Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống

Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
LỜI NÓI ĐẦU 1
CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CHO SINH ẢNH FRACTAL 4
CHƯƠNG 2 : CÁC THUẬT TOÁN DỰA VÀO HỆ HÀM LẶP 32
CHƯƠNG 3: SINH ẢNH DỰA VÀO HỆ THỐNG ĐỘNG(CHAOS) 36
CHƯƠNG 4: MÔ TẢ CHƯƠNG TRÌNH 54
CHƯƠNG 5: ỨNG DỤNG FRACTAL 57
LỜI CẢM ƠN 60
KẾT LUẬN 61
TÀI LIỆU THAM KHẢO 63
LỜI NÓI ĐẦU
Có thể nhiều người khi lần đầu nghe tới khái niệm Fractal thì đều
không khỏi cảm thấy bỡ ngỡ đặc biệt là đối với những người không thuộc
chuyên ngành. Tuy nhiên nếu đi vào tìm hiểu sơ qua thôi chúng ta sẽ thấy
trong thực tế của cuộc sống, hầu như tất cả mọi lĩnh vực của cuộc sống đều có
những ứng dụng từ khái niệm này. Từ các lĩnh vực yêu cầu cập nhật thông tin
liên tục như thị trường chính khoán cho đến các lĩnh vực của cuộc sống
thường nhật như y tế, thời trang , nghệ thuật… Ngay trong một chương trình
mà chúng ta đều sử dụng hàng ngày đó là chương trình Windows Media
Player thì Fractal cũng được áp dụng. Điều đó cho thấy phạm vi ứng dụng của
phương pháp Fractal là dường như không giới hạn.
Fractal là tên gọi của thuật toán đồ họa. Nói một cách dễ hiểu thì thuật
toán này xây dựng nên những hình ảnh từ những đối tượng giống nhau (tương
tự như thuật toán đệ quy, khi một đối tượng được định nghĩa bằng chính nó).
Khi xem những hình ảnh được xây dựng bằng thuật toán Fractal, người
dùng có thể nhận ra những đối tượng xuất hiện nhiều lần trong hình ảnh,
nhưng chính điều này sẽ tạo nên tính chất trừu tượng và vẻ đẹp cho hình ảnh
đó.
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 1
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
Sinh ảnh bằng phương pháp Fractal là một trong 3 ứng dụng lớn của lý

thuyết hình học Fractal hiện nay: ứng dụng sinh ảnh Fractal, ứng dụng nén ảnh
Fractal, ứng dụng trong nghiên cứu khoa học cơ bản. Cùng với sự phát triển
vượt bậc của máy tính cá nhân trong những năm gần đây, công nghệ giải trí
trên máy tính bao gồm các lĩnh vực như trò chơi, anmation video…nhanh
chóng đạt đỉnh cao của nó. Công nghệ này đòi hỏi sự mô tả các hình ảnh của
thế giới thực trên máy PC với sự phong phú về chi tiết và màu sắc với sự tốn
kém rất lớn về thời gian và công sức. Gánh nặng đó hiện nay đã được giảm
nhẹ đáng kể nhờ các mô tả đơn giản nhưng đầy đủ của lý thuyết fractal về các
đối tượng tự nhiên. Với hình học fractal khoa học máy tính có trong tay một
công cụ mô tả tự nhiên vô cùng mạnh mẽ. Ngoài các ứng dụng trong lĩnh vực
giải trí, hình học fractal còn có mặt trong các ứng dụng tạo ra các hệ đồ họa
trên máy tính.
Các hệ này cho phép người sử dụng tạo lập và chỉnh sửa hình ảnh, đồng
thời cho phép tạo các hiệu ứng vẽ rất tự nhiên, hết sức hoàn hảo và phong phú,
ví dụ hệ phần mềm thương mại Fractal Design Painter của công ty Fractal
Design. Hệ này cho phép xem các hình ảnh dưới dạng hình họa vectơ cũng
như sử dụng các ảnh bitmap như các đối tượng. Như đã biết, các ảnh bitmap
được hiển thị hết sức nhanh chóng, thích hợp cho các ứng dụng mang tính tốc
độ, các ảnh vector mất nhiều thời gian hơn để trình bày trên màn hình(vì phải
được tạo ra bằng cách vẽ lại) nhưng đòi hỏi rất ít vùng nhớ làm việc. Do đó ý
tưởng kết hợp ưu điểm của hai loại đối tượng này sẽ giúp tiết kiệm nhiều thời
gian cho người sữ dụng các hệ mềm này trong việc tạo và hiển thị các ảnh có
độ phức tạp cao.
Chính vì phạm vi rộng lớn của Fractal và vì thời gian nghiên cứu không
cho phép nên trong tài liệu này, chúng em chỉ xin đi vào những khái niệm căn
bản của bộ môn này. Mặc dù vậy chúng em cũng hy vọng rằng tài liệu sẽ giúp
người đọc hiểu hơn và thấy được nhiều điều thú vị ở phương pháp sinh ảnh
Fractal nói riêng cũng như là bộ môn này nói chung. Tài liệu này gồm có các
chương như sau:
Bạn có thể tham khảo thêm những hình ảnh sau đây :

Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 2
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 3
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
CHO SINH ẢNH FRACTAL
1.1 Các kiến thức toán học cơ bản cho sinh ảnh Fractal:
1.1.1 Giới thiệu:
1.1.1.1 Sự ra đời của Fractal:
Từ hơn 2000 năm nay, con người đã quen với việc dùng hình học Ơcơlit
(Euclid) để mô tả hình dạng sự vật hiện tượng. Nhưng công việc đó chỉ thực
sự có ích cho việc mô tả những hình dạng đặc biệt còn đối với rất nhiều hiện
tượng sự vật xảy ra trong tự nhiên nếu chỉ dùng hình học Ơcơlit thì không thể
được mô tả hữu hiệu. Chính vì vậy mà một loại hình học mới ra đời đó là hình
học Fractal “hình học của tự nhiên”. Tuy mới hình thành khoảng cuối thế kỷ
19 đầu thể kỷ 20 nhưng nó đã đem lại một số ứng dụng và cách nhìn nhận mới
trong lĩnh vực toán học.
Sự ra đời của lý thuyết hình học fractal là kết quả của nhiều thập kỷ nỗ
lực giải quyết cácvấn đề nan giải trong nhiều ngành khoa học chính xác, đặc
biệt là vật lý và toán học. Một cách cụ thể, lý thuyết hình học fractal được xây
dựng dựa trên 2 vấn đề lớn được quan tâmở những thập niên đầu thế kỷ 20.
Các vấn đề đó bao gồm:
- Tính hỗn độn của các quá trình phát triển có quy luật trong tự nhiên.
- Sự mở rộng khái niệm số chiều và độ đo trong lý thuyết hình học
Euclide cổ điển.
Năm 1979, nhà toán học Benoit Mandelbrot áp dụng tập Mandelbrot đầy
kì ảo lên máy tính. Ông đã khám phá ra một lãnh vực hình học mới đầy thú vị
cho phép phản ánh thế giới thực một cách tự nhiên hơn so với hình học Euclid.
Tất cả những hình ảnh mà ta thường gặp trong tự nhiên như : núi, mây, sông,
nước… nay máy tính đã có khả năng mô tả được bằng phương pháp fractal.

Để thấy rõ hơn sức mạnh của fractal trong mô tả tự nhiên bạn có thể xem thêm
bộ sưu tập ảnh fractal kèm theo.
Trong giai đoạn này B. Mandelbrot và các nhà toán hoc khác như
A.Douady và J.Hubbard đã đặt nền móng và phát triển lí thuyết cho hình học
Fractal. Các kết quả đạt được chủ yếu tập trung ở các tính chất của các cấu
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 4
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
trúc fractal cơ sở như tập Maldenbrot và tập Julia. Ngoài ra các ngiên cứu
khác cũng cố gắng tìm kiếm mối quan hệ giữa các cấu trúc này, ví dụ như mối
quan hệ giữa Maldenbrot và Julia.
Dựa trên các công trình của Maldenbrot (trong những năm 1976, 1979,
1982) và Hutchinson(1981), vào các năm 1986,1988 Michael F.Barnsley và
M.Begger đã phát triển lý thuyết biểu diễn các đối tượng tự nhiên dựa trên cơ
sở lý thuyết về các hệ hàm lặp IFS.
Các hệ hàm lặp này bao gồm một bộ hữu hạn các phép biến đổi affine
cho phép với sự giúp đỡ của máy tính tạo nên hình ảnh của các đối tượng
trong tự nhiên. Theo lý thuyết này hình học Euclide cổ điển rất có hiệu lực
trong việc biểu diển các đối tượng nhân tạo như một tòa nhà, một cổ máy
nhưng lại hoàn toàn không thích hợp cho việc biểu diễn các đối tượng của thế
giới thực vì đòi hỏi một lượng quá lớn các đặc tả cần có. Nếu như trong hình
học Euclide các yếu tố cơ sở là đường thẳng, đường tròn, hình vuông…thì lý
thuyết IFS mở rộng hình học cổ điển với các yếu tố cơ sở mới là vô số thuật
toán để vẽ nên các fractal của tự nhiên.
Ngoài các công trình có tính chất lý thuyết, hình học fractal còn được
bổ sung bởi nhiều nghiên cứu ứng dụng lý thuyết vào khoa học máy tính và
các khoa học chính xác khác, ví dụ như dựa trên lý thuyết IFS, Barnsley đã
phát triển lý thuyết biến đổi fractal áp dụng vào công nghệ nén ảnh tự động
trên máy tính, là một lĩnh vực đòi hỏi những kỹ thuật tiên tiến nhất của tin học
hiện đại.
Hiện nay nhiều vấn đề, về lý thuyết fractal vẫn đang được tiếp tục

nghiên cứu. Một trong những vấn đề lớn đang được quan tâm là bài toán về
các độ đo đa Fractal(multifractal measurement) có liên quan đến sự mở rộng
các khái niệm số chiều fractal với đối tượng fractal trong tự nhiên, đồng thời
cũng liên quan đến việc áp dụng các độ đo fractal trong các ngành khoa học tự
nhiên.
Bắt đầu là Georg Cantor, nhà toán học Đức (1845 - 1918) đã đưa ra tập
Cantor vào năm 1883 bằng cách đưa ra đoạn [0,1] rồi bỏ khoảng giữa (1/3,2/3)
và lặp lại quá trình này với từng đoạn con. Sau đó là Giuseppe Peano (1890),
David Hilbert (1891), Helge von Koch (1904), Waclaw Sierpinski (1916)…đã
đưa ra một loạt các đường cong “lạ” có đặc điểm là tự đồng dạng (mỗi đoạn
nhỏ của đường cong giống như đoạn lớn). Số chiều khác với hình học truyền
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 5
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
thống. Khi mới xuất hiện nó không được các nhà toán học truyền thống đón
nhận và công cụ máy tính chưa phát triển. Nên cho mãi đến giữa thế kỷ 20
Edward Lorenz (trường đại học công nghệ Massachussetts) trong quá trình
xem xét việc dự báo thời tiết ông đã tìm ra các phương trình vi phân mà kết
quả của các phương trình này không ổn định hoặc tuần hoàn, nhận tập giá trị
có thể đoán được và liên tục tới vô cùng nhưng không bao giờ giống nhau.
Đường cong nổi tiếng là tập hút Lorenz. Tiếp theo vào những năm 70 Robert
May đã tìm ra phương trình phát triển dân số:
x
n
-rx
n-1
(1-x
n-1
)
Khi thí nghiệm với giá trị khác nhau của r, May đã tìm ra nguồn chaos.
Cùng với sự phát triển ngày càng tăng của tốc độ máy tính ngày nay ta có thể

thấy được các hình ảnh fractal bằng việc ứng dụng các phương pháp sinh ảnh
fractal như: sinh ảnh bằng hệ hàm lặp (Michel Barnley những năm 80), bằng
hệ thống động hỗn độn (chaos), bằng phương pháp nội suy fractal.
Đặc trưng của fractal:
- Số chiều không nguyên
- Tự đồng dạng
- Được xác định bởi những phương trình toán học đơn giản, không
tuần hoàn
 Các kiểu fractal :
• Tập Cantor:
Tập Cantor được Georg Cantor công bố lần đầu tiên vào năm 1883. Có
thể nói rằng trong số các fractal sớm được phát hiện thì tập Cantor là quan
trọng nhất. Mặc dù nhìn nó kém hấp dẫn và không gần tự nhiên bằng các tập
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 6
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
khác. Tập Cantor có vai trò trong nhiều lĩnh vực như trong toán học, trong
thực tế, có ý nghĩa sâu sắc trong hệ thống hỗn độn và là cơ sở cho nhiều
fractal khác.
Tập Cantor là tập vô hạn các điểm trong khoảng [0,1]. Bắt đầu từ [0,1]
loại bỏ khoảng mở (1/3,2/3) ở giữa có độ dài bằng 1/3 đoạn gốc thì còn lại hai
đoạn [0,1/3], [2/3,1]. Thực hiện quá trình loại bỏ tiếp tục như vậy sau n bước
thì còn lại 2
n
khoảng với độ dài 1/3
n
. Như vậy tập Cantor là tập các điểm còn
lại nếu ta loại bỏ khoảng giữa sau vô hạn bước. Một điểm được gọi là thuộc
tập Cantor nếu trong quá trình loại bỏ nó không bị mất đi. Không thể đánh số
các điểm thuộc tập Cantor vì không thể xác định được đâu là điểm kết. Tập
Cantor là tập không đếm được. Tập Cantor có đặc tính tương tự: cấu trúc của

một khoảng nhỏ giống như cấu trúc của cả tập.
• Tam giác Sierpinski:
Còn được gọi là miếng đệm Sierpinski được giới thiệu bởi Waclaw
Sierpinski vào năm 1916. Bắt đầu từ một tam giác trong mặt phẳng bỏ đi phần
tam giác ở giữa. Bằng cách nối các điểm giữa của 3 cạnh nhưng không bỏ đi
điểm đó. Phần còn lại là 3 tam giác có kích thước bằng 1/3 tam giác trước.
Thực hiện tương tự với 3 tam giác đó. Lặp lại vô hạn quá trình này ta thu được
tam giác Sierpinski. Tam giác Sierpinski có đặc tính tương tự: phóng to một
phần nhỏ lên ta được chính tam giác Sierpinski.

• Đường cong Von Koch
Helge Von Koch đã giới thiệu đường cong Koch vào năm 1904. Cách
đơn giản để xây dựng đường cong Koch bắt đầu từ một đoạn thẳng chia làm 3
phần bằng nhau. Sau đó thay thế đoạn thẳng ở giữa bằng tam giác đều và bỏ đi
chính đoạn vừa thay thế. Ta thu được một hình gồm 4 đoạn thẳng. Lặp lại quá
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 7
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
trình trên với 4 đoạn thẳng đó vô hạn lần thu được đường cong Koch có đặc
tính tương tự được tạo ra do quá trìh xây dựng.
• Bông tuyết Koch:
Bông tuyết Koch được xây dựng tương tự như trên nhưng khởi đầu là
một tam giác đều, mỗi cạnh sẽ là một đường cong Koch.


• Tập Julia:
Xét đa thức x
2
+c trong không gian phức C. Ta xác lập c và chọn giá trị
của x thì tính được x
2

+c. Sau đó thay thế giá trị vừa có cho x và lại tính x
2
+c,
cứ tiếp tục như vậy sẽ sinh ra một dãy số phức:
x→ x
2
+c→ (x
2
+c)
2
+c→((x
2
+c)
2
+c)
2
+c→…
Dãy này có một trong hai đặc tính sau:
- Dãy không có đường biên: các phần tử của dãy thoát khỏi vòng tròn
gốc.
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 8
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
- Hoặc dãy có đường biên cố định: dãy không thoát khỏi vòng tròn
gốc.
Tập các điểm có đặc tính đầu gọi là tập thoát của c, còn tập các điểm có
đặc tính thứ hai gọi là tập bị chặn của c. Cả hai tập đều không rỗng. Ví dụ: cho
c với x đủ lớn thì x
2
+c lớn hơn x. Như vậy, tập thoát bao gồm những điểm x
rất lớn. Ngược lại, nếu chọn x sao cho x= x

2
+c thì việc lặp còn lại là không
đổi. Cả hai tập này phủ lên những phần của không gian phức. Biên của tập bị
chặn đồng thời là biên của tập thoát. Biên đó chính là tập Julia của c (hoặc
x
2
+c). Tập Julia có cấu trúc lặp với tỷ lệ khác nhau, nó được phủ bằng cách tự
sao lại chính nó nhưng những bản sao này đạt được bởi một biến đổi không
tuyến tính. Đặc tính tự đồng dạng của tập Julia có bản chất khác với tam giác
Sierpinski.
Định nghĩa: Cho f: c→c là đa thức bậc lớn hơn một, F
f
là tập các điểm
trên không gian phức C, quĩ đạo của nó không hội tụ tới điểm vô hạn. Có
nghĩa là tập F
f
được gọi là tập phủ tập Julia kết hợp với đa thức f. Biên của F
f
được gọi là tập Julia của f và kí hiệu là J
f
.

• Tập Mandelbrot:
Xét hệ thống động {C;f
λ
(z)=z
2
+λ}
Tập Mandelbrot:
M={ λ ∈C| J

λ
liên thông}
với λ bất kỳ trong không gian C là tham biến lặp z→z
2
+ λ tương ứng với tập
Julia. Mỗi điểm trong không gian tham biến ứng với một hệ thống động khác
nhau.
1.1.2 Một số khái niệm cơ bản:
1.1.2.1 Không gian Metric:
• Không gian:
Định nghĩa 1:
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 9
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
Không gian X là một tập mà các điểm của không gian là các phần tử của
tập đó
Định nghĩa 2:
Không gian (X,d) là một không gian metric nếu hàm d:X×X→R thỏa
mãn các điều kiện sau với d là khoảng cách giữa 2 điểm x, y∈X:
o d(x,y) = d(y,x) ∀ x,y ∈X
o 0< d(x,y) < ∞ ∀ x, y ∈X, x ≠ y
o d(x,x) = 0 ∀ x ∈X
o d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) ∀ x, y, z ∈X
hàm d được gọi là metric.
Định nghĩa 3:
Hai metric d1 và d2 được gọi là tương đương trên X nếu tồn tại các hằng
số 0<c
1
, c
2
sao cho: c

1
d
1
(x,y) ≤ d
2
(x,y) ≤ c
2
d
1
(x,y) ∀(x,y) ∈ X×X
Định nghĩa 4:
Hai không gian Metric (X
1
,d
1
) và (X
2
,d
2
) là tương đương nếu tồn tại hàm
h: X
1
→X
2
là song ánh sao cho metric d
1
trên X1 được định nghĩa bởi công
thức:
d
1

(x,y) = d
2
(h(x),h(y)) ∀ (x, y)∈X
1
là tương đương với d
1.
Định nghĩa 5:
Hàm f: X
1
→X
2
từ không gian metric (X
1
, d
1
) và không gian metric (X
2
,
d
2
) là hàm liên tục nếu với mỗi ε >0 và x∈X
1
∃δ>0 sao cho:
d
1
(x, y) < δ ⇒ d
2
(f(x), f(y)) < ε
• Dãy Cauchy, hội tụ, tập đóng, không gian metric đầy đủ :
Định nghĩa 6:

Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 10
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
Dãy {x
n
}
n
∞
=1 các điểm trên không gian metric (X,d) được gọi là dãy Cauchy
nếu
∀ ε > 0, ∃ N là số tự nhiên sao cho:
d(x
n
, x
m
) < ε ∀n, m>N
Định nghĩa 7:
Dãy {x
n
}
n
∞
=
1 các điểm thuộc không gian metric(X,d) được gọi là hội tụ
tới điểm x∈X nếu với mọi ε>0, ∃N là số tự nhiên sao cho:
d(x
n
, x) < ε, ∀n<N x được gọi là giới hạn của dãy và: x = lim
n
→∞
x

n
Định lý:
Nếu dãy {x
n
}
n
∞
=
1

trong không gian metric(X, d) hội tụ tới điểm x∈X thì
dãy {x
n
}
n
∞
=1
là dãy Cauchy.
Định nghĩa 8:
Không gian metric (X, d) là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy {x
n
}
n
∞
=
1 trong X có
giới hạn x∈X.
ví dụ: Các không gian sau là không gian metric đầy đủ:
(R, d) (R
2

, d) với d là metric Ơclit.
Định nghĩa 9:
S⊂X là tập con của không gian metric. Điểm x∈X là điểm giới hạn của S
nếu tồn tại dãy {x
n
}
n
∞
=
1 các điểm x
n
∈S\{x} sao cho: Lim
n
→∞
x
n
=x
Định nghĩa 10:
S⊂X là tập con của không gian metric (X, d). Bao đóng của S (ký
hiệu:S) được định nghĩa như sau:
S= S ∪{các điểm giới hạn của S}
S là tập đóng nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó : S=
Ví dụ : S = {x=1/n; n=1, 2, } là tập đóng trên ([0, 1], d), d là metric Ơcơlit.
• Tập compact, tập giới nội, tập mở:
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 11
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
Định nghĩa 11:
S⊂X là tập con của không gian metric (X, d). Tập S là compact nếu mọi
dãy vô hạn {x
n

}
n
∞
=
1 trong S đều chứa dãy con hội tụ trong S.
Định nghĩa 12:
S⊂X là tập con của không gian metric (X, d). S là tập giới nội nếu tồn tại
điểm a∈X và số R>0 sao cho: d(a, x)<R ∀x∈S
Định nghĩa 13:
S⊂X là tập con của không gian metric (X, d). S là giới nội toàn phần nếu
với mỗi ε>0 tồn tại tập hữu hạn các điểm {y
1
, y
2
, , y
n
}⊂S sao cho khi x∈S
thì
d(x, y
i
) < ε víi y∈{ y
1
, y
2
, , y
n
}
Định lý:
(X, d) là không gian metric đầy đủ S⊂X. S là tập compact và đầy đủ nếu
nó đóng và giới nội toàn phần.

Định nghĩa 14:
S⊂X là tập con của không gian metric (X, d). S được gọi là tập mở nếu
với mỗi s∈S ∃ε>0 sao cho B(x, ε)={y∈X:d(x, y)≤ε}⊂S.
1.1.2.2 Không gian Hausdorff (H(x), h):
Phần này trình bày một số khái niệm về không gian Hausdorff là cơ sở
để xây dựng fractal.
Định nghĩa 15:
(X, d) là không gian metric đầy đủ. Ký hiệu H(X) là tập con compact của
X.
Định nghĩa 16:
(X, d) là không gian metric đầy đủ, x∈X và B∈H(X). Khi đó khoảng
cách từ điểm x tới tập B được xác định như sau:
d(x, B) =Min{d(x, y): y∈B}.
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 12
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
Định nghĩa 17:
(X, d) là không gian metric đầy đủ A, B∈H(X) khi đó khoảng cách từ tập
A tới tập B được xác định như sau:
d(A, B)=Max{d(x, B):x∈A}.
Định nghĩa 18:
(X, d) là không gian metric đầy đủ. Khoảng cách Hausdorff giữa các
điểm A, B∈H(X) được xác định như sau:
h(A, B) = d(A, B) ∨ d(B, A)
Định lý:
h là metric trên H(X).
Chứng minh:
+) h(A, B) = d(A, B) ) ∨ d(B, A) = d(B, A) ∨ d(A, B) = h(B, A)
+) A≠B ∈H(X) ⇒ có thể tìm được a∈A, a∉B :
d (a, B) > 0 ⇒ h (A, B) ≥ d(a,B) > 0
+) h (A, A) = d(A, A)∨d(A, A) = d(A, A) = Max{d(a, A):a∈A} = 0

+) d (a, B) = min{d(a, b) : b∈B}, a ∈ A
≤ min{d(a, c)+d(c, b):b∈ B} ∀c∈C
= d(a, C)+min{d(c, b):b ∈ B} ∀c∈C
≤d(a, C)+max{min{d(c, b):b∈B}:c∈C}
≤d(a, C)+d(c, B)
d(A, B) = max{d(a, B): a∈A}≤d(a, C)+d(C, B)
≤d(A, C)+d(C, B)
Tương tự có d(B, A) ≤d(B, C)+d(C, A)
h(A, B) = d(A, B) ∨d(B, A)
≤ (d(A, C)+d(C, B))∨(d(B, C)+d(C, A))
≤ d(A, C)∨d(C, A)+d(C, B)∨d(B, C)
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 13
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
≤ h(A, C) + h(C, B)
Định nghĩa 19:
S⊂X và Γ>0 thì S+Γ= {y∈X : d(x, y) ≤ Γ với x∈S}. Ta gọi S+Γ là dao
động của S bởi hình cầu bán kính Γ.
Bổ đề 1:
Cho A, B ∈ H(X), (X, d) là không gian metric, ε>0. Khi đó ta có khẳng
định: h(A, B) ≤ ε ⇔ A⊂ B+ε và B⊂A+ε.
Bổ đề 2: (bổ đề mở rộng)
(X, d) là không gian metric, {A
n
: n = 1, 2, , ∞} là dãy Cauchy, các
điểm trong (H(X), h), {n
j
}
j
∞
=

1 là dãy vô hạn các số nguyên 0 < n
1
< n
2
< n
3
<
Giả sử có dãy Cauchy {x
nj
∈ A
nj
; j=1, 2, } trong (X, d) thì tồn tại dãy
Cauchy {x
n
∈A
n
; n≥1} sao cho: x
nj
= x
nj
∀j = 1, 2, 3,
Định lý: (Về tính đầy đủ của không gian fractal)
(X, d) là không gian metric đầy đủ thì (H(X), h) cũng là không gian
metric đầy đủ. Hơn nữa nếu {A
n
∈H(X)}
n
∞
=1 là dãy Cauchy thì A= lim
n

→∞

A
n
∈H(X).
Có thể mô tả giới hạn của dãy như sau:
A= {x∈X : {x
n
∈ A
n
} là dãy Cauchy hội tụ đến x}
Định lý:
(X, d) là không gian metric, {x
n
} là dãy Cauchy hội tụ tới x ∈X
(lim
n
→∞
d(x, x
n
)=0). nÕu hµm f : X → X liªn tôc th× lim
n
→∞

f(x
n
) = f(x).
1.1.3 Ánh xạ co và hệ hàm lặp:
1.1.3.1 Ánh xạ co:
Định nghĩa 20:

Biến đổi f: X→ X trên không gian metric (X, d) được gọi là co hay ánh
xạ co nếu tồn tại hằng số 0 ≤ s < 1 sao cho:
d(f(x), f(y)) ≤ s.d(x, y) ∀x, y∈X.
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 14
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
khi đó s được gọi là hệ số co của f.
Định lý: (định lý ánh xạ co)
f: X→X là ánh xạ co trên không gian metric đầy đủ (X, d). Thì f có
điểm cố định duy nhất x
f
∈X, ∀x∈X dãy {f
on
(x) : n=0, 1, 2, } hội tụ tới x
f
tức là:
lim
n
→∞

f
on
(x) = x
f
đối với mỗi x∈ X .
Bổ đề 1:
Cho không gian metric (X, d) và ánh xạ w từ X lên chính nó. Nếu
w:X→X là ánh xạ co trên (X, d) thì w liên tục.
Bổ đề 2:
w: X→X là ánh xạ liên tục trên không gian metric (X, d) thì w là ánh xạ
từ H(X) vào H(X).

Bổ đề 3:
w: X→X là ánh xạ co trên không gian metric (X, d) với hệ số co s. Ta
xác định biến đổi w: H(X)→H(X) như sau:
w(B) = {w(x): x∈B} ∀ B∈H(X).
khi đó w là ánh xạ co trên (H(X), h(d)) với hệ số co s.
Bổ đề 4:
Cho (X, d) là không gian metric. Nếu h là metric Hausdorff thì:
h(B∪C, D∪E) ≤ h(B, D)∨ h(C, E) ∀B, C, D, E∈H(X)
Bổ đề 5:
(X, d) là không gian metric, {w
n
:n=1, 2, , N} là các ánh xạ co trên
(H(X), h) với hệ số co tương ứng của w
n
là s
n
. Ánh xạ w: H(X)→H(X) được
xác định bởi:
W(B) = w (B) w (B) w (B) = w (B)
1 2 n
N
n
∪ ∪
=n 1
U
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 15
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
Với mỗi B∈ H(X) thì w là ánh xạ co với hệ số co s= Max{s
n
:n=1, 2, ,

N}.
1.1.3.2 Hệ hàm lặp IFS (Interated Function System):
Định nghĩa 21:
Một hệ hàm lặp bao gồm không gian metric đầy đủ (X, d) cùng với tập
hữu hạn các ánh xạ co w
n
:X→X với hệ số co tương ứng s
n
, 0≤s
n
<1, với n=1, 2,
, N.
Ký hiệu: {X;w
n
, n=1, 2, , N} và hệ số co của nó s= Max{s
n
:n=1, 2, , N}.
Định lý IFS:
Xét một IFS {X;w
n
, n=1, 2, , N} là hệ hàm lặp (hyberbol) với hệ số co
s, 0≤s
n
<1. Thì biến đổi W:H(X)→H(X) được xác định như sau:
)( = W(B)
N
1=n
Bw
n


∀ B∈H(X)
Trong đó B thuộc H(X) là ánh xạ co trên không gian metric đầy đủ.
(H(X), h(d)) với hệ số co s , tức là:
h(W(B), W(C)) ≤ s.h(B, C) ∀ B, C ∈H(X).
khi đó tồn tại duy nhất điểm bất động A ∈H(X) thỏa mãn:
A = W(A) =
n=1
N
U
w A
n
( )
với A= lim
n
→∞
w
on
(B) với B∈H(X).
Định nghĩa 22:
Điểm A H(x) được mô tả ở định lý IFS gọi là hấp tử của IFS đó.
1.1.3.3 Định lý cắt dán (Collage):
Định nghĩa 23:
Cho (X, d) là không gian metric, biến đổi w
0
:H(X)→H(X) được xác định
w
0
(B)= C với mọi B∈H(X). Thì w
0
được gọi là biến đổi cô đọng và C được gọi

là tập cô đọng.
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 16
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
Định nghĩa 24:
Cho {X;w
n
, n=1, 2, , N} là hệ hàm lặp hyperbol với hệ số co 0≤s<1.
Nếu w
0
:H(X)→H(X) là một biến đổi cô đọng thì {X;w
n
, n=0, 1, 2, , N} là hệ
hàm lặp hyperbol cô đọng với hệ số co s.
Định lý:
Cho {X;w
n
, n=0, 1, 2, , N} là hệ hàm lặp hyperbol cô đọng với hệ số co
s thì biến đổi W:H(X)→H(X) được xác định như sau:
∀B∈H(X)
là ánh xạ co trên không gian metric đầy đủ (H(X), h(d)) với hệ số co s. Khi đó:
h(W(B), W(C)) ≤ s.h(B, C) ∀B, C ∈H(X)
điểm cố định duy nhất A ∈H(X) thỏa mãn:
A = W(A) = w
n
n=0
N
( )A

trong đó A=lim
n

→∞
W
on
(B)

với B∈H(X).
Định lý(collage):
Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ. Cho tập LH(X), và số ε>0 .
Chọn IFS {X;w
n
, n=1, 2, , N} (hoặc IFS cô đọng) với hệ số co 0≤s<1 sao
cho:

với h(d) là metric Hausdorff thì h(L, A) ≤ε/(1- s) với A l à tập hút của IFS
A=lim
n
→∞

w
n
(L)
A=L∪w(L) ∪w
2
(L) ∪ =w
n
(L)
Tức là :
∀L∈H(X).
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 17
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống

Tập A và A
0
cho trước A, A
0
∈H(X), hệ w
0
, w
1
, , w
n
tạo thành hệ IFS
hyperbol thì: h(A, w(A
0
)∪w
2
(A
0
)∪ ∪ )≤ ε/(1-s). Nếu đầu tiên tập xuất A
0
phát khác tập cho trước A là ε thì sau lần lặp sẽ khác là ε/(1-s). Ý nghĩa của
định lý cắt dán nhằm đánh giá sự hội tụ của thuật toán lặp.
1.2 Số chiều Fractal:
Fractal "to" bao nhiêu? Khi nào hai fractal tương tự nhau theo một nghĩa
nào đó? Làm thế nào để có thể nói liệu hai fractal khác nhau có tương đương
về mặt metric hay không? v v và v v
Có nhiều đại lượng khác nhau liên quan đến fractal mà chúng ta có thể
dùng để so sánh các fractal với nhau. Các đại lượng này gọi chung là các
chiều fractal. Chúng dùng để đánh giá về việc fractal trù mật ra sao trong
không gian metric mà nó trú ngụ. Như vậy số chiều fractal là cách để so sánh
các fractal với nhau.

Số chiều fractal là quan trọng, bởi lẽ chúng có thể được định nghĩa với
dữ liệu thực, chúng cũng có thể được đo một cách gần đúng bằng thực
nghiệm. Chẳng hạn, chúng ta có thể đo "số chiều fractal" của bờ biển Việt
nam. Về nguyên tắc, những thứ sau đều có số chiều fractal: mây, cây cối, bờ
biển, hệ thống nơ ron thần kinh trong cơ thể người, bụi bẩn trong không khí tại
một thời điểm nhất định, quần áo chúng ta đang mặc trên người, phân bố của
tần số ánh sáng phản chiếu bởi bông hoa, v v Những con số này cho phép
chúng ta so sánh các tập hợp trong thế giới thực với fractal trong nghiên cứu
khoa học, chẳng hạn như các điểm hút của IFS.
Chúng ta giới hạn sự chú ý đến các tập compact trong các không gian
metric mà thôi. Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ. Cho A∈ H(X) là
tập compact không rỗng củaa X. Với ε >0 ta kí hiệu B(X, ε) là hình cầu đồng
tâm x∈X bán kính ε. Chúng ta sẽ định nghĩa N(A, ε) là số nhỏ nhất cần có các
hình cầu với bán kính ε để phủ được tập A, nghĩa là
N (A, ε) = số nguyên nhỏ nhất M sao cho A⊂
n
M
=1

B(x
n
, ε),
trong đó{x
n
; n=1, 2, , M}⊂ X là tập các điểm phân biệt của X.
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 18
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
Sự tồn tại của số N(A, ε) được đảm bảo bởi tính compact của tập A. Thật
vậy, với mỗi điểm x ∈X ta có thể dựng được hình cầu mở tâm x bán kính ε.
Khi đó, cho x chạy khắp X chúng ta sẽ nhận được một họ các hình cầu mở mà

phủ toàn bộ tập A, họ này được gọi là một phủ mở của tập A. Do A là
compact nên từ phủ mở này có thể lấy ra được một phủ mở hữu hạn, tức là
phủ mở gồm một số hữu hạn, chẳng hạn, gồm M hình cầu mở. Lấy bao đóng
mỗi một hình cầu mở trong số này, chúng ta thu được một phủ của tập A gồm
M hình cầu đóng. Kí hiệu C là tập các phủ của A mà gồm nhiều nhất là M
hình cầu đóng bán kính ε. Khi đó tập C có ít nhất một phần tử. Giả sử
f:C→{1, 2, , M} được xác định bởi qui tắc: f(c)=số lượng các hình cầu trong
phủ c∈C. Thế thì {f(c); c∈C} là một tập hữu hạn các số nguyên dương, và do
đó tập này chứa số nguyên nhỏ nhất N(A, ε).
Về mặt cảm tính thì số chiều fractal có thể hiểu như sau: tập A có chiều
fractal là D nếu như:
N(A, ε) ≡Cε
-D
,
Với hằng số C nào đó. Trong diễn giải trên chúng ta cần hiểu kí hiệu ≡
theo nghĩa sau: với f(ε) và g(ε) là các hàm số thực của biến dương ε, thì f(ε) ≡
g(ε) có nghĩa là
.
Nếu chúng ta muốn tìm D từ công thức trên thì sẽ có kết qủa
.
Để ý rằng đại lượng log C/log(1/ε) tiến tới 0 khi ε tiến tới 0. Điều này
dẫn tới khái niệm sau đây.
Định nghĩa.
Giả sử A∈H(X), trong đó (X, d) là không gian metric. Với mỗi ε>0 kí
hiệu N(A, ε) là số nguyên nhỏ nhất các hình cầu đóng bán kính ε cần thiết để
phủ tập A. Nếu
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 19
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
tồn tại, thì D được gọi là chiều fractal của tập A. Trong những trường hợp cần
thiết, chúng ta cũng sẽ sử dụng kí hiệu D thay cho D(A) để chỉ rõ rằng "tập A

có số chiều fractal là D".
Ví dụ
Xét không gian metric (R
2
, metric Ơcơlit). Giả sử a∈X và A={a}. Khi
đó tập A chỉ gồm một phần tử của không gian. Chúng ta dễ dàng thấy rằng
với mỗi ε >0 luôn có N(Aε)=1. Như thế thì D(A)=0.
Ví dụ
Không gian metric(R
2
, metric Manhattan). Giả sử A là đoạn thẳng [0, 1].
Với mỗi ε >0 ta dễ dàng kiểm tra được rằng N(Aε)=-[-1/ε], ở đó [x] kí hiệu
phần nguyên của số thực x. Khi đó ∀ε∈(0, 1)
Cả hai vế đều tiến tới 1 khi ε→0. Vì thế, đại lượng ở giữa cũng tiến tới 1,
tức là
.
Vậy, số chiều fractal của đọan thẳng là 1. Có thể chứng minh rằng kết
qủa không thay đổi, nếu chúng ta thay metric Manhattan bằng metric Ơcơlit.
Ví dụ
Giả sử (X, d) là không gian metric. Với a, b, c∈X chúng ta kí hiệu A={a,
b, c}. Khi đó D(A)=0.
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 20
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
Hai kết qủa dưới đây thể hiện sự đơn giản hóa qúa trình tính số chiều
fractal. Chúng cho phép chúng ta thay thế biến liên tục ε bằng biến rời rạc.
Định lý
Cho Aε∈H(X), trong đó (X, d) là không gian metric. Giả sử ε
n
=Cr
n

,
n=1, 2, , với 0<r<1 và C>0. Nếu
D
N A
n
n
=
→∞
lim
log ( , )
log /
ε
ε
1
, thì A có số
chiều fractal bằng D.
Định lý (Đếm hộp)
Cho A∈H(R
m
), trong đó sử dụng metric Ơcơlit. Phủ R
m
bằng các hộp
kề nhau cạnh 1/2
n
. Giả sử N
n
(A) là số các hộp có giao không rỗng với điểm
hút. Nếu
D
N A

n
n
n
=
→∞
lim
log ( , )
log
ε
2
, thì tập A có số chiều fractal bằng D.
Ví dụ
Xét A={(x
1
, x
2
); 0≤ x
1
≤ 1, 0≤x
2
≤ 1}⊂R
2
. Dễ dàng thấy rằng N
1
(A)=4,
N
2
(A)=16, N
3
(A)=64, N

4
(A)=256, , N
n
(A)=4
n
.
Từ định lý trên suy ra
.
Ví dụ
Xét tam giác Sierpinski trong không gian R
2
với metric Ơcơlit, kí hiệu là
S. Chúng ta có thể kiểm tra rằng
N
1
(S)=3, N
2
(S)=9, N
3
(S)=27, N
4
(S)=81, , N
n
(A)=3
n
.
Từ định lý trên suy ra
.
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 21
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống

Một câu hỏi xuất hiện: điều gì sẽ xảy ra với số chiều fractal nếu như
chúng ta làm biến dạng tập hợp đi. Kết qủa dưới đây cho chúng ta thấy rằng
các tập hợp tương đương về metric sẽ có cùng số chiều fractal.
Định lý
Cho (X
1
, d
1
) và (X
2
, d
2
) là hai không gian metric tương đương. Giả sử θ:
X
1
→X
2
là phép biến đổi tạo nên sự tương đương giữa hai không gian. Nếu
như tập A1∈ H(X
1
) có số chiều fractal bằng D, thì tập A
2
=θ (A
1
) cũng có số
chiều fractal bằng D, tức là
D(A
1
)=D(θ(A
1

)).
Ví dụ
Xét tập Cantor C nhận được từ đọan [0, 1] với việc vứt bỏ "đọan một
phần ba ở giữa". Kí hiệu
∼
C
là tập Cantor "sống" trong đọan [0, 3] bằng cách
bỏ đi "đọan một phần ba ở giữa". Khi đó, từ định lý trên suy ra hai tập này có
cùng số chiều fractal. Có thể kiểm tra điều này bằng cách sử dụng phương
pháp đếm hộp.
Ví dụ
Xét A là tập compact không rỗng của R
2
. Giả sử A có số chiều fractal là
D
1
nếu tính theo metric Ơcơlit và có số chiều fractal D
2
nếu tính theo metric
Manhattan. Khi đó D
1
=D
2
.
1.2.1 Xác định trên lý thuyết số chiều Fractal:
Định nghĩa sau đây là sự mở rộng của định nghĩa ở mục trước. Nó cho
phép xác định số chiều fractal đối với lớp rộng hơn các tập hợp.
Định nghĩa:
Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ. Giả sử A∈H(X) và kí hiệu N(ε)
là số nhỏ nhất các hình cầu bán kính ε cần thiết để phủ A. Nếu

Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 22
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
tồn tại, thì D được gọi là số chiều fractal của tập A. Chúng ta cũng sẽ sử dụng
kí hiệu D=D(A) và nói rằng tập A có số chiều fractal bằng D.
Lưu ý rằng với mỗi hàm f(ε) với 0<ε <1 chúng ta viết
Dễ dàng chứng minh rằng nếu một tập hợp có số chiều fractal bằng D
theo định nghĩa trước thì tập đó cũng có số chiều fractal bằng D theo định
nghĩa sau. Hơn thế nữa, mọi định lý nêu ra trong tài liệu này đều đúng cho bất
kì định nghĩa nào. Rõ ràng là định nghĩa sau cho phép chúng ta tìm số chiều
fractal trong một số trường hợp mà định nghĩa đầu không khẳng định được.
Định lý:
Cho m là số nguyên dương và xét không gian metric R
m
với metric
Ơcơlit. Số chiều fractal D(A) tồn tại với mọi tập A∈H(R
m
). Giả sử B∈H(R
m
)
là tập hợp sao cho A⊂B và giả sử tập B có số chiều fractal là D(B). Khi đó
D(A)≥D(B), đặc biệt
0≤D(A)≤ m.
Định lý:
Cho m là số nguyên dương và xét không gian metric R
m
với metric
Ơcơlit. Giả sử A và B thuộc H(R
m
). Giả thiết rằng số chiều fractal của tập A
được xác định bởi công thức

Giả sử D(A) và D(A∪B) là số chiều fractal của tập A và tập A∪B. Giả
thiết rằng D(B)≤ D(A). Khi đó D(A∪B)=D(A).
Sau đây là một định lý rất tuyệt vời cho phép chúng ta thu được số chiều
fractal của điểm hút của một lớp các hệ hàm lặp IFS quan trọng.
Định lý:
Cho {R
m
; w
1
, , w
N
} là hệ hàm lặp IFS hypecbolic và kí hiệu A là điểm
hút của IFS này. Giả sử rằng w
n
có hệ số co là s
n
, với mọi n=1, , N. Nếu như
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 23
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
IFS là không liên thông toàn phần thì điểm hút sẽ có số chiều fractal D(A)
được tính theo công thức: là nghiệm duy nhất của bài toán
Nếu như IFS là lặp thì
D
≥D(A), trong đó
D
là nghiệm duy nhất của bài
toán
1.2.2 Xác định trong thực nghiệm số chiều Fratal:
Trong mục này chúng ta sẽ xem xét cách xác định về mặt thực nghiệm số
chiều fractal của các tập hợp trong thế giới vật lý. Chúng ta mô hình hóa

chúng một cách tốt nhất, điều đó có nghĩa là coi chúng như các tập trong
không gian R
2
hay R
3
với metric Ơcơlit. Khi đó, trên cơ sở định nghĩa về số
chiều fractal, cũng như các định lý liên quan, chẳng hạn như Định lý đếm
hộp, chúng ta sẽ phân tích mô hình để có được số chiều fractal đối với các tập
trong thế giới thực.
Trong phần này trình bày một số định nghĩa liên quan đến phương pháp
tính kích thước fractal. Hình học fractal là công cụ toán học đề cập tới hệ
thống phức tạp mà nó không có đặc trưng chiều dài. Hình dạng của bờ biển là
một ví dụ nổi tiếng. Khi chúng ta xem hai hình ảnh bờ biển ở hai tỉ lệ khác
nhau với 1cm tương ứng với 0.1 km và 10 km, chúng ta không thể nói bức
tranh ở tỉ lệ nào vì chúng rất giống nhau. Điều đó có nghĩa rằng bất biến với tỉ
lệ hay không có tỉ lệ đặc trưng cho độ dài. Một ví dụ khác: các con sông, khe
nứt, núi và mây. Các hệ thống bất biến tỉ lệ thường đặc trưng bởi số số chiều
không nguyên ("fractal"). Ký hiệu số chiều không nguyên và các tính chất cơ
bản của các đối tượng fractal đã được nghiên cứu vào thế kỷ trước bởi Georg
Cantor, Giuseppe Peano và David Hilber, và đầu thế kỷ này bởi Helge von
Koch, Vaclaw Siepinski, Gaston Julia và Felix Hausdorff. Thậm chí nhắc lại
khái niệm này trước đây có thể tìm thấy lượng giác của Fedrich Gauss khoảng
200 năm trước trong công trình nghệ thuật của Albrecht Dur, Mandelbrot đã
Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 24
Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống
chỉ ra sự liên quan giữa fractal tới nhiều hệ thống và đã trình bày nhiều tính
chất quan trọng của fractal.
Khi nói về số chiều fractal chúng ta hãy nhắc lại khái niệm số chiều trong
các hệ thống chính qui. Rõ ràng là trong các hệ thống chính qui (phân bố đều)
như các đĩa kim loại lớn hay các hình lập phương đặc (filled) lớn đặc trưng

khối lượng thay đổi với kích thước L như thế nào. Nếu chúng ta xét một phần
nhỏ của hệ có kích thước bL (b<1), thì M(bL) giảm đi bởi tỉ lệ với b
d
, tức là
M(bL)= b
d
M(L) (1.3)
Lời giải phương trình hàm (3.1) đơn giản M(L)=AL
d
.
Đối với thanh kim loại dài thì khối lượng thay đổi theo chiều dài tỉ lệ với
b, tức là d=1. Đối với các bản kim loại mỏng ta nhận được d=2 và đối với hình
lập phương thì d=3.
Tiếp theo chúng ta xét các đối tượng fractal. Ở đây chúng ta phân biệt
giữa fractal xác định và fractal ngẫu nhiên. Fractal xác định đựoc tạo ra bằng
cách lặp theo một cách thức xác định, trong khi fractal ngẫu nhiên được tạo ra
bằng cách sử dụng qúa trình nghiên cứu fractal xác định mà ở đó các tính chất
fractal có thể được xác định chính xác. Bằng cách nghiên cứu fractal tiền định
người ta lại có thể tìm ra tính chất của fractal ngẫu nhiên.
1.2.3 Các Fractal xác định:
Chúng ta mô tả một số ví dụ về fractal xác định và sử dụng chúng để
giới thiệu các khái niệm fractal như fractal và số chiều lý hóa, sự tự đồng
dạng, rẽ nhánh và các cấu trúc con (đường đi tối thiểu, đường kính mở rộng,
xương, và mối liên kết).
• Đường cong Von Koch
Một trong những fractal xác định phổ biến nhất là đường cong Koch.
Chia đường thẳng ra n phần (thông thường n=3 ), phép lặp đầu tiên của đường
cong fractal. Đối với mỗi phép lọc độ dài đường cong tăng lên 4/3 lần. Fractal
tóan học là giới hạn của các phép lặp khi n→∞, ở đây độ dài tổng thể của
đường cong tiến tới ∞.

Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt 25