Phương pháp phân đoạn ảnh hiệu quả dựa trên đồ thị

PHƯƠNG PHÁP PHÂN ĐOẠN
ẢNH HIỆU QUẢ DỰA TRÊN ĐỒ THỊ







Học viên: Thái Thị Thanh Vân
Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Ngô Quốc Tạo


Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 1
MỤC LỤC

MỤC LỤC 1
LỜI CẢM ƠN 4
DANH MỤC HÌNH VẼ 5
MỞ ĐẦU 7
CHƢƠNG 1 : TỔNG QUAN VỀ XỬ LÝ ẢNH VÀ PHÂN ĐOẠN ẢNH 10
1.1 TỔNG QUAN VỀ XỬ LÝ ẢNH 10
1.1.1 Giới thiệu về Xử lý ảnh 10
1.1.2 Quá trình XLA 12
1.2. TỔNG QUAN VỀ PHÂN ĐOẠN ẢNH 14
1.3. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 16
1.3.1 Điểm ảnh - Pixel 16

1.3.2 Mức xám – Gray level 16
1.3.3 Biên 17
1.3.4 Láng giềng 17
1.3.5 Vùng liên thông 17
CHƢƠNG 2 : MỘT SỐ KỸ THUẬT PHÂN ĐOẠN ẢNH 18
2.1 PHÂN ĐOẠN DỰA VÀO NGƢỠNG 32
2.1.1 Giới thiệu chung 32
2.1.2 Chọn ngƣỡng cố định 33
2.1.3 Chọn ngƣỡng dựa trên lƣợc đồ (Histogram) 34
2.2 PHÂN ĐOẠN DỰA THEO ĐƢỜNG BIÊN 18

Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 2
2.2.1 Giới thiệu chung 18
2.2.2 Phát hiện biên 20
2.2.3 Làm mảnh biên 28
2.2.4 Nhị phân hoá đƣờng biên 28
2.2.5 Mô tả biên 29
2.3. PHÂN ĐOẠN THEO MIỀN ĐỒNG NHẤT 38
2.3.1 Giới thiệu 38
2.3.2 Phƣơng pháp tách cây tứ phân 38
2.3.3 Phƣơng pháp phân vùng bởi hợp 41
2.3.4 Phƣơng pháp tổng hợp 43
CHƢƠNG 3 : PHÂN ĐOẠN ẢNH DỰA VÀO ĐỒ THỊ 44
3.1 Giới thiệu 44
3.2 Phân đoạn dựa vào đồ thị 45
3.3 Tính chất của so sánh cặp miền 46
3.4 Thuật toán và các tính chất 48

CHƢƠNG 4: CÀI ĐẶT THỬ NGHIỆM 54
4.1 Thiết lập các tham số cài đặt 54
4.1.1 Đối với ảnh đơn sắc 54
4.1.2 Đối với ảnh màu 54
4.2 Cài đặt thử nghiệm 55
4.3 Một số kết quả minh hoạ 63
4.3.1 Phƣơng pháp lấy ngƣỡng dựa trên lƣợc đồ (thuật toán đẳng liệu) 65
4.3.2 Phƣơng pháp dựa vào đồ thị 67

Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 3
KẾT LUẬN 71
1 Nội dung của luận văn 71
1.1 Các kết quả đạt đƣợc 71
1.2 Một số hạn chế cần khắc phục 71
2 Công việc tiếp theo 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO 73


Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 4
LỜI CẢM ƠN

Vui mừng khi hoàn thành luận văn, tôi không quên công ơn của các thầy cô,
bạn bè đồng nghiệp và gia đình, những người đã dạy bảo và ủng hộ tôi trong suốt
quá trình học tập.

Trước hết tôi muốn gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo ở trường Đại học
Công Nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội đã quan tâm tổ chức chỉ đạo và trực tiếp
giảng dạy khóa cao học của chúng tôi. Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến
thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Ngô Quốc Tạo, người đã tận tình chỉ bảo và góp ý về
chuyên môn cho tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Nếu không có sự giúp đỡ của
thầy thì tôi khó có thể hoàn thành bản luận văn này.
Cũng qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Trung tâm Tin học và
Ngoại ngữ Trí Đức - trực thuộc ĐHQG TPHCM, nơi tôi công tác, đã tạo mọi điệu
kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian hoàn thành các môn học cũng như trong suốt
thời gian làm luận văn tốt nghiệp.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bố mẹ, chồng và con trai, những người đã luôn ủng
hộ và động viên để tôi yên tâm nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tuy nhiên, do bản thân mới bắt đầu trên con đường nghiên cứu đầy thách thức,
chắc chắn bản luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót. Rất mong được nhận được sự góp
ý của các thầy cô và đồng nghiệp.

Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 5
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1. Quá trình xử lý ảnh 12
Hình 2. Minh hoạ thuật toán đối xứng nền 35
Hình 3. Minh hoạ thuật toán tam giác 36
Hình 4. Bimodal Histogram 37
Hình 5. Đường biên lý tưởng 19
Hình 6. Đường biên bậc thang 19
Hình 7. Đường biên thực 19
Hình 8. Minh hoạ một số phương pháp phát hiện biên 27
Hình 9. Liên thông và mã hướng tương ứng 31

Hình 10. Mã hoá theo góc 31
Hình 11. Phương pháp tách cây tứ phân 41
Hình 12. Ví dụ về nhận dạng các vùng ảnh 45
Hình 13 Menu chính của chương trình 62
Hình 14 Cửa sổ chương trình với 1 file đang mở. 63
Hình 15 Ảnh gốc 1 (beach.bmp) 64
Hình 16 Ảnh gốc 2 (grain.bmp) 64
Hình 17 Ảnh gốc 3 (statue.bmp) 65
Hình 18 Ảnh gốc 4 (misshuyen.bmp) 65
Hình 19 Kết quả phân đoạn theo thuật tóan đẳng liệu của ảnh gốc 1 66
Hình 20 Kết quả phân đoạn theo thuật toán đẳng liệu của ảnh gốc 2 66
Hình 21 Kết quả phân đoạn theo thuật toán đẳng liệu của ảnh gốc 3 67
Hình 22 Kết quả phân đoạn theo thuật toán đẳng liệu của ảnh gốc 4 67

Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 6
Hình 23 Kết quả phân đoạn theo đồ thị của ảnh gốc 1. 68
Hình 24 Kết quả phân đoạn theo đồ thị của ảnh gốc 2. 68
Hình 25 Kết quả phân đoạn theo đồ thị của ảnh gốc 3. 69
Hình 26 Kết quả phân đoạn theo đồ thị của ảnh gốc 4. 69



Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 7
MỞ ĐẦU

Xử lý ảnh (XLA) là một trong những chuyên ngành quan trọng và lâu đời
của Công nghệ thông tin. XLA đƣợc áp dụng trong nhiều lĩnh khác nhau nhƣ y học,
vật lý, hoá hoc, điều tra tội phạm,… Mục đích chung của việc XLA thƣờng là: (1)
xử lý ảnh ban đầu để có đƣợc một bức ảnh mới theo một yêu cầu cụ thể; (2) phân
tích ảnh để thu đƣợc các thông tin đặc trƣng trên ảnh nhằm hỗ trợ cho việc phân loại
và nhận biết ảnh; (3) phân đoạn ảnh (image segmentation) để nhận diện đƣợc các
thành phần trong ảnh nhằm hiểu đƣợc kết cấu của bức ảnh ở mức độ cao hơn. Để
xử lý đƣợc một bức ảnh thì phải trải qua nhiều bƣớc, nhƣng bƣớc quan trọng và khó
khăn nhất đó là phân đoạn ảnh. Nếu bƣớc phân đoạn ảnh không tốt thì dẫn đến việc
nhận diện sai lầm về các đối tƣợng có trong ảnh.
Phân đoạn ảnh đã và đang là một trong những vấn đề đƣợc nhiều nhà nghiên
cứu quan tâm trong lĩnh vực XLA. Trong khoảng 30 năm trở lại đây đã có rất nhiều
các thuật toán đƣợc đề xuất để giải bài toán này. Các thuật toán hầu hết đều dựa vào
hai thuộc tính quan trọng của mỗi điểm ảnh so với các điểm lân cận của nó, đó là:
sự khác (dissimilarity) và giống nhau (similarity). Các phƣơng pháp dựa trên sự
khác nhau của các điểm ảnh đƣợc gọi là các phƣơng pháp dựa trên biên (boundary-
based methods) , còn các phƣơng pháp dựa trên sự giống nhau của các điểm ảnh
đƣợc gọi là phƣơng pháp dựa trên vùng (region-based methods). Tuy nhiên, cho đến
nay các thuật toán theo cả hai hƣớng này đều vẫn chƣa cho kết quả phân đoạn tốt, vì
cả hai loại phƣơng pháp này đều chỉ nắm bắt đƣợc các thuộc tính cục bộ (local) của
ảnh. Do đó, trong thời gian gần đây, việc tìm ra các thuật toán nắm bắt đƣợc các
thuộc tính toàn cục (global) của bức ảnh đã trở thành một xu hƣớng chính.
Sau khi hoàn thành môn học XLA, tôi nhận thấy rằng đây là một lĩnh vực
hay nhƣng rất khó. Đƣợc sự động viên của thầy giáo hƣớng dẫn tôi đã lựa chọn việc
tìm hiểu và hệ thống các phƣơng pháp phân đoạn ảnh để làm khoá luận tốt nghiệp.
Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu và hệ thống lại các phƣơng pháp phân đoạn

Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học

Trang 8
ảnh đã có theo các hƣớng: nhƣ phân đoạn theo ngƣỡng, phân đoạn theo đƣờng biên
và theo miền đồng nhất. Từ đó tôi tìm hiểu và trình bày thêm một phƣơng pháp
phân đoạn mới đƣợc đánh giá là hiệu quả hơn các phƣơng pháp trƣớc đây. Phƣơng
pháp này dựa vào việc coi một bức ảnh nhƣ một đồ thị, sau đó định nghĩa một tính
chất để so sánh giữa các cặp miền của ảnh. Thuật toán này tuân theo một chiến lƣợc
tham lam, có thời gian chạy gần nhƣ tuyến tính đối với bức ảnh có n điểm ảnh,
nhƣng vẫn đảm bảo đƣợc việc phân đoạn chính xác và hiệu quả.
Nhƣ chúng ta đã biết, hệ thống ứng dụng XLA bao gồm các bƣớc: thu nhận
ảnh, tiền xử lý, phân đoạn ảnh, biểu diễn và giải thích, nhận dạng và mô tả (tuy
nhiên không phải ứng dụng XLA nào cũng phải có đầy đủ tất cả các bƣớc trên).
Trong các bƣớc đó, bƣớc phân đoạn ảnh là bƣớc quan trọng nhất nhƣng cũng khó
khăn nhất. Mặt khác, có nhiều ứng dụng quan trọng cần đến kỹ thuật phân đoạn:
ảnh màu hoặc đa mức xám thì cần phải phân ngƣỡng; muốn nhận dạng đƣợc các đối
tƣợng thì trƣớc hết cần phải phân ảnh thành các vùng khác nhau chứa các đối tƣợng
trong ảnh: chẳng hạn, tách ra vùng là chữ, số, trên bì thƣ; tách ra các vùng là chữ,
hình ảnh, bảng biểu … trong các ứng dụng nhập dữ liệu tự động; tách ra vùng bị
bỏng để đánh giá phần trăm diện tích bỏng trên da; tách ra vùng rừng bị cháy trong
ảnh chụp từ máy bay, vệ tinh để phát hiện cháy rừng; tách ra ao, hồ, cây xanh từ ảnh
chụp thành phố từ vệ tinh để đánh giá tỷ lệ ao hồ, cây xanh, nhà cửa của thành
phố… và còn nhiều ứng dụng khác.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn đƣợc chia làm 4 chƣơng, cụ thể nội
dung các chƣơng nhƣ sau:
Chƣơng 1 trình bày sơ lƣợc về XLA, giới thiệu các giai đoạn xử lý trong một
hệ thống XLA, trong đó có bƣớc phân đoạn ảnh. Một số thành phần cốt tử trong
XLA, nhƣ điểm ảnh, mức xám, biên,…đƣợc trình bày nhƣ là các khái niệm. Ngoài
ra chƣơng này cũng nêu lên các ứng dụng thực tế của XLA và phân đoạn ảnh.

Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN


Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 9
Chƣơng 2 hệ thống lại một số thuật toán phân đoạn ảnh theo các hƣớng:
phân đoạn theo ngƣỡng, phân đoạn theo đƣờng biên và phân đoạn theo miền đồng
nhất. Trong mỗi loại phƣơng pháp này chúng tôi trình bày ngắn gọn các thuật toán
và nêu ra ƣu nhƣợc điểm của chúng.
Chƣơng 3 trình bày một thuật toán phân đoạn dựa trên đồ thị. Đây là thuật
toán đƣợc đề xuất năm 2004, thuật toán này coi mỗi pixel là một đỉnh của đồ thị, sự
khác nhau giữa hai điểm ảnh là trọng số của cạnh nối hai đỉnh tƣơng ứng với nhau.
Thuật toán dựa theo chiến lƣợc tham lam, nhƣng có thể nắm bắt đƣợc các thuộc tính
non-local của bức ảnh. Một số định lý và hệ quả liên quan đến thuật toán đƣợc
chúng tôi trình bày và chứng minh ngắn gọn.
Chƣơng 4 đƣa ra các đoạn mã chƣơng trình (code) bằng C++ mã hoá một số
thuật toán đƣợc trình bày trong luận văn. Tuy nhiên, trong khuôn khổ một luận văn
chúng tôi chỉ đƣa ra đoạn mã quan trọng mô tả cốt lõi thuật toán phân đoạn dựa vào
đồ thị đƣợc trình bày trong chƣơng 3. Ngoài ra, chúng tôi đƣa vào một số bức ảnh
trƣớc và sau khi phân đoạn bằng thuật toán trong chƣơng 3. Các thuật toán khác
chúng tôi có cài đặt và chạy thử nghiệm nhƣng không đƣa vào trong luận văn vì đây
là các thuật toán tƣơng đối phổ biến.
Tác giả đã nỗ lực để nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tuy nhiên, do thời
gian nghiên cứu còn hạn hẹp nên chắc chắn bản luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót,
rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp quý báu từ các thầy cô và đồng nghiệp.


Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 10
CHƯƠNG 1 : TỔNG QUAN VỀ XỬ LÝ ẢNH VÀ PHÂN
ĐOẠN ẢNH

Xử lý ảnh ngày nay đã trở thành một ngành khoa học lớn và có mặt trong nhiều
lĩnh vực của cuộc sống. Điều này hoàn toàn có thể lý giải được từ một định nghĩa
đơn giản về ngành khoa học này: Xử lý ảnh là ngành khoa học nghiên cứu các quá
trình xử lý thông tin dạng hình ảnh, mà hình ảnh là một trong những dạng thông tin
phong phú nhất đối với chúng ta. Trong quá trình xử lý ảnh bước quan trọng nhất
và cũng là có khăn nhất là bước phân đoạn ảnh. Phân đoạn nhằm mục đích phân
tách các đối tượng cấu thành nên ảnh thô để có thể sử dụng cho các ứng dụng về
sau.
1.1 TỔNG QUAN VỀ XỬ LÝ ẢNH
1.1.1 Giới thiệu về Xử lý ảnh
Trong xã hội loài ngƣời, ngôn ngữ là một phƣơng tiện trao đổi thông tin phổ
biến trong quá trình giao tiếp. Bên cạnh ngôn ngữ, hình ảnh cũng là một cách trao
đổi thông tin mang tính chính xác, biểu cảm khá cao và đặc biệt không bị cảm giác
chủ quan của đối tƣợng giao tiếp chi phối. Thông tin trên hình ảnh rất phong phú,
đa dạng và có thể xử lý bằng máy tính. Chính vì vậy, trong những năm gần đây sự
kết hợp giữa ảnh và đồ hoạ đã trở nên rất chặt chẽ trong lĩnh vực xử lý thông tin.
Cũng nhƣ xử lý dữ liệu hình ảnh bằng đồ hoạ, việc XLA số là một lĩnh vực
của tin học ứng dụng. Việc xử lý dữ liệu bằng đồ hoạ đề cập đến những ảnh nhân
tạo, các ảnh này đƣợc xem xét nhƣ là những cấu trúc dữ liệu và đƣợc tạo ra bởi các
chƣơng trình. XLA số thao tác trên các ảnh tự nhiên thông qua các phƣơng pháp và
kỹ thuật mã hoá. Ảnh sau khi đƣợc thu nhận bằng các thiết bị thu nhận ảnh sẽ đƣợc
biến đổi thành ảnh số theo các phƣơng pháp số hoá đƣợc nhúng trong các thiết bị kĩ
thuật khác nhau và đƣợc biểu diễn trong máy tính dƣới dạng ma trận 2 chiều hoặc 3
chiều.

Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 11
Mục đích của việc XLA đƣợc chia làm hai phần, một phần liên quan đến các

kỹ thuật thu cải biến các ảnh tự nhiên để nhận đƣợc nhiều thông tin hơn, trong khi
phần khác lại nhằm nhận dạng hoặc đoán nhận ảnh một cách tự động [1,3,4,16].
Ngƣời ta xem phần thứ nhất - từ một ảnh thu trở lại một ảnh là sự biến đổi ảnh
hay sự cải biến ảnh, còn phần thứ hai - tự động nhận biết hoặc đánh giá nội dung
các ảnh là nhận dạng ảnh [1,4].
Phƣơng pháp biến đổi ảnh đƣợc sử dụng trong việc xử lý các ảnh chụp từ
không trung (chƣơng trình đo đạc từ máy bay, vệ tinh và các ảnh vũ trụ) hoặc xử lý
các ảnh trong y học (ảnh chụp cắt lát, ảnh siêu âm, vv…). Một ứng dụng khác của
việc biến đổi ảnh là mã hoá ảnh, trong đó các ảnh đƣợc xử lý để rồi lƣu trữ hoặc
truyền đi. Các phƣơng pháp nhận dạng ảnh đƣợc sử dụng khi xử lý tế bào, nhiễm
sắc thể, nhận dạng chữ vv Thực chất của công việc nhận dạng chính là sự phân
loại đối tƣợng thành các lớp đối tƣợng đã biết hoặc thành những lớp đối tƣợng chƣa
biết. Bài toán nhận dạng ảnh là một bài toán lớn, có rất nhiều ý nghĩa thực tiễn và ta
cũng có thể thấy rằng để công việc nhận dạng trở nên dễ dàng thì ảnh phải đƣợc
tách thành các đối tƣợng riêng biệt – đây là mục đích chính của bài toán phân đoạn
ảnh. Nếu phân đoạn ảnh không tốt sẽ dẫn đến sai lầm trong quá trình nhận dạng
ảnh, bởi vậy ngƣời ta xem công đoạn phân đoạn ảnh là vấn đề then chốt trong quá
trình xử lý ảnh nói chung.
Ngày nay, XLA số càng có nhiều ứng dụng to lớn trong thực tiễn: nhờ các kỹ
thuật XLA mà chúng ta có thể đọc đƣợc kết quả trên các dụng cụ đo trong nhà máy
điện hạt nhân, thu thập hoặc xử lý kết quả đo trong nhiều lĩnh vực của hoá học và
vật lý; chúng ta cũng có thể xác định liều lƣợng và năng lƣợng của các hạt ; thậm
chí chúng ta còn có thể dự báo đƣợc các nguy cơ về cháy rừng, sâu bệnh, cạn kiệt
nguồn tài nguyên vv Một yếu tố đóng góp quan trọng vào việc tăng nhanh sự
quan tâm đối với việc XLA số là các ảnh do các chƣơng trình nghiên cứu vũ trụ
cung cấp. Nhiều ảnh đã đƣợc chụp từ vũ trụ sau đó đƣợc truyền về mặt đất để xử lý
tiếp. Trong y học, việc XLA số cũng có những ứng dụng quan trọng bởi vì phần lớn

Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN


Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 12
các phƣơng pháp chuẩn đoán bệnh nhƣ chiếu tia laser, chụp ảnh Xquang, chụp ảnh
cắt lát trên máy tính, siêu âm, nội soi vv thì các thông tin để chuẩn đoán bệnh đều
nhận đƣợc từ ảnh [2,3,13,15]. Tuy nhiên, có thể thấy rằng hầu hết các vấn đề đặt ra
cho quá trình xử lý ảnh đều đƣợc giải quyết một cách hiệu quả nhờ cách đặt ra các
điều kiện giải mang tính giả định rồi tiến hành kiểm chứng và sau đó áp dụng vào
những hệ thống mới và phƣơng pháp mới.

1.1.2 Quá trình XLA
Quá trình XLA có thể đƣợc mô tả bằng sơ đồ sau:









Hình 1. Quá trình xử lý ảnh
 Thu nhận ảnh: Đây là công đoạn đầu tiên mang tính quyết định đối với quá trình
XLA. Ảnh đầu vào sẽ đƣợc thu nhận qua các thiết bị nhƣ camera, sensor, máy
scanner, vv …và sau đó các tín hiệu này sẽ đƣợc số hoá. Việc lựa chọn thiết bị
thu nhận ảnh sẽ phụ thuộc vào đặc tính của các đối tƣợng cần xử lý. Các thông
số quan trọng ở bƣớc này là độ phân giải, chất lƣợng màu, dung lƣợng bộ nhớ và
tốc độ thu nhận ảnh của các thiết bị.
Thu nhận ảnh
Tiền XLA
Phân đoạn ảnh

Biểu diễn và
mô tả ảnh.

CƠ SỞ
TRI THỨC
Nhận dạng và
giải thích

Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 13
 Tiền xử lý: Ở bƣớc này, ảnh sẽ đƣợc cải thiện về độ tƣơng phản, khử nhiễu, khử
bóng, khử độ lệch, v.v với mục đích làm cho chất lƣợng ảnh trở nên tốt hơn
nữa, chuẩn bị cho các bƣớc xử lý phức tạp hơn về sau trong quá trình XLA. Quá
trình này thƣờng đƣợc thực hiện bởi các bộ lọc.
 Phân đoạn ảnh: Phân đoạn ảnh là bước then chốt trong XLA. Giai đoạn này
nhằm phân tích ảnh thành những thành phần có cùng tính chất nào đó dựa theo
biên hay các vùng liên thông. Tiêu chuẩn để xác định các vùng liên thông có thể
là cùng màu, cùng mức xám hay cùng độ nhám vv … Mục đích của phân đoạn
ảnh là để có một miêu tả tổng hợp về nhiều phần tử khác nhau cấu tạo nên ảnh
thô. Vì lƣợng thông tin chứa trong ảnh rất lớn – trong khi trong đa số các ứng
dụng chúng ta chỉ cần trích chọn một vài đặc trƣng nào đó, do vậy cần có một
quá trình để giảm lƣợng thông tin khổng lồ ấy. Quá trình này bao gồm phân
vùng ảnh và trích chọn đặc tính chủ yếu.
 Biểu diễn và mô tả ảnh: Kết quả của bƣớc phân đoạn ảnh thƣờng đƣợc cho dƣới
dạng dữ liệu điểm ảnh thô, trong đó hàm chứa biên của một vùng ảnh, hoặc tập
hợp tất cả các điểm ảnh thuộc về chính vùng ảnh đó.Trong cả hai trƣờng hợp, sự
chuyển đổi dữ liệu thô này thành một dạng thích hợp hơn cho việc xử lý trong
máy tính là rất cần thiết. Để chuyển đổi chúng, câu hỏi đầu tiên cần phải trả lời

là nên biểu diễn một vùng ảnh dưới dạng biên hay dƣới dạng một vùng hoàn
chỉnh gồm tất cả những điểm ảnh thuộc về nó. Biểu diễn dạng biên cho một
vùng phù hợp với những ứng dụng chỉ quan tâm chủ yếu đến các đặc trƣng hình
dạng bên ngoài của đối tƣợng, ví dụ nhƣ các góc cạnh và điểm uốn trên biên
chẳng hạn. Biểu diễn dạng vùng lại thích hợp cho những ứng dụng khai thác các
tính chất bên trong của đối tƣợng, ví dụ nhƣ vân ảnh hoặc cấu trúc xƣơng của
nó. Sự chọn lựa cách biểu diễn thích hợp cho một vùng ảnh chỉ mới là một phần
trong việc chuyển đổi dữ liệu ảnh thô sang một dạng thích hợp hơn cho các xử
lý về sau. Chúng ta còn phải đƣa ra một phƣơng pháp mô tả dữ liệu đã đƣợc
chuyển đổi đó sao cho những tính chất cần quan tâm đến sẽ đƣợc làm nổi bật
lên, thuận tiện cho việc xử lý chúng.

Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 14
 Nhận dạng và giải thích: Đây là bƣớc cuối cùng trong quá trình XLA. Nhận
dạng ảnh (image recognition) có thể đƣợc nhìn nhận một cách đơn giản là việc
gán nhãn cho các đối tƣợng trong ảnh. Ví dụ đối với nhận dạng chữ viết, các đối
tƣợng trong ảnh cần nhận dạng là các mẫu chữ, ta cần tách riêng các mẫu chữ đó
ra và tìm cách gán đúng các ký tự của bảng chữ cái tƣơng ứng cho các mẫu chữ
thu đƣợc trong ảnh. Giải thích là công đoạn gán nghĩa cho một tập các đối tƣợng
đã đƣợc nhận biết.
Chúng ta cũng có thể thấy rằng, không phải bất kỳ một ứng dụng XLA nào cũng
bắt buộc phải tuân theo tất cả các bƣớc xử lý đã nêu ở trên, ví dụ nhƣ các ứng dụng
chỉnh sửa ảnh nghệ thuật chỉ dừng lại ở bƣớc tiền xử lý. Một cách tổng quát thì
những chức năng xử lý bao gồm nhận cả nhận dạng và giải thích thƣờng chỉ có mặt
trong hệ thống phân tích ảnh tự động hoặc bán tự động, đƣợc dùng để rút trích ra
những thông tin quan trọng từ ảnh, ví dụ nhƣ các ứng dụng nhận dạng ký tự quang
học, nhận dạng chữ viết tay vv…

1.2. TỔNG QUAN VỀ PHÂN ĐOẠN ẢNH
Để phân tích các đối tƣợng trong ảnh, chúng ta cần phải phân biệt đƣợc các
đối tƣợng cần quan tâm với phần còn lại của ảnh, hay còn gọi là nền ảnh. Những đối
tƣợng này có thể tìm ra đƣợc nhờ các kỹ thuật phân đoạn ảnh, theo nghĩa tách phần
tiền cảnh ra khỏi hậu cảnh trong ảnh [1]. Mỗi một đối tƣợng trong ảnh đƣợc gọi là
một vùng hay miền, đƣờng bao quanh đối tƣợng ta gọi là đƣờng biên. Mỗi một
vùng ảnh phải có các đặc tính đồng nhất (ví dụ: màu sắc, kết cấu, mức xám vv…).
Các đặc tính này tạo nên một véc tơ đặc trƣng riêng của vùng (feature vectors)
giúp chúng ta phân biệt đƣợc các vùng khác nhau.
Nhƣ vậy, hình dáng của một đối tƣợng có thể đƣợc miêu tả hoặc bởi các tham số
của đƣờng biên hoặc các tham số của vùng mà nó chiếm giữ. Sự miêu tả hình dáng
dựa trên thông tin đƣờng biên yêu cầu việc phát hiện biên. Sự mô tả hình dáng dựa
vào vùng đòi hỏi việc phân đoạn ảnh thành một số vùng đồng nhất. Có thể thấy kỹ
thuật phát hiện biên và phân vùng ảnh là hai bài toán đối ngẫu của nhau. Thực vậy,

Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 15
dò biên để thực hiện phân lớp đối tƣợng và một khi đã phân lớp xong cũng có nghĩa
là đã phân vùng đƣợc ảnh. Ngƣợc lại, khi đã phân vùng, ảnh đƣợc phân lập thành
các đối tƣợng, ta có thể phát hiện biên [1,2,3]
Giả sử rằng một miền ảnh X phải đƣợc phân thành N vùng khác nhau: R
1
, …,
R
N
và nguyên tắc phân đoạn là một vị từ của công thức P(R). Việc phân đoạn ảnh
chia tập X thành các tập con R
i

, i = 1 N phải thoả mãn:
 Các vùng R
i
, i=1 N phải lấp kín hoàn toàn ảnh:
X = R
i
, i= 1, ,N (1.1)
 Hai vùng khác nhau phải là những tập hợp rời nhau:
0
ji
RR
với i  j (1.2)
 Mỗi vùng R
i
phải có tính đồng nhất:
P(R
i
) = TRUE với i = 1 N (1.3)
 Nếu R
i
, R
j
là hai vùng rời nhau thì (R
i
R
j
) phải là một vùng ảnh không đồng
nhất:
P(R
i

 R
j
) = FALSE với i  j (1.4)
Kết quả của việc phân vùng ảnh phụ thuộc vào dạng của vị từ P và các đặc
trƣng đƣợc biểu diễn bởi vectơ đặc trƣng. Thƣờng thì vị từ P có dạng P(R,X,t),
trong đó X là vectơ đặc trƣng gắn với một điểm ảnh và t là một tập hợp các tham số
(thƣờng là các ngƣỡng). Trong trƣờng hợp đơn giản nhất, vectơ đặc trƣng X chỉ
chứa giá trị mức xám của ảnh I(k,l) và vectơ ngƣỡng chỉ gồm một ngƣỡng T. Một
nguyên tắc phân đoạn đơn giản có công thức:
P(R): f(k,l) < T (1.5)
Trong trƣờng hợp các ảnh màu, vectơ đặc trƣng X có thể là ba thành phần
ảnh RGB [f
R
(k,l), f
G
(k,l), f
B
(k,l)]
T
. Lúc đó luật phân ngƣỡng có dạng:
P(R,x,t): ((f
R
(k,l)<T
R
)&& (f
G
(k,l)<T
G
)&&(f
B

(k,l)<T
B
)) (1.6)

Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 16
Có rất nhiều kỹ thuật phân đoạn ảnh, nhƣng nhìn chung chúng ta có thể chia
thành ba lớp khác nhau:
 Các kỹ thuật cục bộ (Local techniques) dựa vào các thuộc tính cục bộ
của các điểm và láng giềng của nó.
 Các kỹ thuật toàn thể (global techniques) phân ảnh dựa trên thông tin
chung của toàn bộ ảnh (ví dụ bằng cách sử dụng lƣợc đồ xám của ảnh –
image histogram).
 Các kỹ thuật tách (split), hợp (merge) và lan rộng vùng (growing) sử
dụng các khái niệm đồng nhất và gần về hình học.
Trong những chƣơng tiếp theo của luận văn, chúng tôi sẽ trình bày về một số kỹ
thuật phân đoạn ảnh cụ thể.
1.3. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.3.1 Điểm ảnh - Pixel
Ảnh trong thực tế là một ảnh liên tục về không gian và về giá trị độ sáng. Để
có thể XLA bằng máy tính cần phải tiến hành số hoá ảnh. Trong quá trình số hoá,
ngƣời ta biến đổi tín hiệu liên tục sang tín hiệu rời rạc thông qua quá trình lấy mẫu
(rời rạc hoá về không gian) và lƣợng hoá thành phần giá trị mà về nguyên tắc bằng
mắt thƣờng không phân biệt đƣợc hai điểm kề nhau. Trong quá trình này ngƣời ta
sử dụng khái niệm Picture element mà ta quen gọi là Pixel - phần tử ảnh. Nhƣ vậy,
một ảnh là một tập hợp các Pixel [1].
1.3.2 Mức xám – Gray level
Mức xám là kết quả sự mã hoá tƣơng ứng một cƣờng độ sáng của mỗi điểm

ảnh với một giá trị số - kết quả của quá trình lƣợng hoá. Cách mã hoá kinh điển
thƣờng dùng 16, 32 hay 64 mức. Phổ dụng nhất là mã hoá ở mức 256, ở mức này
mỗi Pixel sẽ đƣợc mã hoá bởi 8 bit [1,3,7].

Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 17
1.3.3 Biên
Biên là một đặc tính rất quan trọng của đối tƣợng trong ảnh, nhờ vào biên mà
chúng ta phân biệt đƣợc đối tƣợng này với đối tƣợng kia. Một điểm ảnh có thể gọi
là điểm biên nếu ở đó có sự thay đổi đột ngột về mức xám [1,7]. Tập hợp các điểm
biên tạo thành biên hay còn gọi là đƣờng bao ảnh.
1.3.4 Láng giềng
Trong XLA có một khái niệm rất quan trọng, đó là khái niệm láng giềng. Có
hai loại láng giềng: 4-láng giềng và 8-láng giềng
4-láng giềng của một điểm (x,y) là một tập hợp bao gồm láng giềng dọc và
láng giềng ngang của nó:
N
4
((x,y)) = {(x+1,y), (x-1,y), (x,y+1), (x,y-1)} (1.7)
8-láng giềng của (x,y) là một tập hợp bao gồm láng giềng ngang, dọc và
chéo:
N
8
((x,y)) = N
4
((x,y)){(x+1,y+1),(x-1,y-1), (x+1,y-1),(x-1,y+1)} (1.8)
1.3.5 Vùng liên thông
Một vùng R đƣợc gọi là liên thông nếu bất kỳ hai điểm (x

A
,y
A
) và (x
B
,y
B
)
thuộc vào R có thể đƣợc nối bởi một đƣờng (x
A
,y
A
) (x
i-1
,y
i-1
), (x
i
,y
i
), (x
i+1
,y
i+1
)
(x
B
,y
B
), mà các điểm (x

i
,y
i
) thuộc vào R và bất kỳ điểm (x
i
,y
i
) nào đều kề sát với
điểm trƣớc (x
i-1
,y
i-1
) và điểm tiếp theo (x
i+1
,y
i+1
) trên đƣờng đó. Một điểm (x
k
,y
k
)
đƣợc gọi là kề với điểm (x
l
,y
l
) nếu (x
l
,y
l
) thuộc vào láng giềng trực tiếp của (x

k
,y
k
).

Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 18
CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ KỸ THUẬT PHÂN ĐOẠN ẢNH
Phân đoạn (segmentation) là một quá trình chia ảnh ra các vùng con khác
nhau mà trong mỗi vùng chứa các thực thể có ý nghĩa cho việc phân lớp - mỗi thực
thể được xem là một đối tượng mang những thông tin đặc trưng riêng. Có rất nhiều
kỹ thuật phân đoạn ảnh, trong chương này chúng tôi giới thiệu một số kỹ thuật tiêu
biểu như: Phân đoạn dựa vào biên, phân đoạn dựa vào ngưỡng, phân đoạn theo
miền đồng nhất. Cũng có thể thấy rằng không có một kỹ thuật phân đoạn nào là vạn
năng – theo nghĩa là có thể áp dụng cho mọi loại ảnh và cũng không có một kỹ
thuật phân đoạn ảnh nào là hoàn hảo.
2.1 PHÂN ĐOẠN DỰA THEO ĐƯỜNG BIÊN
2.2.1 Giới thiệu chung
Nhƣ chúng ta đã biết, Biên là một đặc tính rất quan trọng để phân vùng các đối
tƣợng. Có thể hình dung tầm qua trọng của biên thông qua ví dụ sau: Khi một ngƣời
hoạ sĩ vẽ một cái bàn gỗ, chỉ cần phác thảo vài nét về hình dáng nhƣ cái mặt bàn,
cái chân bàn mà không cần thêm các chi tiết khác, ngƣời xem đã có thể nhận ra đó
là cái bàn. Vài nét phác thảo của ngƣời hoạ sĩ chính là đƣờng biên bao quanh đối
tƣợng. Nếu ứng dụng của ta là phân lớp nhận diện các đối tƣợng thì coi nhƣ nhiệm
vụ đã hoàn thành. Tuy nhiên, nếu đòi hỏi thêm các chi tiết khác nhƣ vân gỗ, màu
sắc, kích thƣớc vv … thì chừng ấy thông tin là chƣa đầy đủ.
Trong toán học, ngƣời ta đƣa ra khái niệm đƣờng biên lý tƣởng nhƣ sau:
Đường biên lý tưởng là sự thay đổi giá trị cấp xám tại một vị trí xác định. Vị trí

của đường biên chính là vị trí thay đổi cấp xám [3,4,7,16]. Thể hiện của định
nghĩa là Hình 8


Mức xám
x

Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 19


Hình 2. Đường biên lý tưởng

Một loại đƣờng biên nữa - đƣợc gọi là đƣờng biên bậc thang: Đường biên
bậc thang xuất hiện khi sự thay đổi cấp xám trải rộng qua nhiều điểm ảnh. Vị trí
của đường biên được xem như vị trí chính giữa của đường nối giữa cấp xám
thấp và cấp xám cao. [3]




Hình 3. Đường biên bậc thang
Trong thực tế đƣờng biên của chúng ta thƣờng có dạng nhƣ sau:




Hình 4. Đường biên thực

Nhƣ đã nói ở trên, biên là một trong những đặc trƣng quan trọng của ảnh,
chính vì vậy mà trong nhiều ứng dụng ngƣời ta sử dụng cách phân đoạn dựa theo
biên. Việc phân đoạn ảnh dựa vào biên đƣợc tiến hành qua các bƣớc:
o Phát hiện biên và làm nổi biên
o Làm mảnh biên
Mức xám
x
Mức xám
x

Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 20
o Nhị phân hoá đƣờng biên
o Mô tả biên
2.2.2 Phát hiện biên
Phát hiện biên một cách lý tƣởng là xác định đƣợc tất cả các đƣờng bao trong
các đối tƣợng. Có nhiều phƣơng pháp phát hiện biên, thông thƣờng chúng ta sử
dụng phƣơng pháp phát hiện biên trực tiếp. Phƣơng pháp này nhằm làm nổi biên
dựa vào sự biến thiên về giá trị độ sáng của điểm ảnh. Kỹ thuật chủ yếu dùng ở đây
là kỹ thuật đạo hàm. Nếu lấy đạo hàm bậc nhất của ảnh ta có phƣơng pháp
Gradient, nếu lấy đạo hàm bậc hai ta có kỹ thuật Laplace. Phƣơng pháp này có ƣu
điểm là ít chịu ảnh hƣởng của nhiễu, song nếu sự biến thiên của độ sáng không đột
ngột thì hiệu quả đạt đƣợc là rất kém.
2.2.2.1 Kỹ thuật Gradient
Phƣơng pháp Gradient là phƣơng pháp dò biên cục bộ dựa vào cực đại của đạo
hàm [1]. Theo định nghĩa, Gradient là một véctơ có các thành phần biểu thị tốc độ
thay đổi giá trị của điểm ảnh theo hai hƣớng x và y. Các thành phần của gradient
đƣợc tính theo công thức:

dy
yxfdyyxf
f
y
yxf
dx
yxfydxxf
f
x
yxf
y
x
),(),(),(
),(),(),(








(2.6)
trong đó, dx là khoảng cách giữa các điểm theo hƣớng x (khoảng cách tính
bằng số điểm), dy là khoảng cách giữa các điểm theo hƣớng y. Thực tế, ngƣời ta
hay dùng với dx = dy = 1.
Với một ảnh liên tục f(x,y), các đạo hàm riêng của nó cho phép xác định vị
trí cực đại cục bộ theo hƣớng của biên. Thực vậy, một ảnh liên tục đƣợc biểu diễn
bởi một hàm f(x,y) dọc theo r với góc  (toạ độ cực):


Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 21
)sin.,cos.(),(

rrfyxf 
(2.7)
gradient đƣợc định nghĩa:



cossin
sincos
rfrf
y
y
fx
x
ff
ff
r
y
y
f
r
x
x
f
r

f
yx
yx


























(2.8)

 là hƣớng của biên khi:














y
x
y
x
yx
f
f
arctg
f
f
tg
rfrf
f





0cossin
0

Thực ra, đạo hàm của ảnh là không tồn tại vì f(x,y) không liên tục. Ở đây, ta
chỉ sử dụng mô phỏng theo ý nghĩa của đạo hàm, việc tính toán là xấp xỉ đạo hàm
bằng kỹ thuật nhân chập. Trong phƣơng pháp gradient, ngƣời ta chia nhỏ thành hai
kỹ thuật (tƣơng ứng với hai toán tử khác nhau):
+ Kỹ thuật gradient dùng toán tử gradient, lấy đạo hàm theo một hƣớng;
+ Kỹ thuật la bàn dùng toán tử la bàn, lấy đạo hàm theo tám hƣớng: Bắc,
Nam, Đông, Tây, và Đông Bắc, Tây Bắc, Đông Nam, Tây Nam.
2.2.2.2 Kỹ thuật Gradient
Kỹ thuật gradient sử dụng một cặp mặt nạ H
1
, H
2
trực giao (theo hai hƣớng
vuông góc). Nếu định nghĩa g
x
, g
y
là gradient tƣơng ứng theo hai hƣớng x, y thì biên
độ của gradient tại điểm (i,j); ký hiệu là g(i,j) đƣợc tính theo công thức:

Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 22
),(),(),(

22
0
jigjigAjig
yx

(2.9)
Góc :
)
),(
),(
arctan(),(
jig
jig
ji
y
x
r


(2.10)
Có nhiều toán tử đạo hàm khác nhau đã đƣợc áp dụng. Trong luận văn này,
xin trình bày một số toán tử tiêu biểu (tƣơng ứng là các mặt nạ khác nhau) nhƣ Toán
tử Robert, toán tử Sobel, Toán tử Prewitt …
+/ Toán tử Robert (Do Robert đề xuất năm 1965): Toán tử này là áp dụng
trực tiếp của công thức đạo hàm tại điểm (x,y). Chọn cặp mặt nạ H
1
, H
2
nhƣ sau:









01
10
1
H
,









10
01
2
H

Với mỗi điểm ảnh I(x,y) của I, gọi g
x
, g
y

tƣơng ứng là các đạo hàm theo các
hƣớng x và y, ta có:





),()1,(),(
),(),1(),(
jiIjiIjig
jiIjiIjig
y
x
(2.11)
Điều bày tƣơng đƣơng với việc chập ảnh với hai mặt nạ H
1
, H
2
:





2
1
),(),(
),(),(
HjiIjig
HjiIjig

y
x
(2.12)
Ngƣời ta gọi H
1
, H
2
là mặt nạ Robert.
Trong trƣờng hợp tổng quát, giá trị gradient biên độ g và gradient hƣớng 
r

đƣợc tính bởi công thức (2.9), (2.10). Ngoài ra, để giảm thời gian tính toán ta cũng
có thể dùng các chuẩn sau để tính g(i,j):
),(),(
1
jigjigA
yx

(2.13)

Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 23
Hoặc
 
),(,),(
2
jigjigMaxA
yx


(2.14)
Một điểm nữa là: khi di chuyển mặt nạ trên ảnh, trƣờng hợp gặp các điểm
biên, thì coi các điểm ứng với mặt nạ ở bên ngoài ảnh có giá trị 0.
+/ Toán tử Sobel:
Toán tử Sobel sử dụng hai mặt nạ H
1
, H
2
nhƣ sau:














101
101
101
1
H
,













111
000
111
2
H
(2.15)
Khi đó:












 
 
1
1
1
1
22
1
1
1
1
11
))1,1(),((),(),(
))1,1(),((),(),(
k t
y
k t
x
tkHtjkiIHjiIjig
tkHtjkiIHjiIjig
(2.16)
Hình sau minh hoạ việc xấp xỉ g
x
, g
y
trong toán tử Solbel
I(i-1,j-1)
I(i,j-1)
I(i+1,j-1)
I(i-1,j)

I(i,j)
I(i+1,j)
I(i-1,j+1)
I(i,j+1)
I(i+1,j+1)
+/ Toán tử Prewitt:
Sử dụng hai mặt nạ:














101
202
101
1
H
,













121
000
121
2
H
(2.17)
+/ Mặt nạ đẳng hƣớng (Isometric):
Sử dụng hai mặt nạ:

Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN

Luận văn tốt nghiệp cao học
Trang 24















101
202
101
1
H
,












121
000
121
2
H
(2.18)

Cần chú ý thêm là các chuẩn trong công thức (2.13), (2.14) đã tạo nên sự “vặn
xoắn” trong việc tính toán biên độ. Thực vậy, nếu g
x
hoặc g
y
bằng 0 thì A
1
= A
2
=
A
0
, nếu g
x
= g
y
thì ta sẽ có A
1
= g
x
, A
2
= g
y
, A
0
=
2
x
g

. Sau khi thực hiện tính toán
theo các công thức (2.12) và (2.16) ta thấy phƣơng pháp Robert và Solbel dùng
chuẩn A
1
.
Có thể nhận thấy rằng việc lấy đạo hàm một tín hiệu có xu hƣớng làm tăng
nhiễu trong tín hiệu đó. Thực tế đã chứng minh các toán tử Sobel và Prewitt tốt hơn
toán tử Robert vì chúng ít nhậy cảm với nhiễu hơn. Cũng với mục đích nghiên cứu
các mặt nạ cho kết quả tốt hơn, ngƣời ta nghĩ đến việc xem xét các lân cận theo 8
hƣớng chính – đó chính là phƣơng pháp Kirsh và gọi là toán tử Kirsh hay toán tử la
bàn [3]. Phần tiếp theo chúng tôi đề cập đến toán tử này.
2.2.2.3 Kỹ thuật la bàn
Toán tử la bàn đo gradient theo 8 hƣớng ngƣợc chiều kim đồng hồ, mỗi hƣớng
cách nhau 45
0
. Khi đó: gọi g
k
là gradient la bàn theo hƣớng 
k
= /2+2k, với k =
0, 1, …, 7.
Có nhiều toán tử la bàn khác nhau, ở đây ta chỉ trình bày một cách chi tiết
toán tử Kirsh. Toán tử này sử dụng mặt nạ 3x3, mặt nạ H
k
ứng với hƣớng 
k
với k =
0, 1, 2, , 7. Mặt nạ H
0
– cho hƣớng 

0
= 0
0
có dạng nhƣ sau:














533
503
533
0
H

Trên cơ sở mặt nạ gốc định nghĩa thêm 7 mặt nạ khác nhau từ H
1
đến H
7
cho 7
hƣớng còn lại: 45

0
, 90
0
, 135
0
, 180
0
, 225
0
, 270
0
, 315
0
.