tuyển tập: đề thi thử ĐH bắc Trung Nam 2014 chủ đề các bài toán liên quan đến hàm số

Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 1 CLB Giáo viên tr TP Hu
TUYN TP:  THI TH I HC BC TRUNG NAM 2014
Ch : CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN N HÀM S
Câu 1. Vit phng trình tip tuyn
(
)
d
ca
( )
3
:
2
x
C y
x
−
=
+
, bit
(
)
d
cách u hai im
(
)
1; 2
A
− −
và
(

)
1;0
B
.
Bài làm:
Cách 1. Phng trình tip tuyn
(
)
d
có dng:
(
)
(
)
(
)
0 0 0
'
y f x x x f x
= − + (
0
x
là hoành  tip
im ca
(
)
d
và
(
)

C
.
Hay
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
2
0 0
0
0
2 2 2
0
0 0 0
6 6
3
5 5
:
2
2 2 2
x x
x
d y x x x
x
x x x
− + +
−

= − − + = − −
+
+ + +

(
)
2
2
0 0 0
5 2 6 6 0
x x y x x
⇔ + + + − − =

( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
0 0 0
0 0
4 4
0 0
5 2 2 6 6
5 6 6
, ,
25 2 25 2

x x x
x x
d A d d B d
x x
− − + + − −
+ − −
= ⇔ =
+ + + +

2 2
0 0 0 0
2 2
0 0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
14 19 6 1
14 19 6 1 1
14 19 6 1
x x x x
x x x x x
x x x x

+ + = − −
⇔ + + = − − ⇔ ⇔ = −

+ + = − + +



Vy phng trình

(
)
: 5 1
d y x
= − −
.
Cách 2. Tip tuyn
(
)
d
cách u hai im
,
A B
suy ra hoc
(
)
d
song song vi ng thng
AB

hoc
(
)
d
i qua trung im
(
)
0; 1
I
−

ca on
AB
.
* Trng hp 1:
(
)
/ /
d AB
.
H s góc ca ng thng
: 1.
A B
AB
A B
y y
AB k
x x
−
= =
−

(
)
/ /
d AB
suy ra h s góc ca
( )
( )
( )
0

2
0
5
: ' 1 1 (*)
2
d f x
x
=  − =
+
.
Phng trình
(
)
*
vô nghim, do ó trng hp này không xy ra.
* Trng hp 2:
(
)
d
i qua trung im
I
ca on
AB
.
Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 2 CLB Giáo viên tr TP Hu
Phng trình
(
)
d

có dng
1
y kx
= −
.
(
)
d
tip xúc vi
(
)
C
ti im có hoành 
( )
( )
( )
0
0
0
0
2
0
3
1 2
2
5
3
2
x
kx

x
x
k
x
−

= −

+

⇔


− =

+

có nghim
0
x
.
Thay
( )
2
0
5
2
k
x
= −

+
vào
(
)
2
ta c
( )
0
2
0
0
3
5
1
2
2
x
x
x
−
= − −
+
+

( )( ) ( )
0
0
2
0
0

0 0 0
2
2
1
1
3 2 5 2
x
x
x
x
x x x
≠ −

≠ −


⇔ ⇔ ⇔ = −
 
= −
− + = − − +



.
Thay
0
1
x
= −
vào

(
)
2
ta c
5
k
= −
.
Vy phng trình
(
)
: 5 1
d y x
= − −
.
Câu 2. Tìm giá tr ca tham s thc
m
sao cho  th hàm s
3 2
3 3 2
y x x mx
= − + +
có cc i,
cc tiu và các cc tr
1 2
,
x x
tha mãn
2 2
1 2

3 2 77
x x
+ =
.
Bài làm:
Hàm s ã cho xác nh và liên tc trên

.
Ta có:
2
' 3 6 3
y x x m
= − +
.
Hàm s có cc i và cc tiu khi và ch khi
' 0
y
=
có hai nghim phân bit và i du qua mi
nghim ó, tc là phi có
' 9 9 0 1
m m
∆ = − > ⇔ <
.
Áp dng nh lý Viet cho
1 2
,
x x
ta có
1 2

2
b
x x
a
+ = − =
và
1 2
c
x x m
a
= =
.
Theo bài ra:
(
)
(
)
2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 1 1
3 2 77 2 4 77 2.2 4 77 69 4 1
x x x x x x x m x x m+ = ⇔ + − + = ⇔ − + = ⇔ = +

Mà
1
x
là nghim ca phng trình
(
)
2 2

1 1 1 1
' 0 x 6 3 0 2 2
y x m x x m= ⇔ − + = ⇔ = − .
T
(
)
1
và
(
)
2
ta c
1 1
69 5
69 4 2
2
m
m x m x
+
+ = − ⇔ =
.
Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 3 CLB Giáo viên tr TP Hu
Thay vào
(
)
1
ta c
2
2

15
69 5
69 4 25 674 4485 0
299
2
25
m
m
m m m
m
= −

+
 

= + ⇔ + + = ⇔
 

= −
 

tha
1
m
<
.
Vy
15
m
= −

hoc
299
25
m = −
tha yêu cu bài toán.
Câu 3. Tìm tt c các giá tr thc ca
m
 ng thng
: 2 2
d y x m
= + −
ct  th
( )
2
:
1
x
C y
x
−
=
−
ti hai im phân bit
,
A B
sao cho t giác
AMBN
có din tích b ng
5 17
4

, bit
(
)
(
)
1; 2 , 3; 3
M N
− −
.
Bài làm:Ta có phng trình ng thng
1
: 3
2
MN y x
= − −
nên
d MN
⊥
ti
I
.
I
có t!a  là
nghim ca h
2 2
1
3
2
y x m
y x

= + −



= − −


nên
1 2 8
;
5 5
m m
I
− −
 
 
 
.
Vì
AMBN
là t giác li nên
I
thuc on thng
MN
tc là
1 2
1 3
5
m
−

< <
và
8
3 2
5
m
−
− < < −
,
ngh"a là
(
)
7 2
m a
− < < −
, ng thng
d
ct
(
)
H
ti hai im
,
A B
phân bit khi phng
trình:
2
2 2
1
x

x m
x
−
+ − =
−
có hai nghim phân bit, ngh"a là:
(
)
(
)
2
2 5 4 0 1
x m x m+ − + − = có hai
nghim phân bit khác
1 1 2 2
m⇔ < −
hoc
1 2 2
m > +
và
1 2 2
m > +
không tha
(
)
a
.
G!i
,
A B

x x
là hoành  ca
,
A B
thì chúng là hai nghim ca phng trình
(
)
1
.
Nên
5 4
; .
2 2
A B A B
m m
x x x x
− −
+ = =
, do ó:
( ) ( )
(
)
(
)
2 2
2 2
5 1
4
4 . 4. 2
4 2 4

B A A B A B
m m
m
x x x x x x
− −
−
− = + − = − = −

( )
1 1 1 1
1 ; 1
1 1 1 1 .
B A
A B B A
A B A B A B A B
x x
y y y y
x x x x x x x x
−
= − = −  − = − =
− − − − − +

( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2
2
2

1
2
1
4
2
4
4 5
2 2
B A B A
m
m
AB x x y y
m m
−
−
−
= − + − = − +
− −
 
−
 
 

Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 4 CLB Giáo viên tr TP Hu
( )
( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 2

1 8
4
1 *
4
4 2 4 5 5
m
m m m m
 
− −
= +
 
− − − − + −
 
 

Ta có:
5 17 1 1
. 5.
4 2 2
AMBN
S MN AB AB
= = = , tc là:
( )
2
5.17
**
4
AB =
.
T

(
)
(
)
* , **
ta c
(
)
2
1 8 17 4
m m
− − = ⇔ = −
hoc
6
m
=
.
Vy
4
m
= −
là giá tr cn tìm.
Câu 4. Chng minh r ng vi m!i
m
ng thng
y x m
= +
luôn ct  th
( )
1

: y
2 1
x
C
x
− +
=
−
ti
hai im phân bit
,
A B
. G!i
1 1
,
k k
ln lt là h s góc ca các tip tuyn vi
(
)
C
ti
A
và B.
Tìm
m
∈

 tng
1 2
k k

+
t giá tr ln nht.
Bài làm:
Phng trình hoành  giao im
( ) ( )
2
1 1
2 2 1 0 * ,
2 1 2
x
x m g x x mx m x
x
− +
= + ⇔ = + − − = ≠
−

Vì
2
' 2 2 0,
1
0,
2
m m m
g m

∆ = + + > ∀ ∈


 
≠ ∀ ∈

 

 



nên phng trình
(
)
*
luôn có hai nghim phân bit
m
∀ ∈

.
Vy, ng thng
y x m
= +
luôn ct  th
1
2 1
x
y
x
− +
=
−
ti hai im phân bit
,
A B

.
G!i
1 2
,
x x
là hai nghim ca
(
)
*
thì
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
.
Tip tuyn ca
(
)
C
ti
,
A B
ln lt có h s góc là:

( )
( )
( )

( )
1 1 2 2
2 2
1 2
1 1
' , '
2 1 2 1
k y x k y x
x x
= = − = = −
− −

Cách 1:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
2 2 2
1 2
1 2 1 2
4 8 4 2
2 1 2 1
2 1 2 1
4 2 1
x x x x x x

x x
k k
x x
x x x x
 
− + − − + +
− − − −
 
+ = =
− −
 − + + 
 

Theo nh lý Viet:
1 2
x x m
+ = −
và
1 2
1
2
m
x x
− −
=
.
Khi ó
(
)
2

1 2
4 1 2 2
k k m
+ = − + − ≤ −
.
Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 5 CLB Giáo viên tr TP Hu
Vy
1 2
k k
+
t giá tr ln nht b ng -2 khi
1
m
= −
.
Cách 2:
( ) ( )
( )( )
1 2
2 2
1 2
1 2
1 1 2
2 1 2 1
2 1 2 1
k k
x x
x x
 

+ = − + ≤ −
 
− −
− −
 
 

(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2
2 1 2 1 4 2 1 2 1 2 1 1
x x x x x x m m
− − = − + + = − + + + = −

Nên
1 2 1 2
2
k k k k
+ ≤ −  +
ln nht b ng -2.
#ng thc xy ra khi
1 2 1 2
2 1 1 2 1 1
x x x x m

− = − ⇔ + = ⇔ = −
.
Vy
1 2
k k
+
t giá tr ln nht b ng -2 khi
1
m
= −
.
Câu 5. Vit phng trình tip tuyn vi
( )
2 1
:
1
x
C y
x
−
=
−
bit tip tuyn này ct các trc
,
Ox Oy

ln lt ti
,
A B
mà

4
OA OB
=
.
Bài làm:
Cách 1:
Ta có

1
tan
4
OB
OAB
OA
= =
nên h s góc ca tip tuyn
1
4
k
=
hoc
1
4
k
= −
.
Nhng do
( )
2
1

' 0, 1
1
y x
x
= − < ∀ ≠
−
nên h s góc ca tip tuyn là
1
4
k
= −
.
Hoành  tip im là nghim ca phng trình
( )
2
3
1 1
1
4
1
x
x
x
=

− = − ⇔

= −
−


.
T ó ta xác nh c hai tip tuyn tha mãn:
1 5 1 13
;
4 4 4 4
y x y x
= − + = − +
.
Cách 2:
Phng trình tip tuyn vi
(
)
C
ti im
( )
0
0 0
0
2 1
; 1
1
x
M x x
x
 
−
≠
 
−
 

là:
( )
( )
0
0
2
0
0
1 2 1
1
1
x
y x x
x
x
− −
= − +
−
−
hay
( ) ( )
2
0 0
2 2
0 0
2 2 1
1 1
x x x
y
x x

− − +
= +
− −
.
Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 6 CLB Giáo viên tr TP Hu
Ta xác nh c t!a  giao im ca tip tuyn vi các trc to :
(
)
2
0 0
2 2 1;0
A x x− + ,
( )
2
0 0
2
0
2 2 1
0;
1
x x
B
x
 
− +
 
 
−
 

.
T gi thit
4
OB OB
=
, ta có
( )
2
2
0 0
0 0
2
0
2 2 1
2 2 1 4
1
x x
x x
x
− +
− + =
−
( )
2
0
0
0
1
1 4
3

x
x
x
= −

⇔ − = ⇔

=

.
T ó ta vit c hai tip tuyn là
1 5
4 4
y x
= − +
và
1 13
4 4
y x
= − +
.
Cách 3:
Gi s$
(
)
(
)
;0 , 0;
A a B b
vi

0
ab
≠
.
Vi gi thuyt
1
4 4 4
4
b
OA OB a b a b
a
=  = ⇔ = ± ⇔ = ±
.
#ng thng i qua hai im
,
A B
có dng
: 1
x y
a b
∆ + =
hay
:
b
y x b
a
∆ = − +
.
#ng thng
:

b
y x b
a
∆ = − +
tip xúc
(
)
C
ti im có hoành 
0
x
khi và ch khi h sau có
nghim
0
x
:
( )
( )
( )
( )
2
0
0
0
0
1
*
1
2 1
**

1
b
a
x
I
x
b
x b
x a
−

= −

−


−

= − +

−


T
(
)
*
suy ra
1
0

4
b b
a a
− <  =
.
H
(
)
I
tr% thành
( )
0
2
0
0
0
0
0
0
0
1 1
3
13
4
1
1
4
5
2 1
1

2 1
1
4
1 4
1 4
x
b
x
x
x
x
b
x b
b x
x
x
−

=



= −

=



−
= −

 

⇔ 

 
−
−

 
=
= − +
= +

 

−
−


.
Vy có hai tip tuyn tha mãn:
1 5
4 4
y x
= − +
và
1 13
4 4
y x
= − +

.
Câu 6. Tìm
m
  th hàm s
3
2
y x mx
= + +
ct trc hoành ti im duy nht.
Bài làm:
Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 7 CLB Giáo viên tr TP Hu
Cách 1: Phng trình hoành  giao im ca  th hàm s ã cho vi trc
Ox
:
3 2
2
2 0
x mx x m
x
+ + = ⇔ + = −
.
Xét hàm s
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
' 2 ' 0 1
f x x f x x f x x
x x

= +  = −  = ⇔ =
.
Bng bin thiên:





Da vào bng bin thiên ta thy yêu cu bài toán
3 3
m m
⇔ − < ⇔ > −
.
Cách 2: #  th hàm s ã cho ct
Ox
ti duy nht mt im ta có các trng hp sau:
TH 1: # th hàm s ã cho không có cc tr hay là hàm s luôn ng bin (do
1 0
a
= >
) trên

2
' 3 0 0
y x m x m
⇔ = + ≥ ∀ ∈ ⇔ ≥

.
TH 2: # th hàm s có hai cc tr cùng du
2

' 0
3 3
m m
y x x
= ⇔ = − ⇔ = ± −
vi
0
m
<
.
Hai giá tr cc tr là:
1 2
2 2
2 ; 2
3 3 3 3
m m m m
y y
= + − = − −

3
1 2
4
. 4 0 3 0
27
m
y y m
 = + > ⇔ − < <
.
Vy
3

m
> −
là nh&ng giá tr cn tìm.
Câu 7. Tìm trên  th
2 1
3
x
y
x
−
=
+
hai im
,
A B
sao cho
A
và
B
i xng nhau qua im
(
)
1; 2
M
−
.
Bài làm:
Hàm s ã cho xác nh và liên tc trên khong
(
)

(
)
; 3 3;
−∞ − ∪ − +∞
.
Cách 1: G!i t!a  hai im thuc  th cn tìm là
( )
2 1 2 1
; , ; , 3
3 3
a b
A a B b a b
a b
− −
   
≠ −
   
+ +
   
.
3
+'
+'
-'
+'
x -' +'
0
1
0-
+-

Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 8 CLB Giáo viên tr TP Hu
Vì
,
A B
i xng nhau qua
(
)
1; 2
M
−
nên
M
là trung im ca
AB
, do ó:
( )
2.1 2
2 4 2
2 1 2 1 2 1 2 1
8 2 4
2. 2 4
3 3 3 3
a b a b
a b a b
a b a b
ab a b
a b a b
+ = + =
 

+ = =  = −
 
 
⇔ ⇔ ⇔
  − − − −

= − = −  =
+ = − + = −
 
 
+ + + +
 
.
Vy các im cn tìm là
(
)
(
)
4;1 , 2; 5
A B
− −
hoc
(
)
(
)
2; 5 , 4;1
A B
− −
.

Câu 8. Tìm
m
  th hàm s
(
)
4 2 2
2 1
y x m x m
= − + +
có ba im cc tr to thành ba nh
ca mt tam giác vuông.
Bài làm:Tp xác nh:
D
=

.
#o hàm
(
)
3
' 4 4 1 .
y x m x
= − +
( )
3
2
0
' 0 4 4 1 0
1
x

y x m x
x m
=

= ⇔ − + = ⇔

= +

.
Hàm s có 3 cc tr iu kin cn là
' 0
y
=
có 3 nghim phân bit. #iu này xy ra khi và ch khi
1 0 1
m m
+ > ⇔ > −
.
Khi ó
(
)
(
)
' 4 1 1
y x x m x m
= − + + +
i du qua các im
0,x 1,x 1
x m m
= = − + = +

nên
hàm s có 3 cc tr ti 3 im này.
Vi
1
m
> −
 th hàm s có 3 im cc tr là
(
)
(
)
(
)
2
0; , 1; 2 1 , 1; 2 1
A m B m m C m m
− + − − + − −
.
Cách 1:
,
A Oy B
∈
và
C
i xng nhau qua
Oy
nên tam giác
ABC
cân ti
A

, tc là
AB AC
=
,
nên tam giác ch có th vuông cân ti
A
.
G!i
M
là trung im ca
(
)
0; 2 1
BC M m
 − −

Khi ó, tam giác
ABC
vuông cân
2
BC AM
⇔ =
(ng trung tuyn b ng n$a cnh
huyn)
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
2
2
2

2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0
m m m m m m m m m
⇔ + = + + = + ⇔ = + + = + ⇔ = + ⇔ =

(do
1
m
> −
).
Cách 2:
ABC
vuông cân.
Ta có:
(
)
(
)
4
2 2
1 1
AB AC m m
= = + + +
và
(
)
2
4 1
BC m
= +
.

Theo nh lý Pytago ta có:
( )
4
2 2
1 0 1
2 1 1
1 1 0
m m
AB BC m m
m m
+ = = −
 
= ⇔ + = + ⇔ ⇔
 
+ = =
 
.
So vi iu kin
1
m
> −
ta c
0
m
=
.
Cách 3:
ABC
vuông cân
Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015

Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 9 CLB Giáo viên tr TP Hu
( )
( )
2
2 4 3 2
0
. 0 1 2 1 0 4 6 3 0
1

m
AB AC m m m m m m m
m
=

⇔ = ⇔ − + + − − − = ⇔ + + + = ⇔

= −


Cách 4: S$ dng góc
ABC
vuông cân
(
)
0
cos , 45
BA BC⇔ =
 
, t ây tìm c
0

m
=
.
Câu9. G!i
(
)
1 ,
B
B x D
>
là giao im ca
( )
3 2
4 16
:
3 3
C y x x
= − +
và ng thng
: 4x 3y 16 0
d
+ − =
. Xác nh t!a  tr!ng tâm
G
ca
ABC
∆
. Bit
A
thuc trc hoành,

ABC
∆

vuông ti
A
,
C d
∈
và ng tròn ni tip
ABC
∆
có bán kính b ng 1.
Bài làm: T!a  giao im
,
B D
là nghim ca phng trình
3 2
4 16 16 4
3 3 3
x
x x
−
− + =

(
)
(
)
(
)

2 2
4 4 1 4 0 4, 1
x x x x x x x
⇔ − − = − ⇔ − − = ⇔ = = ±
(vì
1
B
x
>
)
( )
20
4;0 , 1;
3
B D
 
 −
 
 
hoc
(
)
1;4
D
.
Cách 1:
4 16
:
3 3
d y x

= − +
. Nhn thy
d
to vi
Ox
mt góc

mà
4
tan
3

= −

4
tan
3
ABC
 =

hay
4
3
AC
AC a
AB
=  =
vi
0
AB a

= >
.
Do
1
r
=
nên
( )
2 2
4 16 4
3 0 3
3 9 3
p S a a a a a a a a a
= ⇔ + + + = ⇔ − =  =
.
Vi
(
)
3 1;0
a A
= 
hoc
(
)
7;0
A
.
( ) ( )
4
1;0 , 1;4 2;

3
A C G
 

 
 
, trng hp này
C D
≡
hay
C
thuc  th
(
)
C
.
( ) ( )
4
7;0 , 7; 4 6;
3
A C G
 
−  −
 
 
.
Do bài toán không yêu cu
C D
≠
nên c 2 trng hp u tha mãn.

Cách 2:
Vì
(
)
;0 ;
A Ox A a C d
∈  ∈
cùng vi iu kin
16 4
. 0 ;
3
a
AB AC C a
−
 
= 
 
 
 
nên
4
AB a
= −
,
16 4 5
, 4 ,
3 3 2
a AB BC CA
AC BC a p
− + +

= = − =
là n$a chu vi.
Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 10 CLB Giáo viên tr TP Hu
ABC
∆
vuông ti
1 1 16 4
. 4
2 2 3
ABC
a
A S AB AC a
−
 = = −
.
Vi
1 16 4 1 16 4 5
4 4 4
2 3 2 3 3
ABC
a a
S pr a a a
 
− −
= ⇔ − = − + + −
 
 
, do
1

r
=
.
4 3 1
a a
⇔ − = ⇔ =
hoc
7
a
=
.
* Vi
( ) ( )
4
1 1;0 , 1;4 2;
3
a A C G
 
=  
 
 
.
* Vi
( ) ( )
4
7 7;0 , 7; 4 6;
3
a A C G
 
=  −  −

 
 
.
Vy
4
2;
3
G
 
 
 
hoc
4
6;
3
G
 
−
 
 
là t!a  cn tìm.
Câu 10. #nh
m
 hàm s
3 2
3
y x x mx m
= + + +
luôn ng bin trên


.
Bài làm: Hàm s ã cho có tp xác nh
D
=

.
Ta có:
2
' 3 6
y x x m
= + +
.
Cách 1: Hàm s luôn ng bin trên
' 0,
y x
⇔ ≥ ∀ ∈
 
thì phi có
' 0
∆ ≤
, tc là
9 3 0
m
− ≤

hay
3
m
≥
.

Vy vi
3
m
≥
thì hàm s luôn ng bin trên

.
Cách 2: Hàm s ng bin trên
' 0,
y x
⇔ ≥ ∀ ∈
 
thì phi có
2
3 6
m x x
≥ − −
.
Xét hàm s
(
)
2
3 6
g x x x
= − −
trên

và có
(
)

(
)
' 6 6, ' 0 1
g x x g x x
= − − = ⇔ = −
.
Bng bin thiên:





Da vào bng bin thiên suy ra:
(
)
, 3
m g x x m
≥ ∀ ∈ ⇔ ≥

.
-'
-'
3
-
+ 0
+'
-1
-'
g(x)
g'(x)

x
Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 11 CLB Giáo viên tr TP Hu
Câu 11. Chng minh r ng h!
( )
(
)
1
:
m
m x m
C y
x m
+ +
=
+
luôn tip xúc vi mt ng thng c nh.
Bài làm:
Cách 1: Gi s$
(
)
m
C
luôn tip xúc vi ng thng
y ax b
= +
. Khi ó h phng trình sau có
nghim vi m!i
m
:

(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
1
1
2
1
1
,
4
1
1 2 1 1 1 0,
1

m x m
m
m a x m am b
ax b
x m
x m
m
m
a
a
x m
x m
m
am m b
x m
am m b
a m
m
m
a
x m
a
a m b a m b m
b
 + +

+ − = + − +
= +



+
+
 
⇔
 
 
=
=
 
+
+



= + + −

+
+ + −

⇔  = ∀ ∈


=

+

=

⇔ − + − + + − = ∀ ⇔


=



Vy,
(
)
m
C
luôn tip xúc vi ng thng
1
y x
= +
.
Cách 2: Ta d( dàng tìm c im c nh ca
(
)
m
C
là
(
)
0;1
A
.
H s góc ca tip tuyn ti
A
là
(
)

' 0 1
y
=
nên tip tuyn ti
A
có phng trình
1
y x
= +
.
Vy,
(
)
m
C
luôn tip xúc vi ng thng
1
y x
= +
.
Cách 3:Gi s$
(
)
0 0
;
M x y
là im mà không có ng nào ca h!
(
)
m

C
i qua
(
)
( ) ( )
0
0 0 0 0 0 0 0
0
1
1
m x m
y x y m x y x m x
x m
+ +
 = ⇔ + − = − ≠ −
+
vô nghim vi m!i
m
.
( )( )
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0
0 0 0 0 0 0
1 0
1
0
0 1

01
x y
y x
x y x
x y x
xx y x x y x

+ − =


= +





− ≠
⇔ ⇔ ≠ ⇔ = +






=+ − − = −



Ta d( dàng chng minh c
(

)
m
C
luôn tip xúc vi ng thng
1
y x
= +

Vy,
(
)
m
C
luôn tip xúc vi ng thng
1
y x
= +

Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 12 CLB Giáo viên tr TP Hu
Câu 12. G!i
M
là im thuc  th
(
)
3 2
: 3 2
C y x x
= − +
có hoành 

1
M
x
≠
. Tip tuyn ti
M
ct  th
(
)
C
ti im th hai
N
(khác
M
), tip tuyn ti
N
ct  th
(
)
C
ti im th hai
P
(khác
N
). G!i
1
S
là din tích hình phng gii hn b%i  th
(
)

C
và ng thng
MN
,
2
S
là
din tích hình phng gii hn b%i  th
(
)
C
và ng thng
NP
. Tính t s
1
2
S
S
.
Bài làm:
Thc hin phép bin i tnh tin:
1
x X
y Y
= +


=

. Trong h trc mi ng cong

(
)
C
có phng
trình
3
3
Y X X
= −
.
M
là im thuc
(
)
C
có hoành 
0
M
X m
= ≠
, không mt tính tng quát có
th coi
0
m
>
.
Tip tuyn ti
M
có phng trình:
(

)
(
)
(
)
(
)
2 3 2 3
3 3 3 3 3 2
y m X m m m m X m
= − − + − = − − .
Hoành  giao im
N
ca tip tuyn ti
M
và
(
)
C
là nghim ca phng trình:
(
)
(
)
(
)
2
3 2 3
3 3 3 2 2 0 2
X X m X m X m X m X m

− = − − ⇔ − + = ⇔ = −
vì
X m
≠
.
Tip tuyn ti
N
có hoành 
2
X m
= −
có phng trình:
(
)
(
)
(
)
(
)
2 3 2 3
12 3 2 8 6 12 3 16
y m X m m m m X m
= − + + − + = − +
Hoành  giao im
P
ca tip tuyn ti
N
và
(

)
C
là nghim ca phng trình:
(
)
(
)
(
)
2
3 2 3
3 12 3 16 2 4 0 4
X X m X m X m X m X m
− = − + ⇔ + − = ⇔ =
vì
2
X m
≠ −
.
Din tích hình phng gii hn b%i  th
(
)
C
và ng thng
MN
là:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )

( )
3 2 3 2
1
2 2
4
4
3 2 3
2
2
3 3 3 2 2
27
3
4 4
m m
m m
m
m
m
m
S X X m X m dX X m X m dX
X m
m
X m m X m dX m X m
− −
−
−
= − − − + = − +
 
−
 

= − + − = + − =
 
 
 
 
 


Din tích hình phng gii hn b%i  th
(
)
C
và ng thng
NP
là:
( )
( ) ( )
4 4
2
3 2 3
2
2 2
3 12 3 16 2 4
m m
m m
S X X m X m dX X m X m dX
− −
= − − − − = + −
 

Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 13 CLB Giáo viên tr TP Hu
( ) ( )
( )
( )
4
4
4
3 2 3
4
2
2
2
2 6 2 2 2 108
4
m
m
m
m
X m
X m m X m dX m X m m
−
−
 
+
 
= + − + = + + =
 
 
 

 


Vy
4
1
4
2
27
1
4
108 16
m
S
S m
= =
.
Câu 13. Tìm
m
  th hàm s
3 2 3
3 3
y x mx m
= − + có hai im cc tr
A
và
B
sao cho tam
giác
OAB

có din tích b ng 48.
Bài làm:
Cách 1: Ta có:
2
' 3 6
y x mx
= −
. Hàm s có 2 cc tr khi và ch khi
' 0
y
=
có 2 nghim phân bit
(
)
0
m
≠
và i du qua mi nghim
0
x
=
hoc
2
x m
=
.
Khi ó hàm s có hai im cc tr
(
)
(

)
2 3
0;3 , 2 ;
A m B m m
− .
Nhn xét:
A
thuc
Oy
nên
(
)
3
3 , , 2
A
OA y m d B OA m
= = = và
48
OAB
S
=

3 4
1
3 2 48 16 2
2
m m m m
⇔ = ⇔ = ⇔ = ±
tha mãn iu kin bài toán.
Cách 2: # hàm s có hai cc tr khi và ch khi

' 0
y
=
có nghim phân bit và i du qua mi
nghim, ngh"a là phi có:
2
'
0 36 0 0
y
m m
∆ > ⇔ > ⇔ ≠
.
Vi
0
m
≠
thì hàm s có cc i
(
)
1 1
;
A x y
và
(
)
2 2
;
B x y
.
Trong ó:

(
)
(
)
1 2
' ' 0
y x y x
= =
và
2 2 2 2
1 1 2 1
2 3 , 2 3
y m x m y m x m
= + = +

( ) ( )
( )
( )
( )
3
2 2
2 1 2 1
4
3
2 2
4 3
2 1 2 1 1 2
4
3
48 . 96

4 1
3
1 4 . 96 4 . 3 96
4 1
OAB
m
S x x y y
m
m
x x m x x x x m
m
∆
−
= ⇔ − + − =
+
−
⇔ − + = ⇔ + − − =
+

Hay
( )
2
2 4
2 3 96 16 2
m m m m
− = ⇔ = ⇔ = ±
.
Câu 14. Tìm giá tr tham s
m
∈


sao cho  th
(
)
3
: 3 2
C y x x
= − +
và ng thng
(
)
2
y m x
= +
gii hn hai hình phng có cùng din tích.
Bài làm:
Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 14 CLB Giáo viên tr TP Hu
Phng trình hoành  giao im:
(
)
3
3 2 2 2
x x m x x
− + = + ⇔ = −
hoc
1 , 0
x m m
= ± ≥
. #iu

kin
d
và
(
)
C
gii hn 2 hình phng:
0 9
m
< ≠
.
G!i
1
S
và
2
S
ln lt là din tích các hình phng nhn c theo th t t trái sang phi.
d
qua
A
khi
1
m
=
(tc là
d
qua im un).
Khi ó,
1 2

4
S S
= =
.
+ Nu
1 2
0 1: 4
m S S
< < > >
.
+ Nu
1 2
1 9 : 4
m S S
< < < <
.
Nu
9 1 2;1 4
m m m
>  − < − + >
.
Khi ó:
( )
2
3
1
1
3 2 2
m
S x x m x dx

−
−
= − + − +

;
( )
1
3
2
2
3 2 2
m
S x x m x dx
+
−
= − + − +

. Suy ra
2 1
2 0
S S m m
− = >
.
Vy
1
m
=
tha yêu cu bài toán.
Câu 15. #nh
m

 hàm s
(
)
3 2
3 1 4
y x x m x m
= + + − + nghch bin trong
(
)
1;1
−
.
Bài làm: Hàm s ã cho có tp xác nh
D
=

.
Ta có:
2
' 3 6 1
y x x m
= + + −

Cách 1: Hàm s nghch bin trong khong
(
)
1;1 ' 0
y
− ⇔ ≤
và

1 2
1 1
x x
≤ − < ≤

(
)
(
)
( )( )
1 2
1 2
1 1 0
4
8
8
1 1 0
x x
m
m
m
x x
 + + ≤
≤


⇔ ⇔  ≤ −
 
≤ −
− − ≤




.
Vy vi
8
m
< −
thì hàm s ã cho luôn nghch bin trong khong
(
)
1;1
−
.
Cách 2: Hàm s ã cho nghch bin trong khong
(
)
(
)
1;1 ' 0, 1;1
y x
− ⇔ ≤ ∀ ∈ −
tc là phi có
(
)
2
3 6 1, 1;1
m x x x≤ − − + ∀ ∈ −
Xét hàm s
(

)
(
)
2
3 6 1, 1;1
g x x x x= − − + ∀ ∈ − , ta có
(
)
(
)
' 6 1
g x x
= − +
.
Vi
(
)
(
)
(
)
1;1 1 0 ' 0, 1;1
x x g x x
∀ ∈ −  + >  < ∀ ∈ −
.
Da vào bng bin thiên, suy ra
(
)
m g x
≤

vi
(
)
1;1 8
x m
∀ ∈ − ⇔ ≤ −
.
Vy vi
8
m
≤ −
thì hàm s luôn nghch bin trong khong
(
)
1;1
−
.
Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 15 CLB Giáo viên tr TP Hu
Câu 16. Tìm
m
 khong cách t
1
;4
2
I
 
 
 
n ng thng i qua hai cc tr ca

(
)
(
)
3 2
: 3 2 1 3
m
C y mx mx m x m
= − + + + −
là ln nht.
Bài làm:Hàm s ã cho xác nh trên

.
Ta có:
2
' 3 6 2 1
y mx mx m
= − + +

(
)
m
C
có hai cc tr khi và ch khi
' 0
y
=
có 2 nghim phân bit ng thi i du hai ln qua mi
nghim ó, tc là ta luôn có:
2

0
0
1
3 3 0
m
m
m
m m
≠
<


⇔


>
− >


.
Vi
0
m
<
hoc
1
m
>
thì
(

)
m
C
luôn có 2 cc tr, ng thi hoành  cc tr tha mãn
phng trình
(
)
2
3 6 2 1 0 *
mx mx m− + + = .
Và
( )
( )
( )
2
1 1
1 3 6 2 1 2 2 10
3 3
y x mx mx m m x m
= − − + + +  − + − 
 
, suy ra
( )
1
2 2 10
3
y m x m
=  − + − 
 
do

(
)
*
là ng thng i qua 2 cc tr.
#t
( ) ( )
1
: 2 2 10 : 2 2 3 10 0
3
y m x m m x y m
∆ =  − + −  ⇔ ∆ − − + − =
 

Cách 1:
( )
( )
( )
2
2
2 1
1
;
18 6
2 2 9
1
2 1
2 1
m
d I
m

m
m
+
∆ = = −
− +
− +
+
+

hay
( )
2
1
; 2
3 2 1 1
2 1 2
2
d I
m
∆ = ≤
 
− +
 
+
 
, ng thc xy ra khi
5
2
m
=

.
Vy vi
5
2
m
=
thì
(
)
max ; 2
d I ∆ =
.
Cách 2: D( thy
∆
luôn i qua im c nh
1
;3
2
M
 
−
 
 
vi
m
∀ ∈

.
G!i
N

là hình chiu vuông góc ca
I
lên
∆
, khi ó
(
)
;
d I IN IM
∆ ≤ ≤
, do ó khong
cách t
I
n
∆
b ng
IM
khi và ch khi
IM
⊥ ∆
tc là
)
2 2 5
. 1 .1 1
3 2
IM
m
k k m
−
= − ⇔ = − ⇔ =

.
Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 16 CLB Giáo viên tr TP Hu
Câu 17. Tìm
m
 ng thng
( )
9
: 3
4
d y x
= −
ct  th hàm s
3 2
6 9 3
y mx x mx
= − + −
ti 3
im phân bit
(
)
0; 3 , ,
A B C
−
tha mãn iu kin
B
n m gi&a
A
và
C

ng thi
3
AC AB
=
.
Bài làm:Hàm s ã cho xác nh trên

.
S giao im ca  th ã cho vi ng thng
d
là s nghim ca phng trình:
( )
( )
3 2 2
2
9 9
6 9 3 3 6 9 0 1
4 4
0
9
6 9 0 2
4
mx x mx x x mx x m
x
mx x m
 
− + − = − ⇔ − + − =
 
 
=



⇔

− + − =


#ng thng
d
và  th ã cho ct nhau ti 3 im phân bit
(
)
0; 3 , ,
A B C
−
khi và ch
khi phng trình
(
)
1
có 3 nghim phân bit
(
)
0; 3 , ,
A B C
−
, tc là
(
)
2

phi có hai nghim phân
bit khác 0.
2
0
0
0
9 1 65 1 65
' 9 9 0 1 0
4 4 8 8
1
1
9
9 0
4
4
4
m
m
m
m
m m m m
m
m
m



 ≠
≠



≠



− +
  
 
⇔ ∆ = − − > ⇔ − + + > ⇔ < <
  
 
 
  
  
≠
≠
− ≠
  



 .
G!i
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
B x y C x y

vi
1 1 2 2
9 9
3, 3
4 4
y x y x
= − = −
, trong ó
1 2
,
x x
là hai nghim ca
(
)
2
.
Ta có
(
)
(
)
1 1 2 2
; 3 , ; 3
AB x y AC x y
= + = +
 
và
( )
2 1
2 1

2 1
3
3 3
3 3 3
x x
AC AB x x
y y
=


= ⇔ ⇔ =

+ = +


 
.
Ta có h:
1 1
2 1
1 2 2 2
2
1 2 1 2
3 3
3
2 2
1
6 9 9
3
2 2

4
9 9
4 3 0
9 9
4 4
x x
x x
m m
m
x x x x
m m m
m
m m
x x x x
m m
 

= =
 

=
  =


  

+ = ⇔ = ⇔ = ⇔
  

= −

  

  
− − =
= − = −
  

 

Vy
3
4
m
= −
hoc
1
m
=
tha mãn bài toán.
Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 17 CLB Giáo viên tr TP Hu
Câu 18. Tìm
m
  th hàm s
( )
3
2
1
2 2 1
3 2

x
y m x mx
= − + + +
có hai im cc tr i xng vi
nhau qua ng thng
9 6 7 0
x y
− − =
.
Bài làm:
(
)
2
' 2 2 ' 0 2
y x m x m y x
= − + +  = ⇔ =
hoc
x m
=
.
Hàm s có hai im cc tr
⇔
Phng trình
' 0
y
=
có hai nghim phân bit
2
m
⇔ ≠

.
Khi ó hai im cc tr ca  th hàm s ã cho là:
3
2
1
2;2 , ; 1
3 6
m
A m B m m
 
 
− − + +
 
 
 
 
.
A
và
B
i xng vi nhau qua ng thng
(
)
(
)
d AB d
⇔ ⊥
và trung im
I
ca on thng

AB
thuc
(
)
d
.
Mt vect ch phng ca
(
)
d
là
(
)
2;3
a

.
3
2
4
2; 2
6 3
m
AB m m m
 
= − − + − +
 
 

.

AB
vuông góc vi
( )
3
2
. 0 2 4 3 6 4 0
2
m
d AB a m m m
⇔ = ⇔ − − + − + =
 

( )
3
2
2
0
0
3 4 0 4
2
6 8 0
2

m
m
m
m m m
m m
m


=
=


⇔ − + = ⇔ ⇔ =


− + =


=


Vi
0
m
=
thì
( )
1
2; , 0;1
3
A B
 
−
 
 
suy ra trung im ca
AB
là

1
1;
3
I
 
 
 
.
Thay t!a 
I
vào phng trình ca
(
)
d
, ta c
0 0
=
, suy ra
(
)
I d
∈
. Vy
0
m
=
tha mãn yêu
cu bài toán.
Vi
4

m
=
thì
23 19
2; , 4;
3 3
A B
   
   
   
, suy ra
(
)
3;7
I
.
Thay t!a 
I
vào phng trình
(
)
d
ta c
(
)
(
)
27 42 7 0

I d

− − =  ∉
.
+ Vy
4
m
=
không tha mãn yêu cu bài toán.
+ Vy
0
m
=
tha mãn yêu cu bài toán.
Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 18 CLB Giáo viên tr TP Hu
Câu 19. Xác nh
m
 ng thng
(
)
: 2
d y mx
= −
ct
( )
1
:
3
x
H y
x

−
=
−
ti hai im phân bit
,
M N
sao cho  dài on thng
MN
nh nht.
Bài làm:Phng trình hoành  giao im ca ng thng và  th:

( ) ( )
2
1
2 3 1 7, 3 *
3
x
mx mx m x x
x
−
= − ⇔ − + + ≠
−

Nhn thy
3
x
≠
không phi là nghim ca phng trình
(
)

*
.
#ng thng ct  th hàm s ti hai im phân bit khi và ch khi phng trình
(
)
*
có
hai nghim phân bit
( )
2
0
0
9 1 28 0
m
m
m m
≠


⇔ ⇔ ≠

∆ = + − >


.
G!i
(
)
1 1
;

M x y
và
(
)
2 2
;
N x y
là t!a  giao im ca ng thng và  th. Khi ó
1 1
2 2
2
2
y mx
y mx
= −


= −


và
1 2
,
x x
là nghim ca phng trình
(
)
*
nên
(

)
1 2 1 2
3 1
7
, .
m
x x x x
m m
+
+ = =
.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2
2 2
2 1 2 1 1 2
2
2 2
2 2
1 1 4
9 1
7 1 1

1 4. 9 10 18
MN x x y y x x m x x
m x x m x x x x
m
m m m
m m m m
= − + − = − + −
 
= + − = + + −
 
 
+
   
= + − = + − + +
 
   
   
 
 

#t
1
t m
m
= +
(iu kin
2
t
≥
), suy ra

2 2
2
1
2
m t
m
+ = −
. Khi ó
2
9 10
MN t t
= − . Dùng o
hàm tìm GTNN ca hàm s
( )
2
9 10
f t t t
= − trên các n$a khong
(
]
; 2
−∞ −
và
[
)
2;
+∞
.
Ta tìm c
(

)
(
)
min 2 4
f t f
= =
khi
2
t
=
.
Vi
1
2 2 1
t m m
m
=  + = ⇔ =
.
Vy
MN
nh nht b ng 4 khi
1
m
=
.
Câu 20. Tìm các giá tr dng ca
m
  th hàm s
(
)

(
)
4 2
3 1 3 2
m
y x m x m C
= − + + + ct
trc hoành ti 4 im phân bit và tip tuyn ti im có hoành  ln nht cùng vi 2 trc t!a 
to thành tam giác có din tích b ng 24.
Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 19 CLB Giáo viên tr TP Hu
Bài làm:Phng trình hoành  giao im ca
(
)
m
C
và trc hoành:
(
)
(
)
(
)
(
)
4 2 2 2
3 1 3 2 0 1 3 2 0 *
x m x m x x m
 
− + + + = ⇔ − − + =

 

Vi
0
m
>
thì
(
)
m
C
ct trc hoành ti 4 im phân bit và
3 2
x m
= +
là hoành  ln nht.
Gi s$
(
)
3 2;0
A m +
là giao im có hoành  ln nht và tip tuyn
d
ti
A
có phng trình:
(
)
(
)

(
)
2 3 1 3 2. 2 3 1 3 2
y m m x m m
= + + − + +
.
G!i
B
là giao im ca
d
vi
Oy
, suy ra
(
)
(
)
(
)
0; 2 3 1 3 2
B m m− + +
.
Theo gi thit, tam giác
OAB
vuông ti
O
và
24 . 48
OAB
S OA OB

= ⇔ =

hay
(
)
(
)
2
3 2 18 22 4 48 *
m m m+ + + = .
Xét
(
)
(
)
2
3 2 18 22 4 48, 0
f m m m m m
= + + + − >
.
Ta có
(
)
' 0
f m
>
vi m!i
0
m
>

, suy ra
(
)
f m
ng bin vi m!i
0
m
>
và
2
0
3
f
 
=
 
 
. Do ó
phng trình
(
)
*
có nghim duy nht
2
3
m
=
.
Vy
2

3
m
=
tha mãn  bài.
Câu 21. Tìm t!a  các im trên ng thng
4
y
= −
mà t ó có th k* n  th
(
)
3
: 3 2
C y x x
= − + −
úng hai tip tuyn.
Bài làm:Hàm s ã cho xác nh và liên tc trên

.
G!i
A
là im n m trên ng thng
4
y
= −
nên
(
)
; 4
A a

−
.
#ng thng
∆
qua
A
vi h s góc
k
có phng trình
(
)
4
y k x a
= − −
.
#ng thng
∆
tip xúc vi  th
(
)
C
ti im có hoành 
x
khi và ch khi h phng trình
sau có nghim
x
:
(
)
3

2
3 2 4
3 3
x x k x a
x k

− + − = − −


− + =



(
)
( )
3 2
2
3 2 3 1
3 3
x x x x a
x k

− − = − −

⇔

− + =



có nghim
x

Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 20 CLB Giáo viên tr TP Hu
(
)
(
)
(
)
( )
2
2
1 2 3 2 3 2 0 1
3 3 2
x x a x a
x k

 
+ − + + + =

 
⇔

− + =


có nghim

x
.
Phng trình
(
)
1
tng ng vi
( ) ( )
2
1
2 3 2 3 2 0
x
g x x a x a
= −


= − + + + =

.
Qua
A
k* c hai tip tuyn n
(
)
C
khi và ch khi
(
)
2
có 2 giá tr

k
khác nhau, khi ó
(
)
1
có úng 2 nghim phân bit
1 2
,
x x
, ng thi tha
2 2
1 1 2 2
3 3, 3 3
k x k x
= − + = − +
có hai giá tr
k

khác nhau.
Trng hp 1:
(
)
g x
phi tha mãn có mt nghim b ng
1
−
và nghim khác
1
−
, hay:

(
)
1 0
6 6 0
1
3 2
0
1
2
g
a
a
a
a
 − =
+ =


⇔  = −
 
+
≠
− ≠ −



. Kim tra
(
)
2

thy tha mãn.
Trng hp 2:
(
)
g x
phi tha mãn có mt nghim kép khác
1
−
, hay:
( ) ( )
( )( )
2
2
3 2 8 3 2 0
3 3 2 2 0
3
3 2
3 2 2
1
2
2
a a
a a
a
a
a
a


+ − + =

 + − =
= −
 

 
 
+

+ ≠ −

≠ −


=


.
Kim tra thy
(
)
2
tha mãn. Vy các im cn tìm là
(
)
(
)
1; 4 , 2; 4
A A
− − −
và

2
; 4
3
A
 
− −
 
 
.
Câu 22. Tìm
m
 ng thng
( )
1
: 2
2
d y x
= −
ct
( )
2 5
:
m
mx
C y
x m
+
=
+
ti hai im phân bit

,
A B
có hoành 
1 2
,
x x
tha mãn
2
1 1 2
9 8
x x x
− =
.
Bài làm:Hàm s ã cho xác nh trên khong
(
)
(
)
; ;m m
−∞ − ∪ − +∞
.
Hoành  giao im ca ng thng
d
và
(
)
m
C
là nghim ca phng trình
( )

2
2 5 1
2 4 10 0
2
mx
x x x m x m
x m
+
= − ⇔ − − − = ∀ ≠ −
+
.
#t
(
)
2
4 10
g x x x m
= − − −
.
d
ct
(
)
m
C
ti hai im phân bit
,
A B
khi và ch khi phng trình
(

)
0
g x
=
có 2 nghim phân
bit khác
m
−
, tc là phi có:
Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 21 CLB Giáo viên tr TP Hu
( )
2
161
0
16 161 0
16
0
2 5 0
10
2
m
m
g m
m m
m

>

∆ >

+ >


 
⇔ ⇔
  
− ≠
− ≠




≠ ±



Áp dng nh lý Viet cho
1 2
,
x x
, ta có:
1 2
1 2
1
4
10
4
b
x x
a

c m
x x
a

+ = − =



+

= = −



Xét iu kin bài toán
1
2 2 2
1 1 2 1 1 1 1 1
1
1
1
9 8 9 8 2 0
2
4
x
x x x x x x x x
x
= −

 

− = ⇔ − = − ⇔ − − = ⇔
 

=
 


Vi
1 2
5
1 5
4
x x m
= −  =  = −

Vi
1 2
7
2 4
4
x x m
=  = −  =

Kt hp vi iu kin
161
16
m > −
và
10
2

m ≠ ± .
Vy
5
m
= −
hoc
4
m
=
tha mãn yêu cu bài toán.
Câu 23. Tìm
m

(
)
(
)
(
)
3 2
: 2 1 5 2 2 4
m
C y x m x m x m
= − + + − − +
ct trc hoành ti ba im
phân bit
, ,
A B C
sao cho
,

B C
có hoành  nh hn 1.
Bài làm:
Cách 1: G!i
1 2
,
x x
là hoành  ca
1 2
, ,
B C x x

c+ng là nghim ca phng trình
(
)
0
g x
=
.
Theo bài toán ta có:
( )( ) ( )
1 2 1 2
1 1
1 2 1 2 1 22 2
1 1 0 2
1 1 0
2 2
1 1 0 1 0
1 1 0 2 2 1 0
x x x x

x x
m
x x x x x xx x m m
− + − < + <
 < − <
<
 

 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
− − < − + + >
< − < − − + >
 

 
 

1
1
1
m
m
m
<

⇔ ⇔ < −

< −


Vy
1
m
< −
là giá tr cn tìm.
Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 22 CLB Giáo viên tr TP Hu
Cách 2: Hoành  ca 3 im
, ,
A B C
là nghim ca phng
trình:
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 2
2 1 5 2 2 4 0 2 2 2 0
x m x m x m x x mx m
− + + − − + = ⇔ − − + − =

( )
2
2
2 2 0

x
g x x mx m
=

⇔

= − + − =


Vì hoành  ca
,
B C
nh hn 1 nên gi s$ hai nghim ca
(
)
0
g x
=
là
2
1
2
x m m m
= − − +
,
2
2
2
x m m m
= + − +

.
Vì
1 2
x x
<
nên
1
2 2
2
2
1
1 2 1 2 1
1
x
x m m m m m m
x
<

⇔ < ⇔ + − + < ⇔ − + < −

<


2
2 2
2 0 0
1 0 1 1
1
2 2 1
m m m

m m m
m
m m m m

− + = ≥ ∀ ∈



⇔ − > ⇔ < ⇔ < −
 
 
< −
− + < − +



.
Câu 24. Tìm
m
 trên
( ) ( ) ( )
3 2
2 5
: 1 3 2
3 3
C y x m x m x
= − + − + − −
có hai im phân bit
(
)

(
)
1 1 1 2 2 2
; , ;
M x y M x y
tha mãn
1 2
. 0
x x
>
và tip tuyn ca
(
)
C
ti mi im ó vuông góc vi
ng thng
(
)
: 3 1 0
d x y
− + =
.
Bài làm:Hàm s ã cho có tp xác nh
D
=

.
Ta có:
(
)

2
' 2 2 1 3 2
y x m x m
= − + − + −
.
H s góc ca
: 3 1 0
d x y
− + =
là
1
3
d
k
=
.
Tip tuyn ti im
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
; , ;
M x y M x y
vuông góc vi
d
thì phi có
' 3
y
= −

. Trong ó
1 2
,
x x

là các nghim ca phng trình:
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2 1 3 2 3 2 2 1 3 1 0 1
x m x m x m x m− + − + − = − ⇔ − − − − =
Yêu cu bài toán
⇔
Phng trình
(
)
1
có hai nghim
1 2
,
x x
tha mãn
1 2
. 0
x x
>

( ) ( )
2
3
' 1 2 3 1 0
1
3 1
1
0
3
2
m
m m
m
m

< −

∆ = − + + >
 
⇔ ⇔
 
− −
− < < −
>
 



Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015

Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 23 CLB Giáo viên tr TP Hu
Vy,
3
m
< −
hoc
1
1
3
m
− < < −
tha mãn bài toán.
Câu 25. Tìm các giá tr ca
m
  th hàm s
2
4 2
6
2
m
y x mx= + + −
có 3 cc tr
, ,
A Oy B C
∈

sao cho din tích t giác
OABC
b ng 52.
Bài làm:Hàm s ã cho xác nh trên


.
Ta có:
(
)
2
' 2x 2
y x m
= + .
Nu
0
m
=
thì
3
' 4y x
= 
Hàm s ã cho ch có 1 cc tr.
Nu
0
m
>
thì
2
2 0
x m
+ > 
Hàm s ã cho ch có 1 cc tr.
Nu
0

m
<
thì
2
2 0
x m
+ =
có hai nghim phân bit khác 0, do ó hàm s ã cho có 3 cc tr.
Vy
0
m
<
hàm s ã cho có 3 cc tr
2 2
3
0;6 , ;6
2 2 4
m m m
A B
 
 
− − − −
 
 
 
 
và
2
3
;6

2 4
m m
C
 
− −
 
 
.
Ta có:
2
6
2
m
OA = −
và
2
2
m
BC
= −
. Din tích t giác
OABC
b ng 52 khi và ch khi
.BC
52
2
OA
=
, tc là
2

6 .2 104
2 2
m m
− − =
.
Cách 1: Bình phng 2 v và rút g!n ta c phng trình:
5 3
24 144 21632 0
m m m
− + + =

(
)
(
)
4 3 2
8 8 40 320 2704 0 8
m m m m m m
⇔ + − + − + = ⇔ = −
tha mãn. D( dàng chng minh c
vi m!i
0
m
<
thì:
(
)
(
)
4 3 2 2 2 2

8 40 320 2704 40 8 40 2704 0
m m m m m m m m
− + − + = + − + + >
.
Cách 2:
( )
2
2
6 .2 104 12 . 104 *
2 2 2
m m m
m− − = ⇔ − − =

#t
, 0
2
m
t t
= − >
, khi ó
(
)
*
tr% thành
(
)
4
12 4 . 104 **
t t− =
TH1:

4
4
0 3 12 4 0
t t
< ≤  − >
, phng trình
(
)
**
tr% thành:
(
)
4
12 4 . 104
t t− = . D( dàng chng
minh c
(
)
(
)
4
12 4 . 104 0
f t t t
= − = <
vi m!i
(
4
0; 3
t


∈

.
TH2:
4
4
3 12 4 0
t t
>  − <
, phng trình
(
)
**
tr% thành:
(
)
4
4 12 . 104
t t− = .
Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 24 CLB Giáo viên tr TP Hu
Xét hàm s
(
)
(
)
4 5
4 12 . 104 4 12 104
f t t t t t= − − = − − vi
4

3
t >
, ta có:
(
)
(
)
4 4
' 20 12 4 5 3
f t t t
= − = −

Vì
4
3
t >
nên
(
)
4
5 3 12 ' 0
t f t
− >  >
, vi m!i
4
3
t >
, suy ra
(
)

f t
là hàm s ng bin trên
khong
(
)
4
3;
+∞
; hn n&a
( )
(
)
(
)
4
3
lim 0, lim 0
x
x
f t f t
+
→+∞
→
< > 
 th hàm s
(
)
f t
ct trc hoành ti
mt giao im

(
)
4
3;t
∈ +∞
và
(
)
2 0
f
=
, do ó phng trình
(
)
4
4 12 . 104
t t− = có nghim duy
nht
2
t
=
, tc
2
2
m
− =
hay
8
m
= −

.
Chú ý: Bài toán có th hi: Tìm các giá tr ca
m
  th hàm s có 3 cc tr
, ,
A Oy B C
∈
sao
cho tam giác
ABC
vuông ti
A
.
Gi ý:
Cách 1:
2
;
2 4
m m
AB
 
= − − −
 
 

và
2
;
2 4
m m

AC
 
= − −
 
 

.
Tam giác
ABC
vuông ti
A
khi
AB AC
⊥
hay
. 0
AB AC
=
 

2 2 3
0 1 0
2 2 4 4 2 8
m m m m m m
  
    
⇔ − − − + − − = ⇔ + =
  
    
    

  
. Phng trình này có nghim
2
m
= −
(tha
0
m
<
) hoc
0
m
=
(không tha).
Vy
2
m
= −
tha  bài.
Cách 2: G!i
I
là trung im
BC
, do tam giác
ABC
vuông cân ti
A
nên
2
BC

AI =
, tc là
2
4 2
m m
= −
hay
4 3
0 1 0 2
16 2 2 8
m m m m
m
 
+ = ⇔ + =  = −
 
 
.
Câu 26. Tìm
m

(
)
(
)
(
)
3 2 2 2
: 4 5 3 12 8 7 8
m
C y x m x m m x m m

= − + + + + − − ct trc hoành ti ba
im phân bit có hoành  lp thành cp s cng.
Bài làm:Hàm s ã cho xác nh và liên tc trên

.
Hoành  giao im ca trc hoành và
(
)
m
C
là nghim ca phng trình:
Chuyên  KHO SÁT HÀM S Luyn thi i hc 2015
Giáo viên: LÊ BÁ BO 0935.785.115 25 CLB Giáo viên tr TP Hu
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
3 2 2 2
2
2
4 5 3 12 8 7 8 0
3 5 7 8 0
3 5 7 8 0
x m x m m x m m
x m
x m x m x m
g x x m x m
− + + + + − − =

=

 
⇔ − − + + + = ⇔

 
= − + + + =


(
)
m
C
ct trc hoành ti 3 im phân bit khi và ch khi phng trình
(
)
0
g x
=
có hai nghim
phân bit khác
m
, tc là phi có:
( )
( )
2
2
1 17
1
0

9 2 7 0
2
*
0
2 2 8 0
7 1 17
9 2
m
m m
g m
m m
m

−
≠ < −

∆ >


+ − >
 

⇔ 
 
≠

− + + ≠

+




< ≠



Vi iu kin
(
)
*
thì
(
)
m
C
ct trc hoành ti 3 im phân bit có hoành 
1 2 3
, ,
x x x
lp
thành mt cp s cng.
# thun tin trong vic tính toán, gi s$ các nghim lp thành cp s cng ca phng
trình hoành  là
0 0 0
, ,
x d x x d
− +
vi
d
là công sai. Khi ó ng thc sau luôn úng:

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 2 2
0 0 0
0
3
2
2 2 2 2
0
2 3 2
0 0
3 2
4 5 3 12 8 7 8
4 5 3
4 5 4 5 7 4 1
3 12 8 3 7 8 .
3 3 3
3 8 .
1
10 51 6 55 0 5
11
10

x m x m m x m m x x d x x x x d
m x
m m m m
m m x d m m
m m x x d
m
m m m m
m
− + + + + − − = − − − − +
+ =

 + + + +
 
⇔ + + = − ⇔ + = −
 

 

+ = −



=

⇔ + − − = ⇔ = −


= −



Kt hp vi iu kin
1 17
1
2
m
−
≠ < −
hoc
7 1 17
9 2
m
+
< ≠ . Vy
1
m
=
hoc
5
m
= −
hoc
11
10
m
= −
tha mãn yêu cu bài toán.
Câu 27. Tìm
m
  th hàm s

(
)
(
)
(
)
3 2 2 2
2 1 4 1 2 1
y x m x m m x m
= + − − + + + +
ct trc hoành
ti ba im phân bit có hoành  nh hn 3.
Bài làm:
Cách 1:S giao im ca  th ã cho vi trc hoành là s nghim ca phng trình:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 2 2 2 2
2 1 4 1 2 1 0 2 2 1 0
x m x m m x m x x mx m
 
+ − − + + + + = ⇔ − + − + =
 