận xét các biểu thức trong căn :
)2()322()23()12(
2222
+−−++=−−−− xxxxxxx
Nên có thể nghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ :
Giải: Đặt
txxzxxvxxux =+−=++=−−=− 2;322;23;12
2222

Ta có hệ :



−=−
+=+
2222
tzvu
tzvu
Từ đó suy ra:
3212
22
++=−⇒= xxxtu
Giải ra : x=-2
Thay vào thoả mãn phương trình đã cho , Vậy phương trình có nghiệm x=-2
( Phương pháp này tôi thấy hay và độc đáo , từ đó GV có thể đặt nhiều đề toán đẹp)
Bài tập tương tự: Giải phương trình
200220052003220062004200520052006
2222
−++−+=−−+− xxxxxxx
PHƯƠNG PHÁP 4 : Đưa về dạng : A
2
+ B
2
= 0 hoặc A.B=0
ở phương pháp này ta sử dụng A
2
+ B
2
= 0 <=> A = B = 0 ; A.B =0

Khi A=0 hoặc B=0
Ví dụ: Giải phương trình:
32254
2
+=++ xxx
Nhận xét: + Sử dụng các phương pháp 1, 2, 3 đều khó giải
+ Biến đổi đưa về dạng A
2
+ B
2
= 0
Giải:Điều kiện:
2
3
−≥x




=−+
=+
=−+++⇔
=++−+++−⇔
=+−++
0132
01
0)132()1(
0)132232()12(
032254
22

2
2
x
x
xx
xxxx
xxx
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

16
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
Giải ra x=-1
Ví dụ 2: Giải phương trình:

14122
2
+=++ xxx
Nhận xét:
+ Ở phương trình này ta có thể đặt ẩn phụ y = x
2
+ x từ đó đưa về hệ phương trình
đối xứng:





+=
+=

yyx
xxy
2
2
Từ đó suy ra:



−−=
=
yx
yx
2
rồi giải tìm x
+ Ta cũng có thể nhân 2 vế của phương trình với 2 rồi đưa về dạng:

0)114(4
22
=−++ xx
giải ra x=0 ( cách giải này đơn giản hơn)
Bài tập tương tự: Giải phương trình
a)
126266
2
+=+− xxx
b)
5634224 −+−+−=+++ zyxzyx
VD: Giải phương trình:
31125 −=−−++ xxx

( Đề thi học sinh giỏi huyện 2005)
HD: Tìm mối quan hệ giữa các biểu thức:
)1()1(435 xxx −−+=+
; PT trở thành:
0)115()1(
011)12(0112)1()12(
22
=−++⇔
=+−−+⇔=−+++−−+
xx
xxxxxx
Giải ra: x=-24/25 ( TMĐK)
Ngoài ra ta có thể đặt:
bxax =−=+ 1;1
; ta có hê:




=−+−
=+
042
2
22
22
baba
ba
; Từ đó giải ra tìm a;b và tìm được x
Bài tập tương tự : Giải phương trình
5

3
2314
+
=−−+
x
xx
HD: Nhận xét
22
)23()14(3 −−+=+ xxx
Từ đó biến đổi đưa về dạng :A.B =0
PHƯƠNG PHÁP 5: Dùng bất đẳng thức
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

17
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt.
VD
1
: Giải phương trình:
2
14
14
=
−
+
−
x
x
x

x
(`11)
Giải: ĐK:
4
1
>x
;Sử dụng bất đẳng thức:
2≥+
a
b
b
a
với a, b > 0 dấu “=” xảy ra khi
và chỉ khi a=b Ta có:
2
14
14
≥
−
+
−
x
x
x
x
Do đó (11)
14 −=⇔ xx
Giải ra:
32 ±=x
thoả mãn điều kiện

Vậy (11) có hai nghiệm
32 ±=x
VD
2
: Giải phương trình:

222
2414105763 xxxxxx −−=+++++
(12)
Nhận xét:+Ở phương trình này ta không nên bình phương hai vế
+ Xét các biểu thức trong căn và ngoài căn.
3x
2
+6x+7 = 3(x+1)
2
+4; 5x
2
+10x + 14 = 5(x+1)
2
+ 9; 4-2x-x
2
=-(x+1)
2
+5 từ đó có
lời giải:
Giải: VT:
5942414105763
222
=+≥−−=+++++ xxxxxx
VP:

5)1(524
22
≤+−=−− xxx
Vậy 2 vế đều bằng 5, khi đó
101
−=⇒=+
xx
Kết luận pt (12) có một nghiệm x=-1
BT tương tự: Giải phương trình
a)
222
2414105763 xxxxxx −−=+++++
b)
186
116
156
2
2
2
+−=
+−
+−
xx
xx
xx
VD
3:
Giải phương trình:

271064

2
+−=−+− xxxx
Nhận xét: Nếu bình phương 2 vế sẽ đưa về phơng trình bậc 4, khó giải
Hướng dẫn : Sử dụng BĐT so sánh 2 vế
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

18
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
Giải: ĐK:
64 ≤≤ x
Ta thấy:
22)5(2710
22
≥+−=+− xxx
Mặt khác áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

( )
( )
( )
264
42.264116.14.1
22
2
≤−+−⇒
==−+−+≤−+−
xx
xxxx
Vậy ta suy ra: x
2

-10x+27=2 (1)
264 =−+− xx
(2)
Giải (1) ta được x=5 thay vào (2) ta thấy 2 vế bằng nhau. Vậy phương trình có
nghiệm x=5
BT tương tự : Giải phương trình
a)
3111
44
4
2
=−+++− xxx
(HD: áp dụng BĐT cô si)
b)






+−=−+−
x
x
x
x
1
4
1
22
2

2
Đưa về dạng:
(
)
4
11
22
2
2
=








+−++−
x
x
xx
rồi áp dụng BĐT Bunhiacopxki
Tổng quát cách giải:
+ Biến đổi pt về dạng f(x)=g(x) mà
axgaxf ≤≥ )(;)(
với a là hằng số. Nghiệm
của pt là các giá trị của x thoả mãn đồng thời f(x)=a và g(x) = a
+ Biến đổi pt về dạng h(x) =m ( m là hằng số) mà ta luôn có h(x)
≥

m và h(x)
≤
m
thì nghiệm của pt là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra
+ Áp dụng BĐT Côsi và Bunhiacôpxki
PHƯƠNG PHÁP 6: Đoán nghiệm, chứng minh nghiệm duy nhất
Ví dụ: Giải pt:
1235
3
46
=−−− xx
Nhận xét: Nếu sử dụng 5 phương pháp trên đều khó giải được nên suy nghĩ để tìm
cách giải khác.
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

19
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
Hướng dẫn: + Thử nhẩm tìm nghiệm của pt
+ Chứng minh nghiệm duy nhất
Giải: Nhận thấy
1=x
là một nghiiệm của pt
+ Xét
1>x
thì
1235
123
25
123

45
3
46
4
6
4
6
<−−−⇒





>−
<−
⇒





>−
<−
xx
x
x
x
x
nên pt vô nghiệm
+ xét

1<x
ta có:
1235
123
45
3
46
4
6
>−−−⇒





<−
>−
xx
x
x
nên pt vô nghiệm
Vậy pt có 2 nghiệm x=-1 và x=1
Ví dụ 2: Giải phương trình:

181
3
35
+−=++− xxx
Giải: Nhận thấy x=0 là một nghiệm của phương trình
+Nếu x<0 thì

11;28;11
3
35
>+−<+−<− xxx
Vậy VP <1; VT>1 nên phương trình vô nghiệm .
+ Nếu x>0 thì VP<1; VT>1 nên phươnhg trình vô nghiệm.
Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình
BT tương tự: Giải phương trình
92123228
3
2
3
2
+=+−++++ xxxx
Hướng dẫn: TXĐ: x
≥
1
Nhận thấy x=2 là nghiệm
Chứng tỏ: 1
≤
x<2 thì phương trình vô nghiệm
x>2 phương trình vô nghiệm
(Ở những phương trình phức tạp mà việc sử dụng các phương pháp 1 đến phương
pháp 4 đều không giải được thì ta nghĩ đến phương pháp 5).
BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

20
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ

Trên đây tôi đã trình bày cách nhận dạng và các phương pháp giải phương trình
vô tỷ. Trước khi giải học sinh nhận xét và thử các biện pháp từ đễ đến khó để tìm ra
phương pháp phù hợp để giải. Sau đó học sinh sẽ giải các bài tập tương tự cùng
dạng, và tự đặt thêm một số bài tập để khắc sâu thêm phương pháp giải .
Tôi nghĩ rằng với mỗi vấn đề , mỗi chuyên đề toán học chúng ta đều dạy theo từng
dạng , đi sâu mỗi dạng và tìm ra hướng tư duy ,hướng giải và phát triển bài toán
.Sau đó ra bài tập tổng hợp để học sinh biệt phân dạngvà tìm ra cách giải thích hợp
cho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ nắm vững vấn đề . Và tôi tin chắc rằng toán
học sẽ là niềm say mê với tất cả học sinh .
Với kinh nghiệm nho nhỏ như vậy tôi xin được trao đổi cùng các đồng
nghiệp.Tôi rất mong được sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp và các thầy cô
đã có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy .
Diễn Châu ngày 25 tháng 5 năm 2005
Người thực hiện
Hoàng Thị Bích Lai
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

21