Giải bài toán về va chạm dọc của hai thanh đàn hồi và ứng dụng vào bài toán đóng cọc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC







NGUYỄN NGỌC HUYÊN






GIẢI BÀI TOÁN VỀ VA CHẠM DỌC
CỦA HAI THANH ĐÀN HỒI VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI
TOÁN ĐÓNG CỌC







LUẬN VĂN THẠC SĨ

HÀ NỘI - 2005


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC





NGUYỄN NGỌC HUYÊN



GIẢI BÀI TOÁN VỀ VA CHẠM DỌC
CỦA HAI THANH ĐÀN HỒI VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI
TOÁN ĐÓNG CỌC

Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số : 60.44.21



LUẬN VĂN THẠC SĨ




NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS NGUYỄN THÚC AN












HÀ NỘI - 2005


-3-
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU 5

1. Tính cấp thiết của đề tài 5
2. Mục đích của đề tài 6
3. Phƣơng pháp nghiên cứu 7
4. Phạm vi nghiên cứu 7
5. Bố cục của luận văn 7
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN LÝ THUYẾT VA CHẠM
VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ VÀO BÀI TOÁN ĐÓNG CỌC 9
1.1. Lý thuyết va chạm cổ điển 9
1.2. Lý thuyết biến dạng vị trí 11
1.3. Lý thuyết sóng 13
1.4. Ứng dụng lý thuyết va chạm vào bài toán đóng cọc 15
CHƢƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VA CHẠM DỌC
CỦA THANH ĐÀN HỒI 17
2.1. Phƣơng trình chuyển động của thanh 17
2.2. Phƣơng pháp lan truyền sóng 18
2.3. Va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi một đầu bị gắn chặt … 20
2.4. Va chạm dọc của hai thanh đàn hồi 27
2.5. Nhận xét 31
CHƢƠNG 3: VA CHẠM DỌC CỦA HAI THANH ĐÀN HỒI MẶT BÊN
THANH THỨ HAI CHỊU LỰC CẢN KHÔNG ĐỔI VÀ
ĐẦU KIA CỦA THANH GẶP CHƢỚNG NGẠI VẬT 32
3.1. Đặt vấn đề 32
3.2. Thiết lập bài toán 32
3.2.1. Mô hình bài toán 32
3.2.2. Phƣơng trình chuyển động của thanh, nghiệm tổng quát 33
3.2.3. Điều kiện của bài toán 34
3.3. Xác định các hàm sóng, lực nén P(t) và ứng suất của thanh 34
3.3.1. Xác định các hàm sóng 34
3.3.2. Xác định các hàm sóng truyền trong thanh 36
3.4. Lực nén của thanh thứ nhất lên thanh thứ hai 50

-4-
3.5. Xác định ứng xuất trong thanh 52
3.6. Tính toán với số liệu cụ thể 54
3.7. Nhận xét ……… 56
CHƢƠNG 4: VA CHẠM CỦA BÚA VÀO CỌC BÊ TÔNG ĐÓNG TRONG
NỀN ĐỒNG NHẤT ĐÁY CỌC TỰA TRÊN NỀN CỨNG 57
4.1. Đặt vấn đề 57
4.2. Thiết lập bài toán 57
4.2.1. Mô hình bài toán 57
4.2.2. Phƣơng trình chuyển động của búa, cọc và nghiệm tổng quát .… 58
4.2.3. Điều kiện của bài toán 59
4.3. Xác định các hàm sóng trong búa, cọc và lực nén P(t) 59
4.3.1. Xác định các hàm sóng 59
4.3.2. Xác định các hàm sóng truyền trong búa và cọc 62
4.4. Lực nén của búa lên đầu cọc 70
4.5. Xác định ứng suất trong cọc trong khi đóng 71
4.6. Tính toán với số liệu cụ thể 73
4.6.1. Ảnh hƣởng của đệm đầu cọc 74
4.6.2. Ảnh hƣởng của ma sát mặt bên cọc 75
4.7. Ứng suất kéo của cọc bê tông đóng ngay sau khi va chạm 77
4.7.1. Sơ đồ bài toán 77
4.7.2. Xác định các hàm sóng truyền trong cọc 77
4.7.3. Trạng thái ứng suất trong cọc 81
4.7.4. Tính toán với số liệu cụ thể 87
4.7.5. Nhận xét 88
4.8. Nhận xét chung 89
KẾT LUẬN ……… 90
TÀI LIỆU THAM KHẢO 92
PHỤ LỤC 96

-5-
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Trong những năm gần đây ở nƣớc ta, việc xây dựng nhà nhiều tầng, cao
tầng đặc biệt là các công trình giao thông, thuỷ lợi ngày càng phát triển. Những
công trình xây dựng này yêu cầu cao đối với công trình móng để khống chế độ
nghiêng và độ lún trong giới hạn cho phép. Khi xử lý nền móng tuỳ theo điều
kiện địa chất tại nơi xây dựng các công trình, nhất là các công trình thuỷ lợi,
giao thông ngƣời ta sẽ lựa chọn các phƣơng án khác nhau nhƣ xử lý nền bằng
lớp đệm, xử lý nền bằng nổ mìn ép, Trên thực tế các công trình vƣợt qua
sông suối, vùng sình lầy, vùng có kiến tạo địa chất dạng trầm tích trẻ dầy, thì
đều có đặc điểm chung là khả năng chịu tải của các lớp đất mặt rất yếu. Nếu
tiến hành xử lý móng bằng các biện pháp trên sẽ rất tốn kém, thời gian thi công
dài. Phƣơng pháp gia cố nền bằng đóng cọc bê tông cốt thép đƣợc coi là tối ƣu
hơn cả bởi lẽ phƣơng pháp này thi công đơn giản, khắc phục hạn chế đƣợc biến
dạng lún và biến dạng không đồng đều của nền, đảm bảo sự ổn định cho công
trình khi có tải trọng ngang tác dụng, giảm bớt đƣợc khối lƣợng vật liệu xây
móng và khối lƣợng đào, đắp đất, rút ngắn thời gian thi công
Khi tính toán sức chịu tải của cọc, ngƣời ta dựa vào lý thuyết và thực
nghiệm. Các công thức lý thuyết đã đƣợc đƣa ra từ nhiều thế kỷ trƣớc và
thƣờng cho kết quả sai khác so với thực tế. Tuy rằng các công thức này ngày
càng đƣợc hoàn thiện tiến bộ và sát với thực tế hơn. Do phƣơng pháp lý
thuyết có nhiều hạn chế nên trong thực tế để xác định sức chịu tải của cọc
ngƣời ta dựa vào thí nghiệm tại hiện trƣờng. Qua rất nhiều số liệu ở các công

trình khác nhau, ngƣời ta dùng phƣơng pháp thống kê để xác định sức chịu tải
của cọc bằng tải trọng tĩnh tại hiện trƣờng. Kết quả theo phƣơng pháp này
đáng tin cậy, nhƣng tốn kém và mất rất nhiều thời gian. Do vậy phƣơng pháp
này chỉ áp dụng cho các công trình quan trọng. Các công thức và phƣơng

-6-
pháp thực nghiệm trên dựa theo lý thuyết tĩnh để tính sức chịu tải của cọc
theo vật liệu làm cọc, điều kiện địa chất công trình, Việc thí nghiệm sức
chịu tải của cọc bằng tải trọng động sẽ đơn giản và đỡ tốn kém hơn so với thí
nghiệm tải trọng tĩnh, nhƣng các công thức đƣa ra còn chƣa phù hợp với thực
tế vì nó dựa trên lý thuyết va chạm cổ điển của Newton.
Ngày nay, với sự ra đời của lý thuyết va chạm hiện đại đã cho phép khắc
phục đƣợc những thiếu sót của lý thuyết va chạm cổ điển của Newton.
Dựa trên cơ sở lý thuyết lan truyền sóng ứng suất dọc cọc và sự dao động
cƣỡng bức của cọc và bằng nhiều phƣơng pháp nghiên cứu khác nhau kết hợp
với thực nghiệm, nhiều nhà khoa học trên thế giới nhƣ Mỹ, Nhật, Anh, Nga,
và nhiều cơ quan nghiên cứu của Việt Nam nhƣ: Viện Cơ học, Viện Khoa
học Công nghệ Xây dựng, Trƣờng Đại học Thuỷ lợi, đã đạt đƣợc các kết
quả.
Thông thƣờng, công nghệ đóng cọc dựa vào công thức kinh nghiệm hoặc
kinh nghiệm thi công mà chƣa nghiên cứu kỹ mối quan hệ rất khăng khít
giữa: Đầu búa đệm đầu cọc cọc bê tông và nền đất, đặc biệt đối với cọc bê
tông khả năng chịu kéo rất kém so với khả năng chịu nén nên trong một số
trƣờng hợp cọc có thể không bị vỡ do ứng suất nén mà lại bị nứt vỡ do ứng
suất kéo ngay sau khi đóng. Việc nghiên cứu các bài toán va chạm dọc của
hai thanh đàn hồi với điều kiện biên khác nhau là những bài toán phức tạp,
nhƣng mô hình bài toán này rất gần với các bài toán kỹ thuật, đặc biệt là thi
công đóng cọc bằng búa điêzen với bộ phận va đập là píttông. Vì vậy chọn đề
tài: “Giải bài toán về va chạm dọc của hai thanh đàn hồi và ứng dụng vào
bài toán đóng cọc” là đề tài mới mẻ có tính cấp thiết, có ý nghĩa khoa học và

thực tiễn.
2. Mục đích của đề tài

-7-
Mục đích của luận văn là áp dụng lý thuyết sóng một chiều nghiên cứu
mở rộng và hoàn thiện thêm việc nghiên cứu lớp các bài toán về va chạm dọc
của hai thanh đàn hồi. Ứng dụng để xác định trạng thái ứng suất của cọc bê
tông và chọn đệm đầu cọc để cọc đóng đƣợc an toàn.
3. Phương pháp nghiên cứu
Phƣơng pháp nghiên cứu dùng trong luận văn là nghiên cứu lý thuyết kết
hợp với chƣơng trình máy tính:
 Áp dụng phƣơng pháp lan truyền sóng nghiệm Đalămbe để giải các
bài toán, xác định lực nén và trạng thái ứng suất.
 Sử dụng máy tính với ngôn ngữ lập trình Matlab để tính toán với số
liệu cụ thể của công trình thi công cống Liên Mạc II thuộc hệ thống thuỷ nông
sông Nhuệ – Tỉnh Hà Tây.
4. Phạm vi nghiên cứu
 Nghiên cứu va chạm dọc của hai thanh đàn hồi mặt bên chịu lực cản
không đổi và đầu kia của thanh gặp chƣớng ngại vật. Xác định lực nén và
trạng thái ứng suất của thanh.
 Nghiên cứu va chạm của búa vào cọc đóng trong nền đồng nhất đáy
cọc tựa trên nền cứng trong khi đóng và ngay sau khi đóng bằng búa Điêzen
với bộ phận và đập là píttông.
 Xét ảnh hƣởng của lực cản ma sát mặt bên, độ cứng đệm đàn hồi đến
thời gian va chạm , lực nén cực đại và trạng thái ứng suất nén trong cọc.
 Trạng thái ứng suất kéo của cọc ngay sau khi va chạm.
5. Bố cục của luận văn
Luận văn bao gồm: Phần mở đầu, nội dung bao gồm 98 trang trình bày
trong 4 chƣơng, phần kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục.

-8-
Phần mở đầu nêu lên tính cấp thiết, mục đích, đối tƣợng, phạm vi nghiên
cứu và phƣơng pháp nghiên cứu của luận văn.
Chƣơng 1: Tổng quan lịch sử phát triển lý thuyết va chạm và ứng dụng
của nó vào bài toán đóng cọc.
Chƣơng 2: Cơ sở lý thuyết va chạm dọc của thanh đàn hồi.
Chƣơng 3: Va chạm dọc của hai thanh đàn hồi mặt bên chịu lực cản
không đổi và đầu kia của thanh gặp chƣớng ngại vật.
Chƣơng 4: Va chạm của búa vào cọc đóng trong nền đồng nhất đáy cọc
tựa trên nền cứng.
Phần kết luận: Nêu lên các kết quả chính đã đạt đƣợc của luận văn và
những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu.
Phần phụ lục: Gồm chƣơng trình máy tính lập bằng Matlab đƣợc lập trên
cơ sở các dạng nghiệm giải tích đã có và các kết quả tính toán cho công trình
thi công cống Liên Mạc II thuộc hệ thống thuỷ nông sông Nhuệ.


-9-
CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN LÝ THUYẾT VA CHẠM
VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ VÀO BÀI TOÁN ĐÓNG CỌC
1.1. Lý thuyết va chạm cổ điển [3]
Sự phát triển của lý thuyết va chạm cổ điển được gắn liền với tên tuổi của
nhà bác học nổi tiếng người Ý Galile. Năm 1628 lần đầu tiên khi nghiên cứu
về va chạm của vật rắn tuyệt đối, Galile đã khẳng định rằng vật rắn khi va
chạm sẽ sinh ra công. Tiếp tục nghiên cứu phát minh của Galile đã có nhiều
nhà khoa học trên thế giới đi sâu vào nghiên cứu những quy luật cơ bản về
chuyển động của các vật thể va chạm. Đến năm 1669, nhà bác học Huyghen
đã nghiên cứu và thiết lập được các quy luật cơ bản về va chạm của quả cầu.
Đối tượng nghiên cứu của lý thuyết va chạm cổ điển là vật rắn tuyệt đối

và hệ chất điểm. Nên khi thiết lập phương trình thì số phương trình độc lập
nhỏ hơn số ẩn số độc lập phải tìm. Để giải quyết vấn đề này nhiều nhà khoa
học đã nghiên cứu và tìm ra biện pháp là sử dụng mối quan hệ phụ thuộc của
vận tốc.
Năm 1687 nhà bác học Newton đã đưa ra hệ số khôi phục k, là hệ số tỷ lệ
giữa vận tốc tương đối trước và sau khi va chạm thẳng xuyên tâm của các vật
thể. Qua thực tiễn thấy rằng mặc dù giá trị của lý thuyết hệ số khôi phục k còn
nhiều hạn chế, song nó vẫn còn được áp dụng cho đến ngày nay. Sau Newton
Lý thuyết va chạm cổ điển được Mapry, Huyghen và nhiều nhà khoa học khác
tiếp tục nghiên cứu bổ xung và phát triển.
Nội dung của lý thuyết va chạm cổ điển là một phần của cơ học vật rắn
tuyệt đối. Để nghiên cứu lý thuyết này, người ta đã đưa ra các giả thiết đã thể
hiện được những nét cơ bản của hiện tượng va chạm vật lý đó là:
– Khoảng thời gian va chạm là vô cùng bé.

-10-
– Bỏ qua sự dịch chuyển các vật thể trong thời gian va chạm.
– Xung lực va chạm là hữu hạn nên có thể bỏ qua xung lực của các lực
hữu hạn, đó là các lực không phải là lực va chạm.
Phương trình cơ bản của lý thuyết va chạm cổ điển được viết như sau:
(1.1)
Trong đó:

là vận tốc của chất điểm trước và sau khi va
chạm;
m: Khối của lượng chất điểm;
: Thời gian va chạm;

F


: Lực va chạm.
Từ phương trình cơ bản (1.1) người ta đã thiết lập được định lý mômen
động lượng, phương trình tổng quát của lý thuyết va chạm, phương trình
Lagrange II,
Năm 1724, nhà bác học Ricát đã nghiên cứu kết quả của các nhà khoa
học về lý thuyết va chạm, ông đặc biệt chú ý tới các đặc trưng vật lý, cơ học
của các vật thể va chạm và phân chia quá trình va chạm thành hai pha như
sau:
– Pha đầu là giai đoạn biến dạng của các vật thể va chạm.
– Pha thứ hai là giai đoạn biến dạng khôi phục lại hình dạng của các vật
thể va chạm.
Hệ số khôi phục k được xác định bằng công thức sau:

-11-

2 1 2
2 1 1
U U S
k
V V S
(1.2)
Trong đó:
U
1
, U
2
: Hình chiếu vận tốc của vật thể sau khi va chạm theo phương pháp
tuyến;
V
1

, V
2
: Hình chiếu vận tốc của vật thể trước khi va chạm theo phương pháp
tuyến.
S
1
, S
2
: Xung lực va chạm ở pha đầu và pha cuối của va chạm tương ứng.
– Khi vật thể hoàn toàn dẻo ta có: k = 0.
– Khi vật thể hoàn toàn đàn hồi ta có: k = 1.
– Khi vật thể không hoàn toàn đàn hồi ta có: k < 1.
Do đó: 0 k 1.
Như vậy khi nghiên cứu lý thuyết va chạm cổ điển ta nhận thấy rằng:
– Lý thuyết va chạm cổ điển đóng vai trò to lớn trong sự phát triển khoa
học về va chạm nhưng lý thuyết này đã không giải thích được hiện tượng biến
dạng vị trí ở tại vùng tiếp xúc giữa các vật thể va chạm, mặt khác lý thuyết va
chạm cổ điển này còn một khoảng cách so với thực tế. Độ chính xác nghiệm
của bài toán này phụ thuộc vào độ chính xác của hệ số khôi phục nhưng hệ số
khôi phục lại phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố khác.
– Lý thuyết va chạm cổ điển được giới hạn bằng việc xét hiệu ứng tích
phân ở pha đầu và pha cuối mà không xét đến quá trình va chạm.
– Các tồn tại của lý thuyết va chạm cổ điển sẽ được nghiên cứu và giải
quyết triệt để dựa trên cơ sở lý thuyết biến dạng vị trí và lý thuyết sóng hay
tổng hợp của hai lý thuyết đó.
1.2. Lý thuyết biến dạng vị trí [28], [29]

-12-
Hec là người đã đặt nền móng cho lý thuyết biến dạng vị trí. Năm 1881,
Hec đã thay việc xét hiệu ứng tích phân ở cả hai pha của quá trình va chạm

bằng việc nghiên cứu quá trình va chạm và đã đưa ra bài toán ứng suất vị trí
được sinh ra khi có tác dụng va chạm giữa các vật thể đàn hồi. Tuy nhiên đây
mới chỉ đề cập đến bài toán tĩnh, sau đó Hec đã mở rộng miền áp dụng cho
các bài toán động lực học của các vật thể đàn hồi sau khi bổ sung thêm giới
hạn phụ như: cho biết vận tốc tương đối của các vật thể.
Sau đó AI. Luariê và IA. Staerơman với sự nghiên cứu sâu sắc của bài
toán tiếp xúc đã chỉ ra rằng cách đặt bài toán va chạm là không xác định và
nghiệm của Hec là một trong số nhiều nghiệm thoả mãn hệ phương trình của
bài toán va chạm. Trước hết ta trình bày nghiệm bài toán tĩnh học của Hec,
sau đó sẽ xét tới nghiệm của bài toán động lực học.
Đầu tiên để nghiên cứu nghiệm của bài toán tĩnh học, Hec đã đề ra các
giả thiết sau:
– Hai vật thể đàn hồi không đặt tải trọng.
– Các vật thể tiếp xúc với nhau tại một điểm.
– Bề mặt của các vật thể ở tại vùng lân cận điểm tiếp xúc có pháp tuyến
và độ cong xác định.
– Coi những điểm tiếp xúc là những điểm elip của các vật thể.
– Hệ lực hoạt động tác dụng lên mỗi vật thể có hợp lực hướng theo pháp
tuyến ngoài đối với mỗi mặt của vật thể này ở tại điểm tiếp xúc với vật thể thứ
hai.
– Hệ vật thể ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của hệ lực hoạt động và
phản lực đàn hồi đặt lên vật thể ở vùng chịu nén.
Từ các giả thiết trên, với điều kiện cân bằng tĩnh học ta có:

()
P p(x,y)d
(1.3)

-13-
Trong đó: P: Hợp lực nén của vật thể;

p(x,y) : Áp lực phân bố theo vùng nén;
: Diện tích vùng nén (chưa xác định).
Phương trình (1.3) được gọi là phương trình cơ bản thứ nhất của lý thuyết
biến dạng Hec về sự tác dụng tương hỗ lẫn nhau khi va chạm.
Phương trình thứ hai được xác định khi xét tới các điều kiện động học
của bài toán và ta có:

()
p(x ,y)
f(x,y) A dxdy
r
(1.4)
Với: A =
1
+
2
;
22
r (x x ) (y y)
;

11
1
1 1 1
2
4 ( )
;
)(4
2
222

22
2
.
Trong đó:
i
,
i
(i = 1, 2): là các hằng số Lame đối với các vật cụ thể;

1
,
2
: là hệ số dịch chuyển tịnh tiến của vật thể sinh ra khi bị
nén.
Như vậy ta có hệ phương trình cơ bản bài toán tiếp xúc của Hec được viết
như sau:

()
P p(x,y)dxdy


()
p(x ,y)
f(x,y) A dxdy
r

1.3. Lý thuyết sóng [24], [29], [30]
Năm 1770 Becnouli đã chú ý tới sự thiếu sót của giả thuyết coi vật thể là
vật rắn tuyệt đối trong lý thuyết va chạm cổ điển, ông đã chứng minh được

-14-
rằng quá trình dao động dọc của vật thể được xẩy ra sau khi va chạm và điều
kiện cần thiết để tính toán là sự dao động của các loại thanh.
Nghiên cứu trường hợp cụ thể khi tính toán tần số cơ bản của dao động
Becnouli đã xác định được rằng năng lượng của dao động riêng chiếm 5/9
năng lượng trước khi va chạm.
Năm 1881 các thực nghiệm của Bôndơman đã xác định được sự mất
động năng của các thanh cùng khối lượng, chiều dài khác nhau và chuyển
động tịnh tiến sau khi va chạm. Điều này cho ta thấy rằng vật liệu của vật
thể là đàn hồi, cho nên với giả thiết vật thể va chạm là rắn tuyệt đối sẽ
không đúng với thực tế.
Vào năm 1823 Naviê đã xét bài toán va chạm dọc của vật rắn vào thanh
đàn hồi với giả thiết: Vật rắn không tách rời thanh ít nhất với sự trôi đi của
nửa chu kỳ dạng dao động cơ bản của thanh.
Nghiệm của Naviê được viết dưới dạng cấp số vô hạn, điều này không
thuận lợi cho việc áp dụng vào thực tế vì cấp số có được sự hội tụ chậm.
Lý thuyết va chạm dọc của thanh đàn hồi hiện nay dựa vào cơ sở các kết
quả nghiên cứu của Sanhvơnăng và Bútxinet. Sự nghiên cứu này đã tìm được
nghiệm tổng quát của bài toán mà Naviê đã đề ra dưới dạng cho phép áp dụng
vào thực tế. Nhưng lý thuyết va chạm dọc của Sanhvơnăng thường chưa thoả
mãn với thực tế. Để khắc phục điều này đã được Timôxencô chỉ ra bằng thực
nghiệm. Nguyên nhân là ở chỗ Sanhvơnăng cũng như Naviê đã coi mặt tiếp
xúc giữa các vật thể là nhẵn lý tưởng vuông góc với trục thanh.
Sự gồ ghề của các mặt tiếp gây ra sự sai lệch lớn đối với hiện tượng va
chạm ở trường hợp các thanh ngắn va chạm, để thực hiện gần đúng sơ đồ
nghiệm bài toán đối với điều kiện thực tế của thực nghiệm và các tài liệu lý

-15-
thuyết, nhà nghiên cứu khoa học Sia đã nghiên cứu sự va chạm của thanh với
tiết diện đầu hình cầu với thanh đầu phẳng.

Nhà khoa học Sia đã giả thiết rằng ở đầu thanh va chạm sự phân bố ứng
suất tuân theo lý thuyết biến dạng vị trí của Hec và từ khoảng cách nào đó
cách các đầu thanh va chạm sự phân bố ứng suất được xác định theo lý thuyết
truyền sóng của Sanhvơnăng. Như vậy Sia đã giải quyết trọn vẹn bài toán này
vì ông đã không chỉ chú ý đến biến dạng vị trí của các vật thể va chạm mà còn
chú ý đến sự liên hệ giữa biến dạng của các vật thể va chạm với dao động đàn
hồi của thanh.
Lý thuyết va chạm là tổng hợp bởi lý thuyết biến dạng vị trí và lý thuyết
truyền sóng. Do đó, nhờ lý thuyết này mà ta xác định được thời gian va chạm
và các thông số đặc trưng cho va chạm giữa các vật thể.
1.4. Ứng dụng lý thuyết va chạm vào bài toán đóng cọc
Dựa vào lý thuyết va chạm tự do giữa hai vật thể đàn hồi và nguyên lý
cân bằng công khi đóng cọc, nhiều nhà nghiên cứu đã đưa ra các công thức
động khác nhau để xác định sức chịu tải của cọc như công thức của: Crandall,
Gherxevanop, Hiley, Redtenbacher và Hollandais. Tuy nhiên hiện tại các
công thức đang được sử dụng nhiều là công thức của Hollandais và Crandall.
Việc xác định sức chịu tải của cọc theo phương pháp này đơn giản và đỡ
tốn kém hơn nhiều so với phương pháp nén tĩnh. Vì vậy hầu như công trình
móng cọc nào cũng có thể tiến hành đóng thử cọc được, qua việc đóng thử
cọc ta xác định được các thông số, các thông số này là kết quả để ta có thể
kiểm tra và sửa đổi lại thiết kế. Tuy nhiên trị số sức chịu tải của cọc xác định
theo các công thức động đều không phù hợp với kết quả thí nghiệm bằng tải
trọng tĩnh vì một số nguyên nhân sau:

-16-
– Nói chung tất cả các công thức động đều áp dụng lý thuyết va chạm
của Newton. Lý thuyết này chỉ áp dụng cho va chạm tự do giữa hai vật thể rắn
tuyệt đối vì vậy đem nó áp dụng cho sự va chạm giữa búa và cọc thì không
thể nào đưa đến kết quả chính xác được.
– Trong các công thức động, đều có một số hệ số kinh nghiệm. Do đó

việc xác định chính xác các hệ số này khi ứng dụng tính toán là hết sức khó
khăn.
– Việc đưa vào các giả thiết với mục đích chỉ làm đơn giản các công thức
động dẫn đến những điều bất hợp lý như được thể hiện ở trong công thức của
Gherxevanop với giả thiết về độ nẩy lên của búa có h = 0 nhiều khi dẫn đến
sai số rất lớn.
Để khắc phục những tồn tại nêu trên, trên cơ sở các tiến bộ về lý thuyết
va chạm dọc của thanh đàn hồi vào năm 1948, Gherxevanop đã áp dụng lý
thuyết truyền sóng một chiều để xác định lực chống của cọc. Tiếp theo là các
công trình của Vatxilépki đã dựa vào lý thuyết truyền sóng để nghiên cứu
trạng thái ứng suất của cọc.
E.A. Smith là người đầu tiên áp dụng lý thuyết sóng cơ học để phân tích
động một cọc tại các nước phương tây, sau đó phương pháp này của Ông đã
được công ty Raymond phát triển và ứng dụng vào thực tiễn.
Việc ứng dụng sóng ứng suất đã được nghiên cứu và phát triển tại trường
Đại học Case ở Clevelandz thuộc United States of American do giáo sư
Goble phụ trách vào giữa năm 1960. Từ kết quả nghiên cứu đã sản xuất ra
được thiết bị chuyên dùng mà nó thu thập và phân tích được kết quả đo. Ngày
nay, việc ứng dụng trường ứng suất để phân tích đồng bộ một cọc được phát
triển rộng rãi trên thế giới.

-17-
Ở Việt nam từ năm 1971 trở lại đây đã có nhiều cơ sở nghiên cứu như:
Trường đại học Thuỷ lợi, Viện nghiên cứu khoa học công nghệ xây dựng,
Trường đại học Xây dựng, Học viện Kỹ thuật quân sự và Viện Cơ học đã
nghiên cứu các bài toán về va chạm dọc của thanh đàn hồi với điều kiện biên
khác nhau, đồng thời đã ứng dụng lý thuyết này vào bài toán đóng cọc trong
điều kiện địa chất nền đồng nhất và nền không đồng nhất bằng búa điêzen với
bộ phận va đập là xylanh. Nhưng trên thực tế tại công trường người ta sử
dụng búa điêzen va đập bằng píttông, với những tồn tại về lý thuyết và thực tế

này sẽ được xét ở chương 3 và chương 4 của luận văn.







CHƢƠNG 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT VA CHẠM DỌC CỦA THANH ĐÀN HỒI
2.1. Phƣơng trình chuyển động của thanh [1]
2.1.1. Sơ đồ bài toán






m
m
n

n
m m
n n
P(x)
P(x+ x)
Hình 2.1

-18-

2.1.2. Phương trình chuyển động của thanh
Khi xét dao động dọc của thanh ta sử dụng giả thiết sau:
– Các tiết diện của thanh vuông góc với trục của nó là tiết diện phẳng.
– Bỏ qua năng lượng chuyển động của các phần tử vuông góc với trục của
thanh.
Gọi U là độ dịch chuyển tại mỗi tiết diện của thanh
Lực kéo dọc tại tiết diện (m–n) là:
U
P(x) F. (x) EF.
x

Lực dọc tại tiết diện (m –n ) là:

2
2
P U U
P(x x) P(x) dx EF dx
x x x

Lực quán tính Đalambe của phân tố mnm n sẽ là:
2
2
U
F dx
t

Trong đó: là khối lượng riêng của vật liệu thanh.
Áp dụng nguyên lý Đalambe ta có phương trình sau:

22

22
U U U U
F dx EF EF dx 0
t x x x

Rút gọn phương trình chuyển động của thanh ta được:

2
2
2
2
2
x
U
a
t
U
(2.1)
Trong đó:
E
a
là vận tốc truyền sóng trong thanh;
E là môđun đàn hồi của thanh.
2.1.3. Các điều kiện của bài toán
– Điều kiện đầu của bài toán:

-19-
Vị trí tiết diện ngang và vận tốc của thanh ở thời điểm đầu (t = 0) là các
hàm số đã biết của toạ độ x:
U(0, x) = f(x);

1
U(0,x)
f (x)
t
(2.2)
– Điều kiện biên của bài toán:
+ Thanh bị gắn chặt 1 đầu:
Tại đầu thanh x = 0 ta có: U(t, 0) = 0
Tại đầu thanh x = L ta có: U(t, L) = 0 (2.3)
+ Hai đầu thanh chuyển động thì điều kiện biên sẽ là:
U(t, 0) = f(t); U(t, L) =f
1
(t)
2.2. Phƣơng pháp lan truyền sóng
Muốn xác định được chuyển động của thanh ta phải giải phương trình (2.1)
theo điều kiện đầu và điều kiện biên. Để giải phương trình này người ta có thể
dùng phương pháp tách biến hoặc phương pháp lan truyền sóng.
Ở đây ta giải phương trình (2.1) bằng phương pháp lan truyền sóng cho
trường hợp dao động tự do của thanh bằng cách đổi biến, dùng biến số mới.
Đặt biến số mới:
at x
và
at x
hay
1
x ( )
2
;
1
t ( )

2a
.
Theo trên, hàm số dịch chuyển U phụ thuộc vào x và t. Bây giờ ta biểu thị
hàm U qua các biến mới là và , sử dụng qui luật vi phân của hàm số phức
hợp ta có:

2 2 2
22
22
U U U
a 4a
tx


-20-
Từ (2.1) ta có:
2
UU
0 hay 0

Từ đó suy ra
U
không phụ thuộc vào mà chỉ phụ thuộc vào .
Đặt:
U
Q
, thay vào biểu thức trên và tích phân ta được:

U Q( )d

Đặt
Qd
, ta có hàm dịch chuyển U được viết dưới dạng:

U ( ) ( )

Chuyển qua biến cũ ta có:
U (at x) (at x)
(2.4)
Trong đó: , là các hàm số phụ thuộc vào biến số t và x.
Biểu thức (2.4) là nghiệm tổng quát của phương trình chuyển động của
thanh đàn hồi theo Đalămbe.
Đối với mỗi bài toán cụ thể, với điều kiện đầu và điều kiện biên đã cho
thì ta sẽ tìm được nghiệm cụ thể của bài toán.
Ý nghĩa vật lý của bài toán được thể hiện rõ ràng như sau:
– Số hạng thứ nhất
(at x)
là sóng dịch chuyển truyền dọc thanh theo hướng
của trục Ox với vận tốc a.
– Số hạng thứ hai
(at x)
là sóng dịch chuyển truyền dọc thanh theo hướng
ngược lại với trục Ox, với cùng vận tốc a.
Vậy dịch chuyển U(t, x) của thanh có thể coi như là kết quả tổng hợp của
hai sóng: và . Chúng là những hàm sóng chuyển động dọc thanh theo
chiều ngược nhau với vận tốc truyền sóng là a.
2.3. Va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi một đầu bị gắn chặt

-21-

Như ta đã biết phương trình vi phân chuyển động của thanh có dạng:

2
2
2
2
2
x
U
a
t
U
(2.5)
Điều kiện đầu của bài toán:
U(0, x) = 0,
U(0, x)
0
t
với 0 < x < L (2.6)

0
U(0, x)
V
t
với x = L (2.7)
Điều kiện biên của bài toán:
Ở tại đầu thanh gắn chặt: U(t, 0) = 0

Lực quán tính của vật tác dụng lên đầu thanh tự do cho nên với x = L ta có:

2
2
xL
xL
U Q U
EF .
x g t

Tương tự dùng các ký hiệu ở tiết trên, điều kiện biên tại đầu tự do có dạng:

2
2
2
U t,L
U(t,L)
mL a
tx
(2.8)
Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) có dạng:

U (at x) (at x)
(2.9)
Từ điều kiện tại đầu (x = 0) gắn chặt ta có:
(at) + (at) = 0 (2.10)
Do đó:
(at x) (at x)

Hình 2.2

0
V


x
O

-22-
Vậy
U(t, x) (at x) (at x)
(2.11)
Sử dụng điều kiện đầu và điều kiện biên ta xác định các hàm và .
Từ điều kiện đầu ta có:

t0
U(x) ( x) ( x) 0 0 x L
U
'( x) '( x) 0 0 x L
x
U
a '( x) a '( x) 0 0 x L
t
(2.12)
Từ hai đẳng thức cuối ta có:
( x) 0
;
( x) 0
(0 < x < L)
Nếu thay biến x bằng biến Z ta có:
(z) 0

( L z L)
(2.13)
Do đó trên đoạn
( L, L)
thì (z) = const.
Với điều kiện đó các hệ thức của (2.12) thoả mãn, ta lấy hằng số này
bằng không.
Bây giờ xét điều kiện (2.8), sau khi thay (2.9) vào điều kiện này ta có:

mL (at L) (at L) (at L) (at L)

Đặt: at + L = z
Phương trình trên được viết dưới dạng:

11
(z) z z 2L z 2L
mL mL
(2.14)
Các phương trình (2.13), (2.14) cho phép xây dựng hàm chưa biết
)z(

được liên hệ với các giá trị của chúng trong hai khoảng liên tiếp.

-23-
Nếu các giá trị của (z) được biết trong khoảng
(2n 1)L z (2n 1)L

thì các giá trị của hàm số đó được xác định trong khoảng
(2n 1)L z (2n 3)L

.
Thực tế nếu hàm (z) được biết trong khoảng
(2n 1)L z 2nL
thì vế
phải của (2.14) được biết trong khoảng
2nL z 2(n 1)L
.
Tích phân (2.14) ta có:

z z z
mL mL mL
n
1
z C e e e (z 2L) (z 2L) dz
mL
(2.15)
Trong đó: C
n
hằng số tích phân.
Bây giờ ta sẽ xây dựng hàm (z) khi chuyển từ một tích phân đến một
tích phân sau. Điều kiện (2.13) xác định (z) trong khoảng ( L, L).
Sau khi sử dụng (2.15), ta sẽ tìm được (z) ở trong khoảng (L, 3L).
Trong khoảng này vế phải của (2.15) bằng không, từ đẳng thức (2.15) ta có:

z/mL
1
(z) C e
(L < z <3L)
Để xác định hằng số C
1

ta sử dụng điều kiện (2.7), (2.9) ta có:

0
a (L 0) (L 0) V

Trên cơ sở công thức (2.15) số hạng thứ nhất ở trong ngoặc bằng không,
từ đó ta có:

LL
00
mm
11
VV
(L 0) C e C e
aa
(2.16)
Do đó:
zL
0
mL
V
(z) e
a
Với ( L < z < 3L) (2.17)
Bây giờ có thể xác định hàm (z) trong khoảng (3L, 5L).
Ở đây:
z 2L
0
mL
V

(z 2L) e
a
, thay vào phương trình (2.14) ta có:

-24-

z 3L
0
mL
2V
1
(z) (z) e
mL mLa

Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:

z z 3L
0
mL mL
2
2V
(z) C e (z 3L)e
mLa
(3L < z < 5L) (2.18)
Hằng số C
2
được xác định từ điều kiện liên tục của vận tốc đầu thanh (x =
L) trong thời gian va chạm. Như vậy có thể tìm được các hằng số C
n
với cách

làm tiếp tục về sau của hàm (z), ta sẽ nhận được dạng tổng quát điều kiện
liên tục của vận tốc ở đầu tự do của thanh
zL
U
t
. Các điều kiện này cho
phép xác định hằng số C
n
.
Trên cơ sở phương trình (2.11) ta sẽ có:

xL
1U
(at L) (at L)
at
(2.19)
Thay
2nL
t0
a
vào (2.19), ta có:

xL
2nL
t0
a
1U
(2n 1)L 0 (2n 1)L 0
at
(2.20)

Thay
2nL
t0
a
vào (2.19), ta có:

xL
2nL
t0
a
1U
[(2n 1)L 0] [(2n 1)L 0]
at
(2.21)
Dựa vào tính chất liên tục của vận tốc tại đầu thanh suy ra:

(2n 1)L 0 (2n 1)L 0 (2n 1)L 0 (2n 1)L 0
(2.22)

-25-
Đẳng thức (2.22) xác định tính chất của hàm số (z), nếu (z) liên tục
gián đoạn loại 1 với
z (2n 1)L
. Thì các bước nhảy có giá trị giống nhau.
Ta có thể chứng minh sự gián đoạn liên tục này thực tế tồn tại và tìm
được giá trị chung của bước nhảy (z) với
z (2n 1)L
.
Khi quay lại kết quả (2.16) xuất phát từ điều kiện đầu (2.7) ta có:

0
V
(L 0)
a
(2.23)
Mặt khác từ (2.18) ta có:
(L 0) 0
(2.24)
Bây giờ ta có khả năng tìm giá trị chung bước nhảy của hàm (z)
với
z (2n 1)L
.

0
V
(L 0) (L 0) [(2n 1)L 0] [(2n 1)L 0]
a
(2.25)
Điều kiện (2.25) cho phép xác định liên tiếp các hằng số C
n
ở đẳng thức (2.15).
Ta có:
32
00
mm
2
VV
C e e
aa
rút ra

31
0
mm
2
V
C (e e )
a

Thay giá trị C
2
vào đẳng thức (2.18) ta có:

z L z 3L
00
mL mL
VV
2
(z) e 1 (z 3L) e
a a mL
với 3L < z <5L (2.26)
Sau khi xác định (z) trong khoảng (3L, 5L) và sử dụng đẳng thức (2.15)
và (2.25) ta sẽ tìm được hàm (z) trong khoảng (5L, 7L). Đối với điều kiện
đó ta sẽ xác định được biểu thức dưới dấu tích phân trong đẳng thức (2.15).
z 3L z 5L z 5L
00
mL mL mL
22
2V 4V
1
(z 2L) (z 2L) e 2e (z 5L)e

mL mLa m La

khi dùng (2.15) với 5L < z < 7L ta có:

z z 3L z 5L z 5L
00
mL mL mL mL
3
22
V 2V
(z) C e (z 5L) e 2e (z 5L)e
mL m La
(2.27)