Hệ mật mã khóa công khai ứng dụng bảo mật thông tin trong thương mại điện tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ





Nguyễn Thị Thu Hồng




HỆ MẬT MÃ KHOÁ CÔNG KHAI
ỨNG DỤNG BẢO MẬT THÔNG TIN TRONG
THƯƠNG MẠI ĐIỆN TỬ








LUẬN VĂN THẠC SỸ

Hà Nội - 2007

- 2 -
MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC BẢNG - 7 -
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ - 8 -
MỞ ĐẦU - 9 -
Chương 1 - 12 -
CƠ SỞ LÝ THUYẾT MẬT MÃ - 12 -
1.1. TỔNG QUAN VỀ MẬT MÃ - 12 -
1.1.1. Một số khái niệm cơ bản - 12 -
1.1.2. Mô hình mật mã biểu diễn dưới dạng toán học - 13 -
1.1.3. Các yêu cầu đối với một hệ mật mã - 13 -
1.1.4. Phương pháp mã hoá dữ liệu - 14 -
1.1.4.1. Mã hoá khoá đối xứng - 14 -
1.1.4.2. Mã hoá khoá không đối xứng - 16 -
1.1.5. Mật mã dựa trên những bài toán khó tính toán - 16 -
1.2. LÝ THUYẾT SỐ - 17 -
1.2.1. Các phép toán số học modul - 17 -
1.2.2. Một số định lý và định nghĩa quan trọng - 19 -
1.3. CÁC THUẬT TOÁN THƯỜNG DÙNG - 21 -
1.3.1. Tìm phần tử nghịch đảo nhân - 21 -
1.3.2. Thuật toán kiểm tra tính nguyên tố - 22 -
1.3.3. Thuật toán luỹ thừa nhanh - 24 -
Chương 2 - 26 -
CÁC HỆ MẬT MÃ KHÓA CÔNG KHAI - 26 -
VÀ MÔ HÌNH CHỮ KÝ ĐIỆN TỬ - 26 -
2.1. LÝ THUYẾT CHUNG VỀ HỆ MẬT MÃ KHÓA CÔNG KHAI - 26 -

2.1.1. Nguyên lý cơ bản của hệ mật mã khoá công khai - 27 -
2.1.2. Hoạt động của hệ mật mã khoá công khai - 27 -
2.1.3. Khả năng ứng dụng của hệ mật mã khoá công khai - 29 -
2.1.4. Các yêu cầu của hệ mật mã khoá công khai - 30 -

- 3 -
2.2. HỆ MẬT MÃ KHÓA CÔNG KHAI BA LÔ - 31 -
2.2.1. Bài toán ba lô - 31 -
2.2.2. Bài toán ba lô siêu tăng - 31 -
2.2.3. Hệ mật mã khoá công khai ba lô Merkle-Hellman - 32 -
2.2.3.1. Mô tả các quá trình tạo khoá, mã hoá, giải mã - 32 -
2.2.3.2. Tính đúng của quá trình giải mã - 35 -
2.2.4. Đánh giá hệ mật mã khoá công khai ba lô - 37 -
2.2.4.1. Độ an toàn - 37 -
2.2.4.2. Hiệu suất thực hiện và ứng dụng - 38 -
2.3. HỆ MẬT MÃ KHÓA CÔNG KHAI ELGAMAL - 38 -
2.3.1. Bài toán logarithm rời rạc - 38 -
2.3.2. Định nghĩa các tập làm việc của hệ mật mã ElGamal - 39 -
2.3.3. Mô tả các quá trình tạo khoá, mã hoá, giải mã - 39 -
2.3.4. Tính đúng của quá trình giải mã - 40 -
2.3.5. Đánh giá hệ mật mã công khai Elgamal - 42 -
2.3.5.1. Độ an toàn - 42 -
2.3.5.2. Hiệu suất thực hiện và ứng dụng - 43 -
2.4. HỆ MẬT MÃ KHÓA CÔNG KHAI RSA - 43 -
2.4.1. Bài toán phân tích số nguyên - 43 -
2.4.2. Định nghĩa các tập làm việc của hệ RSA - 44 -
2.4.3. Mô tả các quá trình tạo khoá, mã hoá và giải mã - 44 -
2.4.5. Chi phí thực hiện các phép tính cơ bản trong mã hoá và giải mã - 48 -
2.4.6. Một số phương pháp thám mã hệ mật mã RSA - 49 -
2.4.7. Các thuận toán phân tích ra thừa số - 52 -

2.4.7.1. Phân tích theo mục đích đặc biệt - 52 -
2.4.7.2. Phân tích theo mục đích tổng quát - 53 -
2.4.8. Đánh giá hệ mật mã khoá công khai RSA - 53 -
2.4.8.1. Độ an toàn - 53 -
2.4.8.2. Hiệu suất thực hiện và ứng dụng - 54 -
2.5. HÀM BĂM VÀ CHỮ KÝ ĐIỆN TỬ - 55 -

- 4 -
2.5.1. Hàm băm - 55 -
2.5.1.1. Yêu cầu của một hàm băm - 56 -
2.5.1.2. Hàm băm MD5 - 56 -
2.5.1.3. Hàm băm SHA-1 - 62 -
2.5.2. Chữ ký số - 65 -
2.5.2.1. Yêu cầu của một hệ thống chữ ký số - 65 -
2.5.2.2. Lược đồ chung của chữ ký điện tử - 66 -
2.5.2.3. Lược đồ chữ ký điện tử RSA - 69 -
2.5.2.4. Lược đồ chữ ký điện tử ElGamal - 70 -
2.5.2.5. Lược đồ chữ ký điện tử DSA - 71 -
2.5.2.6. Tóm tắt và kết luận ứng dụng - 73 -
Chương 3 - 74 -
MỘT SỐ MÔ HÌNH TIỀN ĐIỆN TỬ - 74 -
3.1. GIỚI THIỆU VỀ TIỀN ĐIỆN TỬ - 74 -
3.1.1. Các hình thức thanh toán trong thương mại điện tử - 74 -
3.1.2. Tiền điện tử là gì? - 75 -
3.1.3. Cấu trúc chung của chuyển tiền điện tử - 76 -
3.1.4. Các đặc trưng quan trọng của tiền điện tử - 77 -
3.1.5. Thanh toán off-line và on-line - 78 -
3.1.5.1. Off-line - 78 -
3.1.5.2. On-line - 79 -
3.2. MỘT SỐ THUẬT TOÁN TRONG HỆ THỐNG TIỀN ĐIỆN TỬ - 79 -

3.2.1. Chữ ký mù - 79 -
3.2.2. Lược đồ chữ ký Schnorr - 80 -
3.2.3. Chia cắt và lựa chọn (Cut and Choose) - 81 -
3.2.4. Chia sẻ bí mật - 83 -
3.2.5. Giao thức truyền bit - 83 -
3.2.6. Bài toán biểu diễn trong nhóm nguyên tố - 84 -
3.3. HỆ THỐNG TIỀN ẨN DANH (Chaum-Fiat-Naor) - 85 -
3.3.1. Giao thức rút tiền - 85 -

- 5 -
3.3.2. Giao thức thanh toán - 86 -
3.3.3. Giao thức gửi tiền - 86 -
3.3.4. Khả năng đáp ứng các đặc trưng - 86 -
3.3.5. Chi phí về tiền và thời gian - 88 -
3.3.6. Khả năng tấn công - 88 -
3.4. HỆ THỐNG TIỀN ẨN DANH KHÔNG CÓ KHẢ NĂNG GHI NHẬN - 88 -
3.4.1. Giao thức rút tiền - 89 -
3.4.2. Giao thức thanh toán - 93 -
3.4.3. Giao thức gửi tiền - 93 -
3.4.4. Khả năng đáp ứng các đặc trưng - 93 -
3.4.5. Khả năng tấn công - 94 -
3.5. LƯỢC ĐỒ BRAND - 94 -
3.5.1. Giao thức mở tài khoản - 95 -
3.5.2. Giao thức rút tiền - 96 -
3.5.3. Giao thức thanh toán - 98 -
3.5.4. Giao thức gửi tiền - 99 -
3.5.5. Khả năng đáp ứng các đặc trưng - 99 -
3.5.6. Khả năng tấn công - 101 -
3.5.7. Chi phí về tiền và thời gian - 102 -
3.5.8. Khó khăn - 102 -

3.5.9. Thuận lợi - 102 -
3.6. TIỀN ĐIỆN TỬ CÓ THỂ CHIA NHỎ - 104 -
3.6.1. Biểu diễn cây nhị phân - 104 -
3.6.2. Giao thức mở tài khoản - 106 -
3.6.3. Giao thức rút tiền - 106 -
3.6.4. Giao thức thanh toán - 107 -
3.6.5. Giao thức rút tiền - 109 -
3.6.6. Khả năng đáp ứng các đặc trưng - 109 -
3.6.7. Khả năng tấn công - 112 -
3.6.8. Chi phí về tiền và thời gian - 113 -

- 6 -
3.6.9. Nhược điểm - 113 -
3.7. TIỀN ĐIỆN TỬ TRONG THỰC TẾ - 113 -
3.7.1. So sánh - 113 -
3.7.2. Một số khía cạnh cài đặt - 115 -
3.7.3. Khả năng chấp nhận của người dùng - 116 -
3.7.4. Thẻ thông minh - 116 -
3.7.5. Sử dụng chữ ký điện tử trong hệ thống thẻ thông minh - 116 -
3.8. Kết luận - 117 -
KẾT LUẬN - 119 -
TÀI LIỆU THAM KHẢO - 121 -

- 7 -
DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1. Kết quả minh họa phép cộng với modulo n=5 18
Bảng 1.2. Kết quả minh họa phép nhân modulo n=5 18
Bảng 2.1. Qui tắc chuyển đổi ký tự  5-bits nhị phân ( - khoảng trắng) 33
Bảng 2.2. Các bước tạo khoá, mã hoá,

giải mã của Hệ ba lô Merkele-Hellman 34
Bảng 2.3. Các bước toạ khoá, mã hoá, giải mã của Hệ ElGamal 40
Bảng 2.4. Các bước tạo khoá, mã hoá, giải mã của hệ RSA 45
Bảng 2.5. Bảng chi phí thời gian cần thiết để phân tích các số nguyên N 54
Bảng 3.1. Một số hệ thống tiền điện tử Off-line 79


- 8 -
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.1. Sơ đồ quá trình viết bí mật thông tin 12
Hình 1.2. Mô hình mã hóa khóa đối xứng 15
Hình 1.3. Mô hình mã hóa không đối xứng 16
Hình 2.1. Sơ đồ nguyên lý cơ bản của hệ mật mã khóa công khai 27
Hình 2.2. Sơ đồ hoạt động của hệ mật mã khóa công khai 28
Hình 2.3. Sơ đồ minh họa tính mật của hệ mật mã khóa công khai 29
Hình 2.4. Sơ đồ minh họa tính xác thực của hệ mật mã khóa công khai 29
Hình 2.5. Sơ đồ minh họa tính mật và tính xác thực
của hệ mật mã khóa công khai 30
Hình 2.6. Sơ đồ minh họa hàm băm 55
Hình 2.7. Sơ đồ thực hiện tổng quát của thuật toán MD5 58
Hình 2.8. Sơ đồ xử lý một khối 512 bits thứ i 61
Hình 2.9. Sơ đồ xử lý một bước, trong 64 bước của thuật toán MD5 61
Hình 2.10. Mô tả hình tổng quát của chữ ký điện tử 66
Hình 2.11. Sơ đồ minh hoạ các bước tạo chữ ký điện tử 67
Hình 2.12. Sơ đồ minh hoạ các bước kiểm tra chữ ký điện tử 68
Hình 2.13. Mô hình chữ ký điện tử dùng quá trình mã hóa và giải mã 69
Hình 3.1. Vòng đời của đồng tiền điện tử 77
Hình 3.2. Giao thức rút tiền của lược đồ Ferguson 92
Hình 3.3. Giao thức thanh toán của lược đồ Ferguson 93

Hình 3.4. Giao thức mở tài khoản 95
Hình 3.5. Khách hàng chứng minh có sở hữu I 96
Hình 3.6. Giao thức rút tiền của lược đồ Brand 97
Hình 3.7. Giao thức thanh toán của lược đồ Brand 99
Hình 3.8. Cây nhị phân của đồng tiền $100 105
Hình 3.9. Giao thức rút tiền của hệ thống Okamoto 107
Hình 3.10. Sử dụng giá trị  và  trong cây nhị phân 108


- 9 -

MỞ ĐẦU

Trong những thập kỷ gần đây, con người đang đứng trước sự bùng nổ thông tin
và sự phát triển mạnh mẽ của mạng toàn cầu Internet. Nhu cầu trao đổi thông tin
giữa các máy tính ngày càng nhiều, trong những thông tin trao đổi có những thông
tin mang tính chất công khai và cũng có những thông tin có giá trị vô cùng quan
trọng đối với cá nhân, tổ chức, hoặc có thể là đối với cả quốc gia. Đặc biệt trong
nền kinh tế toàn cầu, thương mại điện tử và kinh doanh điện tử đã trở thành một yếu
tố cần thiết của chiến lược kinh doanh và là một chất xúc tác mạnh mẽ cho sự phát
triển kinh tế. Việc lồng ghép công nghệ thông tin và truyền thông vào kinh doanh đã
tăng cường năng suất, khuyến khích sự tham gia nhiều hơn của khách hàng và tạo
điều kiện cho việc phục vụ khách hàng trên diện rộng, bên cạnh việc giảm chi phí.
Xét trên nhiều phương diện, thanh toán trực tuyến là nền tảng của các hệ thống
thương mại điện tử. Sự khác biệt cơ bản giữa thương mại điện tử với các ứng dụng
khác cung cấp trên Internet chính là nhờ khả năng thanh toán trực tuyến này. Do
vậy, việc phát triển thanh toán trực tuyến sẽ hoàn thiện hóa thương mại điện tử, để
thương mại điện tử được theo đúng nghĩa của nó. Một khi thanh toán trong thương
mại điện tử an toàn, tiện lợi, việc phát triển thương mại điện tử trên toàn cầu là một
điều tất yếu với dân số đông đảo và không ngừng tăng của mạng Internet.

Thanh toán trong thương mại điện tử với ưu điểm đẩy mạnh quá trình lưu thông
tiền tệ và hàng hóa. Thanh toán điện tử giúp thực hiện thanh toán nhanh, an toàn,
đảm bảo quyền lợi cho các bên tham gia thanh toán, hạn chế rủi ro so với thanh toán
bằng tiền mặt, mở rộng thanh toán không dùng tiền mặt, tạo lập thói quen mới trong
dân chúng về thanh toán hiện đại.
Tiến cao hơn một bước, thanh toán điện tử tạo ra một loại tiền mới, tiền số hóa,
không chỉ thỏa mãn các tài khoản tại ngân hàng mà hoàn toàn có thể dùng để mua
hàng hóa thông thường. Quá trình giao dịch được đơn giản và nhanh chóng, chi phí
giao dịch giảm bớt đáng kể và giao dịch sẽ trở nên an toàn hơn. Tiền số hóa không

- 10 -
chiếm một không gian hữu hình nào mà có thể chuyển một nửa vòng trái đất chỉ
trong chớp mắt bằng thời gian của ánh sáng. Đây sẽ là một cơ cấu tiền tệ mới, một
mạng tài chính hiện đại gắn liền với mạng Internet. Vì vậy, vấn đề đảm bảo an toàn
trong giao dịch điện tử nhất là vấn đề thanh toán điện tử là rất quan trọng. Công
nghệ thông tin được phát triển một cách nhanh chóng thì các nguy cơ xâm nhập
thông tin dữ liệu vào các hệ thống truyền tin, các mạng dữ liệu ngày càng gia tăng.
Bảo vệ an toàn thông tin dữ liệu là một chủ đề khó đánh giá được như thế nào là tối
ưu. Vấn đề dẫn đến sự lựa chọn hoặc căn cứ vào tiêu chí tham số nào để đánh giá,
ví dụ độ bảo mật, tính hiệu quả, tính kinh tế hoặc độ phức tạp của hệ thống…Trước
những yêu cầu cấp thiết đó việc nghiên cứu ứng dụng giải pháp mật mã là cách tốt
nhất có thể đáp ứng đầy đủ những vấn đề đặt ra. Hiểu một cách sơ lược về giải pháp
này là: người gửi phải sử dụng một kỹ thuật mã hoá để xáo trộn nội dung thông tin
nhằm đảm bảo tính an toàn tại nơi lưu trữ cũng như khi truyền đi trên mạng. Nếu
thông tin bị đánh cắp hoặc bị chặn trên đường truyền, muốn hiểu được hacker phải
tốn một thời gian rất lớn (có thể mất hàng trăm năm) cho việc giải mã. Tuy nhiên
đối với người nhận hợp pháp thì công việc giải mã và xác thực thông tin lại trở nên
dễ dàng. Vì giữa người gửi và người nhận luôn có một sự thống nhất về các thuật
toán, các tham số cần thiết cho việc mã hoá giải mã và xác thực thông tin.
Trong quá trình học tập, nghiên cứu, hoạt động thực tiễn cùng với sự gợi ý của

thầy PGS.TS Đoàn Văn Ban tôi chọn đề tài cho luận văn tốt nghiệp Cao học ngành
Công nghệ thông tin: “ Hệ mật mã khoá công khai ứng dụng bảo mật thông tin
trong thương mại điện tử”.
Bố cục của luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết luận và ba chương nội
dung được tổ chức như sau:
Chương 1: Giới thiệu các khái niệm về mật mã, các phương pháp mã hoá, trình
bày các cơ sở toán học cơ bản và các thuật toán quan trọng thường được sử dụng
trong các hệ mật mã khoá công khai.
Chương 2: Trình bày lý thuyết chung về hệ mật mã khóa công khai và một số
các hệ mật mã khoá công khai cụ thể như: hệ mật mã khoá công khai Ba lô, hệ mật

- 11 -
mã khoá công khai ELGAMAL, hệ mật mã khoá công khai RSA, lý thuyết về hàm
băm và chữ ký số.
Chương 3: Giới thiệu về tiền điện tử. Trình bầy về một số hệ thống tiền điện tử
cụ thể như: Hệ thống tiền ẩn danh (Chaum – Fiat – Naor), Hệ thống tiền ẩn danh
không có khả năng ghi nhận, lược đồ Brand, tiền điện tử có thể chia nhỏ.
Luận văn đã hệ thống được một cơ sở lý thuyết cơ bản, giúp cho việc nghiên
cứu, tìm hiểu về hệ mã khoá công khai và mô hình chữ ký điện tử. Đồng thời tìm
hiểu một số mô hình tiền điện tử, khai thác những khía cạnh cài đặt, một số tồn tại
và quan điểm của người dùng đối với tiền điện tử. Từ đó có thể mở rộng và hoàn
thiện thêm một số chức năng để đưa vào ứng dụng thực tiễn.

- 12 -
Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT MẬT MÃ
1.1. TỔNG QUAN VỀ MẬT MÃ
1.1.1. Một số khái niệm cơ bản
Mật mã (Criptography): là một khoa học nghiên cứu cách viết bí mật. Có thể
một cách khái quát, đó là phương thức đảm bảo sự bí mật thông tin tại nơi lưu trữ

cũng như khi chuyền đi trên mạng. Cho dù sự trao đổi này diễn ra trên môi trường
truyền thông không an toàn.
Mã hoá (Encription): Là quá trình chuyển đổi thông tin có thể chuyển đổi thông
tin từ dạng có thể hiểu được, sang dạng không hiểu được để đảm bảo tính bí mật
thông tin.
Giải mã (Decryption): là quá trình khôi phục lại thông tin ban đầu, từ dạng
thông tin đã được mã hoá.
Bản rõ (Plaintext): lưu thông tin chưa mã hoá (có thể đọc được).
Bản mã (Ciphertext): lưu thông tin đã mã hoá (không thể đọc được).
Khoá mã (Key): là dãy các ký tự và số dùng làm biến cho các quá trình mã hoá
hay giải mã thông tin.
Thám mã (Cryptanalysis): là những người phân tích các bản mã.











Bộ lập mã
(Encipher)
Khoá (Key)
Bản mã
(Ciphertext)
Bản rõ
(Encipher)

Bộ giải mã
(Decipher)
Hình 1.1. Sơ đồ quá trình viết bí mật thông tin

- 13 -
1.1.2. Mô hình mật mã biểu diễn dƣới dạng toán học
Định nghĩa 1.1: Hệ thống mật mã, là một bộ bao gồm 5 thành phần (P, C, K, E, D)
thoả mãn các điều kiện sau [1]:
 P là tập hợp hữu hạn các bản rõ (plaintext) hoặc thông điệp (message) có thể.
 C là tập hợp hữu hạn các bản mã (ciphertext) có thể.
 K là tập hợp hữu hạn các khoá có thể.
 Với mỗi khoá k  K, có một phép biến đổi mã hóa E
k
 E và một phép biến
đổi giải mã tương ứng D
k
 D. Trong đó E
k
: P  C và D
k
: C  P là các
hàm thoả mãn D
k
(E
k
(x)) = x với bất kỳ thông điệp x  P.
Ở đây mỗi phép biến đổi mã hoá E
k
được xác đinh bởi thuật toán mã hoá E chung
cho mọi phép biến đổi và một khoá k riêng để phân biệt với các phép biến đổi khác.

tương tự, mỗi phép biến đổi giả mã D
k
được xác định bởi thuật toán giải mã D
chung và một khoá k phân biệt. Yêu cầu đặt ra cho quá trình giải mã là: E
k
(x
1
)  E
k

(x
2
) nếu x
1
 x
2
. Mặt khác nếu E
k
(x
1
) = E
k
(x
2
) mà x
1
 x
2
là

giải mã không duy nhất,
và người nhận sẽ không thể quyết định thông điệp giải mã được là x
1
hay x
2
.
1.1.3. Các yêu cầu đối với một hệ mật mã
 Dễ tính toán: các phép biến đổi mã hoá và giải mã phải hiệu quả đối với mọi
khoá trong không gian khoá.
 Sự an toàn: phụ thuộc vào tính mật của các khoá k  K, không phụ thuộc vào
tính phức tạp và tính mật của các thuật toán mã hoá E hay giải mã D.
 Dễ sử dụng.
 Đối với hệ mật thì tính mật và tính xác thực phải được bảo đảm.
 Yêu cầu của tính mật:
 Đối với những người thám mã, thì công việc tính toán là không thể thực hiện
được, để xác định một cách có hệ thống phép biến đổi giải mã D
k
từ bản mã
C, ngay cả khi biết bản rõ M tương ứng cũng không thể giải mã C.
 Đối với những người thám mã, thì công việc tính toán là không thể thực hiện
được, để xác định một cách có hệ thống bản mã M từ bản mã chặn được C
nếu không có phép biến đổi giải mã D
k
.

- 14 -
 Yêu cầu cho tính xác thực:
 Người thám mã không thể thay thế bản mã sang C‟ thay cho bản mã C mà
không bị phát hiện.
 Đối với người thám mã việc tính toán là không làm được, để xác định một

cách hệ thống phép biến đổi lập mã E
k
khi cho phép C, ngay cả khi đã biết
bản rõ M (nghĩa là, không thể mã hoá bản rõ M‟ để thay thế bản mã giả C‟
= E
k
(M‟) cho bản mã thật C).
 Đối với những người thám mã thì về mặt tính toán là không nổi để tìm một
cách hệ thống bản mã C‟ sao cho D
k
(C‟) là bản rõ hợp thức trong tập P.
1.1.4. Phƣơng pháp mã hoá dữ liệu
Có hai phương pháp mã hoá khoá, đó là phương pháp mã hoá khoá đối xứng và
phương pháp mã hoá khoá không đối xứng. Những hệ mật mã dựa trên phương
pháp mã hoá khoá đối xứng gọi là hệ mật mã khoá đối xứng (Symmetric key
Cryptography) ngược lại, các hệ mật mã dựa trên phương pháp mã hoá không đối
xứng, gọi là hệ mật mã khoá không đối xứng (Asymmetric key Cryptography), hay
hệ mật mã khoá công khai (Public key Cryptography).
1.1.4.1. Mã hoá khoá đối xứng
Trong phương pháp mã hoá khoá đối xứng [4], người gửi và người nhận sẽ dùng
chung một khoá k duy nhất cho cả hai quá trình mã hoá và giải mã dữ liệu (hình
1.2). Trước khi thực hiện việc trao đổi thông tin bí mật thông qua môi trường mạng,
hai bên gửi và nhận phải có khoá trước (bên gửi chuyển khoá bí mật cho bên nhận),
đồng thời phải thống nhất các thuật toán dùng cho quá trình mã hoá và giải. Hiện tại
có nhiều hệ mật mã được xây dựng trên phương pháp mã hóa khóa đối xứng như:
DES, 3DES-Triple, RC2-Rivest Cipher 2…

- 15 -








 Ƣu điểm:
 Tốc độ thực hiện rất nhanh do quá trình mã hoá và giải mã đều sử dụng các
phép toán trên dãy bits nhị phân đơn giản, như: AND, OR, XOR, SHIFT
(phép dịch), ROTATE (phép quay), (phép nối),… gần với lệnh mã máy.
 Dễ dàng thực hiện trên các ứng dụng cho cả phần cứng lẫn phần mềm. Do
tính chất đơn giản của các phép toán trên dãy bits nhị phân.
 Chiều dài của bản mã (Ciphertext) bằng với chiều dài bản rõ (Plaintext) vì
không sinh thêm những thông tin phụ trong quá trình mã hoá và giải mã.
 Nhƣợc điểm:
 Nhược điểm chính của các hệ là khoá bí mật được chuyền đi trên môi trường
mạng. Cho nên vẫn tồn tại nguy cơ khoá bí mật có thể bị đánh cắp. Vì vậy
đòi hỏi công việc quản lý khoá là rất phức tạp, phải dùng thêm các cơ chế
và giải thuật khác trong việc quản lý, trao đổi khóa giữa các đối tác.
 Không có tính chất xác định được chủ nhân của thông tin đã mã hoá, cũng
như không có tính chất không thể phủ nhận (Non-Repudiation) thông tin.
Do đó khó có thể ứng dụng vào các nhu cầu cần xác định nguồn gốc của
thông tin như chữ kí điện tử (Digital signature)…
 Đối với một hệ thống lớn có nhiều đối tác giao tiếp với nhau, tạo nên sự

khó khăn trong việc quản lý khoá vì một người sử dụng phải giữ quá
nhiều khoá bí mật của các đối tác muốn trao đổi thông tin với họ.


- 16 -
 Ứng dụng
 Mã hoá dữ liệu đường truyền (tranmission encryption): cũng do những ưu
thế về tính bảo mật, tốc độ và thực hiện đơn giản.
 Mã hoá dữ liệu lưu trữ (Data storage encryption): cũng do những ưu thế trên,
mà hệ này được dùng phổ biến trong việc mã hoá cơ sở dữ liệu, mã hoá hệ
thống file an toàn (secure file system),…
Nhận xét: Do những nhược điểm trên nên luận văn sẽ không đi sâu nghiên cứu chi
tiết mật mã dựa theo phương pháp mã hoá khoá đối xứng. Vì phương pháp mã hoá
này rất khó đáp ứng được mục tiêu của đề tài đã đặt ra.
1.1.4.2. Mã hoá khoá không đối xứng
Phương pháp mã hoá không đối xứng [1], [4], [6] đã giải quyết được những
nhược điểm của phương pháp mã hoá khoá đối xứng. Đây chính là phương pháp mã
hoá mà luận văn này sẽ đi sâu nghiên cứu chi tiết để giải quyết vấn đề đã đặt ra.
Trong phương pháp này sử dụng hai khoá có vai trò trái ngược nhau bao gồm một
khoá công khai (public key), được công bố rộng dãi dùng cho quá trình mã hoá.
Khoá riêng (private key) tương xứng còn lại được giữ bí mật của từng người, dùng
cho quá trình giải mã (hình 1.3). Tuy nhiên, hai khóa này có quan hệ toán học với
nhau, từ khoá riêng có thể tính toán để đưa ra được khoá công khai nhưng điều
ngược lại về mặt tính toán là không thể làm nổi với điều kiện chiều dài khoá đủ lớn.

1.1.5. Mật mã dựa trên những bài toán khó tính toán
Trong bài báo đưa ra năm 1976, Diffie và Hellman gợi ý áp dụng độ phức tạp
tính toán để thiết kế các bài toán mã hoá. Các tác giả này đã lưu ý những bài toán

- 17 -
NP-đầy đủ có thể là những ứng cử viên tuyệt vời để thiết kế các hệ mật mã khoá
công khai. Vì chúng không thể giải được trong thời gian đa thức với bất kỳ kỹ thuật
nào đã biết (những bài toán có độ phức tạp tính toán lớn hơn bài toán NP không tích
hợp, vì các phép biến đổi mã hoá và giải mã cần phải có tốc độ thực hiện nhanh).
Để xây dựng những hệ mật mã như vậy, một thông tin “cửa sập” bí mật được
chèn thêm vào bài toán khó bao gồm việc nghịch đảo một hàm một chiều.
Định nghĩa 1.2: Cho các tập hữu hạn S, T. Hàm  : S

T được gọi là hàm một
chiều (a one-way function) nếu như:
 Hàm (x) dễ tính toán, nghĩa là x  S, có thể dễ dàng tính y = (x).
 Hàm ngược 
-1
(y) khó tính, nghĩa là cho y  T thì khó tính được x = 
-1
(y).
Định nghĩa 1.3: Hàm một chiều cửa sập (a trapdoor one-way function) là hàm một
chiều f được thêm vào thông tin cửa sập (trapdoor information) để có thể dễ dàng
tính x khi biết bất kỳ y  T thoả mãn x = 
-1
(y).
 Ví dụ hàm một chiều:
 : pq  N là một hàm một chiều với p, q là các số nguyên tố lớn. Thực vậy

ta có thể dễ thực hiện phép nhân N = p  q (độ phức tạp đa thức), nhưng khi
tính 
-1
lại là bài toán cực khó (đây chính là bài toán phân tích ra thừa số
nguyên tố có tốc độ phức tạp dạng mũ).
 
k, N
:x  x
k
mod N là hàm một chiều, với N = p  q, p và q là các số nguyên
tố lớn, k  k‟  1 (mod  (N)). Thực vậy phép tính x
k
mod N có độ phức tạp
đa thức. Nhưng khi tính 
-1
lại cực khó. Tuy nhiên nếu biết k‟ thì dễ dàng
tính được x khi biết x
k
từ công thức (x
k
)
k‟
= x.
1.2. LÝ THUYẾT SỐ
1.2.1. Các phép toán số học modul
Các phép cộng (+) và phép nhân (
*
) trong số học modulo n cũng giống các phép
cộng, phép nhân thông thường nhưng kết quả được chia cho n để lấy phần dư [1], [2].
 Phép cộng: Cho a, b  Z và n  N

*



c = (a + b) mod n = [(a mod n) + (b mod n)] mod n

- 18 -
Ví dụ 1.1: (7 + 9) mod 5 = 16 mod 5 = 1
(7 + 9) mod 5 = (7 mod 5 + 9 mod 5) mod 5
= (2 + 4) mod 5 = 6 mod 5 = 1
Bảng 1.1. Kết quả minh họa phép cộng với modulo n=5
+
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2

2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
Ghi chú: Phép cộng trong số học modulo n cũng có phần tử nghịch đảo cộng (hay số
âm) được định nghĩa như sau: với bất kỳ số x  Z
n
  y  Z
n
: (x + y) mod n = 0
Ví dụ: (2 + 3) mod 5 = 0, (4 + 1) mod 5 = 0.

Phép nhân: Cho a, b  Z và n  N
*.

Ví dụ 1.2: (7
*
9) mod 5 = 63 mod 5 = 3
(7
*
9) mod 5 = [(7 mod 5)
*
(9 mod 5)] mod 5
= (2
*
4) mod 5 = 8 mod 5 = 3
Bảng 1.2. Kết quả minh họa phép nhân modulo n=5
*
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4

2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1

Ghi chú: Tương tự như phép cộng, phép nhân modulo n cũng có phần tử nghịch
đảo được định nghĩa như sau: cho a  Z
n
nếu  x  Z
n
sao cho: a
*
x  1 (mod n)
thì x gọi là phần tử nghịch đảo nhân của a mod n, ký hiệu x = a
-1
mod n. Ví dụ như

2 là phần tử nghịch đảo của 3 mod 5 vì ta có (3
*
2) mod 5 = 1.
c = (a
*
b) mod n = [(a mod n)
*
(b mod n)] mod n

- 19 -
1.2.2. Một số định lý và định nghĩa quan trọng
Ở phần này sẽ trình bày một số các định lý quan trọng [1], được áp dụng để
chứng minh tính đúng của các thuật toán trong các thế hệ mật khoá công khai.
 Hàm -Euler (Euler’s totient function)
Định nghĩa 1.4: Cho n là số nguyên dương, hàm -Euler của n, ký hiệu (n), là
số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n và nguyên tố cùng nhau với n.
Công thức tính tổng quát hàm -Euler nhƣ sau:
Giả sử n được phân tích thành các số nguyên tố: n =  p
i
ei
, với p
i
là các số nguyên
tố, e
i
 0 và 1 ≤ i ≤ n. Thì: (n) =  p
i
ei-1
+(p
i

– 1)
 Định lý 1.1 (Định lý Euler)
Cho n là một số nguyên dương khác 0 và a là một số nguyên, a nguyên tố cùng nhau
với n. Nghĩa là gcd(a,n) = 1 thì khi đó ta có:


 Định lý 1.2 (Định lý Fermat)
Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p. Nghĩa là
gcd(a, c) = 1 thì khi đó ta có:


 Định nghĩa 1.5: Một trường hữu hạn là một trường F chứa một số hữu hạn
các phần tử. Bậc của nhóm F là số các phần tử tồn tại trong F.
 Định nghĩa 1.6: Cho F
q
là một trường hữu hạn và một phần tử g  F
q
, định
nghĩa bậc (order) của g là số nguyên dương m nhỏ nhất sao cho: g
m
 1
(mod q), và ký hiệu là: Ord
q
(g) = m.
 Định nghĩa 1.7: Một phần tử sinh g của trường hữu hạn F
q
, nếu g có bậc
q – 1:
Phát biểu tương đương: g là phần tử sinh (chính), nếu luỹ thừa của g có thể sinh
ra tất cả các phần tử khác không của F

q
*. Nghĩa là: g
x
: 0 ≤ x ≤ q - 2 = F
q
*.
a
(p - 1)
 1 (mod p)

a
(n)
 1 (mod n)

- 20 -
 Định lý 1.3: Mỗi trường hữu hạn đều có phần tử sinh. Nếu g là một phần tử
sinh của F
q
* thì g
j
cũng là phần tử sinh nếu và chỉ nếu gcd(j, q – 1) = 1. Vậy
có tổng cộng (q–1) phần tử sinh khác nhau của F
q
*. (gcd: greatest
common divisor).
 Định nghĩa 1.8: aZ
n
*
được gọi là thặng dư bậc hai theo modul n nếu tồn tại
xZ

n
*
sao cho x
2
 a mod n. Tập tất cả các thặng dư bậc hai modul n được
ký hiệu là Q
n
.
 Định nghĩa 1.9: Cho aQ
n
. Nếu x Z
n
*
thỏa mãn x
2
 a mod n thì x được
gọi là căn bậc hai modul n.
 Định nghĩa 1.10: Cho p là số nguyên tố và a là số nguyên. Ký hiệu Jacobi
(a/p) bằng 1 nếu a là thặng dư bậc hai của p, ngược lại thì bằng -1.
 Định nghĩa 1.11: Nếu n không phải số nguyên tố thì ký hiệu Jacobi được
định nghĩa như sau:
 
 
 
n
n
a
n
aa
n

a
papappana )/( / //
11
11


 Định nghĩa 1.12: Nếu p=3 mod 4 và q=3 mod 4, trong đó p, q là số nguyên
tố thì n=pq là số Blum.
 Định nghĩa 1.13: N=pq được gọi là số Williams nếu p=3 mod 8 và q=3 mod
8. Số Williams là một dạng đặc biệt của số Blum nên có tất cả những đặc
trưng của số Blum.
Chú ý: (Số lượng căn bậc hai)
(i) Mỗi thặng dư bậc hai có hai căn bậc hai nếu n là số nguyên tố. Một số nhỏ
hơn (n/2) và một số lớn hơn (n/2).
(ii) Nếu n không phải số nguyên tố thì mỗi thặng dư bậc hai có bốn căn bậc hai.
Bốn số này thuộc bốn tập khác nhau:
1. Số thứ nhất có giá trị nằm giữa 1 và pq và có (a/p)=1, (a/q)=1
x
1
=Z(1,1)
pq

2. Số thứ hai có giá trị nằm giữa 1 và pq và có (a/p)=1, (a/q)=-1
x
2
=Z(1,-1)
pq

3. Số thứ ba có giá trị nằm giữa 1 và pq và có (a/p)=-1, (a/q)=1

- 21 -
x
3
=Z(-1, 1)
pq

4. Số thứ tư có giá trị nằm giữa 1 và pq và có (a/p)=-1, (a/q)=-1
x
4
=Z(-1, 1)
pq

 Định nghĩa 1.14: Nhóm (G,

) gồm tập G và tóan tử

trên G thỏa mãn các
tiên đề sau đây:
(i) Tính kết hợp: a

(b

c)=(a

b)

c với mọi a, b, c  G
(ii) Có môt phần tử 1G được gọi là phần tử đơn vị sao cho:
a


1=1

a=a với mọi aG
(iii) Với mỗi aG, tồn tại một phần tử a
-1
G được gọi là phần tử nghịch đảo của
a sao cho: a

a
-1
=a
-1

a=1
1.3. CÁC THUẬT TOÁN THƢỜNG DÙNG
1.3.1. Tìm phần tử nghịch đảo nhân
Thuật toán tìm phần tử nghịch đảo [1] còn được gọi là thuật toán Euclide mở
rộng. Cho phép tính phần tử nghịch đảo của một số theo modulo, được sử dụng hầu
hết trong tất cả các hệ mật mã khóa công khai ở các quá trình tạo khóa và giải mã.
Thuật toán 1.2: Tìm phần tử nghịch đảo của một số nguyên theo modulo n
Unit Inv
Input a, n
Output x = a
-1
mod n
1. g
0
= a; g
1
= n;

2. u
0
= 1; u
1
= 0;
3. v
0
= 0; v
1
= 1;
4. While (g
1
<> 0)
5. q = qout(g
0,
g
1
)
temp = g
0 –
g
1*
q;
g
0
= g
1
;
g
1

= temp;
temp = u
0
- u
1*
q;
u
0
= u
1
;

- 22 -
u
1
= temp;
temp = v
0
– v
1*
q;
v
0
= v
1
;
v
1
= temp;


6. x= v
0
;
7. if(x>=0) Return x
8. else Return (x + n);
1.3.2. Thuật toán kiểm tra tính nguyên tố
Các thuật toán kiểm tra tính nguyên tố của một số nguyên bằng xác suất Monte
Carlo [2], [4] như thuật toán Miller-Rabin, Soloway-Strassen, đều có tốc độ thực
hiện khá nhanh (khoảng 0(n
2
), với n là số bits của số cần kiểm tra). Tuy nhiên,
những thuật toán này không đưa ra một kết luận chính xác về tính nguyên tố của
con số, mà luôn có một xác suất sai sót. Như vậy để có một sai số cực nhỏ chấp
nhận được, ta phải thực hiện thuật toán kiểm tra nhiều lần. Một câu hỏi khác đặt ra
là với khoảng bao nhiêu số nguyên dương ngẫu nhiên (có chiều dài xác định) thì có
thể tìm ra được một số nguyên tố? Lý thuyết số nguyên tố đã chứng minh được số
các số nguyên tố nhỏ hơn N là: N/ln(N). Như vậy, nếu p là một số nguyên ngẫu
nhiên thì xác suất để p trở thành số nguyên tố là: 1/ln(p). Giả sử nếu chọn p là số
nguyên tố có chiều dài 512-bits, thì xác suất để số p nguyên tố là 1/354. Mặt khác,
do chúng ta chỉ quan tâm đến những số lẻ, nên xác suất để p nguyên tố là 2/354 =
1/177. Nghĩa là, trung bình khoảng 177 số lẻ ngẫu nhiên sẽ có 1 số nguyên tố.
Người ta đã cũng chứng minh được, thuật toán Miller-Rabin dùng kiểm tra tính
nguyên tố của một số nguyên dương lẻ với sai số nhiều nhất là

1/4. Do đó, nếu thực
hiện thuật toán này t lần thì sai số nhiều nhất là 1/4
t
, trong thực hành nên chọn số t >
20 để đảm bảo chắc chắn tính nguyên tố cho kiểm tra. Thuật toán này được sử dụng
trong quá trình tạo khoá ở hệ mật mã RSA và hệ mật mã ELGamal mà luận văn này

nghiên cứu trong chương hai.


- 23 -
Thuật toán 1.3: (thuật toán Miller-Rabin) kiểm tra tính nguyên tố của một số
Unit Testprime
Input n > 2
Output [True, False] (True: n là sốnguyên tố, False: n là hợp số)
1. Đặt n = 2
k
m + 1; (với m lẻ, dùng thuật toán 2km);
2. Chọn số ngẫu nhiên a  2,…,n - 1;
3. Tính b = a
m
(mod n);
4. if (b  1 and b  (n – 1)) Return True; /* n là số nguyên tố */
5. i = 1;
6. While (i < k and b  (n – 1))
b = b
2
(mod n);
if (b = 1) Return False; /* n là hợp số */
i++;

7. if (b! = (n – 1)) Return False; /* n là hợp số */
8. Return True; /*n là số nguyên tố */
Thuật toán 1.4: Kiểm tra tính nguyên tố của một số với t lần thực hiện (t > 20)
Unit Testprime_t
Input n > 2
Output True, False (True: n là số nguyên tố, False: n là hợp số)

1. Đặt n = 2
k
m + 1; (sử dụng thuật toán 2km ở trên).
2. For (j = 1; j ≤ t; j++)
Chọn số ngẫu nhiên a  2,…, n - 1
Tính b = a
m
mod n;
If (b = 1) continue; /* quay lại bước 2*/
i = 1;
While ((i < k) and (b  n – 1))
 b = b
2
mod n;
If (b =1) Return False; /* n là hợp số */

- 24 -
i = i + 1;

If (b <> (n – 1)) Return False; /* n là hợp số*/

3. Return True; /* n là số nguyên tố */
1.3.3. Thuật toán luỹ thừa nhanh
Thuật toán luỹ thừa nhanh modulo N (y = x
e
mod N) [5] được sử dụng rất nhiều
trong các thế hệ mật mã khoá công khai. Tốc độ thực hiện của các quá trình mã hoá
và giải mã của hệ mật mã phụ thuộc rất nhiều vào phép tính này với toán hạng là
những số nguyên cực lớn. Vì vậy đòi hỏi cần phải có một thuật toán thực hiện phép
tính luỹ thừa modulo càng nhanh càng tốt. Trong phần này sẽ trình bầy chi tiết về

thuật toán và chi phí thực hiện của thuật toán thường được sử dụng nhất hiện nay
gọi là: “Thuật toán luỹ thừa nhanh”.
Thuật toán này, dựa vào biểu diễn nhị phân của số mũ để thực hiện phép tính luỹ
thừa modulo của một số nguyên, chỉ với một vài phép tính nhân và phép tính bình
phương. Thuật toán có các tham số đầu vào là: số M, số N và biểu diễn nhị phân
của số mũ: e = e
(k – 1)
e
(k – 2)
e
(1)
e
(0)
=



1
0
2*
k
i
i
i
e
, ở đây e
i
= {0,1}.
Kết quả của phép tính ở đầu ra là: C = M
e

=



1
0
2*
k
i
i
i
e
M
=



1
0
k
i
i
i
e
M
2*
mod N.
Đầu tiên gán biến C = 1, sau đó duyệt từng giá trị bít, thông qua biểu diễn nhị
phân của số mũ, bắt đầu từ phía bên trái sang phía bên phải. Tại mỗi vòng lặp thứ I,
thực hiện một phép tính bình phương của kết quả hiện tại (C

i
= C
i – 1 *
C
i – 1
mod N).
Nếu giá trị bít tại vị trí đang xét e
i
= 1 thì kết quả vừa tính được nhân với M modulo
N, (C = C
*
Mod N). Khi kết thúc lần lặp thứ k ta có kết quả là: C = M
e
mod N.
Thuật toán 1.5: Tính luỹ thừa nhanh của một số theo modulo N.
Unit Fastexp
Input M, e, N
Output C (với C = M
e
mod N)
1. Biểudễn nhị phân số mũ e = (e
k – 1
, e
k – 2
,…, e
0
)
2
;
2. C = 1;

- 25 -
3. For (i = k – 1; I  0; i )
{ C = C
*
C mod N;
if (e
i
= 1) C = C
*
M mod N;
}
4. Return (C);
Ví dụ 1.4: Tính 125
54
mod 1024 (M = 125, e = 54, n = 1024)
Biểu diễn nhị phân (54)
10
= (110110)
2
. Chỉ thực hiện 6 bước tính sau:
B1: e
5
= 1  C = (1
*
1)
*
125 = 125
B2: e
4

= 1  C = (125
*
125)
*
125 mod 1024 = 357
B3: e
3
= 1  C = (357
*
357) mod 1024 = 473
B4: e
2
= 1  C = (473
*
473)
*
125 mod 1024 = 685
B5: e
1
= 1  C = (685
*
685)
*
125 mod 1024 = 453
B6: e
0
= 1  C = (453
*
453) mod 1024 = 409
 Chi phí thực hiện thuật toán:

Mỗi lần lặp thuật toán đều thực hiện một phép tính bình phương (C = C
*
C mod
N), ngoại trừ bước đầu tiên khi C = 1 và một phép nhân (C = C
*
M mod N) với xác
suất xảy ra khoảng
1
/
2
. Như vậy với k lần lặp (k là số bits biểu diễn nhị phân của số
mũ e)  Thuật toán thực hiện tất cả khoảng (3k/2 – 1) phép nhân modulo N, mà chi
phí thời gian để thực hiện một phép nhân modulo N (có chiều dài n-bits) là: 2n
2

+
2n. Như vậy chi phí tổng cộng của thuật toán là (3k – 2)
*
(n
2
+ n), nếu số mũ e có
kích cỡ gần bằng với số N (k  n, số bít của số mũ xấp xỉ với số bít của số n). Thì
chi phí thời gian tổng cộng của thuật toán là :3n
3
+ n
2
+ 0(n
2
).