Thiết kế tạo bộ điều khiển PID điều khiển mạch điện

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ





Đoàn Hữu Chức





THIẾT KẾ CHẾ TẠO BỘ ĐIỀU KHIỂN PID
ĐIỀU KHIỂN MẠCH ĐIỆN











LUẬN VĂN THẠC SĨ

Hà Nội - 2007

2
MỤC LỤC

Trang
LỜI CAM ĐOAN
1
MỤC LỤC
2
BẢNG CHỮ VIẾT TẮT
4
LỜI NÓI ĐẦU
5
Chương 1. Phân t ích thiết kế hệ thống điều khiển tự dộng
7
1.1. Phép biến đổi Laplace
8
1.1.1. Phép biến đổi Laplace thuận
8
1.1.2 Phép biến đổi Laplace ngược
11
1.1.2.1. Biến đổi ngược hàm hữu tỷ

11
1.1.2. 2. Phương pháp thặng dư
12
1.2. Phép biến đổi Z
14
1.2.1. Tín hiệu xung
14
1.2.2. Toán tử Z thuận
15
1.2.3. Toán tử Z ngược
18
1.3. Các thành phần cơ bản của hệ thống điều khiển
22
1.3.1. Đặc tính tần số biên pha
22
1.3.2. Khâu khuếch đại
24
1.3.3. Khâu tích phân
25
1.3.4. Khâu vi phân
25
1.4. Tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động
26
1.4.1. Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh – Hurwitz
27
1.4.2. Tiêu chuẩn ổn định tần số
31
1.5. Hệ thống điều khiển xung số
33
Chương 2. Bộ điều khiển PID

38

3
2.1. Bộ điều khiển PID liên tục
39
2.1.1. Sử dụng mô hình bậc nhất có trễ của đối tượng
40
2.1.2. Xác định tham số bằng thực nghiệm
43
2.1.3. Phương pháp Chien - Hrones - Reswick
45
2.1.4. Phương pháp tổng T của Kuhn
47
2.2. Bộ điều khiển PID số
52
2.2.1. Nguyên lý điều khiển PID số
52
2.2.2. Xác định tham số cho PID số bằng thực nghiệm
54
Chương 3. Thực nghiệm thiết kế các bộ điều khiển PID
57
3.1. Bộ điều khiển tương tự kiểu PID
57
3.1.1. Thiết kế bộ điều khiển
57
3.1.2. Đo đặc thực nghiệm
66
3.2. Bộ điều khiển tốc độ mô - tơ theo luật PID ghép nối máy vi
tính .
72

3.2.1. Thiết kế hệ thống ghép nối máy tính điều khiển mô - tơ
DC
3.2.2. Thực nghiệm
72

76

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Phụ lục

86

87

88




4

Bảng chữ viết tắt



ADC
Analog to Digital Converter

Bộ biến đổi tương tự - số
DAC
Digital to Analog Converter
Bộ biến đổi số - tương tự
MIMO
Multi Input - Multi Output
Nhiều lối vào - Nhiều lối ra
MISO
Multi Input – Single Output
Nhiều lối vào - Một lối ra
PID
Proportional - Integral - Derivative
Tỷ lệ - tích phân - vi phân
PWM
Pulse Width Modulation
Điều chế độ rộng xung
SIMO
Single Input – Multi Output
Một lối vào - Nhiều lối ra
SISO
Single Input – Single Output
Một lối vào - Một lối ra
ZOH
Zero Order Hold
Lưu giữ cấp không

7
CHƢƠNG 1
PHÂN TÍCH THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Hệ thống điều khiển tự động là hệ thống được xây dựng từ ba bộ phận chủ yếu:
- Thiết bị điều khiển C (Controller).
- Đối tượng điều khiển O (Object).
- Thiết bị đo lường M (Measuring device)
Đây là một hệ thống có phản hồi, còn gọi là hệ thống điều khiển vòng kín
(closed-loop contrrol). Sơ đồ khối của hệ thống như ở hình 1.1. dưới đây:





Đây là một sơ đồ khối đơn giản và tổng quát nhất. Các tín hiệu tác động trong
hệ thống bao gồm:
- x: tín hiệu vào (tạo điểm đặt)
- y: tín hiệu ra
- u: tín hiệu điều khiển tác động lên đối tượng O
- z: tín hiệu phản hồi
- e: độ lệch cần điều chỉnh

Phân tích hay thiết kế một hệ thống điều khiển tự động bất kỳ cần phải xác định
được đặc tính của những khâu cơ bản. Công cụ toán học thường dùng cho các quá
trình phân tích thiết kế này là các phép biến đổi, cho phép thay thế các phép tính
thực hiện khó khăn theo biến thời gian bằng các phép tính trong các miền không
gian khác được tính toán thuận lợi hơn. Khi tín hiệu là liên tục, biến đổi Laplace
được sử dụng; khi tín hiệu là rời rạc thì sử dụng phép biến đổi Z. Trên cơ sở các

C

O

M
x
e
z
u
y(t)
Hình 1.1. Sơ đồ khối hệ thống điều khiển tự động.

8
công cụ toán học đó, việc phân tích các đặc tính động học của các khâu điều khiển
được tiến hành, cho phép phân tích được khả năng điều khiển cũng như tính ổn định
của hệ thống, trên cơ sở đó cho phép có được các kết quả thiết kế tối ưu.
Dưới đây là tổng quan những vấn đề vừa được nêu trên [5].
1.1. Phép biến đổi Laplace
Phép biến đổi Laplace rất quan trọng khi phân tích hay thiết kế một hệ thống
điều khiển mà ở đó các tín hiệu x(t) thường gặp là tín hiệu nhân quả (nghĩa là x(t) =
0 khi t < 0). Dưới đây là những đặc điểm quan trọng nhất của phép biến đổi này.
1.1.1. Phép biến đổi Laplace thuận
Nếu một tín hiệu x(t) thoả mãn các điều kiện:

- x(t) = 0 với t < 0,
-
dtetx
t



0
)(

<  với một

dương đủ lớn,
- x(t) trong khoảng hữu hạn bất kỳ liên tục từng khúc,
- Tại điểm không liên tục t
0
thoả mãn x(t
0
) = [ x(t
0
- 0) + x(t
0
+ 0)]/2,
- x(t) trong khoảng hữu hạn bất kỳ chỉ có hữu hạn các điểm cực trị ,
thì tồn tại một cặp biến đổi sau:
X(s) = L{x(t)}=
dtetx
st




0
)(
(1.1)
và
x(t) L
-1
{X(s)} =
dsesX
j
jc
jc
st



)(
2
1

(1.2)
trong đó s = c+j

và c>

. Giá trị

được gọi là bán kính hội tụ của tích phân.
Hàm phức X(s) tính như trên được gọi là ảnh Laplace của tín hiệu gốc x(t).
Phép biến đổi Laplace có những tính chất quan trọng như sau:

Tính chất đơn ánh: Phép biến đổi Laplace là ánh xạ một - một, tức là nếu
x(t)  y(t) thì ta cũng có X(s)  Y(s).

9
Tính chất tuyến tính: Phép biến đổi Laplace là một toán tử tuyến tính. Nếu x(t)
có ảnh là X(s) và y(t) có ảnh là Y(s) thì tổng tuyến tính của z(t) = x(t) + y(t) sẽ có
ảnh là:
Z(s) = X(s) + Y(s). (1.3)
Phép dịch trục: Nếu có X(s) là ảnh Laplace của x(t) thì ảnh của
y(t) = x(t - T) sẽ là:
Y(s) = X(s) e
-sT
. (1.4)
Phép nén: Nếu X(s) là ảnh Laplace của x(t) thì ảnh của y(t) = x(t) e
-t
sẽ là:
Y(s) = X(s + ). (1.5)
Ảnh của tích chập: Nếu X(s) và Y(s) là ảnh của x(t), y(t) thì tích chập:
z = x(t)*y(t) =

dtyx



 )()(
. (1.6)
có ảnh Laplace là:
Z(s) = X(s)Y(s). (1.7)
Ảnh của tích phân: Nếu X(s) là ảnh của x(t) thì
tích phân y(t) =


dx
t

0
)(
sẽ có ảnh Laplace là: Y(s) = X(s)/s (1.8)
Ảnh của vi phân: Nếu X(s) là ảnh của x(t) thì
vi phân y(t) = dx(t)/dt sẽ có ảnh là: Y(s) = sX(s) (1.9)
Đạo hàm của ảnh: Nếu X(s) là ảnh của tín hiệu nhân quả x(t) và Y(s) là ảnh
của tín hiệu nhân quả y(t) = t
n
x(t) thì:
n
n
n
ds
sXd
sY
)(
)1()( 
(1.10)
Định lý về giới hạn thứ nhất: Nếu tồn tại giới hạn
t
tx )(lim
thì ta có:
0
)(lim)(lim



st
ssXtx
(1.11)
trong đó X(s) là ảnh Laplace của x(t).

10
Định lý về giới hạn thứ hai: Nếu tồn tại giới hạn
t
tx )(lim
thì ta có:
)(lim)(lim)0(
0
ssXtxx
st 

(1.12)
trong đó X(s) là ảnh Laplace của x(t).
Các tính chất về phép dịch trục cùng hai tính chất được phát biểu dưới dạng
định lý giới hạn có ý nghĩa đặc biệt quan trọng trong việc xác định giá trị tín hiệu
nhân quả x(t) trực tiếp từ ảnh Laplace X(s) của nó mà không cần thực hiện biến đổi
ngược. Tất nhiên để thực hiện được điều kiện là phải tồn tại giới hạn
t
tx )(lim
hay
0
)(lim
t
tx
. Xét một số ví dụ về biến đổi Laplace.
Ví dụ 1. Nếu tín hiệu x(t) được biểu diễn x(t) = k với t0 thì nó có ảnh Laplace

là:
s
k
dteksX
st




0
)(

Ví dụ 2. Áp dụng tính chất phép nén của biến đổi Laplace và ví dụ 1 ta có ảnh
của tín hiệu x(t) = e
-t
1(t) sẽ có ảnh Laplace của nó như sau:



s
k
sX )(

Ví dụ 3. Nếu tín hiệu tăng dần đều x(t) = t1(t) thì ảnh Laplace của nó là:
2
0
0
0
1
)(

s
dt
s
e
s
te
dttesX
stst
st









Ví dụ 4. Từ ví dụ 2 ta có ảnh Laplace của tín hiệu x(t) = k(1 – e
-t/T
) như sau:

)1(
)(

Ts
k
sX



Ví dụ 5. Từ ví dụ trên áp dụng một số tính chất ta có ảnh Laplace của tín hiệu
x(t)= t
k
e
-t
1(t) như sau:
1
)(
!
)(



k
s
k
sX



11
Ví dụ 6. Xét hai tín hiệu nhân quả:
x(t) = e
-jat
= cosat – jsinat
y(t) = e
jat
= cosat + jsinat
Theo kết quả của ví dụ 2 ảnh Laplace của hai tín hiệu này là

)
1
)(
jas
sX


và
)
1
)(
jas
sY



Từ đó ta có:
22
}{cos
as
s
atL


và
22
}{sin
as
a

atL



1.1.2 Phép biến đổi Laplace ngƣợc
Việc biến đổi Laplace ngược là việc tìm tín hiệu x(t) nào đó từ ảnh Laplace X(s)
của tín hiệu đó. Hiển nhiên có thể được thực hiện từ định nghĩa của phép biến đổi
này trực tiếp từ biểu thức (1.2). Trong thực tế, với các lớp tín hiệu x(t) có dạng ảnh
Laplace đặc biệt, hai phương pháp đơn giản thường được dùng là [2]:
1.1.2.1. Biến đổi ngược hàm hữu tỷ.
Nếu đó X(s) có dạng hàm hữu tỷ:

n
n
m
m
sasaa
sbsbb
sA
sB
sX





)(
)(
)(
10

10
với m < n (1.13)
thì sẽ thực hiện các bước để phân tích nó ra thành tổng các hàm phân thức
tối giản:







22
11
)(
)(
)(
)(


k
kkkk
r
l
i
k
ki
l
k
s
CsB

as
A
AsX
k

Trong đó A, A
ki
, B
k
, C
k
là các hằng số, a
k
là điểm cực thực bội, r
k
, 
k
+j
k
là
điểm cực phức của X(s), nói cách khác chúng là nghiệm của A(s)=0. Sau đó xác
định hàm gốc của các hàm phân thức tối giản nay.
Ví dụ 7. Cho tín hiệu có ảnh Laplace biểu diễn như sau:
)1(
1
)(
2
ss
sX





12
Sử dụng phương pháp trên để tìm x(t).
Phân tích X(s) thành tổng các phân thức tối giản thu được:
2
11
1
1
)(
sss
sX 



Từ đó được tín hiệu x(t) = (e
-t
–1 +t)1(t).
1.1.2.2 Phương pháp thặng dư
Trong biến đổi ngược X(s) có dạng hàm hữu tỷ như biểu thức (1.13) vừa trình
bày cho thấy rằng ngoài một số hữu hạn các điểm cực là nghiệm của của A(s) = 0,
còn lại ở những điểm khác X(s) đều xác định và có đạo hàm vô hạn lần. Nói cách
khác X(s) là một hàm giải tích ngoài hữu hạn các điểm cực hữu hạn đó. Dạng tín
hiệu x(t) nhận được lại hoàn toàn được quyết định bởi vị trí của các điểm cực này
trong mặt phẳng phức. Từ nhận xét này có được phương pháp thặng dư (residuence)
để xác định ngược tín hiệu x(t) từ ảnh Laplace X(s) của nó, nếu như X(s) là hàm
giải tích trừ một vài các điểm cực rời nhau và hữu hạn, tức là không có điểm cực
tại s=  hay limX(s) <  khi s. Những hàm có tính chất này được gọi chung
là hàm meromorph. Bắt đầu từ biểu thức định nghĩa về biến đổi Laplace ngược (1.2)

x(t) = L
-1
{X(s)} =



 C
et
jc
jc
st
dsesX
j
dsesX
j
)(
2
1
)(
2
1

(1.14)
Trong đó C là một đường cong khép kín chứa đường thẳng c + j với  chạy từ
- đến + và  là bán kính hội của tích phân (hình 1.2). Chiều của C là chiều được
chọn để phù hợp với chiều của  từ - đến +.


Hình 1.2. Mô tả phƣơng pháp residuence.

13
Ký hiệu miền được bao bởi C theo chiều dương là D, tức là miền sẽ luôn nằm
phía trái khi ta đi dọc theo C và gọi s
1
, s
2
, ,s
m
là các điểm cực của X(s). Do c > 
nên tất cả m điểm cực này phải nằm trong D. Mặt khác vì tích phân theo đường
cong khép kín của một hàm có giải tích trong miền được bao bởi đường cong lấy
tích phân đó luôn có giá trị bằng 0. Do đó công thức (1.14) được thay bằng công
thức sau:




k
C
et
m
k
dsesX
j
tx )(
2
1
)(
1


(1.15)
Trong đó C
k
, k = 1, 1, ,m là những đường cong khép kín bao quanh riêng một
điểm cực s
k
theo chiều dương (s
k
luôn nằm bên trái khi ta đi dọc theo C
k
theo chiều
đó). Như vậy, đường cong C trong biểu thức (1.13) nay đã được thay bởi nhiều
đường cong C
k
, k =1, 2, , m trong biểu thức (1.14).
Nếu ký hiệu tiếp:


k
k
C
et
s
dsesX
j
sX
s
)(
2
1

)(
Re


là giá trị thặng dư (residuence) của X(s)e
st
tại s
k
, k = 1, 2, , m thì biểu thức
(1.15) trở thành:
st
m
k
essXtx )(Re)(
1



(1.16)
và đó chính là công thức thực hiện biến đổi ngược X(s) theo phương pháp thặng
dư.
Ví dụ 8. Tính giá trị thặng dư của A
k
/(s - s
k
).
Do hàm này chỉ có một điểm cực là s
k
nên ta
có:






C
k
k
k
k
k
ds
ss
A
jss
A
s

2
1
Re

Trong đó C là đường tròn bán kính  > 0 bao
quanh s
k
theo chiều dương như hình 1.3. Như vậy
dọc theo C biến s sẽ có phương trình:

j


s
k
Hình 1.3. Đƣờng cong lấy tích
phân cho ví dụ 8.

14


j
k
ess 
với 0   < 2
Thay phương trình của biến s vào biểu thức trên ta được:
kk
j
j
k
k
k
k
AdAed
e
A
jss
A
s 













2
0
2
0
)(
2
1
)(
2
1
Re


1.2. Phép biến đổi Z
Khi tín hiệu điều khiển có dạng xung hay rời rạc ta sử dụng phép đổi Z. Phép
biến đổi Z được sử dụng để phân tích hay thiết kế hệ thống điều khiển số. Dưới đây
trình bày tóm tắt về biến đổi Z.
1.2.1. Tín hiệu xung
Cho một tín hiệu x(t) liên tục (hàm thời gian x(t) liên tục từng đoạn). Nếu x(t)
liên tục tại T
a
thì giá trị x(T

a
) của tín hiệu x(t) tại thời điểm T
a
được xác định theo
công thức trích mẫu như sau:
x(T
a
) = x(t)(t - T
a
) = x(T
a
)(t) (1.17)
trong đó tích vế trái theo tích chất của hàm (t) ta có:
dttxTtTttx
aa



 )()()()(


Tín hiệu không liên tục mà ta quan tâm ở đây là dãy các giá trị {x
k
} cách đều
nhau với x
k
= x(kT
a
),
Trong đó T

a
được gọi là chu kỳ lượng tử hoá, hay chu kỳ trích mẫu tín hiệu.
Đây là loại tín hiệu chỉ có giá trị tại những điểm {t = kT
a
, k thuộc Z}, Z là tập các số
nguyên. Và ngoài những điểm đó thì không được định nghĩa. Nếu mỗi giá trị x
k

được xem như tích x(t)(t - kT
a
) thì toàn bộ dãy {x
k
} sẽ là:
)()()()()()(}{ tstxkTttxkTttxx
k
a
k
ak







(1.18)
trong đó: s(t) =





k
a
kTt )(



15
Hàm s(t) được gọi là hàm lấy mẫu, hay hàm răng lược.


Hình dạng răng lược của hàm s(t) là cho {x
k
} có dạng gần giống một chiếc lược
với các răng lược không đều nhau. Độ cao của từng chiếc răng biểu diễn giá trị của
x(t) tại thời điểm có chiếc răng lược đó. Do {x
k
} có dạng là dãy các răng lược hình
xung dirac như vậy mà người ta gọi {x
k
} là tín hiệu xung.
Công thức (1.18) biểu diễn tín hiệu xung {x
k
} thông qua hàm dirac là một cầu
nối giữa tín hiệu liên tục và tín hiệu xung. Nó có ý nghĩa đặc biệt quan trọng, giúp
cho việc nghiên cứu tín hiệu xung có thể được tiến hành hoàn toàn giống như một
tín hiệu liên tục. Ngược lại các kết quả thu được từ việc khảo sát tín hiệu liên tục
cũng thông qua (1.18) mà chuyển được cho tín hiệu xung.
1.2.2. Toán tử Z thuận
Xét tín hiệu nhân quả, dạng xung {x

k
}, tức là x
k
= 0 khi k<0. Gọi X
*
(s) là ảnh
Laplace của {x
k
} thì với (1.18) ta có:

 








 




00
00 0
0
*
))(()()()()(
k

skT
k
k
st
ak
k
st
ak
st
a
exdteTtxdteTtxdtetstxsX


Nếu kí hiệu z = e
sTa
công thức trên sẽ trở thành:
)()(
0
*
zXzxsX
k
k
k





(1.19)
và X(z) được gọi là ảnh toán tử Z của {x

k
}. Công thức trên cũng nói rằng tín
hiệu {x
k
} là các hệ số của ảnh X(z) khi được phân tích thành chuỗi Taylor tại z
-1
.
Do đó theo tiêu chuẩn hội thì chuỗi (1.19) sẽ hội tụ khi z nằm ngoài đường tròn bán
kính z
0
thoả mãn:
k
k
k
xzz

 lim
0
nếu như tồn tại giới hạn này.
Hình 1.4. Hàm lấy mẫu (a) và minh hoạ việc lấy mẫu tín hiệu (b).

16
Toán tử Z: {x
k
}X(z) có những tính chất sau:
Tính đơn ánh: Nếu {x
k
}  {y
k
} thì cũng có X(z)  Y(z), trong đó X(z) là ảnh Z

của {x
k
} và Y(z) là ảnh Z của {y
k
}.
Tính tuyến tính: Nếu {x
k
} có ảnh là X(z) và {y
k
} có ảnh Y(z) thì tín hiệu xung
{z
k
} với z
k
= ax
k
+by
k
sẽ có ảnh Z(z) = aX(z) + bY(z).
Phép dịch trái: Nếu X(z) là ảnh của {x
k
} ảnh Y(z) của {y
k
} với y
k
= x
k-m
sẽ là
Y(z) = z
-m

X(z).
Phép dịch phải: Nếu X(z) là ảnh của {x
k
} ảnh Y(z) của {y
k
} với y
k
= x
k+m
sẽ là










m
i
i
i
m
zxzXzzY
0
)()(

Ảnh của tích chập: Nếu X(z), Y(z) là ảnh của {x

k
} và {y
k
} thì dãy các giá trị
tích chập {z
k
} với:




k
i
iikk
yxz
0
sẽ có ảnh Z(z) = X(z)Y(z).
Định lý đồng dạng: Nếu X(z) là ảnh của {x
k
} thì tín hiệu xung {y
k
}, trong đó
y
k
= a
k
x
k
sẽ có ảnh Y(z) = X(z/a).
Định lý tỷ lệ: Nếu X(z) là ảnh của {x

k
} thì tín hiệu xung {y
k
} với y
k
= x
k
/kT
a
,
trong đó T
a
là chu kỳ trích mẫu, sẽ có ảnh:



d
X
T
zY
z
a



)(1
)(
.
Ảnh của hiệu lùi: Nếu X(z) là ảnh của {x
k

} thì tín hiệu xung {y
k
} với
y
k
= x
k
- x
k-1
sẽ có ảnh:
)(
1
)( zX
z
z
zY



Ảnh của hiệu tiến: Nếu X(z) là ảnh của {x
k
} thì tín hiệu xung {y
k
} với
y
k
= x
k+1
- x
k

sẽ có ảnh:
0
)()1()( zxzXzzY 

Ảnh của dãy tổng: Nếu X(z) là ảnh của {x
k
} thì tín hiệu xung {y
k
} với



k
i
ik
xy
0
sẽ có ảnh:
)(
1
)( zX
z
z
zY


.
Ảnh của tích: Nếu X(z) là ảnh của {x
k
} thì tín hiệu xung {y

k
} với y
k
= kT
a
x
k
sẽ
có ảnh:

17
dz
zdX
zTzY
a
)(
)( 
.
Định lý về giới hạn thứ nhất: Nếu X(z) là ảnh của {x
k
} thì:
)(lim
0
zXx
z 


Định lý về giới hạn thứ hai: Nếu X(z) là ảnh của {x
k
} thì:

)()1(limlim
1
zXzx
z
k
k


.
Để tường minh hơn về toán tử Z ta sẽ xét một vài ví dụ cơ bản nhất dưới đây.
Ví dụ 9. Tín hiệu xung thu được từ việc lấy mẫu tín hiệu bậc thang 1(t) là {x
k

= 1} sẽ có ảnh:





0
21
1)(
k
nk
zzzzzX

nếu như
1lim 

k

k
k
xz
. Nhân hai vế với z





0
21
1)(
k
nk
zzzzzzzzX

rồi trừ đi cho phương trình nhất được: (z-1)X(z) = z.
Suy ra được: X(z) = z/(z - 1).
Ví dụ 10. Cho tín hiệu xung {x
k
} với x
k
= e
-kTa
. Ảnh của nó là X(z) dựa vào kết
qủa ví dụ 9 và định lý đồng dạng như sau:
a
a
a
a

T
T
z
T
z
k
T
k
ez
z
e
e
zX
z
z
Z
ex
















1
)(
1
}1{
).(1
.
Ví dụ 11. Ảnh Z của tín hiệu xung {kT
a
} thu được từ việc trích mẫu x(t) = 1(t)
được xác định nhờ định về ảnh của một tích như sau:
2
)1(
)
1
(}{
1
}1{
1.













z
zT
z
z
dz
d
zTkTZ
z
z
Z
kTkT
a
aa
aa
.

18
1.2.3. Toán tử Z ngƣợc
Cho tín hiệu xung {x
k
} và gọi X(z) là ảnh Z của nó được tính từ x
k
nhờ công
thức (1.19), trong đó điều kiện phải có:
k
k
k
xz


 lim
là để chuỗi hội tụ. Theo tính
chất đơn ánh của toán tử Z ta cũng sẽ xác định được duy nhất một tín hiệu {x
k
}
nhận X(z) làm ảnh Z. Phép tính {x
k
} từ X(z) được ký hiệu là: {x
k
} = Z
-1
{X(z)}.
Có ba phương pháp chính để tìm ngược {x
k
} từ X(z):
- Phương pháp residuence
- Phương pháp biến đổi ngược hàm hữu tỷ
- Phương pháp phân tích X(z) thành chuỗi.
1.2.3.1. Phƣơng pháp thặng dƣ (residuence)
Tương tự như toán tử Laplace, từ X(z) ta cũng tính ngược ra được {x
k
} theo
, 1,0,)(
2
1
1




kdzzzX
j
x
C
k
k

(1.20)
trong đó C là đường cong kín trong mặt phẳng phức bao tất cả các điểm cực của
X(z) theo chiều dương.
Cũng giống như đã trình bày về ứng dụng của phương pháp residuence để biến
đổi ngược toán tử Laplace, nếu hàm phức X(z)z
k-1
chỉ có hữu hạn q các điểm cực z
1
,
z
2
, , z
q
rời nhau và ngoài những điểm cực đó hàm X(z)z
k-1
có giải tích, thì đường
cong lấy tích phân C trong (1.20) sẽ được thay bằng q đường cong kín C
i
, i = 1,2, q
mà mỗi đường cong này chỉ bao một điểm cực z
i
theo chiều dương. Suy ra:
.)(

2
1
1
1





i
C
k
q
i
k
dzzzX
j
x

(1.21)
Gọi
.)(
2
1
)(Re
11



i

i
C
kk
z
dzzzX
j
zzXs

(1.22)
là giá trị thặng dư tại điểm z
i
, i = 1,2, ,q thì ta có:

1
1
1
1
])()([
lim
)!1(
1
)(Re









i
ii
i
i
l
l
i
k
l
zz
i
k
z
dz
zzzzXd
l
zzXs
(1.23)

19
với l
i
là bậc của điểm cực z
i
. Thay (1.22), (1.23) vào (1.21) ta đi đến:
1
1
1
1
1

1
])()([
lim
)!1(
1
)(Re











i
ii
i
i
l
l
i
k
l
zz
i
q
i

k
z
q
i
k
dz
zzzzXd
l
zzXsx
(1.24)
Như vậy phương pháp thặng dư bao gồm các bước:
- Xác định tất cả các điểm cực z
i
của X(z)z
k-1
cũng như bậc l
i
của chúng.
- Tìm giá trị thặng dư của X(z)z
k-1

tại các điểm cực đó theo (1.23).
- Tính x
k
theo (1.24).
Ví dụ 12. Hãy tìm {x
k
} có ảnh Z như sau:
aazz
az

zX



)1(
)1(
)(
2

Do X(z) có hai điểm cực là z
1
= 1, z
2
= a có bậc bằng 1 (chúng là nghiệm đơn
của phương trình z
2
- z(1+a)+a=0) nên
1
)1(
lim
)1(
)1)(1(
lim)1()(lim)(Re
1
2
1
1
1
1
1












az
az
aazz
zaz
zzzXzzXs
k
z
k
z
k
z
k
z

và
a
az
az
aazz

azaz
azzzXzzXs
k
az
k
az
k
az
k
z











)1(
lim
)1(
))(1(
lim)()(lim)(Re
2
11
2

Bởi vậy x
k
= 1 - a
k
, với k  0.
1.2.3.2. Phƣơng pháp phân tích chuỗi
Cơ sở của phương pháp này là công thức định nghĩa của biến đổi Z (1.19) và
tính chất dơn ánh của toán tử này. Nếu X(z) đã cho phân tích được thành chuỗi theo
z
-1
tức là:
X(z) = c
0
+ c
1
z
-1
+ + c
n
z
-n
+
thì do tính đơn ánh ta được x
k
= c
k
.
Ví dụ 13.
Từ X(z) = z/(z
2

- 1.6z + 0.8) và sau khi thực hiện nhiều lần phép chia đa thức
thấy rằng: X(z) = z
-1
+ 1.6z
-2
+

20
Do đó x
0
= 0, x
1
= 1, x
2
= 1.6,
1.2.3.3. Phƣơng pháp biến đổi hàm hữu tỷ
Dựa vào tính tuyến tính của toán tử Z ta có thể xác định {x
k
} từ ảnh Z của nó là
X(z) bằng cách phân tích X(z) thành tổng tuyến tính của những thành phần cơ bản,
được quen biết đến như là ảnh của các tín hiệu xung quen thuộc. Khi đó thì {x
k
}
chính là tổng tuyến tính của các tín hiệu xung quen thuộc đó.
Để minh hoạ cho phương pháp này ta xét X(z) có dạng hàm hữu tỷ:
  
)(
~
10
10

)(
zX
n
n
m
m
zazaa
zbzbb
zzX



(1.25a)
trong đó
)(
~
zX
được giả thiết là có các điểm cực z
1
, z
2
, , z
q
rời nhau, tức là
phương trình a
0
+ a
1

+ + a
n
z
n
= 0 có q nghiệm z
1
, z
2
, , z
q
, (nq). Gọi l
i
là bậc của
điểm cực z
i
(z
i
là nghiệm bội l
i
của phương trình trên). Vậy thì



q
i
i
ln
1
và X(z) sẽ
phân tích được thành tổng tuyến tính:


  




q
i
l
j
j
i
ii
q
i
l
j
j
i
ii
ii
zz
zA
zz
A
zzX
1 11 1
)()(
)(
(1.25b)

Ký hiệu {x
jj
k
} là tín hiệu xung có ảnh :
j
i
ij
zz
z
zX
)(
)(


(1.26)
thì theo tính chất tuyến tính của toán tử Z, ta có tín hiệu gốc {x
k
} của X(z) là:



i
l
j
ij
kij
q
i
k
xAx

11
với k0 (1.27)
Vấn đề còn lại là xác định {x
ij
k
} có ảnh X
ij
(z) cho trong (1.26).
1) Khi j=1: Theo kết quả của ví dụ 14, trong đó e
-Ta
nay được thay bởi z
i
ta có:
k
i
i
i
k
z
zz
z
Zx 



}{
11
(1.28)

21

2) Khi j>1: Vì
j
i
ij
zz
z
zX
)(
)(


có một điểm cực z
i
bội j nên theo (1.23)
được
111
1
1
1
)!1(
)2) (1(
lim
)!1(
1
}
)(
{














jk
i
j
k
jk
i
j
kj
zz
j
i
ij
k
zCz
j
jkkk
dz
zd
j
zz

z
Zx
i
(1.29)
Công thức (1.29) chứa cả công thức (1.28) cho trường hợp j=1, vì C
0
k
= 1. Cuối
cùng thay (1.29) vào (1.27) thì:





i
l
j
jk
i
j
kij
q
i
k
zCAx
1
11
1
với k  0 (1.30)
và đó là giá trị tín hiệu xung {x

k
} có ảnh X(z) = z
)(
~
zX
theo công thức (1.25a) đã
cho.
Như vậy, phương pháp biến đổi ngược hàm hữu tỷ dạng (1.25a) gồm các bước
sau:
- Phân tích X(z) dạng (1.25a) thành (1.25b) là tổng tuyến tính các phân thức tối
giản của
)(
~
zX
, tức là tìm A
ij
, i =1,2, ,q và j =1,2 ,l
i
.
- Xác định các x
ij
k
theo (1.29).
- Tính x
k
từ A
ij
và x
k
ij

theo (1.30).
Ví dụ 14. Hãy tìm {x
k
} có ảnh:
  
)(
~
3
2
)2)(1(
37
)(
zX
zz
zz
zzX




Do X(z) có hai điểm cực là z
1
= 1 bậc 1, z
2
=2 bậc 3 nên ở đây q =2, l
1
=1và
l
2
=3. Phân tích tích mẫu thành tổng tuyến tính các phân thức tối giản được:

)
)2(
7
)2(
4
2
3
1
3
()(
32









zz
zz
zzX

tức là: A
11
= 3, A
21
= -3
,

A
22
= 4 và A
23
=7.
Vậy:
)0(2
2
)1(
7242*33
21
1
11
1








k
kk
kzCAx
kkk
l
j
jk
i

j
kij
q
i
k
i
.


22
1.3. Đặc tính động học các khâu trong hệ thống điều khiển tự động
Một hệ thống điều khiển gồm có các phần tử nối với nhau theo các phương pháp
chung như nối tiếp, song song và kiểu hồi tiếp. Tính chất của quá trình quá độ toàn
hệ thống phụ thuộc tính chất động học của các phần tử hợp thành. Trong hệ thống,
số lượng các phần tử có thể có nhiều và đa dạng về bản chất vật lý, nhưng số lượng
các phương trình mô tả động học của các khâu tối giản là có hạn. Các phần tử thực
làm việc ở phạm vi tần số nhất định. Còn việc mô tả động học các khâu điển hình
được thực hiện cho mọi tần số, từ  = 0 đến . Một khâu điều khiển có sơ đồ tổng
quát như hình 1.5 dưới đây, trong đó x(t)
là lượng vào, y(t) là lượng ra. Ảnh
Laplace tương ứng là X(s) và Y(s) với
hàm truyền hệ thống là W(s).
Mỗi một khâu điều khiển có thể được
diễn tả bởi một phương trình vi phân.
Dựa vào đặc điểm của phương trình vi
phân ta có thể phân các khâu động học thành ba loại: khâu bậc 1, khâu bậc 2, khâu
vi phân và khâu tích phân [1].
1.3.1. Đặc tính tần số biên pha
Đặc tính tần số là quan hệ giữa lượng ra và lượng vào của một khâu ở trạng thái
xác lập khi lượng vào biến đổi theo quy luật điều hoà:

tXx
m

sin

Lượng ra của khâu đó sẽ có dạng:
)sin(

 tYy
m

Nếu một khâu đơn giản được mô tả bởi phương trình vi phân bậc hai:

xb
dt
dx
b
dt
xd
bya
dt
dy
a
dt
yd
a
21
2
2
021

2
2
0

(1.31)
Đối với lượng vào x(t) và các đạo hàm của nó có thể biểu diễn bằng các số
phức:












tj
mm
tj
mm
tj
mm
eXjtX
dt
xd
eXjtX
dt

dx
eXtXtx










22
2
2
)()
2
2s in(
)
2
sin(
sin)(
(1.32)

W(s)
x(t)
X(s)
y(t)
Y(s)
Hình 1.5. Khâu điều khiển.

23
Đối với lượng ra y(t):
















)(22
2
2
)(
)(
)()
2
2s in(
)
2
sin(

)sin()(










tj
mm
tj
mm
tj
mm
eYjtY
dt
yd
eYjtY
dt
dy
eYtYty
(1.33)
Bây giờ thế các số hạng của (1.2) và (1.3) vào (1.1) ta sẽ có:

tj
m
tj

m
exbjbjbeyajaja


])()([])()([
21
2
0
)(
21
2
0



Ta ký hiệu:


j
m
m
e
x
y
jW )(
là hàm truyền đạt tần số (hay hàm truyền đạt phức) thì ta có:

21
2
0

21
2
0
)()(
)()(
)(
ajaja
bjbjb
e
x
y
jW
j
m
m







(1.34)
Nếu xét phương trình vi phân của khâu (1.1) được biểu diễn theo dạng hàm
truyền đạt ta sẽ có:

21
2
0
21

2
0
)(
)(
)(
apapa
bpbpb
pX
pY
pW



(1.35)
Ta thấy rằng muốn tìm hàm truyền đạt tần số, ta chỉ cần thay biến s = j cho
hàm truyền đạt của một khâu.
Nếu hàm truyền đạt phức W(j) viết dưới dạng biên - pha thì ta có:

tj
eAjW


).()( 
(1.36)
Trong đó A() là biên độ của W(j) còn () là pha của W(j). Nếu như
W(j) có dạng như biểu thức (1.4) thì :

2
1
22

02
2
1
22
02
)()(
)()(
)(



aaa
bbb
A



(1.37)

2
02
1
2
02
1
)(






aa
a
arctg
bb
b
arctg




(1.38)

24
Nếu như W(j) viết dưới dạng phần thực và phần ảo thì ta có:
W(j

) = P(

) + jQ(

) (1.39)
Trong đó: P() là phần thực của W(j) và Q() là phần ảo của W(j).
Vì A() và P() là các hàm chẵn nên đặc tính của nó là đối xứng qua trục tung
còn

(

) và Q() là hàm lẻ nên đặc tính của nó là đối xứng qua gốc toạ độ.
Nếu biết đặc tính P() và Q() ta sẽ xác định được đặc tính A() và

)(

.
Ta sẽ có:

)()()(
22

QPA 
(1.40)

)(
)(
)(



P
Q
arctg
(1.41)
1.3.2. Khâu khuếch đại
Là khâu mà ở mỗi thời điểm, lượng ra tỷ lệ với lượng vào theo phương trình:
y = kx (1.42)
Khi đó sử dụng biến đổi Laplace, ta đạt được hàm truyền đạt dưới đây:

k
sX
sY
sW 

)(
)(
)(
(1.43)
Đặc tính biên pha W(j) = k là một điểm trên trục hoành còn đặc tính logarit
biên độ – tần số là một đường nằm ngang:
L() = 20lgA() = 20 lgk
A
jQ()
0
P()
k
L() = 20lgk
() = 0
-()
L()

Hình 1.6. Đặc tính biên pha và đặc tính lo ga rít của khâu tỷ lệ.

25
Đặc tính logarit pha tần số chính là trục hoành:
0
)(
)(
)( 



P
Q

arctg

1.3.3. Khâu tích phân
Khâu tích phân có mối quan hệ giữa lượng ra và lượng vào như sau:



t
ydttxky
0
0
)(
(1.44)
Với k là hệ số tỷ lệ và y
0
là điều kiện đầu. Sử dụng biến đổi Laplace ta có hàm
truyền đạt của khâu tích phân lý tưởng có dạng:

s
k
sW )(
(1.45)
Và đặc tính biên - pha là:
2
)(




 e

kk
jjW

(1.46)
Đặc tính này có dạng như hình 1.7.






1.3.4. Khâu vi phân
Khâu vi phân lý tưởng được mô tả bởi phương trình:

dt
dx
ky 
(1.47)
Do vậy hàm truyền của khâu vi phân có dạng:
W(s) = ks (1.48)
Khi đó đặc tính biên pha là: W(j) = kj.
20
lgk
1
-20db/dec


()
L()
- /2

Hình 1.7. Đặc tính biên pha - tần số của khâu tích phân.

26
Đặc tính biên pha – tần số của khâu vi phân cho trên hình 1.8.







1.4. Tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động
Nhiệm vụ đầu tiên khi phân tích hệ thống điều khiển tự động đó là xác định tính
ổn định của hệ thống. Thực ra nói một hệ thống ổn định là nói một số đại lượng
được điều khiển nào đó ổn định [5].
Một hệ thống được gọi là ổn định nếu quá trình quá độ tắt dần theo thời gian.
Hệ thống không ổn định nếu quá trình quá độ tăng dần theo thời gian.
Hệ thống ở biên giới ổn định nếu quá trình quá độ không đổi hoặc dao động
không tắt dần.
Một hệ thống điều khiển tự động thường được biểu diễn bởi phương trình vi
phân tổng quát:
xb
dt
xd
b
dt
xd
bya
dt
yd

a
dt
yd
a
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n






1
1
10
1
1
10
(1.49)
sẽ bao gồm hai quá trình: quá trình xác lập và quá trình quá độ, đặc trưng bằng
nghiệm:

)()()(
0
tytyty
qd

(1.50)
Trong đó:
- y
0
(t) là nghiệm riêng của (1.49) có vế phải, đặc trưng cho quá trình xác lập.
- y
qd
(t) là nghiệm tổng quát của (1.49) không có vế phải đặc trưng cho quá trình
quá độ.

L()
20db/dec
20lgk
1
- /2
()

Hình 1.8. Đặc tính biên pha của khâu vi phân.

27
Dạng nghiệm tổng quát của y
qd
(t) là:





n
i
ts
iqd
i
eCty
1
)(
(1.51)
Trong đó s
i
là nghiệm của phương trình đặc tính:

0
1
10


n
nn
asasa
(1.52)
s
i
có thể là các nghiệm thực cũng có thể là nghiệm phức liên hợp.
Cách biểu diễn toán học định nghĩa hệ thống ổn định là:

0lim)(lim

1




n
i
ts
i
t
qd
t
i
eCty
(1.53)
và hệ thống không ổn định là:



)(lim ty
qd
t
(1.54)
Muốn xét tính ổn định của một hệ thống ta phải tìm nghiệm phương trình vi
phân (1.49) rồi lấy giới hạn theo biểu thức (1.53). Việc giải phương trình (1.49) là
rất khó khăn, nên việc xét tính ổn định của hệ thống được thay thế bằng cách tìm
nghiệm s
i
của phương trình đặc tính (1.52) là phương trình đại số. Nếu thế cũng
chưa phải là đơn giản trong tính toán thì ta phải tìm một phương pháp gián tiếp khác

đơn giản hơn để đánh giá tính ổn định của hệ thống. Các phương pháp gián tiếp đó
là sự ra đời của các tiêu chuẩn ổn định ta sẽ xét dưới đây.
Các tiêu chuẩn ổn định chia làm hai loại chính sau:
- Tiêu chuẩn đại số: Tìm điều kiện ràng buộc giữa các hệ số của phương trình
đặc tính để hệ ổn định. Đó là tiêu chuẩn Routh – Hurwitz.
- Tiêu chuẩn ổn định tần số: Thông qua đặc tính tần số của hệ thống để xét tính
ổn định. Đó là tiêu chuẩn Mikhai lôv, tiêu chuẩn Nyquist.
1.4.1. Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh – Hurwitz
Trước khi đi vào xét cụ thể tiêu chuẩn, ta làm quen với một khái niệm đó là đa
thức Hurwitz.
Đa thức
n
n
sasaasA )(
10

(1.55)