Áp dụng kỹ thuật lấy mẫu nén hỗn loạn và kỹ thuật trải phổ trong chụp ảnh cộng hưởng từ song song

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ


NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG



ÁP DỤNG KỸ THUẬT LẤY MẪU NÉN HỖN
LOẠN VÀ KỸ THUẬT TRẢI PHỔ TRONG CHỤP
ẢNH CỘNG HƯỞNG TỪ SONG SONG


LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ ĐIỆN TỬ - VIỄN THÔNG











HÀ NỘI - 2013

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ




NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG



ÁP DỤNG KỸ THUẬT LẤY MẪU NÉN HỖN LOẠN
VÀ KỸ THUẬT TRẢI PHỔ TRONG CHỤP ẢNH
CỘNG HƯỞNG TỪ SONG SONG


Ngành: Công nghệ Điện tử - Viễn thông
Chuyên ngành: Kỹ thuật điện tử
Mã số: 60 52 70

LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ ĐIỆN TỬ - VIỄN THÔNG


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. NGUYỄN LINH TRUNG





HÀ NỘI - 2013

Mục lục
1 Giới thiệu 6
2 Nguyên tắc hoạt động 8
2.1 Chụp ảnh cộng hưởng từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Tổng quan về công nghệ MRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Sự kích thích tạo và thu ảnh MRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3 Các phương pháp kích thích trong tạo ảnh cộng hưởng từ hạt nhân . . . . . 16
2.2 Kỹ thuật lấy mẫu nén hỗn loạn cho chụp ảnh cộng hưởng từ đơn lõi . . . . . . . . . 18
2.2.1 Giới thiệu về kỹ thuật lấy mẫu nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Phương pháp lẫy mẫu nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Kỹ thuật lấy mẫu nén hỗn loạn phục vụ chụp ảnh cộng hưởng từ đơn lõi . . 29
3 Kết hợp kỹ thuật lấy mẫu nén hỗn loạn và kỹ thuật trải phổ trong chụp ảnh cộng
hưởng từ song song 31
3.1 Phương pháp SENSE trong xử lý ảnh song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Tăng tốc ảnh cộng hưởng từ song song sử dụng kỹ thuật trải phổ và lấy mẫu nén . . 34
3.3 Lấy mẫu nén hỗn loạn sử dụng kỹ thuật trải phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Tái tạo ảnh trong trường hợp có nhiễu cộng tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.1 Khôi phục dữ liệu lấy mẫu nén có chứa nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.2 Xử lý nhiễu trong thuật toán NCG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.3 Xử lý nhiễu trong SENSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Kết quả mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Kết luận 43
3
Danh sách hình vẽ
2.1 Nguyên lý tạo hình ảnh cộng hưởng từ [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Chuyển động của proton Hydro trong từ trường đều [2] . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Sự xắp hàng của các proton Hydro khi có từ trường ngoài [2] . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Chuyển động tiến động của vectơ từ hóa khi có xung kích thích [1] . . . . . . . . . 11
2.5 Thời gian T
1

, T
2
[1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Tín hiệu FID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Phương pháp lấy mẫu truyền thống [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8 Phương pháp lấy mẫu nén [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.9 M phép đo Y của tín hiệu thưa-K sử dụng ma trận đo Φ[M ×N] [6] . . . . . . . 22
3.1 Biểu diễn không gian-k của một ảnh cộng hưởng từ não và quỹ đạo lấy mẫu đầy đủ 32
3.2 Mặt nạ nhị phân (128 × 128 điểm) mô tả lấy mẫu nén hỗn loạn thực hiện trong
không gian-k theo định luật công suất với tỷ lệ 0.15. Chú ý tần số không gian được
giả sử như những điểm sáng rời rạc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Thành phần thực và ảo của tín hiệu chirp tại tốc độ 0.49e-3. . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Ảnh MPRAGE: (a) Lát cắt bộ não gốc, (b) Ảnh lấy mẫu nén khôi phục bởi kỹ thuật
lấp đầy điểm không (zero filling), (c) Lấy mẫu nén hỗn loạn với r = 0.15 và không
có trải phổ, (d) Lấy mẫu nén hỗn loạn với r = 0.15 có trải phổ. . . . . . . . . . . . 35
3.5 Biến đổi Fourier của tín hiệu gốc (a) và tín hiệu điều chế (b) trong 8 kênh. . . . . . 36
3.6 So sánh tỷ lệ lỗi giữa CS có trải phổ vào CS không trải phổ khi tỷ lệ nén thay đổi
và không có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7 So sánh tỷ lệ lỗi giữa CS có trải phổ vào CS không trải phổ khi SNR thay đổi tại tỷ
lệ nén r = 0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4
Danh sách ký hiệu viết tắt
BP Basis Pursuit
CS Compressed Sensing
CW Continous Wave
CW-NMR Continous Wave - Nuclear Magnetic Resonance
DCT Discrete Cosine Transform
FID Free Induction Decay
FT Fourier Transform
FT-NMR Fourier Transform - Nuclear Magnetic Resonance

MR Magnetic Resonance
MRI Magnetic Resonance Imaging
NCG Nonlinear Conjugate Gradient
NMR Nuclear Magnetic Resonance
NMRI Nuclear Magnetic Resonance Imaging
pMRI parallel MRI
RIP Restricted Isometry Property
RSCS Rapid Scan Correlation Spectroscopy
RF Radio frequency
SENSE SENSitivity Encoding
SWIFT Sweep Imaging With Fourier Transform
UTE Ultra-short Echo Time
5
Chương 1
Giới thiệu
Trong công nghệ và khoa học y tế, chụp ảnh cộng hưởng từ (Magnetic Resonance Imaging - MRI)
đã tạo ra một cuộc cách mạng về việc chuẩn đoán bệnh qua hình ảnh, dựa trên hiện tượng cộng
hưởng từ của các hạt nhân (ví dụ như hạt nhân Hydro) của các mô trong các đối tượng được chụp
ảnh. Về nguyên tắc, vật thể được kích thích bằng xung vô tuyến (Radio Frequence – RF) và thu tín
hiệu cộng hưởng bằng cuộn dây RF. Tạo ảnh nhanh trong MRI là một vấn đề quan trọng để nâng
cao chất lượng, độ phân giải của ảnh, tránh tác dụng sinh lý lên người bệnh hay để đáp ứng được
yêu cầu về thời gian khi cấu trúc được chụp là cấu trúc động [1].
Một trong những phương pháp làm tăng tốc độ trong MRI là kỹ thuật chụp ảnh cộng hưởng từ
song song (parallel MRI - pMRI). Trong kỹ thuật pMRI, thay vì sử dụng một cuộn dây, người ta sử
dụng nhiều cuộn dây luân phiên nhau thu tín hiệu. Mỗi cuộn dây tương ứng với một phần đối tượng
mà ta muốn thu nhận ảnh. Điều này làm giảm thời gian thu nhận ảnh, tuy nhiên lại làm nảy sinh
những dư thừa dữ liệu mà ta có thể khai thác để cải thiện tốc độ thu nhận ảnh cuối cùng.
Đồng thời, trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và lý thuyết thông tin, có một kỹ thuật mang tính đột
phá đó là kỹ thuật lấy mẫu nén (Compressed Sensing - CS) chỉ ra rằng các tín hiệu thưa hay tín
hiệu có thể nén có thể được phục hồi lại từ một số lượng nhỏ các phép đo tuyến tính ngẫu nhiên

[5]. Phương pháp này rất quan trọng vì nhiều tín hiệu trong thực tế, bao gồm cả hình ảnh tự nhiên,
hình ảnh chuẩn đoán, video, lời nói, âm nhạc là tín hiệu thưa. Có nhiều nghiên cứu phát triển việc
sử dụng CS trong nâng cao tốc độ thu ảnh cộng hưởng từ [9],[15]. Ở đây luận văn trình bày nghiên
cứu về việc thiết kế ma trận đo trong CS sử dụng chuỗi hỗn loạn [10], [11],[12], [13].
6
Trong luận văn này, tôi đưa ra những hiểu biết chung nhất về MRI, việc kích thích và thu tín
hiệu cộng hưởng từ, kỹ thuật lấy mẫu nén hỗn loạn, áp dụng của lấy mẫu nén hỗn loạn và kỹ thuật
trải phổ trong chụp ảnh cộng hưởng từ song song, đồng thời phân tích tác động của nhiễu cộng tính
đến các phương pháp sử dụng. Dựa trên các kết quả đã được công bố của [13], luận văn thực hiện
lại và đánh giá chất lượng khôi phục ảnh trong trường hợp có nhiễu cộng.
Dựa trên những mục đích như vậy luận văn được trình bày theo bố cục sau:
1. Tìm hiểu về nguyên tắc hoạt động của kỹ thuật ghi nhận ảnh cộng hưởng từ và kỹ thuật lấy
mẫu nén áp dụng trong chụp ảnh cộng hưởng từ.
2. Kỹ thuật lấy mẫu nén và kỹ thuật trải phổ áp dụng trong chụp ảnh cộng hưởng từ song song.
3. Kỹ thuật lấy mẫu nén và kỹ thuật trải phổ áp dụng trong chụp ảnh cộng hưởng từ song song
khi xem xét đến nhiễu cộng tính.
4. Kết quả mô phỏng.
5. Kết luận.
7
Chương 2
Nguyên tắc hoạt động
2.1 Chụp ảnh cộng hưởng từ
2.1.1 Tổng quan về công nghệ MRI
Chụp cộng hưởng từ (Magnetic Resonance Imaging - MRI) hay nói đầy đủ là chụp cộng hưởng
từ hạt nhân (Nuclear Magnetic Resonance Imaging - NMRI) là một kỹ thuật chụp ảnh dựa trên
hiện tượng cộng hưởng từ hạt nhân (Nuclear magnetic resonance - NMR). Trong công nghệ MRI,
người ta kích thích các hạt nhân bằng sóng vô tuyến (Radio frequency - RF), thu tín hiệu phát ra
từ sự cộng hưởng của các hạt nhân (như hydro. . . ) để tạo ảnh của các cơ quan bên trong cơ thể người.
Sự khác nhau cơ bản giữa chụp cộng hưởng từ và chụp X quang đó là: Năng lượng dùng trong
chụp X quang là năng lượng phóng xạ tia X còn trong MRI là năng lượng vô tuyến điện. Chính vì

việc sử dụng sóng vô tuyến công nghệ MRI không gây hại tới sức khỏe con người.
Những hình ảnh cộng hưởng từ (Magnetic resonance - MR) đầu tiên được công bố năm 1973;
các hình mặt cắt ngang đầu tiên của một con chuột sống được chụp bằng phương pháp MRI được
công bố vào tháng Giêng năm 1974; các nghiên cứu đầu tiên thực hiện trên con người đã được công
bố vào năm 1977. Hình ảnh về người đầu tiên X-ray được chụp vào năm 1895. NMR bắt đầu được
2 tác giả Bloch và Purcell phát hiện năm 1952. MRI bắt đầu được dùng để chẩn đoán bệnh từ năm
1982. Hiện nay các công nghệ này được ứng dụng mạnh trong y học góp phần phát hiện và chuẩn
đoán bệnh một cách hiệu quả. Như vậy, MRI là một công nghệ tương đối mới.
8
2.1.2 Sự kích thích tạo và thu ảnh MRI
Tìm hiểu về sự kích hạt nhân cho việc tạo và thu ảnh MRI cho ta cái nhìn tổng quan về cách chụp
ảnh dựa trên hiện tượng cộng hưởng từ.
Hình 2.1: Nguyên lý tạo hình ảnh cộng hưởng từ [1]
Quan sát hình 2.1 có thể thấy được nguyên lý cơ bản của việc tạo hình ảnh MRI như sau:
Bộ phận cần chụp được đưa vào một không gian có từ trường tĩnh là B
0
, sau có các cuộn dây
phát sóng vô tuyến làm nhiệm vụ kích thích các hạt nhân quan tâm, đồng thời có một số cuộn dây
khác tạo trường từ biến thiên (gradient), bằng một cách nào đó chỉ tạo cộng hưởng tại một mặt cắt
cần thiết, sau đó thu tín hiệu cộng hưởng từ của mặt cắt đó bằng một cuộn dây (cuộn dây này có thể
chính là cuộn phát tín hiệu RF kích thích); tín hiệu thu được đưa tới máy xử lý và tạo ảnh. Ảnh này
chính là ảnh được chụp bằng phương pháp cộng hưởng từ.
Hình 2.2 thể hiện chuyển động của hạt nhân trong từ trường đều B
0
. Sự kích thích tạo và thu
ảnh MRI có thể chia thành 4 giai đoạn:
9
Hình 2.2: Chuyển động của proton Hydro trong từ trường đều [2]
Sắp hàng hạt nhân
Là giai đoạn đầu tiên, được thực hiện bằng cách đặt một từ trường ngoài B

0
cỡ từ 0.5 Tesla tới vài
Tesla vào xung quanh vật thể hay bộ phận cần chụp ảnh.
Hình 2.3: Sự xắp hàng của các proton Hydro khi có từ trường ngoài [2]
(1) Mỗi hạt nhân trong môi trường vật chất đều có một mômen từ tạo ra bởi spin (xoay)
nội tại của nó: µ = γp với γ là hằng số từ hồi chuyển (gyromagnetic ratio); ví dụ γ
của H
1
là 42.58 MHz/T và p là mômen động lượng spin.
(2) Các hạt nhân đều sắp xếp một cách ngẫu nhiên và từ trường của chúng triệt tiêu lẫn
nhau do đó không có từ trường dư ra để ghi nhận được.
(3) Khi có một từ trường mạnh tác động từ bên ngoài (B
0
) các mômen từ của hạt nhân
sẽ sắp hàng song song cùng hướng hoặc ngược hướng của từ trường như một ví dụ
10
trong hình 2.3 ở dưới là sự sắp hàng của các hạt nhân Hydro khi đặt trong từ trường
ngoài B0. Ngoài ra các hạt nhân còn tự chuyển động xoay tròn chung quanh hướng
của từ trường bên ngoài đó. Tần số quay tròn này gọi là tần số Lamor ω
0
= −γB
0
.
(4) Các vectơ từ hoá: khi hạt nhân chịu tác động của từ trường ngoài sẽ chuyển động
quay quanh trục và do các hạt nhân mang điện tích nên khi chuyển động trong từ
trường nó sinh ra một từ có vectơ cảm ứng từ là vectơ từ hóa. Vectơ từ hóa tổng:
M =

N
s

i=0
µ
i
với N
s
là tổng số spin trong hệ. Vectơ này hướng theo hướng của từ
trường bên ngoài - đó là trạng thái cân bằng. Trong trạng thái cân bằng không có
một tín hiệu nào có thể được ghi nhận. Khi trạng thái cân bằng đó bị xáo trộn sẽ có
tín hiệu được hình thành.
Kích thích hạt nhân
Là giai đoạn thứ hai, được thực hiện bởi một từ trường B
1
quay quanh B
0
với một tốc độ quay
bằng tần số tiến động ω
0
của proton hydro. Từ trường B
1
do một máy phát ra sóng vô tuyến (RF
frequency: 1MHz – 500MHz ) được đặt trong một mặt phẳng thẳng góc với B
0
:
B
1
(t) = B
1.x
(t) + iB
1.y
(t) = B

1
(t)e
−i(ωt+φ)
(2.1)
Chú ý: tần số sóng mà máy phát phát ra phải bằng tần số của chuyển động tiến động Larmor -
điều kiện này rất cần thiết để tạo và quan sát hiện tượng cộng hưởng.
Hình 2.4: Chuyển động tiến động của vectơ từ hóa khi có xung kích thích [1]
11
Khi bị kích thích như vậy thì vectơ từ hóa sẽ chuyển động tiến động và bị lệch đi so với vị trí
cân bằng một góc α gọi là góc lật (Flip Angle - FA). Những chuyển động lệch đi của vectơ M trên
thực tế là rất phức tạp. Bởi vì, dưới tác động phối hợp của từ trường B
0
và B
1
mômen từ tổng hợp
M xa dần B
0
và vẽ nên một đường xoắn ốc nội tiếp trong một hình cầu (hình 2.4).
Thêm vào đó, trong quá trình kích thích ta đặt thêm các trường từ gradient với mục đích chọn
lớp cắt. Từ trường gradient khiến cho từ trường tổng cộng liên tục thay đổi theo vị trí một cách
tuyến tính, và mỗi mặt phẳng cắt sẽ có một giá trị từ trường tổng cộng khác nhau. Từ trường tổng
cộng này xác định tần số Larmor cho các chuyển động quay của momen từ hạt nhân trong cơ thể.
Nghĩa là mỗi lát cắt trong cơ thể có một tần số Larmor khác nhau. Muốn tạo hình ảnh của lát cắt
nào ta phải chọn tần số sóng RF phát vào trùng hợp với tần số Larmor đó.
Ghi nhận tín hiệu
Ghi nhận tín hiệu cộng hưởng là giai đoạn thứ 3 trong quá trình chụp ảnh cộng hưởng từ. Khi kết
thúc kích thích thì các phôton Hydro sẽ phóng thích năng lượng dùng để sắp hàng chúng trở về vị
trí cân bằng ban đầu. Tốc độ phóng thích các proton này dựa vào năng lượng được phóng thích.
Thời gian cần thiết cho 63.2% độ lớn của vectơ từ hóa khôi phục từ theo chiều dọc gọi là T
1

- cho
biết khả năng của các proton bị kích thích thu hồi lại năng lượng nên còn gọi là thời gian thư giãn
dọc (longitudinal relaxation time hay spin-lattice relaxation time). Khả năng đó thể hiện bằng độ
lớn của T
1
, và nó cho tín hiệu cao, thấp hay trung gian vì vậy mà khi tạo ảnh ta có thể quan sát được
đó là vùng tế bào như thế nào. T
1
có giá trị từ 500 đến 2000ms (hình 2.5).
Thời gian cần thiết để cho 36.7% vectơ khôi phục từ theo chiều ngang gọi là T
2
hay thời gian
thư giãn từ ngang (transverse relaxation time hay spin-psin relaxation time). T
2
là hậu quả của sự
tác động qua lại giữa các proton ở cạnh nhau - mỗi proton như một nam châm nhỏ, nó gây hỗn loạn
(perturber) nhiều hay ít các proton bên cạnh.
Trong giai đoạn các phôton trở lại sắp hàng như cũ do ảnh hưởng từ trường bên ngoài chúng
phóng thích năng lượng dưới dạng tín hiệu tần số vô tuyến là kết quả của sự phục hồi nên độ tín
hiệu thu được dao động và giảm dần theo luật hàm mũ gọi là FID (Free Induction Decay, hình 2.6).
Cường độ tín hiệu của một loại mô phụ thuộc vào thời gian khôi phục lại từ tính T
1
và T
2
, mật độ
12
Hình 2.5: Thời gian T
1
, T
2

[1]
proton của nó. Cường độ phát ra từ một đơn vị khối lượng mô được thể hiện trên một thang màu từ
trắng đến đen, trên đó màu trắng là cường độ tín hiệu cao, màu đen là không có tín hiệu. Do tính
chất quy ước này nên ta có thể tạo được ảnh bằng cộng hưởng từ.
Tín hiệu FID được thu bằng 1 cuộn dây – trong một số phương thức, có thể cũng chính là cuộn
dây dùng phát sóng RF. Vì vậy mà trong các máy MRI thì có thể thiết kế dùng cuộn dây chung cho
việc phát và thu tín hiệu RF.
Tạo hình ảnh
Tạo hình ảnh có thể coi là giai đoạn cuối cùng của việc chụp ảnh cộng hưởng từ. Tín hiệu RF phát
ra do hiện tượng cộng hưởng từ được thu bởi cuộn dây, đưa tới máy thu để xử lý và tạo ảnh. Tín
hiệu thu được ở miền thời gian, được số hóa bằng mã hóa theo tần số và mã hóa theo pha. Việc này
có thể được biểu diễn giống như phép biến đổi Fourier hai hướng của ρ(x, y) - hàm phân bố spin
theo vị trí, với m là số lần đo được lặp lại [3]:
s
m
(t) = c


+∞

−∞
+∞

−∞
ρ(x, y)e
−iγ(xG
x
t+ymG
y
t

G
)
dxdy


e
−iω
0
t
(2.2)
Tín hiệu chuyển sang miền số, là dữ liệu được lẫy mẫu và lưu giữ trong không gian-k (k-space).
13
Hình 2.6: Tín hiệu FID
Như vậy không gian này là một không gian ảnh tạm thời lưu trữ các dữ liệu được số hóa của tín
hiệu MR, thường dưới dạng ma trận cỡ N × M, với N là số mẫu được lấy trong 1 lần đọc tín hiệu,
M là số lần kích thích lặp lại của gradient pha (G
y
). Với t là khoảng thời gian lấy mẫu thì tìn hiệu
thu được biểu diễn bởi phương trình [3]:
s(n, m) = c


+∞

−∞
+∞

−∞
ρ(x, y)e
−iγ(xG

x
nt+ymG
y
t
G
)
dxdy


(2.3)
0 ≤ n ≤ N
−
M
2
+ 1 ≤ m ≤
M
2
Để biểu diễn trong không gian-k, đặt:
k
x
= γntG
x
(2.4)
k
y
= γmt
G
G
y
(2.5)

Khi đó:
s(k
x
, k
y
) = c


+∞

−∞
+∞

−∞
ρ(x, y)e
−i(xk
x
+yk
y
)
dxdy


(2.6)
14
Như vậy tín hiệu cộng hưởng được thu trong miền thời gian, biến đổi fourier, lấy mẫu và lưu
trữ trong không gian-k (có thể gọi là không gian tần số); từ dữ liệu đó biến đổi four ier ngược sẽ thu
được ước lượng của hàm ρ(x, y) tức là hàm phân bố các spin. Theo nguyên lý lấy mẫu Nyquist thì
tần số lấy mẫu cần đáp ứng yêu cầu là lớn hơn bằng hai lần phổ tần của tín hiệu thu được để có thể
khôi phục được. Khi không gian-k đầy đủ (tại lần quét theo pha cuối cùng) thì dữ liệu được xử lý

toán học để tạo ra một ảnh cuối cùng. Ngoài ra, các thông số trong chụp ảnh cộng hưởng từ (T
1
,
T
2
, T R, T E) biến đổi theo vị trí tạo nên sự khác nhau về tín hiệu thu được khi quét ở các mô có vị
trí khác nhau. Vì vậy mà mỗi đơn vị phần tử của vật có thời gian T
1
và T
2
khác nhau được hiển thị
bằng độ xám của các phần tử ảnh tương ứng.
Các phương trình Bloch
Do các hạt nhân quan tâm – các hạt nhân mà người ta muốn thu ảnh của chúng đều có tần số góc
quay trong từ trường ngoài là tần số Larmor, vậy nên một ứng dụng rất quan trọng của hệ trục quay
(rotating frame) đó là các phương trình Bloch. Phương trình mô tả chuyển động của hạt nhân trong
từ trường ngoài dưới tác dụng của xung RF [4]:
dM(t)
dt
= M(t)γB(t) −R(M(t) −M
0
) (2.7)
Ở đây: M(t) là vectơ từ hóa tổng; B(t) là từ trường tổng B(t) = B
0
+ B
1
(t) và R là ma trận
thư giãn (relaxation matrix). Nếu đặt vật thể cần chụp ảnh trong không gian có từ trường ngoài là
B
0

theo hướng trục z của hệ trục vuông góc Oxyz thì khi xét từng thành phần cụ thể của vectơ từ
hóa tại mỗi thời điểm sẽ được biểu diễn theo từ trường tổng bởi các phương trình [4]:
dM
z
(t)
dt
= γ [M
x
(t)B
y
(t) −M
y
(t)B
x
(t)] −
M
z
(t) −M
0
T
1
(2.8)
dM
x
(t)
dt
= γ [M
y
(t)B
z

(t) −M
z
(t)B
y
(t)] −
M
x
(t)
T
2
(2.9)
dM
y
(t)
dt
= γ [M
z
(t)B
x
(t) −M
x
(t)B
z
(t)] −
M
y
(t)
T
2
(2.10)

Ví dụ xét trong một hệ trục tọa độ quay đơn giản: trục z giữ nguyên và quay mặt phẳng xy với
tần số là Ω = −γB
0
khi đó vectơ từ hóa coi như không thay đổi trong mặt phẳng ngang mà chỉ biến
15
đổi theo trục z [4]:
dM
z
(t)
dt
= γ

M
x
(t)B
γ
y
(t) −M
y
(t)B
γ
x
(t)

−
M
z
(t) −M
0
T

1
(2.11)
dM
x
(t)
dt
= −ΩM
y
(t) −γM
z
(t)B
γ
y
(t) −
M
x
(t)
T
2
(2.12)
dM
y
(t)
dt
= −γM
z
(t)B
γ
x
(t) −ΩM

x
(t) −
M
y
(t)
T
2
(2.13)
Dựa trên các phương trình Bloch và ứng dụng của nó trong hệ trục quay mà ta có thể tính toán
và quan sát được sự thay đổi của vectơ từ hóa trong không gian theo thời gian.
2.1.3 Các phương pháp kích thích trong tạo ảnh cộng hưởng từ hạt nhân
Như đã nói ở trên thì trong MRI, sự cộng hưởng của các hạt nhân quan sát được do sự kích thích
của trường từ vô tuyến. Hiện nay thì các công nghệ NMR và MRI sử dụng 3 dạng kích thích cơ
bản: liên tiếp, đồng thời và ngẫu nhiên. Mỗi phương pháp có những ưu điểm và nhược điểm riêng.
Sau đây là một số công nghệ hiện tại đang được áp dụng: CW (Continous Wave – sóng liên tục);
Xung (pulse); Ngẫu nhiên (Stochastic); Quét nhanh và tạo phổ tương quan (Rapid Scan Correlation
Spectroscopy - RSCS).
1. Công nghệ CW
Sử dụng xung kích thích RF với các tần số cộng hưởng khác nhau theo thời gian, nhưng biên
độ thấp. Sự thay đổi về độ lớn của xung là rất chậm để duy trì trạng thái bền và bão hòa của
tín hiệu do vậy nên xung RF lớn không được áp dụng. Ngoài ra nếu kích thích ở tốc độ cao thì
nó sẽ xuất hiện hiện tượng lay động - “wiggles”. Trong công nghệ này, tín hiệu cộng hưởng
được thu ở miền tần số. Công nghệ này cho chất lượng tốt về độ phân giải phổ ảnh của một
mẫu chất lỏng, nhưng tốc độ thu chậm, tốn thời gian và không được áp dụng nhiều trong y
học.
2. Công nghệ sử xung đã được biến đổi phổ Fourier (FT-NMR)
Sử dụng xung kích thích tạo cộng hưởng liên tục ở thời gian ngắn vì vậy mà tốn ít thời gian.
Hiệu quả và nhạy hơn công nghệ CW. Công suất cao. Tín hiệu thu là hàm theo thời gian. Phổ
của hệ thống H(ω) được thu từ biến đổi fourier của đáp ứng hệ thống h(t) trong suốt quá
trình lấy mẫu, xung được lặp lại nhiều lần và lỗi được tính trung bình. Được ứng dụng chụp

ảnh của các mô mềm.
16
3. Ngẫu nhiên (Srochastic NMR)
Công nghệ này sử dụng một một chuỗi xung chỉ tạo góc lật nhỏ mà pha và biên độ của nó thì
được điều chế theo phương pháp ngẫu nhiên. Khi đó hệ thống các spin được duy trì trong vùng
tuyến tính. Vùng tần số hoạt động lớn hơn so với công nghệ FT-NMR. Ảnh thu bị ảnh hưởng
nhiều bởi nhiễu ngẫu nhiên và nhiễu trong quá trình thu ảnh. Thuật toán Blackprojection
được sử dụng để xây dựng lại ảnh. Phương pháp này hạn chế biên độ kích thích không được
quá cao.
4. Quét nhanh và tạo phổ tương quan
Phương pháp này kết hợp giữa FT-NMR nhanh và vùng chuyển động của CW-NMR. Sử dụng
1 chuỗi xung chirp – là một chuỗi xung tuyến tính có tần số thay đổi theo thời gian để kích
thích hạt nhân. Trong phương pháp này tín hiệu thu được nhân chập với chuỗi xung chirp đã
được dùng kích thích để tìm phổ của hệ thống cần đo. Phương pháp này có tốc độ nhanh hơn
so với CW-NMR.
5. SWIFT
SWIFT (Sweep Imaging With Fourier Transform) là một phương pháp tạo ảnh nhanh và tĩnh.
Tín hiệu cộng hưởng được thu trong miền thời gian theo phương thức chia sẻ thời gian (time-
share) trong suốt quá trình kích thích hạt nhân. Trong phương pháp này sử dụng tín hiệu kích
thích RF là xung không tuyến tính – điều này tôi sẽ làm rõ trong phần sau.
6. Và một số phương pháp khác
UTE (Ultra-short Echo Time) là phương pháp tạo ảnh với thời gian thư giãn nhanh và thu
FID. Tuy nhiên phải kết hợp tăng các gradient và thu tín hiệu đồng thời.
17
2.2 Kỹ thuật lấy mẫu nén hỗn loạn cho chụp ảnh cộng hưởng
từ đơn lõi
2.2.1 Giới thiệu về kỹ thuật lấy mẫu nén
Trong thực tế, ở nhiều hệ thống như xử lý âm thanh, điện tử thị giác, thiết bị thu ảnh y học, bộ thu
vô tuyến .thì việc nén tín hiệu là cần thiết để tiết kiệm băng thông trên đường truyền, tiết kiệm
bộ nhớ lưu trữ dữ liệu. Lấy mẫu là quá tr ình biến đổi tín hiệu tương tự thành tín hiệu rời rạc theo

thang thời gian. Định lý lẫy mẫu của Shannon Nyquist nói rằng muốn khôi phục một tín hiệu băng
tần gốc liên tục theo thời gian thì băng thông của tín hiệu ban đầu phải có giới hạn và tần số lấy
mẫu phải lớn hơn hai lần băng thông của tín hiệu ban đầu. Có một vài tín hiệu (như ảnh. . .) không
có băng thông giới hạn thì thông thường phải sử dụng bộ lọc thông thấp để giảm băng thông của tín
hiệu trước khi lấy mẫu. Mặt khác trong các ứng dụng khác như ảnh số tốc độ cao, kỹ thuật siêu cao
tần, thu thập dữ liệu từ rada, tín hiệu có tần số rất cao như vậy nếu lấy mẫu theo nguyên lý Nyquist
thì yêu cầu phải có bộ chuyển đổi ADC tốc độ cao gây ra khó khăn cho việc chế tạo và giá thành đắt.
Trong mục này của luận văn trình bày về một phương pháp đã tạo ra cuộc cách mạng trong xử
lý tín hiệu. Đó là phương pháp lẫy mẫu nén sử dụng ánh xạ tuyến tính không thích nghi lưu trữ cấu
trúc của tín hiệu, sau đó tín hiệu được tái tạo lại sử dụng các thuật toán trong lý thuyết tối ưu. Đây
một phương pháp mới để thu tín hiệu với tốc độ lấy mẫu nhỏ hơn tốc độ Nyquist mà vẫn đảm bảo
được việt khôi phục lại tín hiệu ban đầu.
2.2.1.1 Tín hiệu thưa hay có thể nén
Trong thực tế có nhiều tín hiệu mà biểu diễn của chúng bao gồm nhiều khoảng trống, tốc độ thông
tin nhỏ hơn nhiều so với độ rộng băng tần của tín hiệu liên tục đó hay số lượng thông tin là nhỏ hơn
nhiều so với chiều dài của chính tín hiệu rời rạc đó. Ví dụ như hình ảnh tự nhiên, hình ảnh chuẩn
đoán, video, lời nói, âm nhạc. . .Phương pháp lấy mẫu nén dựa trên thực tế nhiều tín hiệu tự nhiên
là thưa hay có thể nén. Và tín hiệu là thưa thì hoàn toàn có thể khôi phục được khi lấy mẫu bằng
phương pháp lấy mẫu nén.
Xét biểu diễn toán học của một tín hiệu trong miền thời gian thuộc R
n
trong hệ các vectơ cơ sở
18
trực chuẩn N × 1 : ψ
i
(
i = 1)
N
. Bất kỳ một tín hiệu rời rạc f ∈ R
n

có chiều dài hữu hạn là N,
được xem như một vectơ cột có kích thước N ×1 với các phần tử là f [i] (với i = 1, 2, 3, . . . N) thì
có thể biểu diễn được như sau:
f =
N

i=1
x
i
ψ
i
(2.14)
hay
f = Ψx (2.15)
Ở đây ψ
i
là các vectơ cột N × 1
Ψ là ma trận kích thước N × N và Ψ = [ψ
1
, ψ
2
, . . . ψ
N
]
x là vectơ cột có kích thước là N × 1 gồm các hệ số của tín hiệu f; giá trị các hệ số
này được tính như sau: x
i
= f, ψ
i
 = ψ

T
i
· f với ψ
T
i
là ma trận chuyển vị của ψ
i
Nếu f ∈ R
n
là tín hiệu liên tục trong miền thời gian thì bằng cách tương tự có thể biểu diễn
trong hệ các vectơ trực chuẩn Ψ(t) = [ψ
1
(t), ψ
2
(t), . . . ψ
N
(t)] như sau:
f(t) =
N

i=1
x
i
ψ
i
(t) (2.16)
Và x
i
là hệ số của f(t); x
i

= f, ψ
i
. Có thể nói, x là biểu diễn trong hệ cơ sở trực chuẩn của
tín hiệu f.
Tín hiệu f là sự kết hợp tuyến tính của K vectơ cơ sở, nói cách khác nếu biểu diễn trong hệ các
vectơ cơ sở trực chuẩn thì chỉ có K hệ số x là khác không và N − K trọng số là bằng không. Với
K  N thì f được gọi là tín hiệu thưa K (K - sparse) hay tín hiệu có thể nén. Chỉ cần biểu diễn f
bởi K trọng số lớn và N − K trọng số nhỏ (không đáng kể hay bằng không) [5].
2.2.1.2 Phương pháp lấy mẫu thông thường
Được thực hiện như trong sơ đồ trong hình 2.7. Như trong mô hình này thì tín hiệu f thưa-K có
chiều dài N được đo đạc lấy N mẫu; sau đó sử dụng một phương pháp nén nào đó (như biến đổi
wavelet hay DCT) để nén tín hiệu chỉ còn K trọng số lớn đáng quan tâm; thực hiện việc truyền phát
tín hiệu; giải nén (bằng phép biến đổi wavelet ngược hay DCT ngược); khôi phục lại ở bộ thu.
19
Hình 2.7: Phương pháp lấy mẫu truyền thống [6]
Nhận thấy, ở những phương pháp này, phải thu N mẫu trong khi chỉ có K mẫu có giá trị được
giữ lại sau khi nén, như vậy đã làm chậm tốc độ xử lý tín hiệu; trong khi nếu tín hiệu f có băng tần
cao lại đòi hỏi tốc độ lẫy mẫu lớn để đảm bảo khôi phục lại dữ liệu theo tiêu chuẩn Nyquist.
2.2.1.3 Lấy mẫu thưa
Theo nguyên lý lấy mẫu của Nyquist: để đảm bảo cho việc khôi phục chính xác một tín hiệu thì tần
số lấy mẫu (f
s
) tín hiệu đó phải lớn hơn hoặc bằng hai lần tần độ rộng băng tần (f
a
) của tín hiệu
đó (f
s
≥ 2f
a
), nếu không thì sẽ xảy ra hiện tượng chồng phổ. Tuy nhiên, trong một số trường hợp

như xử lý ảnh, nén ảnh số hay chuyển đổi từ tương tự sang số (ADC) của tín hiệu thưa thì tần số lấy
mẫu không cần thiết phải đáp ứng theo đúng yêu cầu Nyquist, tức là số lượng mẫu cần lấy nhỏ hơn
nhiều so với số lượng mẫu cần thiết theo tiêu chí Nyquist [5], [7].
Tín hiệu f(t) được thu bởi m phép đo tuyến tính với:
y
k
= f, ϕ
k
, k = 1, 2, . . . m (2.17)
Ở đó ϕ
k
(t) là các dạng sóng chuẩn. Nếu m phép đo nhỏ hơn rất nhiều so với kích thước n của
tín hiệu f thì trường hợp đó được gọi là lấy mẫu thưa (undersampled). Có một vài vấn đề đước đặt
ra khi lấy mẫu thưa như sau:
(1) Có thể khôi phục lại tín hiệu f chỉ với m ≤ n phép đo hay không?
20
(2) Có thể thiết kế những dạng sóng nén thích hợp để lấy được toàn bộ thông tin của f
chỉ với m ≤ n phép đo?
(3) Làm thế nào có thể xấp xỉ được f từ các thông tin của các giá trị y này?
Giả sử ma trận A[m×n] là ma trận nén thì nó sẽ là ma trận của các vectơ hàng ψ
T
1
, ψ
T
2
, . . . , ψ
T
m
;
quá tr ình khôi phục f ∈ R

n
từ y = Af ∈ R
m
là không đúng trong trường hợp m < n do sẽ có rất
nhiều tín hiệu “ứng cử” của
˜
f cho trường hợp A
˜
f = y. Những yêu cầu của việc khôi phục luôn là
tín hiệu f tìm được sẽ tương đồng với tín hiệu thực nhất. Cách giải quyết những vấn đề này sẽ được
trình bày trong phần tiếp theo.
2.2.2 Phương pháp lẫy mẫu nén
2.2.2.1 Phương pháp lẫy mẫu nén
Phương pháp lấy mẫu nén được đề xướng như một lý thuyết về lấy mẫu mới vào năm 2006 bởi
Emannuel Candès, Justin Romberg và Terence Tao cho phép thu trực tiếp tín hiệu nén mà không
thông qua việc thu N mẫu rồi mới sử dụng các phương pháp nén như thông thường. Trước hết việc
này làm giảm đáng kể (về thời gian và cũng độ phức tạp của cấu trúc thực hiện) việc đo đạc để thu
tín hiệu. Mô hình phương pháp lấy mẫu nén thể hiện trong hình 2.8.
Hình 2.8: Phương pháp lấy mẫu nén [6]
21
Với một tín hiệu f có chiều dài N phương pháp lấy mẫu nén sử dụng phép lấy mẫu thưa. Dùng
M phép đo tuyến tính (M  N), khi đó các mẫu đo được biểu diễn bởi phép nhân giữa f và các
vectơ ψ
i
(
i = 1)
M
:
y
i

= f, ψ
i
 (2.18)
Tập hợp các phép đo y
i
được sắp xếp trong một vectơ Y chiều dài M ×1 và các vectơ hàng ψ
T
i
trong ma trận Φ[M ×N]:
Y = Φf = ΦΨx = Θx (2.19)
Ma trận Φ[M ×N] được coi như ma trận đo trong phương pháp lấy mẫu nén, đó là một ma trận
đo không thích nghi (tức là cố định và không phụ thuộc vào tín hiệu f). Ma trận đo này phải được
thiết kế để có thể thu và lưu trữ các thông tin về tín hiệu thưa-K (f) trong M phép đo mà vẫn đảm
bảo khôi phục lại được tín hiệu. Và cần tìm thuật toán khôi phục lại tín hiệu f từ M giá trị đo y đó
(hình 2.9).
2.2.2.2 Điều kiện để khôi phục được tín hiệu
Một tín hiệu thưa-K có kích thước N, được lấy mẫu nén với M giá trị y
i
từ phép đo: y
i
= f, φ
i

(với M  N).
Hình 2.9: M phép đo Y của tín hiệu thưa-K sử dụng ma trận đo Φ[M ×N] [6]
22
Do việc lấy mẫu tín hiệu không tuân theo nguyên lý lấy mẫu Nyquist nên việc để có thể khôi
phục lại tín hiệu thì ma trận đo sử dụng trong phương pháp này cần đáp ứng được các điều kiện sau:
• Điều kiện RIP (Ristricted Isometry Property)
Là điều kiện cần và đủ về tỷ lệ giới hạn đẳng cự của ma trận đo để có thể xấp xỉ tín hiệu đã

được đo từ M mẫu. Một tín hiệu f thưa-K được lấy mẫu nén bởi ma trận đo Φ[M × N] thì
ma trận này phải thỏa mãn điều kiện sau:
(1 −δ
K
)  x
K

2
2
≤  Θx
K

2
2
≤ (1 + δ
K
)  x
K

2
2
(2.20)
Với x
K
là vectơ hệ số của tín hiệu f trong hệ các vectơ trực chuẩn Ψ = [ψ
1
, ψ
2
, . . . ψ
N

];
Θ = ΦΨ; δ
K
là một hệ số nhỏ hơn 1;  x
K

2
≡ (
N

i=1
| x
i
|
2
)
1
2
nên  x
K

2
2
=
N

i=1
| x
i
|

2
.
• Điều kiện tách biệt (incoherence)
Điều kiện này yêu cầu về ma trận đo phải thỏa mãn tính chất tách biệt giữa hai ma trận
Φ[M ×N] và Ψ[M ×N]. Sự tách biệt chính là nghịch đảo mối quan hệ tương quan giữa hai
ma trận, được tính bằng giá trị lớn nhất của vectơ hàng φ
i
và vectơ cột ψ
j
:
µ(Φ, Ψ) =
√
N max
1≤i,j≤N
|φ
i
.ψ
j
| (2.21)
Nếu hai vectơ này có nhiều phần tử tương quan thì sự tương quan là lớn; và ngược lại. Giá
trị tương quan biến đổi theo đại số tuyến tính: µ(Φ, Ψ) ∈ [1,
√
N]. Phương pháp lấy mẫu nén
chủ yếu quan tâm tới những trường hợp có tương quan thấp: ví dụ như khi φ
i
là các xung delta
φ
i
(t) = δ(t − i) và Ψ là ma trận cơ sở của biến đổi fourier ψ
j

(t) = n
−1/2
e
i2πjt/n
thì tương quan
của hai ma trận là nhỏ nhất µ(Φ, Ψ) = 1.
Trong nghiên cứu của Emmanuel Candès, Justin Romberg, và Terence Tao đã chứng minh rằng:
“Việc sử dụng ma trận đo Φ là ma trận ngẫu nhiên theo phân bố Gauss thì điều kiện RIP và điều
kiện tách biệt đều được thỏa mãn. Với việc sử dụng số các phép đo M thỏa mãn M ≥ cK log(N/K)
với c là một hằng số nhỏ thì hoàn toàn có thể tái tạo được tín hiệu f thưa K có chiều dài N ban
đầu.”
2.2.2.3 Khôi phục tín hiệu
a) Bài toán khôi phục tín hiệu thưa đã được lấy mẫu nén
23
Một tín hiệu f thưa K có chiều dài N được đo đạc và lấy mẫu theo phương pháp lấy mẫu nén
với M mẫu có giá trị các hệ số là y
i
= f, φ
i
 (với 1 ≤ i ≤ M). Bài toán đặt ra là: Làm thế nào để
khôi phục lại tín hiệu f khi đã biết giá trị y
i
của các mẫu?
Cách giải quyết: như đã tr ình bày ở trên thì tín hiệu f được biểu diễn bởi các hệ số trong hệ các
vectơ cơ sở trực chuẩn là Ψ = [ψ
1
, ψ
2
, . . . ψ
N

] là: f =
N

i=1
x
i
ψ
i
; do đó cần tìm các hệ số x
i
của f.
Như vậy cần biết thêm thông tin hay điều kiện nào đó về các hệ số và phải dung thuật toán dự đoán,
tối thiểu hóa để ước lượng các hệ số sao cho đúng với giá trị thực nhất.
b) Các phương pháp khôi phục tín hiệu
Khôi phục tín hiệu sử dụng thuật toán l
0
- minimization là thuật toán tương đối đơn giản để khôi
phục tín hiệu đã được lấy mẫu nén.
• Sử dụng l
0
ˆ
f = min
f∈R
n
 f 
l
0
= min
1≤i≤N
|i : f

i
= 0| (2.22)
Với giả thiết là:
Y = Φf (2.23)
Phương pháp này có thể khôi phục chính xác dữ liệu tuy nhiên số lượng phép toán lớn do
phải thử tất cả các trường hợp cho cả hai phương trình trên nên tốc độ tính toán là chậm nên
không được dùng để khôi phục tín hiệu trong lấy mẫu nén.
• Sử dụng l
1
ˆ
f = min
f∈R
n
 f 
l
1
= min
f∈R
n
N

i=1
|f
i
| (2.24)
Với giả thiết như (2.23) là:
Y = Φf
Thuật toán này cho khôi phục tương đối chính xác (kém hơn so với sử dụng l
0
) tín hiệu thưa-

K từ M phép đo tuyến tính không thích nghi (M ≥ cK log(
N
K
)).
24
Phương pháp này đã được nghiên cứu cải thiện bởi Emmanuel J.candès, Michael B.Walkin
và Stephen P.Boyd vào năm 2007 cho phép khôi phục chính xác hơn gọi là L1 minimization
được trọng số hóa (Reweighted L1 minimization). Tín hiệu được khôi phục bằng phương
trình:
ˆ
f = min
f∈R
n
 Wf 
l
1
= min
f∈R
n
N

i=1
|w
i
f
i
| (2.25)
cùng với giả thiết (2.23) là:
Y = Φf
Ở đó ma trận W là ma trận chéo kích thước N ×N với các trọng số dương w

11
, w
22
, . . . w
NN
;
còn lại các trọng số khác là bằng không. Các trọng số trên đường chéo được tính bằng cách:
– Thiết đặt l = 0 và w
(0)
i
, i = 1, 2, . . . N
– Tính f
(l)
= min  W
(l)
f 
l
1
với Y = Φf
– Cập nhật các giá trị trọng số i = 1, 2, . . . N: w
(l+1)
ii
=
1
|f
(l)
i
|
+ δ
K

– w
ii
hội tụ hoặc l đạt tới một giá trị cực đại thì kết thúc thuật toán, ngược lại tăng l lên 1
đơn vị và trở lại bước tính f
(l)
.
• Sử dụng l
2
ˆ
f = min
f∈R
n
 f 
l
2
= min
f∈R
n
N

i=1
|f
i
|
2
(2.26)
với giả thiết (2.23) là:
Y = Φf
Tuy phương pháp này được đưa ra nhưng khôi phục không đúng dữ liệu.
• Phương pháp BP (Basis Pursuit)

Sử dụng phương pháp tối thiểu hóa BP dùng cho khôi phục tín hiệu được lấy mẫu nén, khi mà
tín hiệu có nhiễu cộng trong quá trình lấy mẫu - khi đó phương pháp còn gọi là Basis Pursuit
denoise (BP

) .
25