Tính toán dao động xoắn của trục khuỷu động cơ đốt trong và hệ rôto - móng máy

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC






TRẦN THỊ TRÂM






TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG XOẮN CỦA
TRỤC KHUỶU ĐỘNG CƠ ĐỐT TRONG
VÀ HỆ RÔTO – MÓNG MÁY.






LUẬN VĂN THẠC SĨ

HÀ NỘI - 2005


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC





TRẦN THỊ TRÂM





TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG XOẮN CỦA
TRỤC KHUỶU ĐỘNG CƠ ĐỐT TRONG
VÀ HỆ RÔTO – MÓNG MÁY.

Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số: 60.44.21

LUẬN VĂN THẠC SĨ




NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN ĐÌNH SƠN







HÀ NỘI - 2005

2
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU……………………………………………………………………. 4
1.Tính cấp thiết của đề tài…………………… ………………… 4
2. Mục đích của đề tài …………………………………………………. 4
3. Nội dung của đề tài, các vấn đề cần giải quyết ………………… 4
4. Phƣơng pháp nghiên cứu……………………… ………………… 5
5. Phạm vi nghiên cứu……………………………….…………………. 5
6. Bố cục của luận văn…………………………………………………. 5
Chương1 - TỔNG QUAN VÀ CƠ SỞ LÝ THUYẾT THAM SỐ BÉ……… 7
1.1.Tổng quan……………………………………………………………. 7

1.2. Cơ sở lý thuyết tham số bé………………………………………… 8
Chương 2 - DAO ĐỘNG CỦA HỆ RÔTO-MÓNG MÁY………………… 14
2.1. Phƣơng trình dao động của hệ Rôto-móng máy.……………………. 14
2.1.1. Đặt vấn đề………………………………….………………. 14
2.1.2. Phƣơng trình vi phân dao động của hệ Rôto-móng máy…… 14
2.2. Dao động và ổn định của hệ Rôto-móng máy ….…………………… 20
2.2.1. Phƣơng trình biên độ- tần số trong các trƣờng hợp cộng
hƣởng…………………………….………………………. 20
2.2.1.1. Trƣờng hợp cộng hƣởng đơn thứ nhất………… 20
2.2.1.2. Trƣờng hợp cộng hƣởng đơn thứ hai….……… 26
2.2.2. Khảo sát sự ổn định của nghiệm trong trƣờng hợp cộng
hƣởng…………………………………………………. 28
2.2.2.1. Sự ổn định của nghiệm trong trƣờng hợp
cộng hƣởng đơn thứ nhất……………………. 28
2.2.2.2. Khảo sát sự ổn định của nghiệm trong
trƣờng hợp cộng hƣởng đơn thứ hai………… 36
3
2.3. Tính toán với số liệu cụ thể…………………………………………. 38
Chương 3 - DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ KHỐI LƢỢNG THU GỌN BIẾN ĐỔI 45
3.1. Phƣơng trình dao động của hệ có khối lƣợng thu gọn biến
đổi………………………………………………………………. 45
3.1.1. Đặt vấn đề………………………………………………… 45
3.1.2. Thiết lập phƣơng trình dao động của hệ có khối
lƣợng thu gọn biến đổi……………………………………… 45
3.2. Dao động và ổn định của hệ có khối lƣợng thu gọn
biến đổi…………………………………………………………… 52
3.2.1. Phƣơng trình biên độ – Tần số trong trƣờng hợp
cộng hƣởng…………………………………………………. 52
3.2.2. Khảo sát sự ổn định của nghiệm trong trƣờng
hợp cộng hƣởng…………………………………………… 59

3.3. Tính toán với số liệu cụ thể…………………….…………………… 66
Chương 4 - DAO ĐỘNG XOẮN TRỤC KHUỶU CỦA ĐỘNG CƠ ĐỐT TRONG 74
4.1. Thiết lập phƣơng trình vi phân dao động xoắn của
trục khuỷu động cơ đốt trong……………………………………. 74
4.2. Mô phỏng số của Trục khuỷu động cơ đốt trong………………… 86
KẾT LUẬN…………………………………………………….……………. 93
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………….……………… 95







4
MỞ ĐẦU

1. TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI
Ngày nay sự phát triển của khoa học cộng nghệ ngày càng tiên tiến, sự phát triển
của ngành chế tạo máy, yêu cầu không ngừng nâng cao chất lượng của máy, trong đó
một vấn đề quan trọng là nâng cao tốc độ và giảm trọng lượng của máy. Để bảo quản
máy trong khi làm việc, chúng ta phải nghiên cứu chế độ hoạt động của máy để tìm
cách khắc phục những sự cố mà do máy gây ra.
Mô hình dao động xoắn của hệ truyền động là một trong những mô hình dao động gặp
phổ biến trong cơ kỹ thuật. Hiện tượng dao động xoắn đã làm hư hại nhiều máy móc
như tàu thuỷ, máy bay và các động cơ đốt trong của các chi tiết may…
điều này đã thúc đẩy các nhà khoa học phải nghiên cứu dao động của trục động cơ.
Hiện tượng cộng hưởng là hiện tượng thường xẩy ra và có vai trò quan trọng trong các
bài toán dao động máy. Do đó việc xác định các khả năng cộng hưởng là rất cần thiết
để tìm cách khắc phục. Trong bản luận văn này đã xét các hiện tượng cộng hưởng xẩy

ra trong mô hình Rôto-móng máy và dao động của hệ có khối lượng thu gọn biến đổi.
Dựa vào các phương pháp tính toán dao động phi tuyến để nghiên cứu phương trình
vi phân dao động của máy. Các kết quả đạt được có thể vận dụng vào thiết kế và vận
hành máy.
2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI
Mục đích của đề tài là thành lập phương trình vi phân dao động cho mô hình máy mà
đề tài nghiên cứu, từ đó tính toán nghiệm, xét các trường hợp cộng hưởng và xét sự
ổn định của nghiệm của phương trình vi phân dao động.
3. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI, CÁC VẤN ĐỀ CẦN GIẢI QUYẾT :
- Xây dựng mô hình dao động như:
+Phân tích mô hình máy
+Lập hệ phương trình vi phân chuyển động
- Tính toán nghiệm
5
- Xét các trường hợp cộng hưởng.
- Xét điều kiện ổn định cho nghiệm của hệ dao động.
- Mô phỏng số cho một số trường hợp.
Các kết quả tính toán của nghiệm ta đưa giải quyết các vấn đề dao động trong máy như
tăng tuổi thọ cho máy, hạn chế sự cộng hưởng của máy.
4. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Áp dụng phương pháp tham số bé , kết hợp với phương pháp số để khảo sát sự ổn định
của nghiệm trong trường hợp cộng hưởng.
5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu dao động của hệ Rôto-Móng máy, thiết lập phương trình, xét các
trường hợp cộng hưởng và sự ổn định của nghiệm trong trường hợp cộng hưởng.
- Nghiên cứu dao động của hệ có khối lượng thu gọn biến đổi, thiết lập phương trình,
xét các trường hợp cộng hưởng và sự ổn định của nghiệm trong trường hợp cộng
hưởng.
- Nghiên cứu dao động xoắn trục khuỷu của động cơ đốt trong, dùng chương trình máy
tính để mô phỏng số.

6. BỐ CỤC CỦA LUẬN VĂN
- Phần mở đầu
- Nội dung của luận văn được trình bày trong 4 chương
- Tài liệu tham khảo
-Phục lục
Phần mở đầu: Nêu lên tính cấp thiết, mục đích, đối tượng , phạm vi nghiên cứu và
phương pháp nghiên cứu của bài luận văn.
Chương 1. Tổng quan và cơ sở lý thuyết tham số bé.
Chương 2. Dao động của hệ Rôto-Móng máy
Chương 3. Dao động của hệ có khối lượng thu gọn biến đổi
Chương 4. Dao động xoắn trục khuỷu của động cơ đốt trong
6
Phần kết luận: Nêu lên các kết quả đã đạt được của luận văn và những vấn đề cần tiếp
tục nghiên cứu.
Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sỹ Trần Đình Sơn, người thầy
đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành bản luận
văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong Viên Cơ học và Trung tâm hợp tác đào
tạo và bồi dưỡng Cơ học Hà Nội đã tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và
nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn Bộ môn Cơ lý thuyết trường đại học Mỏ Địa Chất
Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong học tập và công tác để có điều
kiện hoàn thành tốt luận văn.
Tôi cũng xin cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu
và làm luận văn.

7



Chƣơng 1
TỔNG QUAN VÀ CƠ SỞ LÝ THUYẾT THAM SỐ BÉ.

1.1.TỔNG QUAN
Dao động xoắn của các máy động cơ là những bài toán đầu tiên được nghiên cứu trong
lĩnh vực động lực học máy.
Trong khi nghiên cứu dao động xoắn của hệ truyền động, nhiều tác giả đã sử dụng
giả thiết đơn giản hoá một cách lý tưởng, xem mô men quán tính của các khối lượng
thu gọn là các hằng số, các đại lượng cản tỷ lệ bấc nhất với vận tốc, còn lực đàn hồi là
tuyến tính. Từ đó dẫn đến bài toán dao động xoắn tuyến tính, mô tả bởi hệ phương
trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số:
0 0 0
M q B q C q f t

  
 
(1.1)

Việc tính toán dao động xoắn tuyến tính mô tả bởi hệ phương trình vi phân (1.1) được
trình bày chi tiết trong các sách giáo khoa và sách chuyên khảo về động lực học máy
[2, 3, 8, 11].
Trong các bài toán thực tế, các mô men quán tính thu gọn là các hàm tuyến tính của
góc quay. ở trạng thái chuyển động bình ổn của máy, các hàm này là các hàm tuần
hoàn. Khi đó, trong phạm vi lý thuyết tuyến tính, dao động xoắn của các hệ truyền
động mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn:
(1.2)
8
Việc sử dụng phương pháp số tính toán dao động của các hệ truyền động mô tả bởi
phương trình (1.2) đã được đề cập đến trong các công trình của NguyễnVăn Khang,
Trần Đình Sơn và Vũ Văn Khiêm [4,9,10].
Các mô hình dao động xoắn phi tuyến của các hệ truyền động là bài toán khá phức tạp
. Trong một số tài liệu, người ta xét đến bài toán dao động xoắn phi tuyến yếu:
0 0 0
,,,M q B q C q h t f t q q q

     
   
(1.3)
với các hệ một, hai bậc tự do [1,11,13].
Trong luận văn này, sẽ đi sâu nghiên cứu bài toán dao động xoắn phi tuyến của các hệ
truyền động, nhằm góp phần xác định các hiệu ứng động lực học của cơ cấu và máy.
1.2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT THAM SỐ BÉ
Xác định dao động và ổn định của hệ có số hạng quán tính bằng phƣơng pháp
tham số bé
Trong quá trình nghiên cứu, ta hay gặp phương trình vi phân dạng:
, , , 1,
i i i i i k k k
q q h t F t q q q i N

  
(1.4)
trong đó
i
ht
là hàm tuần hoàn theo chu kỳ
2
,
i
F
là hàm giải tích của
,,
kkk
qqq
 
và
tuần hoàn theo chu kỳ
2
, còn là tham số dương nhỏ. Theo [6] ta gọi các phương
trình vi phân (1.4) là phương trình vi phân có số hạng quán tính phi tuyến. Sau đây ta
áp dụng phương pháp tham số bé để tìm nghiệm tuần hoàn của phương trình (1.4)
trong trường hợp cộng hưởng đơn và khảo sát sự ổn định của chúng.
Ta xét trường hợp cộng hưởng đơn, tức là chỉ có một tham số
i
xấp xỉ bằng bình
phương của một số tự nhiên nào đó:
22
, ; , 1,2,3,
ri
n l i r n l

(1.5)
Để xét các tần số ở lân cận tần số cộng hưởng ta đưa vào các tham số bé [6].

1
rr
(1.6)

2
r
n
(1.7)
9
Ngoài ra ta đặt

ii

ir
(1.8)
Khi đó phương trình (1.1) trở thành:

,,,
i i i i i k k k
q q h t t q q q
  
(1.9)
r
i i i r r
Fq
(1.10)

Giả sử khai triển Fourier của hàm
i
ht
như sau:
0
cos sin
i ij ij
j
h t h jt H jt
(i=1,2,…,N) (1.11)
Trong trường hợp không cộng hưởng, dễ dàng tính được nghiệm xấp xỉ bậc không có
dạng:

0
2
0
cos sin
ij ij
i
j
i
h jt H jt
q
j
(1.12)
Trong trường hợp cộng hưởng đơn, nghiệm xấp xỉ bậc không có dạng:
0
2
0
cos sin

cos sin
ij ij
r rn
i i ij
j
i
h jt H jt
q R n S n
j
(1.13)
Trong đó

1,
0,
rn
ij
i r j n
i r j n
(1.14)
Các tham số R, S trong (1.13) được xác định từ các phương trình sau [6]:
22
00
cos( ) sin( ) 0
rr
nt dt nt dt
(1.15)
Để nghiên cứu sự ổn định của nghiệm tuần hoàn trong trường hợp cộng hưởng đơn, ta
xét hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp hai sau đây:

1

N
i i i ij j ij ij ij j
j
Z Z u t Z v t Z w t Z
  
(i=1,2,…,N) (1.16)
10
trong đó
i
là hằng số thực,
,,
ij ij ij
u t v t w t
là các hàm thực liên tục, tuần hoàn theo
t với chu kỳ
2
.
Khai triển Fourier của các hàm
,,
ij ij ij
u t v t w t
có dạng :
0
1
2 cos sin
ij ij ij ij
u u u t U t

0
1

2 cos sin
ij ij ij ij
v v v t V t
(1.17)
0
1
2 cos sin
ij ij ij ij
w w w t W t

Theo định lý Floquet [14], hệ phương trình (1.16) có nghiệm dạng:

1,2, ,
t
ii
Z t e q t i N
(1.18)
trong đó
i
qt
là các hàm tuần hoàn chu kỳ
2
, còn là số mũ đặc trưng.
Thế (1.18) vào (1.16) , ta được hệ phương trình sau:
1,2, ,
i i i i
q t q t i N

(1.19)
trong đó :

22
1
11
22
N
i
i ij ij ij j i
j
NN
i
ij ij j i ij i
jj
u t v t w t q
v t w t q w t q
 
(1.20)
Để xác định nghiệm của hệ phương trình (1.19) ta sử dụng phương pháp tham số bé.
Trong trường hợp không cộng hưởng
2
i
n
các nghiệm gần đúng bậc không của hệ
(1.19) đều triệt tiêu. Trong trường hợp cộng hưởng đơn
22
, , 1,2,3,
ri
n l i r l
(1.21)
Ta tìm nghiệm xấp xỉ bậc không của hệ (1.19) dưới dạng:

cos sin
r
ii
q R nt S nt
(1.22)
chú ý đến (1.15) ta nhận được phương trình biên độ:
11

2 2 2
0 0 0
22
2 2 2 2 2
00
22
2 2 2 2 2
()
( ) 2
22
( ) 2
0
rr rr rr
rr n rr n rr n rr n rr n
rr rr
rr n rr n rr n rr n rr n
R
u v n w
S
R
u v n w nV n W
S

S
n v w
R
S
U V n W nv n w
R

Từ điều kiện để cho R, S không đồng thời triệt tiêu, ta có:

2
2 2 2
0 0 0
2
22
2 2 2 2 2
2
2
00
2
22
2 2 2 2 2
()
( ) 2
22
( ) 2 0
rr rr rr
rr n rr n rr n rr n rr n
rr rr
rr n rr n rr n rr n rr n
u v n w

u v n w nV n W
n v w
U V n W nv n w
(1.23)
Ta giả thiết các hệ số Fourier trong (1.17) và số mũ đặc trưng là các hằng số nhỏ. Do
đó từ (1.23) bỏ qua các số hạng nhỏ bậc cao ta nhận được phương trình:
2 2 2
2 2 2
0 2 2 2 2 2 2 0 0
2
rr rr n rr n rr n rr n rr n rr n rr rr
n nv u nV n w nv n W u n wU

Từ đó suy ra các điều kiện để hệ phương trình vi phân (1.16) ổn định tiệm cận là:

0
0
rr
v
(1.24)

22
2 2 2 2
0 2 2 2 2 2 2
2
2
00
rr rr n rr n rr n rr n rr n rr n
rr rr
n v u nV n w nv n W

u n w
U
(1.25)
Ngược lại, nếu một trong các điều kiện trên lấy dấu ngược lại thì hệ sẽ không ổn định.
Để thiết lập hệ xấp xỉ thứ nhất của phương trình biến phân của phương trình dao
động (1.9) ta làm như sau:
Đặt:
0
1,2, ,
i
ii
Z q q i N
(1.26)
12
Thế (1.26) vào (1.9), ta được:

000
, , , , , ,
i i i i k k k i k k k
Z Z t q q q t q q q

   
(1.27)
vì
i
là các hàm giải tích của
,,
kkk
qqq
 

nên ta có thể khai triển thành chuỗi Taylor tại
điểm (
000
,,
kkk
qqq
 
) như sau:

0 0 0 0
1
0
00
11
00
, , , , , ,

N
i
i k k k i k k k j j
j
j
NN
ii
j j j j
jj
jj
t q q q t q q q q q
q
q q q q

qq
   
   
 
(1.28)
Ở đây kí hiệu
0
sau dấu đạo hàm là chỉ đạo hàm được lấy tại điểm (
000
,,
kkk
qqq
 
).
Những số hạng trong (1.28) không được viết ra là những số hạng chứa
00
,,
j j j j
q q q q

0jj
qq
 
từ bậc hai trở lên.
Thay
i
từ (1.28) vào vế phải của (1.27) và chú ý đến (1.26), ta có:

*
111

000
NNN
iii
i i i j j j i
jjj
jjj
Z Z Z Z Z
qqq
  
 
(1.29)
(i=1,2,…,N)
trong đó
*
i
là những hàm chứa số hạng bậc cao hơn một của
, , ( 1,2, , )
jjj
Z Z Z i N
 

Vậy xấp xỉ bậc nhất của phương trình biến phân của phương trình dao động (1.9) là:
111
000
NNN
iii
i i i j j j
jjj
jjj
Z Z Z Z Z

qqq
  
 
(1.30)
hay
1
N
i i i ij j ij j ij j
j
Z Z u t Z v t Z w t Z
  
(i=1,2,…,N) (1.31)


13
So sánh (1.30) và (1.31), ta được:

0 0 0
,,
i i i
ij ij ij
j j j
u v w
q q q
 
(i,j=1,2,…,N) (1.32)
Xuất phát từ điều kiện ổn định và các hệ thức (1.32) ta nhận thấy rằng ở xấp xỉ bậc
không, sự ổn định của hệ (1.9) chỉ phụ thuộc vào
r
.

14
e
j
y
a
2
1
C

C
2
3
m
2
b
2
2
b
2
m
2
3
C
C
2
1
1
m ,J,
j
1
b
1
C
1
3
1
1
C
Mô

tơ

Chƣơng 2
DAO ĐỘNG CỦA HỆ RÔTO-MÓNG MÁY

2.1. PHƢƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA HỆ RÔTO -MÓNG MÁY
2.1.1. Đặt vấn đề
Hiện tượng cộng hưởng có một vai trò quan trọng trong tính toán và vận hành các máy.
Khi tính đến các yếu tố phi tuyến, trong hệ sẽ xuất hiện nhiều khả năng cộng hưởng.
Trong chương này, sẽ thết lập các phương trình vi phân phi tuyến của một mô hình
Rôto- móng máy. áp dụng phương pháp tham số bé[6] để tìm ra các khả năng cộng
hưởng của hệ , tính toán các dao động cộng hưởng và sự ổn định của chúng.
Mặt khác tiến hành mô phỏng số nhờ hệ chương trình Maple9 . So sánh các kết quả
giải tích với các kết quả mô phỏng số.
2.1.2. Thiết lập phƣơng trình vi phân dao động của hệ Rôto- móng máy
Ta xét hệ Rôto-móng máy được mô tả như hình vẽ








Hình 2.1 Hệ Rôto-móng máy
Chọn hệ tọa độ suy rộng là:

15
1
2

3
q
q
qy

Toạ độ trọng tâm của vật 1 là:
1
1
cos
sin
xe
y y a e
(2.1)
Tọa độ trọng tâm của vật 2 là:
2
2
0x
yy
(2.2)
Mô tơ quay với góc quay là , mô tơ có mô men quán tính đối với trục quay là
0
J
.
Động năng của vật 1:
22
1 1 1
2 2 2 2
1
11
22

11
2 cos
22
T J mv
J m y e e y

    


Trong đó
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 cosv x y y e e y
     

Động năng của vật 2:

22
2 2 2 2
11
22
T m v m y


Động năng của môtơ:

2
00
1
2

TJ


Vậy ta có động năng của cả hệ là:

0 1 2
2 2 2 2
1 2 1 1 0
1
2 cos
2
T T T T
m m y J me em y J

   
(2.3)
16
Giả sử rằng, hệ có hai hệ số cản nhớt là
12
,bb
và hai lò xo giảm chấn phi tuyến có thế
năng là:
24
1 11 13
24
2 21 23
11
24
11
22

cc
c y c y

Vậy thế năng của cả hệ là:

24
24
11 13 21 23 1
1 1 1 1
sin
2 4 2 2
c c c y c y m g a e
(2.4)
Hàm hao tán của hệ là:
2
2
12
11
22
R b b y

(2.5)
áp dụng phương trình Lagrange II như sau:
i
i i i i
d T T R
Q
dt q q q q

(2.6)

trong đó
i
Q
là lực suy rộng không có thế ứng với toạ độ suy rộng là
i
q
.
Từ (2.6), ta viết lại thành ba phương trình như sau:

1
d T T R
Q
dt

(2.7)

2
d T T R
Q
dt

(2.8)

3
d T T R
Q
dt y y y y

(2.9)

Trong đó

0 0 1 0
, 0,
T d T T
J J Q M
dt
 


17

3
11 13 1
,
R
c c b



1
2
11
2
1 1 1
sin
cos
cos sin
T
mey

T
J me em y
dT
J me em y mey
dt



   


3
11 13 1
1
2
cos
0
c c m ge
R
b
Q



1 2 1
2
1 2 1 1
3
21 23
2

3
cos
cos sin
0
0
T
m m y me
y
dT
m m y me me
dt y
T
y
c y c y
y
R
by
y
Q


  




Thay các kết quả trên vào (2.7), (2.8), (2.9), ta được hệ phương trình sau:

3
0 11 13 1 0

3
2
1 1 11 13 1 1
23
1 2 1 1 21 23 2
cos cos 0
cos sin 0
J c c b M
J me me y c c b m g
m m y me me c y c y b y
 


  
   
(2.10)
Vậy (2.10) là hệ phương trình vi phân dao động của hệ rôto- móng máy.
Trong đó
,,y


là đạo hàm của các hàm
,,y
theo (t).
Dưới đây ta xét bài toán ứng với mô tơ quay đều
t
(
const
).
18

Ta đặt:
1
2
qt
qy
(2.11)
Thế (2.10) vào (2.11), ta được:
3
11 1 13 1 1 1 0
23
1 1 11 1 1 1 1 1 2 13 1
2
3
1 2 2 21 2 2 2 1 1 1 1 1 1 23 2
0
cos
cos sin
c q c q bq M
J me q c q bq me t q g q c q
m m q c q b q me t q q me q t q c q

  
   

(2.12)
Ta thấy phương trình thứ nhất của (2.12) cho phép ta xác định momen
0
M

cần tác
dụng vào môtơ để cho môtơ quay đều.
Ta khai triển
11
sin ,cost q t q
quanh vị trí
t
như sau:
23
1 1 1 1
23
1 1 1 1
11
sin sin cos sin cos
26
11
cos cos sin cos sin
26
t q t q t q t q t
t q t q t q t q t


(2.13)
Thay (2.13) vào (2.12), ta được:
2
11
1 1 1 1 1 1 1 1 1
22
11
3 2 3

1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1
3
13 1
11
[ ( cos sin cos
2
1 1 1
sin ) ( cos sin cos sin )
6 2 6
]
 
   
c
q q b q meg t megq t m egq t
me J me J
megq t meq t m eq q t meq q t m eq q t
cq

(2.14)
19
23
21
2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2
2 2 2 2 2 3
1 1 1 1 1 1 1
2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
[ ( cos sin cos sin )

26
11
( sin cos sin cos )
26
(2 sin 2 cos sin
c
q q b q meq t meq q t meq q t meq q t
m m m m
me t me q t me q t me q t
me q t me q q t me q q t
     
  
3
1 1 1
2 2 2 2 2 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 23 2
1
cos )
3
11
( sin cos sin cos ) ]
26
me q q t
meq t meq q t meq q t me q q t c q

   

(2.15)
Ta bỏ qua số hạng phi tuyến bậc 3 trở lên và đặt:

22
11 21
12
2
1 1 2
,
cc
me J m m

Khi đó (2.14) và (2.15) trở thành:
2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 2
22
11
2 3 2 3
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 13 1
1
cos ( sin cos
1 1 1
cos sin sin cos )
2 6 2
  
 
m eg
q q t b q m egq t m eq t
m e J m e J
m egq t meq q t m egq t m eq q t c q
(2.16)

(2.17)
Để khảo sát hệ phương trình vi phân chuyển động (2.16), (2.17) bằng phương pháp
tham số bé, ta đưa vào biến thời gian không thứ nguyên
t
m
(m là số tự
nhiên nào đó).
Như vậy việc tìm nghiệm tuần hoàn theo t chu kỳ
2
của (2.16), (2.17), ta đưa về việc
tìm nghiệm của nó tuần hoàn theo chu kỳ
2
.
Khi đó:
i
ii
dq
d
qq
d dt m

,
2
2
ii
qq
m

(2.18)
Thay (2.18) vào (2.16) và (2.17), ta được:

20
22
2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2
11
22
2 3 2 3
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 13 1
22
1
cos ( sin cos
1 1 1
cos sin sin cos )
2 6 2
m eg
q q m b q megq m m e q m
m m e J me J m m
m egq m me q q m m egq m m e q q m c q
mm
(2.19)
2
2
22
1
2 2 2 2 2 1 1
2
1 2 1 2
2

22
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
22
2 3 2 3
1 1 1 1 1 23 2 1 1
22
2
1 1 1
1
sin [ cos
1
2 sin cos sin 2 cos
2
1
sin sin cos
6
si
me
q q m b q m e q m
m m m m m
m
me q m me q m me q m m e q q m
mm
m
me q m me q q m c q me q m
mm
me q q
m
22

22
1 1 1 1 1 1
22
1
n cos cos ]
2
m me q q m m e q q m
mm
(2.20)
Đặt:
1
1
2
1
me
me J
,
1
2
12
me
mm
,
2
2
2
ii
m

Khi đó (2.19) và (2.20) trở thành:

2 2 2
2
1
1 1 1 1 1 1 2 1
1
2
2
3 2 3
2 1 1 2 1 13 1
2
1
1
{ cos [ sin cos cos
2
11
sin sin cos ]}
62
mb
m m m
q q g m q g q m q m g q m
me
mm
q q m g q m q q m c q
me

(2.21)
22
2
2 2 2 2 2 1 1 1
1

2 2 2
2 2 3 3
1 1 1 1 1 1 23 2 1
2
1
2 2 2
1 1 1 1 1 1
{ sin [ cos 2 sin cos
sin 2 cos sin sin cos
26
1
sin cos cos ]}
2
mb
q q m m q m q m mq m q m
me
m m m
q m mq q m q m q q m c q q m
me
mq q m q q m q q m
(2.22)
Vậy hệ phương trình (2.21), (2.22) mô tả dao động phi tuyến của hệ rôto- móng máy.
2.2. DAO ĐỘNG VÀ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ RÔTO-MÓNG MÁY
Dưới đây, ta sẽ xây dựng phương trình biên độ – tần số trong các trường hợp cộng
hưởng. Sau đó, chúng ta khảo sát sự ổn định của các trường hợp cộng hưởng đơn.
2.2.1. Phƣơng trình biên độ- tần số trong các trƣờng hợp cộng hƣởng
2.2.1.1. Trƣờng hợp cộng hƣởng đơn thứ nhất.
Do độ lệch tâm e là bé nên lực kích động là nhỏ.
21
Ta xét trường hợp:

22
1 1 2 2
1,nl
(2.23)
Trong đó
1
là tham số bé đưa vào để xét các tần số ở lân cận tần số cộng hưởng.
n, l: là số tự nhiên nào đó.
Khi đó hệ phương trình (2.21) và (2.22) được viết lại dưới dạng:

2
1 1 1 1
2 2 2 2
1q n q F
q q F



22
1 1 1 1 1
2 2 2 2
q n q F n q
q q F
(2.24)
Đặt:

2
1 1 1 1 2 2
,F n q F

Khi đó hệ phương trình (2.24) trở thành:

2
1 1 1
2 2 2 2
q n q
qq
(2.25)
Trong đó:
22
2
1 1 1
1 1 1 1 2
11
22
2
2 3 2 3
1 2 1 1 2 1 13 1
2
1
{ cos sin cos
1 1 1
cos sin sin cos }
2 6 2
n q mb
mm
g m q g q m q m
me
m m m

g q m q q m g q m q q m c q
me

22
2
2 2 2 1 1 1
1
2 2 2
2 2 3 3
1 1 1 1 1 1 23 2 1
2
1
2 2 2
1 1 1 1 1 1
{ sin cos 2 sin cos
sin 2 cos sin sin cos
26
1
sin cos cos }
2
mb
m m q m q m mq m q m
me
m m m
q m mq q m q m q q m c q q m
me
mq q m q q m q q m

22



Nghiệm xấp xỉ bậc không của hệ phương trình (2.25) có dạng:

10
20
cos sin
0
q R n S n
q
(2.27)
Trong đó R, S được xác định từ phương trình (1.15)

2
1
0
cos
0
sin
n
d
n
(2.28)
Khi đó
1
được viết dưới dạng:
2
2

11
11
11
22
2 2 2 2
2
3 3 2 2 2 2 3 3
13
2
1
{ cos sin cos sin cos
1
sin cos sin cos cos sin 2 sin cos
2
cos 3 sin cos 3 sin cos sin
n mnb
m
R n S n g m R n S n
me
mm
g m R n S n g m R n S n RS n n
m
c R n R S n n RS n n S n
me
2
3 3 2 2 2 2 3 3
1
sin cos 3 sin cos 3 sin cos sin }
6
m

g m R n R S n n RS n n S n

(2.29)
Thay (2.29) vào (2.28), ta được phương trình Biên độ –Tần số:
22
2
13
11
2
1 1 1
22
2 2 2
22
32
2 2 2
2
22
32
22
2
2
3
4
1
1
0
48
2
3
1

2 16 48
3
8
2
n
m
n
m
RS
m c A
n mnb
SR
me me
RS
m g A m g
RS
S S R S
m g A m g
R
R RS
RS
mg
RS
32
2
34
2
32
3
0

48
3
nn
mm
S R S
mg
R RS
(2.30)
Ta có các trường hợp cộng hưởng sau:
23
a) Trường hợp cộng hưởng điều hoà bậc nhất

1
mn


Từ (2.30), ta suy ra:
22
22
13
11
2
1 1 1
22
2 2 2
22
3
4
1
10

0
48
2
RS
m c A
m m b
SR
me me
RS
m g A m g
RS
(2.31)
Nhân vô hướng (2.31) lần lượt với
R
S
và
S
R
, ta được:
22
2
2 2 2
22
13
1
2 2 2
11
2
2 2 2
22

1
22
1
3
10
4 4 8
10
48
m c A
m
m g A m g
A R A R
me
mb
m g A m g
A S A S
me
(2.32)
Giải hệ phương trình (2.32), ta được:

22
2
2
13
1
2
11
2
2 2 2
2

22
2
2
1
2
1
2 2 2
2
22
3
4
1
48
1
48
m c A
m
A
me
a
RA
b
m g A m g
A
mb
A
me
c
SA
d

m g A m g
A
(2.33)

22
24
22
ac
AA
bd
(2.34)
+ Nếu
0A
, từ (2.33), ta có:
0RS

+ Nếu
0A
, từ (2.34)
24

2 2 2
2 2 2 2 2
11a c c
ab
A b d A d

Thay vào phương trình thứ nhất của (2.33), ta được:
2
22

2
13
1
11
2
2 2 2
2 2 2 2
1
1
3
64
1
38
48
8
cA
b
g
A
me A
g m e A
(2.35)
b) Trường hợp cộng hưởng điều hoà bậc hai

1
22mn

Từ (2.30), ta suy ra:
22
22

13
11
2
1 1 1
32
2 2 2
22
32
12
2
4
3
4 1 4
0
2 16 48
3
RS
n c A
n n b
SR
me me
S S R S
n g A n g
R
R RS
(2.36)
Nhân vô hướng (2.36) lần lượt với
R
S
và

S
R
, ta được:

2
2
2
13
1
22
11
2
2 2 2
1
2
1
3
2 2 0
3
2
20
6
cA
gA
A RS
me
b
gA
A R S
me

(2.37)
Giải hệ (2.37), ta được:

2
2
13
1
2
11
2
2
1
2 2 2
1
2
2
3
2
2
3
2
2
6
cA
A
me
RS
gA
b
me

R S A
gA
(2.38)