Phân tích phổ đáp ứng của hệ chịu kích động tham số ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC' Ọ llố c GIA IIÀ NỘI I RUNG TÀM KHOA IKK rựNIIIHN
I RUNG TAM I lộp TÁC ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ QUỐC GIA
VẢ BỒI duOn g Cơ h ọc VIỆN cơ HỌC
HOÀNG THỊ LAN IỈUƠNÍỈ
PHÂN TÍCH PHỔ ĐÁP ỨNG CỦA
IIỆ CHỊU KÍCH ĐỘNG THAM s ố NGÂU NHIÊN
Chuyên ngành: ('(1IIỌC ÚN(Ỉ DỤNG
Mã số: 2.02.02
LUẬN VÃN THẠC SỸ
c o
IIỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TSKH NGUYỄN TIÊN KHIÊM
HÀ NỘI - 2003
2
Tòi xin cam đoan dây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, tínli
toán trong luân văn đều là trung thực và chưa từng (tược ai cổng bố trong b;ìt kỳ
một đề tài nào.
'T 1 / • *»
lác giá
LỜI CAM ĐOAN
Hoàng Thị Lan Hương
3
MỤC LỤC
Bìa
Lời cam đoan
Muc lục
Mở dầu
Chương 1
1.1 Các khái niệm cơ bản về xác suất, ngẫu nhiên và dao động ngẫu nhiên
1.1.1 Các khái niệm về lý thuyết xác suất

1.1.1.1 Neẫu nhiên và tiền định
1.1.1.2 Đại lượng ngẫu nhiên và các đặc tnrng xác suất
1.1.2 Các đặc trưng sô' của đại lượng ngẫu nhiên
1.1.2.1 Kỳ vọng
1.1.2.2 Phương sai của dại lượng ngẫu nhiên
1.1.2.3 Hàm tương quan và hiệp phương sai
1.1.2.4 Các tính chất của kỳ vọng và phương sai
1.1.3 Qúa trình ngẫu nhiên
1.1.3.1 Qúa trình ngẫu nhiên dừng
1.1.3.2 Qúa trình Ergodic
1.1.3.3 Biểu diễn phổ của quá trình ngẫu nhiên dừng
1.1.3.4 Qúa trình ngẫu nhiên chuẩn
1.1.3.5 Qúa trình ồn trắng
1.1.3.6 Cơ sở lý thuyết của quá trình Markov
1.2 Mô phỏng quá trình ngẫu nhiên
1.2.1 Mỏ phỏng đại lượng ngẫu nhiên theo mật dộ xác suất
1.2.1.1 Mò phỏng đại lượng ngẫu nhiên phân bố đều trên đoạn [ 0. 1 I
1.2.1.2 Mô phỏng đại lượng ngẫu nhiên liên tục
1.2.2 Mò phỏng quá trình ngẫu nhiên theo mật độ phổ
1
2
Ị
3
5
8
8
8
8
9
11

11
11
12
12
13
13
13
13
15
15
16
17
17
17
19
20
4
1.3 Các phương pháp nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên 22
1.3.1 Hệ tuyến tính ">■>
1.3.1.1 Dao động của hệ tuyến tính chịu tác dộng của quá trình ngẫu 22
nhiên không dừng.
1.3.1.2 Dao động của hệ tuyến tính chịu tác động cùa quá trình ngầu 24
nhiên dừng.
1.3.2 Một số pliương pháp nghiên cúu dao động của hệ phi tuyến 26
1.3.2.1 Phương pháp quá trình Markov 26
1.3.2.2 Phương pháp tham số bé 7 8
1.3.2.3 Phương pháp tuyên tính hoá tưưng dương 29
1.3.2.4 Phương pháp trung bình hoá 30
Chương 2: Phương pháp tham số bé trong phân tích phổ hệ phi tuyến bé 33
chịu kích động tham số ngẫu nhiên

2.1 Hệ chịu kích động ngoài ngẫu nhiên 33
2.1.1 Nghiệm tiệm cận 33
2.1.2 Hàm mật độ phổ 36
2.1.3 Ví dụ 38
2.2 Hệ chịu kích động tham số ngẫu nhiên 45
2.2.1 Xây dựng nghiệm tiệm cận 45
2.2.2 Giải phương trình sai phân 47
2.2.3 Phổ đáp ứng của hệ chịu kích dộng tham số ngẫu nhiên 52
2.2.4 Ví dụ 55
Kết luận chung 62
Tài liệu tham khao 63
5
MỞ ĐẦU
Việc nghiên cứu ảnh hưởng của các tải trọng ngẫu nhiên lên các hệ cơ học
phi tuyến là một vấn đề vừa mang tính truyền thống vừa hiện đại, có cả tính cấp
thiết về khoa học lãn thực tiễn cao. Tính khoa học được biểu hiện ở chỗ các hệ
phi tuyến dưới tác dộng ngẫu nhiên vẫn còn là một bài toán hắc búa chưa giải
quyết được triệt để như các hệ tuyến tính, các phương pháp nghiên cứu vẫn chỉ áp
dụne có hiệu quả cho các hệ cụ thể. Ý nghĩa thực tiễn là ử chỗ đại đa số các tác
dộng dù là tái trọng bên ngoài hay tính chất bên trong của hệ cư học thực tế đều
mang tính ngẫu nhiên nhiều hơn là tiền định.
Những nghiên cứu gần đây chủ yếu vẫn xoay quanh việc xác định các đặc
trưng “một thời điểm” của đáp ứng như một quá trình ngẫu nhiên, như là eiá trị
trung bình, phương sai hay mật độ xác suất dừng. Việc phân tích các đặc trưng
“hai thời điểm” như hàm tương quan, mật độ phổ của đáp ứng trong các hệ phi
tuyến còn chưa được quan tâm nghiên cứu một cách đúng mức. Đề tài được chọn
nằm trong hướng nghiên cứu này.
Mục đích của dề tài: Phát triển phương pháp tiệm cận trong việc phân tích
phổ hệ kích động tham số ngẫu nhiên với mục đích khám phá ảnh hường cùa
kích dộng tham số ngẫu nhiên đến phổ của đáp ứng. Cụ thể là xây dưng hàm mật

độ phổ của đáp ứng hệ một bậc tự do dựa trên một dạng mô phòng quá trình ngãi!
nhiên dừng với hàm mật độ phổ cho trước và khai triển của nghiệm theo tham sô
bé.
Có nhiều cách mô phỏng quá trình ngẫu nhiên dựa trên hàm mật độ phổ.
Trong luận văn này sử dụng một cách mô phỏng ở đó quá trình ngầu nhiên dime
dược biểu diễn như một quá trình điều hoà với tẩn số và pha là những đại lượng
lì CÂU nhiên với mật dộ xác suất cho trước. Kiểu mô phỏng này cho phép ta phát
trièn những công cụ đã biết khi nghiên cứu các hệ với kích dộng diều hoà. Cụ thể
6
là phương pháp khai triển Pliu-riê hoặc phương pháp tham số bé - những phương
pháp chính được áp dụng trong luận văn này.
Đối tượng chính là hệ một bậc tự do chịu kích dộng tham số ngẫu nhiên
dừng. Hệ chịu kích động tham số thông thường là rất phức tạp ngay cả trons
trường hợp tuyến tính với kích dộng điều hoà. Tuy nhiên những nghiên cứu gÁn
dày về các hệ chịu kích động tham số chủ yếu tập trung vào vấn đề ổn định của
nghiệm dừng. Khi kích động tham số là ngẫu nhiên có rất ít công trình đặt vấn
dề xây dựng các đặc trưng xác suất của nghiệm, đặc biệt là các đặc trưng hai thời
điểm như hàm tương quan và mật đổ phổ. Trong luận văn này dặt ra bài toán xây
dựng hàm mật dộ phổ đáp ứng của hệ một bậc tự do dưới kích động tham số là
quá trình ngẫu nhiên dừng. Tuy nhiên, sau khi xây dựng phương pháp tiệm cận
cho hộ phi tuyến tổng quát, tác giả cũng chỉ dừng lại ở việc phân tích phổ dáp
ứng của hệ tuyến tính chịu kích động tham số ngẫu nhiên. Việc phân tích phổ
dáp ứng của hệ phi tuyến bé chịu kích động tham số ngẫu nhiên, một bài toán vô
cùng phức tạp, sẽ là phương hướng nghiên círu tiếp theo của tác giả.
Nội dune chính của luận văn được chia làm hai chương. Chương một trình
bày những khái niệm về dại lượng và quá trình ngẫu nhiên, các phương pháp mồ
phỏng giải tích cũng như trên máy tính; tổng quan về các plurơng pháp nghiên
cứu dao động ngẫu nhiên của các hệ cơ học một bạc tự do. Đây chủ yếu là những
kiến thức mà tác giả dã nhận được qua các bài giảng về lý thuyết quá trình ngẫu
nhiên (Thầy Nguyễn Duy Tiến), dao động ngẫu nhiên (Thầy Nguyễn Cao Mệnh)

trong chương trình cao học tại Trung Tâm hợp tác đào tạo và bổi dưỡng Cơ học.
Chương hai giành cho việc phát triển phương pháp tham số bé dể xây dựng hàm
mật độ phổ đáp ứng của các hệ một bậc tự do. Phần một của chương hai chú yếu
là đè trình bày phương pháp và những kết quả của llìíiy hướng dẫn trong việc
nghiên cứu các hệ ôtônôm chịu kích dộng ngoài ngẫu nhiên. Phần hai cùa
chương này là kết quả mới của tác giả trong việc phát triển ý tướng cùa neười
7
lurớng dần cho hệ chịu kích động tham sô ngẫu nhiên một cách tổng quát. Phần
ba. chương hai giành cho việc nghiên cứu phổ dáp ứng cùa hệ tuyên tính chịu
k ích động tham số ngẫu nhiên dừng.
Kết quả chủ vếu của luận văn này chứa trong mục hai và ba cùa chương hai.
Trong dó, mục hai là cơ sở phương pháp luân và mục ha trình bày kết quả nghiên
cứu cụ thể cùng với ví dụ tính toán số.
Việc tính toán sô được thực hiện trên máy tính bằng phán mềm MATLAB
và MAPLE.
Tác già xin chân thành cảm ơn thày hướng dẫn, các bạn cùng lớp cao học và
cán bộ phòng Chẩn đoán kỹ thuật, Viện Cơ học đã tận tình giúp đỡ trong việc
hoàn thành luận văn này.
8
CHƯƠNG 1
1.1 CÁC KHÁI NIỆM Cơ BẢN VÊ XÁC SUẤT, NC.Ẫll nhiên
VÀ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN
1.1.1 Các khái niệm về lý thuyết xác suất
l.lA .lN g ầ u nliiẻn và tiền định.
Một biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra được gọi là biến cố ngẫu
nhiên.
Một biến cố có thể biết trước một cách chắc chắn nó có thể xảy ra hay
không thể xảy ra khi thực hiện phép thử thì được gọi là biến cố tiển định.
Nếu việc thực hiện nhiều lần phép thử giống nhau luôn cho các kết quả
như nhau thì quá trình được gọi là qúa trình tiền định. Nếu mọi điều kiện

trong tầm kiểm soát của người thử nghiệm được giữ nguyên mà các kết quả
thu được lại khác nhau thì quá trình dược gọi là quá trình ngẫu nliièn.
Xác suất của một biến cố là con số đặc trưng cho khả năng khách quan
xuất hiện biến cô đó khi thực hiện phép thử, nó được định nghĩa theo hai cách:
*. Định lìỉỊlũa của R.Voìì Mises: Thực hiện // phép tliir, biến cô A xuất hiện K
lẩn, thì xác suất xuất hiện biến cố A ký hiệu P(A) là giới hạn của tần suất
K
f\A) = — khi số phép thử n tăng vô hạn, hay
11
P{A) = W\r\—
(1.1.1)
n
*. Định Hglũa của Kolmogorov: Cho s là biến cố chắc cliắn xuất hiện trong
phép thử. Tập hựp s chứa tất cả các phần tử hay các kết cục có thể xảy ra cua
phép thừ. Nếu các kết cục có thể có cùa phép thử được ký hiệu là £ ,,,£ ,2

£n thì
s = { ị. .ị2

t n }. Một tập hợp A c s được gọi là một biên cố. Nếu A không
chứa bất kỳ một kết cục nào thì ta có tập hợp trống (ị). Biến cô bù (biến có
đòi).ĩ cùa A là tập hợp các phần tử thuộc s mà không thuộc A. Nếu A xày ra
9
till A sẽ không xảy ra. A,u A2 xảy ra nêu hoặc A, hoặc A2 hoặc cả A,và A2
xay ra. A,n A2 xảy ra nêu cá Aị và A2 cùng dồng thời xảy ra. A,n A:= ộ till
hai biến cỏ này được gọi là xung khấc.
Xác suất của biến cố A là một số thực thoả mãn các tiên đề sau:
P(A)> 0
*. P(S) =1
* p

I K
.* = 1
= p
( 1. 1.2 )
(1.1.3)
(1.1.4)
Từ dó suy ra :
P(Ã )= l-P(A)
P(A,+A2)= P(A,)+P(A2)-P(A,.A2)
Nếu Aị và A2 xung khắc nhau thì
P(A,+A2)= =P(A,)+P(A2)
Xác suất có điều kiện: là xác suất để Aị xuất hiện khi biết biến cố A2đă xảy ra
P(A|.A2) =P(A|)P(A2/A|) (1.1.5)
Nếu A| và A2 là hai biến cố độc lập thì
P(A|.A2) = P(A,)P(A2) (1.1.6)
LI.1.2 Đại lượng ngấu ttliiên và các đặc trung xác suất
*. Hàm phân pliối xác suất của các đại lượnẹ nẹcỉu nhiên
Cho dại lượng ngẫu nhiên X, ta gọi hàm phân phối xác suất của X là
F(x) = P(X< x)
Rõ ràns hàm phân phối xác suất tlioả mãn các diều kiện sau đAv:
1. 0 < F(x) < 1; Nếu X ị> x2 thì F ( X |) > F(Xị)
2. F(-oo) = lim F(x) = 0 ; F(+00) = lim F(\) = 1
X —> —or t - 4 * r
3. P( X |< X < x2) = F(x2) - F(X|)
10
*. ỉ tùm mật íỉộ xác suất
Hàm mật độ xác suất là đại lượng dược định nghĩa bởi còng thức sau:
M . Ị t o ũ ầ ĩ ỉ ĩ i Ề ĩ i . m ĩ ì (1.1.7)
i,-*° Ax í/í
Nói cách khác p(x) là xác suất để đại lirựng ngẫu nhiên X nhận giá trị X. Do

đó ta có:
ỉ. F(.x)= jp(.t)rfv ( 1. 1.8)
2. ịp(x)dx = 1 (1.1.9)
-ao
3. P(xí(X(x2)= ]r(x)dx (1.1.10)
•TI
Ngoài đại lượng ngẫu nhiên một chiều như trên, trong thực tế ta còn gặp các
dại lượng ngẫu nhiên hai, ba , n chiều. Xét đồng thời hai đại lượng ngẫu
nhiên X và Y, Hàm phân phối xác suất đồng thời được định nghĩa như sau:
F(x,y) = P(X< X, Y< y)
Một độ xác suất dồng thời là đại lượng:
P(x -< X < -r + Ax,y -< Y < >> + Av) _ õ2F(.x,y) . , , .
p(x,v)= lim —

—

—— —

— —— =

— — (1.1.1 I)
At-»o,Av—>0 / \ r /\ \ ’ d x d v
=> F(.x,y) = J J/H-V,y)dx.(ỉy ( 1. 1. 12)
-rc - r
Các tính chất:
1. 0 < F(x,y) < 1
2. F(-oo,y) = 0
3. F( X,- oo) = 0
4. F( -oo,+oo) = 0
5. F( x.+oo) = F,(x)

6. F(+oo,y) = F2(y)
7. F (+ o o ,+ c o ) = 1
8. P(X<x.y,<Y<y2) = F(x,y2) - F(x,y,)
P( x,<X<x2, Y<y) = F( x2,y) - F( x,.y)
p [(.\,y) € D ] = ịp { x ,y )d x .d y-
1.1.2 Các đặc trưng sô của đại lượng ngẫu nhiên
Với các dại lượng ngẫu nhiên, việc biết các đặc trưng số của đại lượng ngẫu
nhiên có ý nghiã quan trọng giúp mô tả về mặt định lượng đại lượng ngẫu
nhiên dang được xét khi không có đủ diều kiện để biết được luật phân phối
cùa nó.
1.1.2.1. Kỳ vọng
Gia sử p(x) là hàm mật độ xác suất của đại lirựng ngầu nhiên X, Kỳ vọng toán
học của đại lượng ngẫu nhiên X là:
D
Nếu X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì
F(x,y) = F,(x).F2(y)
p(x,y) = pi(x).p2(y)
(ỉ. 1.13)
1.1.2.2. Phương sai của âạì lượng ngầu nhiên X
12
Khi X có giá trị trung bình zero thì d[,y] = ơ: = eỊa'2], ơ = y [ D [ x ] gọi là độ
lệch chuẩn, nó phản ánh mức độ phân tán của X xung quanh giá trị trung bình
cua nó.
Ị. 1.2.3. Hàm tưong quan và hiệp phương sai
Xét hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y. Kỳ vọng toán học của tích XY là:
4 T +"C
Rxv = j Ị{x-mx)(y-m y)p(x,y)dxdy
- r
-T
Rvv được gọi là hàm tự tương quan của X và Y ( mô men tương quan).

Nếu X và Y là hai đại lượng độc lập nhau, nghĩa là p(x,y) =Pi(x)p2(y) thì
+TC I rr
Rry = |/ ;|(-V)(-V - mt )dx J/^( v)(.i' - /»», )(iy =
-7? - T
Vậy mô men tương quan của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y bàng không và
neười ta gọi X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên khổng tương quan.
Hệ số tương quan được định nghĩa như sau:
r = —3- (1.1.18)
Phương sai và I11Ô men tương quan của hai dại lượng ngẫu nhiên có thể viết ờ
dưới dạng hiệp phương sai sau:
‘ n p p R
(l.l.l1))
'D,
Rr<
X R„~
0,._
lượng ngÃu nhiên sẽ
X,
■ •
Rv ,
Vi
• •
<
T,
• •
\ 1
• • K V
. 1.2 0)
TronÍZ dó /?,, = D x
1.1.2.4.CÓC tíỉiỉì chát cùa kỳ vọng toán học và phương sai

111, = c
13
với c = const => !11CX= cinx ;
inx+y = 111,+ 111,
D[cX] = C-D[x]: d[x + y]= D[x ]+ />[}'] + 2/?„ ; n\ = mxmy+Rx>
Nêu X và Y là hai dại lượng ngẫu nhiên dộc lập thì:
d[X + }']= d[x ]+ /J>[> ]; mxy= nixmy
d[XY] = D[x ]d[y]+ m;D[Y]+nf}D[x]
1.1.3 Qúa trình ngẫu nhiên:
Qúa trình neảu nhiên là một hàm số mà giá trị của hàm tại một đối số cho
trước là một đại lượng ngẫu nhiên. Thông thường ta chọn đối số là thời cimi t.
vậy quá trình Iigẫu nhiên X(t) có thể có nhiều thể hiện X|(t). Sau đây ta xét các
uiá thiết đơn giản hoá của quá trình ngẫu nhiên
1.1.3.1. Qúa trình ngẫu Iihiên dừng
Đó là quá trình mà các đặc trưng xác suất không phụ thuộc vào thời eian.
nehĩa là:
mx = const, ơx= const (1. 1.21)
D[x] = const (1.1.22)
Nếu ký hiệu t và t; là hai thời điểm khác nhau thì x(t) và x(t/) là hai đại lirợne
Iinủu nhiên khác nhau và hàm tương quan là
Đối với quá trình ngẫu nhiên dừng thì hàm tương quan không đổi khi thay dổi
một lượng t2
Rx(t.t/) = Rx(t+t2,t/+t2) = const
Đật t:= - 1 ta có
Rx(t.t/) = Rx( t - t /,0) = Rx(T) (1.1.23)
1.1.3.2.QÚC1 trình Ergodic: Là quá trình dừng mà chí cần căn cứ vào một biểu
hiện . ta có thể xác định đúng được trung bình IÌ1X và hàm tương quan Rx(t).
Vậy với X là quá trình Ergodic thì:
14
1)1

x = lim ịx(t)dt (II .24)
^
n
I 1
R (t)= lim — Í.y(/)y(/ + r )(it (1.1.25)
r_».r
T J
' 0
I
T
1.1.3.3.ĩìiểii diễn phổ của quá trình ngầu nhiên dừng
Xét một hàm tuần hoàn f(t) có chu kỳ T, nó có thê được biểu diễn dưới dạng
Fourier
00
f{ t) = Ỵ^cn exp{inco.t} với 0 J =2n/T ( 1. 1.26)
/»=-00
trone đó
I 2
c„ = — J/'(/)expỊ- iiươt}(it (1. 1.27)
T ị
2
Tập hựp các biên độ cn được gọi là phổ rời rạc của hàm f(t). Gia sử T->00, khi
dó l(t) được biểu diễn dưới dạng tích phân Fourier
/ ( 0 = ị r ( ( 0)c\p{i(Di\(hư (1.1.28)
-rr>
Trong đó
c
F((ủ) = — ịfụ )exp {~ icot}d t (1.1.29)
2* i
Hàm F((0 ) là hàm mật độ phổ của hàm f(t).

Xét quá trình ngÃu nhiên dừng x(t) với hàm tirơng quan Rx(t), áp đụng
phép biến đổi Fourier ở trên cho hàm Rx(x) ta dược
Rr( r) = (co)exp{ico.t}dcứ = 2 |Sr(rư)cos<yrí/r (1.1.30)
- T O 0
S x(co) = — í/?r (r)exp{- icor}(ỈT = — |7ív(r)cosryrc/r (1.1.31)
2 n n ỉ
15
SN(CD) được tzọi là hàm mật độ phổ của quá trình ngẫu nhiên. Đê hiểu (lược V
Iiiihĩa của hàm Sx((o), ta xét trường hựp tới hạn với 1 = 0
T>
R,( 0) = D [x] = Js,(íu)í/ft> (1.1.32)
- T
1.1.3.4. Qúa trình ngấu nhiên chiiáìi hay Gauss
Qúa trình ngẫu nhiên chuẩn là quá trình mà hàm mệt độ phổ (hay hàm
tưctng quan) chí cho dú thông tin dê xây dựng tập hợp vô hạn các pliAn phối
xác suất. Hàm mật độ xác suất của quá trình ngÃii nhiên chuẩn n chiều có
dạna :
V.
/H-tp.v, .t „ ) = L== jr exp j - Ỳ É Ắ‘" l xi ."'.H-V, - / » , ) [ (1.1.33)
p ; r ) % \ l 2 J
Trong đó
k i-ơị2 khi i = j
kjj=[(Xj - iĩii)(X j - Iĩìj)] = E [(X ịX j iTijirij)] k h i i * j (1.1.34)
lạo nên nia trân cấp n X n của các mô men trung tam, I k|j I là định thức tương
ứng và |ijj là các phần tử của ma trân nghịch đảo.
Hàm mật độ xác suất của quá trình ngău nhiên chuắn 1 chiều và 2 chiều
kliônc tương quan có trung bình zero tương ứng là:
1 ỉ Vl 1
MJ|)= exn ~ T M
v2/rcr, Ị 2ơ;J

, ,
_
1
__
j xị_ .rị
p{.T,,-v2) = —


exp - - ~ ~ ĩ
2/r cr,ơ \ [ 2ơ, 2 ơ \
(1.1.35)
Hàm tương quan bậc cao cùa quá trình ngẫu nhiên chuẩn dược biếu diễn qua
hàm tương quan bậc hai theo các phương trình sau:
= /?;M( r,,r : , r , , r J) = = 0 (11.36)
R\u(r,.r:, r,) = - ri) + )R:Ar\ - r<) ■+ Hri - r: )
16
Sư dung phép biến đổi trên rồi áp dụng phép biến dổi Fourier ta nhận dược
còne thức biểu diễn các liàin mật độ phổ bộc cao cua lịuá trình chuẩn qua hàm
mật độ phổ bộc hai.
1.1.3.5. Qua trình ồn trắng:
Qúa trình ngẫu nhiên chuẩn dừng có mật độ phổ không đổi dược gọi là
quá trình ồn trắng. Khi dó hàm mật độ phổ và hàm lifting quan tương ứng là:
s .((ú) = —— R (r ) = [^— exp{/wr}<7ft> = rr:f>(r) ( 1. 1.37)
2n ' J 2n
- T
ơ: là cường dộ của ồn trắng, ô(t) là hàm denta Đirăc.
Về mặt vật lý thì quá trình ồn trắng là không có thực vì có phương sai IỚI1 vô
cùne và quá trình ngẫu nhiên này là không liên tục.
1.1.3.6. Cơ sỏ lý thuyết cùa quá trình Markov.
Một qúa trình ngẫu nhiên dược gụi là quá trình Markov nếu

P[x(tn) < xn I x(tn.ị) = xn.„ x(t,) = X,] = P[x(tn) < xn I x(tn,)]
Với mọi tn > tn.| t2 > t|, nghĩa là chỉ có giá trị xn , ngay trước xn là cỏ ảnh
hường tới xác suất của xn, hay dáng điệu thống kê của quá trình Markov trong
urơne lai dược xác định duy nhất bởi hiện tại, không phụ thuộc vào quá khứ.
Về plurưng diện vạt lý đặc điểm đó của quá trình ngÃu nhiên tương đương với
quá trình không có quá khứ. Đối với quá trình Markov, bất kỳ một phAn phối
nhiều chiều nào cũng được biểu diễn qua hai chiều
P(xn. tn: xn.„ x0, t„)=p (xn, tn I xn.,. tn.,)P (xn.,, tn., I x„.2. tn,2) p(x„. t0)
trona dó các xác suất có điều kiện dược gọi là các xác suất chuyển tiếp.
Xét ba thời điểm t0. T, t. Tại t„ quá trình có toạ độ xn. Khi dó p tuím then
plurơiig trình Chapmen - Kolmogorov:
r
p{.\j/ x„ ,/(,)= Ịp(xj/z,r)pịz,r/,vn, rn )(lz
r
Ụuá trình Markov thoá màn tính ch Át
17
cUrực eọi là quá trình khuyếch tán. Đối với quá trình khuyêcli tán. từ phương
trình Chapman-Kolmogorov có thê thiết lập phương trình cho mật độ xác sinít
chuyển /?(.r,/|.r0,/0) ở dạng phương trình được gọi là phương trình Fokker-
Plank-Kolmogorov (FPK).
ẼR + QỉỉPl _ 1 - 0
dt ôx 2 dx2
trong dó a.b là các hệ số khuyếch tán.
A /-0 Ạ/ A I-O ù r
1 nrờng hợp nhiều chiều của phương trình FPK là
dp ^ Ỷ dcì.P Ị ỷ ý ^ v = 0
Phương trình FPK được giải với điều kiện đàu
p{x,l\x9,t0) = ỗ(x - ,rn) = f] ô(x, - Xlfí).
18
1.2 MÔ PHỎNG QUẢ TRÌNH N(;ẨU NHIÊN

1.2.1 Mỏ phỏng đại lưựng ngảu nhiên theo Iiiật độ xác suất
1.2.1.1.Mô phỏng dại lượng ngẫu nhiên phân bố đểu trong đoạn p ì, / /
Việc mô phỏng đại lượng ngẫu nhiên với luật phân phối bất kỳ luồn xuất phát
từ 111« phỏng đại lượng ngẫu nhiên phân phối đều trên đoạn [0 . 1]. Ký hiệu cx
là dại lượng ngẫu nhiên phân phối đều trên đoạn [0 , 1J. Ta đã biết a phân
phối dều trên đoạn [0 ,1 ] trong dạng thể hiện a cần lấy vô hạn chữ sô' có
nghĩa. Việc tổ chức thí nghiệm, lập lại các bảng số ngẫu nhiên đều khône
thế giải quyết được vấn đề trên (kể cả chế tạo các thiết bị đặc biệt). Bởi vậy
cách làm thừa Iihận hơn cả là dựa vào một thuật toán nào dó để thu dược các
thể hiện của a. Người ta dùng số giả ngẫu nhiên thay cho a. Thuật toán
thường dùng nhất là như sau:
(k
-1 V
■xi+k - T.bịXị+ị+ỡ mod/5; a,■=-—;/ = 1,2,3, (1.2.1)
0=0 ) p
Irons đó br 0 là những số nguyên, k cố định, p là số nguyên dirơng. X|. x:
xk.| là những sổ nguyên dương không virựt quá p. Xj)k là phần clư của phép chia
eiá trị cùa biểu thức trong ngoặc dơn từ (1.2.1) cho p. Dùim hai thuật toán để
mò phỏng đại lượng ngẫu nhiên a phân bố đều trên đoạn [0 . I ]
I. Theo quan hệ MOD: x0= 1, xn= xn.| M mod p với M và p dược cho hỡi hiine
sau:
19
M
P
5"
- 2„
5'7
I'2
ẩL
23

2 + 1
3
l()20
23 2 - 1
23
ÌOV 1
l05 + 3 1010
217+ 3 2
5'
2-5
6.469.693.231
2”
5
2^0
1.050.005
2'-
1.000.003
551.003
551.023
400.003
200.003
20.405
20.005
10.405
10.005
10.003
6.263
4.005
4.003
2.003

203
41.475.557
2*
5.308.871.296
2.Theo quan hệ lấy phần thập phãn
« 0 = 2 m
< w = { M an }
trong dó M là số nguyên, dương đủ lớn, m là số ngăn nhị phân cùa một ô nhớ
trẽn IBM dùng để biểu diễn phần định trị cùa một số.(Thực hành M là 515 hay
5 '7. Ill là 36 hay 40). Còn ký hiệu { Ị là phép lây phần thập phân của biểu thức
nam trone ngoặc.
20
ỉ.2.1.2 .Mô phỏng dại lượng ngẫu nhiên liên tục.
Gia sử dại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất p(x) với X e (a. b)
Công thức mô phỏng cho X là:
X = F 1 (a) ( 1.2.3)
Trong dó a là đại lượng ngẫu nhiên phAn bô déti trên đoạn [ 0, 1 ] và r '(.) là
liàm ngược của phân phối F(x). Một dạng khác:
ịp (x )d x-a (1.2.4)
ơ
Thuật toán sau suy ra từ phương plìáp kliir dùng I11Ô phỏng dại lượng
nhiên có hàm mật độ xác suất cho bởi công thức sau :
(1.2.5)
Jg(.r)í/.T
- 0 0
g (x ) > 0 , V X
Để đơn giản ta giả thiết g(x) < M V X G [ a, b ].
Ta có thuật toán sau :
1. Lấy a )5 a 2 là hai đại lượng ngẫu nhiên phân phối đều trên đoạn [ 0. 1 ].
2. X0 = a+ CX|( b - a ), Y = a 2M

3. Nếu Y > g(X0) thì chọn ot|, ot2 khác và quay lại (2), ngược lại lấy X = X0.
Điều kiện (3) khó khăn trong thực hành bởi phép kiểm tra lôgic này tạo ra số
lần lặp không biết trước cho thuật toán.
*. Một vài CÔMỊ thức mỏ phỏng các pliân phổi thường gặp :
Phàn phôi chuán N(0,1)
= r i») (1.2.6)
20)1
Phàn phối xl
21
n = 2m, xl = -2ln(Ị_[a <) (1.2.7)
A-I
n = 2m + \\xl = — ln(cr,ar2 ^af(„_n/2)- lna„,tl)/, COS2 2ĩra{ntJVĨ
Phán phối Rayleigh :
Do 9Ĩ = y[xl nên S.IĨ = y[^2\n(ơ,«2) ( 1.2.8)
Phàn phôi Maxwell
Do n = -ịx\ => // = Tf-Jrux^~-\n(cr/).(:os: lna2 (1.2.9)
1.2.2 Mò phỏng quá trình ngầu nhiên theo mật độ phổ
Xét quá trình ngẫu nhiên dừng X(t) với giá trị trung bình zero và hàm mật độ
phổ Sx(w). Điều đó có nghĩa là :
/mt = ('V(O) = 0;ự(t)X(t + r)) = /?t (r) = |5 't(rư)exp{- ì(0t \ 1(0 = 2 jS t (fí;)cosr>mỉY()
- * 0
I +TO 4 *
Sv(íy) = — j/?v(r)exp{/Vưr}íyr; ơ] =RX{0)= \Sx((o)do) = 2 jSx(co)d(ơ (1.2.10)
2/T -00 n
Ký hiệu (.) là biểu thị giá trị trung bình và R x( t ) là hàm tương quan cùa dại
lượng ngẫu nhiên X(t).
Qúa trình ngẫu nhiên nói trên có thể đưực viết dưới dạng:
X(t) 3 x„(t) = ơ r y[ĩ cos(Q/ + (p) ( I . 2 . I I )
trong đó Q là biến ngẫu nhiên của hàm một độ xác suất :
Pn(co) = 2 Sx(co)/ơx2

to <=( 0.0 0 ), và (p là biêìi ngẫu nhiên phân bố đều trong khoảng [ 0. 2n ].
Ta có
(A n(/)) = ơx(y[2 cos£ìtcosợ)-'/ĩsiníìt.íimtp) =
= ơ\V2(cosQ/)(cosự>) - <TV \/2(sin í2/)(sin </>) = 0
bới vì:
22
1 I
(cos</>) = (sin </?) = - jcos</W<y> = jsin (/\i<p = 0
2/r n 2/T n
Neoài ra
-r
I
ĨIỊ
{.Vn(/)A'n(/ + r)) = 4 1.9 (co)dco— jcos(rt)/ + ợ?)cos{o>t I- <p + on )d(p
0 ^ n
r I 2»
= 4 15 (rư)í/rt> — |[cos(2rư/ + 2ỹ> + ft>r) + coso>r\l(p
0 0
r
= 2 J.s (co) COS cord Cl) = R x( j )
0
Do vạy X0(t) là quá trình ngẫu nhiên dừng với hàm tương quan Rx(t) và hàm
mật độ phổ Sx(co).
Ta có : cos(Q/ + <p) = -ỉ-[e',!ỉ,+ợ,) +e'í(I1'+*”]. Do vậy quá trình ngẫu nhiên X(t) có
thè dược biểu diễn dưới dạng :
X(t) = p0ein, + Q0e in' (1.2.12)
Trong đó pn = - ơ J 2 e"r,ọn = p’ = - ơ -Jĩe iỉp. Q iìa trình ngãu nhiên X (t) với giá
trị trung bình zero và hàm mật độ phổ Sx(co) có thể được biêu diễn dưới clạtm
( 1.2 . 12)
23

1.3CÁC PHƯƠNÍỈ PHÁP NGHIÊN cứ u VỂ DAO ĐỘN(Ỉ
N(ỉẪU NHIÊN
1.3.1 Hệ tuyên tính
1.3.1.1. Dao dộng cùa hệ tuyên tínìi chịu tác (Ĩộỉĩg cùa quá trình ngầu
nhiên không dừng.
/. iiệ một bậc tự do
Xét hệ một bủc tự do có khới lượng m, hệ số cản c và độ cứng k chịu tác dộng
cua lực ngẫu nhiên F(t). Phương trình dao động của hệ có dạng:
Trong dỏ V ,(t) là nghiệm tổng quát của plurơng trình dồng nhất, nó plụi thuộc
vào điều kiện ban đầu:
mv+CV+kv = F(t) hay \'+ 2n\'+coịv = /ự)
Trong đó:
(1.3.2)
m IJÌ m
Nghiệm của phương trình (1.3.1) có dạng:
v(t) = v,(t) + v2(t)
(1.3.3)
vn = v(0);vn = v(0)
\\(t) là Iiehiệm riêng của phương trình có vế phai:
(1.2.5)
Tronti dó:
hụ - r) = —exp{- Ii(t - r)}sin fơ(t r)
co
riiay biến t = t - T, phương trình (1.3.6) có dạng:
(1.3.6)
(1.3.7)
Ciía trị 111111 LI bình và liàni tương quan của v(t) có dạng:
24
III
= exp I

tit
I
ni , .
I I .
V . f ' I ) •
/77 (cosr'V + - sill O il) 4 SIIU'V + -twpj /7( / rỊsinroU r)ni,(tr
(') (0 '
A’, (/./ ) c\pj
11(1
+ / )!
D[v„](cosftrf-t sinrrtf)(cos Í 4 -sinot! ) +
O) (!)
sill rtV sin ftV
+ — D
CO
1 ' 1
4-—- f fexp{— //(r — r)}sin rc>(/ — r)exp{— /;(/ - r )(Sin r>>(/ - r )/?, (r .r )(inir
O) ^ J
1 0 0
2. H ị ' nhiêu bậc tự (lo
Xét một hệ dao động, phương trình dao động cỉưới dạng ma trận:
A/V+ /)»•■»■ ẰY = FU) (I .1.8)
Trontỉ dỏ: V = (Vị. v2

vn)' ; F = (f;|, F2

Fn)'
Là các véc tư chuyển vị và véc tơ lực tác (lụng lên hệ. Các thành phần r,(t) là
các hàm ngẫu nhiên với các dặc tiling ngẫu nhiên (lã biết, M. K. D là các ma
trận khối lượng, độ cứng, lực cản . Chúng là các ma trộn vuông cấp 11.

Nuhiệni riêng cùa (1.3.8) dưới dạng ma trận:
troníi đó:
V-
hự,T) =
t
>•(/) = ịlrtt. r)Fịr)(lr
0
huụ,T) lln(r.T) . /?,„(/, r)
(I.V9)
\'ới hM (i = 1.2 11) là thành phần cùa ma trận h.
Véc tơ trung bình cùa v:
C.
t
MyỤ) = ịh{t.T)mỉ ịr)(lr.
0
tronII đo 111,(1 ) là véc tơ trung bình ciia F
Các tliànli phán của ma trộn tương quan:
2S
(1.3.1 I)
} = X £ jj/? ;/(/.r)//(m(/,r )R,, (T. r v/r.i/r
/ = 1
m - \
0 0
Nêu F,(t) là các hàm ngẫu nhiên dạng ồn trắng till R,, (
1.1
) SỊnid(i.r ) vơi o l;'\
hàm D irac. Ta có
^v, = (1.3.12)
l - \ m = \ ft
1.3.1.2.1)ao động của hệ tuyên tíììh chiu tác dộng cim lực ngầu nhiên dừng.

I . ìỉệ một bậc tự do.
Xét dao clộne cùa hệ tuyến tính, hệ số hằng:
v+ hì v+ cOyV = Ii(í) (1.3.13)
trong dó u(t) là hàm ngẫu nhiên dừng ergotlic với hàm phổ đã biết Su(o>). Đối
với quá trình ngẫu nhiên dừng, giá trị trung bình là hằng số và hàm tương
quan chi phụ thuộc vào hiệu T = t/ - t giữa hai thời điểm lâv tương quan. Gỉa
thiết u(t) là quá trình qui tâm mu = 0, với diều kiện đầu v„ = v„ = 0. Việc giá
thiết u(t) là quá trình qui tâm không làm ảnh hương đến tính tổng quát của bài
toán. Hàm truyền của hệ được clịnli nghĩa bằng:
Hựo)= |/;(/)exp {- ịo)t\ỉt (1.3.14)
- r
Đặt V = V - m thì phương trìn h (1.3.13) có dạng:
V + 2/7 V t- coỊỹ = ĩl(t) (1 .3.1 5)
I làm tưưng quan cùa V
/?,, ( r) = ê[v(/).v(/ + r)] = E J //(r,);/(/ r, )í/r, j/;( r , )//(/ + r - r, )</r,
- r í
- j j/;( r,)/;(r, )E[n(r - r, )//(M r - r, )}/r,.<7r: (1.3.16)
y f
» / ị f
= [ J/?(r, )/í(r: )/?„„( r-1-r, - r : )</r,(/r: